Documento 644107

ÁREA:
MATEMÁTICAS
ASIG NATURA:
ÁLG EBRA
CURSO :
FECHA RECIBIDA
01
04 2013
NO VENO
FECHA DE
04
04 2013
___
ENTREG A
CLASE DE G UÍA:
RECUPERACIÓN PRIMER PERIO DO
NO MBRE DE LA UNIDAD:
PO TENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN LO S
NÚMERO S REALES.
NO MBRE DEL DOCENTE: J os e Br ango G utierrez
NO MBRE DEL ESTUDIANTE:
PRESENTACIÓ N Y MOTIVACIÓ N:
El c onjunto de los númer os ir r ac ionales hac e parte del gran c onjunto de los números reales ;
el conoc imiento de s us operac iones junto a las propiedades hac e mas fác il el trabajo con
todos los c onjuntos numér ic os .
CO MPETENCIAS A ALCANZAR:
Des arrollar la c apac idad c r eativ a a partir de las trans formac iones de elementos , s ituac iones
y c onc eptos .
LOG RO S E INDICADORES DE LOG RO :
1. IDENTIFICARÁ Y APLICARÁ LAS PRO PIEDADES DE LA POTENCIACIÓ N Y LA
RADICACIÓN EN EXPRESIO NES ALG EBRAICAS.
1.1. Res uelv e operac iones c ombinadas aplic ando propiedades de la potenc iac ión en los
números reales .
1.2. Res uelv e operac iones c ombinadas aplic ando las propiedades de la radic ac ión en los
números reales .
1.3. Rac ionaliza una ex pr es ión fracc ionaria cuy o denominador c ontiene diferentes
polinomios c on r adic ales .
1.4. Asume una ac titud r es pons able ante el trabajo en el aula y en c as a.
MARCO CO NCEPTUAL
Propiedades de la potenciación
Produc to de pot enc ias de la mis ma bas e
n
mn
a  a
m n
mn
a
a
n
n
n
a b  a b
a
 
 
Potenc ia de una potenc ia
Potenc ia de un pr oducto
Coc iente de potenc ias de la mis ma bas e
a
a
Potenc ia de ex ponente negativ o
m
a
n
m a
m

Ejemplo
Aplic ar las propiedades de la potenc iac ión para s implific ar:
a
 
3
3a
 
a
5
2
3
 
 
a

 9 2 a 8
9 6 a12
 9 2 a 8
2
9
3
4
2
9
a
3
9 a 2 6
4
a
2 4
2

3  a

 3
7
a
3
2
4
nm
c on a  0
1
m c on a  0
a
3
a 3  9a 2  
 5
3a   9a 4 
Potenc ia de una potenc ia.
Coc iente de potenc ias c on igual
bas e y potenc ia de una potenc ia.
Coc iente de potenc ias de igual
bas e.
Produc to de potenc ias de igual
bas e.
Potenc ia de una potenc ia.
Coc iente de potenc ias de igual
bas e.
2
Propiedades de la radicación
1
Relac ión Radicac ión – potenc iac ión.
n
m
n m
a a n
Un radic al es una potenc ia c on ex ponente fracc ionario.
Produc to de r aíc es c on el mis mo índic e
a a n
n
n
n
a  b  ab
Raíz de una r aíz.
mn
Raíz de una potenc ia.
 
n
a 
m
a
Raíz de un c oc i ente.
a
n
b
mn

a
m
n
a
n

n
a
b
c on b  0
Reducción de expresiones radicales
A trav és de la aplic ac ión de las propiedades de la potenc iac ión y de la radic ac ión, es posible
ex pres ar un r adic al c omo el pr oduc to de div ers as potenc ias fracc ionarias . Se puede
s implific ar la ex pr es ión c uando el s ubradic al tiene un exponente s uperior al índic e de la raíz.
243a3b2
Ejemplo: Simplificar la ex pr es ión
Se inic ia hallando la desc ompos ic ión en fac tores primos de 243, llegando a que 243 = 3 5 ,
luego s e reemplaza y se aplic an las propiedades c orres pondientes :
243a3b2
 35 a 3b 2
 34  3a 2 ab2
 34 3 a 2 a b 2
4
1
2
1
2
 32  32  a 2  a 2  b 2
1
1
 32  3 2  a1  a 2  b1
 32 ab 3 a
 9ab 3a
O PERACIONES CO N RADICALES
Radicales Semejant es
Dos ex pres iones r adicales son s emejantes s i tienen el mis mo índic e y la mis ma c antidad
s ubradic al .
Adición y sust racción de radicales
La adic ión y s ustr acción de r adic ales s ólo s e puede realizar cuando los radic ales s on
s emejantes .
Para r ealizar es tas operac iones , s e s uman o s e restan los fac tores que
ac ompañan a los r adic ales ( c oefic ientes ). Es te res ultado s erá el factor (c oefic iente), que
ac ompañe al radic al c omún.
Ej em plos:
1. Reduc ir las ex pr es iones y efec tuar la operac ión :
8 9x  3 25x
2
2
8 9 x  8 3 x  8 3 x  8  3 x  24 x
2
2
3 25x  3 5 x  3 5 x  3  5 x  15 x

8 9 x  3 25x  24 x  15 x  24  15

Se reduce (s implific a) c ada
ex pres ión.
Se s uman las expres iones .
x  39 x
2
2
2
2
2 m n  9m n  16mn  4mn
2. Simplific ar:
2
2
2 m n  2 m n  2m n
2
2 2
2
2
9m n  3 m n  3 m
2
2 2
2
16mn  4 mn  4 m
2
2 2
2
4mn  2 mn  2 m
Simplific a c ada expresión.
n  3m n
2
n  4 m  n  4n m
2
n  2 m  n  2n m
2
2
2
2
2 m n  9 m n  16 mn  4 mn  2 m n  3m n  4 n m  2 n m

 2 m  3m


n  4n  2n
  m n  2n m

m Se
s uman las expres iones,
teniendo en cuenta radic ales
s emejantes .
Multiplicación y división de radicales
La multiplicac ión y divis ión de r adi cales c on el mis mo índice, se bas a en la tercera y s ex ta
propiedad enunc iadas en la s egunda página de es ta guía res pectivamente. Se multiplic an o
div iden los c oefic ientes entr e s í, las c antidades s ubradic ales entre s í, esc ribiendo el índice
c omún en el rad ic al y s e s implific a el res ultado s i es pos ible.
Ejemplo:
Enc ontrar el pr oducto y ex pr es ar c ada radic al en la forma más s imple
4


2  5 3 2  2  12 4  8 2  15 2  10
 24  23 2  10
Se multiplic a c ada término de uno de
los fac tores por cada uno de los
términos del otro.
Se res uelv en las raíc es ex ac tas.
 14  23 2
Se s uman términos s emejantes .

 12  2  8  15

2  10
Racionaliz ación
Rac ionalizar una fr acción algebr aic a c ons iste en expres ar como rac io nal el denominador de
la fracc ión. Cuando s e r ac ionaliza, des aparec e todo s igno radic al del denominador. Para s e
amplific a la fr acc ión por la expres ión apropiada para que el radical del denominador quede
elev ado a una potenc ia múltiplo del índic e.
Ejemplo:
Rac ionalizar
3
.
a
3
a

a
a

3 a
a
2

3 a
a
Se amplific a la fracc ión por
a
Conjugado de un binomio
Se llama c onjugado de un binomio, el binomio que únicamente difiere en un s igno. El
c onjugado de a + b , es a – b .
Racionaliz ación de f racciones que t ienen un binomio en el denominador
Para rac ionalizar una fr acc ión que tienen un binomio en el denominador c on radic ales, se
amplific a la frac c ión por el c onjugado del denominador.
Ejemplo:
Rac ionalizar el denominador de
73 5
53 5
73 5

53 5

73 5
53 5
53 5
Se amplific a la fracc ión por el
c onjugado del denominador.
53 5
35  21 5  21 5  9 25

Se res uelv e la multiplic ac ión.
25  15 5  15 5  9 25
35  42 5  9  5

Se reducen térm inos semejantes .
25  9  5
80  42 5

Se s implific a s i es pos ible.
 20
40  21 5

 10
EJERCICIO S PRO PUESTO S
Simplificar las siguientes expresiones y
escribir los resultados solo con exponentes
positivos
2
1.
 x 4 y 1 
  2 3 
x y 
 6nm2 
 1 2 
 3m n 
3.
 x  2 y 3t  2 
  3  2 2   4.
 x y t  
2.
5.
2
6.
 33 x 0 y  2 
 3 3  5 
2 x y 
7.
(a 2  b2 )1
 x 3 
  5 
x 
1
15.
La distancia de la tierra al sol es de
unas 9.3 X 10 7 millas.
(90.000 )( 0.000002 )
17.
0.006
(0.0006 )( 4000 )
0.00012
16.
3
 33 x 1 y 
 2 2  2 
2 x y 
8.
El
diámetro
del
sol
mide
aproximadamente 8.65 X 10 5 millas.
Escribir en notación científica y realizar la
operación
2
 22 x 2 y 0 


1 
 8x 
14.
3
1
 u 3v 1w 2  2 
  2  2  
 u v w  
Escribir en número decimal
2
18.
(60000)(0.000003)
(0.0004)(1500000)
19.
(0.000039)(140)
(130000)(0.00021)
x 1  y 1
x y
9.
10.
 u 2  v 2 
 1
1 2 
 (u  v ) 
1
1
Escribir en notación científica
11.
12.
13.
15X 102
36X 10 6
Simplifica las siguientes expresiones sin
dejar exponentes negativos
21.
(9a 4 b  2 ) 2
22.
 27x y

4 3
 8x y
2
cd
1
c  d 1
20.
La energía de un rayo láser puede
llegar hasta 10.000.000.000 watts.
A la distancia que recorre la luz en
un año se le llama año -luz. Son
aproximadamente
5.870.000.000.000. millas.
La masa de una molécula de agua es
0.00000000000000000000003
gramos.
24.
3
1
2




1
3
23.
m

m
1
3
25.
(2 x )(3x )
3x
6x
1
1
4
3
4

1
4

1
3
1
26.
(x 2  y 2 ) 2
Simplificar y escribir en la forma radical
más
simple.
Todas
las
variables
representan números reales positivos.
27.
49x 4 y 2
28.
18x8 y 5
8 x3
27 y 6
29.
3
31.
 m5 729m7n11 32.
33.
6
35.
37.
x 4 ( x  y)2
4
4
a8b4
16c12
44.
 2 x3 8x8 y13
34.
6
36.
5
12 16
38.
6
16x y
46.
5
x15 y 20
32
40.
10
19
5 2 4 3
32c d
m12 n 24
64
15
50.
3 3
375 a 8b
5x
54.
41.
25
32 x 2 y11
5
Racionaliza las siguientes expresiones
4
42.
4 5
43.
45.
1
5a 25x3
4
47.
75x 6 y 5
3z 3
45y 12 z 10
2x
49.
5
3x 3
51.
2
53.
xy  y
55.
xy
3 2
5
3 x 8
x
5
y4
3
8xy 2
2z 2
x y
y z
5
56.
3
3
27x
2
a4
52.
39.
x
4
48.
6
x y
4
30.
x 3
5
3
4a 2
INSTRUCCIONES PARA EL DESARROLLO DE LA GUÍA
Lea muy bien la guía, el mar co c onc eptual y los ejerc ic ios resueltos . Con bas e a ellos
res uelv a los ejerc ic ios pr opuestos . Puede también c ons ultar en los apuntes los
ejerc ic ios r ealizados dur ante el periodo y los ejemplos de c las e.
BIBLIO GRAFÍA
HERRERA Ruiz Adolfo, SALG ADO Ramírez Diana. Álgebra y geometría II. Santillana. Bogotá
2004.
LEITHO LD, Luis.: Matemáticas pr ev ias al c álculo, Harla S.A., Méx ic o, 1989.
SPIEG EL, Mur r ay. R.: Álgebr a super ior, McGraw - Hill, Méx ic o, 1969.
ANG EL Allen. Álgebr a Inter media., Prentice Hall. Méx ic o, 1997.