1 Solución. Práctica Evaluable 1. Tª de Juegos y Estrategia

Solución. Práctica Evaluable 1. Tª de Juegos y Estrategia Competitiva. 10/10/2012
Considere el siguiente juego con tres jugadores. En la primera etapa del juego el jugador
1 dispone de dos posibles acciones, L y R. Una vez que ha decidido el jugador 1, el
jugador 2 que observa lo que ha jugado el jugador 1, tiene que elegir entre O y P. Por
último, le toca jugar al jugador 3 que, después de observar lo que ha elegido el jugador
1 pero no lo que ha elegido el jugador 2, tiene que elegir entre h y s. Los pagos (desde
arriba hacia abajo en el árbol de decisión) son (1,1,3) (0,2,1) (3,2,4) (0,0,1) (4,0,2)
(2,1,1) (2,4,2) (0,0,0).
(i) Defina estrategia (0.25). Represente el juego en forma extensiva (0.25). Represente
el juego en forma normal o estratégica (0.25).
“Una estrategia de un jugador es una descripción completa de lo que haría en caso de
ser llamado a jugar en cada uno de sus nodos de decisión. Hay que especificarlo incluso
en aquellos nodos que no fueran alcanzables para él dado el comportamiento actual del
otro o de los otros jugadores”. Es un plan de comportamiento o plan de conducta.”
O
3
L
2
h
(1, 1, 3)
s
w
h
(0, 2, 1)
(3, 2, 4)
P
(0, 0, 1)
s
h
1
O
s
R
3
2
h
(4, 0, 2)
(2, 1, 1)
(2, 4, 2)
P
s
1
(0, 0, 0)
2
OO
2
OP
PO
PP
L
(1, 1, 3) (1, 1, 3) (3, 2, 4) (3, 2, 4)
R
(4, 0, 2) (2, 4, 2) (4, 0, 2) (2, 4, 2)
OO
1
OP
PO
PP
L
(1, 1, 3) (1, 1, 3) (3, 2, 4) (3, 2, 4)
R
(2, 1, 1) (0, 0, 0) (2, 1, 1) (0, 0, 0)
1
hh
hs
3
2
OO
L
OP
2
PO
PP
OO
(0, 2, 1) (0, 2, 1) (0, 0, 1) (0, 0, 1)
1
OP
PO
PP
L
(0, 2, 1) (0, 2, 1) (0, 0, 1) (0, 0, 1)
R
(2, 1, 1) (0, 0, 0) (2, 1, 1) (0, 0, 0)
1
R
(4, 0, 2) (2, 4, 2) (4, 0, 2) (2, 4, 2)
sh
ss
3
(ii) Defina equilibrio de Nash (0.25). Obtenga los equilibrios de Nash (0.75).
“Una combinación de estrategias s ≡ (s1 , ...,s n ) constituye un equilibrio de Nash si
*
*
*
la estrategia de cada jugador es la mejor respuesta (o al menos una de ellas) ante las
estrategias seguidas por los otros jugadores.” Es decir, s ≡ (s1 , ...,s n ) es un equilibrio
*
*
*
)∀i,i = 1,...,n
de Nash si: s *i ∈ MRi (s−i
{
*
}
donde MRi (s*−i ) = s'i ∈ Si : Πi (si' ,s *−i ) ≥ Π i (si ,s *−i ), ∀si ∈ Si ,si ≠ s'i .
2
OO
L
OP
2
PO
PP
OO
(1, 1, 3) (1, 1, 3) (3, 2, 4) (3, 2, 4)
1
OP
PO
PP
L
(1, 1, 3) (1, 1, 3) (3, 2, 4) (3, 2, 4)
R
(2, 1, 1) (0, 0, 0) (2, 1, 1) (0, 0, 0)
1
R
(4, 0, 2) (2, 4, 2) (4, 0, 2) (2, 4, 2)
hh
hs
3
2
OO
OP
2
PO
PP
L
(0, 2, 1) (0, 2, 1) (0, 0, 1) (0, 0, 1)
R
(4, 0, 2) (2, 4, 2) (4, 0, 2) (2, 4, 2)
1
OO
OP
PO
PP
L
(0, 2, 1) (0, 2, 1) (0, 0, 1) (0, 0, 1)
R
(2, 1, 1) (0, 0, 0) (2, 1, 1) (0, 0, 0)
1
sh
ss
2 3
Equilibrios de Nash
(L, PP, hh), (R, OP, hh), (L, PO, hs), (L, PP, hs), (R, OP, sh) y (R, PP, sh)
(iii) Defina estrategia débilmente dominada (0.25). ¿Qué estrategias están débilmente
dominadas (0.25). ¿Qué equilibrios de Nash están basados en estrategias débilmente
dominadas?
“Una estrategia está débilmente dominada para un jugador si existe otra estrategia que
lleva a resultados por lo menos tan buenos como la primera cualesquiera que sean las
estrategias seguidas por los demás jugadores, y estrictamente mejores que la primera
para alguna combinación de estrategias de los demás”.
“ s iddb es una estrategia débilmente dominada si existe otra estrategia s idb tal que
Π i ( sidb , s− i ) ≥ Π i ( siddb , s− i ), ∀s−i ∈ S −i y ∃s−i tal que Π i ( sidb , s− i ) > Π i ( siddb , s− i ) ”.
Estrategias débilmente dominadas.
ss (por hh) (de hecho está estrictamente dominada por hh)
sh (por hh)
hs (por hh)
Equilibrios de Nash basados en estrategias débilmente dominadas. (en negrita las
estrategias débilmente dominadas).
(L, PO, hs), (L, PP, hs), (R, OP, sh) y (R, PP, sh)
3
(iv) Defina equilibrio perfecto en subjuegos (0.25). Obtenga el equilibrio perfecto en
subjuegos (0.5).
“Una jugada o combinación de estrategias s ≡ (s1 , ...,s n ) , que sea equilibrio de
*
*
*
Nash, constituye un equilibrio perfecto en subjuegos si las partes relevantes de las
estrategias de equilibrio de cada uno de los jugadores son también de equilibrio para
cada uno de los subjuegos.”
El juego tiene 3 subjuegos: el propio juego y los que comienzan a partir de cada nodo de
decisión del jugador 2 y continúan hasta el final del juego. En los subjuegos de
información imperfecta la noción de equilibrio perfecto en subjuegos exige que la parte
relevante de las estrategias de equilibrio formen equibrio de Nash en esos subjuegos.
En el subjuego superior
O
3
2
h
(1, 1, 3)
s
w
h
(0, 2, 1)
P
(3, 2, 4)
(0, 0, 1)
s
P,h constituye un equilibrio de Nash.
En el subjuego inferior
O
3
2
h
(4, 0, 2)
s
w
h
(2, 1, 1)
P
(2, 4, 2)
(0, 0, 0)
s
P,h es el único equilibrio de Nash.
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A continuación computamos el juego reducido y vamos al subjuego anterior, el que
comienza en el primer nodo.
P
L
1
2
(3, 2, 4)
h
w
(2, 4, 2)
3
P
R
h
w
2
3
R es una acción dominada. Por tanto, el equilibrio perfecto en subjuegos es (L, PP, hh).
(R, OP, hh) no es EPS ya que O,h no es un equilibrio de Nash del subjuego superior.
(L, PO, hs) no es EPS ya que O,s no es un equilibrio de Nash del subjuego inferior.
(L, PP, hs) no es EPS ya que P,s no es un equilibrio de Nash del subjuego inferior.
(R, OP, sh) no es EPS ya que O,s no es un equilibrio de Nash del subjuego superior.
(R, PP, sh) no es EPS ya que P,s no es un equilibrio de Nash del subjuego superior.
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