HISTORIA ALGUNOS DE LA TRIGONOMETRÍA. ANTECEDENTES SOBRE EL CAMPO Y UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA EL NIVEL POLIMODAL Claudio Turano, UNSAM, Escuela de Humanidades, Licenciatura en Enseñanza de las Ciencias. Martín de Irigoyen 3100 (1650) Campus Miguelete. San Martín, Provincia de Buenos Aires, Argentina. [email protected] Abstract: Se presenta una propuesta de actividades de trigonometría basadas en estrategias de resolución de problemas y aplicables a grupos escolares de Polimodal. Dichas actividades recurren a la contextualización socio-histórica y cotidiana de los contenidos trigonométricos, que son situados en contextos históricos o prácticos vinculados –entre otros -, a la antigua matemática griega (problema de la medición del diámetro terrestre), o a la medición indirecta de la altura de un árbol. Se justifica el diseño de actividades a partir de una revisión de la construcción histórica del número y de las funciones trigonométricas, tomando como fundamentación teórica la noción piagetiana de ontogenia como recapitulación de la filogenia. Keywords: Trigonometría – problemas – Historia – Aristarco – Eratóstenes - actividades Polimodal “La Ciencia es tanto un hábito de pensamiento como una forma de vida y las Matemáticas son tanto un aspecto de la Cultura como una colección de algoritmos.” Carl B. Boyer 1 Cuando resolvemos un problema relacionado con la Física, la Economía, la Arquitectura, u otras situaciones donde es necesario obtener una respuesta numérica o analizar el comportamiento de las variables para luego tomar decisiones, buscamos expresiones matemáticas que nos permitan vincular dichas variables que estamos analizando y nos lleven a encontrar una solución. Para cada nueva situación problemática es necesario encontrar otras relaciones y realizar otros cálculos para llegar a nuevas soluciones. La Matemática fue evolucionando en la medida que evolucionó el hombre. Cada comunidad, a lo largo de la historia, construyó sus propias ideas matemáticas y éstas estaban relacionadas con los tipos de problemas que “tenían sentido” y necesitaban ser resueltos. Así por ejemplo, los números negativos fueron aceptados como objetos matemáticos por los chinos desde el siglo I a. C. porque “tenían sentido” en el contexto de los problemas financieros que estaban resolviendo. Además, los chinos desarrollaron sistemas de signos (ábacos) adecuados para representar números negativos. En contraste, las cantidades negativas fueron evitadas por los griegos (aunque operaban con ellas) porque, para ellos, no tenían sentido en el contexto de los problemas geométricos que estaban resolviendo. Es decir, existe una relación esencial entre los procesos mentales humanos y sus escenarios culturales, institucionales e históricos. La práctica nos enseña que todo el orden lógico de cualquier ciencia, su estructura, interrelación e incluso la existencia de ramas independientes no constituyen algo inmutable. Ellas son fruto del desarrollo histórico. Suele afirmarse que la ciencia nació en Grecia, con Tales, Pitágoras y los físicos – filósofos del siglo V a.C. Sin embargo las investigaciones modernas dicen que no fueron los griegos quienes inventaron las primeras nociones de geometría, astronomía y otras, las aprendieron de los egipcios y de los asirio - babilonios que, en estos campos, ya habían realizado descubrimientos importantes con varios siglos de anterioridad. Los pueblos de la Mesopotamia fueron los autores de los textos de Matemática más antiguos que se conocen. Se trata de tablillas de arcillas talladas con signos que se empleaban como textos de enseñanza y para la contabilidad Cuando nos referimos específicamente a los comienzos de la trigonometría debemos remontarnos a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y en Babilonia, alrededor del año 3000 a.C. Los egipcios fueron los primeros en establecer las medidas de los 2 ángulos en grados, minutos y segundos, y en trabajar con razones entre los lados de triángulos semejantes, sin formularlos de manera explícita. Se debió esperar hasta el siglo VII antes de la era cristiana para que comience a desplazarse el centro del desarrollo cultural del mundo Mesopotámico al Griego, en particular cuando hablamos de Matemática. Sin embargo en los orígenes de la civilización griega la Matemática quedó rezagada respecto de las otras actividades culturales mientras que se elaboraba una extensa producción literaria. La actividad intelectual comienza a producir variaciones debido a los numerosos cambios políticos, económicos y a migraciones producidas por diferentes guerras. La edad del bronce deja su paso a la de hierro. Durante este período fértil en revoluciones, que se extiende hasta el 800 a.C., algunas civilizaciones desaparecen para siempre y otras pierden el poder, como los Asirios y Egipcios, y surgen nuevos imperios que sustituyen a los que se encuentran en decadencia. Entre estas nuevas civilizaciones surgió Grecia, que se desarrolló desde el siglo VI a.C. Luego, bajo la dominación romana, sus aportes culturales se difundieron por todo el occidente. El conocimiento pregriego era más bien de carácter técnico, se apoyaba en recetas, consejos y métodos para resolver problemas concretos; nunca se planteó la elaboración de leyes generales y sus trabajos eran de base empírica e inductiva. Los griegos inician un proceso de desarrollo cultural que fue abriendo campos de conocimiento racional frente a lo mitológico. Comienza a observarse la naturaleza a través de la razón y de la inteligencia (logos) buscando el “principio” de las cosas. “Ver es conocer” y es el “ver” que se contrapone al de los sentidos (subjetivo) y a lo mítico. En esos momentos la geometría debió tener cierta base en los conocimientos matemáticos prácticos que los mercaderes griegos recabaron de Mesopotamia y de la India. Se realizó luego el pasaje de lo meramente práctico (o empírico) a lo puramente teórico, es decir que en este período la geometría, como ciencia, adquiere un carácter racional, apareciendo así las primeras concepciones sobre prueba, demostración, axioma o teorema. Se desarrolló el camino de la investigación y de la deducción. De ese modo resolvieron la aparente contradicción entre la ciencia como un fin en sí misma y la ciencia como instrumento, elevando las matemáticas a su máxima perfección y belleza, es decir, hacían geometría para enriquecer el espíritu humano sin preocuparse por su utilidad. Una corriente de filósofos consideraba al mundo como una estructura matemática, aunque nunca perdieron de vista su aplicación práctica. Una de esas corrientes fue la de los 3 pitagóricos, que estudiaban a la matemática como ciencia teórica. Con respecto a esto el matemático soviético I: R: Shafarevich (n. 1923) dijo: “La matemática como ciencia nació en el siglo VI a. C. en la comunidad religiosa de los pitagóricos y fue parte de esta religión. Su propósito estaba bien claro. Revelando la armonía del mundo expresada en la armonía de los números proporcionaba un sendero hacia una unión con lo divino.”....”Lo que estaba involucrado no era el descubrimiento de un bello teorema ni la creación de una nueva rama de la matemática, sino la creación misma de las matemáticas.” Fue en estos tiempos cuando empezó a hablarse de trigonometría de manera explícita. Pero para poder entender la proliferación filosófica y científica a partir del siglo VI a.C. habría que analizar los acontecimientos políticos ocurridos en la principal polis griega: Atenas. Aunque fueron religiosos, los griegos se atrevieron a buscar respuestas sin recurrir necesariamente a las misteriosas acciones de los dioses. ¿Por qué fue que este intento de explicar el mundo por medio del razonamiento se originó en Grecia? Una respuesta posible puede surgir si relacionamos el razonamiento con los ideales políticos de los griegos. La organización democrática de las polis se basaba en la participación de los ciudadanos. El ciudadano intervenía en la vida pública y así gobernaba su vida y la de la comunidad. Era lógico, entonces, que sucediera algo similar en el conocimiento del mundo. Cada ciudadano podía, por su propio razonamiento, conocer lo que antes estaba reservado al reducido núcleo de los sacerdotes. La asamblea de ciudadanos era el lugar en el que se podía debatir todos los temas, abiertamente y sin intermediarios. De este modo, las explicaciones racionales del mundo permitieron democratizar el conocimiento. La razón y la democracia pusieron a los hombres más cerca del control de la naturaleza y de sus propias vidas. Debemos decir, lamentablemente, que esto fue posible, en parte, por la institucionalización de la esclavitud. Esto liberó a los ciudadanos de sus obligaciones laborales para dedicarle parte del tiempo a los asuntos políticos y también a la investigación de los fenómenos que ocurrían tanto sea en la naturaleza como en el universo, es decir al desarrollo intelectual. 4 La matemática griega, en general, se desarrolló en diversos centros o escuelas, cada uno de los cuales se basaba en la obra de sus predecesores. En el siglo VI a.c. aparecieron dos figuras pioneras dentro de este campo, que fueron Tales de Mileto (580 a.C.) quien creó la “Escuela Jónica” a la cual pertenecieron filósofos de la talla de Anaximandro, Anaxímenes y Anaxágoras, y Pitágoras (550 a.C.) que fundó la “Escuela Pitagórica”. Aunque de ellos no han quedado muestras de sus obras, lo que pudieron haber hecho fue reconstruido sobre la base de una tradición muy persistente pero no muy fidedigna. Es decir, no se cuenta con documentos históricos conocidos que avalen sus trabajos. Pero les cabe el mérito inconmensurable de haber sido los que iniciaron la construcción de la Matemática y en particular de la Geometría, como una disciplina racional y liberal. Desarrollaron una geometría sin instrumentos ni mediciones, solo por medio de la intuición de ideas y del discurso mental, dando un gran salto cualitativo y generando el nacimiento de una Matemática especulativa y deductiva. De ahí que Tales reciba el nombre de “el primer matemático” y Pitágoras “el padre de la Matemática”. Otras escuelas representativas del período griego fueron: la “Academia de Atenas” (387 a.C.) fundada por Platón, discípulo del filósofo Sócrates, y que se transformó en un centro muy importante de actividad intelectual de la época, especialmente cuando se habla de Geometría. A esta escuela perteneció Aristóteles (384-322 a.C.), quien fue discípulo de Platón, fundador de la escuela “El Liceo”, y a quien le fue asignada la instrucción del hijo del rey Filipo II de Macedonia, Alejandro, y quien sería, a futuro, el conquistador conocido como Alejandro Magno, “el Grande”. Hacia el siglo III a.C., casi toda la actividad científica giraba en torno de Alejandría, y aparecen figuras, dentro del campo de la Matemática, como: Euclides (300 a.C.), quien no sólo sistematizó y compiló toda la Geometría elemental a través de su obra: Los Elementos, sino que también inventó el método axiomático en el que se basaría toda la Matemática. Otros fueron Aristarco, Hiparco (140 a.C.), y en nuestra era: Ptolomeo (150 d.C.), Herón, Diofanto (200 d.C.), Pappus (325 d.C.), entre los más importantes. No todos los matemáticos se identificaban con las distintas escuelas, tales los casos de Demócrito (415 a.C.), Apolonio y Arquímedes (225 a.C.). La idea de la Tierra como esfera es probablemente tan vieja como Pitágoras. Cabe preguntarse como se logró llegar a esta audaz conclusión. Pudo ser por observar que la superficie del mar no era plana, sino curva, porque lo primero que se ve cuando se acerca un barco desde lejos es el mástil y las velas; o por ser las 5 formas del sol y de la luna circulares, concluyeron que la tierra, perteneciente a la misma bóveda celeste, debía verse de la misma manera. Pero podemos suponer que esta fundamental idea fue más un acto de fe que una conclusión científica. El dogma de la perfección esférica, y sus consecuencias cosmológicas, pueden considerarse el núcleo de la ciencia pitagórica primitiva. La trigonometría, al igual que cualquier otra rama de la matemática, no fue el resultado de la labor de un solo hombre o de una sola nación. Los astrónomos babilónicos de los siglos V y IV a.C. habían acumulado una cantidad de datos astronómicos y astrológicos que iban a permitir a los matemáticos griegos construir la trigonometría gradualmente. El aporte de los griegos fue un estudio sistemático de las relaciones entre los ángulos centrales (o sus arcos correspondientes) en un círculo y las longitudes de las cuerdas que los subtienden. Los astrónomos de la época Alejandrina ya habían empezado a trabajar en problemas que apuntaban de una manera cada vez más urgente a la necesidad de establecer sistemáticamente relaciones entre los ángulos y las cuerdas. Estas relaciones les permitieron calcular, a través de las proporciones, el tamaño de la Tierra y las distancias relativas al Sol y a la Luna, a pensadores como: Eudoxo de Cnido (370 a.C.), Aristarco de Samos (280 a.C.), Eratóstenes de Cirene (240 a.C.), Hiparco de Nicea (140 a.C.), o a Ptolomeo de Alejandría (150 d.C.). Durante varios siglos los griegos se habían dedicado a estudiar las relaciones entre rectas y circunferencias y habían aplicado estas relaciones a gran cantidad de problemas astronómicos, pero de todo ello no había resultado nada que pudiera llamarse una trigonometría más o menos sistemática. Pero todo parece indicar que a mediados del siglo II a.C. fue armada la primera tabla trigonométrica por obra del astrónomo Hiparco de Nicea1, que se ganó el derecho a ser conocido por los matemáticos como “el fundador de la trigonometría” y por los griegos como “el padre de la astronomía”. No se sabe exactamente cómo construyó Hiparco su famosa tabla, ya que sus obras se han perdido, aunque es probable que sus métodos sean análogos a los utilizados por Claudio Ptolomeo (150 d.C.), otro astrónomo y observador de la naturaleza, que fue miembro de la Universidad de Alejandría y autor de una obra, que cuenta con trece libros llamada: Sintaxis matemática, conocida también como Almagesto (el más grande). Se supone que Ptolomeo, para la confección de su obra se basó en el catálogo hecho por Hiparco sobre las posiciones de las estrellas; pero no 1 Se cree que escribió un tratado en 12 libros sobre el cálculo de las cuerdas de un círculo para usarlas en sus teorías astronómicas y además se le atribuye ser el primero en dividir el círculo en 360 partes. 6 puede asegurarse lo mismo sobre si las tablas trigonométricas que aparecen en sus volúmenes fueron extraídas en gran parte de su ilustre predecesor. El Almagesto no fue la única obra hecha por Ptolomeo2 pero influyó, no sólo, en la trigonometría de toda la Antigüedad, sino también en las tablas astronómicas aparecidas hasta el siglo XII d.C. y utilizadas por Copérnico6y Kepler7.Pero estas tablas trigonométricas fueron construidas, tanto por Hiparco o por Ptolomeo, sobre las relaciones entre arcos, cuerdas y diámetros de círculos. Los griegos, al igual que los hindúes y los árabes más tarde, utilizaron las llamadas líneas trigonométricas en forma de cuerdas de arcos de círculos. A Ptolomeo le correspondió la tarea de asociarle valores numéricos, aproximaciones, a dichas cuerdas. Para ello dividió el círculo en 3600. Esta división, parece ser, que ya se utilizaba en Grecia desde la época de Hiparco y que puede estar tomada de la Astronomía, donde el zodíaco había sido dividido en doce “signos” o en 36 “decantes”: Por otro lado dividió al diámetro en 120 partes, y luego a cada parte en minutos, segundos y terceros, según el sistema sexagesimal de los babilonios. Admitía que la razón entre la circunferencia de un círculo y el diámetro era 30 8’ 30”, así: π = 3+ 8 60 + 30 2 60 , es decir, 3,14166. Cabe señalar que en la Edad Moderna se armaron otras tablas trigonométricas similares a las anteriores pero sin utilizar el método de las líneas trigonométricas. Fue en el siglo XVI, época del Renacimiento, cuando un colaborador de Copérnico, el matemático prusiano Georg Rheticus, descartó el tratamiento tradicional de la trigonometría respecto de un arco de circunferencia y se centró directamente en los lados de un triángulo rectángulo. Escribió un tratado titulado Opus palatinum de triángulis, considerado como la obra de trigonometría más elaborada de las existentes hasta entonces. Este libro constaba de dos volúmenes donde el autor introduce una innovación al definir a las razones trigonométricas en términos de razón entre los lados de un triángulo rectángulo. 2 Escribió también ocho libros de Geografía, donde introdujo el sistema de longitudes y latitudes que todavía usamos hoy como coordenadas geográficas, describió alguno métodos de proyección cartográfica y catalogó una 8000 ciudades, ríos y otros accidentes geográficos. 6 3 (1473-1543).Astrónomo polaco ideólogo del sistema heliocéntrico: el sol inmóvil en centro del universo y la Tierra y los demás planetas giran a su alrededor. 7 (1571-1630) Astrónomo alemán, partidario de la teoría heliocéntrica, rechazó la hipótesis teórica de las órbitas circulares e introdujo, mediante cálculos empíricos, su teoría sobre el movimiento elíptico de los planetas. 7 Actividades: 1. Una de las estimaciones más precisas S que se hicieron sobre el tamaño de la tierra fue de Eratóstenes. Él observó que el día del solsticio de verano a mediodía el sol alumbraba directamente en vertical el fondo de un pozo muy profundo de la localidad de Syena (S), mientras que al mismo tiempo en Alejandría (A), ciudad situada en el mismo meridiano y aproximadamente a 5000 estadios al norte de Syena, el sol proyectaba una sombra que indicaba que la distancia angular (α) del sol al cenit (Z) era de una cincuentava parte del círculo completo. Sabiendo que cada estadio es de 185 m, y que los rayos solares llegan paralelos a la tierra, ¿cuál fue el valor que obtuvo Eratóstenes al calcular el perímetro de la tierra?¿Qué diferencia existe entre la medición hecha por Eratóstenes y el valor actual? 2. Aristarco fue el primero en afirmar, 17 siglos antes que Copérnico, que la Tierra y los planetas giraban alrededor del sol. En uno de sus escritos él hizo la observación de que cuando la luna está exactamente medio llena, el ángulo entre la visual dirigida desde la tierra al centro de la luna y la distancia de la luna al sol es de ¼ de círculo. Y el ángulo formado entre la visual dirigida al centro del sol y la visual dirigida al centro de la luna es menor que un ángulo recto en un treintavo de cuadrante. Calcula el valor de la distancia sol – tierra al que había llegado Aristarcosabiendo que la distancia Luna tierra es de 340000 km. 8 o 3. Calcula la altura del árbol. 10 m 9 48 4. Un constructor debe saber cuántos x metros debe agregarle a la pared 30 posterior de una casa para que la caída del techo sea de 300. Ayúdale a 3m encontrar dicho valor. 6m 5. La diagonal de un terreno rectangular es de 5 km de longitud y el ángulo que forma la misma con uno de los lados es de 500. Calcula el perímetro y el área del terreno. 6. Dos postes, de igual altura, distan 120 m Desde un punto situado sobre la recta horizontal que une sus bases, se miden M dos ángulos como se observa en el esquema, uno de 340 y otro de 490. Calcula la altura de los postes y la distancia al punto M. 7. Los árboles más grandes del mundo se encuentran en el Parque Redwood de California. Mediante un teodolito se han tomado dos medidas de ángulos, una de 350 y la otra de 440, de uno de los árboles. Sabiendo que ambas tomas distan 35 m, encuentren la altura de dicho árbol y la distancia de la primer toma a la base del mismo. 10 BIBLIOGRAFÍA BERNAL, J. D. (1989).Historia Social de la Ciencia, I La Ciencia en la Historia. Barcelona. Ediciones Península. BOYER, Carl. (1996).Historia de la matemática. Madrid. Alianza Universidad Textos. COLLETTE, J.P. (2000).Historia de las Matemáticas I. México. Siglo Veintiuno Editores. COLLETTE, J. P. (2000). Historia de las Matemáticas II. México. Siglo Veintiuno Editores. GONZALEZ URBANEJA, P. (2001). 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