Examen Departamental 1 Otoño 2015

Cálculo I
A
Sep 2015
1er Examen Departamental
Tiempo: 90 minutos.
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Nombre_______________________________________ CU____________
1
1. (2 puntos) Sea f (x) =
2
p
j2x + 1j
3
4
5
Total
1. Obtén el dominio de f:
Ayuda: Recuerda que si M > 0, entonces jaj
M si y sólo si a
M; o bien, a
M:
2. (2 puntos) Usa la de…nición formal de límite (épsilons y deltas) para probar que
lim 5x + 2 =
x! 1
3:
3. (2 puntos) Calcula los siguientes límites o demuestra que no existen.
2x + x2
:
x! 2 jx + 2j
p
p
a+h
a
; (a > 0):
(b) lim
h! 0
h
(a)
lim
4. (2 puntos) Considera una función de costos c = f (q); donde c denota el costo de producir q unidades..
El costo marginal se de…ne como f (q+1) f (q): Observa que el costo marginal representa el aumento
en el costo cuando la producción se incrementa
en una unidad. Determina el límite del costo marginal
p
cuando q tiende a in…nito si f (q) = q 2 4: Ayuda: debes calcular
p
p
lim (q + 1)2 4
q 2 4:
q!1
5. (2 puntos) Sea
f (x) =
8
<
:
x2 x+12
x 4
3
si x 6= 4;
si x = 4:
(a) ¿Existe el límite de f cuando x tiende a 4? Justi…ca tu respuesta.
(b) ¿Es continua f en x = 4? Justi…ca tu respuesta.
(c) Considera ahora la función
sen(2x)
:
5x
¿Es posible de…nir a g en todo R de forma que sea continua? Justi…ca tu respuesta.
g(x) =
1