Números Irracionales R - Q Definición 1. En general

Números Irracionales R − Q
Definición 1. En general llamamos número irracional a los números decimales ilimitados no
periódicos. Dicho de otro modo, un número irracional es un número de infinitas cifras decimales no periódicas.
Un ejemplo de número irracional lo tenemos en
√
32 y su existencia en la recta real la podriamos
asegurar de la siguiente manera:
Método Geométrico para encontrar la raı́z de un número n
Se buscan dos números que multiplicados den como resultado la raı́z deseada
Se trazan dos segmentos seguidos uno de otro de la medida de los números encontrados.
Se suman los números encontrados y se dividen entre dos para encontrar el punto medio de los
dos segmentos juntos, y posteriormente se pone un punto en dicha distancia.
Se traza una semi-circunferencia haciendo centro en el punto medio encontrado.
Por último, se traza una perpendicular desde el punto donde se unen los dos segmentos hasta
tocar la circunferencia, y la distancia que hay desde ese punto a la circunferencia es el resultado
de la raı́z
Ejemplo: Vamos a encontrar la raı́z cuadrada de 32
Se trazan dos segmentos seguidos uno de otro de la medida de los números encontrados.
Se buscan dos números que multiplicados den como resultado la raı́z deseada
Se suman los números encontrados y se dividen entre dos para encontrar el punto medio de los
dos segmentos juntos, y posteriormente se pone un punto en dicha distancia.
1
Se traza una semi-circunferencia haciendo centro en el punto medio encontrado.
Por último, se traza una perpendicular desde el punto donde se unen los dos segmentos hasta
tocar la circunferencia, y la distancia que hay desde ese punto a la circunferencia es el resultado
de la raı́z
Demostración. Tenemos que los triángulos 4ABE y 4BEC son semejantes pues ∠AEB =
∠BEC también ∠EAB = ∠ECB por tanto ∠ABC = ∠EBC y de la semejanza obtenemos
las siguientes relaciones
√
√
EB
CB
=
⇒ BE 2 = AB · BC ⇒ EB = 8 · 4 = 32
AB
EB
2
√
32 y dicha magnitud con el mismo compas
√
la trasladamos a la recta real, esto asegurarı́a que 32 esta sobre la recta real.
Si con un compas tomamos la abertura de tamaño
Aproximación a π
Para esto tomamos una circunferencia de radio 1 y centro en el punto O
Llamamos AC = ak , AB = a2k , OD⊥AB, OD = h, ahora bien los triángulos 4OBD y 4ABE
son semejantes, entonces tenemos las relaciones
1
a2k
= ak
h
2
de donde
2h =
ak
a2k
Aplicando el teorema de pitagoras para el triángulo 4ADO se tiene
1
h2 = 1 − a22k
4
3
Combinando las expresiones anteriores
1
a22
= 1 − a22k ⇒ a42k − 4a22k + a2k = 0 ⇒ a22k = 2 ±
2
2a2k
4
Tomkando la solución
q
4 − a2k
r
q
2 − 4 − a2k
a2k =
obtenemos la longitud de un lado del polı́go inscrito en la circunferencia.
√
Por ejemplo si tomamos a4 = 2 hallamos
q
√
a8 = 2 − 2
r
a16 =
q
√
2− 2− 2
y asi sucesivamente, por lo que
s
n−1
π=2
2−
r
2+
q
2 + ... +
√
2
Los resultados anteriores nos hablan un poco de la existencia de los números irracionales que
mas adelante retomaremos.
4