EL CONCEPTO DE MODELO EN LA LOC/CA MATEMATICA por

EL
CONCEPTO
DE MODELO
EN LA LOC/CA
MATEMATICA
por
Xavier CAICEDO FERRER
INTRODUCCION
A partir de la aparicion
head,
"Principia
iniciada
de la obra de Bertrand
partiendo
y Allred N. White·
a comien zos del s ig lo; Y mas alin, de spues
Mathematica",
la obra monumental
mat em dticas
Russell
de Bourbaki.
de bases
puramente
de
que bus ca b ac er una s in te s is de las
axiomatic as.
se
ha vue Ito c asi un
lugar comtin la afirm acidn de que las matemdtic as son reducible s a pura ld gic aLa razon que p ermite [us tiji car esta afirm acion es pre ci sam ente el m etodo ax iomatico.
Una teoria matemdtica
se puede cons iderar como un sistema
de ax iom as
que afirman propie dade s y relacione s de cierto uniuers o de indiuiduos
tos".
los
pia
Los teoremas , es decir las "verdades
axiomas us ando las ley e s de inferencia
c lds ico de una teoria axiom dtic a es
de la t eor ia'", se d eriuan a partir de
que proporc iona la logica.
l a Geometria
son ll amados por conuenc ion "nlimeros
y la multiplic acidn,
aquellos
que ri gen la adicion
re lacidn
de orden, exi gi endo le que sea compatible
cumpla ciertas
considerar
propiedades
como relaciones
de complelitud.
temarias
re ale s"
tanto
teoria los
y los axiom as son
como los que rig en la
con las operaciones
Pues to que las operaciones
es claro que los axiomas
11
E I ejem-
Euc li dian a, Una te oria
axiom dt ic a s eria tamb ien la T eoria de los ruimero « reale s. En esta
indioidaos
u "obje-
hab/an
y que
se pue.
de pro·
piedades
rt
as
y rel acione s entre los indiuiduo s, Podriamos
como l a T eor ia de grupos,
mas generales
mas mo dernos como el proporcionado
p ens ar tambien
en desarrollos
0
por Kolmogorov
en teo-
axiomdtico s
a la T eori a de probobtlt:
dad.
iSignifican
reduce
las
con sider acione s ant eriore
que el trabajo matemdti co se
5
a deducir te or ema s a partir de los axiomas
de una teori a? Examinemos
esto un poco mas. a [ondo, Si el trabajo matemdtico
se redujera
a la p ura de due-
cion de t eorem as a partir de uno s axiom as dado s, las matem dti c as simplemente
no exist irian. No exi stirian por la s en cill a razon de que no babria ax iomas de
don de deducir
parte
los tales
teor em as, Los
sistemas
de axiom as tambien
de l a creac ion matem dt ic a, La maner a clds ic a de entender
e std compl et ament e equiuoc ada des de el punto de vista
modern a, Los axiom as no se de s cubren porque sean "evidentes
EI ais lar un sistema
siglos,
los axiom as
euidente s en si mism as, que por 10 tanto no ne c e s it an demos-
como "verdades
tracidn"
y los esfuerzos
Euclides
forman
de l a logic a
en si mi smo s'",
axiomd tico para la teoria de los numerus
re ale s re quirid
de mucbo s hombres g eni ale s, La grande za de l a o br a de
depen de tal vez mas del des cubrimiento
de sus postulados
geometri
del desarrollo
de las mate,
>
cos, que de la deduc cion de los teorem as .
Es un hecho, ademas,
maticas
sigue un camino contrario
que se caracteriza
algebra real
0
al que podriamos
por el metodo axiomatico.
de los numeros.
concretos,
muy ligados
tracdones
se llegaron
"numeros"
iQue
historico
a descubrir
de un conjunto de axiomas
matematico.
un ir de los esquemas
de unos numeros muy
y POT medio de sucesivas
mas generales
abs'
de las cuales
concreta •
entonces?
0
iLa
E I proceso
de teoremas
a
son esencia'
de las matematicas
mas concretos;
a partir
que ha llevado
Ambas componentes
deductivo
a resultados
12
deduccion
la labor de milenios
esos axiomas?
abstraetos
se partio
las estTucturas
prefijados,
abstraer y aislar como basicos
d eductivo;
que el hombre llego a descubrir
sensible;
eran una manifestacion
son las matematicas
les al desarrollo
Al contrario,
a la intuidon
llamar proceso
No fue a partir de los axiom as del
de la teoria de campos (cuerpos)
las propiedades
esos
que el proceso
es como
y el hallar estos
resultados,
intuidos
el de scubrir
como ciertos
parece
de las matemdt icas,
llado
al reues,
mente
los c aminos
para demostrar
historicamente
Podemos
de entes
intuitiuamente
de sde
un punta
de vista
pregunt arnos
abora
iLa
matemdt ic as
no siguen
un camino
matemdt icas?
Parece
incue s tionable
los ntimeros
inicialmente
que
es asi:
y se termina
sensibilidad,
necesita
vista,
que esta hablando.
solo
saber
Una teoria
indeterminados.
axiomatica
a esos
Un ejemplo
estas
Los
reglas
objetos.
aclarara
axiomas
establecen
etc.; pero estas
podria
de ciertas
jugar ajedrez
que e llo alterara
es UTI "indivMuo
las
0
La teoda
anteriores
niega
no dicen
con tapas
" de la teorfa.
solo
habla
que deben
como deben
de nue smatematica
de saber
de individuos,
de
que
son compfe1a-
de las relaciones
poseer;
pero estas
no
de que son
esos individuos.
que pueden
parecer
del juego
regulan
ser f as piezas.
convenientemente
del juego.
que se define
13
sobre parale-
la posibilidad
entre las piezas,
de botella
abs tract a de
comprension
son como las reglas
la esencia
ge :-
cu ando 10 con side-
un universo
no habla
interrelaciones
en ahsoluto
"eenti do"
afirmaciones
de una teorfa
reg/as
una teoria
e xigen cias intuitiuas
axiomas
propiedades
Los obje tos
habfando.
supone
sus
de las
tal ue z longitudes
de la teoria; pero estos individuos
La teoria
los individuos,
determinan
axiomatico
de las
sido interpre tados
como el axioma
para la eficaz
de que esta
el metodo
en abstracciOn.
tangibles,
adquiere
palabras,
son algo asi como los aetores
extranas.
de sus
eft l a compren s ion
de que tenga s entido
de Euc/ides,
En pocas
imaginadon
entre
vaga-
bis tori co de las
deb en haber
como la expre sidn [orm al iz ada de ciertas
A primera
tos,
al del desarrollo
re ale s , Y los axiom as de una teoria,
de la Geometria
mente
iaunque
y el aprendiz aie
compren sidn
por la imaginac ion como objetos
los niimeros
la
muy concretos
re ale s por e jemplo,
me tric as en el mundo [is ico, antes
tra
se han de s arro-
ri guro so) a la ab straccidn
similar
matemdtic as se comienz a en intuicion
matemdticos,
las
las m.atemdticas
y relacione s,
propiedades
ramos
teore mas ya
0
ser la labor a la que se da mas im portanc ia dentro
En c ambio,
a partir
definidos
resultados
Un poco
de ajedrez,
sus movimienTanto
que se
identificadas,
Un "caballo",
por sus posibilidades
sin
por ejemplo,
de movi-
miento
en el tabl ero y por sus posibilidades
otras p ie z as; y no
En principio
se
de "comer"
pue s, un "caballo"
"ser
0
de jin e por su [orm a ni por el material
c omido'
por
de que e s td b e cbo,
podrio ser cu al qui er coso.
Lo mismo pasa con
una teoria ax iomdtic a, La teoria axi omdtic a de los ndme ros re ale s, que ya he mos traido como ejemplo,
pl ir cierto
bab la simplemente
de las condiciones
de indivi duo s para que sus objetos
universo
que debe cum-
m ere z c an ser ll am ado s
ruimero s re ale s, Es mas. la teoria no dice nada sobre si en realidad
diuiduos
con esas prop ie dade s, Y en el caso de que exi s tan ni siquiera
que e so s indiuiduas
haya
existen
muchos
s eaiinicos
: es de cir, queda abierta
de individuos
sistemas
pi ez as , tan buenos
as eg ura
la posibilidad
con las propiedades
los axiom as de las ndmeros re ale s , Asi COmo hay muchos
de que
especi/icadas
tablerosy
in-
por
mucbi simas
los uno s como los OtTOSpara jugar el aje dr e z; De s er as i,
de los numeros reales
bablar de el coniunto
en singular
pue s no habria un uniuer so al cual l e conviniera
Es cierto que esta caracteristica
seria algo c ue s tionabl e,
el apelatiuo,
del metoda axi omdtico,
sino mucbos;
de de jar inde ter-
min ados los indiuiduo s, es prob ablement e la que ha dado a las m atemdtic as su
actual
potenci a, liberdndola
ll egar a ser un obstaculo
las de las geometrias
sibles
de realizarse
ciertas
teorias
teoremas
a ta creacion.
no euclidianas.
principales
dos; pues
vas propiedades,
reales.
los
las cuales
en un universo
de individuos.
y se comienzan
reales.
estos
aunque
se cargan de sentido
en realidad
"individuos"
indeterminados
podrian
de su teoria
5in embargo. existe
se
es verdad
sus relaciones,
con los /antasmales
ser mesas
0
natural
sillas,
sus
algebraicas
esten
de mucho analizar
que en
desarrollan
se
y
indeterminael desenvolvi-
y descubrir
nue-
"individuos"
de
el llamarlos
como decia
numeros
Hilbert
de
axiomatic a de la geometria.
el peligro
convierta
T ambien
una vez que
y se vuelve
como
a primera vista impo-
el hecho de que los individuos
/amiliaridad
que pue de
teorias
a manipular las propiedades
de la teoria. Despues
se adquiere
construir
parecen
10 que importa son sus propiedades,
interminable
la teoria;
y permitiendole
como la de los numeros
de orden, pierde importancia
miento
de la sujec ion al pen s ami ento intuitivo,
de que un sistema
en una especie
14
axiomatico
de discurso
vacio,
de individuos
sin contenido.
En otras p alabr as, no bas t an los axiom as de los niimero s re ale s para c omprend er
cl arament e que son los niimeros reales;
oi duos de cuyas propiedades
ne ce s it amos identi/icar
habla con objetos
se
determinados,
aquel lo s indio
es
una ne c esi-
dad de la imaginacion .
Decia
posibilidad
La logica
que a primer a vista
de determinar
el metoda axiomd ti co no tenia en cue nta
los individuos
de una teori a, Pero esto no
matemotic o t iene en cuent a est e otro aspecto
es
es
ta
asi.
de las teoria s ax iomd ti-
cas. Se le pue de dar s entido, pue s, dentro de la logi ca rnatemd tic a, a la ex ig encia de det ermin ar los indioiduos
logi cos,
sobre los cuale s habla una teoria, En terminos
el problema cons i s te en "interpretar"
para la t eoria, Un mode lo
es
un sistema
es a teoria,
0
en dar un mode lo
de objetos y rel acione s c oncre to s que
sati sf ac en una teoria axiomdti ca dada.
La interpretacion
lo gi ca de las matem at icas no
se
reduce, p ue s, al hecho
de l a de due cion, usan do re gl as de inferenci a, sino que c ons idera l a cons trucc idn
de modelos para esas teorias,
Veremos como el concepto
importancia mucbo mas profunda
que la de l a simple
(aun que no debe des pre ci arse en absoluto
es td
int eres ado en los
II
LA NOCION DE MODELO
En la enseiianza
problemas
elemental
de mode lo tiene una
s atis jac cidn imag in atiua
es ta con s e cuen c ia sobre todo si se
de la comprension
de las matematicas
de las matematicas).
se usan continuamente
delos en el sentido general que acabamos de descubrir.
Un ejemplo muy simple
seria el uso de los dedos de las manos como modelo para las propiedades
nales de los numeros naturales.
nes
de naranja para expl'car
Sin
embargo, el modelo
Otro seria el usa de pedazos
el concepto
clasico
de totlas
0
ordi-
/raccio-
de numero racional.
tanto para los numeros racionales
para los reales, sigue siendo el /isico-geometrico
15
mo-
como
que los asocia con longitudes
o con magnitudes
en sus
[is ic as en general.
cual idade s puramente
teoria
se
La efectividad
Sabemos
y demos tr adas muc bas veces
dolores
de c abe z a que este
irracionales;
cuadr ado,
"razon",
modelo
ntimeros
por ejemplo;
difiere
completamente
se
ge ometrico,
les proporciono,
Sabemos
pero que no cumplian
tambien los
c uando apare c ieron los
en la diagonal
los requisitos
de un
te orico s de s er
concepto
del conc ep to de modelo us ado en cienc ias como laFisi-
que explica
logico,
los be cb os de la re alidad
los becho s emp/ricos
y la teoria no seria modelo de
Pon gamo s por caso
real.
71
ada. Se inuiert en compl etamente
embargo,
Aclarado
ej,emplos
tratemos
de precisar
citados
los puntos
0
sible,
no son objetos
tribuir
a la comprension
pueden
intuicion
convertirse
sensible,
corresponden
no son cascos
se
de la cual
esto.
dedos de la mano,
no
axiomatica
anteriormente
la geometria
para la cual ciertos
podrian servir de modelo. En logica,
una teotia
adolecen
los term ino s,
que
el modelo
espacio-temporale
mas
sea
a un nivel
matematicas,
se
tom en como hechos
empirico
(0 viceversa).
de naranja y los ntimeros reales
regia.
16
s
una interpretacion.
el concepto
de una falla.
ya que la teoria
se
del
puede hab/{Jr de modelo independien-
Y aunque
de las teorias
en obstaculo;
al modelo
Desde
de cuatro dimen sione s
[enomenos
de modelo.
Las
naranjas,
de una regIa graduada pertenecen
matematicos.
haciendo
un
para e s a teoria;
con s tituiri a un modelo para los [enomenos
Logic amente , sin
seria una teor io matematica
de
emp iric a, Desde
serl on el mode/o
la g eome tria cu atri-dimens ional de la Re latiuidad,
[is ico, esta
un punta de vista
mundo
de modelo para una teotia matemdtic a
llama modelo a una teorl a, gener alme nt e expre s ab le en termi-
mate maticos,
pun to de vista
solo
de sus ntlmer os [ueron intuidas
que s al taban a la vista
anot ar que este
ca. En Fi sic a
te
de la
como los grie gos dieron
proporcion ,
Debemos
nos
en el modelo
ba sa
se
s en sible s; los 'indioi duos y las relaciones
han tom ado del mundo empirico,
priori dad al modelo geometrico; "las propiedades
ntimeros
de es to s modelos
elemental
aun
vuelve
nivel
los
al mundo senpueden
con-
mas avanzado
dependiente
de la
de la teoria hechos
Los
Los
0
que
ntimeros racionales
no son puntos marcados
en una
t'Como de jinir, pues,
el concepto
to uerdaderament e matemdtico?
lleuar
EI problema
lComo
evitar los mode los empiricos
[iloso ji cas> Vamos
a confusiones
duos".
de mod elo, de manera que sea un concep-
a trat ar de c onte s iar esta pre gunt a,
cons is te en que cl as e de objetos
que clase
interpretacion
0
uamos a ac e pt ar como "indivi-
de rel acione s y propiedad es concret as uamos a utilizar
mode lo de las teorias
axiomdticas,
van a ser objetos
de la Teoria
ne s de l a Teoria
de Conjuntos
a I as matemaficas;
0
Un
Ejemplo
Vamos
Las relac ion e s van a s er re lacio-
es pr ecisament e el sentido
de que 10 Teori« r/e Conjuntos
Ella es la fuente
por 10 menos para las teorias
cas corriente.s,
Proporeiona
Los indiuiduo s
,
que acab amos de decir
que se b ac e cont inuamente
cas,
de Conjuntos.
como
La re spue sta es s encilla
Los mor/e/os van a ser tomar/os r/e 10 T eoria r/e Conjuntos.
Esto
que sue len
de la afirmacidn
sirve de
fundarnento
de los model os para las teorias
que cons tituy en las dis ciplinas
los "objetos"
matemdticos
ax iomdtimatemdti-
,
de 10 Geometrja
a ex aminar dos de los axiomas
de la Geometria
Euc lidi anar e s de-
cir, bablaremo s de una teoria mas general que la Euc lidian a, Los axiomas
Ai
Por cada par de punto» paso una y solo una recta.
A2
Por un punto exterior
a una recta p as a una y solo una paralela
son:
aesa
recta.
L4 teoria estti constituida
(1)
Un universo
por :
indeterminado
(es decir el universo
(2)
Una relacion
de individuos
estti dividido
entre rectas
llamados
puntos
y rectas
en dos clases).
y puntos llamada:
pasor (una recta) por ( un
punto).
(3) Una relacion
de ser exterior
siderar como la negacion
(un punto a una recta),
de la relacion
17
pasor.
que se puede con-
(4)
Una rel ac ion entre rec tas
ll am ada:
ser paralela
(una recta)
a (otra;
rec ta) •
Si utilizamos
variables:
las variables:
L, L',
las r elaciones
etc. para re jerirnos
en la forma siguiente
"L
paso por
"U
podemos
as
x"
y las
a las "r ec tas'", y si ademds bautizamos
:
se simboliza
p arol el a a L"
:
se simboliza
L
:
7S:J x
L'
5
L
expre s arl os ax ioma s de una forma mucho mas conc isa :
A1
L
x, y, e tc ., para de s ign ar los "puntos",
Sixf.y,
OJ x
ent once s exis te una y solo una
L tal que
entonces
L'" tal que L'~x,
L
,
y
(py.
AZ
uS
existe
una y solo una
y
L.
La
teoria ha que dado com pl etament e ax ioma tiz ada, El significado
de los individuos
y de las re lac iones
de uno de los modelos
ria en si no depende
sin determinacion.
interpretadas
ya no apar ece , No era sino el significado
asoci ados a esta teoria: el plano
Las variables
x, y, L, L'
,;,Cual seria un modelo para es ta teoria,
Universo
r e ct as
s erdn ciertos
el universo
dec ir de las re lac ion e s,
tomado de la Teoria de Con junt os ?
:
s erdn a, b, c, d, cu atro elementos
arb itr ario s; Las
con a, b, c, 0 d como elementos.
conjuntos
En resumen,
es el con junto :
U '"
Relacionas:
(l)
etc. e stdn abora en libert ad de ser
el que damos a continuacion
: Los puntas
pero la teo-
y tam bien sobre relac ione s sin identidad,
de mucb as maneras , Lo mismo podemos
S.eria, por ejemplo,
geometrico;
En su forma p ura, la t eoria con s ta
de esta interpretacion.
de un par de axiom as s obre indiuiduos
L~x
I a,
b, c,
d,l a,
bl ,
Las relaciones
quiere decir
inici al
la, cl , I a, dl , 1b, el, I b, dl, Ie, dl I
se interpretan
x E L
18
asi:
uS
(2)
L
un
quiere decir
L
De esta manera, los dos ax iom as de la teoria
ne s comple tamente
01
a E!
bl
a,
un;ca
pare ja s,
a, b
Cabe
en
anotar
p ue s
zinico,
= I a I 91a,
terpretacion
salis/ace
es
decir :
por otra parte,
! b,
a
el
tomado, Por ejem plo
1
a, b
l
't p as a"
por
por
a
es
tal que
10
y por b , yes
l gualment e para
que a no pertenece
c I que "pasa':
a
I a, bl,
a la !'recta"
el Testa
Ib,
:
de
c ] y la
1 a, d I •
asi obtenida
"Geometria"
ilustra
I ..
en dos afirmacio-
un ente del univ er so, el conjunto
del uniuer so con es a prop iedad,
Tenemos,
La
se
bEl
'<paraiela"
un;ca
U
y
"recta"
conuertirian
ci ertas en el uniuer so de indiuiduos
b, y ex; ste uno y solo
a
se
diagram a adjunto,
que este
modelo
no
es
el uniuers o :
bI
I,
para
con la mi sm a inlas
rel acione s,
los axiom as de una man era
trivial.
III
A)
MODELOS PARA LOS SISTEMAS NEMER/COS
Los niimeros
naturales
A la pre gunt a ~'Que son los ntimer os naturales?,
teoria
axiomdti ca como la con stituida
se
puede
c onte s tar con una
por los ax iom as de Pe ano, No son, sin
embargo, estos
axiomas
rales.
dar un c onjunto de axiom as que ins is tan mas en las propiedades
Se puede
la iinic aforma de hacer una teoria de los nzimeros natu-
algebraic as que en las de orden (como 10 hacen los axiom as de Pe ano), 8stos
axiom as
(1)
se
podrian re s umir asi :
Hay una operac idn (adicion)
identidad,
que
el 0, ( + ) •
19
es
c onmu tatiua,
as oci atiu a y pos e e
(2) Hay otra operac ion (multip lic ac ion) con las mi smas
con un elemento
(3)
La mul tip lic acion
(4)
Si
(5)
No existe
n
=I
m,
Pero
terminado
estos
Se
k+1
de induccion
que estos
=
O.
.
axioma s son completamente
equiualente
de n, en el s ent ido de P'e ano,
s a los
a nv l ,
b ablan de un uniuers o inde-
No c oncre t an el universo
de los ndmeros
naturales.
que vendria a llenar este vacio podria ser el de Cantor:
define
una re lacidn de '<equipotenc ia'" entre conjuntos
A,.J B <;::::::::>
e s ta,
en realidad
closes
de equivo/encio.
a ser pre ci samente
es
'3 f
: A ....B,
una relacion
tal que
:
( es biyectivo
y por 10 tanto eng endra
de equivalencia
Los indiuiduos
que ne ce s it amo s para nue s tra teoria van
de equivo/encio.
e s as clases
Un niimer o natural sera una close
es
•
m--L
axiom as, como c uale s quier a otros,
de indiuiduos,
Un modelo
=I
n+1
tom a como sucesor
se
c aracteris ti c as, y
(.)
di stribu tiua con re sp e ct o a la adicidn
k tal que
Se pue de comprobar
Pe ano, si
es
entonc e s
EI principio
(6)
de
ident idad, ell,
de conjuntos
todos e quipotente s entre si:
dec ir, un ntlm ero natural sera un ente de l a forma:
[A]=ISISNAI
donde A es cual quier conjunto
Mas conc re tamente
tenemos
o=!¢l;
1=[!01];
2=[10,11];3=[10,1,21];
Que da, entonc e s el problema
de la siguiente
Si
n
de interpretar
[lnit»
etc.
las operacione s, Esto
se
b ace
forma:
=
[A]
n+m=[A]
n.m=[A]
y
m =[B ]
+ [B ]
[B ]
[A U B ] (A
[A x B ]
20
y B deben tom ars e disyuntos)
Todos
los axiomas
que en este
[inir
sistema
a partir
directamente
s,
pue den s er comprobados
axiomdtico
el orden de los ntimeros
de la adi cidn,
liz relacion
n = [ A]
es
intere s ante
Y
junto
B.
en el conjunto
indi scutible,
tas
de este
modelo
el ntimero
cole cc ione s con la misma
equiualencia,
que existe
para comprender
Cldsicamente,
reue la en la relacidn
cantidad
de e quipot encia;
El ntimero
iSon
los
indiuiduos
y
P'are c e que no hay porque
anterior
mos
se basa
que.la
de serlo,
de todos
llevaria
con el concepto
dado.
Los
iSe
falla,
pondiente
ordinal,
Un modelo
de ordinales
teristicas
no
a un conjunto.
el cardinal
de individuos
para
Como
y el ordinal
la
teoria
los
conjuntos
no son objetos
las
de
conjuntos
ntimeros
21
con struc cidn
y bien sabe-
al desarrollo
como
de Conjuntos.
riguTOso de la
de carac
el minimo ordinal
corresponde
cardin ales
naturales.
E stos
(1).
sea puramente
es un conjunto
/initos
Los
su-
a uno
inicialmente.
ique
Pues
Lo mismo
equipotentes
dadas
los requisitos?
se identifican.
los
t.«
de la Teoria
exigencias
un cardinal
a los
de un conjunto?
a su cardinal.
en el cual un ordinal
muy precis as; y se define
de C onjunto s?
los conjuntos"
el correspondiente
(Von Neumann)
obje to muy de finid o: la
tin
no es ella rr,isma un conjunto.
que cumpla
tal seria
es
algo en come)n s e
elementos
0
de todos
de todos
cumple
podra dar un modelo
conjuntista?
teoria
porque
Ese
en la Teoria
con respecto
de este modelo
un ntim ero natural
realme nte no es a si,
los conjuntos
de la clase
individuos
eso
Pero
a contradicciones
abora en
conjuntos
en la idea de "La clase
clase
cede
Por
dudarlo,
del con-
a cris taliz ar en las clas es de
s u st entado
modelo
es
inyecti"a
:
que tienen en comtin dis tin-
viene
se
10 que es 10 mismo
s a uno dado.
uerdaderamente
de este
10 que
de elementos.
se ha conue rtido
un modelo
m,(o
una [uncion
es aquello
clas e de todos los conjunt os equipotente
c'Es este
se pue de de-
s e p ue de interpre tar
que
m = [ B ] , entonc e s n"
simpl emente
E I valor
anotar
naturales
s, Aun-
de orden :
[ A ] ~ [ B ]) signi/ica
A
para es tas dos operacione
/initos
son:
COrTesun solo
sirven
o
¢
2
101
1 o.
1 o,
3
Esto
quiere decir
rc c ur siua
1I
oU 10 I
1 U 11 I
1. 21
2Ul21
que los indiuiduos
:
suc esortn)
Las operaciones
o
¢
n•
nU
I¢ I
I ¢.I ¢ II
1¢.I¢1.1 ¢ III
con str uye n por me dio de la definicion
se
In I
deben definirse
tambien de man era recurs ic a
m + 0 = m
m.O
o
m* + n = (m + n/
m • .n
m, n + n
La rel acion de orden,
prendente
en cambio,
adquiere
en este
modelo un significado
:
significa
n<m
EI orden de los ntimeros
n Em
naturales
de la Teoria de Conjuntos,
n ~ m
(1) Debe
advertirse
se ba identificado
la pertenencia
Obs erue se que si cons ideramos
•
el ord en debit.
s ignific a que
que el modelo
con lare l acion bds ic a
este
se
c onuierte
en inclusion:
n C m
"c antori ano" de los ntimeros naturales
de volvers e udlido si en lug ar de trabaj ar con clas es ex traidas de I univers
:"todos
SOT-
los conjuntos'",
g ido como el siguiente
u
=
'"If (H)
de un uniuer so de conjuntos
0
de
mil; r estrin-
:
donde
E s dec ir, la relacion
de H. Las clases
las extraemos
pue-
H=I¢.I¢I,II¢II.1Il¢IIL
de equipotencias
de equivalencia
B) Su poniendo
que ya tenemos
nos da derecho
a hablar del conjunto
se define
entre los subconjuntos
van a ser, esta
un modelo
... 1
vez,
para los ntimeros naturales,
de los ntimeros naturales.
22
finitos
uerdadero s c onjuntos ,
10 cual
porque ahora si
se trat a de un coniunt»
la cons truce ion de un
complet amente
modelo
para la teoria
Es un hecho que la introduccion
choca
con [uerte s obs tdculos,
[isicos
0
determinado
de los n timeros
los mode los
enteros ,
en c ontar objetos
[allan
c uando se quieren
tenian razdn los anti guo s cuan-
lila exis tenci a" de los negatiuos:
de la mis ma manera que el
de matemdtic as element ale s re cbaz aba los ne gatiuo s p orque "cos as
que son menos que nacla no pue den exis tir' ', La vieja
magnitudes
idea de inte rpre tar las
ne g atiuas como dis tanc ias hacia atras en un sistema
o como de udas de dinero, no son 10 suficientemente
nacion,
p as ar a
bas ados
[is ic o-geometricas
aplic ar a los ntimeros enteros; En este sentido,
es tudiante
podemos
de los ntimero s entero s a niuel intuitivo
pues
en me dir magnitudes
do recb azaban
y tinico;
de re ferencia,
conuinc ente s para la imag i-
Solo el trabajo algebrai co con la teoria de los entero s permite familia-
ri zars e con ellos y ac eptarlos ,
Pero
las pre guntas
nsimero negativo?
pr eci adas,
,Existen
los ruimeros entero s ne gatiuos?
no son pre guntas
Ni son pre guntas
carente s de sentido
dentro
de las matematicas,
Si existen los enteros
face
los axiomas.
ciones
diferente
(y por 10 tanto
Hay un conjunto
que cumplen
las
propiedades
mamos el producto carte siano
en
N
x
relacion
exigidas
<=>
de equivalencia
cia en el conjunto
N
x
N
Ahora si, procedemos
x
x + w
=
Hay un modelo que satisconjunto)
de objetos
para poder
llamaTse
y relaenteros.
naturales,
for-
determina
una particion
del modela
23
asi
y + z
N .
a la definicion
una respuesta
de los axiomas.
N •
N una relacion de equivalencia
(x, y) R (z. w)
E sta
(un verdadero
tiene
enunciado
los negativos).
me tafis ic o no
del modelo N que ya se tiene para los ntimeros
Partiendo
Se define
La pregunta
del simple
es u n
y que deb an ser des-
que por su cardc ter aparentemente
deb an ser contes tadas por las matematicas.
,Que
en clases
de equivalen-
c/e indivic/uos
1) Universo
Se toman
.
como individuos
de la teoria
nada s por la re l acion R. Es decir
conjunto
(Llamado
2)
I[n ,
m)]
cociente
)
las clases
de e quiu alencia
det erm i-
el conjunto
In,
l
mEN
NxN/R
Operaciones
Las
operacione
algebraico
s de los enteros
que deb en cump lir los axiom as de ani/lo
se interpret an de la m anera siguiente
Ac/icion
[(n,m)]
Multiplicacion
+
[ (n,
[(P,q))
m)]
[(n+p,m+q))
=
• [(p,
q)]
= [(np
(Debemos
obs eruar que estas
entre
expre sione s (n-m} y (P-q) s uponiendo
las
:
+ m q , nq + mp)]
operac ione s corre s ponden
a las operacione
s en-
que ya tuuie ran uri s enti do),
3) Ore/en
La
relacidn
de orden
de la teoria
[ ( n , m)]
Hem os
indiuiduos
clases
ahara
un proceso
de e quiualenc
la forma
s y relaciones
que merece
ia que forman
E s [dc il mo strar
el natural
este
<
m +
para los
p
naturales,
no solo sus
.
ser anali zado
modelo
en detalle , Entre
se tom an aque llas
las
que tienen
:
[ ( n, m)]
e lemento
e ntero s se in terpre ta como:
q) ] «> n + q
us ado del mode lo que teni amos
sino sus operacione
Viene
< [( p,
de los
0
en dond e
que es ta es una c aracteris
tic a que se conserva
repre sentant e de la c la se , Una c las e de este
n'
m •
Qui quiere
decir esto ?
24
para cual qu ier
tipo s e identifica
con
E s posible
demos trar que
e I conjunto
entre
de las
clas es de la [orma
indic ada :
N
= I [(n,
y el ar.tiguo
modelo
un isomorfismo
In:::
s eruan
este nuevo
La ultima
los niimeros
,Porque
re spue
Dentro
pues
no queda
modelo
(obviamente
trabajando
la te oria
(llamado
Se parte
cuando
y llamamos
naturales
s e
a
cons truy en
naturales?
nsimeros
En. term inos
de
los
Z) hemos
numeras
naturales
de modelos
enteros
naturales.
la
encontrado
naturales.
como subconjunto
Tan bueno como el primero
un subconjunto)
con el nuevo modelo
La unica di/eren-
de Z; en cambio,
no es submoclelo
Hemos
.
de la teorfa de los naturales.
La construe cion de los numeros
de los enteros
numeros
con los anteriores
para la teoria de los numeros
cia es que el primer modelo
ra seguir
para
todos los axiomas
un submoclelo,
clara,
de construir?
para la teorfa de los numeros
cumple
llamamos
se con-
•
un modele
de este
sino
las propieclacles
que las propiedades
completamente
que ac abamos
s encilla
cons truido un modelo
otro modelo
garantiza,
que y a no son los naturales,
s ta es muy
de anillo,
de cl as e s, que a su vez es
para los entero s, tiene
de esta maner a, ,'Que paso
artificial
'Teniamos
conjunto
algebraica
•
afirmacion
re sulta
establecer
n - m
[(n, m)] por nom y viceversa;
enteros
al c onjunto
Como el nuevo
Pue s el isomor[ismo
conjunto
en la forma [(n,O)])
(N) se puede
de la e structura
del mode lo cons truido
al cambiar
=
/( [ ( n , in) ])
de la e struc tur a de orden,
cle los naturales.
pue de repre sentar
para los naturales
no es solo un isomorfismo
un subconjunto
(se
de la fun cion :
....N
N
I
m
que teniamos
por medic
f:
Este
m)]
el segundo
de Z. E s clara, pues,
es
la razon pa-
y no con el in ida I (2) •
racionales
sigue
un proceso
an'lilogo a la
•
de un modelo
ya determinado
para los
25
enteros,
llamado
Z. Se forma
el
produc to carte siano
En
2 x (2 -
1 0 I)
1)
cede a la
pro
Universo
R
(z,
w)
c onstruccion
de equivalencia
<=>
xw
del modelo
de indivic/uos
:
yz
:
2 x (2 -
(es dec ir, el conjunto
2)
I)
sede jine la relacion
(x , y)
Se
2 x (2 -I 0
I 0 I) / R
de las clas es de e quiualencia
) •
Operac:iones
Ac/ic:ion:
Multiplicacion:
3)
[ (x.
y)]
[(x.
y)]
+ [( z , w) ]
[(z,
w) ]
<=>
xw
= [( xw
= [(
+ yz, yw)]
x z , yw)]
Orc/en
[ (x,
y) ]
<[
(z.
w) ]
: y
tomando
Como
en los
todos
los
ordenado
axiomas
y
de los niimeros
a este
modele
dentro
operaciones
modele
para la teoria
[(x,y)]
clases
0
que
este
mode lo cumple
es un campo (cuerpo)
,
de los numeros
racionale
s, Lo
que,
con las
de arden de Q, re s trin gid as, s irue de
enteros.
Es e submodelo
es el [orm ado
ia de laforma:
donde
se pueden
x
es mtlltiplo
de
y
re pr e s en t ar en la forma:
si ident ific amos cada clase
mo s el modelo
>
Q hallam os un subconjunto
de los numeros
POT las cl ase s de e quiualenc
1y
w
de minimalidad
Q. el c onjunto
del modelo
y la mism a relacion,
mi'smas
[(z .1)
O.
raci onale s, Es decir
ci ert a s propi edades
cumple
que antes,
T odas estas
>
c aso s anteriore s se pue de comprobar
LLamamos
mismo
< yz
nueVo para los enteros
corre s pondiente
que tiene
26
con el entero
la ventaja
z, obtene-
de ser subconjunto
del
modelo
(2) Nota.
los
n
Q.
Dentro de
'<neg atiuos'",
<
m
hay tambien un s ubc onjunto que s irue de mode lo para
Z
Los ne g atiuos
• De acuerdo con la definicion
[(n , mY] <
Pero
[(0,
hecho
ne g atiuos
[(
[(n,
de arden en el modelo,
0 ,0)]
n+ 0
pues
<m+
my] donde
tenemos que
0
0)] es precisamente el elemento neutro de la adicion en Z. Si us amos el
de que todas
n €: N podemos
C)
son las c la se s de I a forma
estas
clases
se pue den repre sentar
en la e s critur a acos tumbrada,
Ob s erues e que
[(n , mY] + [(m , n)]
[(n + m, m--n} ]
seria,
[(0 , n)]
simbdlic a: [(0 , n)] =-n y tenem os los
bacer la identificacidn
El si guient e paso
en la forma:
n aturalmente , con struir
= [(0
, 0)]
un mode lo para la teorla
de los numeros reales. E sta teoria con sta de un univers o de indiuid uo s indeterminado s, dos operacione s y una re lacion
resumir
asi
: (1) Axioma s de campo
(2) Axiomas
A)
de orden, Los axiom as se pue den
(cuerpo)
de compatibilidad
x
>
Y
B) x> Y
=>
A
a> 0
las
dos operac ione s
del ord en, es d ecir
>
=>
x + a
para
:
y + a
ax
>
ay
(3) Axioma de completitud (todo conjunto no vacio acotado superiormen-
te tiene sUfnemo
La cons truccion
sos
de los numeros
de las matematicas
logico
l.
re ale s fue uno de es os logros maravillo-
del siglo pas ado. Y habria sMo imposible
que habia alcanzado
el analisis
0
sin el rigor
s in las ideas de la teoria de conjun-
tos que hacian su aparicion en ese momento •
Modelo cantor;mo
de doses
de suces;ones .
Se toma como punto de partida un modelo
Se forma el conjunto
ros racionales
Q para los racionales
de todas las suces;ones ;nl;n;tas
•
27
•
de Cauchy de nume-
(la con structibilidad
de este
conjunto
e std g arant iz ad a p or la Teorfa
de Con-
juntos ).
Se define
una re lac ion de e quiualenc ia entre las suce s ione s de este con -
c onjunto por me dio de l a nocidn de limite:
Como es natural esta re lac ion de termin a en
de e quiualenc ia, Como en los
S
una particion
en clas e s
c aso s anteriore s, e st as c las e s de equiualencia
van a ser los indiui duos dela teoria,
Mode/o
7)
Un real
2)
una clase
es
de equiva/encia
c!e racionales
de suces;ones
:
Operac;ones
[( rI' r2,
0
[( r1, r2'
3)
S !r-J
Un;ver so de ;nd;v;duos :
;
0
0
0
)
+ [( t 1 ' 12' •
]
0
)]
•
[
0
(11 ' 12' •
•
)]
0
0)]
0
0)]
= [( r1 + 11' rz
[(
+ 12 '
rz x 12 '
rl xiI'
0
0
0
0
J1
0
•
)
]
Orden
[( r1 ' rz '
Ciertas
constante
0
0
•
clases
)]
< [(
11 ' 12'
significa
de s uce sione s tienen
que '3M
entre sus
tal que para
elementos
i ~ M,
una su ces idn
de numeros racionale s, Es decir :
[ ( r, r, r,
Se puede
0
0
0
demos trar que e stas
0
)
]
clases,
donde
r€ Q
con las mismas
28
operacione s, siroen de
modelo
para la teoria de los ntimeros rac ionale s, La ualide z del modelo s e
puede
por me dio del is omor fi smo que re s ulta al bac er la id ent ifi-
est ablecer
cacidn
[ (r.
Tenemos
.i)~
r, r•••••••
un modele para los rac ionale s que es s ubmode lo del modelo para los
reales •
EI
moJe/o
Sea
Q
de .DeJekinJ
un modelo de los rac ionale s, S e tom a la familia
Q que cumplen Ids s iguientes
A estos
propiedade s
,..<
x
=>
(1)
xEA "
(2)
A
es acotado superiormente
(3)
A
no tlene ultimo elemento
subconjuntos
de subconjunto s de
se les llama
yEA
"cortes"
y cons tituyen los indiuiduos
del
mode lo, La relacidn de orden se reduce a la inclu s ion r
sign ific a
La adicidn
se define [dcilmente
A+.B
=
I x+y
I
ACB
:
xEA,..
I
y~B
(que es un corte)
es un ·poco mds complic ada, y bace us o del orden, Entre los
del modele hay algunos que tienen «Supremo71en Q. y otros que no 10
La multiplicacidn
conjuntos
tienen,
·tuyen
La familia de subconjuntos
un moJe/o para los racionales.
con los viejos
se puede establecer
I(A)
D) Los
numeros
=
de
Q
que sf tienen
supremo
en
Q
consti-
Un isomorfis mo de los nueuos rac ionale s
por la [unc idn :
sup (A)
E
Q
complejos
La exis tenc ia de los ndmeros
complejos
[ue uno de los escollos
con que
se tropezo el pens amiento .matemdtlc o durante mucb o tiemp~. Todo el problema
29
puede
res umirs e en l a pregunta
la de Descartes
: "Existe
Cabezas
pre cis amen te por cons id erarlos irr ea-
como no exi s tente s.; de s cubrie ron que era posible
"{m aginarlos ",
suponer
que si exi st ian, y trab ajar algebraic amen te con ello s, Desde nuestro
vista
el problema
se puede e xpre s ar asi:
Los modelos
un mode/o.
me trico,
como
se ui eron p erple i as ante los p arado iic os numero s "inagina-
rio s'", y aunque los ll amaron imaginarios
les,
V·U
,I.2ue es
V.l?
se tenia
p unto de
una teoria pero no se tenia
intuitiuo s tradicion ale s, s acado s del mundo [is ico-geo-
[raca sab an aqui;
no era po s ib le en contrar
"entes"
re ale s con los
cuale s aso ci ar los ntimeros imagin arios ,
Pero es te problema no solo se pres en to bis tori camente sino que se pre senfa cont inuamente
se
a quien es, en el aprendizaje
elemental
de las matemdtic as ,
en cue ntran con los nsimeros compleio s, T oda la aritm eti ca anterior
numero s
naturales.
comprendida
enteros,
gracias
racional es y algo
a los modelos
de la de los re al e s,
basado s en contar
y medir,
de los
ha sido
modelos
que
aqui no son apl ic able s, Surge inme dia tament e, entonc es, la pre gunta : ,'E xis te
i = V -U iExiste
un ntimero i , tal que i2 = - U D'entro de Iateoria de los
niimero s re ale s esto es impo sible,
vos
0
si existe
una teoria de
deseada
: i2
dero numero;
= -
suponer
i. No sabemos
i. Podemos
1. Podemos
suponer
de sus propiedades
con stituye
una teor/a.
san de manera clara y precisa,
ros complejos
suponer
es decir que se puede
la mayor parte
este
de ben ser positi
»
nulos .
No sabemos
hacer
pues to dos los cuadrados
que es
i. Pero resulta
que
existe
tam bien que
combinar
C uando
tenemos
i se porta como un verda-
Todo
todas
los axiomas
rea/es,
esto es suponer.
las suposiciones
y tiene
Pero
se expre-
de la teoria de los nume-
•
Los axiom as para la teoria de los numeros
en la siguiente
y cumple la propiedad
con los numeros
algebraicas.
que se puede
forma:
(1) Los axiomas
algebraicos
(2) Axioma de existencia
de
de campo (cuerpo)
i :
30
complejos
se podrian resumir
2 + 1
(3 i)
=
(i
0)
1 y 0 son las identi dade s multiplicativa
(don de
y aditiva del campo, respec-
tiuame nte ),
Los
(3)
minimal
Desde
blema
complejos
un punto de vista
della
postula
tiene
deb en ser
existencia
de
gunt a por la existencia
queda
conuencido,
pidiendo
drado
es
ng
a a los re ale s y sea
i . Simplemente
ha s olu cionado
se
y
dudar de ella. dNo
Cuando el e studiante
le da esta
se
le conuenxa
se
de maiemdtic as pre-
re spues ta, l a axiomatic a, no
de l a "existencia"
toda la ra zon,
de un nsimero cuyo cUrl
le conte s ta con un axiom a que iranquilamente
se
Sabemos,
por otra parte,
que
es
ax ioma s, y que todas las propiedades
el pro-
hay un ax ioma de la teoria que
i. No tie ne, p ue s, s entido
teniendo,
de
0,
Le huele a truco, a circ ulo uic io so, y tiene
que
-I, y
existencia!.
los
campo que conte
pur ament e axiomatic
la e xi s tenci a de es a
s ent ido? Lo sigue
Estti
uri
con res pee to a los ax iomas anteriore s,
ab solut amente
de los complejos
afirma esa
corr e c to pos tular
s e pu e den derivar
de ellos .
dE s obsoleta
uinc ente,
intuitiuamente,
se
nos exhiba
se
esta pidiendo
concretos.
la teoria
pregunta
plejos
no
es
tenia
enunc iac ion de los axiomas ? Queremos
que
tangible
R
al cual identificar
dCambiarian
es
i. Lo que
a uno de sus objetos
las cosas si tal modelo
simple:
no se podria
con
si tal modelo no exis-
satisfacer,
seria
una teoria
.
Se estaba
que
i? c'Porque no
corresponda
La respuesta
realizable,
un sentido
absurda, no
Suponiendo
con-
modelo algol
no existiera?
no seria
por la posibilidad
la teoria misma.
es
es un modelo en el cual
imposi bl e, contradietoria
La
la simple
Pero, dimporta"el
preguntar
sobre la exis ten c ia de
una cos a, un objeto
no fuera posible,
tiera,
la pregunta
es
de
i
pidiendo
mucho mas profundo
se estaba
de 10 que pare cia. Al
preguntando
por la posibilidad
de
mostrar que la teoria de los numeros com-
contradtetaria.
es
un modelo
31
para la teoria
de los reales
,
se
pue de
cons truir
un modele
(1)
Universo:
(2)
Operaciones:
para
0'
y la identidad
(0,0)
(c,d)
complejos
asi:
se
universo
las propiedades
pie
el ax ioma de existencia
Utilizando
las
(O,li
= (ac - bd , ad s. bc)
multiplicativa
que
(0,1).
cumplen
nsimeros
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
[dc il c omprob ar que en e ste
=
de los
R x R
(a, b).
E.s
la te oria
es
de campo.
i,
de
aditiva
la p are]a I'
=
bautizamos
de/iniciones
de
(1,0).
las
con el nombre
la pare ja :
es
Y en general,
Para mo s trar que este
de
mode lo cumi ala
operac ione s, tenemos
pareja
:
+ (l,0)
(0,1) • (0.1)
+ (1,0)
(00 - 11,01
+ 10) + (1,0)
(-1,0)
la identidad
+
(1,0)
(-1 + 1,0+0)
(0,0)
Hemos
obt enido,
re al iz abl e s,
como
quiere
Han dejado
el conjunto
RO
=
que
los
de los complejos,
ntimero s imaginarios
son
de ser imaqin orio s ,
l(x,O)
para la te oria de los ntimeros
lle gado a construir
I
x C R
I,
con las m is mas opera-
ob uia del orden,
re ale s , T enemos,
c omprobando
un mode lo,
us ando para ello un mode lo,
cons truyo
Z
us ando
,de
conjuntos,
C
R
uno de los racionale s,
los enteros;
ria de los numeros
mente
de
1
asi
re sulta
ser
pue s, a los re ale s
el ultimo
axioma
(no re-
mucbo trab ajo pro bar la minimal idad ),
complejos,
se
la seguridad
= -
de de/in ir, y con una definicion
subconjunto
E) Hemos
modelo
i2
es decir ,
no son abs urdos;
ac abadas
un modelo
0'
abor a si,
POT otr a parte,
ciones
=
naturales.
prticticamente
para construir
Y este
modelo
a partir
32
para la teoria de los n umer os
,de
los re ale s; el c ual, a su ue z,
1> ;
Z
se
este
se construyo
uso un modelo
N se construyo
del conj/mto
vacio.
usando
un
N, de la teo-
usando
directa-
Y en la 'sucesiva
construccion
par
todos
las
de los mode los
la te ori a de conjuntos,
los mod elos
relaciones
reducibles
Veamos
sion
son conjuntos
siguiente
ala
las berramientas
concluir
entonces
de conjuntos
a partir
para los naturales,
se
de otros
4
de conjuntos
han c ons tru id o N1 ,2]
y al mis mo t ie m po
que, desde
los
N5 ' 24 ' Q3 ' R2 ' C]
a los sistemas
numericos •
clusion
IV
CARACTERISTICAS
De
los
un punta de vista
finales:
exigidas
casas
GENERALES
analiz ados
y que to das
entre
c onjunto s,
se
s e guid o
, Q] ,R],
han e ng endrado
C] en su ce-
5 mode los
para los rac ionale s, y 2 para los
3
re al e s, Modelos
modelos
...
de
on y a 1a union.
intersecci
para los enteros,
proporcionadas
que los individuos
diagr ama mue s tra clarame nte el proceso
como en el proceso
unos
se u s aron
y operac ione s son re l ac ione s y operaciones
a 10 pertenencia,
El
solo
P odemos
conjuntista,
son diferente
s, Solo
tie nen las pro pie dad e s de in-
DE LOS MODELOS
anteriormen
t e p odemos
extra er algunos
ideas
generales.
A)
Los
infinidad
modelo s posibles
para una
de mode los para c ada teoria
teoria
sun mucbo s; en re alid ad hay una
ax iom dtic a, En la construcc
33
ion de mode-
los para las teorias
la
de i somorli smo
B) La noci6n
entre
los
de se cbab a un mocle/o y
se
se
tomaba
otro, con
de que claba 10 mi smo,
guridad
se
numeric as
los modelos
mode los
es
compar ar y e s table cer re lacione s
l a que permite
de una teori a, En los sistemas
corr e spondiente
s a una teoria,
teoria
de los naturales,
son
me dio
de un a biyecci6n.
E sta
is omor jo s, uno
biyecci6n
num eric as, ya menc ion ados;
p or ejemp lo los 5 mode los
se
puede
de la
trans form ar en otro por
las op eracion es y re laciones
traduce
de un mode lo en las operac ione s y re lacione s del otro,
C) No todos
ge ometrico
los modelos
abora que
mente
estos
fortiori
modelos
(donde
es
s irue de modelo
en un mode lo infinite
complet amente
La Teor,a
R
un modelo
10 indi-
. Ademds
s abe-
de los re ale s), conueniente-
para la teoria
del plano
e uclide ano; y a
para los dos ax iomas
dis cutidos,
T enemo s pue s,
incongruentes
cle grupos
E I ejemplo
dos mod e los , uno de
dos mode los no p ue den ser isomorfos
R x R
int erpre tado,
tie nen que s er is omorjos;
tenia por 10 menos
dado inici almente
uiduo s ; ob uiamente
mos
de una teoria
para una mi sma teoria,
nos da otro ejemplo
para el c u al no t odos los mode los
son isomor jos :
Teor,a
:
Z 6 R. modelos
+
(30)
A3
(('t/x)(3y)(x+y=0)
y)
para los enteros
de grupo seria
el conjunto
°I
enumerables.
z
don de
0
se
modelos
x
(\1x)(x+
Sin embargo,
= I
=
(x
A2
ria de grupos.
U
+
Al
+
(y
+
0=
z)
x)
y los reales
sabemos
son perfectos
modelos
que Z y R no son isomorfos.
de la teoOtTo modelo
:
ha tomado
enumerables.
de
Z. Tenemos
y modelos
pues,
finitos
modelos
infinitos
para una misma
teoria
algebraica.
Todo esto nos /leva
a la idea de teorlas
34
categor;cas.
Una teoria
no
categ6rica
es aque lla en la cual todos
de
los numeros
naturales.
sus mode/os
Una teoria
son isomorfos,
no categorica
por ejemp lo : la teoria
s er ia, por eje mpla,
la de
grupo s ,
,
D) En el algebra
se trab aja continuament
tra un t eorem a "algebraico"
T.
Existe
e con los modelos.
como por ejemplo
un grupo abeliano
de
n
e s td de mo s trando un teorem a de l a teoria
l a teoria
de grupos
de l a teoria
sino
no permiten
:
elementos,
para todo natural n no se
de grupos;
puesto
cons truy endo model os de
de grupo. Esto
valencia
modulo
p iadament
e la suma •
n
que los axiom as de
deduc irlo, Se e s td b abl ando es s obre mode lo s
de grupos , E I te or em a no se prueba
axiomas
Cuando se de m ue s-
elementos
n
b acer,
se puede
deduciendolo
de los axiom as,
y comprobando
que cumplen los
por ejemp lo, tom an do c las e s de e qui-
a partir de un mode lo de los naturales,
y d efin iend o apro-
Ab ora bien, la comprobac idn de que el mo de lo cump le los ax ioma s,
vez
una demo stracion
de ciertas
propiedades
bace dentro de la Teoria de Coniuntos,
de terminado,
ria,
Y
La comprobacion
en el [ondo un teorema
es
LA CONSISTENC/A
Una teoria
de que un mode lo conjuntista
satis jac e una teo-
la Teoria
cuando
tonces
de deducir
E I problema
de 10 que seria
siguiente
"En
de Conjuntos.
DE UNA TEORIA
La inconsistencia
plo
demo str ac ion que se
es un c on junto muy
de
es consistente
la posibilidad
a la
que el modele
cion de sus axiomas.
de s !tS axiomas.
del mode/o,
puesto
es
no
0
se
pue de deducir
contradiccion
una proposicion
nin guna contradic-
de una teoria
del tipo
P
y no (P)
cltis ico de I barbero nos va a proporcionar
una teoria
inconsistente
0
contradictoria.
seria ena partir
un e je m-
La teoria
es la
:
cierto
personas
pueblo
existe
que no se afeitan
un barbero
que afeita
a si mismas".
35
exactamente
a aquellas
Obs erues e que
trat a de una uerdadera
se
uniuers o de indiuiduos
dividuo
R
(el pueblo)
de ese universo
se
bab la de cierto
relac ion es (afeitar)
(el barbero] y el re s to; Si llamamos:
a la re lac ion de afeitar podemos
terminado
te ori a en la c ual
y de c iertas
de ind iuiduas,
entre
b
in-
al barber o
pre s ent ar la teoria como un uniu ers o in de-
un e le men to con s t ante
b y una relacion
R para los
cu ale s valen los dos ax ioma s :
x R x
=>
b
A2
x
=>
b R x
I
x
(Ai
significaria:
(el
barbero) no afeita
si
x
Sabemo s que
bib,
x
afeita a x,
es decir se afei ta a si mismo, enton ce s b
a x. A2 significaria
entonc es b 10 afeit a ),
que
I
Ai
x
no se a fe ita a si mis mo ,
Esta teoria no es c on s is tente
lb.
b R bob
10 cual
: si
R b, por e I ax iom a Ai
Sib
contr adic torio, Si
es
tradicc uin por el ax ioma
A2:
bib,
p odemos concluir
t ambien lle gamos a una con-
b R b .
Ha s ido pos ible deriuar una contradicc idn de los axiom as y por 10 tanto
la teoria no es consistente,
esta
es contradic toria,
que ni ellos
la relacion
es
de afeitar
son objetos
Ii esta relacionado
ro esto significaria
En resumen:
con
para la anterior teoria,
si una teoria
una teoria
tiene
mode/os
apropiado
para demostrar
llegariamos
es contradictoria
es contradietoria
es consistente.
a la
natural de los conjun-
b, y b no esta relacionaJo
que la Teoria de Conjuntos
ni
.
b y cierta relacion
de que hay un conjunto
tos' tal que
de la Teoria de Conjuntos,
una relacion conjuntista
Si hubiera un modelo conjuntista
conclusion
b ab er un modelo para
y e l barbero no son un modelo riguro so
te oria? Obs erues e que el pueblo
para la teoria, puesto
iPodria
no puede
con
b. Pe-
!
tener modelos.
Si
De esta manera, vemos que el metodo
ta consistencia
de una teoria es exhibir
un modelo •
Las construcciones
que se hicieron para fa teoria de los numeros naturales
ban la consistencia
de esta teoria, 10 mismo para las demos teorias numeric as.
36
pru!J.
La cons is tenc ia de los dos ax iomas geometric
con el mode lo e xbibido,
inconsistente
Que l a Teoria
os tambien
quedd demo strad a con
de g rupos, por ejeml
quedo d emos tr ado con el modelo
no
10
es
absurda
0
de los entero s dado anteriorm en-
teo
Las
ute
etc .,
ja
s pregunt as : ~'Que
y-
de existir
no eran pre guntas
ne c ias , sino
cons is tenc ia de las teorias
tad as
en
ba st a que
los
juntos,
ala
Estas
y esto
Teoria
los ne gatiuos ? dPue-
que eran prdc tic amen te pre guntas
inuolucrada
s, Estas
con s truy eron modelos
se
cuale s los
del model»,
un ruimero ? ~'Existen
es
l? ~'Son uerdade ros niimer os los irrac ionale s? dQue es un punto ?
ax iomas
demo str ac ione s
de Conjuntos
en la T eoria de Conjuntos
eran demostrables
,
como propiedades
b ac en dentr o de la mis ma T'eori a de Con-
se
signi jic a que todos
pre gunt as no que d aron cont e s-
b as ados
de la teoria
por la
los problemas
de c ons is tenc ia
re dujeron
se
,
lnme diatament e surge una dud a. Si la cons is ten cia de una te ori a la podemos
[undam entar
en la Teorfa
de Conjuntos,
sistencia
de la Teoria
la Teoria
de Conjub tos ? En realidad
completa.
Pero
consistencia
Fue
ta
por este
hipotesis
segundo
del
cardinal
Partif?1ldo
por'lo
esto
jracase
de Conjuntos
no signijica
totalmente
metoda
transjinito
en la vieja.
para esta
entonces,
consistente.
Es decir,
de contradiccion.
el metodo
lograron
consiste
de
NaY
modelos,
del continuo
nueva
teoria,
al adjuntarle
la hipotesis
para demostrar
resolver
axioma.
claro
esta,
37
del continuo,
podia
adjunto
suponerse
y
a los axiomas
Luego
constru-
su construccion
que si la Teoria de Conjuntos
En 1963, p. Cohen
de que el
es consistente,
en 1940, adjunto
basandose,
del continuo
de
c (ta paten cia del continuo).
como un nuevo
la hipotesis
misma.
el problema
en la ajirmacion
es
manera
de Conjuntos
de Conjuntos
Godel,
de una
de modelos
de la Teoria
de que la Teoria
De esta manera demostro
consistente,
peligro
que
no ha s id o probada
en el caso
(el sucesor
ta1'l,to apta para construir
yo un modelo
esta
La hipotesis
de la suposicion
s uponien do 10 con-
mi sm a. dComo probar la con sis tenc i a de
que Godel y Cohen
continuo.
de la T. de C. la hipotesis
p or que e s tamos
es
corriente
seguia
era
siendo
verdadera
sin
a la T. de C. la negacion
de la bipotes is del continuo,
que
la bi pdt es is
del
Quedo cl aro de
se
es
y cons truvo tambien un mode lo, de mo str ando asi
continuo
podia
ne gars e sin
de Conjuntos.
de la teori a, La no cion de independencia,
ejemplo
concreto
es
Es·decir
aplic abl e a las te or ia s axiomdtic as en general,
de una propo sic ion con respecto
cual qui era de otr as propos ic ione s; Se puede
dencia
un
y son los
S e p ue de b ab lar de l a
a una teoria,
0
a un con junto
babl ar, entonc es, de la indepe n-
de
modelo,
me nc ionaremos
a los que
como ciertos
se
p ue de lle g ar con la no-
te orem as
de lo gic a (Godel,
Loioenbeim-Skolem)
implic an que c ual quier teoria cons is tente,
[inito
fiene
explicar
de axioma s,
la importancia
prend ente,
tiene
es
mutua de los ax iomas de una teoria •
Para indicar la cl ase de resultados
cion
esta era indepen-
de la cual e l anterior
model os la berram ient a mas titil para trabajar con ella.
independencia
de c ontr adic cio n ,
ta man era que ni la [al se dad ni la uerdad de la b ip dte s is
podian deducir dentro de la Teoria
dienfe
peligro
sin embargo,
como individuos
un mode/o
cuya
que e sto puede
con un conjunto
c ardin alid ad es enumerable.
tener en algebra,
e ncontr ar que la Teoria de Con juntos
misma,
conjuntos
tiene
que no son
enumerable.
38
Sobra
por ejem plo, Es sor
enumerable s,
>
que conun modelo