“Estimación del Espectro Direccional del Oleaje en Playa Miramar

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA
Y TECNOLOGÍA AVANZADA, UNIDAD ALTAMIRA
“Estimación del Espectro
Direccional del Oleaje en Playa
Miramar, Tamaulipas”
TESIS
Para obtener el grado de
Maestro en Tecnología Avanzada
Presenta
Héctor Arnulfo Marcelino Hernández
Director de Tesis
Dr. Marco Julio Ulloa Torres
Mayo de 2012
Dedicatoria
Dedicatoria
A mis papas Javier y Leticia, por su amor y gran corazón, pero sobre
todo por enseñarme a ser responsable. A mi hermano Javier por ser el
ejemplo de un hermano mayor; a mi hermana menor, Fátima por su
honestidad y tenacidad; a mi sobrino Keneth por alegrarme la vida; a
mi cuñada Jenni por que siempre está al pendiente de mis logros. A
mis abuelos, que donde quiera que se encuentren están al cuidado de
mí.
i
Agradecimientos
Agradecimientos
Quiero agradecer a los miembros de mi comisión revisora Dr. Jorge Lois, Dr. Orzo
Sánchez, Dr. Marco Ulloa, Dr. David Rivas, Dr. Luis Vicent, Dr. Eugenio Rodríguez,
Dr. Felipe Caballero y Dr. Rogelio Ortega por todos sus comentarios y sugerencias
que ayudaron a enriquecer mi tesis.
Al Instituto Politécnico Nacional-Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y
Tecnología Avanzada (CICATA Unidad Altamira) por haberme brindado un lugar de
trabajo y la infraestructura necesaria para llevar a cabo esta investigación. Al
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y al Programa Institucional
de Formación de Investigación (PIFI) por las becas otorgadas durante este tiempo.
No puedo olvidar a mis compañeros y amigos de la Maestría con los cuales he
compartido incontables horas de trabajo. Gracias por los buenos y malos momentos.
A todos aquellos que de alguna manera u otro forma ayudaron a la elaboración de
esta tesis por muy mínimo que sea.
ii
Resumen
Resumen
La dirección de las olas es un parámetro difícil de medir en la costa ya que el
proceso de transformación del oleaje puede redistribuir la energía en direcciones
muy diferentes de aquellas del oleaje incidente desde mar abierto. Una manera
práctica de estimar la dirección del oleaje es a través de la técnica numérica del
método inverso, que consiste en el trazo inverso de rayos (refracción inversa), la
obtención de la función inversa de dirección y la estimación del espectro direccional
refractado del oleaje en un sitio específico ubicado en aguas someras. El método
inverso se utilizó para estimar las direcciones del oleaje distante que potencialmente
pueden incidir con mayor energía en la importante zona turística de Playa Miramar,
Tamaulipas, caracterizando el oleaje de acuerdo a las condiciones del viento
clasificadas como de calma, promedio, frente frío y de tormenta. En éste trabajo, la
convención que se sigue para las direcciones, es que indican el azimut de donde
vienen las olas.
En general, a partir de los espectros direccionales del oleaje calculados, se sugiere
que las direcciones con mayor energía del oleaje que provienen de mar abierto se
encuentran entre un rango de 110° a 160° (cuadrante ENE-SSE aproximadamente) e
inciden en Playa Miramar entre las direcciones de 108° y 130°.
Adicionalmente, el intervalo de direcciones obtenido numéricamente para Playa
Miramar y el intervalo de frecuencias considerado se comparó con los
correspondientes a boyas virtuales que representan resultados numéricos del modelo
de propagación del oleaje WAVEWATCH-III. Los resultados de esta comparación
son que el intervalo de direcciones obtenido (15° – 130°) se encuentra dentro del
correspondiente a las boyas virtuales (0° – 174°), en tanto que el intervalo de
frecuencias considerado se encuentra fuera del de las boyas (0.097 Hz – 0.380 Hz)
para frecuencias bajas.
Palabras claves: Olas, refracción inversa, rayos, espectro direccional, oleaje distante.
iii
Abstract
Abstract
The direction of the sea waves is a difficult parameter to measure on the coast
because the wave transformation process can redistribute the energy in very different
directions with respect to the incident waves from deep waters. A practical way to
estimate the wave direction is using numeric techniques i.e. the inverse method,
which consists in backward ray tracing (inverse refraction), obtaining the inverse
direction function and the swell’s refracted wave directional spectrum a fixed point in
shallow water to deep water. The inverse method was used to estimate the wave
directions of distant swell that can potentially arrive with high energy to the important
touristic zone of Playa Miramar, Tamaulipas, characterizing the swell according to
wind conditions, such as, calm, average, cold front and storm. In this work, the
convention used for directions, is that indicating the azimuth from the incoming
waves.
In general, the calculated directional swell spectra, it can be suggested that the
directions with high wave energy that approximate from sea range between from
100° to 160° (quadrant ENE-SSE approximately) and arrive to Playa Miramar
between 108° and 130°.
Additionally, the range of the numerically directions obtained for Playa Miramar, as
well as the range of discussed frequencies were compared with the corresponding
from virtual buoys that represent numeric results from the WAVEWATCH-III model of
wave propagation. The results from these comparisons are that the interval of
directions obtained (15° – 130°) is localized within the corresponding to virtual buoys
(0° – 174°), while that range frequencies considerate are localized outside of the
buoys (0.097 Hz – 0.380 Hz) for low frequencies.
Keywords: Waves, inverse refraction, ray, directional spectrum, distant swell.
iv
Lista de Figuras
Lista de Figuras
Figura 1. Zona de estudio localizada en la costa Sur de Tamaulipas (Playa Miramar).
.......................................................................................................................... 4
Figura 2. Esquema que muestra la trayectoria de un frente de onda ( ) (modificado
de Griswold, 1963). ......................................................................................... 16
Figura 3. Sistema de coordenadas que emplea el método numérico (modificado de
Griswold, 1963 y de Ulloa, 1989). ................................................................... 19
Figura 4. Boyas oceanográficas (NDBC), ubicadas frente a la costa Norte de
Tamaulipas. .................................................................................................... 27
Figura 5. Localización de las boyas virtuales (Buoyweather) a lo largo de la costa de
Tamaulipas. .................................................................................................... 29
Figura 6. Diagrama de flujo del programa desarrollado en MATLAB para el
procesamiento de las mediciones del viento hechas por la boyas
oceanográficas que administra la NDBC frente a la costa de Tamaulipas. .... 32
Figura 7. Diagrama de flujo para la obtención de los datos de las boyas virtuales de
interés y del programa desarrollado en MATLAB. .......................................... 34
Figura 8. Diagrama de flujo que indica el programa desarrollado en MATLAB para la
digitalización de la costa Sur de Tamaulipas. ................................................. 36
Figura 9. Diagrama de flujo del programa desarrollado en MATLAB para obtener la
función inversa de dirección. .......................................................................... 38
Figura 10. Diagrama de flujo del programa desarrollado para la estimación del
espectro direccional del oleaje refractado normalizado. ................................. 40
Figura 11. Los paneles de (a)-(c) muestran los histogramas de frecuencia para la
rapidez del viento en cada boya NDBC. Las curvas continuas representan
ajustes, con 95% de confidencia, a las funciones de distribución de
probabilidad de Weibull (rojo) y Rayleigh (azul). ............................................. 43
Figura 12. Rosas del viento para las boyas 42002A (período de 1972-2007), 42002B
(período de 2007-2010) y 42055 (período de 2005-2010). Los valores entre
paréntesis indican la cantidad de datos empleados. ...................................... 45
v
Lista de Figuras
Figura 13. Los paneles muestran las rosas del viento para las boyas señaladas en
condición de (a) tormenta (b) frente frío y (c) calma. Los valores entre
paréntesis indican la cantidad de datos empleados. ...................................... 46
Figura 14. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
la mediana de la rapidez del viento
, para los valores de
obtenidos en la boya 42002A y las
condiciones de calma, frente frío y tormenta. ................................................. 49
Figura 15. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
25% máximo de la rapidez del viento
, para el valor del
para la condición de frente frío y
tormenta.......................................................................................................... 50
Figura 16. Espectro en frecuencia de JONSWAP
mediana de la rapidez del viento
, para los valores de la
obtenidos en la boya 42002A y las
condiciones de calma, frente frío y tormenta. ................................................. 51
Figura 17. Espectro en frecuencia de JONSWAP
máximo de la rapidez del viento
, para el valor del 25%
para la condición de frente frío y tormenta.
........................................................................................................................ 52
Figura 18. Batimetría de la zona de estudio comprendida entre las latitudes Norte
22.5° y 24.0° y entre las longitudes Oeste 96.8° y 98.0° con una discretización
espacial (111, 102) m. Los símbolos en la forma de cruces muestran la
distribución de las mediciones de profundidad (puntos batimétricos) empleada
para generar las isobatas. Los contornos representan las profundidades del
fondo del mar (m). .......................................................................................... 57
Figura 19. Área de la batimetría de la costa Sur de Tamaulipas comprendida entre
las latitudes Norte 22.2° y 22.6° y entre las longitudes Oeste 97.1° y 97.5° en
una malla con resolución de (a) (1110 m, 1020 m) y (b) (111, 102) m. .......... 59
Figura 20. Comparación de los errores relativos de cuatro soluciones de la relación
de dispersión. ................................................................................................. 60
Figura 21. Batimetría de la zona de estudio con una resolución de (111, 102) m. Las
zonas en color magenta indican dónde no se satisface el criterio de refracción
(
) para T= 4 s y T= 30 s. Las isobatas de 10 m y 700 m
indican el inicio de la refracción para olas con un período de 3.6 s y 30 s,
vi
Lista de Figuras
respectivamente. Los contornos representan las profundidades del fondo del
mar (m). .......................................................................................................... 62
Figura 22. Batimetría de la zona de estudio con una discretización espacial (111,
102) m. Las zonas sombreadas color magenta nos indican las zonas donde no
se satisface el criterio de refracción (
) para un período de
ola de (T= 4 s y T= 30 s). ................................................................................ 63
Figura 23. Trayectoria inversa de los rayos ubicados desde Playa Miramar a una
profundidad de 9.1 m y un período de ola de T= 30.3 s. El intervalo de
frecuencias considerados (0.033 Hz - 0.273 Hz) varía 0.01 Hz y con 0.5° de
resolución angular. ......................................................................................... 67
Figura 24. Trayectoria inversa de los rayos ubicados desde Playa Miramar a una
profundidad de 9.1 m y para un período de ola de T= 15.8 s. ....................... 68
Figura 25. Trayectoria inversa de los rayos ubicados desde Playa Miramar a una
profundidad de 9.1 m y para un período de ola de T= 3.6 s. El intervalo de
frecuencias considerados (0.033 Hz - 0.273 Hz) varía 0.01 Hz y con 0.5° de
resolución angular. ......................................................................................... 70
Figura 26. Función inversa de dirección en el área de estudio (los contornos indican
las direcciones del oleaje de aguas profundas), con un incremento en
dirección de 0.5° y en frecuencia de 0.01 Hz. En (a), olas con = 0.173 Hz y
= 100° arriban a la playa con = 116°; en (b), para ésta misma frecuencia
olas con
= 73° llegan con = 77°; en (c), oleaje con = 0.093 Hz y
= 70°
puede arribar con las direcciones respectivas de : 58°, 62°, 82° y 103°. Los
puntos color magenta indican la zona de sombra. .......................................... 72
Figura 27. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m 2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un valor de la
mediana de la rapidez del viento de 6.2 ms-1 (42002A). Los puntos color
magenta indican la zona de sombra. .............................................................. 76
Figura 28. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m 2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de JONSWAP
vii
con un valor de la mediana
Lista de Figuras
de la rapidez del viento de 6.2 ms-1 (42002A). Los puntos color magenta
indican la zona de sombra. ............................................................................. 77
Figura 29. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m 2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un valor de la
mediana de la rapidez del viento de 4 ms-1 (calma). Los puntos color magenta
indican la zona de sombra. ............................................................................. 79
Figura 30. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m 2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de JONSWAP
con un valor de la mediana
de la rapidez del viento de 4 ms-1 (calma). Los puntos color magenta indican la
zona de sombra. ............................................................................................. 80
Figura 31. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m 2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un valor del
25% máximo de la rapidez del viento 18 ms-1 (frente frío). Los puntos color
magenta indican la zona de sombra. .............................................................. 82
Figura 32. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m 2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de JONSWAP
con un valor del 25% máximo
de la rapidez del viento 18 ms-1 (frente frío). Los puntos color magenta indican
la zona de sombra. ......................................................................................... 83
Figura 33. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m 2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un valor del
25% máximo de la rapidez del viento 19 ms-1 (tormenta). Los puntos color
magenta indican la zona de sombra. .............................................................. 84
Figura 34. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m 2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de JONSWAP
viii
con un valor del 25%
Lista de Figuras
máximo de la rapidez del viento 19 ms-1 (tormenta). Los puntos color magenta
indican la zona de sombra. ............................................................................. 85
Figura 35. Rosas del oleaje en las boyas virtuales (Buoyweather) ubicadas en la
costa de Tamaulipas (Boya virtual 14-16), para los parámetros de dirección (°)
y período del oleaje (T). .................................................................................. 87
Figura 36. Direcciones y frecuencias obtenidas de las boyas virtuales (Buoyweather)
cercanas a Playa Miramar (los contornos representan la densidad espectral
del oleaje en m2/Hz) para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un valor de la mediana de la rapidez del viento de 6.2 ms-1
(42002A). Los puntos color magenta indican la zona de sombra. .................. 89
Figura 37. Direcciones y frecuencias obtenidas de las boyas virtuales (Buoyweather)
cercanas a Playa Miramar (los contornos representan la densidad espectral
del oleaje en m2/Hz) para el espectro en frecuencia de JONSWAP
con
un valor de la mediana de la rapidez del viento de 6.2 ms-1 (42002A). Los
puntos color magenta indican la zona de sombra. .......................................... 90
ix
Lista de Tablas
Lista de Tablas
Tabla 1. Condiciones que establece Wilson (1966) para calcular el diferencial
Donde
es la longitud de la onda en aguas profundas y
.
es el factor de
escala. ............................................................................................................ 20
Tabla 2. Parámetros que miden las boyas oceanográficas NDBC en aguas
profundas. ....................................................................................................... 26
Tabla 3. Información de las tres boyas oceanográficas de la NDBC ubicadas frente a
la costa de Tamaulipas. .................................................................................. 28
Tabla 4. Parámetros que registran las boyas virtuales (Buoyweather) distribuidas a lo
largo de la costa de Tamaulipas. .................................................................... 29
Tabla 5. Intervalos de direcciones e intensidades de las condiciones de calma, frente
frío y tormenta (convención meteorológica, de donde proviene el viento a partir
del norte verdadero 0° N)................................................................................ 33
Tabla 6. Valores máximos, mediana y promedios de los histogramas
y sus
respectivos porcentajes de ocurrencia, para cada una de las boyas
oceanográficas (NDBC). ................................................................................. 44
Tabla 7. Valores de intensidad del viento máximo y los correspondientes a la
mediana para las diferentes condiciones del viento en los tres sitios ubicados
frente a la costa de Tamaulipas. ..................................................................... 47
Tabla 8. Para valores de la mediana y 25% máximos de la rapidez del viento se
indican algunos parámetros obtenidos de los espectros de frecuencia teóricos.
........................................................................................................................ 54
Tabla 9. Intervalos de frecuencias obtenidos de las boyas oceanográficas (NDBC)
ubicadas frente a la costa de Tamaulipas....................................................... 55
Tabla 10. Parámetros del oleaje obtenidos de las boyas virtuales (Buoyweather)
cercanas a Playa Miramar. ............................................................................. 88
x
Glosario
Glosario
Aguas profundas: Zona del océano donde el oleaje no es afectado por el gradiente
de profundidad (
).
Aguas someras: Zona de la costa donde la profundidad del agua es muy pequeña
en comparación con la longitud de onda (
).
Bajo submarino: Es una montaña que surge desde el fondo del mar hasta cerca de
la superficie.
Difracción: Variación de la amplitud a lo largo de un tren de olas causada por
obstáculos naturales o artificiales.
Disipación: Pérdida de energía de la ola por el rompimiento parcial o total durante su
propagación.
Dispersión: Expresión matemática que indica la dependencia funcional de la
frecuencia en radianes con respecto al número de onda. Las olas con longitud de
onda relativamente corta, viajan con una rapidez de fase menor que aquéllas con
una longitud de onda relativamente larga, por lo que ocurre una separación en
distancia (dispersión) a lo largo de su dirección de propagación.
Espectro de energía: Representación gráfica de la distribución de la energía del
oleaje, que puede ser expresada en función de la frecuencia o en función de la
frecuencia y dirección de propagación.
Estimador de máxima verosimilitud: Método para estimar parámetros estadísticos
entre los límites máximos y mínimos de confiabilidad.
xi
Glosario
Fetch: Se refiere a una distancia o a una superficie sobre el mar donde el viento no
presenta un cambio significativo en dirección.
Flujo irrotacional: Cuando el rotacional del campo de velocidad es nulo y por
consiguiente el campo de flujo sigue una trayectoria circular.
Olas: Ondas generadas por el viento o a causa de perturbaciones atmosféricas como
son las tormentas tropicales y los huracanes.
Oleaje distante: Término que se utiliza para denotar al oleaje que ha salido de la
zona de generación y ya no es afectado por el forzamiento del viento. Tiene períodos
característicos entre 5 s y 30 s (0.200 Hz – 0.033 Hz).
Oleaje local: Se refiere a las olas que se encuentran bajo el forzamiento del viento.
Los períodos típicos son entre 0.2 s y 9 s (5.0 Hz – 0.111Hz).
Oleaje completamente desarrollado: Cuando en el proceso de generación del
oleaje, se alcanza un equilibrio entre la energía que proporciona el viento para el
crecimiento de las olas y la energía disipada por la rotura de éstas.
Ortogonal: Es una línea perpendicular al frente de onda en cualquier punto del
frente. En el oleaje, la dirección de la velocidad de grupo coincide con la dirección de
la ortogonal.
Rayo: Es una línea que tiene como tangente a la velocidad de grupo en cualquier
punto de la curva y representa la trayectoria a lo largo de la cual viaja la energía de la
onda.
Reflexión: Regreso de las olas cuando chocan con una barrera natural o artificial.
xii
Glosario
Refracción: Cambio en la dirección de propagación del oleaje debido a una variación
en la velocidad causada por una profundidad variable.
Refracción inversa: Método que consiste en el trazo de rayos desde un punto fijo
ubicado en aguas someras hacia aguas profundas.
Simulación numérica: Implementación de un modelo matemático para simular
fenómenos físicos.
Someramiento: Cambio en el perfil de la ola, causado por la disminución en su
velocidad al pasar de aguas profundas a aguas someras.
Transformación del oleaje: Modificaciones en los parámetros que definen al oleaje
durante su propagación a causa de la refracción, difracción, reflexión y disipación de
energía con el fondo y en la superficie del agua.
Tren o frente de onda: Curva con fase constante.
Zona de sombra: Zona donde no se propaga el oleaje en ciertas frecuencias debido
a la presencia de rasgos batimétricos como bajos submarinos que impiden su paso.
xiii
Contenido
Contenido
Página
Dedicatoria .................................................................................................................... i
Agradecimientos........................................................................................................... ii
Resumen ..................................................................................................................... iii
Abstract ....................................................................................................................... iv
Lista de Figuras ............................................................................................................ v
Lista de Tablas ............................................................................................................. x
Glosario ....................................................................................................................... xi
Introducción ................................................................................................................. 1
1. Antecedentes .......................................................................................................... 1
1.1. Planteamiento del Problema ............................................................................. 2
1.2. Descripción del Área de Estudio ....................................................................... 3
2. Marco Teórico ......................................................................................................... 6
2.1. Funciones de Distribución para Datos Medidos ................................................ 8
2.1.1. Distribución de probabilidad de Weibull. ..................................................... 8
2.1.2. Distribución de probabilidad de Rayleigh. ................................................... 9
2.2. Refracción del Oleaje ........................................................................................ 9
2.2.1. Relación de dispersión. ............................................................................. 10
2.2.2. Solución numérica de la relación de dispersión. ....................................... 12
2.2.3. Criterio de refracción................................................................................. 14
2.2.4. Ecuaciones para la trayectoria de rayos. .................................................. 15
Contenido
2.3. Método Numérico para el Trazo de Rayos ...................................................... 18
2.3.1. Trazo inverso de rayos. ............................................................................ 20
2.4. Espectro de Energía del Oleaje ...................................................................... 21
2.4.1. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz. ........................................ 21
2.4.2. Espectro en frecuencia de JONSWAP...................................................... 23
2.4.3. Espectro direccional de energía del oleaje refractado. ............................. 24
3. Observaciones Disponibles ................................................................................... 26
3.1. Boyas Oceanográficas .................................................................................... 26
3.2. Boyas Virtuales ............................................................................................... 28
3.3. Cartas Náuticas Digitales ................................................................................ 30
4. Metodología........................................................................................................... 31
4.1. Procesamiento de Datos de Boyas Oceanográficas ....................................... 31
4.2. Procesamiento de Datos de Boyas Virtuales .................................................. 33
4.3. Digitalización de la Carta Náutica para la Costa Sur de Tamaulipas .............. 35
4.4. Trazo Inverso de Rayos .................................................................................. 37
4.5. Función Inversa de Dirección .......................................................................... 37
4.6. Espectro Direccional de Energía ..................................................................... 39
5. Resultados y Discusiones ..................................................................................... 41
5.1. El Estado del Mar Frente a la Costa de Tamaulipas ....................................... 41
5.1.1. Histogramas. ............................................................................................. 41
5.1.2. Rosas del viento. ...................................................................................... 44
5.1.3. Espectros de energía en frecuencia. ........................................................ 48
5.1.4. Sumario. ................................................................................................... 55
Contenido
5.2. Batimetría y Criterio de Refracción ................................................................. 55
5.2.1. Criterios utilizados para elegir el tamaño de malla.................................... 55
5.2.2. Método numérico para estimar la rapidez de fase del oleaje. ................... 60
5.2.3. Batimetría de prueba. ............................................................................... 61
5.2.4. Sumario. ................................................................................................... 65
5.3. Estudio Numérico de la Refracción Inversa del Oleaje ................................... 65
5.3.1. Trazo inverso de rayos en Playa Miramar. ............................................... 65
5.3.2. Función inversa de dirección. ................................................................... 71
5.3.3. Sumario. ................................................................................................... 74
5.4. Espectro Direccional de Energía del Oleaje Refractado ................................. 74
5.4.1. Espectro direccional en condiciones promedio. ........................................ 75
5.4.2. Espectro direccional en condiciones de calma. ........................................ 78
5.4.3. Espectro direccional en condiciones de frente frío y tormenta. ................. 81
5.4.4. Acotamiento para boyas virtuales. ............................................................ 86
5.4.5. Sumario. ................................................................................................... 91
5.5. Aplicación del Método Inverso en Playa Miramar ........................................... 92
6. Conclusiones ......................................................................................................... 95
7. Perspectivas .......................................................................................................... 97
Bibliografía ................................................................................................................ 98
Anexos .................................................................................................................... 108
Introducción
Introducción
1. Antecedentes
La primera metodología para estudiar la transformación del oleaje se desarrolló
durante la Segunda Guerra Mundial. El método se conoce como refracción hacia
delante o refracción tradicional y consiste en el trazo de ortogonales para un frente
de onda que se propaga desde mar abierto hasta la zona de rompiente, con base al
conocimiento adecuado de la batimetría de la zona de estudio. Una ortogonal es una
línea perpendicular al frente de onda que indica la dirección en la cual se propaga.
En el caso del oleaje, la dirección de la velocidad de grupo coincide con la dirección
de propagación de la ola y por ello la ortogonal representa la trayectoria a lo largo de
la cual viaja la energía del oleaje. Para realizar cálculos de la amplitud de la ola se
hace la suposición que el flujo de energía se conserva entre ortogonales adyacentes
(Dean y Dalrymple, 1992). En el uso de la refracción tradicional se tiene la
desventaja de calcular amplitudes excesivamente altas en zonas donde ortogonales
adyacentes convergen; y en zonas donde ortogonales adyacentes divergen, deja
amplias zonas sin que se pueda evaluar adecuadamente la energía del oleaje. Esta
desventaja se soluciona mediante la refracción inversa, que consiste en trazar
ortogonales o rayos en varias direcciones, desde un punto fijo en aguas someras
hasta aguas profundas. El cruzamiento de rayos adyacentes en la refracción inversa
está asociado a diferentes ángulos de incidencia del oleaje en aguas profundas y no
a una dirección particular como ocurre con la refracción tradicional. Es por ello que
en la refracción inversa se evitan los problemas asociados al cálculo de amplitudes
infinitas por el entrecruzamiento de rayos.
Por otra parte, la utilización de la refracción inversa es importante porque permite
estimar el espectro direccional del oleaje en un sitio o punto fijo. Esto se logra a
través del trazo inverso de rayos (refracción inversa) con lo cual se obtiene la función
inversa de dirección, y la utilización posterior de un espectro de frecuencias en mar
abierto en conjunto con la función inversa de dirección permite estimar el espectro
1
Introducción
direccional de energía. La refracción inversa del oleaje es una técnica muy adecuada
para conocer la energía del oleaje en sitios específicos que carecen de mediciones
sistemáticas del mismo. Podemos decir entonces, que la transformación del espectro
de frecuencias vía la función inversa de dirección, permite estimar el espectro
direccional de energía del oleaje refractado. En general, el estudio de la refracción
del oleaje en un sitio dado basado en el concepto de la refracción espectral se
considera más robusto que con la refracción tradicional (O’Reilly y Guza, 1991).
1.1. Planteamiento del Problema
En tiempos recientes en la costa tamaulipeca se ha estado construyendo
infraestructura costera como puertos y desarrollos turísticos e inmobiliarios. Para una
planificación adecuada de tal infraestructura se necesita conocer las condiciones del
oleaje que arriba con mayor energía al sitio de interés. El conocimiento del campo del
oleaje es útil para optimizar el manejo de los recursos costeros, lo cual beneficia a
toda la comunidad que realiza actividades económicas o recreativas propias de esas
regiones.
En Playa Miramar se conocen poco las características del oleaje que inciden con
mayor energía, al menos en cuanto a artículos científicos publicados. Dada la gran
importancia turística de Playa Miramar, surge la motivación de investigar de manera
puntual cuáles son las condiciones del oleaje que prevalecen en la zona de playa. En
éste trabajo de investigación, se realizó un estudio numérico de la transformación del
oleaje para caracterizarlo, utilizando el método inverso.
En contraposición a la solución numérica de la ecuación para el balance espectral de
energía, la ejecución del método inverso consume poco tiempo computacional y no
requiere demasiada memoria para dominios con escalas espaciales finas. Las playas
son en general vulnerables al oleaje distante y para cuantificar la energía con que el
oleaje puede incidir en Playa Miramar, resulta entonces adecuado utilizar el trazo
inverso de rayos ya que permitirá estimar el espectro direccional. La aplicación de
2
Introducción
esta técnica constituye una primera aproximación al estudio de la transformación
espectral del oleaje en Playa Miramar porque únicamente se considera el efecto de
refracción. Este trabajo es novedoso al no haberse aplicado con anterioridad el
método inverso al estudio de la transformación del oleaje en la costa del Sur de
Tamaulipas.
El objetivo del trabajo es estimar el espectro direccional del oleaje mediante el
método inverso (refracción inversa más el espectro direccional de energía) para
conocer las direcciones con las cuales el oleaje distante puede incidir con mayor
energía en Playa Miramar.
1.2. Descripción del Área de Estudio
Playa Miramar se localiza en la costa Sur del estado de Tamaulipas, entre las
latitudes Norte 22.25° y 22.28° y entre las longitudes Oeste 97.78° y 97.80° (Figura
1). La playa se extiende por diez kilómetros hacia el norte de la desembocadura del
río Pánuco, aunque la porción ocupada por la infraestructura turística se extiende por
cerca de cuatro kilómetros; el ancho de la playa es de casi 135 metros. En el área de
estudio la configuración batimétrica es irregular. Los rasgos sobresalientes son una
serie de bajos submarinos reportados por la Secretaría de Marina Armada de México
(SEMAR) en los años 1923 y 1926, y la National Oceanic and Atmospheric
Administration (NOAA) en 1928 y 1926.
3
Introducción
Figura 1. Zona de estudio localizada en la costa Sur de Tamaulipas (Playa Miramar).
Playa Miramar es un sitio con una afluencia turística del orden de 10,000 visitantes
durante la temporada alta. Además, es una zona bien conocida por sus recursos
costeros y en donde se pueden practicar actividades recreativas propias de la región.
A pesar de su gran importancia económica y social, se desconocen las
características del oleaje que inciden con mayor energía, al parecer no existen
mediciones del oleaje estadísticamente robustas, o los datos no son asequibles y
probablemente insuficientes. Entonces, es necesario realizar un estudio numérico de
la transformación del oleaje para caracterizarlo, a fin de contribuir al conocimiento de
las condiciones del oleaje que incide en Playa Miramar y también para coadyuvar al
proceso de certificación y desarrollo sustentable de la misma.
El único trabajo sobre el oleaje que al parecer se ha efectuado, corresponde a
Ramírez (2007), quien realizó un estudio numérico del oleaje en seis localidades de
la costa de Tamaulipas entre las cuales se encuentra Ciudad Madero, utilizando el
4
Introducción
modelo numérico de simulación del oleaje Wave Model (WAM). Para ejecutar el
programa implementó la batimetría de la base de datos global ETOPO2 y treinta
años de mediciones de viento obtenidos de las boyas meteorológicas del National
Center for Enviromental Prediction (NCEP), con resolución temporal de datos de seis
horas. Ramírez (2007) determinó que Playa Miramar es la región que presenta el
oleaje de menor energía, con una altura máxima promedio de 2.8 m. Además,
encontró que la energía del oleaje con mayor altura es proporcionada por los frentes
fríos y no por los huracanes y tormentas tropicales. Ramírez (2007) no proporcionó
información detallada acerca de lo valores de las direcciones y períodos del oleaje, a
pesar de que estos dos parámetros son variables muy importantes en los estudios de
propagación del oleaje.
5
Marco Teórico
2. Marco Teórico
Las características del oleaje generado por alguna tormenta lejana se modifican
conforme se propaga, desde la zona de generación hasta su disipación en la línea de
rompiente. El estado del arte en la transformación espectral del oleaje está dado por
la siguiente ecuación para el balance espectral de energía (Booij et al., 1999; Liu y
Xie, 2009),
(1)
donde
es la densidad de acción del oleaje
de energía del oleaje,
,
es el espectro
es la dirección de la ola con respecto al eje de referencia ,
es la frecuencia del oleaje,
,
propagación en los espacios , ,
,
y
son componentes de la velocidad de
y
respectivamente, y
es un término fuente
que representa los efectos de generación, disipación e interacciones alineales entre
olas. Existen varios programas y algoritmos diferentes para la solución numérica de
(1), por ejemplo, United Kingdom Model (UKMO) (Holt, 1994; Li y Holt, 2009),
Simulating Waves Nearshore (SWAN) (Booij et al., 1999) y WAVEWATCH-III
(Tolman et al., 2002).
Es aquí conveniente introducir el concepto de oleaje local y oleaje distante. El oleaje
local es la parte del estado del mar que se encuentra bajo el forzamiento del viento y
su energía es contenida en bajos períodos (0.25 s y 9 s), en tanto que en el oleaje
distante su energía se ubica en altos períodos (5 s y 30 s) y corresponde a la región
del mar en donde las olas salieron de la zona de generación y ya no son afectadas
por el forzamiento del viento. El oleaje distante es cuasilineal, es decir, la longitud de
onda es lo suficientemente grande para que prácticamente no haya disipación de
energía, lo cual permite a las olas viajar grandes distancias, del orden de una cuenca
oceánica.
6
Marco Teórico
La ecuación (1) permite la simulación numérica del oleaje local y distante. Así, la
evolución del espectro de energía a causa de la refracción, someramiento, difracción
y reflexión del oleaje distante se puede modelar considerando
en (1). A pesar
que la ecuación (1) lleva unos 15 años de amplio uso, todavía no hay consenso
respecto al entendimiento de la física de interacciones alineales, disipación y
especificación del campo de viento que se requieren para ejecutar tales modelos
(Cavaleri et al., 2007; Janssen, 2008).
La transformación espectral del oleaje distante se ha estimado de manera clásica
mediante el método inverso, es decir, mediante la refracción inversa y la utilización
de una función de transferencia con la cual es posible estimar el espectro direccional
refractado (LeMéhauté y Wang, 1982; O’Reilly y Guza, 1991, 1993 y 1998). El
método inverso es muy eficiente para un sistema estacionario porque habitualmente
no produce errores relacionados con una resolución espectral o geográfica
inadecuadas, ni con errores numéricos asociados a la truncación de términos en la
discretización de (1). Es por ello que los problemas relacionados con la exactitud
numérica son mínimos y la utilización de la refracción inversa es ideal para estudiar
la propagación del oleaje distante en distancias relativamente grandes (Cavaleri et
al., 2007), en la presencia de islas (Pawka et al., 1984; Ulloa, 1989), en
profundidades cercanas a la línea de rompiente (Frielich et al., 1990) y en la
presencia de corrientes de marea de baja intensidad (O’Reilly y Guza, 1993). Una
ventaja adicional es que tanto para batimetrías sencillas como complicadas la
refracción inversa provee resultados que se comparan razonablemente bien con
mediciones de campo (p.ej., Alves y Melo, 2001; Ray, 2003; Peak, 2004).
La utilización del trazo inverso de rayos es particularmente adecuado en regiones
costeras relativamente pequeñas donde la reflexión y la generación y disipación de
energía no son significativas, y también cuando se busca conocer la contribución del
oleaje distante al espectro direccional total a través de un esquema de propagación
exacto. No obstante, el trazo inverso de rayos también ha dado buenos resultados en
plataformas continentales amplias. Utilizando observaciones y un modelo de
7
Marco Teórico
refracción espectral, Hendrickson (1996) encontró que el oleaje distante de baja
energía,
con
una
amplitud
relativamente
pequeña,
no
es
amortiguado
significativamente en la ancha plataforma de Carolina del Norte. Las consideraciones
anteriores indican que es pertinente utilizar el método inverso como una primera
aproximación para estimar el espectro direccional del oleaje en una playa turística
económicamente importante, como es el caso de Playa Miramar, Tamaulipas.
2.1. Funciones de Distribución para Datos Medidos
2.1.1. Distribución de probabilidad de Weibull.
La distribución de frecuencia de la rapidez del viento ha sido representada por varias
funciones de densidad de probabilidad tales como gamma, lognormal, distribuciones
de Rayleigh y Weibull. Sin embargo, en los últimos años la distribución de Weibull ha
sido una de las más utilizadas para expresar la distribución de frecuencia de la
rapidez del viento (Akdag y Dinler, 2009). La función de densidad de probabilidad de
Weibull está dada por (Celik, 2003),
(2)
donde
es la función de densidad de probabilidad de Weibull,
rapidez del viento medida a una altura de 10 m arriba del nivel del mar (ms-1),
un factor de forma adimensional y
es la
es
es un parámetro de escala en unidades de la
rapidez del viento (ms-1).
Para estimar los parámetros de forma y escala de la distribución de Weibull se utiliza
el método de máxima verosimilitud, el cual es un método que se utiliza para
aproximar los parámetros estimados en estadística. Los parámetros son estimados
por estas dos ecuaciones (Akdag y Dinler, 2009; Seguro y Lambert, 2000),
8
Marco Teórico
(3)
(4)
donde
es la cantidad total de mediciones de la rapidez del viento. La ecuación (3)
requiere extensivos cálculos iterativos (suposición inicial del parámetro de forma
), mientras que la ecuación (4) puede ser resuelta explícitamente.
2.1.2. Distribución de probabilidad de Rayleigh.
El modelo de Rayleigh es un caso especial y simplificado de la distribución de
Weibull. Este se obtiene cuando el factor de forma
del modelo de Weibull se hace
la suposición de que es igual a 2. La distribución de probabilidad de Rayleigh
se expresa como (Celik, 2003):
(5)
donde
es la rapidez promedio del viento medida a una altura de 10 m arriba del
nivel del mar (ms-1).
2.2. Refracción del Oleaje
La propagación del oleaje es importante porque determina procesos litorales tales
como la erosión, acreción y el transporte de sedimentos en una dirección normal y
paralela a la playa. Además, influye decisivamente en la construcción de estructuras
costeras, puertos y en la planeación de canales de navegación. Las olas que entran
a una región somera desde el océano profundo, cambian su velocidad de fase, su
amplitud y su longitud de onda; su frecuencia se considera constante (Dean y
Dalrymple, 1992). Asimismo, la dirección de propagación del oleaje se modifica
9
Marco Teórico
gradualmente de manera que cuando se encuentra cerca de la línea de playa, un
tren de olas es casi paralelo a los contornos de profundidad.
El cambio en la dirección de propagación del oleaje es ocasionado por cambios de
profundidad y se conoce como refracción (Dean y Dalrymple, 1992). La refracción del
oleaje y los cambios en la altura de las olas son muy importantes porque influyen en
la cantidad de energía disponible para impulsar el movimiento de sedimentos a lo
largo de las playas y en la generación de corrientes de retorno.
La rapidez de fase de una ola cambia al variar la profundidad del medio donde se
propaga; ésta decrece al disminuir la profundidad y se incrementa cuando la
profundidad aumenta. La refracción es un proceso físico que cambia las
características del oleaje, es decir cuando el oleaje se propaga desde el océano
profundo hacia la costa, la interacción del oleaje con el fondo causa una disminución
en su rapidez de fase y como consecuencia su longitud de onda disminuye y su
altura aumenta, cuando éste pasa de un medio a otro de profundidad diferente. El
resultado es un cambio en la dirección de propagación del oleaje ocasionado por
cambios de profundidad. Tal cambio en la dirección, que se produce al pasar de
aguas profundas a aguas someras, puede variar entre 1° y 35° aproximadamente
(Pierson et al., 1955).
2.2.1. Relación de dispersión.
La relación de dispersión es dada por la teoría lineal del oleaje y se obtiene bajo las
consideraciones de un flujo irrotacional, ondas lineales, profundidad constante y que
no hay corrientes (Dean y Dalrymple, 1992). La relación de dispersión expresa la
dependencia entre
onda (
, la frecuencia angular de la ola (
), y , el número de
),
(6)
10
Marco Teórico
donde
es el período de la onda,
es la longitud de onda,
es la profundidad y
es
la aceleración de la gravedad.
La relación de dispersión implica que las olas se separan en distancia conforme se
propagan hacia la costa. Las olas con longitudes largas viajan más rápido que las
olas con longitudes más cortas. Entonces, si tenemos un grupo de olas de diferentes
longitudes propagándose fuera de la zona de generación, éstas tenderán a
separarse de acuerdo a sus diferentes longitudes, ya que irán viajando a diferentes
velocidades. Por lo cual las olas más largas llegarán primero a la costa (éstas
alcanzan y rebasan a las ondas que se generaron primero), seguidas por las olas
más pequeñas. Entonces, las ondas cuya frecuencia es función del número de onda
se conocen como ondas dispersivas.
De la ecuación (6) se pueden obtener dos casos límite. Uno de ellos se conoce como
aproximación de ondas cortas y es cuando
. En este caso,
y la
ecuación (6) se simplifica a:
(7)
Esta aproximación es válida cuando la profundidad del agua es mucho mayor que la
longitud de onda; y como implica que el fondo no afecta la propagación de las olas, la
zona del océano donde se propagan estas ondas se conoce como aguas profundas,
por ejemplo cuando
. Entonces, de aquí se puede considerar que la
profundidad a la cual el oleaje empieza a ser afectado por la pendiente del fondo
ocurre aproximadamente cuando
. Otra consideración importante es que en
los estudios del oleaje la profundidad del agua se define en términos de la longitud
de onda, esto es en términos de una profundidad relativa
, y por ello la zona de
aguas profundas será diferente para olas con longitudes de onda diferentes.
El segundo caso límite se conoce como aproximación de ondas largas y es cuando
. En este caso,
y la ecuación (6) puede representarse como
11
Marco Teórico
(8)
es decir,
, donde C es la rapidez de fase y por tanto las ondas son no
dispersivas. La región del océano donde se propagan estas ondas se conoce como
aguas someras e implica que la profundidad del agua es muy pequeña en
comparación con la longitud de onda (en la práctica
).
2.2.2. Solución numérica de la relación de dispersión.
El caso general es dado por ecuación (6) y dado que es una ecuación transcendente,
ésta se resuelve por métodos iterativos. Entre los métodos que mejores resultados
han dado se tienen las soluciones numéricas propuestas por Hunt (1979), Chen y
Thompson (1985), You (2008) y Soulsby (2006), los cuales expresan (6) de la
siguiente manera:
(9)
donde
y
son respectivamente, el número de onda y la
longitud de onda en aguas profundas.
El método de Hunt (1979) se basa en aproximaciones de series de Padé y es dado
por,
(10)
donde los seis coeficientes
,
son:
,
,
,
,
.
12
Marco Teórico
Chen y Thompson (1985) refinaron la solución explicita de Hunt (1979) corrigiendo
los coeficientes como,
,
,
,
,
y
.
El método de You (2008) se basa en el método de Newton-Raphson y resuelve la
relación de dispersión como:
(11)
donde
es la aproximación inicial dada por,
(12)
El método de Soulsby (2006) también se basa en el método de Newton-Raphson y
utiliza las expresiones siguientes,
(13)
donde
(14)
(15)
(16)
El programa de cómputo para resolver (6) utilizando el método de Soulsby (2006) se
describe en Wiberg y Sherwood (2008).
13
Marco Teórico
2.2.3. Criterio de refracción.
La teoría lineal del oleaje es válida cuando el fondo del mar es plano y para poder
utilizarla en una costa con fondo variable, es necesario suponer que los cambios en
la pendiente del fondo son lo suficientemente pequeños para considerarla como si
fuera plana. Para representar matemáticamente lo anterior, se ha definido un criterio
intuitivo que físicamente nos indica cuando se puede utilizar la teoría lineal del oleaje,
por ejemplo (Svendsen y Jonsson, 1982)
(17)
donde está implícito que la propagación del oleaje ocurre principalmente a lo largo
del eje .
Formalmente, es posible obtener analíticamente un criterio de validez para la
refracción del oleaje a partir de la Ecuación de la Pendiente Suave, que describe los
efectos combinados de la refracción y difracción del oleaje (Berkhoff, 1972; Radder,
1979),
(18)
donde
y
son la rapidez de fase y la velocidad de grupo de la ola,
la amplitud compleja de la superficie libre y
es
es el operador
gradiente en la horizontal.
Sea
una solución de la forma
mitad de la altura de la onda),
, donde
es la amplitud física (la
es el número de onda y
función de fase, ambos reales. El ángulo de fase es
la
, también real. Entonces,
14
Marco Teórico
realizando el álgebra correspondiente (Véase el Anexo A), se puede demostrar que
tal solución es válida cuando se satisface,
(19)
donde
es la pendiente local del fondo máxima y
es la pendiente local
máxima de la amplitud. La condición (19) implica una restricción sobre la pendiente
del fondo y sobre la pendiente de la amplitud de la onda (Jonsson, 1979; Skovgaard
y Jonsson, 1981). En la refracción inversa del oleaje no es de interés estimar la altura
de las olas a partir de la distancia de separación entre ortogonales adyacentes, y por
ello se puede considerar el criterio de refracción como
(20)
La condición (20) considera que las variaciones espaciales del campo de
profundidades
son pequeñas en comparación con las escalas de la ola
(Brampton, 1977; Graber et al., 1990). Para satisfacer (20) es necesario conocer la
batimetría y estimar
; lo último se basa en la solución numérica de la relación de
dispersión.
2.2.4. Ecuaciones para la trayectoria de rayos.
La trayectoria de un tren de ondas viajando sobre un fondo con profundidad variable
se rige por las ecuaciones de los rayos que a su vez provienen de una aproximación
de la óptica geométrica que resulta de la física de ondas cortas.
15
Marco Teórico
Figura 2. Esquema que muestra la trayectoria de un frente de onda ( ) (modificado
de Griswold, 1963).
Considera la propagación de un frente de onda
en la dirección de los rayos
y
(Figura 2). Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de los rayos con un ángulo
respecto al eje
es (Griswold, 1963),
(21a)
(21b)
donde
es una distancia infinitesimal a lo largo del rayo. La distancia que recorre el
frente de onda a una rapidez de fase
en un incremento de tiempo
es,
(22)
16
Marco Teórico
Si en el mismo intervalo de tiempo
aumenta una cantidad
en un frente de onda
, tenemos de la Figura 2 que:
(23)
Para incrementos muy pequeños en
y tomando el límite cuando
tiende a cero,
podemos expresar (23) como
(24)
Ya que
es una variable dependiente,
es un diferencial total. Al
substituir (22) en (24) se obtiene una derivada total ya que
y
,
(25)
la cual es la ecuación para la curvatura del rayo. La ecuación (25) describe la
curvatura del rayo; su dirección cambiará hacia la región de velocidad baja o,
equivalentemente, hacia profundidades menores. Desarrollando la derivada total
para
obtenemos,
(26)
donde
y
(Figura 2) de modo que (25) se convierte
en:
(27)
Para propósitos prácticos, (27) se calcula de acuerdo a Harrison y Wilson (1964),
17
Marco Teórico
(28)
en la cual,
Utilizando (6), la rapidez de fase es dada por
(29)
La ecuación (29) nos indica que la rapidez de fase varía con la profundidad y la
longitud de onda.
2.3. Método Numérico para el Trazo de Rayos
El algoritmo numérico de Wilson (1966) se basa en el método desarrollado por
Griswold (1963). La información de entrada que se requiere para ejecutar el
algoritmo numérico es la batimetría del área de estudio, una frecuencia inicial y la
posición inicial del rayo que se puede expresar como
La siguiente posición del rayo,
.
, se calcula como (Figura 3):
(30)
(31)
donde
es constante e igual a la mitad del intervalo de malla de la batimetría
(Griswold, 1963).
18
Marco Teórico
Figura 3. Sistema de coordenadas que emplea el método numérico (modificado de
Griswold, 1963 y de Ulloa, 1989).
Además,
(32)
(33)
donde
es la curvatura del rayo que se calcula de (28). Un ángulo nuevo se
obtiene simplemente como
En el algoritmo numérico de Wilson (1966),
.
se calcula mediante las condiciones
mostradas en la Tabla 1, la cual fue obtenida por Ulloa (1989) al analizar
directamente el programa de cómputo de Wilson (1966).
19
Marco Teórico
El incremento
depende de un factor de escala ( ), el cual es una distancia de una
unidad de la malla. Conforme el rayo se aleja de la costa,
aumenta, hasta media
unidad de la malla en donde no ocurre refracción.
Tabla 1. Condiciones que establece Wilson (1966) para calcular el diferencial
Donde
es la longitud de la onda en aguas profundas y
ZONA
.
es el factor de escala.
CONDICIÓN
Aguas profundas
El lector interesado, puede encontrar más detalle del algoritmo numérico de Wilson
(1966) en el trabajo de Ulloa (1989).
2.3.1. Trazo inverso de rayos.
Para conocer los ángulos de aproximación del oleaje a un punto fijo ubicado en
aguas someras se utiliza la refracción inversa, que consiste en trazar rayos en varios
ángulos, desde un punto fijo en aguas someras hasta mar abierto. El principio en que
se basa el trazo inverso de rayos se conoce como el principio de la reversibilidad de
la trayectoria de los rayos: la trayectoria inversa de un rayo, opuesta al ángulo de
aproximación de la ola, es idéntica a la trayectoria del rayo hacia adelante, es decir,
en el ángulo de aproximación de la misma ola (de aguas profundas a aguas
someras).
Los diagramas de refracción que se obtienen del trazo inverso de rayos se conocen
como diagrama en abanico. Estos proporcionan un rango de ángulos de incidencia
del oleaje que provienen de mar abierto, a partir de un conjunto de ángulos posibles
en aguas someras y del intervalo de frecuencia considerado. Con un conjunto de
diagramas en abanico se puede encontrar una representación gráfica de los
20
Marco Teórico
contornos de las direcciones de propagación del oleaje de aguas profundas que
arriban en aguas someras en función de la frecuencia. Para ello, sólo se requiere
convertir los ángulos de aproximación, para la ejecución del algoritmo numérico, en
direcciones acimutales.
2.4. Espectro de Energía del Oleaje
Las ondas oceánicas son aleatorias y se representan como la superposición de un
número infinito de ondas regulares (Pierson et al., 1955). Cada tren de ondas
presenta una frecuencia, amplitud y dirección de propagación diferente. La amplitud
de cada tren infinito de ondas es infinitesimalmente pequeña y la energía total del
oleaje es finita en proporción con la altura al cuadrado (Goda, 1997). La distribución
de energía de las ondas generadas por el viento (olas) se conoce como función de
densidad espectral direccional o simplemente espectro direccional del oleaje. Es
costumbre expresarla como
para indicar su dependencia de la frecuencia ( )
y dirección de propagación ( ).
2.4.1. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz.
Pierson y Moskowitz (1964) estudiaron los espectros de oleaje del Atlántico del Norte
y propusieron una expresión del espectro de energía que representa el estado del
mar en aguas profundas para un oleaje completamente desarrollado, basado en la
expresión obtenida por Kitaigorodskii a partir del análisis dimensional y en medidas
directas del oleaje. Es decir, su modelo depende únicamente de la intensidad del
viento. La descripción de un estado del mar con un oleaje completamente
desarrollado es dada por el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz (Pierson y
Moskowitz, 1964; Fréchot, 2006),
(34)
21
Marco Teórico
donde
oleaje,
es el espectro de energía del oleaje en frecuencia o espectro del
es la constante de Philips con un valor numérico de 0.0081, y
se
denomina máximo de la frecuencia espectral y se obtiene de,
(35)
donde
es la rapidez del viento (ms-1), medida a una altura de 10 m arriba del nivel
del mar. En la ecuación (34) se considera que el viento ha soplado durante varias
horas sobre un área relativamente grande sin cambio alguno y que el crecimiento del
oleaje es prácticamente nulo.
Las unidades del espectro de energía en la ecuación (34) son m2s o m2/Hz. Es
pertinente preguntarse por qué el espectro de energía no tiene unidades de energía.
La respuesta es un abuso en el lenguaje oceanográfico. Una breve explicación se da
a continuación. En la teoría lineal del oleaje, la varianza de la elevación de la
superficie libre es proporcional a la altura de la ola al cuadrado:
; la
densidad espectral de la varianza representa la distribución de la varianza sobre
intervalos de frecuencia y sus unidades son precisamente m2s o m2/Hz. Es
conceptualmente más adecuado expresar las unidades de la densidad espectral de
la varianza como m2/Hz porque se hace referencia a la frecuencia de la ola en lugar
de un intervalo de tiempo (Holthuijsen, 2007). Entonces, la ecuación (34) es en
realidad la densidad espectral de la varianza. Ahora bien, la densidad espectral de
energía o espectro de energía del oleaje, es estrictamente la densidad espectral de
la varianza multiplicada por el factor
, de tal manera que las unidades son J/m2Hz,
es decir, energía por área unitaria por frecuencia. El abuso del lenguaje está en
nombrar la densidad espectral de la varianza como densidad espectral de energía,
pero ¿a qué se debe esto? En la teoría del oleaje, la energía total de la ola es la
suma de la energía potencial y la energía cinética:
, y se acostumbra
denominarla densidad total de energía o simplemente densidad de energía. Dado
que, como se mencionó anteriormente, la varianza es proporcional a la altura de la
ola al cuadrado, entonces la densidad de energía es proporcional a la varianza:
22
Marco Teórico
, y las unidades son J/m2, es decir, energía por área unitaria. Aquí es
importante resaltar que en Oceanografía, la energía se trabaja por área unitaria, es
algo que se da por enterado y coloquialmente no se menciona. El abuso del lenguaje
consiste en que al ser la densidad espectral de la varianza y la densidad de energía
ambas proporcionales a la altura al cuadrado, se llame entonces a la densidad
espectral de la varianza como densidad espectral de energía, espectro de energía
del oleaje o simplemente espectro del oleaje.
2.4.2. Espectro en frecuencia de JONSWAP.
Para un mar con alcance limitado en donde el crecimiento del oleaje es continuo
(mares con un alcance del viento menor), la descripción adecuada es dada por el
espectro de JONSWAP (Hasselmannet al., 1973),
(36)
El término
representa un factor de aumento del máximo espectral
que puede variar entre 1 y 7, y para ,
–
donde el parámetro
(37)
controla la amplitud del máximo espectral de acuerdo a,
si
si
y en donde los parámetros típicos para calcular
la constante
(38)
son los siguientes: en lugar de
en (34) se utiliza,
(39)
23
Marco Teórico
y en lugar de
en (35) se usa,
(40)
En las ecuaciones (39) y (40),
es el alcance limitado del viento en metros. Notar
que en el espectro de Pierson-Moskowitz
que en el espectro JONSWAP
depende únicamente de
es función de
y de
, mientras
. Para propósitos
comparativos entre estos dos espectros, en el trabajo presente se igualan las
ecuaciones (35) y (40) de manera que el alcance del viento que se utiliza para el
espectro JONSWAP es,
(41)
con lo cual es posible comparar los espectros de Pierson-Moskowitz y JONSWAP
con la misma
.
2.4.3. Espectro direccional de energía del oleaje refractado.
Los espectros direccionales del oleaje refractado proveen la descripción completa de
un determinado estado del mar y además son útiles para los cálculos de la
transformación del oleaje cuando éste se propaga hacia la costa. El espectro
direccional del oleaje refractado en un sitio ubicado en aguas someras se puede
estimar como (LeMéhauté y Wang, 1982)
(42)
En la ecuación (42) las variables con subíndice
someras mientras que las variables con subíndice
indican una evaluación en aguas
consideran una evaluación en
24
Marco Teórico
aguas profundas; donde
es la velocidad de grupo y
es la función inversa
de dirección. La ecuación (42) transforma un espectro de energía en el dominio de
las frecuencias para aguas profundas
someras
, en un espectro direccional en aguas
a través de la función inversa de dirección
que se
obtiene del trazo inverso de rayos. Un resumen del fundamento físico de (42) es
dado en el Anexo B.
El factor constante
, se puede expresar de la siguiente manera
(43)
En (42), el término
se puede descomponer como,
(44)
donde
se normaliza de manera que,
(45)
El espectro direccional del oleaje representa la distribución de la varianza sobre
bandas de frecuencia y de dirección. Las unidades de las bandas de frecuencia son
Hz y las bandas de dirección, aunque son adimensionales, sus unidades son
radianes o grados (Holthuijsen, 2007). Entonces, las unidades del espectro
direccional del oleaje son: m2/Hz/grado. Abusando del lenguaje, en Oceanografía se
acostumbra nombrar al espectro direccional del oleaje indistintamente como espectro
direccional de energía.
25
Observaciones Disponibles
3. Observaciones Disponibles
3.1. Boyas Oceanográficas
Las boyas que mantiene el programa estadounidense National Data Buoy Center
(NDBC) tienen la capacidad de realizar una gran variedad de mediciones
meteorológicas y oceanográficas (Tabla 2), las cuales son de acceso público
(http://www.ndbc.noaa.gov). Las boyas utilizan anemómetros para registrar cada
hora los parámetros del viento; estos son las mediciones más importantes realizadas
por las boyas NDBC, porque son esenciales para los pronósticos del tiempo marino
(NDBC, 2009).
Tabla 2. Parámetros que miden las boyas oceanográficas NDBC en aguas
profundas.
Parámetro
Identificador
Presión
atmosférica
BARO
Dirección del
viento
Rapidez del viento
Máxima rapidez del
viento
Temperatura del
aire y agua
Período de la ola
promedio
Período dominante
de la ola
Altura significante
de la ola
WDIR
WSPD
GUST
ATMP-WTMP
AVGPD
DOMPD
WVHGT
Dirección del
oleaje
MWDIR
Nivel del agua
TIDE
Descripción
Su variabilidad en tiempo y espacio es de gran
importancia en el análisis de las cartas
sinópticas meteorológicas y de predicción.
Es la dirección de la cual proviene el viento a
partir del norte verdadero (0° N).
Es un valor escalar promedio en (ms-1).
Es el valor máximo de la rapidez del viento
(ms-1).
Son las mediciones de la temperatura en
grados Celsius (°).
Corresponde al cociente entre la frecuencia de
la ola y el espectro del oleaje en área iguales
(ms-1).
Es el período que corresponde a la máxima
frecuencia espectral (s).
Es
determinada
de
la
varianza
del
desplazamiento del espectro (m).
Es la dirección de la cual proviene el oleaje en
el período dominante a partir del norte
verdadero (0° N).
Es el promedio de la altura mínima de la marea
en bajamar observada durante el día ( ).
En la Figura 4 se observa la ubicación de las tres boyas oceanográficas que
mantiene la NDBC frente a la costa de Tamaulipas. En donde se utilizó la
26
Observaciones Disponibles
información del viento (rapidez y dirección), más de treinta años de mediciones para
la boya 42002A (1972-2007) que se encuentra frente a la costa Norte de Tamaulipas;
la estación 42002B (2008-2010) fue reinstalada en el año 2008, y cinco años de la
boya 42055 (2005-2010) ya que ésta última no cuenta con mayor información, la cual
se encuentra aproximadamente frente a la costa Sur de Tamaulipas.
Figura 4. Boyas oceanográficas (NDBC), ubicadas frente a la costa Norte de
Tamaulipas.
La Tabla 3 presenta información concerniente a los tres sitios de interés: la ubicación
y el número total de registros de los parámetros de viento en los períodos referidos
anteriormente.
27
Observaciones Disponibles
Tabla 3. Información de las tres boyas oceanográficas de la NDBC ubicadas frente a
la costa de Tamaulipas.
Boyas
Total de
Profundidad
registros
del fondo (m)
Posición
National
42002A
257888
3315
25.16° N 94.41° O
Data Buoy
42002B
21210
3566
25.78° N 93.65° O
Center
42055
41442
3380
22.01° N 94.33° O
3.2. Boyas Virtuales
Las boyas virtuales son resultados del modelo numérico WAVEWATCH-III
(desarrollado
por
la
NOAA)
para
una
latitud
y
longitud
dadas
(http://buoyweather.com). La información que proporcionan las boyas virtuales que
se encuentran distribuidas a lo largo de la costa de Tamaulipas se describen en la
Tabla 4. Dicha información no es gratuita.
Para obtener resultados confiables de los estudios de refracción se necesita contar
con al menos un año de mediciones continuas en una posición fija, por lo cual se
realizó el pago de ésta información para tener acceso al archivo histórico de datos. El
archivo histórico proporciona información cada tres horas desde el año de 1997
hasta la actualidad. En este trabajo sólo se han analizado los primeros dos años de
los datos de tres boyas virtuales (BV 14-16) que se encuentran más cercanas a
Playa Miramar (Figura 5). De acuerdo al manual de WAVEWATCH-III, la dirección
del máximo espectral se define como la dirección promedio de la ola, la cual sigue la
convención meteorológica, es decir, la dirección de donde vienen las olas.
28
Observaciones Disponibles
Tabla 4. Parámetros que registran las boyas virtuales (Buoyweather) distribuidas a lo
largo de la costa de Tamaulipas.
Parámetro
Altura
significante de la
ola
Período del
máximo espectral
de la ola
Dirección del
máximo espectral
de la ola
Rapidez del
viento
Dirección del
viento
Descripción
El valor promedio del tercio de mayor altura de la
distribución de las olas ( ).
El intervalo de tiempo en trasladarse las crestas de las
olas por un punto fijo ( ).
La dirección del oleaje con la máxima densidad espectral
( , convención meteorológica, es decir, de donde vienen
las olas.)
Es el valor máximo de la rapidez del viento (
).
Es la dirección de la cual proviene el viento medida en
relación al norte verdadero (0° N).
Figura 5. Localización de las boyas virtuales (Buoyweather) a lo largo de la costa de
Tamaulipas.
29
Observaciones Disponibles
3.3. Cartas Náuticas Digitales
La batimetría de la zona de estudio se obtuvo a partir de las cartas náuticas que
elabora la SEMAR (SM-700 y SM-722) y las correspondientes digitales en formato
TIF (28320 y 28330) que elabora la NOAA. Las cartas náuticas son útiles para
verificar el cumplimiento del criterio de refracción, además que la batimetría se
requiere como información de entrada para efectuar la refracción inversa del oleaje.
Las cartas de la NOAA muestran profundidades que varían desde 2 m hasta 3000 m.
Los rasgos sobresalientes son tres bajos submarinos con profundidades de 47 m, 10
m y 25 m, respectivamente. Tales bajos se han etiquetado como Bajo 1, Bajo 2 y
Bajo 3; los dos primeros fueron reportados en 1928 y 1926 frente a Playa Miramar
(véase Figura 18).
Las cartas náuticas de la SEMAR muestran profundidades mínimas de 5 m y las
máximas de 700 m, aproximadamente. Estas cartas son útiles para verificar los bajos
que se reportaron en las cartas de la NOAA, los cuales fueron registrados por la
SEMAR en los años 1923 (47 m) y 1926 (9 m). En el presente trabajo se han
utilizado las cartas de la NOAA debido a que proporcionan la información batimétrica
digital más reciente de la costa Sur de Tamaulipas.
30
Metodología
4. Metodología
4.1. Procesamiento de Datos de Boyas Oceanográficas
En la Figura 6 se observa el diagrama de flujo que esquematiza el programa
desarrollado en MATLAB para el tratamiento de los parámetros del viento (rapidez y
dirección), obtenidos de la información registrada por los tres sitios de interés (boyas
NDBC), ubicados frente a la costa de Tamaulipas.
El procedimiento consiste primero en realizar una lectura de las variables de
dirección y rapidez del viento (convención meteorológica) de la base de datos original
de cada boya a través de un programa desarrollado en MATLAB. Luego el programa
identifica valores que se consideran como poco confiables (99 en rapidez y 999
dirección del viento), es decir, períodos donde no se realizaron mediciones de
algunos de los parámetros de interés, posiblemente por mantenimiento de las boyas
oceanográficas, por lo que se realiza una depuración de estos valores poco
confiables. Se eliminó un 3% del total de datos de rapidez y dirección del viento de la
base de datos original de la boya 42002A, y casi un 50% en la boya 42055, mientras
que la boya 42002B generó el 100% de valores confiables, por lo cual se empleó en
su totalidad los datos de estas variables del viento.
31
Metodología
Figura 6. Diagrama de flujo del programa desarrollado en MATLAB para el
procesamiento de las mediciones del viento hechas por la boyas oceanográficas que
administra la NDBC frente a la costa de Tamaulipas.
Posteriormente, se utilizan los datos depurados de la rapidez y dirección del viento
de las tres boyas oceanográficas y se aplican a cada boya los criterios de los
intervalos de direcciones e intensidades para las condiciones de calma, frente frío y
tormenta (Tabla 5). Finalmente, se visualizan a través de las rosas del viento.
32
Metodología
Tabla 5. Intervalos de direcciones e intensidades de las condiciones de calma, frente
frío y tormenta (convención meteorológica, de donde proviene el viento a partir del
norte verdadero 0° N).
CONDICIÓN
Calma
Frente frío
Tormenta
La clasificación de los intervalos de intensidades y direcciones del viento que se usan
para las tres condiciones (calma, frente frío y tormenta,) se basa en la información
proporcionada en dos diferentes portales Web: http://smn.cna.gob para frentes fríos;
y http://weather.unisys.com para depresiones, tormentas tropicales y huracanes. En
éste trabajo se englobó en condiciones de tormenta a las correspondientes para
depresiones tropicales, tormentas tropicales y huracanes.
Por otro lado, los valores de la rapidez del viento de las tres boyas también se
visualizan por medio de histogramas de frecuencia, a los cuales se les ajusta las
curvas de distribución de probabilidad de Weibull y Rayleigh. El ajuste se obtiene a
través de funciones intrínsecas de MATLAB, las cuales consideran estimadores de
máxima verosimilitud con un intervalo de confianza del 95% para los parámetros que
definen ambas distribuciones.
4.2. Procesamiento de Datos de Boyas Virtuales
La Figura 7 ilustra la metodología a seguir para la obtención de la información de las
boyas virtuales (Buoyweather). La Figura 7 también muestra el diagrama de flujo a
partir del cual se desarrolló un programa de cómputo (MATLAB) para obtener los
parámetros del oleaje (período dominante y dirección promedio de la ola).
33
Metodología
La obtención de la información de las boyas virtuales consiste primero en la
selección de las boyas que se encuentran cercanas a Playa Miramar (BV 14-16).
Luego se indica la posición y período de la boya de interés. Posteriormente el portal
Web muestra la información y nos permite guardarla en formato ASCII. El sistema
operativo LINUX contiene un editor de texto (Vi), el cual permite modificar
información en formato ASCII, que a su vez es compatible con MATLAB. Después se
realizó un programa en MATLAB para visualizar los datos de oleaje por medio de las
rosas del oleaje y así obtener la información de interés.
Figura 7. Diagrama de flujo para la obtención de los datos de las boyas virtuales de
interés y del programa desarrollado en MATLAB.
34
Metodología
4.3. Digitalización de la Carta Náutica para la Costa Sur de Tamaulipas
La batimetría de las cartas náuticas que elabora la NOAA (profundidades y línea de
costa) se digitalizan vía un programa de cómputo escrito en el lenguaje de alto nivel
de MATLAB (Figura 8). El procedimiento de digitalizar consiste en visualizar la carta
náutica en el monitor de la computadora y luego colocar el cursor sobre la línea de
costa o en una profundidad para obtener las coordenadas de cada punto de forma
automática por medio del ratón, las cuales se grafican sobre la carta náutica y se
almacenan como un par caracteres ASCII en las unidades del sistema de referencia
de MATLAB. Cada coordenada se almacena como constante de punto flotante. El
valor numérico de cada profundidad se proporciona tecleándola en la interfaz gráfica
de MATLAB.
35
Metodología
Figura 8. Diagrama de flujo que indica el programa desarrollado en MATLAB para la
digitalización de la costa Sur de Tamaulipas.
Posteriormente se realiza una traslación de ejes, del sistema de referencia de
MATLAB al sistema de referencia de la carta náutica digital, y una conversión de
unidades, de las unidades digitalizadas (línea de costa y puntos batimétricos) a las
unidades geográficas en grados, minutos y segundos de Latitud Norte y Longitud
Oeste. Los datos de la línea de costa y los puntos batimétricos se almacenan en un
archivo y se grafican a través del MATLAB, para observar la distribución y densidad
de puntos batimétricos. La variación en la profundidad entre puntos batimétricos
adyacentes se aproxima con la función de interpolación del MATLAB (“griddata”): a
partir de una distribución irregular de puntos batimétricos se genera una malla regular
de profundidades. La malla se utiliza para la generación de los contornos de
profundidades (isobatas) también vía MATLAB.
36
Metodología
4.4. Trazo Inverso de Rayos
Desde un punto fijo situado en Playa Miramar a una profundidad de 9.1 m, se trazan
un número definido de rayos que varía entre 225 y 230. El espaciamiento angular
entre los rayos es constante, con incrementos de 0.5°. Las frecuencias del oleaje que
se consideran son:
(46)
donde
es la frecuencia de la ola en Hertz definida como
de la ola y
,
es el período
es un entero positivo que varía entre 0 y 24. De aquí entonces que el
intervalo de frecuencia considerado es (0.033 Hz - 0.273 Hz), esto es, períodos del
oleaje que varían en el intervalo (3.6
T
30.3) s. Estos intervalos corresponden al
oleaje local y distante. El sitio que se ha elegido para el trazo inverso de rayos se
encuentra relativamente cerca de la línea de rompiente y corresponde a una
profundidad aproximada donde el oleaje con un período de 3.6 s empieza a ser
afectado por la pendiente del fondo.
En el trazo inverso de los rayos es necesario observar la trayectoria individual de
cada rayo, ya que la irregularidad de la batimetría en la costa Sur de Tamaulipas
produce cambios notorios en su curvatura y el cruzamiento entre ellos mismos. A
partir de la información de los ángulos de incidencia del oleaje y las frecuencias
consideradas, se obtiene la función inversa de dirección, la cual es fundamental para
estimar el espectro direccional de las olas refractadas.
4.5. Función Inversa de Dirección
A partir de los ángulos de incidencia del oleaje en aguas profundas que se obtienen
de la aplicación del trazo inverso de rayos, se determina la función inversa de
dirección, la cual consiste en un diagrama de contornos de las direcciones del oleaje
en mar abierto,
, en función de las frecuencias consideradas (0.033 Hz - 0.273 Hz)
37
Metodología
y de las direcciones del oleaje en aguas someras,
, donde las direcciones se
refieren a aquellas de donde viene el oleaje. Este tipo de diagrama de contornos
representa una función de transferencia que se conoce como función inversa de
dirección y para visualizarlos se siguió la metodología que se muestra en la Figura 9.
Figura 9. Diagrama de flujo del programa desarrollado en MATLAB para obtener la
función inversa de dirección.
Siguiendo la Figura 9, se obtienen los ángulos de incidencia del oleaje por medio del
trazo inverso de rayos. Por consiguiente se tiene que realizar una transformación de
estos a direcciones del oleaje. Finalmente, se grafica la función inversa de dirección
a través del diagrama de contornos de las direcciones del oleaje en aguas profundas.
38
Metodología
4.6. Espectro Direccional de Energía
La Figura 10 esquematiza el programa de cómputo desarrollado en MATLAB para
obtener el espectro direccional del oleaje refractado en un punto fijo en aguas
someras. Para esto es necesario obtener el estado del mar en la representación de
los espectros de frecuencia de Pierson-Moskowitz y de JONSWAP en aguas
profundas, así como también de la función inversa de dirección normalizada. La
normalización se efectúa de acuerdo a la ecuación (45). Para una frecuencia fija, se
evalúa la integral con el método de Simpson y luego se determina que el área bajo la
curva sea igual a uno. Adicionalmente, se requiere determinar el factor constante de
la ecuación (43). Luego se grafica el espectro direccional del oleaje refractado para
conocer las direcciones con mayor energía que arriban al sitio de interés, para el
intervalo de frecuencia y dirección considerado.
39
Metodología
Figura 10. Diagrama de flujo del programa desarrollado para la estimación del
espectro direccional del oleaje refractado normalizado.
40
Resultados y Discusiones
5. Resultados y Discusiones
5.1. El Estado del Mar Frente a la Costa de Tamaulipas
5.1.1. Histogramas.
Para los valores de la rapidez del viento registrados en tres boyas oceanográficas
(42002A, 42002B y 42055), se construyeron los histogramas de frecuencia de
ocurrencia, utilizando un intervalo de clase de 1 ms-1, como se muestra en la Figura
11. La distribución de la rapidez del viento es comparada con las funciones de
probabilidad teóricas Weibull y Rayleigh. En la Figura 11 se observa que en todos
los casos la función de distribución de Weibull se ajusta mejor que la distribución de
Rayleigh al histograma de frecuencias de la rapidez del viento. Las dos curvas se
obtuvieron mediante estimadores de máxima verosimilitud a los parámetros que
definen ambas distribuciones con un intervalo de confianza del 95%, utilizando
funciones intrínsecas de MATLAB.
La distribución de Rayleigh se ajusta mejor a los histogramas cuando: a) su valor
promedio es más cercano al correspondiente de la distribución de Weibull; b) se
emplean una mayor cantidad de datos de viento, como es el caso de la boya 42002A
que corresponde a más de treinta años de mediciones (Figura 11a).
Notar que la distribución de Rayleigh es un caso particular de la función de
distribución de probabilidad de Weibull. Una característica importante en todos los
histogramas presentados es su distribución unimodal, la cual facilitó el ajuste de las
funciones de probabilidad teóricas.
En la Tabla 6 se presentan, para cada uno de estos histogramas, los valores de
máximos, mediana, promedio y sus respectivos porcentajes de ocurrencia. En
general, se encontró que el viento de máxima rapidez se registró en la boya 42002A
y es de 37.3 ms-1. En la boya 42002B la rapidez máxima fue 22.3 ms-1 y en la boya
41
Resultados y Discusiones
ubicada aproximadamente frente a la costa Sur de Tamaulipas, la 42055, la
intensidad máxima es 23.8 ms-1.
42
Resultados y Discusiones
(a)
(b)
(c)
Figura 11. Los paneles de (a)-(c) muestran los histogramas de frecuencia para la
rapidez del viento en cada boya NDBC. Las curvas continuas representan ajustes,
con 95% de confidencia, a las funciones de distribución de probabilidad de Weibull
(rojo) y Rayleigh (azul).
43
Resultados y Discusiones
Tabla 6. Valores máximos, mediana y promedios de los histogramas
y sus
respectivos porcentajes de ocurrencia, para cada una de las boyas oceanográficas
(NDBC).
Boya
Máximo Porcentaje Mediana Porcentaje Promedio Porcentaje
(ms-1)
(%)
(ms-1)
(%)
(ms-1)
(%)
42002A
37.3
0.1
6.2
12.9
6.3
12.9
42002B
22.3
0.1
7
12.8
7
12.8
42055
23.8
0.1
6.5
13.5
6.6
13.5
5.1.2. Rosas del viento.
En la Figura 12 se muestra las rosas del viento para los datos generales registrados
en las boyas 42002A, 42002B y 42055. En la Figura 12 se muestran las rosas del
viento de las tres diferentes condiciones del viento en las tres boyas 42002A, 42002B
y 42055, paneles a) tormenta, b) frente frío y, c) calma.
En la Figura 12 se observa que para la boya 42002A el 14% del viento que se
registró durante el período (1972-2007) proviene de la dirección Este-Sureste y el
viento que llega del Sureste, representa aproximadamente el 24%; mientras que los
valores de la máxima rapidez del viento (37.3 ms-1) y la correspondiente a la mediana
(6.2 ms-1) registradas por la boya provienen respectivamente del Noreste y SurSureste. En la boya 42002B se aprecia que las direcciones predominantes del viento
que se presentan durante (2008-2010) son Sureste (27%) y Sur-Sureste (21%), y los
valores máximo (22.3 ms-1) y la mediana (7 ms-1) de las intensidades del viento
registradas en la boya se generaron en las direcciones del Oeste y Sur,
respectivamente. Para la boya 42055 en el período (2005-2010), se identificó que el
45% del viento proviene del sector que cubre los cuadrantes Este y Este-Sureste.
Por otro lado la máxima rapidez del viento registrada en esta boya, 23.8 ms-1, fue
generada en la dirección de Sureste y el valor de la mediana del viento de 22.3 ms-1
44
Resultados y Discusiones
proviene de la misma dirección. Las rosas del viento mostraron que las direcciones
predominantes son del Sureste (42002) y Este-Sureste (42055) (Figura 12).
Figura 12. Rosas del viento para las boyas 42002A (período de 1972-2007), 42002B
(período de 2007-2010) y 42055 (período de 2005-2010). Los valores entre
paréntesis indican la cantidad de datos empleados.
El cambio direccional observado en las boyas 42002, ubicadas aproximadamente
frente a la costa Norte de Tamaulipas, respecto a la boya 42055, posiblemente se
debe a las variaciones estacionales del viento que proviene del Sureste durante el
verano y se dirige al Noreste durante el invierno (Figura 12). La dirección del viento
predominante mostrada en la boya 42055 es consistente con el análisis realizado por
Gutiérrez de Velasco y Winant (1996) en el Golfo de México.
Adicionalmente, en las boyas 42002A y 42002B se registraron un 3% y 42% de datos
de rapidez y dirección del viento que se consideraron como valores no confiables,
por lo que se tuvieron que eliminar del total de datos obtenidos en estas boyas. En
tanto que en la boya 42055 se utilizaron todos los datos de la rapidez y dirección del
viento que se encuentran actualmente disponibles.
45
Resultados y Discusiones
(a)
(b)
(c)
Figura 13. Los paneles muestran las rosas del viento para las boyas señaladas en
condición de (a) tormenta (b) frente frío y (c) calma. Los valores entre paréntesis
indican la cantidad de datos empleados.
46
Resultados y Discusiones
En las rosas generadas en condición de tormenta de las tres boyas (NDBC)
mostraron que el viento predominante proviene del Sureste (Figura 13a). Por otro
lado se determinó que la máxima intensidad 30.2 ms-1 para esta condición es
proveniente del Este-Noreste y fue medida por la boya 42002A.
En los tres sitios de interés (42002A, 42002B y 42055) se observó que la dirección
predominante del viento correspondiente a los frentes fríos proviene del Noreste y
Este-Noreste (Figura 13b). Asimismo, la máxima rapidez del viento 37.3 ms-1 fue
registrada en la boya 42002A y proviene del Noreste. En la Figura 13c, para la
condición de calma, se observó que el viento proviene de todas las direcciones, sin
embargo las direcciones del Sureste y Este-Sureste se presentan con mayor
frecuencia de ocurrencia, la cual varía entre 15% y 20%, respectivamente. Los
valores de las intensidades del viento obtenidos de la caracterización de las
condiciones de tormenta, frente frío y de calma se presentan en la Tabla 7. A partir
de la clasificación de los valores de intensidades del viento para condiciones de
tormentas, frentes fríos y de calmas, se obtuvo el estado del mar en la
representación de los espectros en frecuencia de Pierson-Moskowitz y de
JONSWAP.
Tabla 7. Valores de intensidad del viento máximo y los correspondientes a la
mediana para las diferentes condiciones del viento en los tres sitios ubicados frente a
la costa de Tamaulipas.
Condición
Máximo
25% Máximo Mediana
(ms-1)
(ms-1)
(ms-1)
Tormenta
37.3
19
11
Frente frío
30.2
18
9
Calma
5.5
4
4
47
Resultados y Discusiones
5.1.3. Espectros de energía en frecuencia.
Dentro de este apartado se incluyen los espectros de energía calculados a partir de
las ecuaciones (34) y (36). En las Figuras 14-17 se han representado las curvas de
crecimiento de la densidad espectral del oleaje (m2/Hz) en función de la rapidez del
viento
. Con el fin de realizar la comparación de resultados, se han igualado las
frecuencias del máximo espectral (35) y (40) del espectro de Pierson-Moskowitz y de
JONSWAP, respectivamente.
En las Figuras 14-17 se han graficado los espectros de Pierson-Moskowitz y
JONSWAP para intensidades de viento correspondientes a la mediana y 25%
máximo dentro de un intervalo de frecuencias de 0.033-0.273 Hz esto es, períodos
del oleaje que varían en el intervalo (3.6
T
30.3) s. Asimismo, se eligió la boya
42002A para representar el estado del mar en condiciones de la mediana de la
rapidez del viento dado que ésta boya es la que proporciona más de treinta años de
mediciones del viento.
48
Resultados y Discusiones
Figura 14. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
la mediana de la rapidez del viento
, para los valores de
obtenidos en la boya 42002A y las
condiciones de calma, frente frío y tormenta.
En las Figuras 14 y 15 se han representado las ecuaciones (34) y (35). En ellas se
aprecia el crecimiento de la densidad espectral del oleaje, en función de la rapidez
del viento
(4, 6.2, 9, 11, 18 y 19 ms-1). En estos gráficos se han incluido los
valores de la condición de calma, frente frío y tormenta. Asimismo, se ha graficado el
valor de la mediana de la rapidez del viento obtenido en la boya 42002A, debido a su
extendida base de datos (1972-2007).
En la Figura 14 se muestra que en condición de tormenta para el valor de la rapidez
del viento, 11 ms-1, la máxima densidad espectral es en el período de 8.8 s (0.113
Hz). En el caso del frente frío (9 ms-1), el máximo espectral del oleaje se ubica en 6.9
s (0.143 Hz). Mientras que para la boya 42002, la cual tiene un valor de la rapidez del
viento de 6.2 ms-1, la curva indica su máxima energía espectral en 4.9 s (0.203 Hz).
49
Resultados y Discusiones
Para calma 4 ms-1, la máxima energía del oleaje está en 3.6 s (0.273 Hz). Para los
valores de la mediana de la rapidez, la máxima energía es generada por las
tormentas. En la Figura 14 se observó que los espectros en frecuencia de PiersonMoskowitz para los valores de la mediana de la rapidez del viento, la máxima
densidad espectral del oleaje se transfiere hacia los períodos que caracterizan el
oleaje local.
Figura 15. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
25% máximo de la rapidez del viento
, para el valor del
para la condición de frente frío y tormenta.
En la Figura 15 se puede distinguir que en el valor del 25% máximo de la rapidez de
la condición de tormenta, 19 ms-1, la energía máxima del oleaje es en el período de
15.8 s (0.063 Hz) y en el correspondiente al frente frío (18 ms-1) se ubica en 13.6 s
(0.073 Hz).
El estado del mar en aguas profundas que puede generarse con los espectros en
frecuencia de Pierson-Moskowitz sugiere que, cuando los valores de la rapidez del
50
Resultados y Discusiones
viento aumentan, la energía del oleaje se transfiere hacia bajas frecuencias, esto es,
hacia los períodos que caracterizan el oleaje distante (Figura 15).
Figura 16. Espectro en frecuencia de JONSWAP
mediana de la rapidez del viento
, para los valores de la
obtenidos en la boya 42002A y las condiciones
de calma, frente frío y tormenta.
El espectro de JONSWAP (Figura 16), el cual ha sido deducido a partir de las
ecuaciones (36-41) asociadas en general a la rapidez y al alcance del viento,
generan la máxima densidad espectral en períodos similares a los determinados en
Pierson-Moskowitz. Las curvas correspondientes al espectro de JONSWAP están
asociadas a los valores de la mediana y los correspondientes al 25% máximo de la
rapidez del viento. Mientras que los valores del fetch se obtuvieron a través de la
ecuación (41).
Para el valor de 11 ms-1, que corresponde a la condición de tormenta se determinó
un fetch de 240000 m. Ahora bien que para el valor de intensidad del frente frío (9
51
Resultados y Discusiones
ms-1), se obtuvo un fetch de aproximadamente 161000 m. El valor de la mediana del
viento 6.2 ms-1 registrado en la boya 42002A estimó un fetch de 76000 m. El fetch de
31000 m se determinó a través de la rapidez del viento de 4 ms-1 que corresponde a
la condición de calma.
Figura 17. Espectro en frecuencia de JONSWAP
máximo de la rapidez del viento
, para el valor del 25%
para la condición de frente frío y tormenta.
Adicionalmente se observa en la Figura 17 que las curvas con mayor densidad
espectral determinan una longitud del fetch mayor (tormenta es 733000 m y frente
frio es 644000 m).
En la parte superior de las Figuras 16 y 17 se nota un pico más puntiagudo con
respecto al de Pierson-Moskowitz, la forma del pico indica un crecimiento en la
energía del oleaje y ésta es mayor para las intensidades de viento altas. Además al
aumentar el fetch (alcance del viento) la densidad espectral se incrementa (Figuras
16 y 17).
52
Resultados y Discusiones
En estos casos, como se aprecia en las Figuras 16 y 17, los espectros de
JONSWAP proporcionan valores de energía bastante más altos, aproximadamente el
70%, que los obtenidos a partir de los espectros de Pierson-Moskowitz (Figuras 14 y
15). Esto se puede justificar teniendo en cuenta que el espectro de JONSWAP
considera que en un estado del mar con alcance limitado del viento el oleaje se
encuentra en continuo crecimiento.
Los espectros en frecuencia de JONSWAP, proporcionaron una mayor densidad
espectral (oleaje en continuo crecimiento) con respecto al espectro de PiersonMoskowitz. Para los valores máximos de las intensidades del viento, el estado del
mar que se genera con mayor energía es proporcionada por las tormentas y no por
los frentes fríos. Esto es contrario a lo reportado por Ramírez (2007), quién encontró
que el oleaje de máxima energía es generado por los frentes fríos, especialmente en
los meses de enero y diciembre. Por otra parte, los espectros de energía que
muestran las pendientes más verticales sugieren un crecimiento rápido de la
densidad espectral del oleaje y los que producen las pendientes casi horizontales
indican que la energía aumenta con lentitud (Figura 14-17).
Un punto importante de discusión es que, ante la falta de mediciones sistemáticas
del oleaje en Playa Miramar, se ha elegido considerar todas direcciones posibles que
puede arribar este sitio en casi todo el intervalo de frecuencias que caracteriza al
oleaje para obtener los diagramas de refracción inversa, la función inversa de
dirección y los espectros direccionales del oleaje. No obstante, se puede definir un
criterio para seleccionar intervalos de frecuencia con base en la energía del oleaje,
por ejemplo, en función del porcentaje de energía espectral que generan los
espectros de energía teóricos. Para el caso de la boya 42002A, el intervalo de 0.123
Hz a 0.273 Hz (3.6 s a 8.1 s) corresponde al 77% de la densidad de energía
espectral del oleaje del espectro en frecuencia de JONSWAP con respecto al de
Pierson-Moskowitz.
53
Resultados y Discusiones
La Tabla 8 presenta los intervalos de frecuencias que pueden seleccionarse
teóricamente con los espectros de Pierson-Moskowitz y JONSWAP para las
diferentes condiciones del viento y la boya 42002A. Estos intervalos de frecuencia
son consistentes con mediciones del oleaje en mar abierto efectuadas por las tres
boyas de interés (42002A, 42002B y 42055) en aguas profundas (Tabla 9).
Tabla 8. Para valores de la mediana y 25% máximos de la rapidez del viento se
indican algunos parámetros obtenidos de los espectros de frecuencia teóricos.
Condición Mediana Máximo
y Boya
Tormenta
(ms-1)
(ms-1)
Frecuencia
espectral
(Hz)
Intervalo
Fetch
P-M
JONSWAP
de
(m)
(m2/Hz)
(m2/Hz)
frecuencia
(Hz)
11
-
0.113
240000
6.8
20.8
9
-
0.143
161000
2.5
8.2
Calma
4
-
0.273
31000
0.03
0.14
42002A
6.2
-
0.203
76000
0.38
1.2
Tormenta
-
19
0.063
733000
107.7
268.6
-
18
0.073
644000
79.6
245.6
Frente
frío
Frente
frío
54
0.0630.273
0.0830.273
0.1830.273
0.1230.273
0.0330.243
0.0230.263
Resultados y Discusiones
Tabla 9. Intervalos de frecuencias obtenidos de las boyas oceanográficas (NDBC)
ubicadas frente a la costa de Tamaulipas.
Boyas
Intervalo de frecuencia
NDBC
(Hz)
42002A
0.042-0.500
42002B
0.057-0.485
42055
0.037-0.485
5.1.4. Sumario.
La curva de distribución de Weibull se ajusta mejor que la distribución de Rayleigh al
histograma de frecuencias de la rapidez del viento. A partir de la clasificación de los
valores de intensidades del viento para condiciones de tormentas, frentes fríos, y
calmas, se obtuvo el estado del mar en la representación de los espectros en
frecuencia de Pierson-Moskowitz y de JONSWAP. Los valores de energía espectral
de JONSWAP son aproximadamente un 70% más altos que los valores que se
obtienen del espectro de Pierson-Moskowitz, esto se debe a que JONSWAP
considera un oleaje en continuo crecimiento. En los espectros de energía se
determinó que para los valores de intensidad máximo y los correspondientes a la
mediana para las diferentes condiciones del viento, la máxima energía del oleaje es
generada por las tormentas.
5.2. Batimetría y Criterio de Refracción
5.2.1. Criterios utilizados para elegir el tamaño de malla.
En la Figura 18 se muestra la batimetría de la costa Sur de Tamaulipas con una
resolución de malla de (0.001° N, 0.001° O) que equivale a (111 m, 102 m). En ésta
se observa que en la parte superior del área de estudio, entre la isobata de 10 m y la
línea de costa, se tienen una baja densidad de puntos batimétricos y también en
zonas cercanas a los bajos submarinos (Bajo 1, Bajo 2 y Bajo 3) prácticamente no se
55
Resultados y Discusiones
cuenta con información batimétrica. Los símbolos en la forma de cruces en las
Figuras 18 y 19 nos indican la distribución de las mediciones de profundidad (puntos
batimétricos) empleada para generar las isobatas para un rango de profundidades de
10 m – 1700 m.
56
Resultados y Discusiones
Figura 18. Batimetría de la zona de estudio comprendida entre las latitudes Norte
22.5° y 24.0° y entre las longitudes Oeste 96.8° y 98.0° con una discretización
espacial (111, 102) m. Los símbolos en la forma de cruces muestran la distribución
de las mediciones de profundidad (puntos batimétricos) empleada para generar las
isobatas. Los contornos representan las profundidades del fondo del mar (m).
La Figura 19 presenta los contornos de las profundidades en un área donde se
observan los bajos submarinos que se generan en la costa Sur de Tamaulipas. En la
57
Resultados y Discusiones
segunda opción se disminuyó la resolución de la malla (0.001° N, 0.001° O) para
obtener una mejor definición de los contornos en las zonas con cambios abruptos de
profundidad con respecto a la resolución de malla (0.01° N, 0.01° O), esto es, (1110
m, 1020 m) (Figura 19). El intervalo de malla debe ser lo más fino posible para
satisfacer el criterio de refracción y lo suficientemente grueso para no consumir
demasiado tiempo computacional.
58
Resultados y Discusiones
(a)
(b)
Figura 19. Área de la batimetría de la costa Sur de Tamaulipas comprendida entre
las latitudes Norte 22.2° y 22.6° y entre las longitudes Oeste 97.1° y 97.5° en una
malla con resolución de (a) (1110 m, 1020 m) y (b) (111, 102) m.
59
Resultados y Discusiones
5.2.2. Método numérico para estimar la rapidez de fase del oleaje.
La Figura 20 compara los errores relativos de las cuatro soluciones explicitas de los
métodos de Hunt (1979), Chen y Thompson (1985), You (2008) y Soulsby (2006). El
error relativo es
calculados y
, donde
son los valores
los dados o verdaderos.
Figura 20. Comparación de los errores relativos de cuatro soluciones de la relación
de dispersión.
El error relativo de la solución explicita de Chen y Thompson (1985) es de 0.2% y el
de You (2008) es menor que 0.01%. La aproximación de You (2008) mostró ser más
exacta que las soluciones de Hunt (1979), y Chen y Thompson (1985), sin embargo,
la mejor solución corresponde al método de Soulsby (2006) ya que presentó un error
relativo de 10-10.
60
Resultados y Discusiones
5.2.3. Batimetría de prueba.
La validez de los estudios de la propagación del oleaje (p. ej. refracción) depende de
la precisión en la batimetría a través del cumplimiento de la restricción física que nos
indique cuando se puede utilizar la teoría lineal del oleaje, además del intervalo de
malla y el método de interpolación de la batimetría. La desigualdad (20) establece un
criterio de validez para la refracción del oleaje pero no proporciona una cota
específica. Tal cota puede definirse si se considerará el caso que define aguas
profundas, en donde la profundidad a la cual el oleaje empieza a refractarse es dada
por
, lo cual puede también expresarse como
se utiliza como criterio para (20) un valor menor al 1% de
. En el presente trabajo
en aguas profundas. De
aquí que se puede relajar el criterio de refracción físicamente como:
, y si adicionalmente consideramos que la principal dirección de propagación del
oleaje es hacia la costa, también podemos definir el siguiente criterio de refracción:
.
En las Figuras 21 y 22 se prueba la validez de tales criterios para la batimetría de la
costa Sur de Tamaulipas, pero indicando las zonas donde no se cumplen. La zona
sombreada color magenta, localizada a una latitud aproximada de 22.3° en las
Figuras 21a y 22a, corresponde a un bajo submarino (Bajo 2) reportado en 1926 en
las cartas náuticas de la NOAA y SEMAR. Esto constituye una limitante de los
estudios de la refracción del oleaje en cuanto a que sean físicamente válidos en esta
zona. Al aplicar estos dos criterios en la batimetría de la costa Sur de Tamaulipas, se
observa un aumento relativo en las zonas donde es inválido aplicar la teoría lineal del
oleaje conforme se incrementa el período (Figuras 22 y 23). No obstante, se tienen
muchas zonas en donde tales criterios se pueden satisfacer, especialmente cerca de
la costa y para los períodos que caracterizan al oleaje distante (T= 30 s). El análisis
de los criterios de refracción en el área de estudio mostraron que, entre menor sea el
período de la ola (T= 4 s), se obtendrán relativamente menos zonas donde no se
pueden cumplir los criterios (Figura 21a y 22a).
.
61
Resultados y Discusiones
(a)
(b)
Figura 21. Batimetría de la zona de estudio con una resolución de (111, 102) m. Las
zonas en color magenta indican dónde no se satisface el criterio de refracción
(
) para T= 4 s y T= 30 s. Las isobatas de 10 m y 700 m indican el
inicio de la refracción para olas con un período de 3.6 s y 30 s, respectivamente. Los
contornos representan las profundidades del fondo del mar (m).
62
Resultados y Discusiones
(a)
(b)
Figura 22. Batimetría de la zona de estudio con una discretización espacial (111,
102) m. Las zonas sombreadas color magenta nos indican las zonas donde no se
satisface el criterio de refracción (
) para un período de ola de (T= 4
s y T= 30 s).
63
Resultados y Discusiones
Adicionalmente, en las Figuras 21b y 22b se observa que la batimetría presenta tres
zonas con bajos submarinos (Bajo 1, Bajo 2 y Bajo 3) ubicadas entre las latitudes
Norte 22.2° y 22.6° y entre las longitudes Oeste 97.2° y 97.4° que se encuentran
completamente sombreadas donde seguramente una mayor densidad de puntos no
será suficiente para satisfacer el criterio de refracción. Para satisfacer el criterio de
refracción en los bajos submarinos se requeriría una malla mucho más fina, lo cual
puede ser computacionalmente muy costoso en tiempo de CPU. Por consiguiente,
entre mayor es el período del oleaje (T= 25 s) la teoría de refracción es menos
confiable, lo cual también sugiere que hay que incluir los efectos de difracción en la
propagación del oleaje para estudiar las zonas de los bajos submarinos.
En general, se encontró que las causas que dificultan el cumplir tales criterios son: a)
la baja cantidad y densidad de mediciones batimétricas en el área de estudio; esto
dificulta la aplicación de alguna de las variantes del criterio de refracción; b) la
batimetría presenta zonas con cambios abruptos de profundidad (Bajo 1, Bajo 2 y
Bajo 3) donde seguramente una mayor densidad de puntos batimétricos permitiría
una mejor representación de los bajos submarinos, así como una mejor estimación
del gradiente de profundidad que mejoraría la evaluación del criterio de refracción; c)
el tamaño de la malla elegido (111 m, 102 m) puede ser demasiado grande, lo cual
hace que sean mayores las zonas donde no se satisface el criterio; d) los efectos de
difracción y disipación de energía son seguramente importantes en la zona de bajos
y tendrían que ser incluidos en la estimación del espectro de energía.
Se sugieren algunas soluciones, entre ellas se tiene que: a) utilización de submallas
en zonas donde no se satisface el criterio; b) buscar una manera de relajar el criterio
a partir de su formulación analítica; c) realizar mediciones batimétricas en las zonas
con baja cantidad y densidad de puntos batimétricos; y d) utilizar un tamaño de malla
más pequeño pero que permita una ejecución rápida del programa de refracción,
estando conscientes de las limitaciones que esto implica.
64
Resultados y Discusiones
Por otra parte, para validar los estudios de refracción se necesita realizar mediciones
del oleaje que sean estadísticamente robustas, es decir, contar con al menos un año
de mediciones continuas en una posición fija. Tales mediciones no existen para
Playa Miramar. Dado que no es fácil satisfacer el criterio de refracción, en general los
estudios de la refracción del oleaje basados en la óptica geométrica (teoría de rayos)
rara vez hacen mención de tal criterio.
5.2.4. Sumario.
El algoritmo numérico desarrollado por Soulsby (2006) para estimar la velocidad de
fase es el más adecuado pues tiene un error relativo de
. Por otro lado, el
criterio de refracción del oleaje no se puede satisfacer por completo debido: 1) la
insuficiencia en la cantidad y densidad de mediciones de la profundidad del fondo; 2)
la presencia del bajo submarino (Bajo 2); y 3) al intervalo de malla utilizado (111,
102) m.
5.3. Estudio Numérico de la Refracción Inversa del Oleaje
5.3.1. Trazo inverso de rayos en Playa Miramar.
Para una frecuencia dada, dentro del intervalo (0.033
f
0.273) Hz, se realiza el
trazo inverso de un conjunto de rayos espaciados 0.5° dentro de un rango de ángulos
de incidencia que se dirigen hacia mar abierto, todos partiendo desde un punto fijo en
Playa Miramar y finalizando en alguna profundidad en la zona de aguas profundas.
Los ángulos de incidencia se convierten posteriormente en direcciones, de manera
que el rayo indica la dirección de la cual puede provenir una ola que arriba a Playa
Miramar. Cada rayo corresponde a una dirección diferente, esto es, un grupo de olas
diferentes. Entonces, el trazo inverso de rayos nos permitirá identificar todas las
direcciones posibles del oleaje que pueden arribar a Playa Miramar.
65
Resultados y Discusiones
Se muestran dos gráficas (Figuras 23 y 25) que corresponden a los períodos
extremos del oleaje de 30.3 s y 3.6 s, respectivamente. Además, se muestra el
diagrama en abanico para un período intermedio (15.8 s) al rango anterior (Figura
24). Los diagramas en abanico muestran los cambios en dirección (curvatura) que
pueden sufrir los rayos que pueden incidir en Playa Miramar para una frecuencia
(período) específica (o).
66
Resultados y Discusiones
Figura 23. Trayectoria inversa de los rayos ubicados desde Playa Miramar a una
profundidad de 9.1 m y un período de ola de T= 30.3 s. El intervalo de frecuencias
considerados (0.033 Hz - 0.273 Hz) varía 0.01 Hz y con 0.5° de resolución angular.
En las Figuras 23 y 24 se observan las trayectorias individuales de dos rayos con
período de 30.3 s y 15.8 s, respectivamente. Por ejemplo, para el rayo con período
de 30.3 s (0.033 Hz) y
ola arriba a la playa con
= 27° tiene un cambio angular de 7°, lo cual sugiere que la
= 34°, en tanto que el segundo rayo con una dirección
67
Resultados y Discusiones
inicial de
abierto
= 121° presenta un cambio angular de 2° cuando se dirige hacia mar
= 119°. Estos valores se obtuvieron del archivo de datos donde se
almacenan las salidas del programa de refracción, luego de ser convertidos de
ángulos de incidencia
a direcciones de donde viene el oleaje
.
Figura 24. Trayectoria inversa de los rayos ubicados desde Playa Miramar a una
profundidad de 9.1 m y para un período de ola de T= 15.8 s.
68
Resultados y Discusiones
En el segundo caso (Figuras 24), para el período de 15.8 s (0.063 Hz) y
= 24°, el
rayo incide en la playa con un ángulo de = 38° y, para el segundo rayo que proviene
de aguas profundas de
= 130°, el rayo tiene una variación angular de
aproximadamente 14°; esto indica que la ola arriba a la playa de = 116.5°. Aquí es
importante notar que si un observador o turista que se encuentre en la playa estima
que la ola arriba de una dirección de 116.5°, no significa que la dirección de origen
de la ola haya sido 116.5°, pues tal dirección es, en este caso, 130°.
La presencia de las zonas con cambios notorios de profundidad (Bajo 1, Bajo 2 y
Bajo 3) tienen la capacidad de desviar las trayectorias de los rayos bruscamente en
períodos mayores a 6 s. Tales cambios de curvatura se observan muy bruscos en
parte porque no se consideran los efectos de difracción, es decir, en la naturaleza
tales cambios de dirección no se observarían tan bruscos como se ilustran en las
figuras. Por otra parte, con un intervalo de malla más fino al empleado, se esperaría
que tales cambios direccionales no se observaran tan bruscos. En términos de la
función inversa de dirección, los errores en la estimación de las direcciones
individuales (por no considerar otros efectos en la transformación del oleaje y por la
elección del tamaño de malla) no se observarían pues el proceso de interpolación
genera una superficie direccional promedio para dicha función.
En las Figuras 23-25 también se observan rayos que no alcanzaron aguas
profundas, los cuales correspondieron a que estos chocaron con el Bajo 2. Entonces,
el Bajo 2 protege a Playa Miramar de algunas direcciones de aguas profundas para
todo el intervalo de frecuencia considerado (0.033 Hz - 0.273 Hz).
Las Figuras 23 y 24 muestran como los rayos cambian bruscamente su trayectoria a
consecuencia de las irregularidades presentadas en la batimetría de la costa Sur de
Tamaulipas (Bajo 1 y Bajo 2). Entre más bruscos son los cambios de profundidad, los
rayos son más curvos. En general, a mayor período, mayor es la curvatura de los
rayos.
69
Resultados y Discusiones
Figura 25. Trayectoria inversa de los rayos ubicados desde Playa Miramar a una
profundidad de 9.1 m y para un período de ola de T= 3.6 s. El intervalo de
frecuencias considerados (0.033 Hz - 0.273 Hz) varía 0.01 Hz y con 0.5° de
resolución angular.
En la zona de los bajos submarinos también se observan zonas de cruzamiento entre
los rayos que se dirigen hacia aguas profundas y en los rayos que se desvían con los
bajos reportados (Bajo 1 y Bajo 2) en las cartas náuticas de la NOAA y las
70
Resultados y Discusiones
correspondientes de la SEMAR. Los rayos que se cruzan entre sí sugieren que si el
oleaje que arriba al mismo tiempo a Playa Miramar proviene de direcciones
diferentes en mar abierto, entonces se puede producir algún patrón de interferencia
de ondas relativamente cerca de la costa conforme las olas se va aproximando a la
playa. La importancia de tal patrón dependerá del período de la ola porque, por
ejemplo, el oleaje con períodos cortos (3.6 s) no siente el fondo hasta aproximarse a
la isobata de 10 m; entonces éste es escasamente refractado al llegar al punto fijo
donde se realiza el trazo inverso de rayos (Figura 25).
Se identificó además que el gradiente de profundidad es un factor importante que
determina el grado de refracción del oleaje. Olas con períodos largos son afectadas
por el fondo del mar en aguas profundas (p. ej. 30.3 s y 15.8 s), las cuales son
fuertemente refractadas por los bajos (Bajo 1 y Bajo 2) ubicados frente a Playa
Miramar (Figuras 23 y 24). La identificación de las zonas de cruzamientos de rayos
permite conocer sitios donde podría haber algún patrón de interferencia de ondas
que potencialmente fuera importante para la navegación de embarcaciones menores
bajo ciertas condiciones del oleaje. La aplicación de la refracción inversa en la
batimetría de la costa Sur de Tamaulipas es útil para identificar las zonas con
cambios bruscos de profundidad (Bajo 1, Bajo 2 y Bajo 3) sobre la propagación del
oleaje.
5.3.2. Función inversa de dirección.
A partir de los datos obtenidos del trazo inverso de rayos se generó una malla para
las frecuencias y las direcciones del oleaje en un punto fijo (Playa Miramar), y luego
se interpolaron las direcciones del oleaje en mar abierto para graficar sus contornos.
La gráfica resultante se conoce como función inversa de dirección. Se compararon
tres casos de la función inversa de dirección con interpolación variando los intervalos
de malla (0.01 Hz - 0.5°, 0.01 Hz - 0.1° y 0.001 Hz - 0.1°). En los tres casos se
determinó que los contornos de la dirección en aguas profundas son cualitativamente
similares.
71
Resultados y Discusiones
Figura 26. Función inversa de dirección en el área de estudio (los contornos indican
las direcciones del oleaje de aguas profundas), con un incremento en dirección de
0.5° y en frecuencia de 0.01 Hz. En (a), olas con = 0.173 Hz y
playa con = 116°; en (b), para ésta misma frecuencia olas con
= 77°; en (c), oleaje con = 0.093 Hz y
= 100° arriban a la
= 73° llegan con
= 70° puede arribar con las direcciones
respectivas de : 58°, 62°, 82° y 103°. Los puntos color magenta indican la zona de
sombra.
72
Resultados y Discusiones
La función inversa de dirección (Figura 26) muestra contornos para las direcciones
de donde proviene el oleaje en aguas profundas y sugiere que éstas pueden arribar a
Playa Miramar en el rango de direcciones de 15° a 130°. Además se observa una
zona de sombra indicada por los puntos color magenta (Figura 26) la cual puede
proteger a Playa Miramar del arribo de algunas direcciones del oleaje en mar abierto,
entre 50° - 100° en bajas frecuencias del oleaje (períodos del oleaje 8.8 s - 30.3 s) y
de direcciones entre 80° - 90° en altas frecuencias (3.6 s - 8.8 s). Tales direcciones
no deben considerarse como absolutas pues el efecto de la difracción del oleaje es
importante en los alrededores de bajos submarinos e islas, y éste no se considera en
el presente trabajo. En la función inversa de dirección se observan relativamente
menos puntos en bajas frecuencias para la zona de sombra debido a que algunos
rayos divergieron al chocar con el Bajo 2.
Adicionalmente, se observan zonas donde los contornos son irregulares para
frecuencias entre 0.033 Hz a 0.113 Hz (8.8 s - 30.3 s), las cuales se atribuye están
asociadas al cruzamiento de rayos adyacentes (Figura 23-25) que corresponde a los
rayos que alcanzan aguas profundas directamente y los que se desvían con los bajos
submarinos (Bajo 1 y Bajo 2) antes de llegar a aguas profundas. La inclinación de los
contornos se puede relacionar a una refracción intensa entre los bajos submarinos
(Bajo 1 y Bajo 2). Por ejemplo, para una frecuencia de 0.173 Hz (5.7 s), un rayo que
proviene de aguas profundas con
que una ola con
= 73° llega con
= 100° arriba a la playa con
= 116°, en tanto
= 77° Por otro lado, varias direcciones del oleaje
en Playa Miramar pueden corresponder a una sola dirección de mar abierto. Por
ejemplo, para la frecuencia de 0.093 Hz (10.7 s) y
= 70°, se observan cuatro
valores de la dirección en aguas someras: 58°, 62°, 82° y 103°. Lo opuesto también
es válido. Una ola que arriba a Playa Miramar con una sola dirección, puede provenir
de frecuencias y direcciones diferentes en mar abierto. No hay una relación unívoca.
73
Resultados y Discusiones
5.3.3. Sumario.
Se implementó el algoritmo numérico de Wilson (1966) para realizar el trazo inverso
de rayos en Playa Miramar. Se encontró que la batimetría en la costa Sur de
Tamaulipas presenta tres zonas con cambios notorios de profundidad (Bajo 1, Bajo 2
y Bajo 3) que producen cambios bruscos en las trayectorias de algunos rayos que se
dirigen hacia mar abierto. Además se encontró que el Bajo 2 causa que algunas
direcciones del oleaje que proviene de mar abierto no se aproximen hacia la costa.
Se calculó la función inversa de dirección a partir de la información que se obtuvo de
la refracción Inversa. De manera general, el Bajo 2 protege a la playa del rango
direccional de aguas profundas 50° - 100°; el rango preciso de direcciones es función
del período de la ola.
5.4. Espectro Direccional de Energía del Oleaje Refractado
Para estimar las variaciones de la energía del oleaje que incide en Playa Miramar, se
realizó la estimación de (42) por medio del método inverso. Este consiste en el
cálculo de los espectros en frecuencia (34 y 36) en aguas profundas y de la función
inversa de dirección (45). Para un sitio en aguas someras se realizó la estimación del
espectro direccional del oleaje, en el cual se aprecia algunas características del
oleaje que incide en Playa Miramar con respecto a condiciones del viento diferentes
(Figuras 27-32). En las Figuras 27-32 se establece la densidad espectral del oleaje
que incide al sitio desde las direcciones que provienen aproximadamente de 15°
hasta 130° de mar abierto (Norte verdadero), y que están asociadas a direcciones en
aguas someras (15° - 175°) y a un intervalo de frecuencia (0.033 Hz- 0.273 Hz).
Adicionalmente, en las Figura 27-32 se ha representado la zona de sombra (puntos
color magenta), la cual indica que el oleaje incidente desde las direcciones entre 50°
y 100° no arriba a Playa Miramar debido a la protección que representa el Bajo 2.
74
Resultados y Discusiones
5.4.1. Espectro direccional en condiciones promedio.
En condiciones promedio (
= 6.2 ms-1), una de las características observadas es lo
estrecho en frecuencia del máximo espectral con un valor de 0.0040 m2/Hz/grado
que proviene de una dirección de 112.5° (Figura 26), un período de máximo
espectral de 5.1 s (0.193 Hz) y arriba en la dirección de 129.5° en Pierson-Moskowitz
(Figura 27).
75
Resultados y Discusiones
Figura 27. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado) para el
espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un valor de la mediana de
la rapidez del viento de 6.2 ms-1 (42002A). Los puntos color magenta indican la zona
de sombra.
76
Resultados y Discusiones
Figura 28. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado) para el
espectro en frecuencia de JONSWAP
con un valor de la mediana de la rapidez
del viento de 6.2 ms-1 (42002A). Los puntos color magenta indican la zona de
sombra.
La máxima energía proporcionada por el espectro de Pierson-Moskowitz es
aproximadamente menor en un orden de magnitud que un segundo máximo
77
Resultados y Discusiones
espectral de 0.0132 m2/Hz/grado observado en 4.9 s (0.203 Hz), que proviene de la
dirección de 114.8° (Figura 26) y arriba a Playa Miramar en la dirección de 130° en
aguas someras para el espectro de JONSWAP (Figura 28).
Por otra parte, las direcciones con las cuales puede arribar el oleaje con mayor
energía en Playa Miramar representan una primera aproximación ya que sólo se
considera el efecto de refracción en el proceso de transformación del oleaje.
Además, ésta información puede ser considerada para tomar decisiones en la
construcción de desarrollos turísticos e inmobiliarios en este sitio de gran importancia
turística, ya que se requiere contar con al menos un año de mediciones del oleaje
continuas en una posición fija.
5.4.2. Espectro direccional en condiciones de calma.
Para el caso de condiciones de calma, se observa que los contornos de energía en
las Figuras 29 y 30 son cualitativamente similares pero con una pequeña variación
en cantidad de energía. Las variaciones de la energía son escasas en el espectro de
JONSWAP (Figura 30). El período de máxima energía espectral es de 3.6 s (0.273
Hz), y le corresponde una energía de 0.00004 m2/Hz/grado de magnitud de energía
mayor que el espectro de Pierson-Moskowitz (Figura 29). En los espectros
direccionales del oleaje para la condición de calma se determinó que oleaje con una
dirección de 130° en aguas someras le corresponde la máxima densidad espectral
con 0.00019 y 0.00023 m2/Hz/grado (Figura 29 y 30), proveniente de la dirección de
128.8° en mar abierto (Figura 26). En estas gráficas se ha observado que la máxima
energía del oleaje se ha transferido hacia períodos bajos (frecuencias altas), los
cuales son considerados para el oleaje local.
78
Resultados y Discusiones
Figura 29. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado) para el
espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un valor de la mediana de
la rapidez del viento de 4 ms-1 (calma). Los puntos color magenta indican la zona de
sombra.
79
Resultados y Discusiones
Figura 30. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado) para el
espectro en frecuencia de JONSWAP
con un valor de la mediana de la rapidez
del viento de 4 ms-1 (calma). Los puntos color magenta indican la zona de sombra.
80
Resultados y Discusiones
5.4.3. Espectro direccional en condiciones de frente frío y tormenta.
En las Figuras 31-34 se han graficado los espectros direccionales del oleaje
refractados para las condiciones de frente frío y tormenta. En el primer caso de
frentes fríos, se tiene que la máxima energía del oleaje de 9.02 m2/Hz/grado
proveniente de la dirección de 149.1° (Figura 26) arriba en la dirección de 116°, con
un período del máximo espectral de 15.8 s que equivale a 0.063 Hz para el espectro
de Pierson-Moskowitz (Figura 31). Para el espectro de JONSWAP, la mayor energía
del oleaje es de 28.38 m2/Hz/grado, la cual proviene de la dirección de 157.7°
(Figura 26) y arriba en la playa en la dirección de 114.5° con un período espectral
del oleaje de 13.6 s; esto equivale a una frecuencia de 0.073 Hz (Figura 32).
En el caso de tormentas, el oleaje de mar abierto que proviene de la dirección de
149.1° (Figura 26) con la máxima energía de 14.21 m2/Hz/grado, arriba en la
dirección de 116° con un período en el máximo espectral de 15.8 s (0.063 Hz) en
aguas someras para el espectro de Pierson-Moskowitz (Figura 33). Este oleaje es
aproximadamente veinte órdenes menores de magnitud de energía que el observado
en el espectro de JONSWAP (Figura 34).
De las Figuras 31-34 se deduce que debido a la amplificación en los niveles de
energía, ésta sufre un corrimiento hacia altos períodos (frecuencias bajas) que
caracterizan al oleaje distante, y además las direcciones del oleaje con mayor
energía se presentan cerca de la zona de sombra (puntos color magenta), entre las
frecuencias del oleaje de 0.063 Hz y 0.073 Hz (en períodos 13.6 s - 15.8 s). Tales
direcciones hay que tomarlas con cierta reserva ya que no se consideran los efectos
de difracción en la estimación del espectro direccional de energía.
Un rasgo interesante que se observa en las Figuras 31-34 es que para bajas
frecuencias, el espectro de energía sugiere una característica no unimodal. Por
ejemplo, en la Figuras 31 y en una frecuencia aproximada de 0.063 Hz, se tienen
81
Resultados y Discusiones
dos máximos espectrales del orden de 5 m2/Hz/grado, además del máximo de 9.02
m2/Hz/grado.
Figura 31. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado) para el
espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un valor del 25% máximo
-1
de la rapidez del viento 18 ms (frente frío). Los puntos color magenta indican la
zona de sombra.
82
Resultados y Discusiones
Figura 32. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado) para el
espectro en frecuencia de JONSWAP
con un valor del 25% máximo de la
rapidez del viento 18 ms-1 (frente frío). Los puntos color magenta indican la zona de
sombra.
83
Resultados y Discusiones
Figura 33. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado) para el
espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un valor del 25% máximo
-1
de la rapidez del viento 19 ms (tormenta). Los puntos color magenta indican la zona
de sombra.
84
Resultados y Discusiones
Figura 34. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado) para el
espectro en frecuencia de JONSWAP
con un valor del 25% máximo de la
rapidez del viento 19 ms-1 (tormenta). Los puntos color magenta indican la zona de
sombra.
Un punto a discusión es la elección de los intervalos de frecuencia. Si éstos se eligen
con base en el 77% de la densidad de energía espectral del oleaje del espectro en
85
Resultados y Discusiones
frecuencia de JONSWAP con respecto al de Pierson-Moskowitz, se ignorarían las
frecuencias menores de 0.123 Hz y se podría concluir, en consistencia con Ramírez
(2007), que Playa Miramar es una zona de baja energía del oleaje. En cambio, si la
elección del intervalo de frecuencias se elige con base en las Tablas 8-9, entonces
habría que incluir las frecuencias bajas, digamos mayores de 0.063 Hz (Tabla 8), con
lo cual no se excluirían las energías máximas. En realidad no se sabe cuál es el
intervalo de frecuencias del oleaje que arriba a Playa Miramar y la necesidad de
mediciones sistemáticas del oleaje en esta importante zona turística es primordial
para una mejor interpretación y corroboración de los resultados del presente trabajo.
5.4.4. Acotamiento para boyas virtuales.
Idealmente, el espectro direccional del oleaje refractado estimado por el método
inverso se debe comparar con un espectro del oleaje medido en Playa Miramar.
Desafortunadamente, no se han llevado a cabo mediciones sistemáticas del oleaje
para el sitio de estudio y no es posible efectuar tal comparación. Una alternativa es
comparar los intervalos de frecuencias y las direcciones en aguas someras
encontradas en este trabajo, con las correspondientes a las obtenidas por boyas
virtuales. Así entonces, la información del oleaje analizada en esta sección se obtuvo
de las boyas virtuales (Buoyweather) distribuidas a lo largo de la costa de
Tamaulipas. Estas boyas proporcionan parámetros del oleaje que son el resultado
del modelo numérico WAVEWATCH-III, el cual proporciona por ejemplo, período y
dirección del máximo espectral del oleaje (Tabla 4). Se utilizaron los primeros dos
años de los datos de tres boyas virtuales (BV 14-16) cercanas a Playa Miramar
(Figura 5). Del 1 de febrero de 1997 al 31 de diciembre de 1998, tal modelo genero
aproximadamente 5600 datos cada tres horas, en las tres boyas virtuales de interés.
El análisis de la información del oleaje (período y dirección del oleaje) para estas tres
boyas es mostrado en la Figura 35 a través de las rosas del oleaje. El rango del
período del máximo espectral en las tres boyas varía entre 2.6 s y 10.3 s (en
frecuencias de la ola (0.097 Hz - 0.380 Hz), aproximadamente, con un valor de la
86
Resultados y Discusiones
mediana de 5.6 s en la boya virtual 14 y en las boyas 15 y 16 es de 5.7 s. Mientras
que las direcciones del oleaje se encuentran en el rango aproximado de 0-174°.
Figura 35. Rosas del oleaje en las boyas virtuales (Buoyweather) ubicadas en la
costa de Tamaulipas (Boya virtual 14-16), para los parámetros de dirección (°) y
período del oleaje (T).
En la Figura 35 se ilustra las rosas del oleaje para los parámetros de dirección y
período de la ola. En ella se observa que las direcciones predominantes provienen
del Este-Sureste, Este (Boya virtual 14) y Este (Boya virtual 15 y 16). De acuerdo con
la información estadística obtenida de las tres boyas virtuales cercanas a Playa
Miramar, el oleaje con mayor frecuencia de ocurrencia 55% (Boya virtual 14) y 34%
(Boya virtual 15 y 16) proviene del rango direccional 79° - 124° y 79° - 101°,
respectivamente. Estas direcciones se encuentran dentro del intervalo direccional
encontrado en este trabajo (Figura 26). Los valores de los períodos máximos,
mediana, promedio, así como también los intervalos de las frecuencias y direcciones
obtenidos de las tres boyas virtuales cercanas a Playa Miramar son indicados en la
Tabla 10.
87
Resultados y Discusiones
Tabla 10. Parámetros del oleaje obtenidos de las boyas virtuales (Buoyweather)
cercanas a Playa Miramar.
Buoyweather
Frecuencia Dirección Máximo Mediana Promedio
(Hz)
(°)
(s)
(s)
(s)
BV-14
0.097-0.380
0-174
10.3
5.6
5.6
BV-15
0.098-0.370
0-146
10.2
5.7
5.7
BV-16
0.098-0.370
0-146
10.2
5.7
5.7
Para realizar la comparación mencionada, se eligieron los intervalos de frecuencia y
de direcciones proporcionados por la Boya virtual 14 dado que es la boya más
cercana al punto de medición. Por ejemplo, para las condiciones de viento promedio
= 6.2 ms-1, los espectros direccionales del oleaje obtenidos por el método inverso
son mostrados en las Figuras 36 y 37, utilizando los intervalos de frecuencias y de
direcciones proporcionados por la boya virtual 14. En las Figuras 36 y 37 se
muestran que la máxima energía del oleaje 0.0040 y 0.0132 m2/Hz estimada por el
método inverso es la misma a la observada en las Figuras 27 y 28 puesto que son
los mismos espectros direccionales del oleaje. Esta se localiza en el período de
máximo espectral 5.1 s y 4.9 s, y ésta máxima energía del oleaje arriba en las
direcciones de 129.5° y 130° en la playa.
Lo importante a resaltar es el intervalo de direcciones en aguas someras (0° - 174°) y
el intervalo de frecuencias (0.097 Hz - 0.380 Hz) de las boyas virtuales en
comparación con los encontrados en este trabajo, esto es, de 15° a 130° para las
direcciones en Playa Miramar y de 0.033 Hz a 0.273 Hz para las frecuencias
utilizadas. La razón por la cual no se muestran direcciones menores a 15° en la
función inversa de dirección (Figura 26) se debe a la diferente posición geográfica
entre la ubicación de la BV-14 (Figura 5) y el punto elegido para iniciar la refracción
inversa (Figura 23), implicando que la morfología de la línea de costa, un tanto
curvada hacia el río Carrizal, protege a Playa Miramar de tales direcciones.
88
Resultados y Discusiones
Figura 36. Direcciones y frecuencias obtenidas de las boyas virtuales (Buoyweather)
cercanas a Playa Miramar (los contornos representan la densidad espectral del
oleaje en m2/Hz) para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un
valor de la mediana de la rapidez del viento de 6.2 ms-1 (42002A). Los puntos color
magenta indican la zona de sombra.
89
Resultados y Discusiones
Figura 37. Direcciones y frecuencias obtenidas de las boyas virtuales (Buoyweather)
cercanas a Playa Miramar (los contornos representan la densidad espectral del
oleaje en m2/Hz) para el espectro en frecuencia de JONSWAP
con un valor de
la mediana de la rapidez del viento de 6.2 ms-1 (42002A). Los puntos color magenta
indican la zona de sombra.
90
Resultados y Discusiones
En cuanto al intervalo de frecuencias que se reporta en las boyas virtuales (Tabla
10), se resalta que los máximos en energía espectral calculados para frecuencias
bajas en los espectros direccionales del oleaje, para las condiciones del viento
referidas como frente frío y tormenta (Figuras 31-34), se perderían al considerar las
frecuencias de las boyas. Lo anterior nuevamente enfatiza la necesidad de contar
con mediciones sistemáticas y continuas de los parámetros del oleaje en Playa
Miramar, a fin de eliminar cualquier incertidumbre respecto al intervalo de direcciones
y frecuencias de las olas que arriban a este sitio.
Por otra parte, se debe tener en mente que tanto los intervalos de frecuencia
utilizados en el presente trabajo y los intervalos de frecuencia correspondientes que
se reportan para las boyas virtuales no resultan de mediciones del oleaje, es decir,
son parámetros de entrada que se requieren en modelos numéricos del oleaje. Tales
intervalos los elije el usuario del modelo y los valores particulares de las frecuencias
en estos intervalos se mantienen fijos durante toda la ejecución de dichos modelos.
5.4.5. Sumario.
Se calculó el espectro direccional del oleaje en un punto fijo en Playa Miramar para
las condiciones de calma, frente frío y tormenta, a partir de la función inversa de
dirección y de los espectros en frecuencia en aguas profundas. Para esto se realizó
un programa de cómputo desarrollado en MATLAB con vistas a
conocer las
direcciones con mayor energía que arriban al sitio de interés para el intervalo de
frecuencia y dirección, considerado.
Se realizó un análisis de las estadísticas del oleaje (período y dirección) obtenidas de
las boyas virtuales (Buoyweather) cercanas a Playa Miramar. Estas boyas son el
resultado de un modelo numérico WAVEWATCH-III, el cual proporciona información
del oleaje, para una cierta latitud y longitud dada. Se determinó que las direcciones
predominantes provienen del Este-Sureste (Boya virtual 14) y Este (Boya virtual 15 y
16). Además se caracterizó el espectro direccional del oleaje refractado en Playa
91
Resultados y Discusiones
Miramar a partir del intervalo de frecuencias y direcciones definido a partir de los
datos proporcionados por las boyas virtuales.
5.5. Aplicación del Método Inverso en Playa Miramar
A continuación se presenta un resumen general de los principales hallazgos del
presente trabajo.
El análisis de las estadísticas del viento de las tres boyas de interés (42002A,
42002B y 42055) en mar abierto sugiere que las direcciones del viento
predominantes son del Este-Sureste y Sureste (38%) en la boya 42002A, mientras
que en la boya 42002B provienen del Sureste y Sur-Sureste (39%), y para la boya
ubicada aproximadamente frente a la costa Sur de Tamaulipas (42055), las
direcciones con mayor frecuencia de ocurrencia provienen del Este y Este-Sureste
(45%).
En los espectros de frecuencia teóricos (Pierson-Moskowitz y JONSWAP), se
determinó que para los valores de las intensidades de las diferentes condiciones del
viento, la máxima energía del oleaje se debe a las tormentas y ésta es transferida
hacia los períodos que caracterizan al oleaje distante.
La batimetría de la costa Sur de Tamaulipas presenta zonas donde no se satisface el
criterio de refracción del oleaje y corresponde principalmente a bajos submarinos con
cambios notorios de profundidad (Bajo 1, Bajo 2 y Bajo 3), donde la insuficiencia de
puntos batimétricos no permite una mejor representación de las isobatas alrededor
de ellos. No obstante, la simulación numérica de la propagación del oleaje por medio
del trazo inverso de rayos en Playa Miramar, una zona carente de mediciones
estadísticamente robustas, se justifica porque el criterio de refracción se cumple en la
mayor parte de la batimetría de la zona de estudio.
92
Resultados y Discusiones
La aplicación del modelo del trazo inverso de rayos en Playa Miramar permite
identificar las irregularidades de la batimetría en la costa Sur de Tamaulipas. Los
bajos submarinos (Bajo 1 y Bajo 2) pueden producir una intensa refracción en las
trayectorias de los rayos que se dirigen hacia mar abierto para períodos altos.
La función inversa de dirección muestra las direcciones de donde proviene el oleaje
en mar abierto e indica que éstas se encuentran en el rango de 15° a 130°.
La zona de sombra produce una mayor inclinación en los contornos de la dirección
en aguas profundas, por lo cual se genera una refracción intensa. Además ésta zona
puede proteger a Playa Miramar del arribo de algunas direcciones del oleaje en mar
abierto (50° - 100°).
La información obtenida con los espectros direccionales del oleaje refractado en
Playa Miramar, mostró que en el aumento de la energía del oleaje (Figuras 30-33)
ésta se transfiere hacia bajas frecuencias (>12 s) y es generada a consecuencia de
la intensa refracción que produce el bajo submarino ubicado frente a la playa (Bajo
2). Además las direcciones del oleaje con mayor energía en la playa se ubican entre
108° - 130° para las diferentes condiciones del viento.
Los datos de oleaje obtenidos por las boyas virtuales (Buoyweather) cercanas a
Playa Miramar no se pueden utilizar para la validación del modelo de refracción
espectral ya que no son mediciones in situ realizadas por equipos oceanográficos. La
información direccional del oleaje que proporciona la refracción inversa y la función
inversa de dirección es en general consistente con la información generada por la
boya virtual 14.
El estudio numérico de la transformación del oleaje mediante los modelos basados
en el trazo de rayos son de interés en ingeniería porque requieren mucho menos
tiempo de cómputo, es decir, proveen una aproximación razonablemente correcta en
un lapso corto de tiempo y su utilización es en particular conveniente en sitios
93
Resultados y Discusiones
carentes de estadísticas robustas de los parámetros del oleaje. Así por ejemplo, la
generación de resultados de los modelos que se consideran del estado del arte es
del orden de un día en un clúster de alto desempeño, en tanto que el modelo de
refracción utilizado en este trabajo sólo requiere de unos cuantos minutos para
generar resultados en una computadora tipo laptop.
Un aspecto importante, y que rara vez se le da atención suficiente, consiste en
determinar si la batimetría de la zona de estudio satisface el criterio de refracción del
oleaje, implicando que las estimaciones obtenidas mediante simulaciones numéricas
pueden o no tener significado físico (Marcelino-Hernández y Ulloa, 2011).
Por otra parte, las direcciones a las cuales puede arribar el oleaje con mayor energía
en Playa Miramar, representan una primera aproximación en los estudios de la
transformación del oleaje. Además, ésta información es útil para la planificación en la
construcción de desarrollos turísticos e inmobiliarios en éste sitio de gran importancia
turística, particularmente cuando no se cuenta con al menos un año de mediciones
del oleaje continuas en una posición fija.
La altura significante en un punto fijo, así como también la frecuencia, la dirección y
la altura promedio de la ola se puede calcular del espectro de energía del oleaje en
frecuencia y dirección.
94
Conclusiones
6. Conclusiones
En éste trabajo, se estudio el espectro direccional del oleaje que arriba a Playa
Miramar, Tamaulipas, utilizando el método inverso.
Con base en el análisis estadístico de los parámetros de la rapidez y dirección del
viento de las boyas (42002A, 42002B y 42055)que mantiene el programa
estadounidense (NDBC) frente a la costa de Tamaulipas, se determinaron las
intensidades del viento para caracterizar condiciones promedio (6.2 ms-1), de calmas
(4 ms-1), frentes fríos (18 ms-1) y tormentas (19 ms-1).
Los espectros en frecuencia de Pierson-Moskowitz y de JONSWAP mostraron que
cuando los valores de la rapidez del viento aumentan, la energía del oleaje se
transfiere hacia bajas frecuencias, esto es, hacia los períodos que caracterizan el
oleaje distante (5 s - 30 s). Además, se determinó que la máxima energía del oleaje
es generada por las tormentas y no por los frentes fríos.
Las zonas donde no se cumple el criterio de refracción del oleaje se relacionan a los
cambios abruptos de profundidad en los alrededores de los tres bajos submarinos,
donde la insuficiencia de puntos batimétricos no permite una mejor representación de
los contornos de profundidad.
La presencia del Bajo 2 causa que algunas direcciones del oleaje (50° - 100°) que
proviene de mar abierto no se aproximen hacia Playa Miramar.
Se estimó que el oleaje que puede arribar a la playa en frecuencias de 0.033 Hz a
0.273 Hz (períodos entre 3.6 s y 30.3 s), proviene de mar abierto de las direcciones
entre 15° y 130°, y arriba con direcciones entre 15° y 175°.
Las principales direcciones del oleaje que pueden arribar con mayor energía en
Playa Miramar se encuentran entre un rango de 110° a 160° (cuadrante ENE-SSE
95
Conclusiones
aproximadamente) e inciden a la playa entre las direcciones de 108° y 130°. Durante
las condiciones de calma y promedio, la dirección correspondiente al máximo
espectral en Playa Miramar es de 130°, en frecuencias que pueden variar entre 0.193
Hz (5.2 s) y 0.273 Hz (3.7 s) dependiendo de que el estado del mar se encuentre
completamente desarrollado o en crecimiento continuo. Esta dirección de 130° puede
corresponder a oleaje que en mar abierto proviene del intervalo direccional 113° –
129°. En condiciones de frente frío y de tormenta, la dirección con la máxima energía
espectral es de 115°, en frecuencias que se ubican entre 0.063 Hz (15.9 s) y 0.073
Hz (13.7 s). Esta dirección se relaciona a oleaje que procede entre las direcciones
149° y 158°.
Las direcciones del oleaje que proviene de mar abierto entre los rangos de 110° a
160°, pueden intensificar la energía del oleaje en Playa Miramar para períodos entre
9.7 s y 23.2 s (frecuencias de 0.043 Hz a 0.103 Hz) y también en períodos de 3.6 s a
5.4 s (frecuencias de 0.183 Hz a 0.273 Hz).
Las comparaciones de los datos direccionales del oleaje obtenido por las boyas
virtuales cercanas a Playa Miramar, fueron en general consistentes con las
direcciones de arribo obtenidas mediante la técnica de la refracción inversa (15° 130°). Es probable que la morfología de la línea de costa en conjunto con el
gradiente de profundidad evite que en Playa Miramar el oleaje incida entre las
direcciones de arribo entre 0° y 15°.
96
Perspectivas
7. Perspectivas
La aplicación de la simulación numérica de la refracción del oleaje basada en el
modelo del trazo inverso de rayos y la estimación de la energía del oleaje en un sitio
dado, contribuye al conocimiento de las condiciones del oleaje que incide en Playa
Miramar. Sin embargo, para validar los estudios de refracción en la costa Sur de
Tamaulipas y dar continuidad a éste estudio, se proponen semejantes trabajos:
1. Realizar mediciones del oleaje para contar con al menos un año de
mediciones continuas en una posición fija cercana a la playa. Con esto se
obtendrían mediciones del oleaje estadísticamente robustas.
2. Hacer la comparación entre los datos de mediciones de campo y los obtenidos
del modelo de la refracción inversa para validar los resultados.
3. Emplear un programa o algoritmo numérico diferente al propuesto en ésta
investigación, para la solución numérica de la ecuación del balance espectral
de energía (1). Para comparar los resultados de la refracción inversa con tal
programa, se podrían presentar resultados en términos de la contribución
relativa de cada uno de los procesos de transformación del oleaje, de manera
tal que se podría inferir la importancia relativa de la refracción del oleaje
respecto a los otros procesos.
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107
Anexos
Anexos
Anexo A. Obtención del criterio de refracción (20) analíticamente.
La substitución de
en la ecuación (18) se obtiene:
(A1)
Considerar la parte real de la ecuación (A1),
(A2)
Despejando
de la ecuación (A2) se tiene que
(A3)
donde
es un caso límite de la ecuación (A3) que se conoce como
Ecuación de Onda Geométrica o Ecuación Eikonal, el cual describe las trayectorias
de los rayos. La ecuación (A3) puede expresarse como
(A4)
Para que
sea una solución de la Ecuación de la Pendiente Suave los dos
últimos términos de la ecuación (A4) tiene que desaparecer, por ejemplo si
consideramos que,
(A5a)
108
Anexos
(A5b)
Las condiciones (A5a) y (A5b) se conocen como criterio de refracción en los estudios
que combinan la refracción y difracción del oleaje. La condición (A5b) es conocida en
investigaciones relacionadas con la Ecuación de Helmholtz, en tanto que el criterio
de refracción en los estudios que sólo consideran la refracción del oleaje se obtiene
de la condición (A5a), lo cual implica evaluar ésta condición en términos de la
pendiente del fondo.
Con base en la teoría lineal del oleaje, sea
,
donde
. Considerar ahora el producto
(A6)
en donde se ha utilizado
y
. Es posible demostrar
que,
(A7)
de manera que la condición (A5a) puede reescribirse como
(A8)
Ahora bien, el término
(A9)
109
Anexos
lo cual implica que no hay un máximo entre estos dos valores y por ello la condición
(A8) siempre se satisface si,
(A10)
El trazo inverso de rayos no considera el cálculo de amplitudes entre ortogonales
adyacentes, esto es que el cruzamiento de los rayos carece de importancia porque
únicamente se calculan las direcciones iniciales y finales de sus trayectorias.
Entonces, si se prescinde de la influencia que ejercen las variaciones de la amplitud
en la propagación del oleaje, el criterio de refracción se simplifica a (20).
110
Anexos
Anexo B. El concepto físico que sustenta el espectro direccional del oleaje (42).
En general, las formulaciones de la transformación del espectro del oleaje sobre un
fondo que va haciéndose más somero, suponen que el flujo de energía de la ola en
una banda de frecuencia
permanece en esta banda durante la transformación.
Esto implica que se ignoran las interacciones no lineales que podrían transferir
energía de una banda de frecuencia hacia otra (LeMéhauté y Wang, 1982; Hodgins
et al, 1985). Para cada frecuencia, el nivel de energía, que se caracteriza por ser
proporcional al cuadrado de la elevación de la superficie libre, se considera un
invariante durante la transformación. Entonces, la ley de transformación que se ha
establecido para olas monocromáticas se aplica como si cada valor de la elevación
de la superficie libre, fuera idéntica a una ola periódica de la misma amplitud y
frecuencia, de modo que la energía contenida en cada banda de frecuencia y
dirección, viaja a la velocidad de grupo a lo largo de su rayo correspondiente. Bajo
estas consideraciones e ignorando el efecto de las corrientes sobre las olas y los
procesos de generación y disipación de energía del oleaje, es posible calcular el
espectro en cualquier profundidad del agua dividiendo un espectro inicial en bandas
de frecuencia discretas, refractando luego cada banda de frecuencia en forma
separada y, finalmente, recombinándolas para formar el espectro refractado (Pierson
et al., 1953). Matemáticamente este concepto se expresa como,
(A11)
donde
es el coeficiente cuadrado de someramiento,
refracción al cuadrado y
es el coeficiente de
es el Jacobiano de la función inversa de dirección
que permite el cambio de una dirección variable
de aguas profundas a aguas
someras. La ecuación (A11) no tiene una demostración formal y es el resultado de la
intuición matemática de Pierson et al. (1953).
111
Anexos
Por otra parte, Longuet-Higgins (1957) demostró mediante un teoría rigorosa, que si
para la evolución de un espectro del oleaje en aguas someras se define la densidad
de energía por área unitaria en el espacio del número de onda, entonces la densidad
de energía permanece constante conforme se sigue cualquier velocidad de grupo a
lo largo de la trayectoria de un rayo. Posteriormente Karlsson (1969) demostró
analíticamente que este concepto es equivalente a la ecuación de conservación de
energía de
en el espacio de
, es decir,
constante
a lo largo de la trayectoria de un rayo,
(A12)
es constante. Esta ecuación
corresponde a la ecuación (42). La aportación del trabajo de LeMéhauté y Wang
(1982) consiste en demostrar que la ecuación (A12) es equivalente a la ecuación
(A11). Las generalizaciones de (A12) para incluir disipación o generación y
corrientes se deben a Collins (1972) y Phillips (1977).
112
Anexos
Anexo C.
Lista de Símbolos
= Amplitud de la ola.
= Término de la aproximación inicial.
= Factor de escala.
= Término para establecer condiciones.
= Rapidez de fase de la ola.
= Velocidad de grupo de la ola.
= Componente de la velocidad de propagación de la ola en el espacio .
= Componente de la velocidad de propagación de la ola en el espacio .
= Componente de la velocidad de propagación de la ola en el espacio
.
= Componente de la velocidad de propagación de la ola en el espacio .
= Coeficientes.
= Densidad de acción del oleaje.
= Frente de la ola.
= Frecuencia de la ola.
= Máximo de la frecuencia espectral de la ola.
= Función de densidad de probabilidad de Rayleigh.
= Función de densidad de probabilidad de Weibull.
= Aceleración de la gravedad.
= Altura de la ola.
= Altura significante de la ola.
= Profundidad del fondo.
= Curvatura de la trayectoria del rayo.
= Curvatura promedio de la trayectoria del rayo.
= Número de onda.
= Longitud de onda.
113
Anexos
= Término fuente que representa los efectos de generación, disipación e
interacciones alineales entre olas.
= Cantidad total de mediciones de la rapidez del viento.
= Coeficiente de refracción.
= Coeficiente de someramiento.
= Función de fase de la ola.
= Término.
= Espectro de densidad de energía del oleaje en frecuencia y dirección.
= Espectro de densidad de energía del oleaje en frecuencia y dirección.
= Espectro en frecuencia de JONSWAP.
= Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz.
= Trayectoria del rayo.
= Período de la ola.
= Rapidez del viento medida a una altura de 10 m arriba del nivel del mar.
= Rapidez promedio del viento medida a una altura de 10 m arriba del nivel del
mar.
= Factor.
= Factor.
= Frecuencia angular de la ola.
= Distancia o superficie sobre el océano en que sopla el viento con dirección y
magnitud constante.
= Sistema de coordenadas cartesiano.
= Constante de Philips con un valor numérico de 0.0081.
= Ángulo de un rayo con el eje .
= Ángulo promedio de un rayo con el eje .
= Error relativo.
= Amplitud compleja de la superficie libre de la ola.
= Ángulo de fase de la ola.
= Función inversa de dirección.
= Factor de aumento del máximo espectral del oleaje (
).
= Parámetro que ubica la función de densidad en la abscisa (eje de la variable).
114
Anexos
= Término.
= Operador gradiente.
= Operador gradiente en la horizontal.
= Parámetro pi.
= Parámetro que determina la forma básica de una distribución en particular.
= Densidad del agua del mar.
= Controla la amplitud del máximo espectral del oleaje.
= Varianza.
= Dirección de la ola con respecto al eje de referencia
(o contornos del fondo).
Superíndice
= Grados.
= Minutos.
= Segundos.
= Promedio.
Subíndice
= Valores calculados de (
).
= Evaluación en aguas someras.
= Índice.
= Evaluación en aguas profundas.
= Valores verdaderos de (
).
115