¿Qué son los fractales? - ENP Plantel 8 "Miguel E. Schulz"

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
ESPACIO LÚDICO
HISTORIAS MATEMÁTICAS
¿QUÉ SON LOS FRACTALES?
Es complicado dar una definición general de fractales porque muchas de estas definiciones no
se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Sin embargo, todos los fractales
tienen algo en común, ya que todos ellos son el producto de la iteración, repetición, de un
proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación aparente
extraordinaria. Es decir que cada porción del objeto tiene la información necesaria para
reproducirlo todo, y la dimensión fractal no necesariamente entera.
El matemático francés Benoit Mandelbrot acuñó la palabra fractal en la década de los 70,
derivándola del adjetivo latín "fractus". El correspondiente verbo latino: frangere, significa
romper, crear fragmentos irregulares.
La geometría tradicional, la euclidiana, es la rama de la matemática que se encarga de las
propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes.
La geometría euclidiana también describe los conjuntos formados por la reunión de los
elementos más arriba citados, cuyas combinaciones forman figuras o formas específicas.
Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras,
sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de
otros objetos no son fácilmente descritos por la geometría tradicional. La geometría fractal
provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la
naturaleza.
Las tres fotos anteriores son tres vistas de un mismo helecho. La segunda representa una
parte de la primera vista de cerca, y la tercera es, a su vez, una ampliación de la segunda. Si
nos fijamos en el aspecto general del helecho (la primera), veremos que consta básicamente
de un tallo central de donde salen a banda y banda hojas de color verde acabadas en punta. Si
realizamos un zoom sobre una de las hojas (la segunda), la estructura se repite: tallo central y
hojas verdes a banda y banda. Observando finalmente una de las hojas (la tercera) veremos la
misma estructura, y así hasta el infinito.
La propiedad en virtud de la cual la forma geométrica del helecho es independiente de la
escala en que se observa se denomina autosemejanza, y las figuras geométricas que la
cumplen se denominan fractales.
A menudo, los fractales son semejantes a sí mismos; poseen la propiedad de que cada
pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo.
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
Una característica importante de los fractales es que tienen dimensión fraccionada. Para que
entiendas mejor lo que significa, quizás te convenga recordar tu clase de geometría:
•
•
•
•
Un punto no tiene ninguna dimensión. (D=0)
Una línea recta posee una dimensión, el largo. (D=1)
Una figura plana, como un rectángulo o un triángulo tiene dos dimensiones, largo y
ancho. (D=2)
Las figuras tridimensionales, como los cubos y esferas, tienen como su nombre lo dice,
tres dimensiones, largo, ancho y profundidad. (D=3)
En el caso de los fractales, la dimensión no es un entero, sino una fracción, como por ejemplo
D=2.5.
Los fractales son una idealización. Los objetos reales no tienen la infinita cantidad de detalles
que los fractales ofrecen con un cierto grado de magnificación.
¿En qué se parece un helecho, la costa y un copo de nieve?
Los tres son elementos de la naturaleza. Y los tres, con sus complicadas formas y repeticiones,
parecen fractales. Y si estas pensando, qué rayos es un fractal, te sorprenderás con estas
fascinantes estructuras que parecen más sacadas de un libro de arte que de uno de
matemáticas.
Los fractales son figuras geométricas, al igual que los triángulos y los rectángulos, pero con
unas propiedades especiales que los distinguen de éstos. Primero, son muy complejos, a
cualquier tamaño. Tienen autosimilitud, es decir, que pueden dividirse en partes que son copias
reducidas del total. Su dimensión es una fracción a diferencia de otras figuras geométricas.
Los fractales frecuentemente lucen como objetos de la naturaleza. Muchos objetos naturales,
como los helechos, copos de nieve, las costas de los países, rocas, tienen formas parecidas a
los fractales. No son fractales auténticos pues su complejidad no es infinita.
Uno de los usos más populares es en las artes. Utilizando una programación especial en la
computadora se pueden crear increíbles obras de arte. También está muy de moda la música
fractal. Hay muchos lugares en la Internet con muestras de imágenes fractales y de piezas
musicales.
Pero su uso no se limita a las artes. Tanto en la geología, como en la Biología y la Ingeniería,
se están empleando debido a que pueden describir patrones naturales complejos. Los fractales
dan un marco teórico en el desarrollo de simulaciones de fenómenos naturales.
Hay muchas maneras de hacer un fractal y una de ellas es con la repetición constante de un
cálculo simple. En eso las computadoras han venido a ser muy útiles. Con el software
adecuado, se pueden generar imágenes fractales repitiendo un patrón fijo. Si quieres divertirte
un poco, con una regla dibuja una línea de 6 pulgadas:
•
•
•
•
Usa la regla para separar la línea en tres segmentos iguales.
Abre un compas a un ancho de 2 pulgadas, o sea el tamaño de cada segmento.
Colócalo en un extremo del segmento y dibuja un arco. Luego en el otro extremo dibuja
otro arco. Dibuja un triángulo a partir del punto donde los arcos se cruzan. Borra la
base del triángulo.
Repite el proceso en los dos lados del triángulo. (Divide cada lado en tres segmentos y
construye un triángulo en el segmento del medio, sin olvidar borrar la base.)
Repite nuevamente el proceso en cada triángulo.
La figura resultante recibe el nombre de copo de nieve de Koch, que se muestra a
continuación:
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
Los fractales (lejos de explicaciones puramente matemáticas) son unas ecuaciones sencillas
(normalmente) que describen figuras de una complejidad infinita. ¿Qué quiere decir esto? Pues
que por mucho que la aumentemos (como si lo viéramos a través de un microscopio) siguen
existiendo detalles que recuerdan a la forma total.
Pues resulta que este fractal es una línea curva cerrada con muchas arrugas. Por ser cerrada
está dentro de un espacio finito (es decir, que puede estar contenida en un círculo, por
ejemplo).
Ahora imaginémonos que tenemos que ver lo que mide. Nos ponemos a medirla con una regla
de 1 cm. No es difícil darse cuenta de que esta regla es demasiado grande como para dar una
medida exacta. Ningún problema, tomemos otra regla más pequeña. El problema está en que
por muy pequeña que tomemos la regla, nunca dará una medida exacta del fractal, porque
tiene tal cantidad de arrugas y recovecos que ni la regla más pequeña daría una cantidad
exacta. Visto de otra forma, si lo midiéramos con la regla de 1 cm, nos daría una cantidad. Con
otra de 5 mm nos daría otra mayor. Con otra de 1 mm nos daría otra cantidad aún más grande.
Como siempre podemos tomar una regla cada vez más pequeña (en la realidad no, pero
matemáticamente sí) también tendremos que la medida del fractal es cada vez más grande. La
conclusión es que el fractal mide infinito.
Como se puede imaginar, la costa, por mucho que te acerques a ella (vista desde el espacio
hasta recorrerla átomo a átomo) siempre vas a encontrar detalles que hacen inexactas las
mediciones a gran escala (como en un mapa, por ejemplo). Por esa razón, cualquier costa
posee longitud infinita. Curioso, ¿no? De hecho, si no existieran las ecuaciones diferenciales,
no podríamos explicar siquiera cómo somos capaces de movernos de un punto a otro (si
tenemos que pasar por todos los intermedios, considerados infinitos) o cerrar tan sólo una
puerta. Pero bueno, este es otro tema.
Resumiendo, los fractales, aparte de ser figuras muy bonitas, son formas de predecir
aproximadamente el comportamiento de un sistema, como pueda serlo el crecimiento
demográfico de una especie, o la fluctuación de la bolsa, e incluso la formación de algunos
órganos animales o vegetales. Pero nunca (o, al menos, hasta ahora no se ha podido) son
capaces de indicar de forma calcada el comportamiento de algo. Esto es así porque lo que
muestran son precisamente comportamientos caóticos que no pueden ser predichos. ¿De qué
nos sirven pues? Si aún no te has enterado, vuelve a leer este párrafo. Si sigues sin enterarte
te diré que gracias a ellos se han podido crear fórmulas que muestran bastante fielmente
comportamientos físicos como el oscilamiento de un molino cuando le cae agua encima,
estados umbrales (cuando algo está entre sólido y líquido, por ejemplo) e incluso
comportamientos del propio corazón.