Unidad 4 Problemas explicados

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Unidad 4 Problema 12 explicado
12) En el circuito esquematizado en la
figura la placa derecha del capacitor A
y la placa izquierda del capacitor B se
pueden mover juntos de manera que
el sistema así constituido es un
capacitor de capacitancia variable.
Ambos capacitores tienen igual área
A = 1,13 cm2 y sus placas están
separadas 1 m en el capacitor A y 2
m en el capacitor B. a) Calcular la
capacitancia equivalente del sistema
cuando la separación x entre las placas
del capacitor A vale : 0.25 , 0.5 ,. 1 , 1.5 y 2 m. b) Encontrar la expresión de la capacitancia equivalente en
función de x. c)Realizar un gráfico que represente la capacitancia equivalente en función de x. d) ¿Para qué
valor de x la capacitancia es mínima? ¿Existe un valor máximo para dicha capacitancia?
En primer lugar hay que darse cuenta que los dos capacitores A y B están conectados en paralelo entre
sí y con la batería. Está bastante claro que el capacitor A está conectado a la batería. El borne positivo
de la batería a la placa derecha del capacitor A, el borne negativo de la batería a la placa izquierda.
La placa de la izquierda del capacitor B está conectada a la placa derecha del capacitor B y por lo tanto
al borne positivo de la batería. La placa derecha del capacitor B está conectada a la placa de la izquierda
del capacitor A y por lo tanto al borne negativo de la batería.
En consecuencia, ambos capacitores están en paralelo.
Además la suma de las separaciones entre las placas de ambos capacitores es igual a 3 m. Es decir si
llamamos x a la separación entre placas del capacitor A y designamos con y a la separación del
capacitor B, se cumple x+y = 3 m. A esta distancia de 2 micrones la podemos llamar D.
Entonces la capacitancia del sistema es:
C  o
A
A
 o
x
3m  x
Esta expresión se puede modificar:
AD
C  o
x( D  x)
Por lo tanto la separación entre placas del capacitor A, puede variar entre 0 y 3 m, pero no puede
tomar los valores extremos de este intervalo. Con cualquiera de las expresiones halladas se puede
calcular la capacitancia del sistema para distintos valores de x como se pide en el ítem (a). Con los
valores calculados se puede completar la siguiente tabla:
x
m
0.25
0.5
1
1.5
2
C
nF
CA
nF
CB
nF
1,5
1
0.5
1.5
0.5
1
2
Para hacer el gráfico de C = C(x) se pueden usar los valores de la tabla o transformar la fórmula en:
C
3
x3  x 
Esta función se obtuvo expresando la x en m y la capacitancia C en nF
Para hallar máximos, mínimos, asíntotas, etc.… se puede trabajar con dicha expresión.
El gráfico de esta función se obtuvo por medio del ORIGIN MICROCAL, pero también se puede lograr
realizando el análisis de la función. La variable x no puede tomar los valores 0 ni 3 m. En ambos casos se
anula el denominador (asíntotas verticales)
¿Cuál es el significado físico de este resultado matemático? Es decir, si experimentalmente se redujera x a 0, la
distancia entre las placas del capacitor A es nula, entonces ¿qué sucede? ¿La capacitancia se hace infinita? ¿Y
eso, cómo se interpreta físicamente?
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Unidad 4 Problema 14 explicado
14) Un capacitor está formado por dos placas planas paralelas 25 cm2 cada una, separadas 0,1 mm. El espacio
entre ambas está lleno de un dieléctrico de constante dieléctrica relativa 113. Se lo conecta a una fuente de
2500 V.
a) Calcular la carga del capacitor y la energía almacenada en su campo eléctrico.
b) Se desconecta la fuente y luego se retira el dieléctrico. Calcular el nuevo valor de la energía almacenada y, si
ese valor fuera distinto al calculado en (a), justificar la diferencia.
a) En primer lugar podemos calcular la capacitancia C   o  r
A
d
F
25  104 m 2
 113
 2,5 nF
m
0,1  10.3 m
Calculamos la carga Q  C V  2,5 nF  2500V  6,25 C y la energía…
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1
U  C V 2  2,5 nF  (2500 V ) 2  0,078125 J
2
2
C  8,85  1012
b) Si se desconecta la fuente de tensión cada placa del capacitor queda aislada eléctricamente. Esto
significa que en cada una de ellas la carga eléctrica ya no varía. La placa negativa mantendrá sus
6,25C y la placa positiva sus 6,25C. Si se retira el dieléctrico la capacitancia debe disminuir 113
A
veces ya que el capacitor sin dieléctrico tiene una capacitancia C `  o .
d
Como Q  C`V ` vemos que necesariamente la diferencia de potencial entre las placas del capacitor
debe aumentar 113 veces para que la carga sea la misma que en la situación inicial.
Resumiendo: Para el capacitor desconectado de la fuente la carga eléctrica se conserva. Esto quiere
decir que el producto capacitancia por diferencia de potencial se mantiene constante. Como la
capacitancia sin dieléctrico es igual a la capacitancia inicial dividida por la constante dieléctrica relativa
que vale 113, la diferencia de potencial se multiplica por 113.
Entonces V ` 2500V  113 282500V . Pero la capacitancia ha disminuido 113 veces, entonces la
energía cambia o se mantiene constante (es decir, ¿se conserva?):
1
1 2,5 nF
U ` C ` (V `) 2 
 (2500V .113) 2  0,8828125J
2
2 113
¡La energía aumenta! ¿Sólo por retirar el dieléctrico? ¿Cuál es la explicación? Uno pudría creer que
haciendo un impecable desarrollo matemático no nos debe quedar ninguna duda que el resultado es
correcto. Veamos…
Escribamos la energía almacenada en función de la carga que ya sabemos que se mantiene constante.
1 Q2
1 Q2
1 Q2
 113
 113U
Al retirar el dieléctrico U `
2 C
2 C
2 C
113
¿Es satisfactoria esta explicación? Mejor dicho: ¿es una explicación?
U
La energía almacenada aumenta 113 veces al retirar el dieléctrico. En nuestro caso, concretamente la
energía
almacenada
en
el
capacitor
se
ha
incrementado
en
una
cantidad
U  0,8828125J  0,0078125J  0,875 J
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Cuando un sistema aumenta su energía potencial se debe ha que se ha realizado trabajo sobre él. Por
ejemplo para estirar un resorte debemos aplicarle una fuerza y provocarle un desplazamiento (por lo
menos a uno de sus extremos). Esto es hacer trabajo sobre el resorte. La energía potencial del resorte
aumenta.
En el caso del capacitor hubo que realizar trabajo, aplicándole una fuerza a la lámina de dieléctrico y
desplazándolo. Por lo tanto hemos realizado trabajo sobre el sistema (el capacitor) y la energía
almacenada en su campo eléctrico ha aumentado.
Es posible que esta explicación nos conforme más que el simple cálculo matemático, ya que estamos
haciendo referencia a conocimientos anteriores.
Por ejemplo, de Física I sabemos que WF no Consv  E  U  K y en nuestro caso podemos suponer
que la lámina de dieléctrico está inicialmente en reposo y finaliza en reposo, entonces la variación de
energía cinética es nula y por lo tanto: WF no Consv  U
Otra manera de verlo es la siguiente: El primer principio de la termodinámica se puede expresar como
Q  W  U . Como hacemos trabajo sobre el sistema según la convención más utilizada1 W  0 y el
proceso es adiabático por lo que Q (calor) = 0 entonces resulta U >0.
Para pensar…
1) ¿Qué principio fundamental de la Física hemos aplicado al resolver la parte (b) del problema?
2) Cuando el capacitor estaba conectado su la d.d.p entre sus placas era de 2500 Volt. Se lo desconecta.
¿Cambia la d.d.p. ? Se retira el dieléctrico. ¡La d.d.p pasa a valer más de 200 mil Volts! ¿Cómo es esto
posible?
3) ¿Por qué la capacitancia del capacitor con dieléctrico es mayor que la capacitancia sin dieléctrico? ¿Es
A
satisfactoria la siguiente explicación? : “Porque la fórmula es C   o  r ”
d
4) Si se retirara el dieléctrico mientras el capacitor está conectado a la fuente de tensión, ¿la energía
aumenta o disminuye?
5) Si una vez que el dieléctrico se ha retirado, con el capacitor desconectado, se separan las placas
aumentado la separación entre ellas, la energía del capacitor, ¿aumenta o disminuye?
6) ¿Se podría construir un capacitor de capacitancia variable? Pensar por lo menos 2 maneras distintas de
hacerlo.
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Convención altruista: si el sistema hace trabajo sobre el medio (entorno) dicho trabajo se considera positivo, a pesar que para
el sistema eso es entregar energía.