11 cuerpos geométricos. propiedades métricas

11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
A C T I V I D A D E S
D E
L O S
E P Í G R A F E S
Poliedros y cuerpos redondos
PA R A
P R A C T I C A R
11.1 Completa la tabla.
Comprueba si se verifica la igualdad:
Número de caras 1 número de vértices 5 número de aristas 1 2
Caras
Vértices
Aristas
Tetraedro
4
4
6
Cubo
6
8
12
Octaedro
8
6
12
Dodecaedro
12
20
30
Icosaedro
20
12
30
Se cumple la igualdad, conocida como el teorema de Euler, para todos ellos.
11.2 Calcula el elemento que falta en los siguientes cuerpos cuyas medidas están en centímetros.
a)
b)
7
6
h
D
5
3
3
a) d 5
2
1 32w
1 32 5 Ï54
w 5 7,35 cm
Ï6w
b) h 5
2
2 52w 5 4,90 cm
Ï7w
11.3 Dibuja la figura que se obtiene al girar los siguientes recintos.
a) Un cuadrado al girar sobre su lado.
b) Un triángulo rectángulo isósceles al girar sobre la hipotenusa.
c) Un trapecio rectángulo al girar sobre la base mayor.
a)
eje
eje
b)
eje
eje
c)
eje
eje
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.4 Dibuja un cono recto, sabiendo que el diámetro de la base mide 14 centímetros, y la altura, de 8.
Calcula la generatriz del cono.
Sea g la generatriz del cono. El radio de la base mide:
14
r 5 }} 5 7 cm
2
Se forma un triángulo rectángulo con la generatriz de hipotenusa y la altura y el radio de catetos:
8 cm
g2 5 82 1 72 5 113
g5
w 5 10,63 cm
Ï113
14 cm
Ejercicio resuelto
11.5 ¿Qué figuras resultan al cortar un cono y una pirámide con un plano paralelo a la base de cada figura?
Se forman un tronco de cono un cono, y un tronco de pirámide y una pirámide.
11.6 Halla el elemento que falta en los siguientes cuerpos, cuyas medidas están dadas en centímetros.
a)
b)
14
h
d
9
9
4
a) h 5
2 9w 5 10,72 cm
w
Ï14
b) d 5
2
1 8w2 5 12,04 cm
Ï9w
2
2
11.7 El diámetro de la base de un cono mide 15 centímetros, al igual que la altura. Halla la medida de la
generatriz.
g5
152 1 w
7,52 5 16,77 cm
Ïw
PA R A
A P L I C A R
11.8 La funda de un DVD tiene forma de ortoedro con las siguientes medidas:
a) Halla la diagonal de la base.
b) Halla la diagonal del ortoedro.
cm
142 1 w
12,52 5 18,77 cm
Ïw
2
2
1 12,5
1w
12 5 18,79 cm
w
w
Ï14
,5
12
a) d 5
b) d 5
1 cm
14
cm
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.9 Un barreño tiene forma de tronco de cono. Sus medidas, en centímetros, aparecen
en la figura.
a) Halla la altura del barreño.
b) Halla la diferencia entre las áreas de las dos bases.
40
h
a) h2 5 482 2 162 5 2 048 ⇒ h 5 45,25 cm
b) Sbase mayor 2 Sbase menor 5 p 402 2 p 242 5 p 1 024 5 3 216,99 cm2
48
24
Ejes y planos de simetría en poliedros y cuerpos redondos
PA R A
P R A C T I C A R
11.10 Representa los ejes de simetría de las siguientes figuras.
a)
b)
Tiene 13 ejes de simetría, 3 de las rectas perpendiculares a
cada par de caras paralelas por su punto medio, 6 de las rectas que unen los puntos medios de las aristas opuestas, 4 de
las rectas que unen vértices opuestos en distintas caras.
Tiene un eje de simetría.
11.11 Representa un eje de simetría sobre el cilindro de la figura. ¿Puedes encontrar algún otro?
Sí, también los son todas las rectas que pasan por el centro del cilindro
y están contenidas en el plano paralelo a las bases y que pasa por dicho
centro.
11.12 ¿Cuántos ejes y planos de simetría puedes encontrar sobre los siguientes cuerpos redondos?
a) Sólo hay un eje de simetría, la recta que pasa por el vértice y es perpendicular a la base del cono. Hay infinitos planos de simetría, todos los perpendiculares a la base del
cono que pasan por el vértice.
b) Cualquier recta o plano que pasa por el centro de la esfera es un eje o un plano de simetría de la esfera, respectivamente. Por tanto, hay infinitos ejes y planos de simetría.
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
Ejercicio resuelto
11.13 Encuentra todos los ejes y planos de simetría que puedas ver en la siguiente figura.
Hay un eje de simetría y cuatro planos de simetría:
11.14 ¿Cuántos planos de simetría se pueden encontrar en las siguientes figuras? Dibújalos
a) Hay cuatro planos de simetría.
b) Si la base fuera un triángulo equilátero, habría tres planos de simetría; si fuera
isósceles un plano y si fuera escaleno no habría planos de simetría.
PA R A
A P L I C A R
11.15 La puerta giratoria de un hotel es cilíndrica. ¿Cuántos ejes y planos de simetría tiene?
Infinitos ejes de simetría, el eje de la puerta y todas las
rectas que pasan por el centro del cilindro y están contenidas en el plano paralelo a las bases y que pasa por
dicho centro.
11.16 ¿Por dónde se deberá cortar una naranja totalmente esférica para obtener un plano de simetría?
¿Cuántos planos de simetría se pueden encontrar?
Por cualquier plano que pase por su centro. Infinitos.
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.17 Una escultura de madera tiene forma de pirámide hexagonal como muestra la figura.
a) Dibuja un eje de simetría. ¿Cuántos ejes de simetría tiene?
b) ¿De cuántas formas podemos cortar el tarugo para obtener un plano de simetría?
c) ¿Qué condiciones tienen que cumplir los cortes para que sea un plano de simetría?
a) Solo tiene un eje de simetría, la recta que pasa por el vértice superior y es perpendicular
a la base.
b) De seis formas.
c) Coincidiendo con seis planos perpendiculares a la base y que pasan por el vértice superior: los tres que además pasan por dos vértices de la base enfrentados, y los tres que pasan por los puntos medios de las aristas de la base.
Longitudes y áreas de figuras planas
PA R A
P R A C T I C A R
11.18 Calcula el área de estas letras cuyas medidas están dadas en centímetros.
a)
6
b)
2
2
1
2
5
3
3
3
3
3
2
a) Se halla el área como si fuera un rectángulo de lados 5 1 3 5 8 y 3 1 3 1 3 5 9 cm: A 5 8 ? 9 5 72 cm2.
3
Ahora hallamos el área de los triángulos rectángulos que hay que quitar, que es: S 5 2 ? 5 ? }} 5 15 cm2.
2
Se restan ambas áreas: AN 5 72 2 15 5 57 cm2.
b) Se halla el área del cuadrado: A 5 8 ? 8 5 64 cm2.
Se hallan las áreas de las respectivas partes que faltan de la F:
A1 5 6 ? 3 5 18 cm2
A2 5 2 ? 2 5 4 cm2
A3 5 6 ? 1 5 6 cm2
2?2
A4 5 }} 5 2 cm2
2
At 5 18 1 4 1 6 1 2 5 30 cm2
El área total de la F será: A 5 64 2 30 5 34 cm2
11.19 Halla el área de cada figura.
a)
b) A 3 cm 3 cm 3 cm B
10 cm
M
3 cm
L
5 cm
N
5 cm
D
H
4 cm
C
a) Área del cuadrado mayor: A 5 102 5 100 cm2.
Área del cuadrado menor: A’ 5 52 5 25 cm2
Área sombreada: A 2 A’ 5 100 2 25 5 75 cm2
b) El área pedida es igual al área del rectángulo ABCD menos el área de los triángulos MNB y LCH.
6?3
4?6
Arectángulo 5 9 ? 7 5 63 cm2
AMNB 5 }} 5 9 cm2
ALCH 5 }} 5 12 cm2
2
2
Por tanto, el área pedida es: A 5 63 2 9 2 12 5 42 cm2
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.20 ¿Cuál es la longitud del arco y el área de los siguientes sectores circulares?
a) radio 5 5 cm;
b) radio 5 7 dm;
ángulo 5 908
ángulo 5 1208
2p ? 5 ? 908
a) L 5 }} 5 2,5p cm 5 7,85 cm
3608
p ? 52 ? 908
A 5 }} 5 6,25p cm2 5 19,63 cm2
3608
2p ? 7 ? 1208
b) L 5 }} 5 14,66 dm
3608
p ? 72 ? 1208
A 5 }} 5 51,31 dm2
3608
11.21 Determina las siguientes áreas.
a) El área del círculo mayor.
b) El área del círculo menor.
c) El área coloreada.
6 cm
a) A círculo mayor 5 p ? 62 5 36 ? p 5 113,10 cm2
b) A círculo menor 5 p ? 22 5 12,57 cm2
c) A coloreada 5 36p 2 4p 5 32p 5 100,53 cm2
2 cm
Ejercicio resuelto
11.22 Calcula el perímetro y el área del trapecio circular de la figura.
El perímetro es la suma de dos arcos de radio 3 y 5 centímetros más dos veces la diferencia de sus
radios.
5 cm
2p ? 5 ? 1108
2p ? 3 ? 1108
P 5 }} 1 }} 1 2(5 2 3) 5 19,36 cm
3608
3608
110°
El área del trapecio se halla por diferencia de las áreas de los sectores de radio 3 y 5 centímetros.
3 cm
p ? 52 ? 1108
p ? 32 ? 1108
p ? 1108(52 2 32)
A 5 }} 2 }} 5 }} 5 15,36 cm2
3608
3608
3608
11.23 Halla el área de la región coloreada en cada figura.
a)
b)
6 cm
p ? 62
6?6
a) Área coloreada 5 }} 2 }} 5 9p 2 18 5 10,27 cm2
4
2
6 cm
b) Área coloreada 5 2 ? 10,27 5 20,54 cm2
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
PA R A
A P L I C A R
11.24 Hay una plaga de hongos en el césped del estadio de un equipo de fútbol.
20 m
5 m
17 m
7
m
15 m
¿Qué superficie de césped necesita repoblar?
h2 5 49 2 9 → h 5 6,32 m
A T 5 100 1 9,48 5 109,48 m2
6,32
A 2 5 3 ? }} 5 9,48 m2
2
A 1 5 20 ? 5 5 100 m2
11.25 Una cerrajería construye rejas uniendo sucesivamente un patrón. ¿Cuántos metros de varilla de acero
se necesitan para construir la reja de la figura?
Tramos verticales:
4 ? 50 5 200 cm
Tramos curvos 5 3 semicircunferencias de radio 15 cm:
3 ? 15p 5 45p cm
6 sectores circulares de radio 50 cm y amplitud 708:
2p ? 50 ? 708
6 ? }} 5 366,51 cm
3608
50 cm
30 cm
70°
Por tanto, para construir la reja se necesitarán:
L 5 200 1 45p 1 366,52 5 707,88 cm de varilla.
11.26 ¿Qué superficie limpia el parabrisas trasero
del coche?
Hemos de calcular el área de un sector circular de
radio 30 cm y ángulo central 1508.
1508
30 cm
p ? 302 ? 1508
A 5 }} 5 1 178,10 cm2
3608
11.27 Si el radio de una moneda de 2 euros es de 25,75 milímetros, ¿cuál es la superficie que queda entre
las tres monedas?
El área pedida se corresponde con el área rayada y será igual al área del triángulo ABC menos el área de los 3 sectores circulares de radio 25,75 mm y amplitud 608.
Para hallar el área del triángulo equilátero ABC de lado 2 ? 25,75 5 51,5 tenemos que hallar previamente la altura aplicando el teorema de Pitágoras.
h5
51,52 2w
25,752 5 44,60 mm
Ïw
1
A ABC 5 }} 51,5 ? 44,6 5 1 148,45 mm2
2
El área del sector AMN será:
B
M
A
N
C
p . 25,752 ? 608
A sector 5 }} 5 347,18 mm2
3 608
A pedida 5 A triángulo 2 3 A sector 5 1 148,45 2 3 ? 347,18 5 106,91 mm2 , que es la superficie que queda entre las tres monedas.
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
Áreas de cuerpos geométricos
PA R A
P R A C T I C A R
11.28 Halla el área lateral y al área total de los siguientes cuerpos geométricos
a)
b)
10 cm
12 cm
3 cm
5 cm
3 cm
a) AL 5 2(5 1 3) ? 10 5 160 cm2
AT 5 160 1 2 ? 15 5 190 cm2
b) AL 5 2p ? 3 ? 12 5 72p cm2 5 226,19 cm2
AT 5 72p 1 2p ? 32 5 90p cm2 5 282,74 cm2
Ejercicio resuelto
11.29 Calcula el área lateral y total de la pirámide.
1
12 cm
2
8 ? 12
AL 5 6 ? }} 5 288 cm2
2
8 cm
Para calcular el área de la base necesitamos conocer su apotema.
a5
82 2 42w 5 4Ï3w 5 6,93 cm2
Ïw
(6 ? 8) ? 4Ï3w
AT 5 288 1 }} 5 288 1 166,28 5 454,28 cm2
2
a
8
4
11.30 Determina el área lateral y total de un cono recto de radio de la base 3 centímetros y altura 4 centímetros.
En primer lugar calculamos la generatriz del cono.
g 5 Ïw
42 1 32w 5 5 cm
AL 5 p ? 3 ? 5 5 15p cm2 5 47,12 cm2
AT 5 15p 1 p 32 5 24p cm2 5 75,40 cm2
11.31 Halla el área lateral y el área total de una pirámide regular de base triangular de lado 6 centímetros
y apotema 12 centímetros.
1
AL 5 3 · }} · 6 · 12 5 108 cm2
2
Para hallar el área total necesitamos hallar el área de la base, que es un triángulo equilátero de lado 6 cm. La altura del triángulo la calculamos aplicando el teorema de Pitágoras.
h 5 Ïw
62 2 32w 5 5,20 cm
1
Abase 5 }} 6 · 5,2 5 15,6 cm2
2
AT 5 108 1 15,6 5 123,6 cm2
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.32 ¿Cuál es el área lateral y total de estos cuerpos geométricos?
a)
b)
8 cm
21 cm
5,11 cm
4 cm
6 cm
1
a) AL 5 5 · }} · 6 · 21 5 315 cm2
2
Para hallar el área de la base calculamos la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras:
2
a 5 Ï5,11
2w
32 5 4,14 cm
w
1
Abase 5 5 · }} · 6 · 4,14 5 62,05 cm2
2
AT 5 315 1 62,05 5 377,05 cm2
b) AL 5 p · 4 · 8 5 32p cm2 5 100,53 cm2
AT 5 32p 1 p · 16 5 48p cm2 5 150,80 cm2
11.33 ¿Cuál es el área de estas esferas?
a) Radio: 7 cm
b) Diámetro: 19 cm
a) A 5 4p 72 5 615,75 cm2
b) A 5 4p 9,52 5 1 134,11 cm2
11.34 Calcula el área de estos cuerpos geométricos.
13 cm
a)
b)
3 cm
6 cm
16 cm
a) Es un tronco de pirámide cuadrangular.
Tenemos que calcular la altura de los trapecios isósceles laterales utilizando el teorema de Pitágoras:
16 1 13
a 5 Ïw
1,52 1w
62 5 6,18 cm2 y, por tanto, Atrapecio 5 }} ? 6,18 5 89,61 cm2
2
El área de la figura será: A 5 4 Atrapecio 1 Abases 5 4 ? 89,61 1 162 1 132 5 783,44 cm2
b) El cuerpo es un octante con sus 3 tapas; por tanto, su área será:
1
1
1
3
Acuerpo 5 }} Aesfera 1 3 }} Acírculo 5 }} 4p 32 1 }} p 32 5 11,25p 5 35,34 cm2
8
4
8
4
PA R A
A P L I C A R
11.35 El Ministerio de Agricultura esta instalando en algunas ciudades una carpa para informar de los
beneficios de la dieta mediterránea.
¿Cuántos metros cuadrados de lona tiene la carpa?
La carpa es un semicilindro, siendo el radio de la base 5 m, y la altura, 25 m.
1
A 5 }}(2p5 ? 25) 1 p ? 52 5 471,23 m2
2
Por tanto, se necesitarán 549,78 m2 de lona.
25 m
10 m
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.36 Una ONG se encarga de pintar los pisos de familias sin
recursos económicos. Después de visitar un piso, elaboran un croquis con las medidas en metros.
Si la altura del techo es de 2,5 metros, ¿qué superficie
tienen que pintar?
4,7
13
3,9
3,7
3,2
A1 5 4,7 ? 3,9 5 18,33 m2
A2 5 [13 2 (3,9 1 4,1)] ? 1 5 5 m2
A3 5 3,7 ? 3,2 5 11,84 m2
A4 5 4,1 ? 4,7 5 19,27 m2
Por tanto, el área del techo será:
Atecho 5 18,33 1 5 1 11,84 1 19,27 5 54,44 m2
Para hallar el área de las paredes, calcularemos el perímetro de cada pared y lo multiplicaremos por la altura, del techo, 2,5 m.
A 1 5 2(3,9 1 4,7) ? 2,5 5 43 m2
A 25 2(1 1 5) ? 2,5 5 30 m2
A 3 5 2(3,2 1 3,7) ? 2,5 5 34,5 m2
A 4 5 2(4,1 1 4,7) ? 2,5 5 44 m2
Aparedes 5 43 1 30 1 34,5 1 44 5 151,5 m2
ATotal 5 Atecho 1 Aparedes 5 54,44 1 151,5 5 205,94 m2
4,1
11.37 La entrada del Museo del Louvre de París es conocida por su forma de pirámide. Si su base es un cuadrado de lado 35 metros y su altura mide 21,65 metros, ¿qué superficie de cristal se necesitó para su
construcción?
Calculamos la apotema de la cara aplicando el teorema de Pitágoras.
a5
21,652 w
1 17,52w 5 27,84 m
Ïw
4 ? 35 ? 27,84
AL 5 }} 5 1 948,8 m2
2
Para su construcción se necesitaron 1 948,8 m2 de cristal.
11.38 ¿Qué superficie de papel necesitamos para envolver cada caja si se pierde un 10 % del papel al envolverla?
a)
b)
5 cm
10 cm
15 cm
20 cm
a) AT 5 2(20 ? 10) 1 2(10 ? 5) 1 2(20 ? 5) 5 700 cm2
Como hay un 10 % de pérdida se necesitarán:
5 cm
700
Apapel 5 }} 5 777,78 cm2 de papel de envolver.
0,9
b) AL 5 6 ? 5 ? 15 5 450 cm2
Calculamos el área de la base, que es un hexágono regular de lado 5 cm. Para ello tenemos que hallar la apotema de la
base aplicando el teorema de Pitágoras:
1
2
a 5 Ï5w
2 2,5
Abase 5 }} 6 ? 5 ? 4,33 5 64,95 cm2
AT 5 450 1 64,95 5 514,95 cm2
w2 5 4,33 cm
2
514,95
Como hay un 10 % de pérdida en el papel, se necesitarán: Apapel 5 }} 5 572,17 cm2
0,9
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
Volúmenes de cuerpos geométricos
15 cm
Ejercicio resuelto
11.39 Halla el volumen de este cuerpo geométrico.
18 cm
La base es un trapecio de bases 15 y 5 centímetros, y altura 7 centímetros.
15 1 5
Abase 5 }} ? 7 5 70 cm2
2
7 cm
5 cm
Como todas las secciones paralelas a la base tienen la misma área, se puede aplicar el principio de Cavalieri, y el volumen del
cuerpo es Abase ? h.
V 5 70 ? 18 5 1 260 cm3
PA R A
P R A C T I C A R
11.40 Calcula el volumen de cada cuerpo geométrico.
a)
b)
12 cm
11 cm
15 cm
15 cm
9 cm
20 cm
10 cm
4 cm
5 cm
a) Para calcular la base, dividimos elcuerpo en dos prismas de bases.
A1 5 12 ? 4 5 48 cm2
A2 5 11 ? 5 5 55 cm2
Abase 5 48 1 55 5 103 cm2 y, por tanto, el volumen del cuerpo será: V 5 103 ? 20 5 2 060 cm3
15 1 10
b) La base es un trapecio recto de área: Abase 5 }} ? 10,71 5 133,875 cm2
2
V 5 133,875 ? 9 5 1 204,875 cm3
11.41 Halla el volumen de los siguientes prismas y cilindros.
11 cm
9 cm
5 cm
3 cm
Se calcula la apotema de la base del prisma: a 5
2
2 1,5
w2 5 2,60 cm
Ï3w
6 ? 3 ? 2,6
Abase 5 }} 5 23,4 cm2 y el volumen será V 5 23,4 ? 11 5 257,4 cm3
2
En el cilindro
Abase 5 p ? 52 5 78,54 cm2
V 5 78,54 ? 9 5 706,86 cm3
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.42 Determina el volumen de la pirámide y el cono de la figura.
a)
b)
7 cm
5 cm
6 cm
3 cm
a) La apotema de la base será:
a5
2
2 1w
,52 5 2,60 cm
Ï3w
h 5 Ïw
72 2 2w
,602 5 6,5 cm
Y la altura, h, de la pirámide:
1
V 5 Abase · h 5 }} 6 · 3 · 2,60 · 6,5 5 152,1 cm3
2
b) V 5 Abase . h 5 p r 2 h 5 p32 · 5 5 45p 5 141,37 cm3
11.43 Di cuál es el volumen de cada esfera.
a) Radio: 5 centímetros
4
4
a) V 5 }}pr 3 5 }}p53 5 523,60 cm3
3
3
b) Diámetro: 15 centímetros
4
4
b) V 5 }}pr 3 5 }}p7,53 5 1 767,15 cm3
3
3
11.44 Averigua el volumen de estos cuerpos geométricos.
a)
b)
4 cm
10 cm
5 cm
20 cm
a) Se trata de un tronco de cono. Tenemos que calcular la altura del cono original.
En el dibujo los triángulos ABC y ADE son semejantes, por tanto, x 5 5 cm
1
1
1 000 2 125
V 5 }}p · 102 · (x 1 5) 2 }}p · 52 · 5 5 }}p 5 916,30 cm3
3
3
3
b) Es la octava parte de una esfera de radio 4 cm. Por tanto,
1 4
V 5 }} }} p43 5 33,51 cm3
8 3
PA R A
D
B
A
10 cm
E
C 20 cm
A P L I C A R
11.45 Debido a una tormenta, el aparcamiento de un edificio se ha inundado. Si el agua ha alcanzado 1,20
metros de altura, ¿cuántos metros cúbicos de agua hay en el aparcamiento?
Se divide el recinto del aparcamiento en 3 rectángulos:
A1 5 12 · 50 5 600 m2
A2 5 13 · 3 5 39 m2
A3 5 15 · 13 5 195 m2
Por tanto, el área de la planta del aparcamiento mide:
A 5 A1 1 A2 1 A3 5 600 1 39 1 195 5 834 m2
V 5 A · h 5 834 · 1,20 5 1 000,8 m3
50 m
12 m
25 m
12 m
20 m
15 m
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.46 Si la mina del lápiz del dibujo tiene un diámetro de 2 milímetros, ¿qué volumen de madera tiene el
lápiz?
El lápiz es un prisma hexagonal de 15 cm de altura y lado de la base 0,5 cm.
Se calcula la apotema de la base:
a5
0,52 ? 0w
,252 5 0,43 cm2.
Ïw
15 cm
El área de la base es entonces,
6 ? 0,5 ? 0,43
Abase 5 }} 5 0,645 cm2, y el volumen,
2
0,5 cm
V 5 0,645 ? 15 5 9,675 cm3
Para calcular el volumen de madera, hay que restar al volumen del prisma el del cilindro que corresponde a la mina:
Vmadera 5 V 2 Vcilindro 5 9,675 2 p ? 0,12 · 15 5 9,675 2 0,471 5 9,204 cm3
11.47 Un taller tiene un depósito donde almacenan el aceite usado. Después de pasar la empresa que lo
recicla, el nivel de cada depósito ha bajado 30 centímetros. ¿Cuánto aceite se han llevado del depósito?
El volumen que se han llevado será el de un ortoedro con la misma
base que el depósito y altura 30 centímetros, por tanto,
1
1m
V 5 1 ? 0,3 ? 2 5 0,6 m3
2m
m
11.48 Una empresa especializada en pintar depósitos de gas cobra 6 euros por cada metro cuadrado. Si por
el depósito de la figura nos cobran 3 141,60 euros, ¿cuál es el volumen del depósito?
Se halla el área de la superficie esférica:
3 141,60
A 5 }} 5 523,6 m2
6
Como el área de la superficie esférica A 5 4 p r 2,
igualando y despejando el radio se obtiene:
523,6
4 p r 2 5 523,6 ⇒ r 2 5 }} 5 41,66 m2 ⇒ r 5
4p
41,66 5 6,45 m
Ïw
Entonces, el volumen del depósito es:
4
V 5 }}p 6,453 5 1 124 m3
3
La Tierra. Coordenadas geográficas
PA R A
P R A C T I C A R
11.49 Contesta verdadero o falso.
a) Todos los meridianos tienen el mismo radio.
b) Todos los paralelos tienen el mismo radio.
c) Si dos ciudades son diferentes, no pueden estar en el mismo paralelo.
d) Si dos ciudades son diferentes, no pueden estar en el mismo meridiano.
a) Verdadero
b) Falso
c) Falso
d) Falso
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.50 Las latitudes de algunas ciudades son las siguientes.
Nueva York
Sydney
Pekín
Toronto
428 N
33,58 S
408 N
438 N
Contesta a las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué ciudad está más cerca del Polo Norte?
b) ¿Qué ciudad está más cerca del Polo Sur?
c) ¿Qué ciudad está más cerca del ecuador?
a) Toronto
b) Sydney
c) Sydney
11.51 Halla el dato que falta en las siguientes figuras, sabiendo que el radio medio de la Tierra mide 6371
kilómetros.
a)
x
5 000 km
a) r 5
b)
r
400 km
h
R
r
R
3712 2
5 000w2 5 3 948,37 km; x 5 6 371 2 5 000 5 1 371 km
w
Ï6w
b) h 5 6 371 2 400 5 5 971 km; r 5
3712 2
5 971w2 5 2 221,89 km
w
Ï6w
Ejercicio resuelto
11.52 El diagrama adjunto muestra algunos paralelos y meridianos del hemisferio norte. Halla la longitud y
la latitud de los lugares A, B y C.
60°N 80°N
A : longitud 208 E, latitud 408 N
B : longitud 808 E, latitud 308 N
C : longitud 308 O, latitud 308 N
20°N
40°N
P
M
0°
B
100°E
A
C
60°O
80°E
40°O
N
20°O
0°
60°E
20°E 40°E
11.53 Para el diagrama del ejercicio anterior, halla las coordenadas geográficas de los puntos M, N y P.
M : longitud 408 O, latitud 408 N
N : longitud 408 E, latitud 108 N
P : longitud 708 E, latitud 508 N
11.54 Reykjavik es la capital de Islandia, un país que está cerca del Círculo Polar Ártico. Busca en un atlas
sus coordenadas geográficas.
Las coordenadas geográficas de Reykjavik son: 218 579 O, 648 099 N (latitud del Círculo Polar Ártico 668 339 N).
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.55 Halla la mayor distancia que puede haber entre dos puntos de la Tierra.
Si el radio mide 6 371 km aproximadamente, la mayor distancia que pueden tener dos puntos de la Tierra será:
2 ? 6 371 5 12 742 km.
PA R A
A P L I C A R
11.56 Dos ciudades están sobre el mismo paralelo de radio 4 500 kilómetros. El ángulo formado por sus respectivos meridianos es de 88. Halla la distancia entre ambas ciudades.
2 p 4 500 ? 8
}} 5 628,32 km
3608
11.57 Un barco se desplaza desde el punto A al punto B, situados ambos sobre el mismo meridiano. Halla la distancia recorrida, sabiendo que el
ángulo es igual a 128.
B 12°
A
O
2 p 6 371 ? 12
}} 5 1 334,34 km
3608
11.58 Un paralelo corta perpendicularmente el eje de la Tierra a 1 500 kilómetros del Polo Sur.
a) Halla el área del círculo paralelo.
b) Calcula la longitud del círculo paralelo.
N
a)
1 500 1 x 5 6 371
r 2 1 x 2 5 6 3712
6
x 5 4 8712
⇒ r 5 4 106,458 km
4 871 1 r 2 5 6 3712
2
A círculo paralelo 5 p ? 4 106,4582 5 52 976 668,45 km2
m
k
71
63
x
r
1 500 km
b) Lcírculo paralelo 5 2p ? 4 106,458 5 25 801,637 km
11.59 Busca las coordenadas geográficas de París y Nueva York en un atlas.
París tiene como coordenadas 8,58 E; 48,858 N, y Nueva York, 748 O, 408 N.
11.60 Las coordenadas geográficas de Santiago de Chile son 708 429 O, 338 259 S.
a) Halla la distancia de Santiago al Polo Sur medida sobre el meridiano.
b) Halla la distancia de Santiago al ecuador medida sobre el meridiano.
2p 6 371 ? (90 2 338 259)
2p 6 371 ? 56,588
a) }}} 5 }} 5 6 291,41 km
3608
3608
2p 6 371
b) }} 2 6 291,41 5 3 716,13 km
4
S
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.61 La ciudad de Luisiana, en los EE. UU., tiene coordenadas geográficas 908 O, 308 N, y la ciudad de El Cairo,
en Egipto, 308 E, 308 N.
a) ¿Están las dos ciudades en el mismo paralelo?
b) Halla la distancia entre ambas ciudades recorriendo el paralelo.
a) En efecto, ya que tienen ambas la misma latitud.
b) La diferencia de longitudes es 908 1 308 5 1208.
Necesitamos hallar el radio del paralelo 308 N.
R
6 371
Por ser el ángulo de 308 se deduce que x 5 }} 5 }} 5 3 185 km.
2
2
r5
6 3712 w
2 3 18w
52 5 5 517 km
Ïw
2p 5 517 ? 1208
d 5 }} 5 11 554,78 km
3608
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
Matemáticas aplicadas
PA R A
A P L I C A R
11.62 Si en nuestra ciudad son las 12 de la mañana, ¿qué hora será en estos países?
a) Ecuador 7 horas menos;
por tanto, serán las 5:00.
b) Chile 6 horas menos;
por tanto, serán las 6:00.
c) Rumanía 1 horas más;
por tanto, serán las 13:00.
d) Marruecos 2 horas menos;
por tanto, serán las 10:00.
11.63 Indica el huso horario de los siguientes puntos de la superficie terrestre de los cuales se conoce su
longitud geográfica.
a) 1258 E
9 husos horarios, 10 horas más
b) 958 O
7 husos horarios, 8 horas menos
c) 1198 309 E
8 husos horarios, 9 horas más
d) 1058 139 O
8 husos horarios, 9 horas menos
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
Actividades finales
PA R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
11.64 Los siguientes cuerpos se han obtenido girando una figura plana sobre un eje de giro e. Determina en
cada caso la figura y el eje de giro.
a)
b)
a) Dos rectángulos con un lado alineado.
b) Un triángulo isósceles que gira sobre el lado desigual.
11.65 ¿Cuántos planos de simetría se pueden encontrar en las siguientes figuras? Dibújalos.
a)
b)
a) Hay infinitos planos de simetría: todos los que contienen al eje que pasa por el vértice y es perpendicular a la base.
b) Hay cuatro planos de simetría: los indicados en la figura.
11.66 Calcula el radio del paralelo cuya latitud es 308 sabiendo que BO 5 6 371 km 5 2AO.
Aplicando Pitágoras: r 5
2
2w
AO2 5 Ï6w
3712 2
3 185,5
w
w
w2 5 5 517,45 km
ÏBO
N
A
O
r
B
30°
11.67 Las dimensiones de la base rectangular de una pirámide son 10 y 7 centímetros. Las aristas de las caras laterales miden 8,5 centímetros.
a) Calcula la altura de la pirámide.
b) Halla la diagonal de la base.
a) Hallamos la diagonal de la base:
2
1 10w2 5 12,21 cm
Ï7w
2
h 5 Ï8,5
2w
6,1052 5 5,91 cm
w
d5
b) d 5 12,21 cm
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
25 cm
11.68 En un centro escolar, con motivo de la semana
cultural, se organiza una competición de escaléxtric sobre un circuito como el de la figura.
a) ¿Qué longitud recorre el coche que va por el
carril exterior?
b) ¿Cuál es la longitud que recorre el coche que
va por el carril interior?
10 cm
15 cm
a) lext 5 (8 ? 25) 1 2p ? rexterior 5 200 1 2p ? 15 5 294,2 cm
b) lint 5 (8 ? 25) 1 2p ? rinterior 5 200 1 2p ? 10 5 262,83 cm
11.69 Determina la superficie de las etiquetas de los siguientes botes de conserva.
6 cm
5 cm
3,5 cm
3 cm
a) AL 5 2p 3,5 ? 3 5 21p 5 65,97 cm2
b) AL 5 2p 3 ? 5 5 30p 5 94,25 cm2
11.70 Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos.
10 cm
5 cm
2 cm
3 cm
10 cm
8 cm
7 cm
En ambos casos, aplicamos el principio de Cavalieri y calculamos el volumen como el producto del área de la base por la
altura.
a) Área base 5 10 ? 2 5 20 cm2
Volumen 5 área base ? altura 5 20 ? 8 5 160 cm3
b) Área base 5 5 ? 3 5 15 cm2
Volumen 5 área base ? altura 5 15 ? 7 5 105 cm3
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.71 Halla el área y el volumen de estos objetos.
Baúl.
Alateral prisma 5 25 ? 25 ? 2 1 25 ? 50 ? 2 5 3 750 cm2
A base prisma 5 50 ? 25 5 1 250 cm2
Alateral semicilindro 5 p12,5 ? 50 5 1 963,50 cm2
1
Abase semicilindro 5 }}p12,52 5 245,44 cm2
2
Abaúl 5 3 750 1 1 250 1 1 963,50 1 2 ? 245,44 5 7 454,38 cm2
Vprisma 5 50 ? 25 ? 25 5 31 250 cm3
1
Vsemicilindro 5 }}p12,52 ? 50 5 12 271,85 cm3
2
Vbaúl 5 31 250 1 12 271,85 5 43 521,85 cm3
2 cm
3 cm
5 cm
25 cm
25 cm
50 cm
3 cm
Salero.
A lateral cilindro 5 2p 3 ? 5 5 30p cm2
A base cilindro 5 p32 5 9p cm2
32 1 12w 5 3,16 cm
Calculamos la generatriz del tronco de cono: g 5 Ïw
Para calcular el área y el volumen del tronco de cono necesitamos calcular tanto la altura como la generatriz del cono entero
del que procede.
Llamando x y g a la altura y a la generatriz del cono cortado, respectivamente, se cumplirá
x13
x
g 1 Ïw
10
g
}} 5 }} ⇒
x 5 6 cm
}} 5 }} ⇒ g 5 2Ïw
10 cm
3
2
3
2
Alateral tronco cono 5 p · 3 · (g 1 Ïw
10) 2 p · 2 · g 5 p · 5Ïw
10 5 15,81p cm2
(Se puede ver fácilmente que el área lateral de un tronco de cono es igual a p · g · (R 1 R9), siendo R y R9 los radios de las
bases del tronco y g su generatriz).
Abase superior 5 p 22 5 4p cm2
Asalero 5 30p 1 9p 1 15,8p 1 4p 5 58,8p 5 184,73 cm2
Vcilindro 5 p 32 · 5 5 45p cm3
1
Vtronco de cono 5 Vcono grande 2 Vcono pequeño 5 }} p 32 · (x 1 3) 2 p22 · x 5 19p 5 59,69 cm3
3
Vcuerpo 5 Vcilindro 1 Vtronco 5 45p 1 19p 5 64p 5 201,06 cm3
11.72 La superficie lateral de una pirámide recta de base cuadrada es de 640 centímetros cuadrados. Sabiendo
que el área de la base es de 256 centímetros cuadrados, calcula su volumen.
Si el área de la base es de 256 m2, entonces el lado de la base mide:
l5
256 5 16 cm
Ïw
p · apotema cara
4 · 16 · a
AL 5 }}; 640 5 }} ⇒ a 5 20 cm.
2
2
Calculamos la altura aplicando el teorema de Pitágoras:
h5
2
2 8w2 5 18,33 cm
w
Ï20
1
V 5 }} 162 · 18,33 5 1 564,19 cm3
3
11.73 Calcula el volumen y el área total del cuerpo geométrico que se genera al hacer girar la figura plana
sobre el eje.
Al girar se genera un cuerpo compuesto de una semiesfera de radio 6 cm y un cono de radio de la base igual a 6 cm y de
altura h.
102 2 w
62 5 8 cm.
Calculamos h 5 Ïw
2
Asemiesfera 5 2p 6 5 72p cm2
Acono 5 2p 6 ? 10 5 120p cm2
10
Afigura 5 72p 1 120p 5 192p 5 603,19 cm2
cm
4
6 cm
Vsemiesfera 5 }} p 63 5 144p cm3
6
e
1
Vcono 5 }} p 62 ? 8 5 96p cm3
3
Vfigura 5 144p 1 96p 5 240p 5 753,98 cm3
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.74 Un tornero construye una pieza a partir de un cilindro de madera.
20 cm
5 cm
10 cm
6 cm
6 cm
¿Cuántos centímetros cúbicos de madera se pierden en su construcción?
Volumen del cilindro inicial 5 p102 ? 20 5 2 000p cm3 5 6 283,19 cm3
La figura final se descompone en tres figuras: un cilindro mayor, un tronco de cono y un cilindro menor.
Se calcula la altura del tronco de cono, h: h 5
52 2 42w 5 3 cm
Ïw
Entonces la altura del primer cilindro, h9, cumple: h9 1 3 1 6 5 20 ⇒ h9 5 11 cm
Vcilindro mayor 5 p102 ? 11 5 3 455,75 cm3
Para hallar el volumen del tronco de cono necesitamos hallar la altura del cono mayor.
31x
x
}} 5 }} ⇒ x 5 4,5 cm
10
6
Vtronco de cono 5 Vcono mayor 2 Vcono menor 5 p 102 ? 7,5 2 p 62 ? 4,5 5 615,75 cm3
Vcilindro menor 5 p 62 6 5 678,58 cm3
Vfigura 5 3 455,75 1 615,75 1 678,58 5 4 750,08 cm3
Vmadera perdida 5 Vcilindro inicial 2 Vfigura final 5 6 283,18 2 4 750,08 5 1 533,1 cm3
Por tanto, al construir la pieza se han perdido 1 533,1 cm3 de madera.
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
PA R A
R E F O R Z A R
11.75 Los siguientes cuerpos se han obtenido haciendo girar un polígono sobre un eje.
Determina el polígono y el eje de giro.
a)
b)
a) En este caso el polígono es un triángulo rectángulo girando sobre un cateto (ver figura).
b) La figura se obtiene a partir de un rectángulo que gira alrededor de su base (ver figura).
11.76 Dibuja en tu cuaderno un rectángulo de lados 4 y 2 centímetros.
¿Qué figura se obtiene al hacerlo girar sobre el lado mayor?
Se obtiene un cilindro de altura 4 cm y radio de la base igual a 2 cm.
11.77 Indica la latitud y la longitud del punto señalado en la esfera terrestre.
Longitud 308 E; latitud 508 N.
Meridiano de
Greenwich
O
N
A
50°
30°
S
11.78 Halla el área de las siguientes figuras.
a)
b)
5 cm
7 cm
6 cm
4,03 cm
12 cm
8 cm
21 cm
12 cm
a) Descomponemos la figura como suma de un trapecio, un rectángulo y un semicírculo.
12 1 5
Atrapecio 5 }} ? 6 5 51 cm2
2
Arectángulo 5 8 ? 12 5 96 cm2
1
Asemicírculo 5 }} p 62 5 56,55 cm2
2
A 5 51 1 96 1 56,55 5 203,55 cm2
b) Descomponemos la figura como suma de un rectángulo y un triángulo rectángulo.
Arectángulo 5 21 ? 7 5 147 cm2
1
Atriángulo 5 }} 12 ? 12 5 72 cm2
2
A 5 147 1 72 5 219 cm2
12 cm
E
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.79 Di cuál es el volumen de cada cuerpo geométrico.
a)
c)
7 cm
4 cm
12 cm
10 cm
14 cm
b)
d)
6 cm
4 cm
12 cm
5 cm
5 cm
9 cm
1
a) V 5 }} p 72 ? 12 5 196 p 5 615,75 cm3
3
1
b) V 5 }} 52 ? 12 5 100 cm3
3
c) Calculamos la altura del cono mayor:
41x
x
}} 5 }} ⇒ x 5 9,33 cm
10
7
1
1
Vtronco 5 Vcono mayor 2 Vcono menor 5 }} p 102 ? 13,33 2 }} p 72 ? 9,33 5 917,167 cm3
3
3
d) Calculamos la altura de la pirámide mayor
41x
x
}} 5 }} ⇒ x 5 8 cm
3
4,5
1
1
Vtronco 5 Vpirámide mayor 2 Vpirámide menor 5 }} 92 ? 12 2 }} 62 ? 8 5 228 cm3
3
3
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
PA R A
A M P L I A R
11.80 Dos linternas proyectan en la pared dos círculos de radio 1 metro, uno de color amarillo y otro de color azul, respectivamente.
Calcula el área de la región de color verde.
h5
2
2 0,5
w2 5 0,866 m
Ï1w
h
El área buscada será la suma del área del sector circular de
amplitud 1208 y de los dos segmentos circulares iguales marcados en la figura.
3
O
O9
4
p ? 12 ? 1208
p ? 12 ? 608
1
A 5 }} 1 2 }} 2 }} ? 0,866 5 1,23 m2
3608
3608
2
11.81 Dibuja un tronco de pirámide de base cuadrada. Los lados de las bases miden 8 y 15 centímetros, y la
altura, 7.
8 cm
a) Halla la apotema de la pirámide.
b) Halla el área de cada una de las bases.
7 cm
c) Halla el área de una cara.
d) Halla el volumen del tronco de la pirámide.
a) La apotema de la pirámide se calcula usando semejanza de triángulos:
x17
x
a) La altura de la pirámide pequeña es: }} 5 }} ⇒ x 5 8 cm
7,5
4
a) Luego la apotema de la pirámide usando el Teorema de Pitágoras es:
a) a 5
152 1 w
7,52 5 16,77 cm
Ïw
A 5 15 ? 15 5 225 cm2 y a 5 8 ? 8 5 64 cm2
15 1 8
c) El área de cada cara es:
Área 5 }} ? 7,83 5 90 cm2
2
d) El volumen del tronco de la pirámide será:
1
1
a) Vpirámide mayor 2 Vpirámide menor 5 }} ? 152 ? 15 2 }} ? 82 ? 7 5 975,67 cm3
3
3
b) El área de las bases es:
11.82 Una empresa empaqueta pelotas de tenis con los siguientes envases.
Si el radio de cada pelota es de 3 centímetros, ¿qué envase deja mayor volumen sin ocupar?
4
Vpelota 5 }} p 33 5 113,1 cm3
3
Cilindro: Vcilindro 5 p 32 ? 24 5 678,58 cm3
Vhueco 5 Vcilindro 2 4 Vpelota 5 678,58 2 4 ? 113,1 5 226,18 cm3
Prisma:
Vprisma 5 12 ? 12 ? 6 5 864 cm3
Vhueco 5 Vprisma 2 4 Vpelota 5 864 2 4 ? 113,1 5 411,6 cm3
Cilindro: d 5 6Ï2w 5 8,485 cm
1
El radio de la base del cilindro será: }} (8,485 1 6) 5 7,24 cm
2
Vcilindro 5 p 7,242 ? 6 5 988,05 cm3
Vhueco 5 Vcilindro 2 4 Vpelota 5 988,05 2 4 ? 113,1 5 535,65 cm3
Por tanto, el que deja mayor volumen sin ocupar es el tercero.
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.83 Copia y completa la siguiente tabla con los volúmenes del cono, de la semiesfera y del cilindro.
¿Qué relación existe entre ellos?
Volumen
Cono
1
}} p R 3
3
Semiesfera
2
}} p R 3
3
Cilindro
p R3
Vcilindro 5 p R 2 ? R 5 p R 3
1 4
4
2
Vsemiesfera 5 }} }} p R 3 5 }} p R 3 cm3 5 }} p R 3
2 3
6
3
1
1
Vcono 5 }} p R 2 ? R 5 }} p R 3
3
3
Así pues, se verifica que: Vcilindro 5 Vcono 1 Vsemiesfera
R
R
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
11.84 Mantenimiento de piscinas
El croquis de la figura representa una piscina cuyas dimensiones son de 10 3 3 metros.
La altura mínima del nivel de agua es de 1,8 metros, y la altura máxima, de 2,5.
El suelo de la piscina es horizontal en un tramo de 5 metros, a partir de los cuales comienza a descender.
a) Calcula el volumen de agua que contiene la piscina
en litros.
b) Calcula cuántos litros de agua se deben añadir para
que el nivel suba 5 centímetros.
Se puede considerar que la figura es un prima cuya base está formada por un rectángulo de dimensiones 1,8 y 5 metros y un trapecio de bases 1,8 y 2,5 metros y altura 5 m.
1,8 1 2,5
a) V 5 áreabase ? altura 5 1,8 ? 5 1 }} ? 5 3 5 59,25 m3
2
3
b) 10 ? 3 ? 0,05 5 1,5 m Deberán añadirse 1 500 litros
1
2
11.85 El salón de actos.
La dirección de un centro docente ha decidido construir un pequeño salón de actos, para lo cual establece las siguientes especificaciones.
•
•
•
•
•
•
Debe tener capacidad para 120 personas.
Los asientos se deben colocar alineados en filas y columnas formando un rectángulo.
El número de filas no puede ser superior a 20.
El número de columnas no puede ser superior a 12.
La longitud de la sala debe ser igual a la del número de butacas de cada fila más 3 metros.
La anchura de la sala debe ser igual a la del número de butacas de cada columna más 5 metros.
a) Estudia de cuántas formas diferentes se pueden colocar los 120 asientos.
b) Calcula la disposición con menor área total.
a) Las posibles disposiciones son:
20
15
12
10
filas
filas
filas
filas
y
y
y
y
6 columnas:
8 columnas:
10 columnas:
12 columnas:
Área: (20
Área: (15
Área: (12
Área: (10
1
1
1
1
3)
3)
3)
3)
?
?
?
?
(6 1 5) 5 253 m2
(8 1 5) 5 234 m2
(10 1 5) 5 225 m2
(12 1 5) 5 221 m2
b) La disposición con menor área total es de 10 filas y 12 columnas.
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
A U T O E VA L U A C I Ó N
11.A1 Halla la diagonal en un ortoedro de dimensiones 15,3 3 12,6 3 7,8 centímetros.
d5
2
1w
12,62 1
7,82 5 21,3 cm
w
w
Ï15,3
11.A2 La base de la pirámide de Keops, en Egipto, es cuadrada. La altura mide 146 metros, y el lado de la base,
230. Halla la apotema de una cara.
A5
1462 1w
1152 5 185,85 m2
Ïw
11.A3 Un avión sobrevuela el paralelo 608 N. Halla la distancia recorrida sobre el paralelo si se mueve entre los
puntos de longitudes 308 E y 608 O, respectivamente. El radio del paralelo es 3 185 kilómetros.
La distancia será la del arco de un sector circular de ángulo 908 y radio el del paralelo:
2 ? p ? R ? 908
p ? 3 185
d 5 }} 5 }} 5 5 003 kilómetros
3608
2
11.A4 Halla el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
a)
3 cm
b)
6 cm
6 cm
5 cm
10 cm
a) A 5 2 p 5 ? 3 1 2 p 52 5 80p 5 251,33 cm2
V 5 p 52 3 5 75p 5 235,62 cm3
b) Calculamos la apotema de la cara:
2
a 5 Ï10
1 3w2 5 10,44 cm
w
6 ? 10,44
A 5 4 ? }} 1 62 5 161,28 cm2
2
1 2
V 5 }} 6 ? 10 5 120 cm3
3
11.A5 Calcula el área y el volumen de una pelota de diámetro 10 centímetros.
A 5 4 p 52 5 100p 5 314,16 cm2
4
V 5 }} p 53 5 523,60 cm3
3
11.A6 Los técnicos del Ayuntamiento han detectado que la piscina municipal pierde agua por una fisura. La
mejor solución es pintarla con una capa de fibra de vidrio.
¿Qué superficie necesitan pintar?
20 m
Descomponemos la figura del siguiente modo:
311
10 m
Atrapecio lateral 5 }} 10 5 20 m2
2
2
Arectángulo lateral mayor 5 10 ? 3 5 30 m
Arectángulo lateral menor 5 10 ? 1 5 10 m2
3m
Abase plana 5 102 5 100 m2
10 m
Para calcular el área de la base inclinada tenemos que hallar el lado x.
x 5 Ïw
102 1 w
22 5 10,20 m
Abase inclinada 5 10 ? 10,20 5 102 m2
Por tanto, la superficie total que hay que pintar es: Atotal 5 2 ? 20 1 3 ? 30 1 10 1 100 1 102 5 342 m2
1m
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
11.A7 Determina el área total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
6 cm
a)
8 cm
10 cm
3 cm
b)
6 cm
5 cm
a) Calculamos la generatriz g del tronco de cono:
g5
2
1 42w 5 8,94 cm
Ï8w
AL 5 p (10 1 6) 8,94 5 449,37 cm2
AT 5 449,37 1 p 102 1 p 62 5 876,63 cm2
Para calcular el volumen hemos de hallar la altura del cono grande:
81x
x
}} 5 }} ⇒ x 5 12 cm
10
6
1
1
Vtronco 5 Vcono mayor 2 Vcono menor 5 }} p 102 ? 20 2 }} p 62 12 5 1 642 cm3
3
3
6?516?3
b) AL 5 }} 6 5 144 cm2
2
Para calcular el área de las bases, tenemos que calcular las apotemas de cada base.
6?5
a5
52 2 2w
,52 5 4,33 cm ⇒ Abase mayor 5 }} 4,33 5 64,95 cm2
Ïw
2
a’ 5
32 2 1w
,52 5 2,6 cm ⇒
Ïw
6?3
Abase menor 5 }} 2,6 5 23,4 cm2
2
AT 5 144 1 64,95 1 23,4 5 232,35 cm2
Para calcular el volumen tenemos que hallar, en primer lugar, la altura del tronco de pirámide, y luego, la altura de la pirámide grande.
5,745 1 x
x
h 5 Ïw
62 2 1 w
,732 5 5,745 cm
}} 5 }} ⇒ x 5 8,63 cm
4,33
2,6
1
1
Vtronco de pirámide 5 Vpirámide grande 2 Vpirámide pequeña 5 }} 64,95 (8,63 1 5,745) 2 }} 23,4 ? 8,63 5 243,90 cm3
3
3
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS
E N T R E T E N I D O
SIN DERRAMAR UNA GOTA
El objetivo de este juego es conseguir medir exactamente 6 litros de agua con la única ayuda de dos recipientes: uno de 4 litros y otro de 7 litros de capacidad.
¿Cuál es el menor número de maniobras que necesitas hacer para conseguirlo?
Son necesarias 6 maniobras para obtener los 6 litros.
¿Qué hacemos?
Maniobra 1.a
Llenar el recipiente
de 7 litros
Maniobra 2.a
Llenar el recipiente de
4 litros con el contenido
del de 7 litros
Contenido del
recipiente de 7 litros
de capacidad
Contenido del
recipiente de 4 litros
de capacidad
7 litros
0 litros
7 2 4 5 3 litros
4 litros