Capítulo 2: FILTROS ADAPTATIVOS

Capítulo 2: FILTROS ADAPTATIVOS
FILTROS ADAPTATIVOS
2.1.
FILTROS DE WIENER
FILTROS DE WIENER
Los filtros de Wiener son los mejores filtros lineales de mínimos cuadrados que pueden ser usan
para predicción, estimación, interpolación, filtrado de señal y ruido, etc. Para diseñarlos se
necesita tener un conocimiento previo apropiado de las propiedades estadísticas de la señal de
entrada. El problema reside en que este conocimiento generalmente no se puede obtener. En su
lugar se usan filtros adaptativos, que hacen uso de los datos de entrada para aprender los datos
estadísticos requeridos. En cualquier caso, la teoría de Wiener es importante para el presente
estudio porque los filtros adaptativos que serán empleados convergen asintóticamente (en
media) en las soluciones de Wiener.
Obsérvese el esquema de la Figura 6:
Filtro digital
Entrada fk
h*k = ?
Salida gk
Error ek
+
Respuesta deseada
dk
Figura 6: Filtro de Wiener digital
El filtro digital tiene una señal de entrada y produce una señal de salida. El filtro será un filtro de
Wiener si su respuesta impulsiva se elige para minimizar el error cuadrático medio. El error se
define como la diferencia entre la salida del filtro y la respuesta deseada:
ek
dk
gk
Cuando se trabaja con filtros de Wiener, generalmente la respuesta deseada existe sólo de
forma conceptual. Las propiedades estadísticas de la respuesta deseada y sus relaciones
12
FILTROS ADAPTATIVOS
FILTROS DE WIENER
estadísticas con la señal de entrada al filtro se asume que son conocidas por el diseñador. La
situación es bastante diferente cuando se trata con filtros adaptativos. En éstos, la respuesta
deseada existe como una señal que puede ser obtenida como entrada en tiempo real al
algoritmo adaptativo, para conseguir aprender y adaptarse. Los filtros de Wiener no aprenden.
Su diseño es fijo, basado en un primer conocimiento estadístico.
La respuesta impulsiva del filtro de Wiener se obtiene encontrando una expresión para el error
cuadrático medio y minimizándola con respecto a la respuesta impulsiva. Elevando al cuadrado
en ambas partes, se obtiene:
ek2
d k2
g k2
2d k g k
Sabiendo que:
gk
f k l hl
l 0
se puede sustituir:
ek2
d k2
hl h f k l f k
l
2
m
hl f k l d k
l
Si tomamos valor medio en ambos lados, encontramos una expresión para el error cuadrático
):
medio (MSE,
E ek2
E d k2
hl h E f k l f k
l
dd
la autocorrelación y
hl E f k l d k
l
(0)
hl h
l
siendo
2
m
ff
(l
) 2
m
hl
fd
(l )
l
la correlación cruzada de dos señales
y . Si derivamos
respecto a , que es la respuesta impulsiva del filtro, e igualamos a cero para minimizar el error:
hl*
ff
( j l)
fd
( j)
l
13
FILTROS ADAPTATIVOS
FILTROS DE WIENER
Esta es la ecuación de Wiener-Hopf, que en forma de convolución queda:
hl* *
ff
(k )
fd
(k )
Tomando transformada en ambas partes:
H * (z)
ff
( z)
fd
( z)
H * (z)
ó
(z)
ff ( z )
fd
Con la solución de Wiener se puede encontrar la función de transferencia del filtro
de la transformada
a partir
de la función de autocorrelación de la señal de entrada, de la correlación
cruzada de la señal de entrada, y de la respuesta deseada. Si se sustituye esta ecuación en la
expresión del error se obtiene el valor del mínimo MSE:
E ek2
mín
dd
hl*
(0)
fd
(l )
l
14
FILTROS ADAPTATIVOS
2.2.
FILTROS LMS ADAPTATIVOS
FILTROS LMS ADAPTATIVOS
La teoría de filtrado adaptativo es fundamental para el control inverso adaptativo. Los filtros
adaptativos se usan para modelado de plantas, modelado inverso de plantas, y para hacer
cancelaciones de ruido de la planta. Se va a tratar de presentar el filtro adaptativo como un
bloque, que tiene una señal de entrada, una de salida, y una señal de entrada especial llamada
‘el error’, que se usa en el proceso de aprendizaje. El propósito de este apartado es ofrecer una
introducción a la teoría de filtrado digital adaptativo.
El filtro adaptativo que aquí se va a considerar tiene la siguiente forma:
Z
-1
Z
-1
Z
-1
coeficientes ajustables
Salida del filtro
adaptativo yk
Error ek
Filtro adaptativo
+
Respuesta
deseada dk
Señal de entrada f(t)
Sistema dinámico desconocido
que va a ser modelado
Señal de salida d(t)
Figura 7: Modelando un sistema desconocido mediante un filtro discreto adaptativo
La Figura 7 ilustra el filtro adaptativo como sería usado en el modelado de una planta
desconocida. Este filtro es causal y tiene una respuesta impulsiva finita (FIR).
15
FILTROS ADAPTATIVOS
FILTROS LMS ADAPTATIVOS
Además de las señales ya comentadas, hay que utilizar una más: la señal deseada, para poder
generar la señal de error. La salida de la planta desconocida nos da el valor de la señal deseada.
El filtro adaptativo de la Figura 7 es un filtro digital. El sistema desconocido que va a ser
modelado es un filtro analógico. Las entradas al filtro adaptativo son, por tanto, versiones
muestreadas de las señales de entrada y salida del sistema desconocido. Los coeficientes del
filtro adaptativo se ajustan automáticamente mediante un algoritmo que minimiza el error
cuadrático medio. Cuando los coeficientes convergen y el error se hace pequeño, la respuesta
impulsiva del filtro adaptativo es muy parecida a la del sistema desconocido.
El análisis del filtro adaptativo puede ser desarrollado considerando primero el combinador lineal
adaptativo de la Figura 8, un subsistema de la Figura 7.
Coeficientes W
w1
x1k
w2
x1k
Señal de
entrada xk
Señal de
salida yk
w3
-
x1k
Error ek = dk - yk
w4
+
x1k
señal
deseada dk
Figura 8: Combinador adaptativo lineal
Se tienen las siguientes señales:
La señal de entrada, que es un conjunto de n señales. La k-ésima señal de entrada es:
Xk
x1k , x2 k ,..., xlk ,..., xnk
T
El conjunto de coeficientes o pesos se designan con el vector:
16
FILTROS ADAPTATIVOS
FILTROS LMS ADAPTATIVOS
WT
w1 , w2 ,..., wl ,..., wn
La señal de salida k-ésima será:
n
yk
WT Xk
wl xlk
l 1
Si se denota la señal deseada como
, el error en el instante k-ésimo es:
ek
dk
yk
dk
El error cuadrático medio es el valor esperado de
MSE
siendo
E ek2
E d k2
WT Xk
:
2 E d k X kT W W T E X k X kT W
la correlación cruzada entre la señal de entrada
autocorrelación de la señal de entrada
E d k2
2 P T W W T RV
y la señal deseada
, y
la
. Se puede observar que el MSE es una función
cuadrática de los coeficientes, con lo que tendrá la forma de una parábola. El proceso adaptativo
estará continuamente ajustando los coeficientes, buscando la parte más baja de la parábola.
Para obtener los coeficientes óptimos, habrá que derivar el MSE e igualarlo a cero.
El algoritmo LMS utiliza el método del
para la actualización de los coeficientes
del vector de pesos. Este algoritmo realiza los cambios de forma proporcional al gradiente, tal
como se puede ver en la siguiente ecuación:
Wk
siendo
1
Wk
k
la estimación del gradiente:
k
Nk
y Nk el ruido del gradiente.
El gradiente se define como la derivada del cuadrado del error respecto a cada uno de los
coeficientes. Si se hace esa derivada, se obtiene como conclusión que el gradiente tiene el valor:
17
FILTROS ADAPTATIVOS
FILTROS LMS ADAPTATIVOS
2ek X k
k
Sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene la ecuación que rige al algoritmo LMS:
Wk
1
Wk
2 ek X k
18
FILTROS ADAPTATIVOS
2.3.
APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
Existen muchas aplicaciones prácticas para el modelo de filtros FIR adaptativos descritos en este
capítulo. Uno de los más interesantes es la cancelación de ruido adaptativa. La idea es sustraer el
ruido de una señal ruidosa. Cuando se hace empleando técnicas de filtrado adaptativo se puede
obtener una mejora sustancial de la tasa de señal a ruido.
La separación de una señal de un ruido aditivo, incluso cuando sus respectivos espectros de
potencia se solapan, es un problema común en proceso de señal. La Figura 9 (a) muestra un
esquema típico para solucionar este problema usando filtros de Wiener o Kalman. El propósito
del filtro óptimo es pasar la señal
sin distorsión. En general esto no se puede hacer
perfectamente; incluso con el mejor de los filtros se distorsiona la señal, y parte del ruido pasa a
la señal de salida.
La Figura 9 (b) muestra otro desarrollo para este problema, usando cancelación de ruido
adaptativa. La señal primaria contiene la señal de interés, , y un ruido aditivo. Se asume que se
puede obtener un ruido de entrada de referencia,
, que está correlado con el ruido original
.
En la Figura 9 (b), el filtro adaptativo recibe la referencia de ruido, la filtra y sustrae el resultado
de la señal primaria. Desde el punto de vista del filtrado adaptativo, la señal primaria actúa como
señal deseada y la salida del sistema como error. La salida del sistema se obtiene sustrayendo el
ruido de referencia filtrado de la señal primaria.
19
FILTROS ADAPTATIVOS
APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
Filtro
óptimo
s + no
entrada
salida
(a)
entrada
primaria
s + n0
Fuente
de señal
salida del
sistema
+
n1
Fuente
de ruido
-
Filtro
adaptativo
entrada de
referencia
error e
cancelador de ruido adaptativo
(b)
Figura 9: Separación de señal y ruido: (a) clásica; (b) con filtro adaptativo
Para hacer la cancelación de ruido adaptativa se podría esperar que el filtro necesitara algún
conocimiento sobre la señal
o sobre los ruidos
,
, antes de que pudiera adaptarse para
producir la señal . Pero no hace falta. Tan sólo hay que saber que
que
está correlada con
,y
está incorrelada con ambas.
Asumiendo ésto, y que las señales son estadísticamente estacionarias y de media 0, se tiene:
e
s
n0
y
Elevando al cuadrado se obtiene:
e2
s2
n0
y
2
2s n0
Tomando el valor esperado y haciendo uso de que la señal
y
está incorrelada con
y con , se
obtiene que el valor mínimo del error es:
20
FILTROS ADAPTATIVOS
APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
E e2
mín
E s2
E n0
Cuando el filtro es ajustado de forma que
minimizado. En ese momento,
es minimizada,
y
2
mín
es minimizado,
es la mejor estimación del ruido primario
es también
. Además, cuando
es también minimizada, ya que
e s
n0
y
Ajustar o adaptar el filtro para minimizar la potencia total de salida es hacer que
sea la mejor
estimación de la señal .
La cancelación de ruido adaptativa es una técnica muy potente en proceso de señal. La primera
aplicación que tuvo fue la cancelación de la interferencia de 60 Hz (o 50 Hz) en
electrocardiogramas. Las causas de la interferencia son las inducciones magnéticas y las
corrientes desplazadas de la potencia de línea y los lazos de tierra. El filtrado convencional se ha
usado para combatir dicha interferencia, pero la mejor solución parece ser la cancelación de
ruido adaptativa.
La Figura 10 muestra la aplicación de esta cancelación a los electrocardiogramas. La señal
primaria se toma de un preamplificador de electro (ECG); la entrada de referencia de los 60 Hz
se toma de una salida de la pared. El filtro adaptativo contiene dos coeficientes variables, uno
aplicado a la entrada de referencia directamente y el otro a una versión de ésta desfasada 90º.
La salida del filtro se sustrae de la entrada primaria. Un resultado típico del experimento se
muestra en la Figura 11. La Figura 11 (a) muestra la señal primaria, un electro con una cantidad
excesiva de interferencia de 60 Hz, y la Figura 11 (b) muestra la señal de referencia de la salida
de la pared. La Figura 11 (c) es la salida del cancelador de ruido. Se llama la atención del lector
sobre la ausencia de interferencia y la claridad de los detalles una vez que el proceso adaptativo
converge.
21
FILTROS ADAPTATIVOS
APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
Figura 10: Cancelación de la interferencia de 60 Hz en electrocardiogramas
Figura 11: Resultados de la cancelación de ruido en el experimento: (a) entrada primaria, (b) entrada de
referencia, (c) salida de la cancelación de ruido
Otra aplicación útil de la cancelación de ruido adaptativa es la eliminación de interferencia del
corazón de una madre cuando se quiere hacer un electrocardiograma a un feto. La Figura 12
muestra la localización de los corazones del feto y de la madre, y el lugar de los cables de
22
FILTROS ADAPTATIVOS
APLICACIÓN PRÁCTICA DE FILTROS ADAPTATIVOS
entrada. El cable abdominal nos da la señal de entrada (conteniendo el electro del feto con la
interferencia de la madre), y el cable del pecho nos da el electro de la madre puro.
Figura 12: Cancelación del latido de la madre en el electrocardiograma del feto
La configuración del cancelador de ruido adaptativo está basada en el esquema mostrado en la
Figura 8, en el cual la señal deseada será la tomada por el electrodo del abdomen, y la señal de
entrada la tomada por el electrodo del pecho. Esta configuración constituye un cancelador de
ruido de referencia múltiple, que trabaja como un cancelador de un sólo canal. La Figura 13
muestra los resultados. El electro maternal del cable del pecho es filtrado adaptativamente y
sustraído de la señal abdominal, dejando el electro del feto totalmente puro. Esto es un
problema interesante ya que los electros del feto y de la madre tienen espectros superpuestos.
Los dos corazones son eléctricamente aislados y trabajados independientemente. La frecuencia
del segundo armónico del electro materno está cerca del armónico fundamental del ECG del
feto, por lo que las técnicas de filtrado ordinarias tendrían mucha dificultad con este problema.
Figura 13: Resultados del electrocardiograma del feto: (a) entrada de referencia (cable del pecho), (b)
entrada primaria (cable del abdomen), (c) salida del cancelador de ruido.
23