TEMA 2 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

TEMA 2
ECUACIONES, INECUACIONES Y
SISTEMAS
CURSO CERO MATEMÁTICAS: 2. ECUACIONES , INECUACIONES Y SISTEMAS
2.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
• 2.1.1. Método general de resolución de ecuaciones
EJEMPLO: Resolver
4𝑥−5
6
−
2(𝑥+7)
3
= 3(𝑥 − 1)
2.2. ECUACIONES CUADRÁTICAS Y BICUADRADAS
• 2.2.1. Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es
una igualdad que se puede expresar de la forma
ax 2  bx  c  0 , con a, b, c  R y a  0.
Para resolver ecuaciones se segundo grado utilizamos
2
la fórmula que nos da sus soluciones: x   b  b  4ac
2a
ECUACIONES INCOMPLETAS:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0
𝑎𝑥 2 + c=0
.
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•
2.2.2. Ecuaciones bicuadradas.
Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado de la forma:
(1)
ax 4  bx 2  c  0 .
Estas ecuaciones se resuelven transformando la ecuación en otra de segundo grado por medio
de un cambio de variable. Efectivamente, si realizamos el cambio de variable x  t , la ecuación
inicial se transforma en:
2
(2)
at 2  bt  c  0 .
Por cada solución t de la ecuación (2) obtendremos dos soluciones de la ecuación (1):
x1 
t
y
x2   t .
Por ejemplo, vamos a resolver la siguiente ecuación:
x 4  25 x 2  144  0
2.2. EJERCICIOS:
Resuelve las siguientes ecuaciones:
b)
3x 4  21x 2  36  0
 x 4  2 x 2  36  0
c)
36 x 4  5 x 2  1  0
a)
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2.3. Ecuaciones polinómicas
• 2.3.1. Regla de Ruffini
Para dividir un polinomio P(x) por un binomio de la forma ( x  a) existe un procedimiento
alternativo a algoritmo de la división, denominada Regla de Ruffini que nos proporciona el
cociente y el resto de la división de estos dos polinomios.
Por
ejemplo,
Consideremos
los
polinomios p( x)  x6  6 x5  2 x3  12x 2  7 x  47
q( x)  x  6 . Utilizando la Regla de Ruffini obtenemos:
Ejemplo 2. Aplicar la Regla de Ruffini para obtener cociente y resto de
( x3  3x 2  7 x  2) : ( x  3)
y
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2.3.2. Factorización de polinomios.
Diremos que un polinomio
polinomio de grado 0.
P(x)
es irreducible si solo es divisible por sí mismo o por un
Por ejemplo: son irreducibles x  1 y 2 x  5 . El polinomio 3( x  1) es irreducible, pues
únicamente es divisible por el polinomio de grado 0 3 . El polinomio ( x 2  1) no es
irreducible pues tiene dos divisores ( x  1), ( x  1) . El polinomios x 2  1 es irreducible pues
no tiene raíces reales.
Diremos que x  a es una raíz del polinomio P(x) si P(a)  0 , es decir, si x  a es una
solución de la ecuación P( x)  0 . En ese caso, el binomio ( x  a) es un factor del
polinomio P(x) .
Consideremos el polinomio P( x)  x4  8x3  23x2  28x  12 , si aplicamos la Regla de Ruffini
para dividir P(x) y el binomio ( x  2) , obtenemos que el resto de la división es nulo.
Diremos entonces que el polinomio tiene una raíz en x=2. Además podríamos afirmar
que P( x)  ( x3  6 x 2  11x  6)  ( x  2) , es decir, el binomio ( x  2) es un factor divisor del
polinomio P(x) .
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2.3. Ecuaciones polinómicas
• 2.3.2. Factorización de polinomios (Método)
Si P(x) es un polinomio de grado mayor que dos, entonces debemos encontrar las
raíces del polinomio, teniendo en cuenta que un polinomio de grado n, tiene a lo sumo
n-raíces reales (Teorema Fundamental del Álgebra).
Para encontrar las raíces aplicaremos secuencialmente la Regla de Ruffini.
Por ejemplo: Sea el polinomio x3  13x  12 , como sus coeficientes son enteros entonces
sus raíces enteras pueden ser 1,  1, 2,2, 3,  3, 4,  4, 6,  6, 12,  12 . Si aplicamos la regla
de Ruffini
Luego
x3  13x  12  ( x  1)(x  3)(x  4) .
2.3. EJERCICIOS
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
6 x3 ( x  2)(x  3)(x  4)  0
2
a) 2( x  5)( x  1)( x  4)  0
b)
4
3
2
c) 2 x  3x  15x  31x  15  0
4
3
2
d) 2x 19x  46x  7 x  60  0
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2.4. Ecuaciones con radicales. Ecuaciones racionales.
• 2.4.1. Ecuaciones con radicales.
Cuando en una ecuación la incógnita aparece en alguno de los términos dentro del
signo radical, decimos que es una ecuación con radicales. Para resolver las ecuaciones
con radicales se siguen los siguientes pasos:
1) Aislar en un miembro de la ecuación los términos en los que la incógnita está dentro
de un signo radical.
2) Elevar los dos miembros de la ecuación al cuadrado.
3) Si ya no existen radicales, se resuelve la ecuación resultante teniendo en cuenta que
las soluciones de la última ecuación pueden no ser soluciones de la ecuación inicial, por
lo que es necesario comprobar cuáles de las soluciones obtenidas en la última ecuación
son soluciones de la ecuación inicial.
Si todavía existen incógnitas dentro de un radical, iniciamos con esta ecuación el paso
1).
EJEMPLO. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:
a) x  4 x  1  5
b)
2x  3  x  2  3
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2.4. Ecuaciones con radicales. Ecuaciones racionales.
• 2.4.2. Ecuaciones racionales.
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece en una fracción algebraica se denominan ecuaciones
racionales. Para resolver ecuaciones con fracciones algebraicas multiplicamos las fracciones por el
m.c.m. de los denominadores y después resolvemos la ecuación obtenida. Las soluciones
resultantes deberán ser comprobadas en la ecuación inicial.
EJEMPLO:
x  6 2x  3
9


2x
x2
x2
2.4. EJERCICIOS
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x  5  2  x 1
5  x  x 1
b)
5  x  x 1
2x  3  x  1  1
c)
d)
2. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
x2
x
x 1
2
x2  x 1

1


a) x
.
x( x  2) x 2  x  2 b) 3x  1 3x  1
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2.5. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
• 2.5.1. Ecuaciones exponenciales.
Son ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente de una potencia. Se
resuelven utilizando varias técnicas:
1) Expresando los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base y a
continuación escribiendo la ecuación formada por la igualdad de los exponentes.
Ejemplo:
6
x 2  2 x 15
1
2) Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación y aplicando las
propiedades de los logaritmos.
Ejemplo:
4 x 5  0,0001
3)Efectuando el cambio de variable a x  t .
Ejemplo:
3  4 x  2 x2 
11
4
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2.5. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
• 2.5.2. Ecuaciones logarítmicas.
Son ecuaciones en que la incógnita está dentro del argumento de un logaritmo. Se resuelven
utilizando las propiedades de los logaritmos y comprobando las soluciones obtenidas en la
ecuación inicial, ya que solo existen logaritmos de números positivos.
EJEMPLO:
log( x  4)  log( x  5)  1
2.5. EJERCICIOS.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
 81
1
x2 2 x
 0
c) 6
6
a) 3
x 2 5 x  2
b)
2 x2  25 x  2 x  26
d)
4 x5  0,0001
2.Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
log( 4 x  1)  log( x 2 )  log 3  log x
2
3
b) log( 4 x  1)  3 log x  log( 6 x  x)  log x
c) log 4  log( x  2)  log(3x  4)  log x  0
a)
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2.6. Sistemas de ecuaciones lineales
• 2.6.1. Definición de sistema de ecuaciones lineales
x1 , x2 , x3 ,..., xn si se puede expresar de la forma
a1 x1  a2 x2  a3 x3  ...  an xn  b , donde a1 , a2 ,..., an , b  R . Un sistema de
Una ecuación es lineal en las variables
ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de varias ecuaciones lineales en las
variables x1 , x2 , x3 ,..., xn :
 a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1
 a x  a x  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2
,



am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm
siendo a11 , a12 ,, a1n , a21 , a22 ,, a2 n , am1 , am 2 ,, amn , b1 ,, bm  R .
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2.6. Sistemas de ecuaciones lineales.
• 2.6. 2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales
según sus soluciones.
Según el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:
a) Sistemas compatibles: cuando el sistema tiene alguna solución. Si la solución es única diremos que el
sistema es compatible determinado, y si existen infinitas soluciones diremos que es compatible
indeterminado.
EJEMPLO:El sistema lineal
2 x  y  2
es compatible determinado, ya que su única solución es x = 1, y = 0.

 x  y 1
Gráficamente son dos rectas que se cortan en el punto (1,0) es compatible determinado única solución x=1, y=0
 2x  y  2
2) El sistema 
es compatible indeterminado, su gráfica consta de dos rectas concurrentes
4 x  2 y  4
b) Sistemas incompatibles: si no existe ninguna solución.
 2x  y  2
EJEMPLO: El sistema 
es incompatible, su gráfica consta de dos rectas paralelas.
2 x  y  1
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2.6. Sistemas de ecuaciones lineales.
• 2.6.23. Métodos de resolución por sustitución, igualación y
reducción.
SUSTITUCIÓN: Despejar una incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir en las restantes,
hasta conseguir una ecuación con una incógnita.
IGUALACIÓN: Despejar la misma ecuación en todas las ecuaciones e igualar los segundos
miembros de las ecuaciones resultantes.
REDUCCIÓN: Reducir el sistema a otro con menos incógnitas realizando operaciones con las
ecuaciones.
EJEMPLO: Resolvamos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
 x1  x2  x3  0

 2 x1  x2  x3  3
 x  x  2 x  3
 1
2
3
utilizando los tres métodos.
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2.6. Sistemas de ecuaciones lineales.
• 2.6.4. Método de Gauss.
Transformaciones para construir sistemas equivalentes:
a) Si sustituimos una ecuación de un sistema por el producto de esta ecuación por un número, el sistema
que se obtiene es equivalente.
b) Si sustituimos una ecuación por la suma o diferencia de esta ecuación con otra ecuación del sistema, el
sistema que se obtiene es equivalente.
c) Si intercambiamos dos ecuaciones, el sistema que se obtiene es equivalente
Diremos que un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es triangular si tiene la siguiente forma:
a1 x  b1 y  c1 z  d1

b2 y  c2 z  d 2


c3 z  d 3

Un método de resolución alternativo a los métodos clásicos de sustitución, igualación y reducción
consiste en convertir un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente pero triangular: MÉTODO DE
GAUSS.
x  y  2z  3
EJEMPLO: Resolver por el método de Gauss: 

 2x  y  z  6
2 x  y  2 z  4

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2.6. EJERCICIOS.
1. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
 3x  2 y  z  1

a)  2 x  3 z  9
2 x  y  4 z  10

 x  y  2 z  12

b)  2 y  2 z  14
 x  5 y  4 z  30

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2.7. Inecuaciones.
• 2.7.1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Una inecuación es una desigualdad ( , , ,  ) entre dos expresiones algebraicas en las que
aparecen una o más incógnitas y cuya solución es el conjunto de números reales que
verifican la desigualdad.
Las inecuaciones de primer gado con una incógnita son inecuaciones que se pueden
convertir en una de las siguientes inecuaciones reducidas: ax  b , ax  b , ax  b o
ax  b con a, b  R .
Para reducir una inecuación de primer grado utilizamos las siguientes reglas:
b
b
b
b
Si a  0 : ax  b  x  , ax  b  x  , ax  b  x  , ax  b  x  .
a
a
a
a
b
b
b
b
Si a  0 : ax  b  x  , ax  b  x  , ax  b  x  , ax  b  x  .
a
a
a
a
𝑥
EJEMPLO: 7𝑥 − 2 + 2 ≥ 8𝑥 + 5
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2.7. Inecuaciones.
• 2.7.2. Inecuaciones polinómicas con una incógnita
Son
inecuaciones
que
pueden reducirse a una
p( x)  0, p( x)  0, p( x)  0, p( x)  0 , donde p(x) es un polinomio.
de
estas
formas:
Para resolver las inecuaciones polinómicas seguiremos los siguientes pasos:
1) Simplificar la inecuación de manera que en un miembro obtengamos un
polinomio y en el otro miembro el valor nulo.
2) Factorizar el polinomio del primer miembro y obtener sus raíces.
3) Dividir la recta real en un conjunto de intervalos. Sobre estos intervalos
analizamos el signo de cada uno de los factores del polinomio, para obtener el signo del
polinomio total y determinar en qué intervalos se verifica la inecuación.
EJEMPLO:
x3  2 x 2  5x  6
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2.7. Inecuaciones.
• 2.7.3. Inecuaciones racionales con una incógnita
Son
inecuaciones
que
pueden
reducirse a una de estas formas:
r ( x)  0, r ( x)  0, r ( x)  0, r ( x)  0, donde r (x) es una fracción racional.
Para resolver las inecuaciones racionales podemos seguir los siguientes pasos:
1) Simplificar la inecuación a una de las formas reducidas indicadas.
2) Factorizar los polinomios que componen numerador y denominador.
3) Con la raíces del numerador y denominador descomponer la recta real en los
intervalos; y analizar los signos de cada factor en cada intervalo para obtener el signo
de la fracción racional.
EJEMPLO:
x 2  11x  28
0
2
x  3x  18