Logique Informatique∗ Séance 2

Logique Informatique∗
Séance 2 - La déduction naturelle
Prof. Jean-François Raskin
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Solutions
1. (p ∧ q) ∧ r, s ∧ t ⊢ q ∧ s
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(p ∧ q) ∧ r
s∧t
p∧q
q
s
q∧s
prémisse
prémisse
∧ e1 1
∧ e2 3
∧ e1 2
∧i 4, 5
2. q → (p → r), ¬r, q ⊢ ¬p
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q → (p → r)
¬r
q
p→r
¬p
prémisse
prémisse
prémisse
→e 1, 3
M T 2, 4
3. ⊢ (p ∧ q) → p
1
2
3
p∧q
p
(p ∧ q) → p
hypothèse
∧e1 1 (fin hypothèse 1)
→i 1-2
4. p ⊢ (p → q) → q
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4
∗
p
p→q
q
(p → q) → q
prémisse
hypothèse
→e 1,2 (fin hypothèse 2)
→i 2-3
http://www.ulb.ac.be/di/info-f-302/
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5. (p → r) ∧ (q → r) ⊢ (p ∧ q) → r
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(p → r) ∧ (q → r)
p∧q
p
p→r
r
(p ∧ q) → r
prémisse
hypothèse
∧ e1 2
∧ e1 1
→e 3,4 (fin hypothèse 2)
→i 2-5
6. q → r ⊢ (p → q) → (p → r)
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q→r
p→q
p
q
r
p→r
(p → q) → (p → r)
prémisse
hypothèse
hypothèse
→e 2,3
→e 1,4 (fin hypothèse 3)
→i 3-5 (fin hypothèse 2)
→i 2-6
7. p → (q ∧ r) ⊢ (p → q) ∧ (p → r)
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p → (q ∧ r)
p
q∧r
q
p→q
p
q∧r
r
p→r
(p → q) ∧ (p → r)
prémisse
hypothèse
→e 1,2
∧e1 3 (fin hypothèse 2)
→i 2-4
hypothèse
→e 1,6
∧e2 7 (fin hypothèse 6)
→i 6-8
∧i 5,9
8. p → (q ∨ r), q → s, r → s ⊢ p → s
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p → (q ∨ r)
q→s
r→s
p
q∨r
q
s
r
s
s
p→s
prémisse
prémisse
prémisse
hypothèse
→e 1,4
hypothèse
→e 2,6 (fin hypothèse 6)
hypothèse
→e 3,8 (fin hypothèse 8)
∨e 5,6-7,8-9 (fin hypothèse 4)
→i 4-10
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9. (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
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(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p∧q
p
q
q∨r
p ∧ (q ∨ r)
p∧r
p
r
q∨r
p ∧ (q ∨ r)
p ∧ (q ∨ r)
prémisse
hypothèse
∧ e1 2
∧ e2 2
∨i1 4
∧i 3,5 (fin hypothèse 2)
hypothèse
∧ e1 7
∧ e2 7
∨i2 9
∧i 8,10 (fin hypothèse 7)
∨e 1,2-6,7-11
10. ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
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¬p ∨ ¬q
¬p
p∧q
p
⊥
¬(p ∧ q)
¬q
p∧q
q
⊥
¬(p ∧ q)
¬(p ∧ q)
prémisse
hypothèse
hypothèse
∧ e1 3
¬e 2,4 (fin hypothèse 3)
¬i 3-5 (fin hypothèse 2)
hypothèse
hypothèse
∧ e2 8
¬e 7,9 (fin hypothèse 8)
¬i 8-10 (fin hypothèse 7)
∨e 1,2-6,7-11
11. p ∨ q, ¬q ∨ r ⊢ p ∨ r
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p∨q
¬q ∨ r
¬q
p
p∨r
q
⊥
p∨r
p∨r
r
p∨r
p∨r
prémisse
prémisse
hypothèse
hypothèse
∨i1 4 (fin hypothèse 4)
hypothèse
¬e 3,6
⊥e 7 (fin hypothèse 6)
∨e 1,4-5,6-8 (fin hypothèse 3)
hypothèse
∨i2 10 (fin hypothèse 10)
∨e 2,3-9,10-11
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