Cálculo diferencial de funciones de varias variables

Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
1
Escuela Técnica Superior de Ingenierı́a Civil e Industrial (Esp. en Hidrologı́a)
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a.
Tema 8: Cálculo diferencial de funciones de varias variables.
1
Curso 2008-09
El plano y el espacio Euclı́deos. Operaciones
1.1
Introducción
R2 = {(x, y) /x, y ∈ R} ; R3 = {(x, y, z) /x, y, z ∈ R}
Es usual representar, por comodidad, a los elementos de estos conjuntos por ~u, entendiéndose que tienen
dos o tres coordenadas según trabajemos en R2 o R3 y se les denomina vectores. En estos conjuntos se definen
dos operaciones: una interna llamada suma y una externa llamada producto por un escalar.
1.1.1
Suma
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) y (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
Ejemplos:
• (1, 2) + (−4, 5) = (1 + [−4], 2 + 5) = (−3, 7)
1
1
5
• (1, 2, −3) + (4, , 2.5) = (1 + 4, 2 + , −3 + 2.5) = (5, , −0.5)
2
2
2
Esta operación verifica las propiedades usuales de una suma: sean ~u, ~v , w
~ vectores de R2 o R3 .
1. Asociativa: ~u + (~v + w)
~ = (~u + ~v ) + w
~
2. Conmutativa: ~u + ~v = ~v + ~u
3. Elemento neutro: ~u + ~0 = ~u,
4. Opuesto: ~u + (−~u) = ~0,
1.1.2
~0 = (0, 0) ó ~0 = (0, 0, 0)
−~u = (−x, −y)
ó −~u = (−x, −y, −z)
Producto por un escalar
λ(x, y) = (λx, λy) y λ(x, y, z) = (λx, λy, λz) donde λ ∈ R.
Esta operación está relacionada con el paralelismo de vectores, de forma que dos vectores ~u, ~v son paralelos si
y sólo si existe un número real α tal que ~u = α ~v y se escribe ~u k ~v . Una aplicación geométrica de este último
hecho son las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las rectas, tanto en el plano como en el espacio.
(a) En R2 , la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 (x0 , y0 ) y que tiene como vector director a
~v = (v1 , v2 ), se obtiene al tener en cuenta que dado un punto cualquiera P (x, y) de la recta debe ocurrir
que P~0 P k ~v y este hecho caracteriza a todos los puntos de la recta. Por lo tanto P~0 P = λ ~v . Recordar que
las coordendas del vector que une dos puntos se calculan restando a las coordenadas del punto extremo
las del punto origen. Luego:
(x − x0 , y − y0 ) = λ (v1 , v2 ) ⇔ (x, y) = (x0 , y0 ) + λ (v1 , v2 )
½
x = x0 + λ v1
(Ec. Paramétricas)
y = y0 + λ v2
(Ec. vectorial)
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2
(b) Análogamente, en R3 , la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0 ) y que tiene como vector
director a ~v = (v1 , v2 , v3 ), será :
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = λ (v1 , v2 , v3 ) ⇔ (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (v1 , v2 , v3 )

 x = x0 + λ v1
y = y0 + λ v2
(Ec. Paramétricas)

z = z0 + λ v3
(Ec. vectorial)
Ejemplos:
2 2
2
2
(1, −3) = ( 1, [−3]) = ( , −2)
3
3 3
3
√
√
√
√
√
√
• 5 (4, −1, 0) = ( 5 4, 5 [−1], 5 0) = (4 5, − 5, 0)
•
• Hallar la recta que pasa por el punto P0 (1, 1) y tiene como vector director a ~v = (−2, 3).
(x − 1, y − 1) = λ (−2, 3) ⇔ (x, y) = (1, 1) + λ (−2, 3)
½
x=1−2λ
(Ec. Paramétricas)
y =1+3λ
(Ec. vectorial)
• Hallar la recta que pasa por los puntos P0 (1, −2, 0) y P1 (2, 3, −1).
En primer lugar hemos de averiguar el vector director de la recta, pero es obvio que debe ser el que une
los dos puntos dados, es decir ~v = P0~P1 = (1, 5, −1). A partir de aquı́ la cosa es sencilla
(x − 1, y − (−2), z − 0) = λ (1, 5, −1) ⇔ (x, y, z) = (1, −2, 0) + λ (1, 5, −1)

 x=1+λ
y = −2 + 5 λ
(Ec. Paramétricas)

z = −λ
(Ec. vectorial)
Las propiedades más importantes de esta operación son: sean ~u, ~v vectores de R2 o R3 , y λ, µ ∈ R.
1. λ(~u + ~v ) = λ~u + λ~v
2. (λ + µ)~u = λ~u + µ~u
3. λ(µ~u) = (λµ)~u
4. 1~u = ~u
5. 0~u = ~0
6. λ~0 = ~0
1.1.3
Módulo de un vector
Se define el módulo de un vector como
p
p
|~u| = x2 + y 2 (~u ∈ R2 ) ; |~u| = x2 + y 2 + z 2 (~u ∈ R3 )
este número mide el tamaño del vector.
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3
Ejemplos:
• |(2, 3)| =
p
22 + 32 =
s
1
• |(−1, , 4)| =
2
√
4+9=
√
13
r
√
√
µ ¶2
1
1
4
+
1
+
64
69
(−1)2 +
+ 42 = 1 + + 16 =
=
2
4
2
2
Un vector se dice unitario si su módulo es 1. Se denominan vectores unitarios canónicos a los siguientes:
~i = (1, 0),
~j = (0, 1)
(en R2 )
~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1) (en R3 )
Todo vector de R2 o R3 , se expresa como combinación lineal de los correspondientes vectores canónicos
~u = (x, y) = x ~i + y ~j
1.2
,
~u = (x, y, z) = x ~i + y ~j + z ~k
Producto escalar
Dados dos vectores no nulos ~u y ~v , se define el producto escalar de estos como el número real:
~u.~v = |~u|.|~v |.cos α
siendo α el ángulo que forman dichos vectores. Si uno de los vectores es nulo, el producto escalar es cero. El
producto escalar también dará cero cuando los vectores sean perpendiculares, ya que en dicho caso el ángulo
formado por estos es de 90◦ y cos(90◦ ) = 0.
El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
En términos de coordenadas el producto escalar se expresa como:
~u.~v = x1 .x2 + y1 .y2
~u.~v = x1 .x2 + y1 .y2 + z1 .z2
(~u = (x1 , y1 ) , ~v = (x2 , y2 ) ∈ R2 )
(~u = (x1 , y1 , z1 ) , ~v = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 )
Este último hecho nos permite hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado P0 (x0 , y0 , z0 ) y
tiene como vector perpendicular, es decir, vector director a ~v = (v1 , v2 , v3 ). Nótese que si P (x, y, z) es cualquier
punto del plano mencionado, ha de ocurrir que los vectores P~0 P y ~v sean perpendiculares, y además esta cuestión
caracteriza a todos los puntos de ese plano. Por tanto:
P~0 P ⊥ ~v ⇔ P~0 P · ~v = 0 ⇔ v1 (x − x0 ) + v2 (y − y0 ) + v3 (z − z0 ) = 0
llegándose a la ecuación general del plano
Ax + By + Cz + D = 0
1.2.1
(A = v1 , B = v2 , C = v3 , D = −[v1 x0 + v2 y0 + v3 z0 ])
Propiedades
Sean ~u, ~v , w
~ vectores en el plano o en el espacio y λ número real.
1. ~u · ~v = ~v · ~u
2. ~u · (~v + w)
~ = ~u · ~v + ~u · w
~
3. λ (~u · ~v ) = (λ ~u) · ~v = ~u · (λ ~v )
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4. ~0 · ~u = 0
Es fácil comprobar que el módulo de un vector puede escribirse como
que ~u.~u = 1.
4
√
~u.~u y que un vector unitario verifica
Ejemplos:
• ~u = (1, 3) , ~v = (0, −2) ⇒ ~u · ~v = 1 · 0 + 3 · (−2) = −6
1
1
1 1
2
−13
• ~u = (−1, 2, ) , ~v = (4, , −2) ⇒ ~u · ~v = −(1) · 4 + 2 · + · (−2) = −4 + − 1 =
2
3
3 2
3
3
• Calcular el ángulo entre los vectores ~u = (−4, 0, 2) y ~v = (2, 0, −1).
d
cos(~u
, ~v ) =
~u · ~v
−10
d
√ = −1 ⇒ ~u
=√
, ~v = π rad.
|~u| · |~v |
20 · 5
• Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P0 (2, 1, 1) y tiene como vector director a ~v = (9, 6, 12).
(x − 2, y − 1, z − 1) · (9, 6, 12) = 0 ⇔ 9(x − 2) + 6(y − 1) + 12(z − 1) = 0 ⇔ 9x + 6y + 12z − 36 = 0
es decir
3x + 2y + 4x − 12 = 0
1.3
Producto vectorial
Dados los vectores ~u, ~v ∈ R3 que forman un ángulo α, se llama producto vectorial de ~u y ~v a un vector que
representamos por ~u × ~v y queda caracterizado del siguiente modo:
Módulo: |~u × ~v | = |~u|.|~v |.|sen α|
Dirección: perpendicular al plano determinado por los vectores ~u y ~v
Sentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de ~u a ~v
1.3.1
Propiedades
Sean ~u, ~v , w
~ vectores en el espacio y λ número real.
1. ~u × ~v = −(~v × ~u)
2. ~u × (~v + w)
~ = ~u × ~v + ~u × w
~
3. λ (~u × ~v ) = (λ ~u) × ~v = ~u × (λ ~v )
4. ~u × ~0 = ~0 × ~u = ~0
5. ~u × ~u = ~0
El módulo del vector ~u ×~v es igual al área del paralelogramo que tiene por lados adyacentes a los vectores
~u y ~v .
En términos de coordenadas, el producto vectorial se expresa como: ~u = (x1 , y1 , z1 ), ~v = (x2 , y2 , z2 )
~u × ~v = (y1 z2 − z1 y2 , z1 x2 − x1 z2 , x1 y2 − y1 x2 )
Una regla, fácil de recordar, para calcular las coordenadas de ~u × ~v es el desarrollo del siguiente
pseudo-determinante
¯
¯
¯ ~i ~j ~k ¯
¯
¯
~u × ~v = ¯¯ x1 y1 z1 ¯¯ = (y1 z2 − z1 y2 ) ~i + (z1 x2 − x1 z2 ) ~j + (x1 y2 − y1 x2 ) ~k
¯ x2 y2 z2 ¯
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5
Ejemplos:
• ~u = (1, −4, 1), ~v = (2, 3, 0)
¯
¯
¯ ~i ~j ~k ¯ ¯
¯
¯ ¯ −4 1
~u × ~v = ¯¯ 1 −4 1 ¯¯ = ¯¯
3 0
¯ 2 3 0 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ~i − ¯ 1 1
¯
¯ 2 0
¯
¯
¯
¯
¯ ~j + ¯ 1
¯
¯ 2
¯
−4 ¯¯ ~
k = −3 ~i + 2 ~j + 11 ~k = (−3, 2, 11)
3 ¯
• Mostrar que el cuadrilátero con vértices en los puntos siguientes es un paralelogramo y calcular su área.
A(5, 2, 0), B(2, 6, 1), C(2, 4, 7), D(5, 0, 6).
~
~
~
~ Hallemos dichos
Los lados del cuadrilátero los constituyen los cuatro vectores AB,
AD,
CB,
y CD.
vectores
~ = (−3, 4, 1); AD
~ = (0, −2, 6); CB
~ = (0, 2, −6); CD
~ = (3, −4, −1)
AB
~ = −AB
~ y que CB
~ = −AD,
~ luego los lados del cuadrilátero son paralelos dos a
es fácil apreciar que CD
dos, es decir, es un paralelogramo. En cuanto al área de éste, bastará con calcular el módulo del vector
que se obtiene al multiplicar vectorialmente dos de los vectores adyacentes que constituyen sus lados.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ~i
~j ~k ¯ ¯
¯ −3 1 ¯
¯ −3 4 ¯
¯ ¯ 4 1 ¯
¯
~
~
¯ ~k = 26 ~i+18 ~j+6 ~k = (26, 18, 6)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
~
~
i−¯
j+¯
AB×AD = ¯ −3 4 1 ¯ = ¯
0 −2 ¯
−2 6 ¯
0 6 ¯
¯ 0 −2 6 ¯
y el módulo de este vector nos dará el área buscada
p
√
Área = (26)2 + (18)2 + (6)2 = 1036 u.a.
• Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos P0 (2, 1, 1), P1 (0, 4, 1) y P2 (−2, 1, 4).
Por lo visto hasta ahora, lo pedido serı́a sencillo si conociésemos un vector perpendicular al plano. Este
vector puede obtenerse fácilmente efectuando el producto vectorial de los vectores P0~P1 y P0~P2 .
~v = P0~P1 × P0~P2 = (9, 6, 12)
por lo que el plano buscado será
9(x − 2) + 6(y − 1) + 12(z − 1) = 0 ⇔ 3x + 2y + 4z − 12 = 0
1.4
Producto mixto
Dados tres vectores ~u, ~v , w
~ ∈ R3 , se llama producto mixto de estos al producto escalar de ~u por el vector
resultante del producto vectorial de ~v por w,
~ y se representa por [~u, ~v , w].
~
[~u, ~v , ~v ] = ~u.(~v × w)
~
Es evidente que el producto mixto de tres vectores es un número real. El valor absoluto de dicho número
coincide con el volumen del paralelepı́pedo que tiene por aristas adyacentes los vectores ~u, ~v y w.
~
En términos de coordenadas, el producto mixto se expresa como: ~u = (x1 , y1 , z1 ), ~v = (x2 , y2 , z2 ),
w
~ = (x3 , y3 , z3 )
[~u, ~v , w]
~ = x1 (y2 z3 − z2 y3 ) + y1 (z2 x3 − x2 z3 ) + z1 (x2 y3 − y2 x3 )
y una forma sencilla de
¯
¯
¯
[~u, ~v , w]
~ = ¯¯
¯
calcularlo serı́a desarrollando el siguiente determinante
¯
x1 y1 z1 ¯¯
x2 y2 z2 ¯¯ = x1 (y2 z3 − z2 y3 ) + y1 (z2 x3 − x2 z3 ) + z1 (x2 y3 − y2 x3 )
x3 y3 z3 ¯
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6
Ejemplo:
• Calcular el volumen del paralelepı́pedo que tiene a los vectores ~u = (3, −5, 1),
w
~ = (3, 1, 1) como aristas adyacentes.
¯¯
¯¯
¯ ¯ 3 −5 1 ¯ ¯
¯¯
¯¯
Volumen = |~u · (~v × w)|
~ = ¯¯ ¯¯ 0 2 −2 ¯¯ ¯¯ = |36| = 36 u.v.
¯¯ 3 1
1 ¯¯
1.5
~v = (0, 2, −2))
y
Coordenadas polares, cilı́ndricas y esféricas
En las secciones anteriores hemos trabajado en R2 y R3 , describiendo a sus elementos en coordenadas cartesianas.
Ahora pretendemos presentar otros sistemas de representación en estos conjuntos.
1.5.1
Polares
Como hemos visto hasta ahora, todo punto de R2 se puede representar mediante un par ordenado (x, y), donde
x representa la distancia del punto al eje OY , e y la distancia al eje OX. Este sistema consiste en acceder
a cualquier punto a través de un mallado construido con lı́neas paralelas a los ejes coordenados. Ahora bien,
ésta no es la única forma de acceder a los puntos de R2 , también podrı́amos hacerlo a través de circunferencias
centradas en el origen de coordenadas y radio variable. Esto es, dado un punto del plano lo situamos en
una circunferencia de radio r igual a la distancia de este punto al origen. Pero como todos los puntos de la
mencionada circunferencia distan lo mismo del origen, habrá que buscar un parámetro que los diferencie, y éste
no es otro que el ángulo que forma el vector que une el origen de coordenadas con el punto y el semieje positivo
de las x. Por tanto, todo punto (x, y) del plano puede ser representado por dos nuevos parámetros (r, θ) a
los que llamaremos coordenadas polares. Las relaciones existentes entre las coordenadas cartesianas y las
polares son las siguientes:
p


r = x2 + y 2








½

arct(y/x) x > 0, y ≥ 0


x = r cos θ


;

y = r sen θ



θ = π + arctg(y/x) x < 0
θ=











θ = 2π + arctg(y/x) x > 0, y < 0
Ejemplos:
• Dado el punto (1, 1) hallar sus coordenadas polares
p
√
π
r = 12 + 12 = 2;
1 > 0, 1 > 0 ⇒ θ = arctg(1/1) = arctg(1) =
4
√ π
Luego las coordendas polares son ( 2, ).
4
π
• Dado el punto, en coordenadas polares, (2, − ) calcular sus correspondientes coordenadas cartesianas.
2
π
x = 2 cos(− ) = 0,
2
Por tanto, las coordenadas pedidas son (0, −2)
π
y = 2 sen(− ) = −2
2
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1.5.2
7
Cilı́ndricas
Al igual que en R2 , en R3 , las coordenadas cartesianas están basadas en un mallado, que en este caso lo
constituyen lı́neas paralelas a los tres ejes coordenados. Otra manera de acceder a cualquier punto (x, y, z)
de R3 , consiste en proyectarlo sobre R2 , dando origen al punto (x, y, 0). Las coordenadas cartesianas de R2 ,
pueden ser cambiadas por las correspondientes coordenadas polares, quedándonos el punto (r, θ, 0) y levantando
este punto a la altura inicial z, obtenemos una nueva descripción (r, θ, z) que denominamos coordenadas
cilı́ndricas. Las relaciones entre ambos sistemas de coordenadas vienen dadas por
p


r = x2 + y 2









arct(y/x) x > 0, y ≥ 0









 x = r cos θ

y = r sen θ
;
θ = π + arctg(y/x) x < 0
θ=





z=z








θ = 2π + arctg(y/x) x > 0, y < 0






z=z
Ejemplos:
• Dado el punto (1,
√
3, 2) hallar sus coordenadas cilı́ndricas.
q
√
√
√
√
π
r = 12 + ( 3)2 = 4 = 2;
1 > 0, 3 > 0 ⇒ θ = arctg(1/ 3) =
6
Luego las coordendas cilı́ndricas son (2,
π
, 2).
6
• Dado el punto, en coordenadas cilı́ndricas, (4,
5π
, 3) calcular sus correspondientes coordenadas cartesianas.
6
√
5π
5π
) = −2 3,
y = 4 sen( ) = 2,
6
6
√
Por tanto, las coordenadas pedidas son (−2 3, 2, 3)
x = 4 cos(
1.5.3
z=3
Esféricas
Otro sistema de parámetros que permiten representar los puntos de R3 , consiste en situar cada punto sobre una
esfera centrada en el origen de coordenadas y cuyo radio será, por supuesto, lapdistancia del punto (x, y, z) al
(0, 0, 0). Luego, tendremos un primer parámetro r que vendrá dado por r = x2 + y 2 + z 2 . Para distinguir
puntos sobre la misma esfera, se usa un sistema análogo al de latitud-longitud empleado para determinar puntos
sobre la superficie de la Tierra. Para ello se determinan dos ángulos: θ el formado por la proyección del punto
sobre el plano xy y el semieje positivo de las x (equivalente a longitud) y cuya variación será 0 ≤ θ ≤ 2π,
y φ el formado por el vector de posición del punto con el eje z positivo (equivalente a latitud), este último
ángulo variarı́a tan sólo entre 0 ≤ φ ≤ π. Con esto, todo punto será representado por una terna (r, θ, φ) que
denominamos coordenadas esféricas. Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las esféricas vienen
dadas por
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
 x = r cos θ sen φ
y = r sen θ sen φ

z = r cos φ
;
8
p


r = x2 + y 2 + z 2









arct(y/x) x > 0, y ≥ 0











 θ=
θ = π + arctg(y/x) x < 0









θ = 2π + arctg(y/x) x > 0, y < 0





!
Ã



z



 φ = arccos p 2
x + y2 + z2
Ejemplos:
• Dado el punto (1, 1, 0) hallar sus coordenadas esféricas.
p
√
r = 12 + 12 + 02 = 2;
π
1 > 0, 1 > 0 ⇒ θ = arctg(1/1) = ;
4
µ
φ = arccos
0
√
2
¶
=
π
2
√ π π
Luego las coordendas esféricas son ( 2, , ).
4 2
π π
• Dado el punto, en coordenadas esféricas, (4, , ) calcular sus correspondientes coordenadas cartesianas.
6 4
√
√
√
π
π
π
π
π
y = 4 sen( ) sen( ) = 2,
z = 4 cos( ) = 2 2
x = 4 cos( ) sen( ) = 6,
6
4
6
4
4
√ √ √
Por tanto, las coordenadas pedidas son ( 6, 2, 2 2)
1.6
Problemas de la sección
1. Dados los vectores ~a = (2, 1), ~b = (−3, 1) y ~c = (−2, −2). Calcular: ~a + ~b; ~a + ~c; ~b + ~c.
sol: ~a + ~b = (−1, 2); ~a + ~c = (0, −1); ~b + ~c = (−5, −1)
2. Hallar los vectores opuestos de los vectores ~a, ~b y ~c del ejercicio anterior.
sol: −~a = (−2, −1); −~b = (3, −1); −~c = (2, 2)
3. Con los vectores del ejercicio 1 calcular: 3~a + 2~b; 2~a − 3~c; ~a − 2~b + 5~c.
sol: 3~a + 2~b = (0, 5); 2~a − 3~c = (10, 8); ~a − 2~b + 5~c = (−2, −11)
~
4. Dados los puntos A(3, 1) y B(5, 4), hallar las coordenadas del vector AB.
sol: (2, 3)
~ = (2, −3) y C(5, 7). Calcular las coordenadas de D.
5. Sea CD
sol: (7, 4)
6. En el sistema de referencia R = {0,~i, ~j} se consideran los vectores siguientes: ~a = (2, 3);
~b = (0, −1); ~c = (5, 0); ~i = (1, 0); ~j = (0, 1). Hallar: ~a · ~b; ~a · ~c; ~i · ~j.
sol: ~a · ~b = −3; ~a · ~c = 10; ~i · ~j = 0
7. Dado el vector ~a = (3, −1) encontrar un vector que sea perpendicular a ~a.
sol: (1, 3), no es la única. Cualquier múltiplo de este vector también es solución.
8. Hallar el módulo de los siguientes vectores: ~a = (2, 1); ~b = (4, 3); ~c = (1, 2).
√
√
sol: |~a| = 5; |~b| = 5; |~c| = 5
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9
1
3
9. Comprobar si los vectores siguientes son unitarios. ~a = (3, 2); ~b = (1, 0); ~c = ( √ , − √ ).
10
10
sol: ~a no lo es; ~b y ~c sı́ lo son.
10. El producto escalar de dos vectores es igual a 18, el módulo de uno de ellos es igual a 6 y el ángulo que
forman es de 60◦ . Hallar el módulo del otro.
sol: |~v | = 6.
11. Dados los vectores ~a = (3, 1) y ~b = (−1, 2), calcular: ~a · ~b y ~b · ~a.
sol: ~a · ~b = −1; ~b · ~a = −1
12. Dados los vectores ~a = (3, 1); ~b = (2, −4) y ~c = (5, 3), calcular: ~a · (~b + ~c) y ~a · ~b + ~a · ~c.
sol: ~a · (~b + ~c) = 20; ~a · ~b + ~a · ~c = 20
13. En el sistema de referencia R = {0,~i, ~j ~k} se consideran los vectores siguientes: ~a = (2, 3, −1); ~b = (0, 1, 3);
~c = (5, 0, 4). Hallar: ~a · ~b; ~a · ~c; ~b · ~c.
sol: ~a · ~b = 0; ~a · ~c = 6; ~b · ~c = 12
3
4
14. Comprobar si los vectores siguientes son unitarios. ~a = (3, 2, 0); ~c = (0, − √ , √ ).
5
5
sol: Ninguno es unitario.
15. Dados los vectores ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) y ~k = (0, 0, 1). Calcular ~i × ~j; ~i × ~k; ~j × ~k; ~j × ~i; ~k × ~i y ~k × ~j.
sol: ~i × ~j = ~k; ~i × ~k = −~j; ~j × ~k = ~i; ~j × ~i = −~k; ~k × ~i = ~j; ~k × ~j = −~i
~
16. Hallar
√ el área del paralelogramo formado sobre los vectores ~a = (2, 1, 5) y b = (3, 2, 1).
sol: 251 u.a.
17. Dado el vector ~a del ejercicio anterior, calcular ~a × ~a.
sol: (0, 0, 0)
18. Hallar el volumen del paralelepı́pedo cuyas aristas son los vectores ~a = (2, 1, 0); ~j = (0, 1, 0) y ~b = (3, 2, 1).
sol: 2 u.v.
19. Dados los vectores ~a = (2, 0, 1) y ~b = (0, 3, 1) comprobar si son perpendiculares. En caso negativo, cambiar
una coordenada del vector ~b para que lo sean.
sol: No son perpendiculares. ~b = (0, 3, 0), no es la única posibilidad.
20. Con los vectores del ejercicio anterior, comprobar que (5~a) × ~b = 5.(~a × ~b).
21. Hallar√el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores ~a = (2, 1, 5) y ~b = (3, 4, 0).
sol: 5 26 u.a.
22. Dados los vectores ~a = (2, 1, 0); ~b = (3, 5, 1) y ~c = (2, 4, 1), halla el producto mixto [~a, ~b, ~c].
sol: 1
23. Calcula el volumen del paralelepı́pedo que tiene por aristas los vectores: ~a = (3, 1, 2); ~b = (0, 5, 0) y
~c = (−1, 1, 0)
sol: 10 u.v.
24. Dados los vectores ~u = (1, 1, 0) y ~v = (a, 1, −1), hallar a para que el ángulo entre ~u y ~v sea 60◦ .
sol: a = 0 ó a = 2
√
25. Sabiendo que ABCD es un cuadrado A = (2, 0, 2), B = (1, 1, 0) y C = (0, y, z), hállese razonadamente
las coordenadas que faltan de C. √
√
sol: C(0, 2, 2) ó C(0, − 23 , − 32 )
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10
26. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P0 (1, −2, 4) y tiene a ~v = (2, 4, −4)
como vector director.
sol: x = 1 + 2 λ; y = −2 + 4 λ; z = 4 − 4 λ
27. Idem para la recta que pasa por los puntos P (−2, 1, 0) y Q(1, 3, 5).
sol: x = −2 + 3 λ; y = 1 + 2 λ; z = 5 λ
28. Hallar el plano que pasa por el punto P (2, 1, 2) y tiene a ~i como vector director.
sol: x = 2
29. Idem, siendo P (3, 2, 2) y ~v = (2, 3 − 1).
sol: 2x + 3y − z = 10
30. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P (0, 0, 0), Q(1, 2, 3), R(−2, 3, 3).
sol: 3x + 9y − 7z = 0
√ π
31. Dados los puntos P (2, π) y Q( 3, ), expresados en coordenadas polares, hallar las correspondientes
6
coordenadas cartesianas.
√
3
3
)
sol: P (−2, 0) y Q( ,
2 2
32. Hallar las coordenadas polares, correspondientes a las cartesianas, de los puntos P (−1, 1) y Q(0, 2).
√ 3π
π
sol: P ( 2,
) y Q(2, )
4
2
π
33. Convertir las coordenadas cilı́ndricas de los siguientes puntos a coordenadas cartesianas: P (5, 0, 2), Q(2, , 2),
3
7π
R(4,
, 3).
6
√
√
sol: P (5, 0, 2), Q(1, 3, 2), R(−2 3, −2, 3)
√
34. Convertir las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos a coordenadas cilı́ndricas: P (0, 5, 1), Q(1, 3, 4),
R(2, −2, −4).
√
π
π
π
sol: P (5, , 1), Q(2, , 4), R(2 2, − , −4)
2
3
4
√
las
35. Convertir
√
√ coordenadas cartesianas de los siguientes puntos a coordenadas esféricas: P (4, 0, 0), Q(−2, 2 3, 4),
R( 3, 1, 2 3).
√ 2π π
π
π π
sol: P (4, 0, ), Q(4 2,
, ), R(4, , )
2
3 4
6 6
π π
π
36. Convertir las coordenadas esféricas de los siguientes puntos a coordenadas cartesianas: P (4, , ), Q(12, − , 0),
6 4
4
π 3π
R(5, ,
).
4 4
√
√ √ √
5 5 5 2
sol: P ( 6, 2, 2 2), Q(0, 0, 12), R( , , −
)
2 2
2
2
Funciones vectoriales
En esta sección estudiaremos funciones, que dependen de un parámetro, cuyas imagenes son vectores de R2 o
bien R3 y las llamaremos funciones vectoriales. En general al parámetro lo denotaremos por t, dado que en
la mayorı́a de las aplicaciones éste representa a la variable tiempo. También pondremos de manifiesto que estas
funciones están asociadas a curvas, en el plano o en el espacio, representadas por sus ecuaciones paramétricas.
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11
Definición.- Una función de la forma
r(t) = f (t) ~i + g(t) ~j = (f (t), g(t)) ∈ R2
r(t) = f (t) ~i + g(t) ~j + h(t) ~k = (f (t), g(t), h(t)) ∈ R3
es una función vectorial, donde las funciones componentes f , g y h son funciones del parámetro t y
con valores en R, es decir, son funciones reales de una variable real. El dominio de la función vectorial es la
intersección de los dominios de sus componentes.
√
Ejemplo: El dominio de la función vectorial r(t) = (ln t, 1 − t,
√t) es el intervalo (0, 1], ya que el dominio de
la primera componente, es decir, ln t es (0, ∞), el de la segunda, 1 − t, es (−∞, 1] y el de la tercera, t, es todo
R. Al intersectar los tres dominios obtenemos el intervalo (0, 1].
Cuando las funciones componentes sean más o menos regulares, el conjunto imagen de r(t) representará una
curva.
n
o
f (t) ~i + g(t) ~j = (f (t), g(t)) : t ∈ dom r
(curva en el plano)
n
o
f (t) ~i + g(t) ~j + h(t) ~k = (f (t), g(t), h(t)) : t ∈ dom r
(curva en el espacio)
Ejemplos:
• Averiguar qué curva plana representa la función vectorial r(t) = 2 cos t ~i − 3 sen t ~j = (2 cos t, −3 sen t),
t ∈ [0, 2π]
Intentemos hallar la ecuación cartesiana que representa a esta curva, para ello tomemos x = 2 cos t e
x
y
y = −3 sen t. Despejando, obtenemos cos t =
y sen t = − .
2
3
³ x ´2 ³ y ´2
x2
y2
cos2 t + sen2 t = 1 ⇒
+ −
=1 ⇒ 2 + 2 =1
2
3
2
3
con lo que queda claro que la curva es una elipse de semiejes a = 2 y b = 3.
• Averiguar qué curva, en el espacio, representa la función vectorial r(t) = 4 cos t ~i + 4 sen t ~j + t ~k =
(4 cos t, 4 sen t, t),
t ∈ [0, 4π].
De forma análoga al ejemplo anterior, tomemos x = 4 cos t, y = 4 sen t y z = t.
x2 + y 2 = 16 cos2 t + 16 sen2 t = 16
Aunque a primera vista parezca que la curva es una circunferencia de radio 4, no hemos de olvidar que
hay una tercera coordenada, la z, que no está ligada a la x y la y. Luego, nuestra curva es una hélice
que va rodeando al cilindro de base la circunferencia x2 + y 2 = 16
• Representar la párabola y = x2 + 1 mediante una función vectorial.
Existen muchas formas de elegir el parámetro t para obtener la función vectorial, pero la manera más
intuitiva es tomar como t la variable independiente en la ecuación cartesiana, es decir, x = t, por lo que
y = t2 + 1. Entonces, la función buscada será
r(t) = t ~i + (t2 + 1) ~j = (t, t2 + 1)
Lo visto hasta el momento pone de manifiesto que un estudio de las propiedades de las funciones vectoriales,
se puede traducir a un estudio del comportamiento de curvas, lo que motivará los siguientes apartados.
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2.1
12
Lı́mites y continuidad
La mayorı́a de las técnicas y definiciones utilizadas en el cálculo de funciones reales, se pueden aplicar a funciones
vectoriales. Veremos que la cuestión se reduce, en esencia, a la aplicación de éstas a las componentes de la función
vectorial.
Suma y resta
r1 (t) ± r2 (t) = (f1 (t), g1 (t)) ± (f2 (t), g2 (t)) = ([f1 (t) ± f2 (t)], [g1 (t) ± g2 (t)])
(en el plano)
r1 (t)±r2 (t) = (f1 (t), g1 (t), h1 (t))±(f2 (t), g2 (t), h2 (t)) = ([f1 (t) ± f2 (t)], [g1 (t) ± g2 (t)], [h1 (t) ± h2 (t)])
(en el espacio)
Multiplicación por un escalar
λ r(t) = λ (f (t), g(t)) = (λ f (t), λ g(t))
(en el plano)
λ r(t) = λ (f (t), g(t), h(t)) = (λ f (t), λ g(t), λ h(t))
(en el espacio)
Definición.(a) Si r es una función vectorial tal que r(t) = f (t) ~i + g(t) ~j = (f (t), g(t)), entonces
³
´
h
i
h
i
lim r(t) = lim f (t) ~i + lim g(t) ~j = lim f (t), lim g(t)
t→a
t→a
t→a
t→a
t→a
siempre que existan los lı́mites de f y g cuando t → a
(b) Si r es una función vectorial tal que r(t) = f (t) ~i + g(t) ~j + h(t) ~k = (f (t), g(t), h(t)), entonces
h
i
³
´
h
i
h
i
lim r(t) = lim f (t) ~i + lim g(t) ~j + lim h(t) ~k = lim f (t), lim g(t), lim h(t)
t→a
t→a
t→a
t→a
t→a
t→a
t→a
siempre que existan los lı́mites de f , g y h cuando t → a
Definición.- Una función vectorial r es continua en un punto de su dominio, t = a, si el lı́mite de r(t)
cuando t → a existe y lim r(t) = r(a).
t→a
Una función vectorial r es continua en un intervalo I, si es continua en todos los puntos del intervalo.
Nota: Combinando las dos últimas definiciones, podemos concluir que una función vectorial es continua
en t = a si, y sólo si, cada una de sus componentes es continua en t = a.
Ejemplo: Analizar la continuidad de la función vectorial r(t) = (t, a, a2 − t2 ), donde a es constante, en t = 0.
³
´
lim r(t) = lim t, lim a, lim [a2 − t2 ] = (0, a, a2 )
t→0
t→0
t→0
t→0
y como r(0) = (0, a, a2 ), se concluye que r es continua en t = 0. En realidad, cada una de las componentes de
r(t) son funciones continuas en todo R, por lo que podemos asegurar que la función vectorial r es continua en
todo R.
2.2
Derivación e integración
En este apartado comprobaremos, al igual que en el anterior, que la derivación o la integración de funciones
vectoriales, se reduce en última instancia a la derivación o la integración de sus funciones componentes.
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2.2.1
13
La derivada
Definición.- La derivada de una función vectorial se define como
r(t + h) − r(t)
h→0
h
r0 (t) = lim
para todo t para el que existe el lı́mite. Si r0 (t) existe para todo t en el intervalo abierto I, entonces r es
derivable en el intervalo I.
Nota: Si escribimos, en la definición anterior, r en términos de sus componentes y efectuamos la correpondiente
operatoria, comprobaremos que la existencia del lı́mite planteado es equivalente a la existencia de los correspondientes lı́mites, pero sobre las correspondientes componentes. Este hecho queda recogido a continuación.
Teorema
(a) Si r(t) = f (t) ~i + g(t) ~j, donde f y g son funciones derivables en t, entonces
r0 (t) = f 0 (t) ~i + g 0 (t) ~j
(b) Si r(t) = (f (t), g(t), h(t)), donde f , g y h son funciones derivables en t, entonces
r0 (t) = (f 0 (t), g 0 (t), h0 (t))
Ejemplos:
• Hallar la derivada de cada una de las funciones vectoriales
1
b) r(t) = ( , ln t, e2t )
t
a) r(t) = (t2 , −4)
derivando componente a componente obtenemos
a) r0 (t) = (2t, 0)
b) r0 (t) = (−
1 1
, , 2e2t )
t2 t
• Para la función vectorial dada por r(t) = cos t ~i + sen t ~j + 2t ~k, hallar
a) r0 (t)
b) r00 (t)
c) r0 (t) · r00 (t)
d) r0 (t) × r00 (t)
a) r0 (t) = (−sen t, cos t, 2).
b) r00 (t) = (−cos t, −sen t, 0).
c) r0 (t) · r00 (t) = (−sen t, cos t, 2) · (−cos t, −sen t, 0) = 0. Nótese que el producto escalar es una función
real.
¯
¯
~i
¯
d) r0 (t) × r00 (t) == ¯¯ −sen t
¯ −cos t
¯
~k ¯
~j
¯
cos t 2 ¯¯ = 2sen t ~i − 2cos t ~j + ~k
−sen t 0 ¯
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14
Diremos que una curva, representada por la función vectorial r, es suave en un intervalo abierto I, si la
función vectorial r0 es continua en I y r0 (t) 6= ~0 para todo valor t en el intervalo. Es decir, las derivadas de las
componentes de r deben ser funciones continuas en I y no anularse todas a la vez en ningún punto de I.
Ejemplo: Hallar los intervalos en los que la curva, representada por la función vectorial
r(t) = (5cos t − cos 5t) ~i + (5sen t − sen 5t) ~j, t ∈ [0, 2π], es suave.
La derivada de r es r0 (t) = (−5sen t + 5sen 5t) ~i + (5cos t − 5cos 5t) ~j, t ∈ [0, 2π], por lo que r0 es continua
en todo [0, 2π]. Luego si la curva deja de ser suave en algún punto, es debido a que se anulan en él las dos
componentes de r0 .
r0 (t) = (0, 0) ⇒ sen t = sen 5t y cos t = cos 5t
π
3π
obteniéndose t = 0, , π,
, 2π. Por lo tanto, la curva dada es suave en los intervalos
2
2
¶
³ π ´ ³ π ´ µ 3π ¶ µ 3π
0,
, π , π,
,
, 2π
,
2
2
2
2
Propiedades: Sean r y u funciones vectoriales derivables en t, f una función real derivable en t y c un
escalar.
1. [c r(t)]0 = c r0 (t)
2. [r(t) ± u(t)]0 = r0 (t) ± u0 (t)
3. [f (t)r(t)]0 = f (t)r0 (t) + f 0 (t)r(t)
4. [r(t) · u(t)]0 = r(t) · u0 (t) + r0 (t) · u(t)
5. [r(t) × u(t)]0 = r(t) × u0 (t) + r0 (t) × u(t)
6. [r(f (t))]0 = r0 (f (t))f 0 (t)
7. Si r(t) · r(t) = c, entonces r(t) · r0 (t) = 0, es decir r(t) ⊥ r0 (t)
2.3
La integral
La siguiente definición es consecuencia lógica de la definición de derivada de una función vectorial.
Definición.(a) Si r(t) = f (t) ~i + g(t) ~j, donde f y g son funciones continuas en [a, b], entonces la integral indefinida (o
antiderivada) de r es
·Z
¸
·Z
¸
Z
~
g(t) dt ~j
r(t) dt =
f (t) dt i +
y su integral definida en el intervalo [a, b] es
"Z
"Z
#
Z b
b
r(t) dt =
f (t) dt ~i +
a
b
#
g(t) dt ~j
a
a
(b) Si r(t) = f (t) ~i + g(t) ~j + h(t) ~k, donde f , g y h son funciones continuas en [a, b], entonces la integral
indefinida (o antiderivada) de r es
·Z
¸
·Z
¸
·Z
¸
Z
r(t) dt =
f (t) dt ~i +
g(t) dt ~j +
h(t) dt ~k
y su integral definida en el intervalo [a, b] es
"Z
#
"Z
Z b
b
r(t) dt =
f (t) dt ~i +
a
a
a
b
#
"Z
g(t) dt ~j +
a
b
#
h(t) dt ~k
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15
Z
Nota: Es fácil comprobar que
~ siendo R la función vectorial cuyas componentes
r(t) dt = R(t) + C,
~ un vector constante, pero arbitrario. Además
coinciden con las primitivas de las componentes de r y C
Z b
R0 (t) = r(t) y
r(t) dt = R(b) − R(a).
a
Ejemplos:
Z
1
) dt
1 + t2
µZ
¶
Z
Z
1
t2
1
t2
(t,
)
dt
=
t
dt,
dt
= ( + C1 , arctg t + C2 ) = ( , arctg t) + (C1 , C2 )
2
2
1+t
1+t
2
2
• Hallar la integral indefinida
Z
• Evaluar la integral
1
·
√
3
(t,
t ~i +
0
Z
1
0
·
√
3
t ~i +
1 ~
j + e−t ~k
1+t
1 ~
j + e−t ~k
1+t
¸
µZ
dt =
0
1
√
3
¸
¶
t dt
dt
µZ
~i+
1
0
¶ µZ 1
¶
¶
µ
1
3
1 ~
dt +
e−t dt ~k = ~i+ln 2 ~j+ 1 −
k
1+t
4
e
0
Otra forma de obtener elµvalor de la integral,¶consiste en calcular una función primitiva
de r, que¶en
µ
3 4
3
nuestro caso serı́a R(t) =
t 3 , ln|1 + t|, −e−t , y efectuar la opercaión R(1)−R(0) =
, ln 2, −e−1 −
4
4
(0, 0, −1).
2.4
2.4.1
Aplicaciones
Velocidad y aceleración
Si consideramos la curva asociada a una función vectorial como la trayectoria que sigue una partı́cula en
movimiento, podemos escribir
r(t) = x(t) ~i + y(t) ~j
(en el plano)
r(t) = x(t) ~i + y(t) ~j + z(t) ~k
(en el espacio)
donde el par o terna de funciones componentes nos darı́a la posición de la partı́cula en cada instante.
Definición.- Si r(t) = x(t) ~i + y(t) ~j, con x e y funciones que admiten primera y segunda derivada en cada t
del dominio de r, entonces el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez en el instante t se definen como
sigue:
Velocidad : v(t) = r0 (t) = x0 (t) ~i + y 0 (t) ~j
Aceleración : a(t) = r00 (t) = x00 (t) ~i + y 00 (t) ~j
p
Rapidez : |v(t)| = |r0 (t)| = [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2
De forma análoga, si r(t) = x(t) ~i + y(t) ~j + z(t) ~k, entonces:
Velocidad : v(t) = r0 (t) = x0 (t) ~i + y 0 (t) ~j + z 0 (t) ~k
Aceleración : a(t) = r00 (t) = x00 (t) ~i + y 00 (t) ~j + z 00 (t) ~k
p
Rapidez : |v(t)| = |r0 (t)| = [x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 + [z 0 (t)]2
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16
Ejemplos:
• Hallar el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partı́cula que se mueve a lo largo de
la curva plana C descrita por
t
t
r(t) = 2 sen ~i + 2 cos ~j
2
2
t
t
El vector velocidad es v(t) = r0 (t) = (cos , − sen ). La rapidez en cualquier instante es |v(t)| = |r0 (t)| =
2
2
r
t
t
1
t
1
t
cos2 + sen2 = 1. Por último, el vector aceleración es a(t) = r00 (t) = − sen ~i −
cos ~j.
2
2
2
2
2
2
• Un objeto parte del reposo desde P (1, 2, 0) y se mueve con una aceleración a(t) = ~j + 2 ~k, donde |a(t)|
se mide en metros por segundo al cuadrado. Hallar la posición del objeto después de t = 2 segundos.
Del enunciado del problema se infiere que la velocidad inicial es cero, es decir, v(0) = ~0, y que r(0) =
(1, 2, 0).
µZ
¶
Z
Z
Z
Z
v(t) = a(t) dt = (0, 1, 2) dt =
0 dt, 1 dt, 2 dt = (C1 , t + C2 , 2t + C3 )
Como v(0) = (0, 0, 0) = (C1 , 0 + C2 , 0 + C3 ), tenemos que C1 = C2 = C3 = 0. Por tanto la velocidad en
cada instante viene dada por v(t) = (0, t, 2t). Integrando de nuevo
µZ
¶ µ
¶
Z
Z
Z
Z
t2
r(t) = v(t) dt = (0, t, 2t) dt =
0 dt, t dt, 2t dt = K1 , + K2 , t2 + K3
2
Tomando t = 0, r(0) = (1, 2, 0) = (K1 , K2 , K3 ); entonces K1 = 1, K2 = 2 y K3 = 0. Luego el vector
t2
posición es r(t) = (1, + 2, t2 ), lo que nos lleva a asegurar que la posición del objeto cuando t = 2 es
2
r(2) = (1, 4, 4).
2.4.2
Longitud de arco
Teorema
(a) Si C es una curva suave dada por r(t) = x(t) ~i + y(t) ~j, en un intervalo [a, b], entonces la longitud de
arco de C en el intervalo es
Z b
Z bp
s=
|r0 (t)| dt =
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt
a
a
(b) Si C es una curva suave dada por r(t) = x(t) ~i + y(t) ~j + z(t) ~k, en un intervalo [a, b], entonces la
longitud de arco de C en el intervalo es
Z b
Z bp
0
s=
|r (t)| dt =
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 + [z 0 (t)]2 dt
a
a
Ejemplos:
√
2 2 3 1 2
t 2 , t ), desde t = 0 hasta t = 2.
• Hallar la longitud de arco de la curva dada por r(t) = (t,
3
2
√
1
r0 (t) = (1, 2 t 2 , t). Por tanto
Z
s=
2
Z
2
0
|r (t)| dt =
0
0
Z
p
1 + 2t + t2 dt =
2
0
¸2
·
t2
= 4 u.l.
(1 + t) dt = t +
2 0
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
17
p
• Hallar la longitud de un giro de la√hélice dada por r(t) = b cos t ~i + b sen t ~j +
1 − b2 t ~k.
r0 (t) = −b sen t ~i + b cos t ~j + 1 − b2 ~k, luego
Z 2π
Z 2π
Z 2π p
b2 (sen2 t + cos2 t) + (1 − b2 ) dt =
dt = 2π u.l.
s=
|r0 (t)| dt =
0
2.5
0
0
Problemas de la sección
1. Hallar el dominio de las funciones vectoriales
p
√
1
1
a) r(t) = 5t ~i − 4t ~j − ~k b) r(t) = ( t,
) c) r(t) = ( 4 − t2 , t2 , −6t)
t
t−2
sol : R − {0}
sol : [0, 2) ∪ (2, ∞)
sol : [−2, 2]
2. Escribir la ecuación cartesiana de las curvas representadas por las siguientes funciones vectoriales
√
a) r(t) = 3t ~i + (t − 1) ~j b) r(t) = (3 cos t, 4 sen t, t)
c) r(t) = (1 − t, t)
x2
x
y2
sol : y = − 1, (recta) sol : 2 + 2 = 1, (hélice elipsoidal) sol : x = 1 − y 2 , (parábola)
3
3
4
3. Evaluar los siguientes lı́mites
·
¸
t2 − 4 ~ 1 ~
a) lim t ~i + 2
j+ k
t→2
t − 2t
t
1
sol : (2, 2, )
2
b) lim (et ,
t→0
sen t −t
1
t
, e ) c) lim (e−t , , 2
)
t→∞
t
t t +1
sol : (1, 1, 1)
sol : (0, 0, 0)
4. Indicar el dominio de continuidad de las siguientes funciones
a) r(t) = (e−t , t2 , tg t)
π
π
sol : (− + nπ, + nπ),
2
2
b) r(t) = (et ,
sen t −t
,e )
t
n ∈ Z sol : R − {0}
c) r(t) =
√
t ~i +
√
t − 1 ~j
sol : [1, ∞)
5. Calcular la derivada de las siguientes funciones vectoriales
µ
¶
1
t2
b) r(t) =
, 16t,
t
2
1~
0
0
2
2
sol : r (t) = (−3a cos t sen t, 3a sen t cos t, 0) sol : r (t) = − 2 i + 16 ~j + t ~k
t
a) r(t) = a cos t ~i + a sen3 t ~j + ~k
3
√
t ~i + t2 t ~j + ln t2 ~k
µ
¶
1 5 √ 2
0
sol : r (t) = 2 √ , t t,
t
t 2
c) r(t) = 4
√
6. Hallar los intervalos en los que las curvas, representadas por las siguientes funciones vectoriales, son suaves.
b) r(θ) =µ (2 cos3 θ, 3 sen¶3 θ) c) r(t) = t ~i − 3t ~j + tg t ~k
³ π
´
nπ (n + 1)π
π
sol : (−∞, 0), (0, ∞)
sol :
,
sol : − + nπ, + nπ
2
2
2
2
a) r(t) = t2 ~i + t3 ~j
7. Hallar las siguientes integrales indefinidas
¸
¶
Z ·
Z µ
1 ~
1
a)
sec2 t ~i +
j
dt
b)
ln
t,
,
1
dt
1 + t2
t
~
~
sol : (tg t, arctg t) + C
sol : (t ln t − t) ~i + ln t ~j + t ~k + C
8. Evaluar las siguientes integrales definidas
Z π2 h
i
(a cos t) ~i + (a sen t) ~j + ~k dt
a)
0
π
sol : (a, a, )
2
Z
2
b)
¡
c)
Z h
√ i
(2t − 1) ~i + 4t3 ~j + 3 t ~k dt
³
´
3
~
sol : t2 − t, t4 , 2t 2 + C
¢
t, et , −t et dt
0
sol : 2 ~i + (e2 − 1) ~j − (e2 + 1) ~k
Z
¯
¯
¯ ~
¯
¯t i + t2 ~j ¯ dt
0 ³
´
√
1
sol :
10 10 − 1
3
c)
3
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3
18
Funciones de varias variables
3.1
Introducción
Hasta el momento hemos estudiado funciones de una sola variable independiente. Sin embargo en la mayorı́a
de los problemas comunes, las funciones que comparecen dependen de dos o más variables independientes. Por
ejemplo el volumen de un cilindro circular, V (r, h) = πr2 h, depende de dos variables, el radio de la base r y la
altura h. En esta sección estudiaremos este tipo de funciones, para las que usaremos una notación similar a la
de las funciones de una sola variable
Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) ∈ D le
corresponde un único número real f (x, y), entonces se dice que f es una función de x e y. El conjunto D es
el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores f (x, y) es el rango o recorrido de f .
En la función dada por z = f (x, y), x e y son las variables independientes y z es la variable dependiente.
Pueden darse definiciones similares para funciones de tres, cuatro o n variables, donde los dominios consistirı́an en conjuntos formados por ternas ordenadas (x, y, z), cuaternas ordenadas (x, y, z, t) o n-uplas ordenadas
(x1 , x2 , ....., xn ), respectivamente.
Ejemplos: Hallar el dominio de cada función.
p
x2 + y 2 − 9
a) f (x, y) =
x
x
b) g(x, y, z) = p
9−
x2
− y2 − z2
a) La función está definida para todos los pares (x, y) tales que x 6= 0 y x2 + y 2 ≥ 9. Por tanto el dominio
de f está constituido por los puntos del plano que están sobre la circunferencia x2 + y 2 = 9 o bien fuera
de ésta, exceptuando los puntos del eje OY .
b) En este caso la función está definida para los puntos del espacio que verifican que x2 + y 2 + z 2 < 9. Luego
el dominio de g lo constituyen los puntos interiores a la esfera de radio 3 y centro el origen de coordenadas.
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las de una variable.
(f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y)
(f g)(x, y) = f (x, y)g(x, y)
(λf )(x, y) = λf (x, y)
f
f (x, y)
(x, y) =
g
g(x, y)
(Suma o diferencia)
(Producto)
(Producto por un escalar)
g(x, y) 6= 0
(Cociente)
De forma análoga se pueden combinar funciones de tres o más variables.
El dominio de las funciones resultantes es la intersección de los dominios de las funciones que intervienen en
la operación.
Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma cxn y m , donde c es un número real
y m y n son números naturales, se denomina función polinómica de dos variables. Por ejemplo
f (x, y) = 2x2 y 3 + x3 − 3xy 2 + 2. Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. La misma
terminologı́a se emplea para funciones de más variables.
La gráfica de una función de dos variables f está constituida por las ternas (x, y, z), tales que z = f (x, y) y
(x, y) pertenecen al dominio de f . Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el
espacio, la cual nos da una idea visual del comportamiento de la propia función f . No siempre, en realidad casi
nunca, es fácil representar la gráfica de una función de dos variables. Una segunda manera de visualizar una
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19
función de dos variables es a través de las curvas de nivel, que son aquellas curvas contenidas en el dominio
de la función y constituidas por los puntos donde la función toma el mismo valor, es decir {(x, y) : f (x, y) = c}
con c variando en R. Dos ejemplos claros y cotidianos del concepto de curvas de nivel lo constituyen las isobaras
(igual presión atmosférica) en un mapa climático y las lı́neas de contorno (igual altura sobre el nivel del mar)
en un mapa topográfico.
Ejemplo: Hallar las curvas de nivel asociadas al paraboloide hiperbólico dado por z = f (x, y) = y 2 − x2 .
Para cada valor de c hemos de determinar la curva f (x, y) = c, es decir y 2 − x2 = c. para todo c 6= 0 la
ecuación y 2 − x2 = c, representa una hipérbola de ası́ntotas y = ±x. Si c > 0 el eje transversal es vertical y
si c < 0 el eje transversal es horizontal. Por último, para c = 0 la curva de nivel está constituida por las dos
ası́ntotas y = x e y = −x.
El equivalente al concepto de curva de nivel en una dimensión más, lo constituye el concepto de superficie
de nivel. Si f es una función de tres variables y c es una constante, la gráfica de la ecuación f (x, y, z) = c es
una superficie de nivel.
Ejemplo: Describir las superficies de nivel de la función w = f (x, y, z) = 4x2 + y 2 + z 2 .
Para cada valor de c hemos de determinar la superficie f (x, y, z) = c, es decir 4x2 + y 2 + z 2 = c. Es evidente
que nuestra busqueda sólo tiene sentido para valores c ≥ 0.
4x2 + y 2 + z 2 = 0
x2
c
4
+
y2
z2
+
=1
c
c
(c = 0, un solo punto)
(c > 0, elipsoide)
Nota: También podrı́amos generalizar a funciones de tres variables el concepto de gráfica, pero como quiera
que ésta estarı́a inmersa en R4 , nos es imposible visualizarla.
3.2
Lı́mites y continuidad
El estudio del lı́mite de una función de dos variables requiere que generalicemos, a R2 , el concepto que usamos
en R de cercanı́a a un punto, a través de un intervalo de radio δ centrado en el mismo (x0 − δ, x0 + δ). Para
ello hemos de pensar que si hablamos de los puntos que distan de (x0 , y0 ) menos de una cantidad δ > 0, tales
puntos vendrán caracterizados por la siguiente inecuación
p
|(x, y) − (x0 , y0 )| < δ ⇔
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ ⇔ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2 ,
la cual reperesenta el interior de un cı́rculo o disco centrado en (x0 , y0 ) y de radio δ. Se puede definir el δentorno de (x0 , y0 ) como el disco abierto, es decir, sin la circunferencia exterior, con radio δ > 0 centrado en
(x0 , y0 ).
Definición.- Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x0 , y0 ), excepto quizás
en el propio (x0 , y0 ), y sea L un número real. Entonces
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) = L
si para cada ² > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x, y) − L| < ², siempre que
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ.
En lenguaje coloquial, lo que se está exigiendo en la definición es que los puntos próximos a (x0 , y0 ) tenga
su imagen próxima a L. Dicho ası́ la cosa no difiere en absoluto del concepto de lı́mite para funciones de una
variable. Sin embargo hay una sutil pero fundamental diferencia. En una variable el acercamiento a un punto
sólo admite dos direcciones, por la derecha o por la izquierda, mientras que en dos variables, al encontrase el
dominio de la función contenido en el plano R2 , existen una infinidad de formas de acercarse a un punto: a través
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
20
de rectas o cualquier curva que lo contenga o mediante sucesiones que lo tengan como lı́mite. Evidentenmente, la
existencia de un lı́mite está condicionada a que su valor no dependa de la forma en que nos acerquemos al punto.
Este hecho hace que el cálculo de lı́mites para funciones de varias variables sea mucho más complicado que para
el caso de una. Nosotros nos limitaremos a estudiar algunos casos sencillos, utilizando todas las herramientas
aprendidas en el cálculo de lı́mites de funciones de una variable.
Ejemplos:
• Calcular
lim
5x2 y
+ y2
(x,y)→(1,2) x2
Usando operatoria de lı́mites,
lim
(x,y)→(1,2)
5x2 y = 5(12 )(2) = 10 y
Dado que el lı́mite del denominador no se anula, el resultado buscado es
• Calcular
(x2 + y 2 ) = (12 ) + (22 ) = 5.
lim
(x,y)→(1,2)
5x2 y
10
=2
=
5
(x,y)→(1,2) x2 + y 2
lim
5x2 y
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
0
Si actuamos como en el ejemplo anterior llegamos a una indeterminación del tipo . Una técnica muy usada
0
para vislumbrar por donde pueden ir las cosas son los denominados lı́mites iterados, que representamos
por
·
¸
·
¸
lim
x→x0
lim f (x, y)
y
y→y0
Estos lı́mites están relacionados con
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
lim
y→y0
lim f (x, y)
x→x0
f (x, y) = L, de la siguiente forma: si existe el lı́mite,
deben existir los iterados y coincidir los tres. Ahora bien, la mera existencia y coincidencia de los iterados
no garantiza la existencia del lı́mite. Sin embargo, la no existencia de alguno o los dos iterados o bien la
diferencia de valor entre ellos es garantı́a suficiente de la no existencia del lı́mite.
·
¸
·
¸
5x2 y
5x2 y
En nuestro caso lim lim 2
= 0 y lim lim 2
= 0. Por tanto todo apunta a que en caso
x→0 y→0 x + y 2
y→0 x→0 x + y 2
de
p éste debe valer 0. Usemos la definición para demostrarlo. Sea (x, y) tal que
p existir el lı́mite doble,
(x − 0)2 + (y − 0)2 = x2 + y 2 < δ, entonces
¯
¯
¯
¯
p
¯ 5x2 y ¯
¯ x2 ¯
¯
¯
¯ < 5|y| ≤ 5 x2 + y 2 < 5δ = ²
¯
|f (x, y) − 0| = ¯ 2
=
5|y|
¯ x2 + y 2 ¯
x + y2 ¯
Por lo que basta elegir δ =
²
.
5
• Mostrar que no existe el siguiente lı́mite
µ
lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y 2
x2 + y 2
¶2
Calculemos en primer lugar los lı́mites iterados
"
µ
lim lim
y→0
x→0
"
µ
lim lim
y→0
x→0
x2 − y 2
x2 + y 2
x2 − y 2
x2 + y 2
¶2 #
=1
¶2 #
=1
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21
Acercándonos al (0, 0) por la recta y = x
µ
lim
(x,y)→(0,0), y=x
x2 − y 2
x2 + y 2
¶2
µ
= lim
x→0
0
2x2
¶2
=0
Los lı́mites iterados apuntan a que el valor del lı́mite es 1 mientras que el acercamineto por la recta y = x
nos lleva al valor 0. Por tanto no puede existir el lı́mite, ya que si lo hiciese no dependerı́a de la forma en
que nos acercamos al punto.
Definición.- Una función f , de dos variables, es continua en un punto (x0 , y0 ) de una región abierta R si
f (x0 , y0 ) es igual al lı́mite de f (x, y) cuando (x, y) → (x0 , y0 ). Es decir
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) = f (x0 , y0 )
La función f es continua en R si es continua en todo punto de R.
µ 2
¶2
5x2 y
x − y2
, no son continuas en (0, 0). Sin embargo
Ejemplos: Las funciones f (x, y) = 2
y g(x, y) =
x + y2
x2 + y 2
la primera función presenta una discontinuidad evitable, ya que al existir el correspondiente lı́mite, podemos
redefinir la función en el punto y conseguir la continuidad.
Teorema
Si k es un número real y f y g son funciones continuas en (x0 , y0 ), entonces las funciones siguientes son
continuas en dicho punto.
a) kf
b) f ± g
c) f g
d)
f
, si g(x0 , y0 ) 6= 0
g
Teorema
Si h es continua en (x0 , y0 ) y g es continua en h(x0 , y0 ), entonces la función compuesta (g◦h)(x, y) = g(h(x, y))
es continua en (x0 , y0 ). Es decir
lim
g(h(x, y)) = g(h(x0 , y0 ))
(x,y)→(x0 ,y0 )
Nótese que h es una función de dos variables, mientra g es una función de una variable.
Ejemplos: Analizar la continuidad de las siguientes funciones
a) f (x, y) =
x − 2y
x2 + y 2
b) g(x, y) =
2
y − x2
a) La función es el cociente de dos funciones polinómicas, las cuales son continuas en todo R2 . Luego f es
continua salvo en los puntos donde se anula el denominador, es decir en el punto (0, 0).
b) Nuevamente, tenemos el cociente de dos funciones continuas en todo R2 , con lo que tenemos garantizada
la continuidad salvo en los puntos donde y = x2 .
Las definiciones de lı́mite y continuidad pueden extenderse a funciones de tres variables, considerendo como
entorno de un punto (x0 , y0 , z0 ) el interior de la esfera centrada en dicho punto y radio δ > 0, es decir, los
puntos de R3 tales que
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < δ ⇔ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < δ 2
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
22
Definición.- Una función f , de tres variables, es continua en un punto (x0 , y0 , z0 ) de una región abierta R
si f (x0 , y0 , z0 ) es igual al lı́mite de f (x, y, z) cuando (x, y, z) → (x0 , y0 , z0 ). Es decir
lim
(x,y,z)→(x0 ,y0 ,z0 )
f (x, y, z) = f (x0 , y0 , z0 )
La función f es continua en R si es continua en todo punto de R.
1
es el cociente de dos funciones continuas en todo R3 , entonces f
x2 + y 2 − z
es continua en todo punto salvo en los que están sobre el paraboloide z = x2 + y 2 .
Ejemplo: La función f (x, y, z) =
3.3
Derivadas parciales
En el estudio de funciones de una variable se introduce el concepto de derivada como la tasa de variación de
la función respecto a la variación de la variable independiente. En el caso de las funciones de varias variables
podremos hablar de tasas de variación de la función respecto a la variación de cada una de las variables
independientes, lo que nos llevará al concepto de derivadas parciales.
Definición.- Si z = f (x, y), las primeras derivadas parciales de f respecto a x e y son las funciones fx y
fy , definidas por
fx (x, y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
∆x
;
fy (x, y) = lim
∆y→0
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∆y
siempre y cuando exista el correspondiente lı́mite.
Esta definición nos indica que si z = f (x, y), para calcular fx hemos de considerar y constante y derivar
respecto a x. De manera similar, para calcular fy consideramos x constante y derivamos respecto a y. Es
bastante común usar otras notaciones para representar a las derivadas parciales, por ejemplo
∂f
∂z
∂f
∂z
zx = fx =
=
, zy = fy =
=
. Las derivadas parciales evaluadas en un punto (a, b) se denotan por
∂x
∂x
∂y
∂y
¯
¯
∂z ¯¯
∂z ¯¯
= fx (a, b) y
= fy (a, b).
¯
∂x (a,b)
∂y ¯(a,b)
Ejemplos:
• Hallar las derivadas parciales fx y fy de la función f (x, y) = 3x − x2 y 2 + 2x3 y.
Si consideramos y como constante y derivamos respecto a x obtenemos fx (x, y) = 3 − 2xy 2 + 6x2 y.
Análogamente, si derivamos respecto a y considerando la x como constante, el resultado es
fy (x, y) = −2x2 y + 2x3 .
2
• Dada f (x, y) = xex y , hallar fx y fy , y evaluar cada una en el punto (1, ln 2).
2
2
Como fx (x, y) = ex y + xex y (2xy), entonces fx (1, ln 2) = eln 2 + eln 2 (2ln 2) = 2 + 4 ln 2. Por otro lado
2
2
fy (x, y) = xex y (x2 ) = x3 ex y , entonces fy (1, ln 2) = eln 2 = 2.
El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o más variables. Por
ejemplo, si w = f (x, y, z), existen tres derivadas parciales cada una de las cuales se obtienen al derivar respecto
a una variable manteniendo las otras dos constantes.
f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z)
∂w
= fx (x, y, z) = lim
∆x→0
∂x
∆x
f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z)
∂w
= fy (x, y, z) = lim
∆y→0
∂y
∆y
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23
∂w
f (x, y, z + ∆z) − f (x, y, z)
= fz (x, y, z) = lim
∆z→0
∂z
∆z
Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de la función f (x, y, z) = z sen(xy 2 + 2z).
fx (x, y, z) = z cos(xy 2 + 2z)(y 2 ) = zy 2 cos(xy 2 + 2z)
fy (x, y, z) = z cos(xy 2 + 2z)(2xy) = 2xyz cos(xy 2 + 2z)
fz (x, y, z) = sen(xy 2 + 2z) + z cos(xy 2 + 2z)(2) = sen(xy 2 + 2z) + 2z cos(xy 2 + 2z)
De forma análoga a lo que sucede con la derivada ordinaria, podemos calcular las segundas, terceras, etc.
derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que existan. Por ejemplo, la función z = f (x, y)
tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
∂ ∂f
∂2f
∂2f
∂2f
∂ ∂f
∂2f
∂ ∂f
∂ ∂f
=
=
=
=
f
,
=
= fyx
=
f
,
=
f
,
xy
xx
yy
∂x ∂x
∂x2
∂y ∂y
∂y 2
∂y ∂x
∂y∂x
∂x ∂y
∂x∂y
Las dos últimas derivadas parciales de segundo orden, es decir fxy y fyx , reciben el nombre de derivadas
parciales mixtas (cruzadas).
Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) = 3xy 2 − 2y + 5x2 y 2 , y determinar el valor
de fxy (−1, 2).
Comenzamos hallando las derivadas parciales de primer orden
fx (x, y) = 3y 2 + 10xy 2
y
fy (x, y) = 6xy − 2 + 10x2 y
Ahora derivamos cada una de estas funciones respecto a las dos variables
fxx (x, y) = 10y 2 ,
fyy (x, y) = 6x + 10x2 ,
fxy (x, y) = 6y + 20xy,
fyx (x, y) = 6y + 20xy
por lo que fxy (−1, 2) = 12 − 40 = −28
No es casualidad que en el ejemplo anterior las derivadas parciales mixtas sean iguales. Este hecho se pone
de manifiesto en el siguiente teorema
Teorema
Si f es una función de x e y, tal que fxy y fyx son continuas en un disco abierto R, entonces, para todo
(x, y) ∈ R.
fxy (x, y) = fyx (x, y)
Este teorema también es aplicable a las funciones de más de dos variables, siempre y cuando tengan las
derivadas parciales de segundo orden continuas. Si las derivadas de tercer orden de f son continuas, el orden
de derivación para obtener las derivadas parciales mixtas de tercer orden es irrelevante.
Ejemplo: Mostrar que fxz = fzx y fxzz = fzxz = fzzx , para la función f (x, y, z) = yex + x ln z.
fx (x, y, z) = yex + ln z ; fz (x, y, z) =
1
,
z
1
fxzz (x, y, z) = − 2 ,
z
fxz (x, y, z) =
fzx (x, y, z) =
1
,
z
fzxz (x, y, z) = −
x
z
fzz (x, y, z) = −
1
,
z2
x
z2
fzzx (x, y, z) = −
1
z2
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
3.4
24
Diferenciales
Dada una función z = f (x, y), y dados ∆x y ∆y los incrementos de x e y, respectivamente, entonces el
incremento en z está dado por
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
Definición.- Si z = f (x, y) y ∆x y ∆y son los incrementos en x e y, entonces las diferenciales de las variables
independientes x e y son dx = ∆x y dy = ∆y, y la diferencial total de la variable dependiente z es
dz =
∂z
∂z
dx +
dy = fx (x, y) dx + fy (x, y) dy
∂x
∂y
Esta definición puede extenderse a funciones de más variables. Por ejemplo, si w = f (x, y, z, u), entonces
dx = ∆x, dy = ∆y, dz = ∆z, du = ∆u, y la diferencial total de w es
dw = wx dx + wy dy + wz dz + wu du
Ejemplo: Hallar la diferencial total de las siguientes funciones
a) z = 2x sen y − 3x2 y 2
b) w = x2 + y 2 + z 2
sol : dz = (2sen y − 6xy 2 )dx + (2x cos y − 6x2 y)dy
sol : dw = 2x dx + 2y dy + 2z dz
Definición.- Una función f dada por z = f (x, y) es diferenciable en (x0 , y0 ) si ∆z en el punto puede
aproximarse por la diferencial total, es decir,
∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) ∆x + fy (x0 , y0 ) ∆y + ²1 ∆x + ²2 ∆y ,
donde ²1 y ²2 tienden a cero cuando (∆x, ∆y) → (0, 0). La función f es diferenciable en una región R si es
diferenciable en todo punto de R.
Ejemplo: La función z = f (x, y) = x2 + 3y es diferenciable en todo punto del plano, ya que
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) = (x + ∆x)2 + 3(y + ∆y) − (x2 + 3y) = 2x∆x + (∆x)2 + 3∆y =
= 2x(∆x) + 3(∆y) + ∆x(∆x) + 0(∆y) = fx (x, y)∆x + fy (x, y)∆y + ²1 ∆x + ²2 ∆y
donde ²1 = ∆x y ²2 = 0 tienden a cero cuando (∆x, ∆y) → (0, 0).
Teorema:
Si f es una función de x e y, para la que fx y fy son continuas en una región abierta R, entonces f es
diferenciable en R.
Teorema:
Si z = f (x, y) es diferenciable en (x0 , y0 ), entonces f es continua en dicho punto.
Nota: Debe tenerse en cuenta que el concepto de diferenciable para funciones de varias variables no coincide con
el de funciones de una variable, ya que pueden existir las derivadas parciales y sin embargo no ser diferenciable
la función.

3xy

,
(x, y) 6= (0, 0)
 − 2
x + y2
Ejemplo: La función f (x, y) =
, posee derivadas parciales en (0, 0) y, sin


0,
(x, y) = (0, 0)
embargo, no es diferenciable en dicho punto.
fx (0, 0) = lim
∆x→0
0−0
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
= lim
=0
∆x→0
∆x
∆x
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
25
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
0−0
= lim
=0
∆y→0
∆y→0 ∆y
∆y
fy (0, 0) = lim
Por otro lado, no es complicado comprobar que esta función no es continua en (0, 0), lo que implica que no es
diferenciable en el punto. Para ello basta calcular el lı́mite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) acercándonos
3
por la recta y = x en primer lugar para obtener − , y luego acercándonos por la recta y = −x obteniéndose
2
3
entonces .
2
Si una función es diferenciable en un punto (x0 , y0 ) podemos, usando la definición de diferenciabilidad,
tomar ∆x y ∆y suficientemente pequeños para obtener aproximaciones de las variaciones de f a partir de
(x0 , y0 ) mediante la diferencial total.
∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) ∆x + fy (x0 , y0 ) ∆y + ²1 ∆x + ²2 ∆y = dz + ²1 ∆x + ²2 ∆y ≈ dz
p
Ejemplo: Dada la función z = f (x, y) = 4 − x2 − y 2 , usar la diferencial total de z para calcular el valor
aproximado de f (1.01, 0.97).
En primer lugar buscamos un punto próximo a (1.01, 0.97) donde sea fácil evaluar la función y sus derivadas parx
ciales; en nuestro caso, tomaremos el punto (1, 1) = (x0 , y0 ). Las derivadas parciales de f , fx = − p
4 − x2 − y 2
y
y fy = − p
, son continuas en (1, 1) y por tanto f es diferenciable en dicho punto, lo que nos
4 − x2 − y 2
garantiza que
∆z = f (1 + ∆x, 1 + ∆y) − f (1, 1) ≈ fx (1, 1) ∆x + fy (1, 1) ∆y
siendo ∆x = 1.01 − 1 = 0.01 y ∆y = 0.97 − 1 = −0.03. Luego
√
√
1
1
0.01 0.03
f (1.01, 0.97) ≈ f (1, 1) − √ (0.01) − √ (−0.03) = 2[1 −
+
] = 2(1.01) ≈ 1.428355698
2
2
2
2
El concepto de diferenciabilidad, ası́ como sus aplicaciones, puede extenderse a funciones de tres variables.
Dada una función w = f (x, y, z) se dice que es diferenciable en (x, y, z) si
∆w = f (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − f (x, y, z)
puede expresarse en la forma
∆w = fx ∆x + fy ∆y + fz ∆z + ²1 ∆x + ²2 ∆y + ²3 ∆z
donde ²1 , ²2 y ²3 tienden a cero cuando (∆x, ∆y, ∆z) → (0, 0, 0). Todo lo expresado para la diferenciabilidad
en dos variables es transportable a tres variables.
3.5
Reglas de la cadena para funciones de varias variables
Teorema (Regla de la cadena: una variable independiente)
Sea w = f (x, y), donde f es una función derivable de x e y. Si x = g(t) e y = h(t), donde g y h son funciones
derivables de t, entonces w es una función derivable de t, y
∂w dx
∂w dy
dw
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
Ejemplo: Sea w = x2 y − y 2 , donde x = sen t e y = et . Hallar
dw
cuando t = 0.
dt
dw
∂w dx
∂w dy
=
+
= 2xy(cos t) + (x2 − 2y)et = 2(sen t)(et )(cos t) + (sen2 t − 2et )et
dt
∂x dt
∂y dt
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
26
dw
= −2.
dt
La regla de la cadena para una variable independiente puede extenderse a funciones w = f (x1 , x2 , ..., xn ),
siendo cada xi una función derivable de una sola variable t, quedando entonces
Luego cuando t = 0, se tiene que
dw
∂w dx1
∂w dx2
∂w dxn
=
+
+ ...... +
dt
∂x1 dt
∂x2 dt
∂xn dt
Teorema (Regla de la cadena: dos variables independientes)
Sea w = f (x, y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x = g(s, t) e y = h(s, t), son tales que las
∂x ∂x ∂y ∂y
∂w ∂w
derivadas parciales de primer orden
,
,
y
existen, entonces
y
existen y están dadas por
∂s ∂t ∂s
∂t
∂s
∂t
∂w ∂x
∂w ∂y
∂w
=
+
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
y
∂w
∂w ∂x
∂w ∂y
=
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂w ∂w
s
y
, dada w = 2xy, donde x = s2 + t2 e y = .
∂s
∂t
t
µ ¶
µ ¶
³
´
2
2
∂w ∂x
∂w ∂y
1
∂w
s
1
6s + 2t
=
+
= 2y(2s) + 2x
=2
(2s) + 2(s2 + t2 )
=
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
t
t
t
t
Ejemplo: Utilizar la regla de la cadena para hallar
³ s´
³s´
³ s ´ 2st2 − 2s3
∂w
∂w ∂x
∂w ∂y
=
+
= 2y(2t) + 2x − 2 = 2
(2s) + 2(s2 + t2 ) − 2 =
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
t
t
t
t2
La regla de la cadena puede extenderse a cualquier número de variables, por ejemplo, si w = f (x1 , x2 , ..., xn ),
siendo cada xi una función diferenciable de m variables t1 , t2 , ..., tm , entonces
∂w
∂t1
=
∂w ∂x1
∂w ∂x2
∂w ∂xn
+
+ ...... +
∂x1 ∂t1
∂x2 ∂t1
∂xn ∂t1
∂w
∂t2
=
∂w ∂x1
∂w ∂x2
∂w ∂xn
+
+ ...... +
∂x1 ∂t2
∂x2 ∂t2
∂xn ∂t2
∂w
∂tm
=
.
.
.
∂w ∂x1
∂w ∂x2
∂w ∂xn
+
+ ...... +
∂x1 ∂tm
∂x2 ∂tm
∂xn ∂tm
∂w ∂w
Ejemplo: Hallar
y
si s = 1 y t = 2π, dada la función w = xy + yz + xz, donde x = s cos t, y = s sen t
∂s
∂t
y z = t.
∂w
∂w ∂x
∂w ∂y
∂w ∂z
=
+
+
= (y + z)(cos t) + (x + z)(sen t) + (y + x)(0)
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
Teniendo en cuenta que para s = 1 y t = 2π se tiene que x = 1, y = 0 y z = 2π, obtenemos
∂w
(1, 2π) = 2π
∂s
Análogamente
∂w
∂w ∂x
∂w ∂y
∂w ∂z
=
+
+
= (y + z)(−s sen t) + (x + z)(s cos t) + (y + x)(1)
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
Si s = 1 y t = 2π, se sigue
∂w
(1, 2π) = 2 + 2π
∂t
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27
La regla de la cadena puede ser utilizada para hallar la derivada de una función definida implı́citamente.
Supongamos que x e y están relacionados mediante la ecuación F (x, y) = 0 y que y = f (x) es una función
derivable de x. Entonces si aplicamos la regla de la cadena a la función w = F (x, y) = F (x, f (x)), obtenemos
dx
dy
dw
= Fx (x, y)
+ Fy (x, y)
dx
dx
dx
Dado que w = F (x, y) = 0 para todo x del dominio de f , se tiene que
Fx (x, y)
Siempre que Fy (x, y) 6= 0 y dado que
dw
= 0, por lo que
dx
dx
dy
+ Fy (x, y)
=0
dx
dx
dx
= 1, podemos concluir que
dx
dy
Fx (x, y)
=−
dx
Fy (x, y)
Este procedimiento puede extenderse para hallar derivadas parciales de funciones de varias variables definidas
de forma implı́cita.
Teorema
Si la ecuación F (x, y) = 0 define a y implı́citamente como función derivable de x, entonces
dy
Fx (x, y)
=−
,
dx
Fy (x, y)
Fy (x, y) 6= 0
Si la ecuación F (x, y, z) = 0 define a z implı́citamente como función diferenciable de x e y, entonces
∂z
Fx (x, y, z)
=−
,
∂x
Fz (x, y, z)
∂z
Fy (x, y, z)
=−
,
∂y
Fz (x, y, z)
Fz (x, y, z) 6= 0
Ejemplos:
dy
, dada la ecuación y 3 + y 2 − 5y − x2 + 4 = 0.
dx
Sea F (x, y) = y 3 + y 2 − 5y − x2 + 4, hallemos Fx y Fy .
• Hallar
Fx (x, y) = −2x,
Luego
Fy (x, y) = 3y 2 + 2y − 5
dy
Fx (x, y)
−2x
2x
=−
=− 2
= 2
dx
Fy (x, y)
3y + 2y − 5
3y + 2y − 5
∂z
∂z
y
, dada la ecuación 3x2 z − x2 y 2 + 2z 3 + 3yz − 5 = 0.
∂x ∂y
Tomemos F (x, y, z) = 3x2 z − x2 y 2 + 2z 3 + 3yz − 5, entonces
• Encontrar
Fx (x, y, z) = 6xz − 2xy 2 ,
fy (x, y, z) = −2x2 y + 3z,
Fz (x, y, z) = 3x2 + 6z 2 + 3y
Con lo que
Fx (x, y, z)
2xy 2 − 6xz
∂z
=−
= 2
,
∂x
Fz (x, y, z)
3x + 6z 2 + 3y
∂z
Fy (x, y, z)
2x2 y − 3z
=−
= 2
∂y
Fz (x, y, z)
3x + 6z 2 + 3y
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
3.6
3.6.1
28
Derivadas direccionales y gradientes
Derivada direccional
En muchas ocasiones puede ser interesante conocer cuál va a ser la tasa de variación de una función al desplazarnos desde un punto de su dominio siguiendo una dirección determinada. Para determinar esta tasa se
introducirá un nuevo tipo de derivada que denominamos derivada direccional.
Definición.- Sea f una función de dos variables x e y, y sea ~u = cos θ ~i + sen θ ~j un vector unitario.
Entonces la derivada direccional de f en el punto (x0 , y0 ), de su dominio, en la dirección de ~u, que se denota
D~u f (x0 , y0 ), es
f (x0 + t cos θ, y0 + t sen θ) − f (x0 , y0 )
D~u f (x0 , y0 ) = lim
t→0
t
Teorema
Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de f en el punto (x0 , y0 ) en la
dirección del vector unitario ~u = cos θ ~i + sen θ ~j es
D~u f (x0 , y0 ) = (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 )) · ~u = fx (x0 , y0 ) cos θ + fy (x0 , y0 ) sen θ
Ejemplos:
y2
• Hallar la derivada direccional de f (x, y) = 4 − x2 −
en (1, 2) en la dirección de
4
³
³
π´ ~
π´ ~
i + sen
j.
~u = cos
3
3
y
Como fx (x, y) = −2x y fy (x, y) = − son continuas en (1, 2), f es diferenciable en dicho punto, por lo
2
que
Ã√ !
√
µ ¶
3
3
1
D~u f (1, 2) = (fx (1, 2), fy (1, 2)) · ~u = (−2)
+ (−1)
= −1 −
≈ −1.866
2
2
2
³ π´
• Hallar la derivada direccional de f (x, y) = x2 sen(2y) en el punto 1,
en la dirección de ~v = (3, −4).
2
2
Nuevamente, fx (x,
= 2x³sen(2y)
³ y)
³ π y´ fy (x,
³ y)π=´´2x cos(2y) son continuas y por tanto f es diferenciable,
π´
por lo que D~u f 1,
= fx 1,
, fy 1,
· ~u, siendo ~u, un vector unitario en la dirección de ~v .
2µ
2
2
¶
~v
3 4
Tomando ~u =
=
, − , tenemos
|~v |
5 5
µ ¶
µ
¶
³ π´
3
4
8
D~u f 1,
= (2 sen π)
+ (2 cos π) −
=
2
5
5
5
3.6.2
El gradiente de una función de dos variables
Definición.- Sea z = f (x, y) una función tal que fx y fy existen. Entonces el gradiente de f , denotado por
∇f (x, y) o gradf (x, y), es el vector
∇f (x, y) = fx (x, y) ~i + fy (x, y) ~j
Ejemplo: Hallar el gradiente de f (x, y) = y ln x + xy 2 en el punto (1, 2).
´
³y
+ y 2 , ln x + 2xy
∇f (x, y) = fx (x, y) ~i + fy (x, y) ~j =
x
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
29
por lo que en el punto (1, 2), obtendremos
∇f (1, 2) = fx (1, 2) ~i + fy (1, 2) ~j = (6, 4)
Teorema
Si f es diferenciable, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario ~u es
D~u f (x, y) = ∇f (x, y) · ~u
µ
Ejemplo: Hallar la derivada direccional de f (x, y) = 3x2 − 2y 2 en
¶
µ
¶
3
3
− , 0 , en la dirección de P − , 0 a
4
4
Q(0, 1).
fx = 6x y fyµ= −4y son continuas,
¶
µ luego
¶ f es diferenciable. Por otro lado un vector en la dirección marcada
µ será
¶
3
~
v
3
3 4
~v = P~Q = 0 − ( ), 1 − 0 =
, 1 , y un vector unitario en esta dirección viene dado por
=
,
.
4
4
|~v |
5 5
Por lo tanto
µ
¶
µ
¶
µ
¶ µ
¶
3
3
9
27
3 4
D~u f − , 0 = ∇f − , 0 · ~u = − , 0 ·
,
=−
4
4
2
5 5
10
Teorema
Sea f diferenciable en el punto (x, y).
1. Si ∇f (x, y) = ~0, entonces D~u f (x, y) = 0 para todo ~u.
2. La dirección de máximo incremento de f está dada por ∇f (x, y). El valor máximo de D~u f (x, y) es
|∇f (x, y)|.
3. La dirección de mı́nimo incremento de f está dada por −∇f (x, y). El valor mı́nimo de D~u f (x, y) es
−|∇f (x, y)|.
Ejemplo: La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es T (x, y) = 20 − 4x2 − y 2 ,
donde x e y se miden en centı́metros. ¿En qué dirección a partir de (2, −3) aumenta más rápido la temperatura?
¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento?
El gradiente de f es ∇T (x, y) = (Tx (x, y), Ty (x, y)) = (−8x, −2y), por lo que la dirección de√máximo crecimiento
√
viene dada por ∇T (2, −3) = (−16, 6). La tasa o ritmo de crecimiento es |∇T (2, −3)| = 256 + 36 = 292 ≈
17.09◦ por centı́metro.
Teorema
Si f es diferenciable en (x0 , y0 ) y ∇f (x0 , y0 ) 6= ~0, entonces ∇f (x0 , y0 ) es normal (ortogonal) a la curva de
nivel que pasa por (x0 , y0 ).
Lo visto hasta ahora puede extenderse a funciones de tres y más variables
Definición.- Sea f una función de x, y y z, con derivadas parciales de primer orden continuas. La derivada
direccional de f en la dirección de un vector unitario ~u = a ~i + b ~j + c ~k está dada por
D~u f (x, y, z) = a fx (x, y, z) + b fy (x, y, z) + c fz (x, y, z)
El gradiente de f se define como
∇f (x, y, z) = fx (x, y, z) ~i + fy (x, y, z) ~j + fz (x, y, z) ~k
Las propiedades del gradiente son:
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
30
1. D~u f (x, y, z) = ∇f (x, y, z) · ~u
2. Si ∇f (x, y, z) = ~0, entonces D~u f (x, y, z) = 0 para todo ~u.
3. La dirección de máximo incremento de f está dada por ∇f (x, y, z). El valor máximo de D~u f (x, y, z) es
|∇f (x, y, z)|.
4. La dirección de mı́nimo incremento de f está dada por −∇f (x, y, z). El valor mı́nimo de D~u f (x, y, z) es
−|∇f (x, y, z)|.
Ejemplo: Hallar ∇f (x, y, z), para la función f (x, y, z) = x2 +y 2 −4z y hallar la dirección de máximo crecimiento
de f en el punto (2, −1, 1).
∇f (x, y, z) = fx (x, y, z) ~i + fy (x, y, z) ~j + fz (x, y, z) ~k = (2x, 2y, −4)
Por lo tanto, la dirección de máximo incremento en (2, −1, 1), es
∇f (2, −1, 1) = (4, −2, −4)
3.7
Planos tangentes y rectas normales
Definición.- Sea F diferenciable en un punto P (x0 , y0 , z0 ) de la superficie S dada por F (x, y, z) = 0 tal que
∇F (x0 , y0 , z0 ) 6= ~0.
1. Al plano que pasa por P y es normal a ∇F (x0 , y0 , z0 ) se le llama plano tangente a S en P .
2. A la recta que pasa por P y tiene a ∇F (x0 , y0 , z0 ) como vector dierector, se le llama recta normal a S
en P .
Nota: En el resto de esta parte, supondremos que ∇F (x0 , y0 , z0 ) 6= ~0 a menos que se indique lo contrario.
Teorema
Si F es diferenciable en (x0 , y0 , z0 ), entonces la ecuación del plano tangente a la superficie dada por
F (x, y, z) = 0 en (x0 , y0 , z0 ) es
Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
Ejemplo: Hallar el plano tangente al hiperboloide z 2 − 2x2 − 2y 2 = 12 en el punto P (1, −1, 4).
Reescribimos la superficie como z 2 − 2x2 − 2y 2 − 12 = 0, para tomar la función F (x, y, z) = z 2 − 2x2 − 2y 2 − 12.
Calculamos las derivadas parciales de esta función
Fx (x, y, z) = −4x
Fy (x, y, z) = −4y
Fz (x, y, z) = 2z
Fy (1, −1, 4) = 4
Fz (1, −1, 4) = 8
Evaluando éstas en el punto
Fx (1, −1, 4) = −4
Luego, la ecuación del plano es
−4(x − 1) + 4(y + 1) + 8(z − 4) = 0 ⇔ x − y − 2z + 6 = 0
Para hallar la ecuación del plano tangente en un punto (x0 , y0 , z0 ) a una superficie dada por z = f (x, y),
sólo hemos de aplicar lo anterior a F (x, y, z) = f (x, y) − z, obteniéndose
fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) − (z − z0 ) = 0
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31
1
1
Ejemplo: Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide z = 1 − (x2 + 4y 2 ) en el punto (1, 1, ).
10
2
No está de más el comprobar que el punto yace en la superficie
1−
1
5
1
1
(1 + 4) = 1 −
=1− =
10
10
2
2
1
x
Ahora calculamos las derivadas parciales de z = f (x, y) = 1 − (x2 + 4y 2 ), obteniéndose fx (x, y) = − y
10
5
4y
fy (x, y) = − . Por lo tanto la ecuación del plano es
5
4
1
1
fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) − (z − z0 ) = 0 ⇔ − (x − 1) − (y − 1) − (z − ) = 0
5
5
2
Teorema
Si F es diferenciable en (x0 , y0 , z0 ), entonces las ecuaciones de la recta normal a la superficie dada por
F (x, y, z) = 0 en (x0 , y0 , z0 ) son
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
Fx (x0 , y0 , z0 )
Fy (x0 , y0 , z0 )
Fz (x0 , y0 , z0 )
Para hallar las ecuaciones de la recta normal en un punto (x0 , y0 , z0 ) a una superficie dada por z = f (x, y),
sólo hemos de aplicar lo anterior a F (x, y, z) = f (x, y) − z, obteniéndose
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
fx (x0 , y0 )
fy (x0 , y0 )
−1
Ejemplo: Hallar las ecuaciones de la recta normal a la superficie dada por xyz = 12 en el punto (2, −2, −3).
Dado que (2)(−2)(−3) = 12, el punto está sobre la superficie. Tomemos F (x, y, z) = xyz − 12 y calculemos sus
derivadas parciales
Fx (x, y, z) = yz
Fy (x, y, z) = xz
Fz (x, y, z) = xy
Luego, la recta viene dada por
x − x0
y − y0
z − z0
x−2
y+2
z+3
=
=
⇔
=
=
Fx (x0 , y0 , z0 )
Fy (x0 , y0 , z0 )
Fz (x0 , y0 , z0 )
6
−6
−4
3.8
Problemas de la sección
1. Describir el dominio y rango o recorrido de las funciones:
a) f (x, y) = arcsen(x + y)
(
sol :
Dom : {(x, y) : −1 ≤ x + y ≤ 1}
π
π
rang : − ≤ z ≤
2
2
b) z =
½
sol :
x+y
xy
x
c) f (x, y) = e y
Dom : {(x, y) : x 6= 0, y 6= 0}
rang : R
2. Describir las curvas de nivel de las siguientes funciones:
p
a) z = x + y
b) z = 25 − x2 − y 2
½
sol :
Dom : {(x, y) : y 6= 0}
rang : z > 0
c) f (x, y) = xy
sol : Rectas: x + y = c sol : Circunferencias: x2 + y 2 = c (c ≤ 5) sol : Hipérbolas: xy = c
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32
3. Determinar la superficie de nivel f (x, y, z) = c, para el valor de c que se especifica:
a) f (x, y, z) = x − 2y + 3z,
c=6
b) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ,
c) f (x, y, z) = 4x2 + 4y 2 − z 2 ,
c=9
sol : Esfera: x2 + y 2 + z 2 = 32
sol : Plano: x − 2y + 3z = 6
c=0
sol : Doble cono: z 2 = 4x2 + 4y 2
4. Averiguar si existen o no los siguientes lı́mites.
a)
lim
(x,y)→(0,0)
x+y
x2 + y
b)
lim
(x,y)→(1,1)
sol : El lı́mite no existe
c)
sol : 0
5. Analizar la continuidad de las siguientes funciones
 2
x + 2xy 2 + y 2



, (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2
a) f (x, y) =



0,
(x, y) = (0, 0)
sol : Continua en todo R2
xy − 1
1 + xy
lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz + xz
x2 + y 2 + z 2
sol : El lı́mite no existe
b) f (x, y, z) =
x2
z
+ y2 − 9
c) f (x, y, z) =
sol : Continua salvo en la circunferencia x2 + y 2 = 9
sen z
ex + ey
sol : Continua en todo R3
6. Utilizar las coordenadas polares para calcular los siguientes lı́mites. [Sugerencia: Tomar x = r cos θ e
y = r sen θ, y observar que (x, y) → (0, 0) implica r → 0.]
a)
sen(x2 + y 2 )
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
lim
b)
x3 + y 3
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
sol : 1
lim
c)
lim
(x2 + y 2 ) ln(x2 + y 2 )
(x,y)→(0,0)
sol : 0
sol : 0
7. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden de las funciones
a) z =
p
b) z = ex tg y
x2 + y 2

y2


zxx =

3


(x2 + y 2 ) 2






x2
sol :
zyy =
3


(x2 + y 2 ) 2






xy


 zxy = zyx = − 2
3
(x + y 2 ) 2

zxx = ex tg y





zyy = 2ex sec2 y tg y
sol :





zxy = zyx = ex sec2 y
c) z = arctg
³y´
x

2xy

zxx = 2



(x
+ y 2 )2






−2xy
zyy = 2
sol :
(x + y 2 )2








y 2 − x2

 zxy = zyx =
(x2 + y 2 )2
8. Para las siguientes funciones, demostrar que las derivadas parciales mixtas de tercer orden coinciden.
a) f (x, y, z) = x2 − 3xy + 4yz + z 3
b) f (x, y, z) = e−x sen(yz)
c) f (x, y, z) =
2z
x+y
9. Demostrar que la función z = ex sen y satisface la ecuación de Laplace zxx + zyy = 0.
2
∂2z
2∂ z
=
. Donde c es una
10. Comprobar que la función z = ln(x + ct) verifica la ecuación de ondas
c
∂t2
∂x2
constante.
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
33
³x´
11. Verificar que la función z = e−t cos
es solución de la ecuación del calor zt = c2 zxx . Siendo c una
c
constante.
12. Hallar la diferencial total de las siguientes funciones
a) z = x cos y − y cos x
b) w = 2z 3 y sen x
sol : dz = (cos y + ysen x)dx − (xsen y + cos x)dy
sol : dw = (2z 3 y cos x)dx + (2z 3 sen x)dy + (6z 2 y sen x)dz
13. Hallar el valor aproximado de f (1.05, 2.1) siendo f
a) f (x, y) = 9 − x2 − y 2
sol : f (1.05, 2.1) ≈ 3.5
14. Hallar
b) f (x, y) =
p
x2 + y 2
sol : f (1.05, 2.1) ≈ 2.34787
dy
por derivación implı́cita en las siguientes ecuaciones
dx
a) x2 − 3xy + y 2 − 2x + y − 5 = 0
sol :
dy
3y − 2x + 2
=
dx
2y − 3x + 1
b) ln
sol :
p
x2 + y 2 + xy = 4
dy
x + y(x2 + y 2 )
=−
dx
y + x(x2 + y 2 )
15. Hallar las primeras derivadas parciales de z por derivación en implı́cita en las siguientes ecuaciones
b) exz + xy = 0
a) tg(x + y) + tg(y + z) = 1

−sec2 (x + y)
∂z


=


 ∂x
sec2 (y + z)
sol :


∂z
sec2 (x + y)


= −1 −

∂y
sec2 (y + z)
sol :

−(zexz + y)
∂z



 ∂x =
xexz


∂z


= −e−xz
∂y
16. Hallar la derivada direccional de las siguientes funciones en el punto P indicado en la dirección de P a Q
a) g(x, y) = x2 + y 2 + 1,
P (1, 2), Q(3, 6)
√
sol : 2 5
b) f (x, y) = e−x cos y,
P (0, 0), Q(2, 1)
√
2 5
sol : −
5
17. Hallar el gradiente de las siguientes funciones y el valor máximo de la derivada direccional en el punto
indicado.
π
a) h(x, y) = x tg y, P (2, )
b) f (x, y, z) = xeyz P (2, 0 − 4)
4
√
√
sol : (tg y, x sec2 y);
17
sol : (eyz , xzeyz , xyeyz );
65
18. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado
p
a) g(x, y) = ln x2 + y 2 , (3, 4, ln 5)
b) xy 2 + 3x − z 2 = 4, (2, 1, −2)
sol : 3x + 4y − 25z = 25(1 − ln 5)
sol : x + y + z = 1
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34
19. Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto indicado
³y´ ³
π´
a) xy − z = 0, (−2, −3, 6)
b) z = arctg
,
1, 1,
x
4

π


π : x − y + 2z =


 π : 3x + 2y + z = −6

2
sol :
sol :
π


 r : x+2 = y+3 =z−6

 r : x−1= y−1 = z− 4
3
2
−1
2
4
Extremos de funciones de dos variables
En esta sección se presentarán las técnicas, análogas a las vistas para funciones de una variable, para la búsqueda
de máximos y mı́nimos de funciones de dos variables.
Definición.- Sea f una función definida en una región R que contiene a (x0 , y0 ).
1. La función f tiene un mı́nimo relativo en (x0 , y0 ), si f (x, y) ≥ f (x0 , y0 ) para todo (x, y) perteneciente
a un disco abierto que contiene a (x0 , y0 ).
2. La función f tiene un máximo relativo en (x0 , y0 ), si f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ) para todo (x, y) perteneciente
a un disco abierto que contiene a (x0 , y0 ).
Para localizar los extremos relativos de f , se estudian los puntos donde el gradiente de f es ~0 y los puntos
del dominio de f para los que no existe una de las derivadas parciales.
Definición.- Sea f definida en una región R que contiene a (x0 , y0 ). El punto (x0 , y0 ) es un punto crı́tico de
f si se verifica alguna de las condiciones siguientes:
1. fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0
2. fx (x0 , y0 ) o fy (x0 , y0 ) no existe
Teorema
Si f tiene un extremo relativo, máximo o mı́nimo, en (x0 , y0 ) en una región abierta R, entonces (x0 , y0 ) es
un punto crı́tico
Ejemplos:
• Hallar los extremos relativos de f (x, y) = 2x2 + y 2 + 8x − 6y + 20.
Comenzamos buscando los puntos crı́ticos de la función. Para ello hemos de calcular las derivadas parciales
primeras.
fx (x, y) = 4x + 8 ; fy (x, y) = 2y − 6
Dado que fx y fy existen en todo punto, los puntos crı́ticos serán aquellos para los que estas dos funciones
se anulen a la vez, es decir, las soluciones del sistema 4x + 8 = 0 y 2y − 6 = 0. En este caso hablamos
de un único punto x = −2 e y = 3. Para comprobar si el punto (−2, 3) es un máximo relativo, mı́nimo
relativo o cualquier otra cosa, vamos a expresar la función f de forma equivalente ajustando cuadrados.
2x2 + 8x = 2(x2 + 4x) = 2(x + 2)2 − 8, por otro lado y 2 − 6y = (y − 3)2 − 9; luego podemos reescribir
la función como f (x, y) = 2(x + 2)2 + (y − 3)2 + 3. Evidentemente el menor valor que puede tomar la
función es 3, y como este es precisamente el valor de f (−2, 3), podemos concluir que en este punto hay
un mı́nimo.
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
35
1
• Determinar los extremos relativos de f (x, y) = 1 − (x2 + y 2 ) 3 .
Nuevamente comenzamos calculando las derivadas parciales de f
fx (x, y) = −
2x
2
3(x2 + y 2 ) 3
;
fy (x, y) = −
2y
2
3(x2 + y 2 ) 3
Como puede comprobarse las derivadas parciales existen en todo punto salvo en (0, 0) y no se anulan
simultáneamente en nigún otro punto. Por tanto el (0, 0) es el único punto crı́tico. Para determinar
su carácter, basta darse cuenta de que la función f toma siempre valores inferiores a 1 en todo punto
(x, y) 6= (0, 0) y que f (0, 0) = 1. Por lo tanto, en (0, 0) hay un máximo.
Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto la necesidad de dar con un método más mecánico y general que
nos permita dilucidar el carácter de los puntos crı́ticos.
Teorema (Criterio de las segundas derivadas parciales)
Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto
(a, b) para el cual fx (a, b) = fy (a, b) = 0. Para buscar los extremos relativos de f , considérese el número
2
d = fxx (a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)]
1. Si d > 0 y fxx (a, b) > 0, entonces f tiene un mı́nimo relativo en (a, b).
2. Si d > 0 y fxx (a, b) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (a, b).
3. Si d < 0, entonces (a, b, f (a, b)) es un punto de silla.
4. si d = 0 el criterio no lleva a ninguna conclusión.
Ejemplos:
• Identificar los extremos relativos de f (x, y) = −x3 + 4xy − 2y 2 + 1.
Hallemos los puntos crı́ticos. Haciendo fx (x, y) = fy (x, y) = 0 obtenemos el sistema −3x2 + 4y = 0 y
4x − 4y = 0. La segunda ecuación nos indica que x = y y llevando este resultado a la primera
ecuación,
µ
¶
4
4 4
resulta x = 0 o bien x = . Por lo tanto hemos hallado dos puntos crı́ticos P1 (0, 0) y P2
,
. Para
3
3 3
saber su carácter, aplicaremos el último teorema, para lo que hemos de calcular las derivadas parciales de
segundo orden
fxx (x, y) = −6x,
fyy (x, y) = −4,
fxy (x, y) = 4
sustituyendo estas derivadas en los puntos crı́ticos obtenemos
– Para el punto P1 (0, 0)
2
d = fxx (0, 0)fyy (0, 0) − [fxy (0, 0)] = 0 − 16 = −16 < 0
por lo que el punto (0, 0, 1) es un punto de silla.
µ
¶
4 4
– Para el punto P2
,
3 3
·
¸2
4 4
4 4
4 4
d = fxx ( , )fyy ( , ) − fxy ( , ) = −8(−4) − 16 = 16 > 0
3 3
3 3
3 3
µ
¶
4 4
4 4
,
.
y dado que fxx ( , ) = −8 < 0, se concluye que f posee un máximo relativo en
3 3
3 3
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
36
• Hallar los extremos relativos de f (x, y) = x2 y 2 .
Comencemos resolviendo el sistema fx (x, y) = fy (x, y) = 0, es decir 2xy 2 = 0 y 2x2 y = 0, cuyas soluciones
son los puntos (x, y) tales que x = 0 o bien y = 0, en otras palabras, todos los puntos que están sobre los
ejes coordenados.
Calculemos ahora las derivadas parciales segundas fxx (x, y) = 2y 2 , fyy (x, y) = 2x2 , fxy (x, y) = 4xy.
Con esto tenemos que d = 4x2 y 2 − 16x2 y 2 = −12x2 y 2 , y este valor es cero tanto para los puntos de la
forma (x, 0) como para los de la forma (0, y). Por tanto el criterio no es concluyente en este caso. Sin
embargo, podemos observar que f (x, 0) = 0 = f (0, y) mientras que f (x, y) > 0 en el resto de puntos del
plano, lo que nos demuestra que en todos los puntos sobre los ejes coordenados tenemos mı́nimos.
Como aplicación de lo visto hasta ahora en esta sección, presentamos un par de ejemplos de optimización
Ejemplos:
• Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vértices en el origen de coordenadas. El
vértice opuesto está sobre el plano 6x + 4y + 3z = 24. Hallar el volumen máximo de la caja.
El volumen de la caja es V = xyz siendo x, y y z el largo, ancho y alto de la caja respectivamente. Teniendo
en cuenta que estas dimensiones coinciden con las coordenadas del vértice opuesto al origen de coordenadas
1
y que éste está sobre el plano dado, podemos obtener z en función de x e y, z = (24 − 6x − 4y). Llevando
3
este valor de z a la expresión que nos da el volumen, obtendremos una función de dos variables.
1
1
V (x, y) = xy (24 − 6x − 4y) = (24xy − 6x2 y − 4xy 2 )
3
3
y la solución del problema la encontraremos estudiando esta función para ver si tiene, y en tal caso dónde,
un máximo.
Hallemos los puntos crı́ticos: Vx (x, y) = Vy (x, y) = 0
Vx (x, y) =
1
y
(24y − 12xy − 4y 2 ) = (24 − 12x − 4y) = 0
3
3
1
x
(24x − 6x2 − 8xy) = (24 − 6x − 8y) = 0
3
3
µ
¶
4
Se obtienen los puntos crı́ticos (0, 0) y
, 2 . Claramente hemos de desechar el (0, 0), pues en ese punto
3
el volumen vale cero. Todo apunta a que nuestra solución está en el segundo punto. Para asegurarnos
8x
vamos a aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales. Vxx (x, y) = −4y, Vyy (x, y) = − ,
3
1
Vxy (x, y) = (24 − 12x − 8y).
3
µ
¶
¶ ·
¶¸2
µ
µ
4
64
4
4
d = Vxx
, 2 Vyy
, 2 − Vxy
,2
=
>0
3
3
3
3
¶
µ
4
, 2 = −8 < 0, el criterio nos garantiza que en este punto tenemos un máximo, siendo el
y como Vxx
µ3 ¶
4
64
volumen V
,2 =
u.v.
3
9
Vx (x, y) =
• Un fabricante de artı́culos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (en dolares) obtenido
al producir x unidades de un reproductor de DVD e y unidades de un grabador de DVD se aproxima
mediante el modelo
P (x, y) = 8x + 10y − (0.001)(x2 + xy + y 2 ) − 10000
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
37
Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es la ganancia
máxima?
Las derivadas parciales de la función beneficio son
Px (x, y) = 8 − 0.002x − 0.001y
y
Py (x, y) = 10 − 0.001x − 0.002y
Igualando estas derivadas a cero obtendremos el sistema de ecuaciones cuyas soluciones constituyen los
puntos crı́ticos
8 − 0.002x − 0.001y = 0
y
10 − 0.001x − 0.002y = 0 ⇔ 2x + y = 8000
y
x + 2y = 10000
Resolviendo el sistema llegamos a que x = 2000 e y = 4000. Dado que sólo tenemos un punto crı́tico,
lo lógico serı́a que éste fuese el máximo buscado. No obstante, aplicaremos el criterio de las segundas
derivadas parciales para asegurarnos.
Pxx (x, y) = −0.002,
Pyy (x, y) = −0.002,
Pxy (x, y) = −0.001 ⇒ d = (−0.002)(−0.002)−(−0.001)2 > 0
Dado que d > 0 y Pxx (x, y) < 0 en cualquier punto, en particular en el (2000, 4000), podemos concluir
que en dicho punto se encuentra un máximo. Para averiguar cual serı́a el beneficio máximo, basta con
hallar el valor de P en el punto (2000, 4000).
P (2000, 4000) = 8(2000) + 10(4000) − 0.001[(2000)2 + (2000)(4000) + (4000)2 ] − 10000 = 18000$
4.1
Multiplicadores de Lagrange
Con frecuencia los problemas de optimización tienen restricciones o ligaduras para los valores que podemos
aceptar como solución. En general estas restricciones complican el problema. En este apartado estudiaremos
una técnica más o menos sencilla para resolver estos problemas. Esta técnica se conoce como el método de
los multiplicadores de Lagrange.
Teorema
Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene un extremo en un punto
(x0 , y0 ) sobre la curva de restricción o ligadura g(x, y) = c. Si ∇g(x0 , y0 ) 6= 0, entonces existe un número real
λ tal que
∇f (x0 , y0 ) = λ ∇g(x0 , y0 )
Al escalar λ se le denomina un multiplicador de Lagrange.
El método de los multiplicadores de Lagrange hace uso de este teorema para encontrar los extremos de
una función sujeta a una restricción. Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema anterior y
supongamos que f tiene un mı́nimo o un máximo sujeto a la ligadura g(x, y) = c. Para hallar este extremo de
f habrá de seguirse los siguientes pasos
1. Resolver simultáneamente las ecuaciones ∇f (x, y) = λ ∇g(x, y) y g(x, y) = c, resolviendo el sistema de
ecuaciones

 fx (x, y) = λ gx (x, y)
fy (x, y) = λ gy (x, y)

g(x, y) = c
2. Evaluar f en cada punto solución obtenido en el paso anterior. El mayor valor da el máximo de f sujeto
a la restricción g(x, y) = c, y el menor valor da el mı́nimo de f sujeto a la restricción g(x, y) = c.
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
38
Ejemplos:
x2 y 2
• Hallar el valor máximo de f (x, y) = 4xy donde x > 0 e y > 0, sujeto a la restricción o ligadura 2 + 2 = 1.
3
4
El primer paso consiste en resolver el sistema

2


fx (x, y) = λ gx (x, y) ⇔ 4y = λ x


9





1
fy (x, y) = λ gy (x, y) ⇔ 4x = λ y

8





2
2


 g(x, y) = c ⇔ x + y = 1
32
42
18y
Despejando λ en la primera ecuación se obtiene λ =
y llevando este valor a la segunda, obtenemos
x
9
x2 =
y 2 . Sustituyendo x2 en la tercera ecuación, se tiene
16
µ
¶
√
1 9 2
1 2
y +
y = 1 ⇒ y 2 = 8 ⇒ y = ±2 2
9 16
16
9 2
y , nos queda
como se estableció que y > 0 se toma el valor positivo, y llevando éste a la igualdad x2 =
16
µ
¶
√
3
3
x = √ . Por lo tanto, el valor máximo pedido es f √ , 2 2 = 24.
2
2
• La función de producción de Cobb-Douglas para un fabricante de software está dada por
3
1
f (x, y) = 100x 4 y 4 , donde x representa las unidades de trabajo (a 150$ por unidad) e y representa las
unidades de capital (a 250$ por unidad). El costo total de trabajo y capital está limitado a 50000$. Hallar
el nivel máximo de producción de este fabricante.
³
´
1
1
3
3
De la función dada se tiene que ∇f (x, y) = 75x− 4 y 4 , 25x 4 y − 4 . El lı́mite para el costo de trabajo y
capital viene dado por la restrcción g(x, y) = 150x+250y = 50000. Por lo tanto λ∇g(x, y) = (150λ, 250λ),
lo que da lugar al siguiente sistema de ecuaciones
1
1
75x− 4 y 4 = 150λ;
3
3
25x 4 y − 4 = 250λ;
− 14
150x + 250y = 50000
1
4
x y
Despejando λ en la primera ecuación obtenemos λ =
, y llevando este valor a la segunda ecuación,nos
2
queda x = 5y. Por último sustituyendo en la tercera ecuación, se consigue x = 250 unidades dectrabajo e
3
1
y = 50 unidades de capital. Por tanto el nivel máximo de producción es f (250, 50) = 100(250) 4 (50) 4 ≈
16719 unidades del producto.
Los economistas llaman al multiplicador de Lagrange obtenido en una función de producción productividad marginal del capital. En este caso, la productividad marginal de capital en x = 250 e y = 50
1
1
x− 4 y 4
es λ =
≈ 0.334.
2
4.2
Problemas de la sección
1. Hallar los puntos crı́ticos y determinar los extremos relativos de la siguientes funciones, indicando en qué
puntos el criterio de las segundas derivadas no es concluyente.
a) f (x, y) = y 3 − 3yx2 − 3y 2 − 3x2 + 1
b) h(x, y) = x2 − y 2 − 2x − 4y − 4
c) g(x, y) = 120x + 120y − xy − x2 − y 2
d) h(x, y) = x2 − 3xy − y 2
e) f (x, y) = x3 + y 3
f ) f (x, y) = (x − 1)2 (y + 4)2
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 8) Hoja
sol:

máximo en: (0, 0)






a)
 (0,
√ 2, −3)


( √
3, −1, −3)
puntos de silla en:




(− 3, −1, −3)
b) punto de silla en: (1, −2, 1)
c) mı́nimo en: (40, 40)
½
e)
punto de silla en: (0, 0, 0)
El criterio no es concluyente
39
d) punto de silla en: (0, 0, 0)
½
f)
mı́nimos en: (1, b) y (a, 4)
El criterio no es concluyente
2. Hallar tres números positivos x, y, z tales que su suma valga 30 y su producto sea máximo.
sol: x = 10, y = 10, z = 10.
x2
y2
z2
4πabc
3. El volumen de un elipsoide 2 + 2 + 2 = 1 es
. Dada una suma fija a + b + c, mostrar que el
a
b
c
3
elipsoide de volumen máximo es una esfera.
4. Mostrar que una caja de volumen dado y área exterior mı́nima es un cubo.
5. Una empresa fabrica dos tipos de calzados deportivos, tenis para correr y tenis para baloncesto. El ingreso
total de x unidades de tenis para correr e y unidades de tenis para baloncesto es R = −5x2 − 8y 2 − 2xy +
42x + 102y, donde x e y están en miles de unidades. Hallar las cantidades x e y que maximizan el ingreso.
sol: x = 3, y = 6.
6. Utilizar multiplicadores de Lagrange para hallar el extremo indicado.
½
½
Minimizar f (x, y) = x2 − y 2
Maximizar f (x, y) = 2x + 2xy + y
a)
b)
Restricción: x − 2y + 6 = 0
Restricción: 2x + y = 100
Sol: f (2, 4) = −12
½
c)
p
Maximizar f (x, y) = 6 − x2 − y 2
Restricción: x + y − 2 = 0
Sol: f (1, 1) = 2
Sol: f (25, 50) = 2600
½
d)
Maximizar f (x, y) = exy
Restricción: x2 + y 2 = 8
Sol: f (2, 2) = e4