LÍMITES DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1.1 Idea de Aproximación
Sea 𝑥0 un punto fijo en la recta numérica tal como se indica
Cuando un número desconocido 𝑥 se aproxima a 𝑥0 , lo puede hacer por valores mayores o menores
que 𝑥0 .
Por la izquierda de 𝑥0
(menores que 𝑥0 )
Por la derecha de 𝑥0
(mayores que 𝑥0 )
En este caso se dice que 𝑥 se
aproxima a 𝑥0 por la izquierda, por
tanto se simboliza como:
𝑥 → 𝑥0−
Expresión que se lee: “𝑥 es menor
que 𝑥0 , pero cercano a él”
En este otro caso se dice que 𝑥 se
aproxima a 𝑥0 por la derecha, por
tanto se simboliza como:
𝑥 → 𝑥0+
Expresión que se lee: “𝑥 es mayor
que 𝑥0 , pero cercano a él”
En los siguientes ejemplos analizaremos que sucede con las imágenes 𝑓(𝑥) cuando las preimágenes 𝑥
varían.
Ejemplos
1) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, si asignamos valores a 𝑥 cercanos a 1, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)?
Solución
Por la izquierda
Por la derecha
0.90
0.95
0.98
0.99
1.01
1.02
1.05 1.10
𝒙
1
3.01 3.02 3.08 3.10
𝒇(𝒙) 2.90 2.95 2.98 2.99
Página
2
Intuitivamente podemos darnos cuenta que al aproximarse los valores de 𝑥 al valor 1, se tiene que las
imágenes 𝑓(𝑥) se aproximan al valor 3.
Esto se simboliza denotando:
“cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟑”
NOTA
Debemos tener presente que estamos aproximando, por ello no hacemos hincapié que para 𝒙 =Página
𝟏 se obtenga 𝒇(𝒙) = 𝟑.
3
2) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, si asignamos valores a 𝑥 cercanos a 2, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)?
Solución
Por la izquierda
Por la derecha
𝒙
1.7
1.8
1.9
1.99
2 2.01 2.10 2.20 2.30
𝒇(𝒙)
3) Sea la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1
𝑥−1
, si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 1, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)?
Solución
La función considerada puede simplificarse usando la diferencia de cuadrados:
𝑥 2 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1
𝑥−1
=
(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥−1
= 𝑥 + 1, por tanto se tiene que:
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 1
Por la derecha
Por la izquierda
𝒙
𝒇(𝒙)
0.90
1.90
0.95
1.95
0.98
1.98
0.99
1.99
1
1.01
2.01
1.02
2.02
1.05
2.08
1.10
2.10
“cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟐”
4) Sea la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −9
𝑥+3
𝑓(𝑥)?
Solución
Por la izquierda
𝒙
2.7
2.8
2.9
𝒇(𝒙)
, si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 3, ¿qué sucede con
2.99
3
Por la derecha
3.10 3.20 3.30
3.01
Página
4
1.2 Noción intuitiva de Límite
Para el ejemplo 1) de aproximación: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, tenemos:
“cuando 𝒙 se aproxima a 1, se tiene que 𝒇(𝒙) se aproxima a 3”,
Simbolizando:
“cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟑”
Y se escribe como:
lim 𝑓(𝑥) = 3
𝑥→1
que se lee:
“El límite de 𝑓 cuando 𝑥 se aproxima a 1, es 3”
Luego 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) nos indica:
𝑥→1
“valor límite de 𝒇(𝒙)”
Para el ejemplo 3) de aproximación: 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1
𝑥−1
, tenemos:
“cuando 𝒙 se aproxima a 1, se tiene que 𝒇(𝒙) se aproxima a 2”,
Simbolizando: “cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟐”
Y se escribe como:
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 2
𝑥→1
que se lee:
“El límite de 𝑓 cuando 𝑥 se aproxima a 1, es 2”
Observación
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒆 "𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒇(𝒙) 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 𝒔𝒆 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂 𝒂 𝒙𝟎 𝒆𝒔 𝑳"
𝒙→𝒙𝟎
0
