Propuesta de Trabajo: Construcción de un Puente Levadizo

Contraste de hipótesis
El contraste de hipótesis es un procedimiento para juzgar si una propiedad
que se supone en una población estadística es compatible con lo observado
en una muestra de dicha población. Consideramos una hipótesis determinada
Ho y una hipótesis alternativa H1, y se intenta dirimir cuál de las dos es la
hipótesis verdadera.
Dichas hipótesis se formularán sobre la media poblacional μ o la proporción
poblacional p. Y en las muestras se tomarán siempre los estadísticos de
Definiciones
contraste respectivos conocidos: la media muestral,𝑥̅ , y la proporción
muestral,𝑝̂ .
Nivel de significación, α (Es un valor cercano a cero)
Nivel de confianza c=1- α
zα/2 = valor crítico
Hipótesis nula H0 es la hipótesis que se desea contrastar.
Hipótesis alternativa H1 es la hipótesis contraria.
Región de aceptación: Conjunto de valores del estadístico de contraste que
nos llevan a aceptar la hipótesis nula.
La región crítica o de rechazo: Conjunto de valores del estadístico de
contraste que nos llevan a rechazar la hipótesis nula (y aceptar la alternativa).
ERROR la posibilidad de tomar un suceso falso como verdadero, o uno
verdadero como falso.
Ejemplo detector de humos Ho= No hay fuego H1 = Hay fuego
Error de tipo I (error de tipo alfa (α) o falso positivo): Rechazar H0 cuando
es verdadera.
Salta la alarma y no hay fuego; hipótesis nula: No hay fuego.(como
salta la alarma supongo que hay fuego)
Tipos de errores
cometidos
Error de tipo II(error de tipo beta (β) o falso negativo): Aceptar H0 cuando
es falsa.
No salta la alarma y hay fuego.
Contraste bilateral (o de dos colas)(CB)
Ho = K
H1 ≠ 𝐾
Trabajamos con ± zα/2
Región de aceptación:[- zα/2, zα/2]aceptamos Ho
Región crítica o de rechazo:
(- ∞, -zα/2)U(z α/2, ∞)Se rechaza Ho
Tipos de contraste
Contraste unilateral por la izquierda (CUI)
Ho ≥ K
H1 < 𝐾
Trabajamos con -zα
Región de aceptación[-z α, ∞) aceptamos Ho
Región crítica o de rechazo (- ∞, -zα) Se rechaza
Ho
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Contraste unilateral por la derecha (CUD)
Ho ≤ K
H1 > 𝐾
Trabajamos con zα
Región de aceptación: (- ∞, -zα]
Región crítica o de rechazo(zα,∞)
Pasos para el contraste de hipótesis
Media
1º Enunciar la hipótesis
nula H0 y la alternativa H1.
2º Determinar la
región
de aceptación(r.a.) y de
rechazo(r.r)
Proporción
CB
Ho: μ=μo; H1: μ≠μo
Ho: p=po; H1: p≠po
(CUI)
Ho: μ≥μo; H1: μ<μo
Ho: p≥po; H1: p<po
(CUD)
Ho: μ≤μo; H1: μ>μo
Ho: p≤μo; H1: p>po
CB
(CUI)
(CUD)
R. aceptación = (-zα/2 , zα/2)
R. aceptación = (-zα/2 , zα/2)
R. aceptación = (-zα , ∞)
R. aceptación = (-zα , ∞)
R. aceptación .= (-∞, zα)
R. aceptación = (-∞, zα)
3º Definimos el estadístico
de contraste(o prueba)
4º Comprobamos si el
estadístico está dentro o
no de la región de
aceptación.
Se acepta la Ho si Z0 ∈ Región de aceptación
Se rechaza Ho si Z0 ∉ Región de aceptación
NOTAS IMPORTANTES:
1º Obsérvese que la hipótesis nula siempre debe llevar incluido el signo igual.
2º El valor obtenido en la muestra, respectivamente
x o y p̂ o , sólo se utiliza para comprobar
si está dentro o no en la región crítica y nunca como hipótesis.
3º También se debe tener en cuenta que una vez terminado el contraste debe explicitarse la
conclusión con el siguiente esquema: “Existe evidencia para aceptar/rechazar que … con un
nivel de significación del ...
4º Si la hipótesis nula se rechaza con la evidencia de la muestra H1, ésta es una
conclusión fuerte. Podemos decir que se rechaza la hipótesis nula.
Sin embargo, la aceptación de la hipótesis nula es una conclusión débil en lugar de
utilizar la expresión de la aceptación de la hipótesis nula, es más correcto decir no
rechazar la hipótesis nula, ya que lo que realmente sucede es que no tenemos suficiente
evidencia empírica para rechazarla hipótesis nula.
EJEMPLOS:
1.-Unos laboratorios farmacéuticos están estudiando un nuevo medicamento contra
cierta enfermedad, que lanzarán al mercado únicamente si cura la enfermedad en más del
80% de los casos.¿Qué deberíamos tomar como hipótesis nula? Sol:Ho: p≤0,8
Si llamamos p a la proporción de casos en los que el medicamento cura la
enfermedad, los laboratorios sólo lanzarán el producto al mercado si tienen una fuerte
evidencia muestral de que el producto es efectivo, es decir, si consiguen “probar”
estadísticamente que p>0.8.
En consecuencia, deberíamos tomar como hipótesis nula lo
contrario a lo que queremos demostrar para así poder negarlo.
Puesto que los contrastes de hipótesis son conservadores con la hipótesis nula,
ya que ésta no debe ser rechazada sin una gran evidencia en contra, debemos
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tomar como hipótesis alternativa aquella que deseemos probar” estadísticamente, es decir, la
hipótesis nula debe de ser la contraria de la que queremos “probar” estadísticamente.
2.- El senador Malote quiere averiguar siobtendrá mayoría absoluta en las próximas
elecciones.Para ello seleccionó una m.a.s. de 1000 habitantes a los que les preguntó si
tenían intención de votarle o no, a lo que el 55% respondió que sí. A la vista de estos
datos, ¿podemos afirmar que el senador Malote obtendrá mayoría absoluta?
3.- Un informe de un Ayuntamiento afirma que al menos el 26% de los usuarios del carril bici
habrían utilizado el coche particular para sus desplazamientos de no haber existido dicho carril.
Sin embargo, un periódico local anuncia la falsedad del dato, informando que una encuesta
propia indica que solo 240 de los 1000 usuarios encuestados afirman que habrían utilizado el
coche particular. a) (1’5 puntos) Establezca un contraste, con hipótesis nula H0 : p0 ≥ 0’26, para
verificar la afirmación del Ayuntamiento e indique la región crítica de dicho contraste para un
nivel de significación del 5%. b) (1 punto) Con este nivel de significación ¿podría aceptarse el
informe del Ayuntamiento?
Sol:
Paso 1 Las hipótesis nula y alternativa son: H0 : p0 ≥ 0’26 (al menos el 26% habrían usado el
coche si no existiese el carril bici) y H1 : p0 < 0’26,
Paso 2 Estamos en Contraste unilateral por la izquierda
C=0,95 p(Z ≤ zα)=0,95 ->Mirando en la tabla zα = 1’645->- zα = -1’645->R. aceptación = (-zα , ∞)
Paso 3 Estadistico de contraste
Paso 4 Como el valor observado del estadístico de prueba z0 = -1’44 es mayor que el valor
crítico zα = - zα = - 1’645, vemos que nos encontramos en la región de aceptación. Por tanto,
tomamos la decisión de no rechazar la hipótesis nula H0: p0 ≥ 0’26, y aceptamos el informe
del Ayuntamiento. Con lo cual, con una probabilidad de equivocarnos del 5%, afirmamos
que más del 26% de los usuarios del carril bici habrían utilizado el coche particular para sus
desplazamientos de no haber existido dicho carril.
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4.- Se considera que, a lo sumo, el 5% de los artículos guardados en un almacén son
defectuosos. Pasado un tiempo, la persona encargada del mantenimiento del almacén decide
investigar si esta estimación es adecuada. Para ello, escoge aleatoriamente 300 artículos de los
que 35 están defectuosos.
a) (1’5 puntos) Plantee un contraste de hipótesis (H0: p ≤ 0’05) para determinar si ha aumentado
la proporción de artículos defectuosos. Obtenga la región crítica para un nivel de significación del
5%.
b) (1 punto) ¿Qué conclusión se obtiene con los datos muéstrales observados?
Sol:
Paso 1 Las hipótesis nula y alternativa son: H0: p0≤ 0’05 (a lo sumo el 5% defectuosos) y H:p0>
0’05, la cual nos indica la dirección del contraste, es decir la región crítica está a la derecha del
punto crítico. De p(Z ≤ zα)== 1-α = 1–0’05 = 0’95 -> zα= 1’645
Paso 2 Estamos en Contraste unilateral por la derecha (-∞, zα)
Paso 3 Estadístico de contraste
Como el valor observado del estadístico de prueba z0 = 5’29839 es mayor que el valor crítico
zα = 1,645, vemos que se encuentra en la zona de rechazo o región crítica. Por tanto, tomamos
la decisión de rechazar la aceptar hipótesis nula H0: p0 ≤ 0’05, y aceptamos la hipótesis
alternativaH1: p0 > 0’05. Con lo cual, con una probabilidad de equivocarnos del 5%, afirmamos
que más del 5% de los artículos del almacén están defectuosos.
5.- Un estudio sociológico afirma que el 70% de las familias cena viendo la televisión. Se desea
contrastar la veracidad de esta afirmación y, para ello, se toma una muestra de 500 familias, en
la que se observa que 340 ven la televisión mientras cenan. Decida, mediante un contraste de
hipótesis, si la afirmación es cierta con un nivel de significación de 0’01.
Sol:
Paso 1 Las hipótesis nula y alternativa son: H0: p0 = 0’7 (el 70% cena viendo la TV) y H1: p0 ≠ 0’7,
la cual nos indica la dirección del contraste, es decir es un contraste de hipótesis bilateral por
tanto la región crítica también es bilateral.
Paso 2 Estamos en Contraste bilateral (-zα/2 , zα/2)
El nivel de significación es α = 0’01, c=0,99 ->p(z≤, zα/2)=(1+0,99)/2 zα/2= 2’58
Paso 3 Estadístico de contraste
Paso4: Como el valor observado del estadístico de contraste z0 = -0’975 es mayor que el
valor crítico zα/2= -2,58, vemos que se encuentra en la zona de aceptación. Por tanto, tomamos
la decisión de no rechazar la hipótesis nula H0: p0 = 0’7. Con lo cual con una probabilidad de
equivocarnos del 1% afirmamos que el 70% de las familias cena viendo la TV.
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