Problemas resueltos

Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a
Funciones reales extendidas al Plano Complejo, problemas resueltos
1. Considere los siguientes números complejos:
1) z1 = 3 i
2) z2 = −2 − 3 i
3) z3 = 1 + 3 i
4) z4 = 1 −
1
4
iπ
Determine la parte real de la función exponencial aplicada cada uno de ellos.
Solución
Recordemos la fórmula de la función exponencial:
ex+y i = ex cos(y) + ex sen(y) i
Por consiguiente, para evaluar la función exponencial en un numéro complejo, requerimos que esté en la forma de binomio
o bien rectangular:
1) z1 = 3 i = 0 + 3 i, por tanto
e0+3 i = e0 cos (3) + e0 sen (3) i = cos (3) + sen (3) i ≈ −0.98999 + 0.14112 i
la parte real es Re (ez1 ) ≈ −0.98999
2) z2 = −2 − 3 i, por tanto
e−2−3 i = e−2 cos (−3) + e−2 sen (−3) i ≈ −0.13398 − 0.01910 i
la parte real es Re (ez2 ) ≈ −0.13398
3) z3 = 1 + 3 i, por tanto
e1+3 i = e1 cos (3) + e1 sen (3) i ≈ −2.69108 + 0.383604 i
la parte real es Re (ez3 ) ≈ −2.69108
4) z4 = 1 −
π
4
i, por tanto
π
π
π
e1− 4 i = e1 cos −
+ e1 sen −
i ≈ 1.92212 − 1.92212 i
4
4
la parte real es Re (ez4 ) ≈ 1.92212
2. Considere los siguientes números complejos:
1) z1 = 3 i
2) z2 = −2 − 3 i
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2
3) z3 = 1 + 3 i
4) z4 = 1 −
1
4
iπ
Determine la parte real de la función logaritmo principal aplicada a z1 ,. . . ,z4 .
Solución
Recordemos la fórmula de la función logaritmo sobre un número complejo z:
ln(z) = ln (|z|) + arg (z) i = ln (r) + (θ + 2 π n) i para n = 0, ±1, ±2, ±3, . . .
y del logaritmo principal
Ln(z) = ln (|z|) + Arg (z) i = ln (r) + θ i
Por consiguiente, para evaluar la función logaritmo principal debemos determinar su módulo y su argumento.
√
1) Para z1 = 3 i: r = |z1 | = 02 + 32 = 3 y θ = 12 π, por tanto
Ln(z1 ) = ln(3) +
1
π i ≈ 1.09861 + 1.57079 i
2
ası́ Re (Ln(z1 )) ≈ 1.09861
√
2) z2 = −2 − 3 i, |z2 | = 13 ≈ 3.60555 y θ ≈ −2.15879, por tanto
Ln(z2 ) ≈ ln(3.60555) − 2.15879 i ≈ 1.28247 − 2.15879 i
ası́ Re (Ln(z2 )) ≈ 1.28247
√
3) z3 = 1 + 3 i: |z2 | = 10 y θ = tan−1 (3) ≈ +1.24904,
√ Ln(z3 ) = ln
10 + tan−1 (3) i ≈ 1.15129 + 1.24904 i
ası́ Re (Ln(z3 )) ≈ 1.15129
4) z4 = 1 −
π
4
i: |z4 | ≈ 1.27155 y θ = tan−1 − 14 π ≈ −0.665774,
Ln(z4 ) ≈ ln (1.27155) − 0.665774 i ≈ 0.24024 − 0.665774 i
ası́ Re (Ln(z4 )) ≈ 0.24024
La siguiente figura muestra que la función logaritmo usanda en la TI es la función logaritmo principal de números complejos.
Usted debe tener configurada su calculadora en modo complejo (Real or Complex: Rectangular). Observe las siguientes
figuras. En los modelos previos de TI, el menú se obtiene en la tecla MODE .
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3
3. Considere los siguientes números complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = −3 + 3 i
3) z3 = 1 + 2 i
4) z4 = −3 −
1
4
iπ
Determine:
a) Re (iz1 )
b) Re (iz2 )
c) Re (sen(z1 ))
d) Im(cos(z2 ))
e) |tan(z3 )|
Solución
Recordemos que la potencia principal de un complejo se calcula por la fórmula:
z1 z2 = ez2 Ln(z1 ) para z1 6= 0
y que por otro lado:
sen (z) =
1
1 iz
sen (z)
ei z − e−i z , cos (z) =
e + e−i z , tan (z) =
2i
2
cos (z)
1) Para calcular la potencia princial de iz1 , debemos calcular el logaritmo principal de la base de nuestra potencia que es
i. Y para ello debemos llevar i a la forma polar:
1
i = 1 e 2 π i → Ln (i) = ln(1) +
1
1
πi = 0+ πi
2
2
por lo tanto
iz1 = ez1 Ln(i) = e(−3 i)·( 2 π i) = e 2 π ≈ 111.318 + 0 i
1
3
ası́ Re (iz1 ) ≈ 111.318
2) Para calcular iz2 procedemos igual y aprovechamos que tenemos Ln (i):
iz2 = ez2 Ln(i) = e(−3+3 i)·( 2 π i) = e− 2 π− 2 π i
1
como
e
ası́ Re (iz2 ) = 0
− 23 π− 32 π i
=e
− 32 π
3
3
3
3
− 23 π
cos − π + e
sen − π i ≈ 0 + 0.00898 i
2
2
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3) Para obtener sen (z1 ) debemos calcular ei z1 y e−i z1
ei z1 = ei (−3 i) = e3+0 i = e3 cos (0) + e3 sen (0) i = e3 ≈ 20.0855
e−i z1 = e−i (−3 i) = e−3+0 i = e−3 cos (0) + e−3 sen (0) i = e−3 ≈ 0.04978
por tanto
sen (z1 ) =
1
1 i z1
e − e−i z1 ≈
(20.0855 − 0.04978) ≈ −10.0179 i
2i
2i
ası́ Re (sen (z1 )) = 0
4) Para obtener cos (z2 ) debemos calcular ei z2 y e−i z2
ei z 2
= ei (−3+3 i) = e−3−3 i = e−3 cos (−3) + e−3 sen (−3) i
≈ −0.04928 − 0.00703 i
e−i z2
= e−i (−3+3 i) = e3+3 i = e3 cos (3) + e3 sen (3) i
≈ −19.88453 + 2.83447 i
por tanto
cos (z2 ) =
1 i z2
e + e−i z2 ≈ −9.96691 + 1.413722 i
2
ası́ Im (cos (z2 )) = 1.413722
5) Para calcular tan (z3 ) debemos calcular sen (z3 ) y cos (z3 ). Si seguimos procesos similares a los incisos anteriores obtenemos:
sen (1 + 2 i) ≈ 3.16578 + 1.95960 i
cos (1 + 2 i) ≈ 2.03272 − 3.051898 i
por lo tanto
tan (z2 ) ≈ 0.03381 + 1.01479 i
La siguiente figura muestra que la funciones extendidas sobre los complejos están implementadas en la TI.
4. Considere los siguientes números complejos:
1) z1 = −2 + 3 i
2) z2 = 1 − i
determine:
1) La parte real de la primera raı́z cúbica de z2
2) La parte real de ez1
3) El argumento del valor principal de ln(z2 )
4) La parte real del valor principal de ln(z1 )
5) El módulo de z2 z1
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Solución
Utilizaremos directamente las funciones extendidas de la TI puesto que aplican para los valores principales. Esto se ilustra
en la siguiente figura. Observe que usamos punto decimal ya sea en la parte real y/o en la imaginaria para obligar a que los
cálculos sean aproximados.
5. Determine el argumento de dos raı́ces de la ecuación:
4
ez = i
Use el valor principal para el cálculo del logaritmo natural y obtenga las distintas raı́ces pedidas de la fórmula de De Moivre.
Solución
Al tomar logaritmo (logaritmo principal) en ambos lados obtenemos:
4
1
Ln ez = z 4 = Ln (i) = 0 + π i = zo
2
Ahora para obtener las raı́ces cuartas de zo lo llevaremos a su forma polar:
s
2
1 1
1
1
−1
2 π
2
π = π , θ = Arg(zo ) = tan
|zo | = 0 +
= π
2
2
0
2
Por tanto
1
1
π · e2 π i
2
y la fórmula de De Moivre aplicada para raı́ces cuartas nos quedará:
r
1
√
4 1
2 π + 2πk
4
zo =
π · cis
para k = 0, 1, 2, 3 = 4 − 1
2
4
zo =
Para k = 0 obtenemos el valor principal en el formato cis:
r
1
4 1
r1 =
π · cis
π
2
8
el argumento principal de r1 es Arg(r1 ) =
1
8
π ≈ 0.392699
Para k = 1 obtenemos la segunda raı́z:
r
r2 =
el argumento principal de r2 es Arg(r2 ) =
5
8
4
1
π · cis
2
5
π
8
π ≈ 1.9634954
Observe que si acaso se hubiera pedido una raı́z adicional, para k = 2 obtendrı́amos:
r
9
4 1
r3 =
π · cis
π
2
8
y un argumento de r3 es 98 π, pero en vista que este valor es más grande que π, debemos corregir el valor restando 2 π. El
argumento principal de r3 es:
7
9
Arg(r3 ) = π − 2 π = − π
8
8