Precálculo Quinta Edición Funciones

Precálculo
Quinta Edición
Funciones
James Stewart
Pag 148-346
Unidad 2: Funciones
2.1 Definición de función. Tipos de representación gráficas.
Definición de función:
¿Qué es una función?
En esta sección se explora la idea de función y después se da su definición matemática.
FUNCIONES EN NUESTRO ENTORNO
En casi todo fenómeno físico se observa que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la
estatura depende de la edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar por correo
un paquete depende de su peso (véase figura 1). Se usa el término función para describir esta
dependencia de una cantidad sobre otra. Es decir, se expresa lo siguiente.
 La altura es una función de la edad
 La temperatura es una función de la fecha
 El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso
La Oficina Postal de Estados Unidos emplea una regla simple para determinar el costo de
enviar un paquete con base en su peso. Pero es fácil describir la regla que relaciona el peso
con la edad o la temperatura con la fecha
¿Puede pensar en otras funciones? Aquí hay algunos ejemplos.




El área de un circulo es una función de su radio
El número de bacterias en un cultivo es una función del tiempo.
El peso de un astronauta es una función de su elevación.
El precio de un artículo es una función de la demanda de ese artículo.
La regla que describe cómo el área A de un circulo depende de su radio r está dada por la
formula A  .r . Incluso cuando no esta disponible una regla o formula precisa que describe
una función, se puede todavía describir la función mediante una gráfica. Por ejemplo, cuando
se abre la llave del agua caliente, la temperatura del agua depende del tiempo que el agua
haya estado corriendo. Así, se puede decir
 La temperatura del agua de la llave es una función del tiempo
En la figura 2 se muestra una gráfica aproximada de la temperatura T del agua como una
función del tiempo t que ha transcurrido desde que se abrió la llave. En la gráfica se muestra
que la temperatura inicial del agua es cercana a la temperatura ambiente.
Cuando el agua del depósito de agua caliente llega a la llave, la temperatura T del agua se
incrementa con rapidez. En la fase siguiente, T es constante a la temperatura del agua en el
depósito. Cuando se vacía el depósito, t disminuye a la temperatura del suministro de agua fría.
2
DEFINICION DE FUNCIÓN
Una función es una regla. Para hablar acerca de una función, se requiere asignarle un nombre.
Se emplearán letra como f, g, h…. para representar funciones. Por ejemplo, se puede usar la
letra “f” para representar una regla como sigue:
“f” es la regla “cuadrado del Número”
Cuando se escribe f (2), se entiende "aplicar la regla f al número 2". Al aplicar la regla Se
obtiene f (2) = 22 = 4. De manera similar, f (3) = 32 = 9, f (4) = 42 = 16,
Y en general f (x) = x2.
“Una función f es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A Exactamente un
elemento, llamado f(x), en un conjunto B.”
Por lo general, se consideran funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de
números reales. El símbolo f(x) se lee “f de x” o “f en x” y se llama el valor de f en x, o la imagen
de x bajo f. El conjunto de A se llama dominio de la función. El rango de f es el conjunto de los
valores posibles de f(x) cuando x varía a través del dominio, es decir
Rango de f =
f x x  A
El símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable
independiente. El símbolo que representa un número en el rango de f se llama variable
dependiente. Así, si se escribe y= f(x), entonces (x) es la variable independiente y (y) es la
variable dependiente.
Es útil considerar una función como una máquina. Si x está en el dominio de la función f,
entonces cuando se introduce x en la maquina, es aceptada como una entrada y la máquina
produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función. Así, se puede considerar al
dominio como el conjunto de las entradas posibles y al rango como el conjunto de las salidas
posibles.
Otra forma de ilustrar una función es mediante un diagrama de flechas. Cada flecha conecta un
elemento de A con un elemento de B. La flecha indica de f(x) se relaciona con x, f(a) se
relaciona con a, etcétera
Tipos de representación de una función
Cuatro formas de representar una función
Para ayudar a entender lo que es una función, se han empleado diagramas de máquina y
flechas. Se puede describir una función específica en las cuatro formas siguientes:

Verbal (mediante una descripción en palabras)
p t  Es la “población del mundo en el instante t”
Relación de la población (P) y el tiempo (t)

Algebraica (mediante una fórmula explícita)
Por medio de una formula
Ar    .r 2
Área de un círculo

Visual (por medio de una gráfica)

Numérica (por medio de una tabla de valores)
W(onzas)
0  w 1
1 w  2
2 w3
3 w 4
4 w5
C(w) (dólares)
0.37
0.60
0.83
1.06
1.29
Una función simple se puede representar por las cuatro formas, y suele ser útil ir de una
representación a otra para comprender mejor la función. Sin embargo, ciertas funciones se
describen de manera más natural con un método que con otros.
La función p se puede describir también de forma numérica si se da una tabla de valores. Una
representación útil del área de un círculo como una función de su radio es la fórmula algebraica
La gráfica producida mediante un sismógrafo es una representación visual de la función de
aceleración vertical a (t) del suelo durante un terremoto.
Como un ejemplo final, considere la función C (w), que se describe de forma verbal como” el
costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso w”. La forma más conveniente
de describir esta función es numéricamente; es decir, con una tabla de valores
2.2 Dominio y rango de una función
Dominio de una función
Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de las entradas para la función. El
dominio de una función se puede expresar de forma explícita. Por ejemplo,
Si se escribe
f x   x 2 ,
0 x5
Entonces el dominio es el conjunto de los números reales para los cuales 0  x  5 . Si la
función está dada por una expresión algebraica y el dominio no se enuncia de manera explícita,
entonces por convención el dominio de la función es el domino de la expresión algebraica, es
decir, el conjunto de los números reales para los que la expresión se define como un número
real. Por ejemplo considere las funciones.
f x  
1
x4
g x  
x

 . La función g no está
La función f no está definida en x  4 , así que su dominio es x x  4

definida para x negativa, así que su dominio es x x  0

Obtención de información de la gráfica de una función
Los valores de una función se representan por la altura de su gráfica arriba del eje x.
Así los valores de una función se puede leer de su gráfica.
Ejemplo3. Halle los valores de una función a partir de una gráfica
La función T graficada en la figura 5 de la temperatura entre el mediodía y las 6 p.m. en cierta
estación meteorológica.
a) Determine T(1), T(3) y T(5)
b) ¿Qué es más grande, T (2) o T (4)?
Solución:
a) T(1) es la temperatura a la 1 p.m. Está representada por la altura de la gráfica sobre el
eje x en x=1. Por lo tanto, T (1)=25. De manera similar, T(3)= 30 y T(5)= 10
b) Puesto que la gráfica es mayor en x=2 que es x=4, se deduce que T(2) es mas grande
que T(4)
La gráfica de una función ayuda a ilustrar el dominio y el rango de la función en el eje x y en el
eje y como se muestra en la figura 6
Ejemplo 4.Halle el dominio y el rango de una gráfica
a) Use una calculadora de graficación para trazar la gráfica de f x  
b) Halle el dominio y el rango de f
4  x2 .
Solución:
a) La gráfica se muestra en la figura


b) De la gráfica de la figura se ve que el dominio es  2,2 y el rango es
0,2
2.3 Tipos de funciones y aplicaciones
2.3.1 Función lineal
GRÁFICAS DE FUNCIONES
La forma más importante de representar una función es por medio de su gráfica. En esta
sección se investiga con más detalle el concepto de graficar funciones.
GRAFICACION DE FUNCIONES
La gráfica de una función
“Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados
x, f x  x  A
En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y  f x  ; es
decir, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y  f x  .”
La gráfica de una función f da un cuadro del comportamiento o “historia de la vida” de la
función. Se puede leer el valor de f(x) de la gráfica como la altura de la gráfica arriba del punto
x. (véase figura 1)
Una función f de la forma f x   mx  b se llama “función lineal” porque su gráfica es la de la
ecuación y  mx  b , que representa una recta con pendiente m y y-ordenada al origen b. un
caso especial de una función lineal se presenta cuando la pendiente es m=0. La función
f  x   b , donde b es un determinado número, se llama “función constante” porque todos sus
valores son el mismo número, a saber, b. Su gráfica es la recta horizontal y=b. En la figura 2 se
muestra las gráficas de la función constante f  x   3 y la función lineal f  x   2 x  1
2.3.2 Función cuadrática
FUNCIONES; CUADRATICAS MAXIMOS Y MINIMOS
Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función
en un intervalo. Para una función que representa la ganancia en un negocio, se estaría
interesado en el valor máximo; para una función que representa la cantidad de material en un
proceso de manufactura, se estaría interesado en el valor mínimo. En esta sección se aprende
cómo hallar los valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas y otras.
GRAFICACION DE FUNCIONES CUADRATICAS USANDO LA FORMA ESTANDAR
Una “función cuadrática” es una función f de la forma
f  x   ax 2  bx  c
Donde a, b y c son números reales y a  0 .

En particular, si se toma a=1 y b=c=0, se obtiene la función cuadrática simple f x  x cuya
gráfica es la parábola. De hecho, la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola
2
FORMA ESTANDAR DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática f  x   ax  bx  c se puede expresar en la forma estándar
2
f x  ax  h  k
2
Completando el cuadrado. La gráfica de f es una parábola con vértice
h, k  ; la parábola se
abre hacia arriba a  0 o hacia abajo si a  0
Ejemplo 1: Forma estándar de una función cuadrática
Sea f  x   2 x  12 x  23
a) Exprese f en la formula estándar
b) Bosqueje la gráfica de f
2
Solución
a) Puesto que el coeficiente de x2 no es 1, se debe factorizar este coeficiente a partir de
los términos relacionados con x antes de completar el cuadrado
f x   2 x 2  12 x  23

 2x

 2 x 2  6 x  23
2

 6 x  9  23  2  9
 2x  3  5
2
Nota: factorice 2 de los términos en x. complete el cuadrado; sume 9 dentro del paréntesis,
reste 2*9 fuera. Factorice y simplifique
La forma estándar es
f x  2x  3  5
2
b) La forma estándar indica que la gráfica de f se obtiene tomando la parábola y  x ,
desplazándola 3 unidades a la derecha, alargándola por un factor de 2 y moviéndola 5
unidades hacia arriba. El vértice de la parábola está en (3, 5) y la parábola abre hacia
arriba. La gráfica se bosqueja en la siguiente después de notar que el interfecto y es
2
f 0  23
Valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas
Si una función cuadrática tiene vértice (h, k), entonces la función tiene un valor mínimo en el
vértice si abre hacia arriba y un valor máximo en el vértice si abre abajo. Por ejemplo, la
función graficada en la figura anterior tiene un valor mínimo 5 cuando x=3, puesto que el vértice
(3,5) es el punto mínimo sobre la gráfica.
VALOR MAXIMO O MINIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Sea f una función cuadrática con forma estándar
mínimo de f ocurre en x=h.
f x  ax  h  k . El valor máximo o
2
Si a>0, entonces el valor mínimo de f es f h   k .
Si a<0, entonces el valor máximo de f es f h   k .
2.3.3 Función racional (asíntotas verticales y horizontales)
Una función racional tiene la forma
r x  
P x 
Q x 
Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x) y Q(x) no tienen factor en común.
Aunque las funciones racionales se construyen de polinomios, sus gráficas se ven bastante
diferentes de las gráficas de funciones polinomiales.
FUNCIONES RACIONALES ASÍNTOTAS
El “dominio” de una función racional consiste en los números reales x excepto aquellos para los
que el denominador es cero. Al graficar una función racional, se debe poner atención especial
al comportamiento de la gráfica cerca de esos valores. Se comienza por graficar una función
racional muy simple
Ejemplo. Una función racional simple.
Bosqueje una gráfica de la función racional
f x  
1
.
x
Solución: La función f no está definida para x=0. En las tablas siguientes se muestra que
cuando x es cercana a cero, el valor de f x  es grande, y mientras x se aproxime más a cero
f x  se vuelve más grande
Este comportamiento se describe en palabras y símbolos como sigue. En la primera tabla se
muestra que cuando x tiende a 0 por la izquierda, los valores de y  f x  disminuyen sin
límite. En símbolos,
f x  ..cuando.....x  0
“Y atiende a menos infinito cuando x tiende a 0 por la izquierda”
En la segunda tabla se muestra que cuando x tiende a 0 por la derecha, los valores de f(x) se
incrementan sin límite. En símbolos,
f x  ...cuando....x  0
“Y atiende a infinito cuando x tiende a 0 por la derecha”
En las dos tablas siguientes se muestra cómo cambia f(x) cuando x se vuelve grande
En estas dos tablas de muestra que cuando x se vuelve grande, el valor f(x) se aproxima
cada vez más a cero. Se describe esta situación en símbolos escribiendo
f  x   0...cuando....x  
Y
f x   0....cuando......x  
Usando la información de estas tablas y graficando algunos puntos más, se obtiene la gráfica
mostrada en la siguiente figura
En el ejemplo se usó la siguiente notación de fechas.
La recta x=0 se llama “asíntota vertical” de la gráfica del la figura anterior, y la recta y=0 es una
“asíntota horizontal”. En términos informales, una asíntota de una función es una línea a la que
la gráfica de la función se aproxima cada vez más cuando se va a lo largo de esta línea.
Definición de asíntotas verticales y horizontales
1. La recta x  a es una asíntota vertical de la función y  f x  se y tiende a
  cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda
y  b es una asíntota horizontal de la función y  f x  si y se aproxima a
b cuando x se aproxima a  
2. La recta
2.3.4 Funciones irracionales
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un
radical:
Donde g(x) es una función polinómica o una función racional.
Ejemplos de esta se muestra en la tabla siguiente
2.3.5 Función exponencial
FUNCIÓNES EXPONENCIALES
Hasta el momento, se han estudiando las funciones polinomiales y racionales. Ahora se estudia
una de las funciones más importantes en matemáticas, la “función exponencial”. Esta función
se emplea para moldear procesos naturales como el crecimiento poblacional y el decaimiento
radiactivo
Funciones exponenciales.
a x para a  0 y x un número racional, pero no se han definido
3

aún las potencias irracionales. Por lo tanto, ¿Qué se quiere dar a entender con 5 ..o...2 ?
x
Para definir a cuando x es irracional, se aproxima a x mediante números racionales. Por
En la sección 1.2 se definió
ejemplo, puesto que
3  1.73205
....
Es un número irracional, se aproxima de manera exitosa
potencias racionales.
a
3
mediante las siguientes
a1.7 , a1.73, a1.732, a1.7320, a1.73205,........
De forma intuitiva, se puede ver que estas potencias racionales de a se aproximan cada vez
a 3 . Se puede demostrar por medio de matemáticas avanzadas que hay exactamente
3
un número al que se aproxima estas potencias. Se define a a como este número
más a
Por ejemplo, usando una calculadora se encuentra
5
3
 51.732
 16 .2411 .....
3
Mientras mas decimales de 3 se usen en el cálculo, mejor es la aproximación de 5 .
Se puede demostrar que las leyes de los exponentes aún son válidas cuando los exponentes
son números reales.
FUNCIONES EXPONENCIALES
La “función exponencial con base a se define para todos los números reales x por
f x   a x
Donde
a  o..y..a  1
Se supone que a  1 porque la función f x   1  1 es sólo una función constante. A
continuación se dan algunos ejemplos de funciones exponenciales:
x
Ejemplo 1: Evaluación de funciones exponenciales
Sea
f x  3x y evalúe lo siguiente
a) f 2
 2
b) f   
 3
c) f  
d)
f
 2
Solución: Se usa calculadora para obtener los valores de f
GRÁFICA DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Se grafican primero las funciones exponenciales al trazar los puntos. Se verá que las gráficas
de tales funciones tienen una forma fácilmente reconocible.
Ejemplo 2: Graficación de funciones exponenciales y logarítmicas mediante el trazo de puntos
Dibuje la gráfica de cada función.
a)
f x   3 x
b)
1
g x    
 3
x
Solución: Se calculan valores de f  x ..y...g  x  y se trazan los puntos para bosquejar las
graficas de la figura 1
Observe que
x
1
1
g x      x  3 x  f  x 
3
 3
Y, por lo tanto, se podría haber obtenido la gráfica de g a partir de la gráfica de f mediante la
reflexión en el eje y
f x   a x para
0'
varios valores de la base a . Todas estas gráficas pasan por el punto 0.1 porque a  1
para a  0 . Se puede ver la figura 2 que hay dos clases de funciones exponenciales: si
0  a  1 , la función exponencial disminuye con rapidez. Si a  1 , la función se incrementa
En la figura 2 se muestra las gráficas de la familia de funciones exponenciales
rápidamente
El eje x es una asíntota horizontal para la función exponencial para la función exponencial
f x   a x . Esto es porque cuando a  1 , se tiene a x  0 cuando x   , y cuando
0  a  1 , se tiene a x  0 cuando x   (véase la figura 2). Asimismo, a x  0 para
x
toda x   , así que la función f x   a tiene dominio  y rango 0,  . Estas
observaciones se resumen en el cuadro siguiente
Funciones exponenciales de las gráficas
La función exponencial
a  0, a  1
f x  a x ..........
.........
Tiene dominio
 y rango 0,  . La recta y  0 (el eje x) es una asíntota horizontal de f . La
gráfica de f tienen una de la formas siguientes
2.3.6 Función logarítmica
Funciones logarítmicas
En esta sección se estudia la inversa de las funciones exponenciales
Funciones Logarítmicas
f x   a x , con a  0..y..a  1, es una función uno a uno por la
prueba de la recta horizontal (véase la figura 1 para el caso a  1 ) y, por lo tanto, tiene una
1
función inversa. La función inversa f
se llama “función logarítmica con base a ” y se denota
1
por loga . Recuerde que f
se define por
Toda función exponencial
f 1 x  y.... ....f  y  x
Esto conduce a la siguiente definición de la función logarítmica.
Definición de la función logarítmica
Sea a un número positivo con a  1 . La “función logarítmica con base a ”, denota por “ loga ”,
se define
f 1 x  y.... ....f  y  x
Así, log a x es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x
Cuando se usa la definición de logaritmos para intercambiar entre la forma logarítmica
loga x  y y la forma exponencial a y  x , es útil observar que, en ambas formas, la base es
la misma
Ejemplo1: Formas logarítmicas y exponencial
Las formas logarítmica y exponencial son ecuaciones equivalentes, si una es cierta entonces la
otra también lo es. Por lo tanto, se puede intercambiar de una forma a la otra como en las
siguientes ilustraciones.
Es importante entender que log a x es un exponente. Por ejemplo, los números de la columna
derecha de la tabla del margen son los logaritmos (base 10) de los números de la columna
izquierda. Este es el caso para todas las bases, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 2: Evaluar los logaritmos
a)
log10 1000 3 porque 103  1000
porque
25  32
log2 32  5
1
c) log10 0.1  1 porque 10  0.1
1
1
d) log 1 6 4 
porque
16 2  4
2
b)
Cuando se aplica la propiedad de la función inversa ha
obtiene.
loga a x   x
a
log a x
x
f x   a x y f 1 x   log a x , se
x 
x0
Se listan ésta y otras propiedades de logarítmicos analizados en esta sección
Propiedades de los logaritmos
Propiedad
1. log a 1  0
2.
loga a  1
3.
loga a x  x
4.
a log a x  x
Razón
1. Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1
2. Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a
3. Se debe elevar a al a potencia x para obtener
4.
ax
log a x es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x
Ejemplo 3 Aplicar las propiedades de los logaritmos
Se ilustran las propiedades de los logaritmos cuando la base es 5
log5 1  0 Propiedad 1
log5 5  1 Propiedad 2
log5 5 8  8 Propiedad 3
5log5 12  12 Propiedad 4
Gráficas de funciones logarítmicas
Hay que recordar que si una función f uno a uno tiene dominio
A y rango B , entonces su
f 1 tiene dominio B y rango A . Puesto que la función exponencial
f x   a x con a  1 tiene dominio  y rango 0,  , se concluye que su función inversa,
f 1  x   log a x tiene dominio 0,  y rango  .
función inversa
La gráfica de
f
1
x   log a x
se obtiene reflejando la gráfica de
f x   a x en la recta
y  x . En la figura 2 se muestra el caso a  1 . El hecho de que y  a x (para a  1 ) sea una
función que crece muy rápido para x  0 implica que y  loga x es una función que crece
muy lento para x  1 .
Puesto que log a 1  0 , la intersección con el eje x de la función y  loga x es 1 . El eje una
asíntota vertical de
y  loga x porque loga x  ...cuando....x  0 
Ejemplo 4 Graficación de una función logarítmica mediante el trazo de puntos
Bosqueje la gráfica de f  x   log 2 x .
Solución: Para construir una tabla de valores, se eligen los valores x como potencias de 2 de
modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos. Se grafican estos puntos y se unen con
una curva lisa como en la figura 3
En la figura 4 se muestran las gráficas de la familia de funciones logarítmicas con bases 2, 3, 5
y 10. Estas gráficas
se dibujan reflejando las gráficas
de
y  2 x , y  3x y  5 x y
y  10x .Se pueden trazar también puntos como ayuda para bosquejar estas gráficas, como
se ilustra en el ejemplo 4
Operaciones con funciones
y 2.4.2 Suma, Resta, Producto y Cociente de funciones
Combinación de funciones
En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir nuevas.
SUMAS, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTES
f y g se pueden combinar
Dos funciones
f  g , f  g , fg..y.. f
para
formar
nuevas
funciones
g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplica y
f  g por.
 f  gx  f x  gx
divide números reales. Por ejemplo, se define la función
f  g se llama “suma” de las funciones
f y g ; su valor en x
es f x  gx . Por supuesto, la suma del lado derecho tiene sentido sólo si f  x  y gx
están definidas, es decir, si x pertenece al dominio de f y también al dominio de g .
La nueva función
A y el dominio de g es B , entonces el dominio de f  g es la
intersección de estos dominios, es decir, A B .De manera similar, se puede definir la
f de las funciones f y g .
“diferencia” f  g , el “producto” fg , y el “cociente”
g
Sus dominios son A B , pero en el caso del cociente se debe recordar no dividir entre cero.
Así, si el dominio de f es
Algebra de funciones
g funciones
f
Sean
y
f  g , f  g , fg..y.. f
con
dominio
A
y
B.
Entonces
las
funciones
g se definen como sigue
 f  gx  f x  gx Dominio A B
 f  gx  f x  gx Dominio A B
 fgx  f xgx Dominio A B
 f  x   f  x  Dominio x  A  B gx  0
 g
g x 
Ejemplo 1 Combinaciones de funciones y sus dominios
Sean f  x  
1
yg x  
x2
x
a) Encuentre las funciones f  g , f  g , fg..y..
b) Encuentre
f
f
g y sus dominios
 g 4,  f  g 4,  fg 4 y f 4
 g
Solución
a) El dominio de f es
x x  2 y el dominio de
g es x x  0. La intersección de los
dominios de f y g es
x x  0...y...x  2  0,2  2, 
Así se tiene
1
 x Dominio x x  0...y...x  2
x2
 f  g   f x   g x   1  x Dominio x x  0...y...x  2
x2
 fg x   f x g x   x Dominio x x  0...y...x  2
x2


f
x
1
 f x  
Dominio x x  0...y...x  2

 g
g x  x.  2 x
f
 g x  f x  g x 
Hay que observar que en el dominio de
f
g
se excluye 0 porque g 0   0 .
b) Cada uno de estos valores existe porque x  4 está en el domino de cada función.
 f  g 4  f 4  g4 
1
5
 4
42
2
f
 g 4  f 4  g4 
1
3
 4 
42
2
 fg 4  f 4g 4   1  4  1
 4 2
1
1
 f 4  f 4 

 g
g 4 4.  2 4 4
La gráfica de la función f  g se puede obtener de las gráficas de f y g mediante adición
gráfica. Esto significa que se suman la coordenadas y correspondientes, como se ilustra en el
ejemplo siguiente
Ejemplo 2 Uso de la adición gráfica
Las gráficas de f y g se muestran en la figura 1. Use la suma gráfica para trazar la función
f  g.
f  g al “sumar gráficamente” el valor de f  x  a gx
como se muestra en la figura 2. Esto se pone en práctica al copiar el segmento de la recta PQ
en la parte superior PR para obtener el punto S sobre la gráfica de f  g
Solución. Se obtiene la gráfica de
Composición de funciones
Ahora, considere una forma muy importante de combinar dos funciones para obtener una
nueva función. Suponga que
como
f x  x..y..gx  x2 1.

Se puede definir una función
h

hx  f gx  f x 2  1  x 2  1
h está compuesta de las funciones f y g de una manera interesante; dado un
número x , se aplica primero a la función g , luego se aplica f al resultado. En este caso, f
La función
es la regla “sacar la raíz cuadrada”, g es la regla “elevar al cuadrado después sumar 1”, y h
es la regla “elevar al cuadrado, a continuación sumar 1, luego sacar la raíz cuadrada”. En otras
palabras, se obtiene la regla h al aplicar la regla g y luego la regla f . En la figura 3 se
muestra un diagrama de máquina para
h
En general, dadas dos fundones cualesquiera f y g , comience con un número x en el
dominio de g y encuentre su imagen
entonces el valor de
gx , está en el dominio de f , se puede calcular
f gx . El resultado es una nueva función hx   f g x  obtenida al
sustituir g en f . Se llama la composición (o compuesta) de f y g y se denota mediante
f  g (“ f compuesta con g ”)
Composición de funciones
Dadas dos funciones f y g , la función compuesta
f  g (denominada también
la
composición de f y g ) está definida por
 f  g x  f gx
f  g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que gx está en el
dominio de f . En otras palabras  f  g   x se define siempre que gx y f gx estén
definidas. Se puede ilustrar f  g por medio de un diagrama de flecha (figura 4)
El dominio de
Ejemplo 3 Determine la composición de funciones
Sea
f x   x 2 y gx  x  3
f  g y g  f y sus dominios
b) Halle  f  g 5 y g  f 7
a) Encuentre las funciones
Solución
a) Se tiene
 f  g x  f g x  Definición de f  g
 f x  3 Definición de g
2
 x  3 Definición de f
g  f x  g  f x  Definición de g  f
 
 g x 2 Definición de f
 x 2  3 Definición de g
Los dominio de
f  g y g  f son 
b) Se tiene
 f  g5  f g5  f 2  22  4
g  f 7  g f 7  g49  49  3  46
Del ejemplo 3 se puede ver que, en general,
f  g  g  f . Recuerde que la notación f  g
significa que la función g se aplica primero y después f .
Ejemplo 4 Determine la composición de funciones
Si f  x  
x ...y...g  x   2  x , encuentre las siguientes funciones y sus dominios
f g
b) g  f
c) f  f
d) g  g
a)
Solución
a)  f
 g x   f g x  Definición de f  g
 f



2  x Definición de g
2  x Definición de f
 4 2 x
El dominio de f  g es x 2  x  0 x x  2   , 2
b)
g  f x  g  f x  Definición de
g
 x  Definición de
g f
f
 2  x Definición g
x esté definida, se debe tener x  0 . Para que
2  x esté definida, se
debe tener 2  x  0 , es decir, x  2 , o bien x  4 . Así, se tiene 0  x  4 , por lo
tanto el dominio de g  f es el intervalo cerrado 0,4.
c)  f  f x   f  f x  Definición de f  f
Para que
 f
 x  Definición de

f
x Definición de f
4 x
El dominio de f  f es 0, 
d)  g  g  x   g g x  Definición de g  g
g


2  x Definición de g
 2  2  x Definición de g
2  x  0..y..2  2  x  0. La primera desigualdad
significa x  2 , y la segunda es equivalente a 2  x  2 , o 2  x  4 , o x  2 . Por lo
tanto,  2  x  2 , así que el dominio de g  g es  2,2
Esta expresión se define cuando
Referencia Bibliográfica
Precálculo Quinta Edición, Matemáticas para el cálculo; James Stewart, Lothar Redlin, Saleem
Watson; Editorial Thomson. Pag. 148-346.