Normas en el campo electromagnético

Méndez J. / Ingeniería 6-1 (2002) 25-28
Normas en el campo electromagnético
Méndez Gamboa, José A.1
RESUMEN
Todo fenómeno electromagnético clásico es descrito a partir de las ecuaciones de Maxwell, en estas
ecuaciones se relacionan a los campos eléctrico (E) y magnético (B) y las densidades de carga (ρ) y de corriente (j);
Las ecuaciones de Maxwell junto con la fuerza de Lorentz y la segunda ley de Newton nos dan una completa
descripción de la dinámica clásica de la interacción de partículas cargadas y campos electromagnéticos.
En el presente trabajo se ofrece una deducción de las ecuaciones de Maxwell en forma covariante como
ecuaciones de movimiento de una densidad lagrangiana. Así mismo, se obtiene, utilizando las teorías de norma, la
densidad hamiltoniana de la electrodinámica clásica en las normas temporal y de Coulomb así como los corchetes de
Poisson en dichas norma.
Palabras claves: Campo electromagnético, potencial escalar, potencial vectorial, norma.
______________________________________________________________________________________________
INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones que describen la dinámica de sistemas bajo la acción de campos electromagnéticos son las
ecuaciones de Maxwell, éstas, en el vacío, en unidades racionales y considerando c=1 son,
r
∇⋅E = ρ
r
r r ∂E
∇× B = j +
∂t
r
r ∂B
∇× E +
=0
t
∂
r
∇⋅B = 0
r
(1)
r
r
Donde E y B son los campos eléctrico y magnético respectivamente, ρ es la densidad de carga y j es la densidad
de corriente.
r
r
r
Podemos expresar los campos E y B en término de los potenciales escalar φ y vectorial A en la forma,
r
r
∂A
E=−
− ∇φ ;
∂t
r
r
B = ∇× A
(2)
Sustituyendo estos potenciales en las ecuaciones de Maxwell, esta se reduce a dos ecuaciones acopladas de segundo
orden,
1
Profesor asociado B. Facultad de Ingeniería, UADY.
[email protected]
25
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µ
(3)
r
∂
∇ φ + (∇ ⋅ A ) = − ρ
∂t
restricciones
A
no estaría completamente
determinada. A la elección de la restricción se le
conoce como proceso de fijar la norma. Se pueden
elegir varias normas una es considerar,
2
r
2
r
r ∂φ 
r
A
∂

∇ 2 A − 2 − ∇ ∇ ⋅ A +
=−j
∂t 
∂t

Estas ecuaciones se pueden desacoplar
eligiendo de forma adecuada los potenciales. Sin
embargo hay que notar que si hacemos la
transformación,
r
r r
A → A' = A + ∇Λ
∂Λ
φ → φ'= φ −
∂t
∂ µ Aµ = 0
la cual se conoce como norma de Lorentz, esta nos
reduce la ecuación de onda a,
Otra posible elección es la norma de Coulomb,
r r
∇⋅ A = 0
la cual nos reduce la ecuación (5) a,
(
en las ecuaciones (2), obtenemos los mismos campos
r
r
E y B que los originales. A estas transformaciones
se las conoce como transformaciones de norma y el
resultado que se obtiene al aplicarlas a (2) indica que
las ecuaciones de Maxwell son invariantes de norma,
es decir las ecuaciones no cambian al hacer
transformaciones de este tipo.
notación
covariante
tenemos,
r
r
A µ = (φ , A) , j µ = ( ρ , j ) donde A µ y j µ son
cuadrivectores y las ecuaciones (3) se escriben,
µ
µ
(
ν
F A − ∂ ∂ν A
)
F A µ − ∂ µ ∂ 0 A0 = j µ
(4)
Utilizando
FAµ = j µ
+
)= j
una norma más es la norma temporal o transversa
definida como,
A0 = 0
La ecuación (5) puede ser obtenida como
ecuación de movimiento a partir de la densidad
lagrangiana,
L
(x ) = − 1 Fµν F µν
4
µ
(6)
donde
(5)
− j µ Aµ
Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ es el tensor de
esfuerzos electromagnéticos dado por
donde
es el D’Alembertiano definido por,
F ≡ ∂ µ ∂µ ≡
1 2
∂t − ∇2
2
c
La ecuación (5) es la ecuación de onda.
Podemos utilizar la invariancia de norma para
restringir
26
Aµ
que, por otro lado, sin estas
F µν
 0

 Ex
=
E
 y
E
 z
− Ex
− Ey
0
Bz
− Bz
0
− By
Bx
− Ez 

By 
− Bx 

0 
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el potencial transformado A′
µ
está en la norma
El tensor de esfuerzos electromagnético es
invariante ante transformaciones de norma
Aµ → Aµ + ∂ µ Λ , por lo cual L será invariante
temporal. Entonces la ecuación A ( x ) = 0
admisible como condición de norma.
de norma si,
En la norma temporal
lagrangiana adquiere la forma,
∫
→
∫
d
4
x
d
[j
4
x j
µ
A
µ
µ
A
→
µ
+ j
µ
∂
(
Λ
µ
]
)
= ∫ d 4 x j µ Aµ + ∫ d 4 x ∂ µ j µ Λ −
0
L
[2 r
(x ) = 1 (A& ) − (∇ × A)2
r
∇⋅E = ρ
S = ∫d 4xL
sea
r ∂ρ
∂µ jµ = 0 = ∇ ⋅ j +
∂t
la cual es la ecuación de continuidad de la densidad
de corriente.
(
)
x ∂ µ j µ Λ , esta es una
derivada total. Sin embrago, esta cuasi-invariancia de
la densidad lagrangiana resulta en la invariancia de la
∫d
3
xL .
En la norma temporal se requiere que el
satisfaga
A 0 (x ) = 0 .
Dada
una
configuración cualquiera del campo A ( x ) ,
podemos obtener otro campo equivalente mediante
una transformación de norma. Eligiendo,
µ
t
r
r
Λ ( x , t ) = ∫ dt ′A 0 ( x , t ′)
t0
simplicidad,
que
la
r
r
P = − E . La densidad hamiltoniana queda,
H =
r 2 r r
1 r2 1
E + (∇ × A) + j ⋅ A
2
2
Con la constricción (7). Adoptamos para los
corchetes de Poisson la forma canónica,
{E (t , xr ), A (t , yr )} = δ
j
k
jk
δ (3 ) ( xr − yr )
Estos corchetes, junto con H , conducen a las
ecuaciones de Maxwell.
La norma temporal
potencial
por
densidad de corriente j es constante y homogénea;
que por otro lado, si no lo fuera y dependiera de x,
entonces, la lagrangiana adquiriría dependencia
temporal explícita. Con esta simplificación
obtenemos que los grados de libertad son las
r
componentes de A( x ) y sus momentos conjugados
Además del termino anterior aparece un término
lagrangiana L =
(7)
µ
invariante entonces se debe cumplir que,
4
]− rj ⋅ Ar
La ecuación de movimiento para A0 que
resulta de la lagrangiana original (6) la imponemos
como una constricción extra,
Suponiendo,
Para que la acción
∫d
densidad
La cual es la conocida ley de Gauss.
− ∫ d 4x ∂µ jµΛ
extra, la integral
r
2
la
es
La norma de Coulomb
La definimos mediante la condición,
r
∇⋅ A = 0
(8)
Cualquier configuración del campo puede
llevarse a la norma temporal a través de una
transformación de norma, entonces, para ver si la
norma de Coulomb es admisible, basta mostrar que
cualquier campo que satisfaga la norma temporal
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µ
puede transformarse a la de Coulomb. Sea V el
campo en la norma temporal, buscamos entonces una
transformación
A (x ) = V
µ
µ
(x ) − ∂ Λ(x )
µ
(9)
de tal manera que satisfaga la condición (8), con estas
r
Donde ET es el campo eléctrico transversal.
La componente longitudinal del campo eléctrico es
dada por,
r
dos ecuaciones obtenemos que ∇ Λ = −∇ ⋅ V . Esta
ecuación siempre tiene solución, la cual es de la
forma,
2
Λ(x ) =
r
r r
Π = A& = − ET
1
∇′ ⋅ V
d 3r′ r r
∫
4π
r′− r
r
E L = −∇A 0
La densidad hamiltoniana en esta norma
resulta así,
(10)
H =
Por lo tanto, la norma de Coulomb es
admisible.
r 2 1 1
r r
1 r2 1
Π + (∇ × A) + ρ 2 ρ − j ⋅ A
2
2
2 ∇
En esta norma los corchetes adquieren la
forma,
La densidad lagrangiana (6) no contiene
derivadas temporales de A0, por lo que esta no
constituye un grado de libertad del sistema. Podemos
determinar a A0 en esta norma a partir de (9) y (10).
De este modo obtenemos
A 0 (x ) =
1
ρ
d 3r ′ r r
∫
4π
r′− r
La dinámica está dada entonces por la
densidad lagrangiana,
L
[2 r
(x ) = 1 (A& ) − (∇ × A)2
2
r
]− 12 ρ ∇1 ρ + rj ⋅ Ar
{A (x ), E ( y )} =  − δ
j
k
T

jk
+ ∇ xj ∇ ky
1  (3 ) r r
δ ( x − y )
∇2 
(11)
con lo que obtenemos que los corchetes de Poisson no
son canónicos en esta norma. Tomando la divergencia
r
respecto a x en ambos miembros de (11) y usando
(8), obtenemos 0=0. Es decir, en esta norma podemos
usar la restricción antes de evaluar los corchetes, a
diferencia de lo que ocurre en la norma temporal, en
r
la que la constricción sobre ∇ ⋅ E es de primera
clase.
2
Con la restricción (8). En esta norma, la
densidad lagrangiana no es manifiestamente local.
r
Los momentos conjugados de A los obtenemos
r
&,
derivando la densidad lagrangiana con respecto a A
teniendo en cuenta la restricción (8). Al imponer la
r
condición ∇ ⋅ Π = 0 resulta que,
En la teoría cuantizada las constricciones de
primera clase se imponen sobre el espacio de estados.
Las de segunda clase, que pueden ser evaluadas
dentro de los conmutadores, son ecuaciones de
operadores. En general, el formalismo se simplifica
considerablemente cuando es posible imponer las
constricciones directamente sobre los operadores,
como en la norma de Coulomb
REFERENCIAS
1.
2.
3.
28
Méndez J. A. (2000). “Invariancia de norma y modos colectivos en mecánica cuántica”. Tesis de maestría,
CINVESTAV, IPN unidad Mérida.
Jackson J.D. (1975). “Classical Electrodynamics”. John Wiley, New York.
Dirac P. A. M. (1964). “Lectures on quantum mechanics”. Belfer graduate school of science, New York.