Notas escritas por Erick Iván Rodríguez Castro

ÁLGEBRA MODERNA
DANIEL LABARDINI FRAGOSO
TOMÓ ESTAS NOTAS: ERICK IVAN RODRÍGUEZ CASTRO
FECHA: MARTES 15 DE MARZO DEL 2016
Índice
1. Repaso
2. Clase
3. Grupos Libres
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1.
Repaso
La clase anterior demostramos el siguiente lema:
Lema 1. Si M es un subgrupo normal de Sn distinto de {1n } y n > 4, entonces An ⊆ M .
Este resultado nos dice que si consideramos una sucesión creciente de subgrupos normales de Sn comenzando con {1n } y terminado en Sn , An estaría contenido en todos los elementos de la sucesión a partir del
segundo término.
2.
Clase
Comenzamos con un lema.
Lema 2. Supongamos que n > 3. Si µ es un elemento de Sn que conmuta con todos los elementos del
conjunto {τ µτ −1 : τ ∈ Sn y τ es una transposición}, entonces µ2 = 1n o µ = 1n .
Demostración. Haremos la prueba por contapositivo. Sea µ un elemento de Sn y supongamos que µ2 es
distinto de 1n .
Entonces en la descomposición de µ como producto de ciclos disjuntos aparece al menos un ciclo de
longitud mayor que 2. Sea (ijk · · · ) uno de estos ciclos. Como n > 3, existe l elemento de n \ {i, j, k}.
Definamos τ := (kl). Tenemos que µ = (ijk · · · )f donde f un elemento de Sn .
Tenemos entonces que τ µτ −1 = (ijl · · · )f¯ donde f¯ es un elemento de Sn ya que τ intercambia a k con l
y la descomposición es en ciclos disjuntos.
Tenemos entonces que µτ µτ −1 = (ijk · · · )f (ijl · · · )f¯, por lo que µτ µτ −1 (i) = k.
Por otro lado, τ µτ −1 µ = (ijl · · · )f¯(ijk · · · )f , por lo que τ µτ −1 µ(i) = l.
Por lo tanto, µτ µτ −1 es diferente de τ µτ −1 µ.
Ahora tenemos las herramientas necesarias para demostrar que An es simple si n ≥ 5.
Proposición 3. Si n ≥ 5, entonces {1n } y An son los únicos subgrupos normales de An son los únicos
subgrupos normales de An .
Date: 21 de marzo de 2016.
Key words and phrases. Grupo, anillo, campo, teoría de Galois.
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TOMÓ ESTAS NOTAS: ERICK IVAN RODRÍGUEZ CASTRO FECHA: MARTES 15 DE MARZO DEL 2016
Demostración. Supongamos que n ≥ 5 y que An tiene al menos un subgrupo normal M distinto tanto de
{1n } como de An . Supongamos que M es un subgrupo normal maximal de An , el cual existe ya que An
es finito y su conjunto potencia, del cual cualquier subgrupo es elemento, también es finito. En particular,
tenemos que M es subconjunto propio de An , por lo que An no está contenido en M . Por el lema del repaso
tenemos que M no es un subgrupo normal de Sn .
Como M no es un subgrupo normal de Sn y Sn está generado por el conjunto de todas las transposiciones,
entonces existe una transposición τ elemento de Sn tal que τ M τ −1 es distinto de M .
Definimos X := {ρ ∈ Sn : ρM ρ−1 = M }. Tenemos que X es un subgrupo de Sn que contiene a An .
Como An es de índice 2, deducimos que X = Sn o X = An , pero X no es Sn , por lo que, X es igual a An .
Por lo tanto, An es el normalizador de M . Por lo tanto, toda transposición τ en Sn satisface que τ M τ −1
es distinto de M .
Observemos que si τ y σ son transposiciones de Sn , entonces σM σ −1 = τ M τ −1 pues M es normal en
An .
Fijemos una transposición τ en Sn , tomemos transposiciones σ1 , . . . , σl , donde l es par. Tenemos que
σ1 · · · σl (τ M τ −1 )σl−1 · · · σ1−1 = σ1 (σ2 · · · σl τ M τ −1 σl−1 · · · σ2−1 )σ1−1 .
Ahora, como M es subgrupo normal de An tenemos que
σ1 (σ2 · · · σl τ M τ −1 σl−1 · · · σ2−1 )σ1−1 = σ1 M σ1−1 = τ M τ −1 .
Por lo tanto, τ M τ −1 es un subgrupo normal de An .
De esta manera, M ∩ (τ M τ −1 ) es un subgrupo normal de An contenido en M . Tenemos entonces que
M ∩ (τ M τ −1 ) está contenido propiamente en An . Por lo tanto, An no está contenido en τ M τ −1 .
Si σ es una transposición, tenemos que
σ(M ∩ (τ M τ −1 ))σ −1 = (σM σ −1 ) ∩ (στ M τ −1 σ −1 ),
ya que al conjugar es una biyección, por lo que abre intersecciones. De esta manera tenemos que
(σM σ −1 ) ∩ (στ M τ −1 σ −1 ) = (τ M τ −1 ) ∩ M.
Como Sn está generado por las transposiciones, deducimos que M ∩ (τ M τ −1 ) es un subgrupo normal de
Sn . Un lema anterior nos permite deducir que M ∩ (τ M τ −1 ) = {1n }.
Por otro lado, M τ M τ −1 es un subgrupo normal de An , pues tanto M como τ M τ −1 son subgrupos
normales de An . Además, M τ M τ −1 contiene propiamente a M . La maximalidad de M como subgrupo
normal no trivial de An implica que M (τ M τ −1 ) = An . Entonces todo elemento de M conmuta con todo
elemento de τ M τ −1 . Así, para cualquier elemento µ de M se tiene que µ conmuta con τ µτ −1 . Esto es válido
para toda transposición τ de Sn .
El lema anterior nos dice que esto obliga a que µ2 = 1n para toda µ en M .
Entonces M es un 2−grupo y como conjugar preserva órdenes, entonces τ M τ −1 también es un 2−grupo.
Además, como los elementos de M y de τ M τ −1 conmutan, entonces An es un 2 − grupo. Entonces todo
elemento de An tiene orden 2. Por lo tanto, (123) tiene orden 2. Esto es una contradicción.
Corolario 4. Si n > 5, entonces no existe sucesión alguna (H1 , . . . , Hm ) de subgrupos de An que tenga las
siguientes propiedades simultáneamente.
1. {1n } = H0 E H1 E · · · E Hm = An ,
2. Hi ( Hi+1 para toda i ∈ {0, . . . , m − 1},
3. Cada uno de los cocientes H1 /H0 , H2 /H1 , . . . , Hm /Hm−1 son abelianos.
3.
Grupos Libres
Definición 5. Sean G un grupo y X un subconjunto de G. Decimos que X es una base de G si para todo
grupo H y toda función f : X → H existe un único homomorfismo de grupos ϕ : G → H tal que ϕ|X = f .
Definición 6. Decimos que G es libre si tiene al menos una base.
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Observación 1. No todo grupo es libre, por ejemplo Z2 no es libre.
Z es libre (X = {1} es base).
Proposición 7. Si G es libre con base X, entonces todo elemento de G puede ser escrito de manera única
como palabra en los elementos de X ∪ {e} ∪ X 0 donde X 0 = {x−1 : x ∈ X}.
Cualquier conjunto X es base de un grupo.
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México
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