Tema 1 El conjunto de los números complejos.

Tema 1
El conjunto de los números complejos.
1.1.
Introducción.
Suponemos conocido el conjunto de los números reales R y sus propiedades. En
consecuencia sabemos que en tal conjunto no tiene solución la ecuación x2 +1 = 0.
Esto motiva el que existan polinomios con coeficientes en R que no tengan
raı́ces en R, o equivalentemente, no todo polinomio con coeficientes en R se puede
factorizar como producto de polinomios de primer grado con coeficientes en R.
Por ejemplo el polinomio x2 + x + 1 no se puede factorizar como producto de
polinomios de primer grado con coeficientes en R.
Otro problema sin solución en R es el siguiente: Dado un número a ∈ R encontrar otro número b ∈ R tal que b2 = a. Sabemos que, cuando existe b, es llamado
raı́z cuadrada de a, pero sabemos también que b existe si y sólo si a ≥ 0, es decir
en R un número negativo no tienen raı́z cuadrada.
Se introduce ahora un conjunto de números que contiene al conjunto de los
números reales (es decir, es una extensión de tal conjunto) y en el cual tengan
solución positiva las cuestiones planteadas. Se llama el conjunto de los números
complejos, que se denota C.
Estudiaremos las propiedades de este conjunto, las operaciones elementales y
algunas funciones definidas sobre él.
1
1.2.
Operaciones y primeras propiedades.
Definición 1.1. El conjunto C de los números complejos se define por:
C = {z = (a, b) : a, b ∈ R}
Dado un número complejo z = (a, b), tienen mucho interés los siguientes números reales relacionados con él:
√
a es llamado parte real de z, b parte imaginara de z y a2 + b2 es llamado
módulo de z. Se denotan respectivamente Re(z), Im(z), |z|.
A a, b se les llama componentes de z y finalmente, al complejo (a, −b) se le
llama conjugado de z y se denota z.
Operaciones:
Dos complejos z = (a, b), z 0 = (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.
Además se definen la suma y el producto respectivamente por: z + z 0 = (a +
c, b + d) y zz 0 = (ac − bd, ad + bc).
Ambas operaciones verifican las propiedades asociativa y conmutativa, que si
z1 , z2 , z3 son tres complejos, consisten en: z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 , y z1 + z2 =
z2 + z1 para la suma, e igual para el producto. Además el producto es distributivo
respecto de la suma, es decir, z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .
Al complejo (0, 1) se le llama unidad imaginaria y se suele denotar por i. Tiene
mucho interés como enseguida veremos.
Cada número real a se identifica con el complejo (a, 0) y recı́procamente, un
número complejo con parte imaginaria nula, de la forma (p, 0) es identificable al
número real p. En particular, el (1, 0) es el número real 1. Un complejo con parte
real nula se llama imaginario puro.
La primera propiedad a destacar de i es que i2 = −1. En efecto: i2 = (0, 1)(0, 1) =
(−1, 0) = −1.
Observemos también que para cualquier número real r y cualquier complejo
z = (a, b) se tiene que rz = (ra, rb) porque rz = (r, 0)(a, b) = (ra − 0b, rb + 0a)
2
Ejemplo 1.2. Dados los números complejos z = (5, −2) y w = (−1, 3), calcula
|z|, |w|, 4z − 2w, z y −zw.
Solución. Es fácil comprobar que
p
√
|z| = 52 + (−2)2 = 29,
|w| =
p
√
(−1)2 + 32 = 10,
4z − 2w = 4(5, −2) − 2(−1, 3) = (20, −8) + (2, −6) = (22, −14),
z = (5, 2),
−zw = (−5, 2)(−1, 3) = (5 − 6, −15 − 2) = (−1, −17).
1
Ejercicio 1.3. Realiza las mismas operaciones siendo z = (−4, 3) y w = (2, 9)
Forma binómica.
A partir de la definición de la suma y el producto, todo número complejo (a, b)
se puede expresar por:
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi.
La expresión ası́ obtenida a + bi es llamada forma binómica del número complejo (a, b). Realmente es otro modo de expresar el número complejo, pero tiene
la ventaja de que permite tratar las operaciones con números complejos como
operaciones con binomios, siendo i la indeterminada. Ası́ se tiene:
(a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i, y
(a + bi)(c + di) = ac + (ad + bc)i + bdi2 = ac − bd + (ad + bc)i.
Se puede comprobar que la suma y el producto de números complejos tienen
elemento neutro, que son respectivamente (0, 0) y (1, 0) (identificables por lo que
se ha dicho con el 0 y el 1 respectivamente) y cada número complejo (a, b) tiene
como opuesto al (−a, −b). Además si (a, b) 6= (0, 0) entonces tiene elemento inverso
(a, b)−1 para el producto. Calculémoslo, empleando la forma binómica:
1
a − bi
a − bi
a
−b
=
= 2
=
+
i
a + bi (a + bi)(a − bi) a + b2
a2 + b2 a2 + b2
3
Ası́, (a, b)−1 = (
a
−b
,
).
a2 + b2 a2 + b2
Ejemplo 1.4. Realiza las operaciones iz, z −1 ,
siendo z = 3 − 2i y w = −1 + 3i
w
, w3 , i3 (z − w),
z
Solución. Aplicando las propiedades de las operaciones tenemos:
3
2
+ i.
13 13
3
2
−3
2
9
6 2 −9
7
= (−1 + 3i)( + i) =
− i+ i+ i =
+ i.
13 13
13
13
13
13
13
13
3
3
3
3
2
2
w = (−1 + 3i) = (−1) + (3i) + 3(−1) 3i + 3(−1)(3i) =
iz = i(3 − 2i) = 3i − 2i2 = 2 + 3i. z −1 =
w
= wz −1
z
= −1 + 27i3 + 9i − 27i2 = 26 − 18i.
i3 (z − w) = −i(z − w) = −i((3 − 2i) − (−1 + 3i)) = −i(4 − 5i) = 5 − 4i.
1
Ejercicio 1.5. Realiza el mismo ejercicio sustituyendo z y w por z y w respectivamente.
Algunas propiedades de módulo y conjugado. Si z1 , z2 , z son números
complejos, entonces se verifica:
z1 + z2 = z1 + z2 ; z1 · z2 = z1 · z2 ; zz = |z|2 ; z + z = 2Re(z); (z − z)/i = 2Im(z).
Además,
|z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0; |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |;
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |; |z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 ||
Soluciones de la ecuación cuadrática. Teorema fundamental del álgebra.
Con la introducción de C no sólo se resuelve la ecuación x2 + 1 = 0, de la que
partı́amos. Si consideramos la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, sabemos que
sus soluciones se expresan por
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
4
Esta expresión se obtiene “completando cuadrados” en la ecuación, es decir, expresándola de la forma
µ
b
x+
2a
¶2
4ac − b2
+
=0
4a2
En el caso en que b2 −4ac < 0, la ecuación admite como soluciones los dos números
complejos
√
√
b
4ac − b2
b
4ac − b2
z =− +i
y z =− −i
2a
2a
2a
2a
Es decir, toda ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene dos soluciones
que son reales y coincidentes o reales y distintas o complejas y conjugadas. En
resumidas cuentas, tiene solución en el conjunto de los números complejos. Igual
pasarı́a si los coeficientes fueran números complejos. En realidad se cumple un
teorema más general, llamado teorema fundamental del álgebra cuyo enunciado
es “Toda ecuación polinómica de grado n ≥ 1, con coeficientes complejos (en
particular con coeficientes reales) admite alguna solución en el conjunto de los
números complejos”.
En realidad se puede enunciar de modo aparentemente más fuerte, aunque es
equivalente: “ La ecuación polinómica de grado n ≥ 1 con coeficientes complejos
admite n soluciones (no necesariamente distintas) en el conjunto de los números
complejos”. Además, si los coeficientes son reales y si z ∈ C es solución, también
lo es z.
Ejemplo 1.6. Resuelve la siguientes ecuaciones y expresa los polinomios correspondientes como productos de factores de primer grado.
x2 + x + 1 = 0,
Solución. Las soluciones vienen dadas por la expresión x =
√
√
−1
3
−1
3
x1 =
+
i y x1 =
−
i
2
2
2
2
5
−1 ±
√
2
1−4
y son
La expresión del polinomio en factores de primer grado es entonces
Ã
√ !Ã
√ !
−1
3
−1
3
x2 + x + 1 = x − (
+
i)
x−(
−
i)
2
2
2
2
Representación gráfica: Sabemos que el conjunto R de números reales se
representa sobre una recta (se suele llamar la recta real). El conjunto C de los
complejos admite una representación sobre el plano (llamado plano complejo) de
modo que, fijados dos rectas perpendiculares, y representados los numeros reales
sobre cada una de ellas, situando el cero de ambas en el punto de corte, es decir
fijado un par de ejes cartesianos, cada número complejo (a, b) viene representado
por el punto P del plano que representa esas coordenadas, o también, por el vector
fijo que tiene el origen en el (0, 0) y el extremo en (a, b). Ese punto del plano es
llamado afijo del número complejo (a, b). El módulo de ese vector es el módulo
del número complejo.
A partir de esa representación se tienen otros dos modos de expresar un número
complejo: Consideremos el ángulo α que forma el vector (a, b) con el eje de abscisas,
y sea r el módulo del número complejo z. Entonces se llama forma polar de z a
la expresión rα , que consiste en expresar el módulo de z y, como subı́ndice, el
ángulo. A tal ángulo se le llama argumento del número complejo. Notemos que
cada número complejo tiene infinitos argumentos, porque si α es un argumento,
también lo es α +2kπ, k ∈ Z, y es muy importante tener en cuenta que la igualdad
de dos números complejos expresados en forma polar no implica que sean iguales
los módulos y los argumentos de ambos, sino que serán iguales los módulos y los
argumentos se diferenciarán en un múltiplo de 2π. Es decir:

r = r 0
0
rα = rβ ⇔
β = α + 2kπ, k ∈ Z
Cada número complejo z tiene un único argumento en el intervalo (−π, π]. A
ese argumento se le llama argumento principal de z, y lo representaremos por
arg(z).
6
La forma polar de los números 1 e i son respectivamente 10 y 1π .
Es claro que el complejo (a, b) se puede expresar de la forma (r cos(α), r sen(α))
O equivalentemente, r(cos(α)+i sen(α)) A esta última expresión se le llama forma
trigonométrica del número complejo.
Producto y cociente de números complejos en forma polar.
Consideremos dos números complejos rα y sβ . Si los expresamos en forma
binómica y realizamos su producto, entonces tendremos:
r(cos(α) + i sen(α)) · s(cos(β) + i sen(β)) =
= rs((cos(α) cos(β) − sen(α) sen(β)) + i(sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β))
{z
}
{z
}
|
|
cos(α+β)
sen(α+β)
Esta expresión se puede poner, a partir de las fórmulas del seno y el coseno de la
suma de ángulos, como: rs(cos(α + β) + i sen(α + β)).
Se deduce de ello que el producto de números complejos expresados en forma
polar verifica: rα sβ = (rs)α+β .
También, por lo que se ha dicho ya de la igualdad de números complejos, que
dados z1 , z2 ∈ C, arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z.
z0
se
Dados dos número complejos z = (a, b), z = (c, d), z =
6 0, el cociente
z
z0
−1
puede calcula a partir del inverso z , porque = z 0 z −1 .
z
Sin embargo el cálculo del cociente se simplifica si se emplea la expresión en
forma polar. Comencemos obteniendo la expresión del inverso:
1
Si z = rα , entonces z −1 = ( )−α . Se justifica porque
r
1
1
zz −1 = rα ( )−α = (r )α−α = 10 = 1
r
r
0
7
0
Ahora, si z =
rβ0 ,
z0
el cociente
se expresa por z 0 z −1 y por tanto se tiene:
z
µ 0¶
rβ0
r
z0
1
=
= rβ0 ( )−α =
z
rα
r
r β−α
Ejemplo 1.7. a) Expresa en forma binómica, trigonométrica y polar cada uno de
los siguientes números complejos.
√
z = 2 − 3i, w = 5 , m = 4( 23 − 12 i).
b) Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma binómica
w
zw, m − z, .
z
√
Solución. a) |z| = 13. Ahora observemos que el afijo de z está en el cuarto
cuadrante. Debe tenerse eso en cuenta para calcular el argumento α. Operando
π
4
se obtiene que α = −0.98 (la medida de ángulos es siempre el radian). Ası́ las
√
√
formas polar y trigonométricas de z son: 13−0.98 y 13(0, 554 − 0, 832i).
Ahora para w, se ha dado la forma polar. Las formas trigonométrica y binómica
son, como se obtiene de forma inmediata:
√
√
³
π
2
2
5√
π ´
5√
5 cos( ) + i sen( ) = 5(
2i).
+
i) y ( 2 +
4
4
2
2
2
2
Ahora, para m observamos que la parte real es positiva y la parte imaginaria
negativa, lo cual denota que, gráficamente, m está en el cuarto cuadrante. Además
|m| = 4 y su argumento θ cumplirá tan(θ) = − √13 . Es decir θ = − π6 , Ası́ las formas
polar y binómica son
√
4− π6 y (2 3 − 2i)
√
√
b) zw = (2 − 3i)( 52 2 + 52 2i) realizando el producto en forma binómica se
√
√
5
obitiene zw = ( 25
2
−
2
2 2i)
Para m−z, operando en forma binómica se obtiene de modo inmediato: m−z =
√
√
(2 3 − 2i) − (2 − 3i) = (2( 3 − 1) + i
w
Finalmente,
se obtiene de manera sencilla operando en foma polar. Se tiene
z
à √ !
µ
¶
w
5
5 13
= √
=
z
13
13 π −(−0.98)
1.76
4
8
En forma binómica se obtiene
√
5 13
13 (−0.19
+ 0.98i) = (−0.26 + 1.36i)
1
Potencias de números complejos.
Generalizando la expresión del producto de números complejos para tres, cuatro,. . . ,n números, se obtiene la siguiente expresión de la potencia con exponente
n
natural de números complejos: (rα )n = rnα
, n ∈ N.
Esa fórmula es válida también para exponente entero (n ∈ Z). Se justifica del
modo siguiente: Si n ∈ N, podemos poner:
µ
¶n
1
1
−n
−1 n
−n
z = ((rα ) ) = ( )−α
= ( )n−nα = r−nα
r
r
Empleando la expresión de los números complejos en forma trigonométrica, la
fórmula de la potencia se expresa por:
(r(cos(α) + i sen(α))n = rn (cos(nα) + i sen(nα)), n ∈ Z.
De ello se deduce la importante igualdad, conocida como fórmula de De Moivre,
siguiente:
(cos(α) + i sen(α))n = cos(nα) + i sen(nα), n ∈ Z.
Raı́ces de números complejos.
Sea n ∈ N. El número complejo z = rα se dice que es una raı́z n−esima del
√
número complejo z 0 = rβ0 , y se denota z = n z 0 , si (z)n = z 0 .
La expresión de la potencia permite deducir que:
n
rβ0 = rnα
,
√
n
β k
+ 2π, k ∈ Z.
n n
Ahora en esta expresión, cuando k toma los valores 0, 1, 2, . . . n − 1 se obtienen n
valores distintos para α que son:
y entonces r0 = rn , nα = β + 2kπ, k ∈ Z. Es decir, r =
r0 y α =
β (n − 1)2π
β β 2π β 4π
, + , + ,..., +
.
n n
n n
n
n
n
9
Para cualquier otra valor que se le de a k ∈ Z se obtiene un valor de α que se
diferencia de alguno de estos en un múltiplo de 2π, y por tanto corresponde a otro
argumento del mismo número complejo.
Es decir: existen n números complejos distintos que son raı́ces n−ésimas de z 0 ,
√
todos ellos con módulo igual a n r0 y cuyos argumentos son los que se obtienen de
β k
la fórmula + 2π, para los valores de k = 0, 1, 2 . . . (n − 1).
n n
Es fácil observar que los afijos de los n números complejos, raı́ces n−ésimas de
z 0 , si se representan en el plano complejo, son los vértices de un polı́gono regular
de n lados.
Ejemplo 1.8. Resuelve las ecuaciones a) x6 − 1 = 0
z 6 + 64z 2 = 0
b) x2 + 3x − 10i = 0 c)
Solución. Las soluciones de la ecuación a) son las raı́ces sextas de la unidad, es
√
decir 6 1. La unidad escrita en forma polar es 10 . Tiene seis raı́ces sextas, todas
con módulo uno y cuyos argumentos atienden a la expresión
xk =
0 + 2kπ
,
6
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ası́ las soluciones pedidas son: 10 , 1 π3 , 1 2π3 , 1π , 1 4π3 , 1 5π3 .
Observemos que las dos últimas no están dadas con su argumento principal
(ponedlas ası́ como ejercicio). También que la diferencia entre los argumento de
dos raı́ces consecutivas es constante, en concreto vale 2π
6 . Esto se verifica en general,
es decir, la diferencia entre los argumentos de dos raı́ces n−esimas consecutivas
de un número complejo z es 2π
n.
b) Las soluciones de la ecuación viene dadas por la expresión
√
−3 ± 9 + 40i
x=
.
2
Basta pues calcular las raı́ces cuadradas de w = 9 + 40i. En forma polar, w =
√
√
411.34948 . Ahora las dos raı́ces cuadradas son m1 = 410.67474 y m2 = 413.81633 .
Si ambas las escribimos en forma binómica obtenemos:
10
√
√
m1 = 41(0.7808 + 0.6247i) = 5 + 4i y m2 = 41(−0.7808 − 0.6247i) = −5 − 4i.
Sustituyendo m1 , m2 en la expresión de x, teniendo en cuenta los dos signos ±,
se obtienen cuatro soluciones, dos a dos iguales, que son −4 − 2i y 1 + 2i.
c) z 2 (z 4 + 64) = 0. Ası́ la soluciones son las de z 2 = 0 y las de z 4 + 64 = 0.
La primera tiene como solución z = 0 (doble). La segunda tiene como solución
√
z = 4 −64. Calculemos pues las raı́ces cuartas de -64. En forma polar es 64π .
√
Las cuatro raı́ces cuartas tienen por módulo 8 y los cuatro argumentos serán
π π
π
3π
π π
4 , 4 + 2 , 4 + π, 4 + 2 . En forma binómica serán:
1 + i,
−1 + i,
1 − i,
−1 − i.
1
1.3.
Funciones complejas.
Se definirán algunas funciones de C en C que vienen a generalizar esas mismas
funciones, que son bien conocidas pero cuando se han definido de R en R. La
generalización se hace de modo que las funciones mantengas las propiedadas que
tenı́an para el caso real. Hablamos de las funciones exponencial, logarı́tmica y
trigonométricas complejas.
La función exponencial.
Recuérdese la función real exp(x) = ex , x ∈ R. Verifica las propiedades:
ep+q = ep · eq y e0 = 1. Además es una función derivable y su derivada es la misma
función, (ex )0 = ex .
Si se busca una función exp(z) = ez , z ∈ C con esas propiedades, tendremos
que, si z = a + bi entonces
ez = ea+bi = ea ebi .
Observamos que ea es un número real. Ahora sólo falta por definir ebi . Se puede
demostrar (no lo haremos porque no tenemos los conocimientos suficientes para
11
ello) que la única definición posible para que se cumpla las propiedades de la
exponencial es:
eib = cos b + i sen b.
Es decir, la función exponencial compleja se define del modo siguiente: para el
número complejo z = a + bi, su imagen es el complejo z 0 dado por:
z 0 = ez = ea (cos b + i sen b)
De la definición, y recordando las expresiones polar y trigonométricas de un
número complejo, se deducen las siguientes propiedades:
- El módulo de z 0 es |z 0 | = ea y un argumento de z 0 es b.
- Todo número complejo z = rα se puede poner de la forma z = reiα (de hecho
algunos autores definen esta expresión como la forma polar del número complejo,
y a partir de ella y de las propiedades de la exponencial se pueden deducir las
propiedades de las potencias y de las raı́ces.)
- Para cada b ∈ R el número complejo eib tiene modulo uno y, recı́procamente,
todo número complejo de módulo uno se puede expresar de forma eip para algún
número real p.
Además de las dos propiedades que se le exigı́an a la función exponencial compleja en su definición, se tienen las siguientes:
¦ ez 6= 0 para todo z ∈ C (porque ez · e−z = e0 = 1, por tanto ez no puede
ser cero).
¦ ez = 1 si y sólo si z = 2kπi, k ∈ Z
¦
ez1 = ez2 si y sólo si z1 − z2 = 2kπi.
¦ La función exponencial compleja es periódica de periodo 2πi. En efecto.
Dado z ∈ C, podemos considerar para cualquier k ∈ Z el número z + k2πi. Se
tiene:
ez+k2πi = ez · ek2πi = ez · (cos(k2π) + i sen(k2π)) = ez .
Ejemplo 1.9. a) Dados u = 3 + 2i, v = −1 − i calcula e2u , eu−v y ieu+v
12
b) Expresa en forma binómica los siguientes números complejos:
πi
πi
2
e ,
i+e
2πi
,
1−e2
πi .
1+e2
Solución. a) Basta aplicar la definición de exponencial compleja. Se tendrá:
e2u = e6+4i = e6 (cos 4 + i sen 4) = 403.429(−0.653 − 0.757i) = −263.7 − 305.316i.
eu−v = e4+3i = e4 (cos 3 + i sen 3) = 54.598(−0.990 + 0.141i) = −54, 052 + 7, 705i.
ieu+v = ie2+i = ie2 (cos 1 + i sen 1) = i(3.992 + 6.218i) = −6.218 + 3.992i.
El apartado b) es también inmediato:
πi
π
π
e 2 = cos( ) + i sen( ) = i.
2
2
i + e2πi = i + cos(2π) + i sen(2π) = 1 + i
πi
1−e2
πi
1+e2
=
1−i
(1 − i)2
−2i
=
=
= −i
1 + i (1 + i)(1 − i)
2
1
La función logarı́tmica.
Conocida la función exponencial compleja y sus propiedades, nos preguntamos
ahora si, dado un número complejo z, existe un número complejo w tal que ew = z.
Sabemos que para z = 0 no puede existir w (porque ew 6= 0, ∀w ∈ C). En este
sentido se tiene el resultado siguiente:
Para cualquier número complejo no nulo z, existen números complejos w tales
que ew = z. Uno de tales números es log |z| + i arg(z) y todos los demás tienen la
forma log |z| + i arg(z) + 2kπi, k ∈ Z.
Para comprobarlo basta observar que
elog |z|+i arg(z) = elog |z| ei arg(z) = |z|ei arg(z) = z.
Lo que muestra que w = log |z| + i arg(z) es una solución de la ecuación ew = z.
Ahora si w1 es otra solución de tal ecuación, entonces ew = ew1 y por tanto
w − w1 = 2kπi.
13
Dado z, de cada número complejo w que cumpla ew = z se dice que es un
logaritmo de z. En particular, al número log |z| + i arg(z) se le llama logaritmo
principal de z y se denota Log(z). Es decir:
Log(z) = log |z| + i arg(z).
Ejemplo 1.10. Justifica las siguientes propiedades de la función logaritmo en C.
a) Log(−1) = πi. b) Log(i) = πi/2. c) Log(z1 z2 ) = Log z1 + Log z2 + 2nπi,
Log(z1 /z2 ) = Log z1 − Log z2 + 2nπi, siendo n un número entero. d) eLog z = z
Solución. a) Log(−1) = log 1 + i arg(−1) = iπ b) Log(i) = log 1 + i arg(i) = iπ/2
c) Log(z1 z2 ) = log |z1 z2 | + i arg(z1 z2 ) = log |z1 | + log |z2 | + i[arg(z1 ) + arg(z2 ) +
2nπ] = Log z1 + Log z2 + 2nπi,
1
Empleando la función logarı́tmica se define la potencia compleja de números
complejos. Ası́, si z, w son números complejos con z 6= 0 se define z w por:
z w = ew Log z
Ejemplo 1.11. Calcular 1i , ii y (−1)i
Solución. 1i = ei Log 1 = e0 = 1.
ii = ei Log i = ei(πi)/2 = e−π/2 .
(−1)i =
ei Log(−1) = ei(iπ) = e−π
Funciones trigonométricas.
Finalizamos el tema con la definición de las funciones seno y coseno definidas
y valoradas en el conjunto C de los números complejos. De hecho se definen por:
eiz + e−iz
cos z =
,
2
1.4.
eiz − e−iz
sen z =
2i
Cuestiones y Problemas.
1. Realiza las siguientes operaciones con números complejos: a)(2+3i)−(1−i).
2 − 4i
b) in , n ∈ N. c) (3 + i)(3 − i). d)
. e) (1 + i)−1 .
−4 + i
14
2. Escribe en todas sus formas el número complejo que resulte de las siguientes
i5 − i−8
2
√ .
operaciones a)(−1 − i) . b)
i 2
3. a)Calcula las partes real e imaginaria del número (1 + i)(2 + 3i)(3 + i)(2 − 2i).
4m − 2i
b)Determina m y n para que se cumpla la igualdad:
= 3 + ni.
6 − 2i
4. La suma de dos números complejos es 3 + i, la parte real de uno de ellos es
2 y su cociente es imaginario puro. Determina dichos números.
5. ¿Qué efecto geométrico produce multiplicar un número complejo por 1α ? ¿Y
z
dividirlo por su módulo, |z|
?
6. Calcula las raı́ces quintas de (1 + i).
7. Una raı́z cuarta de un número complejo es −1 + i. Calcula las demás raı́ces
cuartas ası́ como dicho número. Representa gráficamente el número buscado
y sus raı́ces cuartas.
8. Calcula ei ,
i
ii ,
(2 + 2i)( 3 + i),
Log(i),
Log((2 + 3i)4 ), Log
2 + 3i
1−i
9. a) Determina los tres números complejos a, b, c tales que para todo elemento
del cuerpo C se tenga:
z 3 + z 2 (5i − 6) + z(9 − 24i) + 13i + 18 = (z + i)(az 2 + bz + c).
b) Resolver en el cuerpo C la ecuación z 3 +z 2 (5i−6)+z(9−24i)+13i+18 = 0.
c) Representar en el plano complejo los afijos de las soluciones de la ecuación
anterior. Si los consideramos vértices de un triángulo, ¿de qué tipo es?
15
Índice general
1. El conjunto de los números complejos.
1
1.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Operaciones y primeras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
1.3. Funciones complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4. Cuestiones y Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
16