1 Segmentos, Razones y Coordenas unidimen! sionales

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1.0.1
Segmentos, Razones y Coordenas unidimensionales
Segmento
De…nimos segmento como la porción de una línea recta comprendida entre dos
puntos de la misma. A dichos puntos se los denomina extremos de segmento.
Asi pues en la recta r; A y B son los extremos del segmento AB y su
longitud quedará indicada como AB
Ahora bien, si consideramos al segmento como generado por el movimento
de un punto a lo largo de la recta r desde el punto A hasta el B
diremos que el segmento se encuentra dirigido de A a B donde A será el
origen y B el extremo.Podemos obtener el mismo segmento dirigiéndonos de
B a A pero , a diferencia del anterior este tendrá distinto sentido.
Desde el punto de vista de la Geometría elemental estos segmentos AB y
BA tendrian la misma longitud pero analíticamente hablando distinguiremos
el signo de la longitud e función a la dirección del segmento.
AB=
BA
Si consideramos 3 puntos sobre una recta , independientemente del orden
en que se encuentren podemos veri…car que se cumple la Relación Fundamental
1
AB+BC=AC
Si consideramos ahora 4 puntos alineados encontramos la Relación de
Euler.
Dados A; B; CyD sobre una recta estableceremos
AB CD+AD BC=AC BD
1.0.2
Sistema de coordenadas en una dimensión
Dada la recta r y el punto P Cómo podemos referenciar con exactitud la
ubicación de P sobre la recta r?
Podríamos comenzar por incluir los puntos O y U sobre r:De esta forma
hemos dividido la recta en dos semirectas , ambas de origen O pero solo una
incluye al punto U:
!
Ahora podremos decir al menos que P pertenece a la semirecta OU :Para
de…nir a que distancia de O se encuentra P tomaremos el semento OU como
segmento unidad a …n de establecer la siguiente relación.
OP
=x
OU
en donde x será la abscisa del punto P y diremos que
x = 0 si P = O
!
x < 0 si P 2
= OU
!
x > 0 si P 2 OU
2
De esta forma hemos establecido una biyección entre los puntos de la recta
y los números reales . A este sistema se lo denomina Sistema de cordenadas.
Ahora por medio de un número real podremos referirnos a cualquier punto
sobre una recta que llamaremos eje.
1.0.3
Longitud de un segmento
La longitud de un segmento AB queda de…nida por la diferencia de las abscisas de los extremos.
AB= b
a
en efecto, dados
por la relacion fundamental
OA + AB = OB
AB = OB
OA
…nalmente
AB= b
a
Esta ultima expresión es conocida como Fórmula fundamental de la Geometría
Analítica
3
1.0.4
Punto medio de un segmento
Sea un segmento determinado por los puntos A(a) y B(b) y sea M (m) su
punto medio.
AM = M B
m
a=b
m
2m = a + b
m=
1.0.5
a+b
2
Punto que divide un segmento en una razón dada
Dado un segmento determinado por los puntos A(a) y B(b) se dice que el
m
punto X(x) lo divide en la razón
si se cumple
n
m
AX
=
n
XB
1.0.6
Razón simple de de 3 puntos alineados
Dados tres puntos sobre una recta ,se de…ne la razón simple
(ABC) =
AC
BC
Es importante destacar que la razón se establece en el orden en que se
enuncian los puntos, que puede o no ser el orden en que se encuentran sobre
la recta.O sea , podemos de…nir
4
AB
CB
CA
(CBA) =
BA
.....
(ACB) =
Resumiendo.La razón simple se de…ne como el cociente entre los segmentos determinados por el 1 punto y el 3 y el determinado por el 2 y el
3:
1.0.7
Qué valores podrá tomar la razón simple en función a la
ubicación de los puntos?
Sea una recta donde hemos …jado la posición de dos puntos A y B: Tomemos
ahora un punto móvil P que se desplaza a lo largo de la recta tomando
distintas posiciones respecto de los puntos …jados y calculemos la razón simple
(ABP )
(ABP ) =
AB
BP
Qué valor tomará la razón en función a la ubicación de P ?
AP
Si P
A B =) BP
= k donde 0 < k < 1, pues tanto AP como BP
son negativos (p b < 0 y p a < 0)
AP
= k donde k = 0; pues p a = 0
Si P = A B =) BP
AP
Si A
P
B =) BP = k donde k < 0; pues siempre veri…cará que
signo AP 6= signo BP
AP
Si A P = B =) BP
= k donde k ! 1; pues BP = 0
AP
Si A B P =) BP
= k donde 1 < k; pues p a p b
Se observa que la razón puede tomar cualquier valor salvo el 1.
1.0.8
Obtención Grá…ca de la razón simple
Sean dos puntos A y B sobre una recta y se desea encontrar un trercer punto
C que junto con los anteriores forme la razón simple K ya conocida.
(ABC) =
AC
m
=
=k
BC
n
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Se trazan dos segmentos paralelos ( con dirección arbitraria) AR y BS
cuyas longitudes sean m y n respectivamente. Finalmente trazamos la recta
determinada por RS encontrando C en su intersección con r
En el caso en que la razón fuese negativa se deberán trazar AR y BS con
sentidos opuestos entre si, resultando de ello que el punto C se encuentre en
el segmento AB.
6
1.1
Actividad
1. Determinar la coordenada x del punto M , que divide al segmento
M1 M2 , limitado por los puntos M1 (x1 ) y M2 (x2 ) en una razón dada
M1 M
)
( =
M M2
2. Determinar la coordenada del punto M conociendo :
M1 M
=2
M M2
AM
A(2); B( 5) y =
=3
MB
CM
1
C( 1); D(3) y =
=
MD
2
AM
= 2
A( 1); B(3) y =
MB
BM
A(1); B( 3) y =
= 3
MA
1
BM
=
A( 2); B( 1) y =
MA
2
(a) M1 (3); M2 (7) y
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
=
3. Conocidas las abscisas de dos puntos A(a) y B(b) que de…nen el segmento AB; Hallar la expresión que permita obtener la abscisa del punto
N (n) que divide al segmento dado en K partes iguales.veri…car la expresión obtenida en los siguientes casos :
(a) A(2); B(11); K = 3
(b) A(2); B(12); K = 5
(c) A( 1); B(8); K = 3
(d) A( 2); B( 11); K = 3
4. Dados los puntos A( ) y B( 9) determinar:
(a) la coordenada del punto N simétrico al punto A con respecto al
punto B:
(b) la coordenada del punto M simétrico al punto Bcon respecto al
punto A:
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5. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres partes iguales por los puntos P ( 25) y 9)
6. Siendo M (m) el punto medio del segmento determinado por los puntos
A(a) y B(b).
(a) Que valor tomará la razón simple (ABM )?
(b) Cuál será la razón en que el punto M divide al segmento AB
7. Dada la siguiente razón simple (ABC) = k. Veri…car las siguientes
igualdades.
(a) (ACB) = (1
1
(b) (BAC) =
k
(c) (CAB) =
(d) (CBA) =
k)
1
(1
k)
k
(k
1)
8. Dados A(1) y B(7);obtener grá…ca y analíticamente la coordenada!
del punto C en función a las siguientes razones simples .
(a) (ABC) =
(b) (ABC) =
6
1
3
5
2
(d) (ABC) = 6
(c) (ABC) =
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