SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN I
TEMA 4
Ejercicio de aplicación 4.1 (Derivación) (Ejercicio de Selectividad)
Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de
una gran ciudad en los últimos años indica que la concentración de éstos viene
dada por la función
5
0.2
30 ( en años a partir del 1 de enero de 1990)
a) Halla la tasa media de variación entre enero de 1991 y enero de 1995.
b) Según este estudio, ¿en qué año se alcanzará un máximo en el nivel de
contaminación?
c) ¿Era creciente
en el año 1997?
d) Halla la pendiente de la recta tangente a esa función en
8. Interpreta el
resultado obtenido.
Solución
a) Como
1 y
0.2
5
30, la tasa de variación media entre los valores
5 es
3.8 unidades/año.
b)
0.4
0î
0î
5. Entonces
12.5
12.5
Así, la función
es creciente en el intervalo 0, 12.5 y decreciente a partir
de
12.5. Alcanzará su valor máximo a mediados del año 2002 (1 de julio de
2002).
c) De lo anterior se deduce que, en 1997,
era creciente.
d) La pendiente pedida es
8
1.8 que es la tendencia o tasa de variación
instantánea de la contaminación el 1 de enero de 1998. Este valor es también
el incremento marginal en
8, que es el incremento previsto en la
contaminación durante el año 1998.
1
Ejercicio de aplicación 4.2 (Derivación)
Un coche que circula por un tramo recto de una carretera nacional pasa por un
radar a 80 km/h y, un minuto después lo hace por otro, situado a 2 km.
a) Un guardia lo detiene y se dirige al coche. Si el límite de velocidad es de 90
km/h, ¿lo multará?
b) ¿Cuál es el tiempo mínimo que debe tardar entre ambos radares para que
no le multen? Si tarda más de ese tiempo, ¿significa que no ha rebasado
los 90 km/h en ese tramo?
Solución
a) Se considera la función
, que da la posición (en km) del vehículo
respecto del primer radar en cada instante ( en horas), a partir del momento
en que pasa por él que se toma como
0. Puesto que
′
es la
velocidad del coche, que siempre está bien definida, la función es continua y
derivable en el intervalo 0, 1⁄60 que corresponde al minuto que pasa entre los
dos radares. Por el Teorema del valor medio de Lagrange, en algún
0, 1⁄60 la velocidad es
⁄
120 km/h,
⁄
que rebasa ampliamente el límite de velocidad: el guardia multará al
conductor.
b) Para calcular el tiempo mínimo
multarle:
que debe tardar para que no puedan
90 ,
1.33 min
Si tarda más no quiere decir que no haya rebasado los 90 km/h, sino que no se
puede deducir que lo haya hecho a partir de la velocidad media usando el
Teorema del valor medio de Lagrange.
2
Ejercicio de aplicación 4.3 (Derivación)
Un avión vuela a una altura
con una velocidad constante horizontal . Se
dispone a efectuar el aterrizaje cuando se encuentra a una distancia
de la
cabecera de pista. Encontrar un polinomio de grado 3 que sirva de trayectoria
de aproximación. Aplicar al caso
10000 m. y
4000 m.
Solución
. Las condiciones del
Sea el polinomio de grado 3,
enunciado se expresan:
•
•
•
Se encuentra a una distancia
de la cabecera de pista:
,
Al aterrizar: 0
0,
Tanto al volar en el punto
como al aterrizar en el punto 0, como son
situaciones de trayectoria horizontal, las derivadas respectivas en dichos
puntos son nulas:
0,
0.
0,
En resumen:
0
0,
0,
0.
Resulta el sistema de ecuaciones, con su solución
3
2
0
0
2
î
3
,
,
0,
0.
0
Al sustituir en el polinomio de grado 3,
.
Observar que no importa saber cuál es la velocidad del avión.
Teniendo en cuenta
aproximación
10000 m. y
·
4000 m., resulta la trayectoria de
·
.
Gráfica de la trayectoria de aproximación de acuerdo con el polinomio obtenido:
3