Isomorfismos. Espacios vectoriales isomorfos

Isomorfismos. Espacios vectoriales isomorfos
Objetivos. Definir las nociones de isomorfismo y espacios vectoriales isomorfos. Demostrar el criterio de espacios vectoriales isomorfos en el caso de dimensión finita.
1. Definición (isomorfismo de espacios vectoriales). Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F. Una aplicación T : V → W se denomina isomorfismo de V sobre
W si es biyectiva y lineal. Lo último significa que
V
W
T (x + y) = T (x) + T (y)
V
W
T (α · x) = α · T (x)
∀x, y ∈ V,
∀x ∈ V
∀α ∈ F.
2. Ejemplo. La aplicación T : M2,3 (R) → R6 , definida por la regla


A1,1
 A1,2 


 A1,3 
A1,1 A1,2 A1,3

7→ 
T: A=
 A2,1  ,
A2,1 A2,2 A2,3


 A2,2 
A2,3
es un isomorfismo.
3. Proposición. Sean V , W espacios vectoriales sobre un campo F, T : V → W un
isomorfismo. Entonces la aplicación inversa T −1 : W → V también es lineal y por lo tanto
también es un isomorfismo.
4. Definición (espacios vectoriales isomorfos). Sean V y W espacios vectoriales
sobre un mismo campo F. Se dice que V y W son isomorfos y se escribe V ∼
= W si existe
∼
un isomorfismo de V sobre W . Notación V = W .
5. Proposición.
V ∼
= V.
Si V1 ∼
= V2 , entonces V2 ∼
= V1 .
Si V1 ∼
= V2 y V2 ∼
= V3 , entonces V1 ∼
= V3 .
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6. Teorema. Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F, sea T : V → W un
isomorfismo y sea A = (a1 , . . . , an ) una base de V . Entonces B = (T (a1 ), . . . , T (an )) es
una base de W y por consecuencia dim(W ) = dim(V ).
Demostración. 1. Para demostrar que B es linealmente independiente usemos las hipótesis que la función T es inyectiva y A es linealmente independiente. Supongamos que
λ1 , . . . , λn ∈ F tales que
n
X
λj T (aj ) = 0W .
j=1
Aplicamos la linealidad de T en el lado izquierdo de la igualdad:
!
n
X
T
λj aj = 0W .
j=1
La última igualdada significa que
n
X
λj aj ∈ ker(T ).
j=1
Como la transformaciión T es inyectiva, ker(T ) = {0}, ası́ que
n
X
λj aj = 0V .
j=1
Ahora la independencia lineal de a1 , . . . , an implica que λ1 = . . . = λn = 0.
2. Para demostrar que B genera a W usamos las hipótesis que T es suprayectiva y A
genera a V . Sea w ∈ W . Como T es suprayectiva, existe un v ∈ V tal que T (v) = w.
Como v ∈ V = `(a1 , . . . , an ), existen λ1 , . . . , λn ∈ F tales que
v=
n
X
λ j aj .
j=1
Aplicamos T a ambos lados de la última igualdad y recordamos que T (v) = w:
w=
n
X
λj T (aj ) ∈ `(T (a1 ), . . . , T (an )).
j=1
7. Teorema. Sea V un EV/F de dimensión finita n. Entonces V ∼
= Fn .
Idea de la demostración. Sea A = (a1 , . . . , an ) una base de V . Construyamos el mapeo
T : Fn → V ,
n
X
T (x) =
x k ak .
k=1
Entonces T es un isomorfismo.
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8. Teorema. Sean V y W espacios vectoriales de la misma dimensión finita: dim(V ) =
dim(W ) < +∞. Entonces V ∼
= W.
Idea de la demostración. Puede aplicar el teorema anterior o construir un isomorfismo
T : V → W usando algunas bases de V y W .
9. Teorema (criterio de que dos espacios vectoriales son isomorfos, en el caso
de dimensión finita). Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos
que dim(V ) = n < +∞. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
V ∼
=W
⇐⇒
dim(W ) = n.
10. Ejemplo. V 2 (O) ∼
= R2 .
11. Ejemplo. P n (F) ∼
= Fn+1 .
12. Ejemplo. Mm,n (F) ∼
= Fmn .
13. Ejercicios. Demuestre que cada uno de los siguientes espacios es isomorfo a Rd para
algún d y calcule este número d:
Diagn (R), esto es, matrices diagonales de orden n.
utn (R), esto es, matrices triangulares superiores de orden n.
{f ∈ P 5 (R) :
f (−x) = f (x) ∀x ∈ R}, esto es, polinomios pares de grado ≤ 5.
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