magallymartinezreyes - Departamento de Matemática Educativa

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS
AVANZADOS DEL INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
UNIDAD ZACATENCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Diseño de un prototipo de entorno computacional para el
aprendizaje y enseñanza de las matemáticas para un curso de
cálculo diferencial a nivel superior
TESIS
que para obtener el grado de
Doctora en Ciencias con especialidad
en Matemática Educativa
p r ese n t a
Magally Martínez Reyes
Directores de tesis: Dr. Carlos Armando Cuevas Vallejo
Dr. François Pluvinage
México, D. F.,
Diciembre de 2005
Resumen
El cálculo diferencial constituye una herramienta para modelar fenómenos de diversas áreas, por lo que la
falta de manejo de este conocimiento establece una limitante en el desempeño de otras asignaturas. En
especial, se acostumbra sintetizar información mediante gráficas, sin embargo la carencia del manejo de
conceptos como raíces, signo, límites, derivada, máximos y mínimos, concavidad, etc., impide lograr
descifrar la información contenida en la gráfica, y aún más, interpretarla en el contexto de aplicación de
un problema. Además, aunque existen paquetes computacionales que presentan la gráfica de una función,
adolecen de precisión, induciendo a errores conceptuales por mal manejo de escalas, de manera que no es
un problema resuelto.
Sin embargo, la posibilidad que un medio computacional provee es que bajo un diseño didáctico
contribuyen a un ambiente matemático experimental y dinámico, al pasar de los medios tradicionales de
pizarrón, gis, lápiz y papel a presentar ejemplos y problemas simulados con los que es posible
experimentar y explorar sus propiedades; por lo que es una posibilidad de acercamiento a la enseñanza y
aprendizaje del cálculo diferencial si se programan actividades didácticas. Un software tutorial que
promueva la enseñanza y el aprendizaje de conceptos importantes para el cálculo presenta algunas
ventajas para los dos agentes del proceso, profesor y alumno.
Por ello, en este trabajo se propone la creación de un entorno computacional para la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas (ECAEM), con una componente didáctica integrada, que presente un
problema en cuya resolución se muestre la necesidad de los conceptos propios del cálculo diferencial. El
problema seleccionado fue la construcción e interpretación razonada de la gráfica de una función racional,
ya que la transposición didáctica de su tratamiento le da sentido didáctico a los conceptos del cálculo
diferencial. La manera de abordar los conceptos del cálculo es a través de su estudio en funciones
racionales. En esta primera fase el prototipo se limita a los conceptos de dominio, raíces, polos y
asíntotas, por cuestiones de tiempo y la complejidad de programación; sin embargo está considerada a
nivel de diseño la prolongación a los demás conceptos: signo, límites, continuidad, monotonía, primera y
segunda derivadas, concavidad y puntos de inflexión. Se eligieron las funciones racionales porque
didácticamente permiten explorar mejor estos conceptos en contextos muy ricos de indagar.
Con ello, se espera promover una mayor comprensión de algunos conceptos del cálculo diferencial
al usar la computadora como un auxiliar cognitivo que incorpora actividades didácticas. Es importante
hacer notar que el objetivo de este estudio se centra en el diseño del ECAEM como una herramienta de
apoyo en el proceso de enseñanza aprendizaje del cálculo diferencial para el alumno bajo la dirección de
un profesor. En este sentido, la descripción de las herramientas computacionales a programar para cubrir
los principios didácticos es la componente principal en este trabajo. En particular, las rutinas de cálculo
numérico y algoritmos son aportaciones determinantes en el manejo de una aritmética continua real en
una aritmética discreta, que es la que maneja la computadora. Así como la programación de objetos
computacionales que incorporan una aritmética de racionales y rutinas mediante las que se implementan
las ideas de corte didáctico, para evitar en lo posible errores de redondeo que pueden llegar a constituirse
en generadores de errores conceptuales en los usuarios. Por lo que la experimentación en este estudio se
restringe a probar de forma modular los elementos del diseño del ECAEM.
Un ECAEM como el propuesto contribuye a que el alumno resuelva problemas por sí mismo,
señale sus fallas y corrija sus errores sometiendo sus respuestas de forma repetida; le proporciona ayuda
para resolver los problemas en el momento que lo necesite independientemente de la presencia física del
profesor pero como si éste lo estuviera acompañando. Además, se adecua a cada estudiante de acuerdo a
su nivel de profundidad en el tratamiento de los conceptos y a la necesidad de ayudas; no se imponen
soluciones ni métodos. Para el profesor resulta de gran ayuda en la etapa de ejercitación, descargándole
de la labor rutinaria y agotadora de evaluar las tareas asignadas y señalar los errores de manera individual,
permitiéndole entonces profundizar en el desarrollo conceptual del tema más que en la parte operativa que
le requiere tanto tiempo. Así, se contribuye a modificar el papel de los agentes involucrados en el proceso
de enseñanza aprendizaje, alumno y profesor, en roles de autoaprendizaje y tutor respectivamente.
Por otro lado, este estudio se enmarca en la línea de investigación de desarrollo de software
educativo del Departamento de Matemática Educativa, del área de Microcomputadoras, por lo que está
soportada en trabajos previos; en particular se extiende el modelo de CalcVisual (Cuevas & Mejía, 2003)
de funciones polinómicas a racionales, añadiendo el estudio de conceptos como dominio, continuidad y
asíntotas e incorporando lecciones para el estudio de tales conceptos.