COLEGIO ADVENTISTA MARANATA DEPARTAMENTO DE

COLEGIO ADVENTISTA MARANATA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
DOCENTE: HERNÁN ALEXIS AROS NÚÑEZ
FUNCIONES REALES 4º MEDIOS “A” Y “B”
Conceptos básicos
Función: una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay
ningún número que tenga más de una imagen.
Dominio de una función o campo de existencia: es el conjunto formado por los elementos
que tienen imagen. Los valores que le damos a x ( variable independiente) forman el conjunto
original. Graficamente lo miramos en el eje OX de abscisas, leyendo como escribimos de
izquierda a derecha.
Recorrido o rango de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son los
valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor
depende del valor que le demos a "x". Graficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas,
leyendo de abajo a arriba.
Cálculo del Dominio y Recorrido de funciones
Vamos a calcular de forma numérica y gráfica el dominio y recorrido (conjunto imagen) de las
funciones siguientes:
Funciones polinómicas
Dominio
El dominio de una función polinómica son todos los números reales. Se expresa como
Dom f(x)= ℜ.
No tenemos que calcular nada.
La función existe desde x = - ∞ hasta x = + ∞.
El dominio también se puede expresar así: Dom f(x)= (- ∞, + ∞)
Son funciones polinómicas las rectas, las funciones cuadráticas (parábolas) y los polinomios de
grado superior
Ejemplos
Funciones Racionales
Dominio
El dominio de una función racional son todos los valores de x, excepto aquellos que me anulan
el denominador.
Se expresa así: Dom f(x) = ℜ - { valores que me anulan el denominador, separados
por comas}
Para calcular el dominio, igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación resultante.
Si la ecuación se anula para algún valor, el dominio de la función son todos los números reales
menos esos valores. Si la ecuación no tiene solución el dominio son todos los números reales.
Ejemplos
Funciones irracionales
Dominio
El dominio depende del índice de la raiz.
Índice impar: Don f(x) = ℜ
Índice par: √P(x) ⇒ P(x) ≥ 0 ⇒ radicando ≥ 0
Ejemplos
Funciones logarítmicas
Dominio
El valor del logaritmo debe ser > 0.
No existen los logaritmos de los números negativos ni el de cero.
Se resuelven igual que las irracionales pero en vez de usar ≥ 0 usaremos > 0
Ejemplos
Calcular los dominios de las siguientes funciones:
GUIA MATEMATICA (Ia Parte de Funciones)
A continuación te invito a leer detenidamente y de esta manera comprender esta primera
guía que forma parte de esta unidad, a realizar las actividades sugeridas, levantar la mano cuando
solicites aclarar alguna duda y prepararte para aportar tus ideas cuando tengas la oportunidad en
la puesta en común junto a tus compañeros que tu mismo escogerás.
En el mundo en que vivimos muchas cosas suelen presentarse en cantidades variables:
kilos de manzanas, $ boletos de microbuses, mm de agua caída, etc.
Además podemos también observar que muchas veces una cantidad depende de otra, hay
relaciones de interdependencia entre ellas. Por ejemplo:



La cantidad de combustible que consume un vehículo depende de la distancia recorrida.
La temperatura ambiente depende del instante que la midamos.
La cuenta de luz a fin de mes depende de la cantidad de electricidad que se ha consumido.
También podríamos interpretar dependencia como fusionado. Es decir, la cantidad de
combustible que se consume está fusionado con la distancia recorrida.
Como la cantidad de combustible a consumir depende de la distancia a recorrer y además se
puede determinar cuántos litros se necesitan para viajar una determinada distancia (conociendo
previamente el rendimiento que tiene el vehículo).
Se puede afirmar entonces que la cantidad de combustible está en función de la distancia a
recorrer (o viceversa). La variable cantidad de combustible depende de la variable distancia a
recorrer. Imaginémonos que se tiene un auto que da 14 km por litro de bencina (con 1 litro de
bencina puedo recorrer 14 km) . Con esta información te invito a llenar la siguiente tabla:
Y ( litros de bencina)
X ( distancia en km)
0
0
0,5
7
1
14
1,5
21
2
2,5
35
3
3,5
49
4
4,5
5
63
La tabla que has completado corresponde a una forma de mostrar los datos que corresponden
a esa función. Este método recibe el nombre de Tabla de valores y corresponde a un registro
de la función.
Otro registro para la misma función corresponde al conocido Diagrama de Flechas
estudiado años anteriores y los datos se mostrarían de la siguiente manera:
Y
X
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0
7
14
21
28
35
3
42
Otro registro es la representación de la función en un conjunto como sigue:
F = { (0,0); (0.5;7); (1,14); (1,5;21); (2,28); (2,5;35); (3,42); (3,5;49); (4,56); (4,5;63); (5,70) }
Se entiende por el punto (1,14) que para 1 litro de bencina se puede recorrer con el vehículo 14
km.
Nota: Para los distintos registros es conveniente definir los conjuntos de referencia. (más adelante
te darás cuenta por qué? ).
Y por último, uno de los registros más importante sería la representación gráfica, donde
lo que se hace es ubicar los puntos mencionados antes en el plano cartesiano, donde el eje X
representa al conjunto de litros de bencina y el eje Y el conjunto de distancias recorridas. Observa:
Nota: Has visto que se han unido los puntos del gráfico y eso se ha dado porque tiene sentido
pensar por ejemplo: con 1,8 litros de bencina puedo recorrer 25,2 km, no se mencionó como dato
pero se da.
Si miras este registro, el gráfico es una línea recta que nace en el origen del sistema. Si
observamos: A más litros de bencina más km a recorrer o viceversa. Si recuerdas, esto
corresponde a una Proporción ___________________________(completa con la palabra). Por lo
tanto se puede concluir que a nivel de estudio las primeras funciones que has estudiado han sido
las proporciones.
PREPARA TU PUESTA EN COMÚN.
Para realizar esta actividad júntate con
actividades:
2 compañeros más y realiza las siguientes
1) Una función se puede representar en distintos registros. Ellos son:
_______________________
________________________
________________________
________________________
________________________
2) Hay un registro que no se mencionó, corresponde a escribir la fórmula o ecuación que
genera los datos del problema que hemos usado de modelo. Esta ecuación debe llevar la x,
y, cuando sea necesario. Debe ocurrir que al reemplazar un valor en ella y hacer los
cálculos debe dar el valor que le corresponda.
Si recordamos:
X
0


0
X
0,5


1

14
1,5

2

28
2,5
3

42
3,5

4

56
4,5

63
·

·
·

·
·

·
·

·
·

·
·

·
x

x

Y
Y
7

21
35
49
Complete lo dado y trate de escribir la ecuación que dice Y =
COMPLEMENTARIO:
1.- ¿ De qué otra forma se podría escribir la ecuación anterior?
2.- Si el rendimiento del vehículo hubiera sido 10 km por litro. ¿Cuál sería la ecuación asociada al
problema con la consideración mencionada recién?
3.- Si la ecuación asociada al problema hubiera sido Y = 18 X . Podrías decir el rendimiento del
vehículo?. ¿Cuántos km recorrería
con 27 litros de bencina? ¿Cuántos litros de bencina
necesita para ir de Río Bueno a Osorno?
(PUESTA EN COMUN)
TRABAJO PERSONAL ( II PARTE )
Para realizar esta segunda parte te invito a realizar las siguientes actividades:
A.- Ahora ya empezaremos a definir los conjuntos que se están considerando para que de a poco te
des cuenta de la importancia de conocerlos. Los conjuntos a considerar son
A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}.Visualiza distintos ejemplos en este registro:
1)
4)
2)
5)
Se afirma que sólo 1), 2) y 4) son diagramas que corresponden a funciones. ¿Por qué
será?. ¿Por qué la 3) y la 5) se dice que no son funciones, que sólo representan una relación?.
Anota tus conclusiones:
_____________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
_________
B.- Analiza distintos ejemplos en este registro, donde X = {1, 2, 3} e Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}:
Tabla 1
X
Y
1
2
2
4
3
6
Tabla 2
X
Y
1
4
2
4
3
4
Tabla 3
X
Y
1
1
2
2
3
3
Tabla 4
X
Y
1
2
3
3
4
4
2
1
Tabla 5
X Y
1
1
1
2
Se dice que la tabla1, la 1 y la 3 son funciones. ¿A qué se deberá que la tabla 4 y la 5 no
son funciones?. Anota tus conclusiones:
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
_________
C.- Analiza las siguientes situaciones:
a) Sombra de un árbol ( altura del árbol y su sombra)
b) El volumen de una caja (medida de la arista y su respectivo volumen)
c) Restricción vehicular (día y el término de las patentes de los vehículos)
Se dice que a) y b) corresponden a funciones. ¿Por qué c) no lo es?. Anota tus
conclusiones:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_________
D.- Analiza ejemplos siguientes en el registro gráfico:
1)
2)
3)
4)
5)
Se dice que 1) y 2) son sólo funciones. ¿Qué ocurre con las gráficas de aquellas que no son
funciones?. Anota tus conclusiones:
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
_________
TRABAJO PERSONAL (III PARTE )
Ya has visto que una función es una serie de operaciones que se hacen en una variable y
de las que se obtienen un valor (por ejemplo recuerda la tabla de valores y la ecuación asociada a
esa situación).
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y
que obtiene un valor. A veces esta “maquina” no funciona con determinados valores. Al conjunto
de valores de la variable para los que la función existe (para los que la maquina funciona) se llama
DOMINIO de la función. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores
del dominio se llama RECORRIDO de la función.
Ejemplo 1: La función raíz cuadrada de un número negativo no está definida para números
negativos. Eso significa que en el dominio no pueden estar números negativos.
Ejemplo 2: La función y = x2, para cualquier valor que le coloque a la x, nunca va a dar negativo.
Eso significa que el recorrido nunca va a tener valores negativos.
ACTIVIDAD:
Determine el dominio de las funciones en distintos registros que han aparecido en su guía
de aprendizaje.
PREPARATE PARA TU PUESTA EN COMÚN
Júntate con otro compañero y comparen sus resultados, analizando aquellos donde no
coinciden.
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA
1) Determine dominio y recorrido de:
a) y = x
b) y = x2
e) y =
x
f) y = 3
x
c) y = x3
d) y = 3x + 5
2) Para sacar dominio y recorrido de las siguientes funciones guíate por:
Dominio de y =
2
3x
Para determinar dominio nos interesa que esté despejada la y para analizar los posibles valores
que puede tomar x. En este caso la x no puede ser cero pues quedaría una división por cero y
no está definida. Se dice entonces que: Dom y =   0.
Recorrido de y =
2
3x
Cuando hablamos de recorrido debe estar despejada la x para analizar que valores puede
tomar la y.
Se tiene
y=
2
 3xy = 2
3x
 x=
2
3y
Se puede decir entonces que la y no puede tomar el valor 0, pues ocurriría lo mismo que
se mencionó antes.
Entonces
Rec y =
  0
Ahora te corresponde hacerlo:
a) y =
1
x
b) y =
3x
x3
3) ¿Qué podrías decir del dominio de y =
c) y =
5 x  8
3x  8
x  1 ? ¿y de y =
d) 4x + y =
1
?
x 1
2
x