Números irracionales Representación de números irracionales

Números irracionales
A los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas se
les llama números irracionales. A su conjunto lo representaremos con la letra
.
Son números irracionales:
Representación de números irracionales
Ya sabes cómo se representan los números racionales en la recta numérica (fig1.6)
A cada número racional le corresponde un punto en la recta pero en realidad éstos no
completan la recta, también la constituyen los irracionales. En general, representar un
número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos
tendríamos que conformar con una aproximación. De todas maneras, hay métodos
geométricos que permiten representar algunos números irracionales en la recta numérica.
Veamos como se puede representar, por ejemplo,
:
hay que tener claro que
<2
=1,414...,es decir, 1<
Observa el cuadrado del dibujo, si ampliamos el teorema de Pitágoras para hallar su
diagonal comprendemos esto:
Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente
en la recta numérica.
Sabemos que
es un número irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar
ocupado por ningún otro número irracional.
En esta recta representamos los números irracionales
y-
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones
equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que
se llama racionalización de radicales de los denominadores.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el
proceso es diferente.
Se pueden dar varios casos:
1. Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada.
En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz
cuadrada.
5
Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción 2 , multiplicaremos
2
numerador y denominador por
5
5 2
5 2 5 2



2
2
2. 2
22
2 3
Otro ejemplo. Racionalizar 18
Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador,
tenemos:
2 3
2 3
2 3


18
2.32 3 2
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por
denominador:
2 para eliminar la raíz del
2 3 2 3. 2 2 6
6



3.2
3
3 2 3 2 2
También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por 18
2 3 2 3. 18 2 54
54



18
9
18
18. 18
Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.
54
2.33 3 2.3
6



9
9
9
3 , como vemos da el mismo resultado.
2. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en
los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el
conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y
viceversa.
7
Por ejemplo 5  3 , multiplicamos numerador y denominador por
7

5 3
7


5 3
5 3


5 3
5 3

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o
2
2
sea una expresión del tipo  a  b  a  b   a  b
7

5 3
7


5 3
5 3


5

3  5   3

7

5 3
2
2

7

5 3
53
  7
5 3

2
2
Otro ejemplo: 3  7 , ahora multiplicamos numerador y denominador por 3  7



 

2 3 7
2 3 7
2 3 7
2



 3 7
97
2
3 7
3 7 3 7



3. Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se
multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n quecomplete una
potencia de exponente n.
Por ejemplo:
3
1
25
3
Factorizamos el radicando del denominador:
multiplicar numerador y denominador por
3
1
1

3 2
25
5 , y como
3
53  5 , vamos a
5 para completar la potencia de 5
3
3
3
1
1
5
5
5




3
5
25 3 52 3 52 3 5 3 53
2
4
Otro ejemplo: 2
Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta
multiplicar por
4
23
2
2 4 23
2 4 23 2 4 2 3 4 3



 2
4
4 4
2
2 4 2 4 23
2
Otro ejemplo más
Racionalizar el denominador de la fracción:
x
x 1  x 1
Multiplicamos numerador y denominador por

x  1  x 1

x

x

x 1  x 1
x 1  x 1


x  1  x 1
 x  1   x  1

x 1 
  x

x 1  x  1   x 1

x
x  1  x 1
x 1 x 1
Por tanto podemos escribir que

x 1  x 1
2
  x
2

x  1  x 1

2
x
x

x 1  x 1

x 1  x 1
Operaciones con radicales. Ejemplos
2.1
Estructura y soluciones
2

Operaciones con radicales Productos
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los
exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.
Reducción de radicales a índice común
1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común
índice
2Dividimos el común índice por cada uno de los índices
resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
y
cada
Se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja
en el radicando.
Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del
radicando.
Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el
índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y
el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se
introduce
los
factores
elevados
al
índice
correspondiente
del
radical.
Suma de radicales
Solamente
pueden
sumarse
(o
restarse)
dos
radicales
cuando
son
radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual
radicando.
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para
multiplicar
radicales
con
el
mismo
índice
se
multiplican
los
radicandos y se deja el mismo índice .
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se
deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Para
elevar
un
radical
a
una
potencia
se
eleva
a
dicha
potencia
el
radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice
es el producto de los dos índices.
Racionalizar radicales
Consiste
en
quitar
los
radicales
del
denominador ,
facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por
.
lo
que
permite
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por
3Del tipo
.
, y en general cuando el denominador sea un binomio
con al menos un radical.
Se
multiplica
denominador.
el
numerador
y
denominador
por
el
conjugado
del