matematicas financieras

MATEMATICAS FINANCIERAS
TIPOS DE INTERES
1.1
.- Introducción…1
1.2
.- Importancia del Interés…2
1.3
.- Definiciones…2
1.4
.- Importancia del Tiempo…2
1.5
Tasas de Interés…4
1.6
.- Clases de Interés…5
1.7
.- Ecuaciones de Valores Equivalentes…13
1.8
.- Tasas Equivalentes…14
1.9
.- Tasas Especiales…15
1.10 .- Interpolación…19
1.11 .-Formulas Financieras…22
10.1.- La tasa de interés…24
10.2. Componentes de la tasa de interés…25
11. Tasas de interés y descuento equivalente…25
11.1. Tasas equivalentes…26
12.-Interés Simple…28
13.-El Interés compuesto…32
Programa
Unidad I : Fórmulas que Involucran Intereses.
1.1 .- Introducción : Las matemáticas financieras son una de las partes más útiles e interesantes de matemáticas
aplicadas, sobre todo en los tiempos actuales, cuando todo mundo aspira a lograr con su dinero, el máximo de los
beneficios como comprador y óptimos rendimientos como inversionista.
La actual situación económica de nuestro país exige de las personas relacionadas con el medio financiero un
amplio conocimiento, así como la actualización de las operaciones, y técnicas aplicadas a éste mercado. Los
principales conceptos matemáticos y las técnicas aplicadas en la solución de operaciones que se generan en el
medio financiero; es el resultado del análisis de éste mercado, el cual requiere de hombres de negocios
ampliamente preparados en el mismo. Lo anterior demanda cada vez más un mayor número de profesionales y
asesores que sean capaces de efectuar cálculos financieros, y dar orientación adecuada a todos los que se hallan en
la necesidad de conseguir dinero prestado, o que disponen de capitales para prestarlo o ponerlo a producir en
inversiones.
1.2 .- Importancia del Interés : El uso del dinero no es gratuito, como tampoco lo es de cualquier otro activo
(una casa, un automóvil); y tampoco lo de un servicio (luz, agua, teléfono, etc.); por tanto, el usuario del dinero,1
activos o servicios, debe satisfacer los deseos de utilidad de quien las proporciona. En el paso del dinero, esta
utilidad se mide en utilidades monetarias, la cual unida al capital en uso hace que este cambie de valor del dinero
con el tiempo, y por esto se habla del valor del dinero en el tiempo. Frases como “Dinero crea dinero”, “El dinero
tiene un valor en el tiempo” son consecuencias de estos deseos de utilidad y esto genera el concepto de “interés”, el
cual podríamos definir diciendo que la compensación pagada o recibida por el uso del dinero o cualquier otro
activo.
El concepto de interés constituye la base fundamental no solo de las matemáticas financieras, sino de toda
operación financiera particular en la que intervienen valores y tiempos.
1.3 .- Definiciones :
Interés : Es el rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo, la cual depende de las condiciones
contractuales, y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestada (capital), el tiempo de duración del
préstamo (plazo) y la tasa de interés aplicada.
Tasa de Interés : Es la tasa que se aplica en una operación comercial, la cual determina el interés a pagar, se
expresa en tanto por ciento (%) y generalmente la tasa de interés se da por año.
Tiempo : Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operación financiera en estudio, la unidad de tiempo es el
año.
Periodo : Es el intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de interés (año, semestre, trimestre, bimestre, mes,
quincena, semana, diario, etc.).
Capital : Es el dinero que se presta, comúnmente se le denomina valor presente.
Monto : Es el capital formado por el capital actual más los intereses devengados en el periodo, comúnmente se le
denomina valor futuro.
Anualidad : Es el flujo de efectivo igual que se paga o se cobra cada cierto periodo.
Diagrama de Flujo de Caja : Es simplemente la representación gráfica de los flujos de caja dibujados a escala de
tiempo. El diagrama debe representar el enunciado del problema y debe incluir datos dados o los que se haya que
encontrar. El tiempo 0 (cero), se considera el tiempo presente, el tiempo 1 (uno), el final del periodo 1, y así
sucesivamente hasta el periodo n.
'Matemáticas financieras'
P = Valor Presente. A= Anualidad i % = Tasa de Interés.
2
F = Valor Futuro. N = Plazo. || = Corte.
Siendo: P y F factores de pago único y A factor de serie uniforme.
1.4 .- Importancia del Tiempo :
Es importante señalar que el año natural tiene 365 días o 366 días si es bisiesto, y que el año comercial sólo se consideran 12
meses de 30 días es decir de 360 días al año, es por ello que debemos considerar en algunas transacciones, los días
transcurridos en forma exacta, así también, la fecha de vencimiento de un documento.
Días Transcurridos: Para obtener los días transcurridos de una operación financiera, primero: se obtiene la diferencia entre el
día del mes terminal y el día del mes inicial; segundo: utilizando la tabla de tiempo exacto, obtenemos la cantidad de días
definida por la intersección entre el mes inicial y el mes terminal; y tercero: sumar los días del primero y segundo paso y así
obtener los días transcurridos.
Problema: Calcule el plazo de una transacción realizada el 4 de abril y con vencimiento el 19 de mayo del mismo año.
Primero : 19 - 4 Mayo
Conclusión: El plazo de la transacción
Segundo : Abril 30 es de 45 días.
Tercero : 15 + 30 = 45 días.
Problema: Calcule los días transcurridos entre el 3 de septiembre de un año y del 15 de abril del año siguiente.
Primero : 15 - 3 = 12 Abril
Conclusión: El plazo de la transacción
Segundo : Septiembre 212 es de 224 días.
Tercero : 212 + 12 = 224 días.
Problema: Calcular los días transcurridos entre el 18 de marzo y el 10 de Noviembre del mismo año.
Primero : 10 - 18 = -8 Noviembre
Conclusión: El plazo de la transacción
Segundo : Marzo 30 es de 237 días.
Tercero : 245 + (-8) = 237 días.
Fecha de Vencimiento: Para encontrar la fecha de vencimiento de un documento, primero: se utiliza la tabla de
tiempo exacto para localizar el mes de transacción y buscar por ese renglón el número de días más próximo o
exacto al establecido en la transacción y con ello se encuentra el mes de vencimiento del documento; segundo: se
obtiene la diferencia entre el número encontrado en la tabla y el establecido en el documento; y tercero: se resta del
día del mes establecido por el documento la diferencia obtenida en el segundo paso y así obtener la fecha de
vencimiento.
Problema: El día 13 de marzo se firmó un pagaré a 120 días. Calcular la fecha de vencimiento.
Julio
Primero: Marzo 122 " Julio : Mes de Vencimiento.
3
Segundo: 122 - 120 = 2
Tercero: 13 - 2 = 11
Conclusión: Fecha de Vencimiento: 11 de Julio del mismo año.
1.5 Tasas de Interés:
Tasa Nominal (Simple): Es la tasa que se da por año, la cual se emplea en el calculo de interés simple y se
representa con la letra r.
Tasa Compuesta (Efectiva): Es la tasa que se aplica a cada periodo de capitalización, la cual se emplea para el
calculo de interés compuesto y se representa con la letra i.
Relación de Tasa Nominal y Compuesta: Una tasa de interés nominal r compuesta n veces por año, es
equivalente a un rendimiento anual efectivo de i = [(1+r/n)n - 1] x 100 (1), donde:
i = tasa compuesta o efectiva; r = tasa nominal y n = número de periodos por año; también se puede calcular :
r = n [ (1+i)1/n - 1] x 100 (2).
Problema: Enrique Martínez quiere depositar $2800 en una cuenta de ahorros y ha reducido sus opciones a las tres
instituciones siguientes, ¿Cuál es la mejor?:
INSTITUCION
TASA DE INTERES SOBRE DEPOSITOS DE $1000 A $5000
BITAL
Tasa anual de 5.08%, compuesta mensualmente
BANORO
5.16 % Rendimiento anual efectivo
BANAMEX
4.93% Compuesta diariamente.
Solución:
Bital: i = [ ( 1 + 0.0508 )12 - 1 ] x 100 = 5.20 % Anual Efectivo.
12
r = 5.08 % Anual.
n = 12.
Banoro: i = 5.16 % Anual Efectivo.
Banamex: i = [ ( 1 + 0.0493 )365 - 1 ] x 100 = 5.05 % Anual Efectivo. 365
r = 4.93 % Anual.
n = 365.
Conclusión: El mejor rendimiento lo ofrece Bital.
Tasa Continua (Exponencial): Se define una tasa de interés continua como aquella cuyo periodo de capitalización
es lo más pequeño posible, esto quiere decir que el numero de periodos de capitalización durante el tiempo de la
operación financiera crece indefinidamente (Exponencial); la tasa efectiva y nominal se pueden calcular con las
expresiones: i = [ er - 1 ] x 100 (3) y r = [ln (1 + i)] x 100 (4) ; de acuerdo a su relación.
4
Problema:
Esteban invierte su capital al 15.6% anual compuesto continuamente, ¿Cuál es la tasa efectiva anual esperada?
Solución:
r = 15.6% Anual ;
i = [e0.156 -1] x 100 = 16.88% anual, capitalizada
Continuamente.
Problema:
¿Cuál es la tasa nominal anual necesaria para producir las siguientes tasas efectivas anuales, si se esta utilizando
capitalización continua:
22 %?.
13.75 %?.
Solución:
r = [ln (1 + i)] x 100 = [ln (1 + 0.22)] x 100 = 19.89 % Anual
a) i = 22% Anual " r = 19.89 % Anual.
r = [ln (1 + i)] x 100 = [ln (1 + 0.1375)] x 100 = 12.88 % Anual
b) i = 13.75% Anual " r = 12.88 % Anual
1.6 .- Clases de Interés:
Interés Simple: Es la cantidad generada o devengada sobre un monto de capital inicial invertido o prestado, los
intereses generados no se incorporan al capital de tal manera que éste permanece constante durante el o los
periodos de aplicación del mismo, es decir: I = Pnr (5), donde: I = Interés simple; p = Capital; n = Plazo; r = Tasa
de Interés nominal; el plazo y la tasa de interés, deben expresarse en la misma base de tiempo (La base: la unidad
de medida, el año).
Problema:
Calcular el interés de un capital de $ 10, 000 con una tasa de interés del 25% anual simple en un periodo de 15
meses.
Solución:
P = $ 10, 000
r = 25% Anual = 0.25 Anual.
n = 15 meses = 15/12 = 1.25 Años.
I = Pnr = $ 10, 000 (1.25)(0.25)
I = $ 3125.00
5
Problema:
Determinar el interés sobre un préstamo de $ 3, 500 realizado el 4 de abril y con vencimiento el 19 de mayo, si la
tasa de interés es de 18% simple anual:
Solución:
P = $ 3, 500
r = 18% Anual = 0.18 Anual.
n = 45 Días = 45/360 Años.
Primero: 19-4 = 15 Mayo.
Segundo: Abril 30.
Tercero: 30+15 = 45 días.
I = Pnr = [$ 3, 500] [45/360] [0.18]
I = $78.75 (Comercial).
Monto Simple: El monto o valor futuro se obtiene al sumar los intereses al capital, es decir: F = P+I (6);
Sustituyendo (5) en (6) , obtenemos que: F = P + Pnr = P (1 + nr) (7) ; donde: F = Monto Simple; P = Capital; n =
Plazo; r = Tasa Nominal; ( 1+nr) = Factor de crecimiento, siendo P y F factores de pago único.
Problema: Calcular el monto de un capital de $ 150, 000, con una tasa de interés de 25% simple anual en un
tiempo de 9 meses.
Solución:
P = $ 150, 000
r = 25% Anual
n = 9 meses = 9/12 años
F = P(1+nr) = 150, 000 [1+(9/12)(0.25)]
F = $ 178, 125.00
Problema: Una empresa firma un pagaré para liquidarlo en un tiempo de 18 meses por la cantidad de $500, 000,
con una tasa de interés de 36% anual simple, ¿Cuál será el capital inicial que recibió al firmar el pagaré?
Solución:
F = $500, 000
n = 18 meses = 18/12 Años.
r = 36% Anual = 0.36 Anual.
F = P(1+nr) " P = F
1 + nr
6
P = 500, 000
1 + (18/12)(0.36) P = $ 324, 675.32
Problema : ¿Cuál será la tasa de interés que resulta de recibir un préstamo por la cantidad de $ 370, 000
pagando un monto de $410, 000 en un plazo de 9 meses?
Solución:
P = $ 370, 000
F = $410, 000
n = 9 Meses = 9/12 Años
F = P (1+nr)
F = 1 + nr
P
F - 1 = nr
P
r = (F/P) - 1 = (410, 000 / 370, 000) - 1 = 0.1441
n 9/12
r = 0.1441 x 100 = 14.41% Anual.
Problema : Calcular el tiempo en que un capital de $ 80, 000 se convierte en un monto de $ 160, 000,
aplicando una tasa de interés de 25% Anual simple.
Solución:
P = $ 80, 000
F = $ 160, 000
r = 25% Anual = 0.25 Anual
F = P (1+nr)
F = 1 + nr
P
F - 1 = nr
P
n =(160, 000/ 80, 000) - 1 = 4
n = 4 Años.
7
Problema:
Un comerciante adquiere un lote de mercancías con valor de $3, 500 que acuerda liquidar haciendo un pago
inmediato por $1, 500 y un pago final 4 meses después, acepta pagar 60% de interés simple sobre el saldo.
¿Cuándo deberá dentro de 4 meses?
Solución:
P = $ 3, 500 - $ 1, 500 = $ 2000 (Saldo)
r = 60% Anual = 0.60 Anual.
n = 4 meses = 4/12 Años.
F = P [ 1 + nr ]
F = $ 2, 000 [ 1+(4/12)(0.60)]
F = $2, 400.00
Interés Compuesto: Para la aplicación de interés compuesto el periodo de aplicación de interés se subdivide en
periodos de composición, la cantidad generada o devengada durante cada uno de estos se agregará al capital
existente al inicial del mismo y se convertirá en el capital inicial del periodo de composición siguiente. En esta
forma los intereses devengados en cada periodo de composición pasan a formar parte del capital por lo tanto de
generarán intereses sobre intereses en el periodo de la inversión.
Monto Compuesto: El valor futuro de obtiene por la capitalización de intereses el cual es el proceso por el que el
interés generado, pasa a formar parte del capital, incrementando con ello el capital inicial. El concepto de
capitalización, por lo tanto, lleva implícito el manejo de interés compuesto, es decir, F = P (1+i)n (8) ó en forma
estándar : F = P (F/P i% n) (9) ;donde: F = Valor Futuro (Monto); P = Valor Presente (Capital); i% = Tasa de
Interés (Compuesta); n = Plazo; (1+i)n ó (F/P i% n): son factores de crecimiento.
Valor Presente (Capital): Es la cantidad que se debe invertir ahora para producir el valor futuro, el cual se puede
calcular a partir de la formula (8); es decir: P = F/ (1+i)n (10) ó en forma estándar: P = F (P/F, i%, n) (11) ;donde:
P = Valor Presente ; F = Valor Futuro; i% = Tasa de Interés (Compuesta); n = Plazo; (1+i)-n ó (P/F, i%, n): son
factores de crecimiento, el plazo y la tasa de interés, deben expresarse en la misma base de tiempo. (La base: la
unidad de medida es el periodo de capitalización).
Monto Continuo: Cuando se utiliza interés continuo, el valor futuro y valor presente se obtienen con las
expresiones: F = Per n (12) y P = Fe-r n (13); donde: F = Valor Futuro Continuo; r = Tasa de Interés Nominal y n =
Plazo.
Problema : Calcular el valor futuro a interés compuesto de 8 años de un capital de $6000 a la tasa de 10% Anual
capitalizado semestralmente.
Solución:
P = $6, 000
i = 10% Anual cap/sem " is = 10%/2 = 5% Semestral.
N = 8 años"n = 8 x2=16 sem.
F = P(F/p, i %, n) = 6000 (F/p, 5%, 16)
F= 6000 (2.1829) = $ 13097.40
8
F = $13, 097.40
Problema : Encontrar la tasa de interés con capitalización trimestral, si va capital de duplica en dos años.
Solución:
Capital = P
Monto = 2P
n=2 años "n=2x4=8 trim.
F = P (1+i)n
2P = P (1+i)8
2P = (1+i)8
P
2 = (1+i)8
8"2 = 8"(1+i)8
i = 0.0905 " It = 9.05% Trim.
i = 9.05 % x 4 = 36.20% Anual.
i = 36.20 % Anual Cap/Trim.
Problema: Si se invierten $3, 500 ahora esperando obtener $5, 000 en una fecha posterior, ¿Cuándo deberá
recibirse el dinero al fin de ganar al menos el 8% Anual de interés?
Solución:
P = $3, 500
F = $ 5, 000
i = 8% Anual= 0.08 Anual
F = P(1+i)n
5000 = 3500 (1+0.08)n
5000/3500 =(1.08)n
1.428571 = (1.08)n
log 1.428571= log (1.08)n
log An = n log A
log 1.428571 = n log (1.08)
9
n = 4.63 Años.
Problema: Un inversionista tiene 3 posibilidades de invertir su dinero, ¿Cuál de las tres opciones siguientes debe
elegir?
28.5% Anual capitalizada mensualmente.
32% Simple Anual.
30% Anual capitalizada semestralmente.
Solución:
a) Capital = P
i = 28.5% Anual Cap/Sem.
im=28.5%/12=2.375% Mensual.
n = 1 Año = 12 meses.
F = P (1+i)n = P(1+0.02375)12
F=1.325339P
b) Capital = P
r = 32 % Anual
n = 1 Año
F = P(1+nr) = P [1+(1)(0.32)]
F = 1.32 P
c) Capital = P
i = 30% Anual Cap/Sem.
is = 30/2 = 15% Sem.
n = 1 Año = 2 Semestres
F = P (1+i)n = P(1+0.15)2
F=1.3225P
Conclusión: La mejor opción de inversión
es a la tasa del 28.5% anual cap/mes.
Problema: ¿Es más productivo invertir al 42% simple Anual que al 40% Anual capitalizado semestralmente?
Falso o Verdadero.
10
Solución:
Simple Anual
Capital = P
r = 42% Anual= 0.42
n = 1 Año.
Capitalizado
Capital = P
i = 40% Anual Cap/Sem
" is= 20% Sem = 0.20
n = 1 Año = 2 Semestres
F = P(1+nr)n = P [1+(1)(0.42)]2
F = 1.42P
F = P (1+i)n = P(1+0.20)2
F=1.44P
Conclusión: Falso.
Problema: ¿Cuánto dinero hoy equivaldrá $5, 000 en 6 años, a una tasa de interés del 7% Anual?
Solución:
F = $5, 000
n = 6 Años.
i = 7% Anual
P = F (P/F, i%, n)
P = 5000 (P/F, 7%, 6)
P = 5000(0.6663)
P = $ 3331.50
Problema: ¿Cuanto debe depositarse en un banco si se desea tener un monto de $ 10, 000 dentro de 3 años a una
tasa de 20% Anual capitalizada semestralmente?
Solución:
F = $10, 000
11
n = 3 Años.
i = 20% Anual Cap/ Sem
" is= 10% Sem.
P = F (P/F, i%, n)
P = 10, 000 (P/F, 10%, 6)
P = 10, 000 (0.5645)
P = $5, 645.00
Problema: Una persona deposita hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga un
interés del 27% anual capitalizado continuamente. Si el saldo a favor del inversionista es de $ 855, 000
dentro de 3 años. Hallar el valor del depósito.
Solución:
F = $ 855, 000
r = 27% Anual Cap/ Sem
n = 3 Años.
P = F e-r n = 855, 000 e - (0.27) (3)
P = $380, 353.65
Problema: ¿Al cabo de cuanto tiempo una inversión de $420, 000 se convierte en $1' 465, 944.00, si el
rendimiento del dinero es del 25% Nominal capitalizable continuamente?
Solución:
P = $420, 000
F = 1' 465, 944
r = 25% Anual Cap/Cont.
F = P er n
1' 465, 944 = 420, 000 e 0.25 n
1' 465, 944 / 420, 000= e 0.25 n
3.4903429 = e 0.25 n
ln 3.4903429 = ln e 0.25 n
ln 3.4903429 = 0.25 n ln e
Si ln e = 1.0
12
ln 3.4903429 = 0.25 n
n = 1.25/ 0.25
n=5Años.
1.7 .- Ecuaciones de Valores Equivalentes: Un problema básico en las operaciones financieras es el de las
inversiones equivalentes, es decir que, en valor y tiempo, produzcan el mismo resultado económico, esto se expresa
en ecuaciones de valores equivalentes.
Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero, un valor diferente. Usted no
debe olvidar que solo se pueden sumar, restar o igualar dineros ubicados en una misma fecha. Estas ecuaciones son
las que se forman igualando, en una fecha focal o de comparación las sumas e los valores en fecha escogida de dos
conjuntos diferentes de obligaciones.
Problema: Una persona debe $10, 000 pagaderos dentro de 2 años y $20, 000 a 5 años de plazo. Pacta con su
acreedor efectuar un pago único al final de 3 años a la tasa del 8% anual, capitalizado semestralmente, calcular el
valor del pago único.
Solución:
P = $10, 000
n = 2 Sem.
F = $ 20, 000
n = 4 Sem.
is = 4% Sem
x = 10, 000( F/P, 4%, 2) + 20, 000 (P/F, 4%, 4)
13
x = 10, 000(1.0816) + 20, 000(0.8548).
x = $27912.00
1.8 .- Tasas Equivalentes: Se dice que dos tasas son equivalentes, si producen el mismo rendimiento efectivo al
final del periodo, con diferentes periodos de capitalización, es decir: F1 = F2.
Problema: ¿Qué tasa anual capitalizada mensualmente es equivalente al 25% Anual Capitalizada trimestralmente?
Solución:
Capital = P
n = 1 Año.
i = ? Cap/ Mes
im =i%/12; n = 12 meses
i = 25% Anual Cap/ trim
i t = 6.25% Trim; n=4 trim.
n = 1 Años
F1 = P (1+ i/12)12
F2 = P(1+ 25%/4)4= P(1.0625)4
F1 = F2 ; P(1+i/12)12 =P(1.0625)4
" i = 24.5% Anual Cap/Sem
Problema: ¿Qué tasa capitalizada mensualmente es equivalente al 50% Anual con capitalización semestral?
Solución:
Capital = P
n = 1 Año
i = ? Cap/Sem
im = i%/12
n=12 meses
i = 50% Anual Cap/Sem
is = 25% Semestral.
n= 2 semestres.
F1= P(1+i%/12)12
14
F2= P(1+50%/2)2= P(1.25)2
F1=F2
P(1+i%/12)12 = P (1.25)2
i = 45.47% Anual Cap/Sem
1.9 .- Tasas Especiales:
Tasa Inflacionaria: La inflación es un proceso sostenido de elevación del nivel general de precios en una
economía, tiene como consecuencia la disminución del valor del dinero. En México la inflación se mide a partir de
los incrementos en el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), publicado quincenalmente por el banco de
México, y se expresa en forma porcentual.
La inflación puede ser medida desde diferentes puntos de vista, dependiendo de las necesidades del analista, de tal
manera que se han desarrollado varios conceptos para el manejo de la inflación:
Inflación Acumulada.
Inflación Remanente.
Inflación Anual (Según Banxico).
Inflación Promedio.
Inflación Acumulada: La inflación acumulada representa la inflación de dos o más periodos consecutivos, es
decir: ifACUM = [(1+if1)(1+ if2) ... (1+ ifn) - 1] x 100 (14);donde: if ACUM : Inflación Acumulada, ifi : Inflación
de cada periodo i (i=1, 2, 3, ... n).
Problema: Determinar la inflación de un año, si las inflaciones trimestrales del mismo fueron ls siguientes: 15%,
12%, 10% y 8%.
Solución:
if1= 15 % =0.15
if2= 12 % =0.12
if3= 10 % =0.10
if4= 8 % =0.08
if ACUM = [(1+0.15)(1+0.12)(1+0.10)(1+0.08) -1] x100
if ACUM = 53.01% Anual.
Inflación Remanente: Es la máxima inflación que puede ocurrir para que no sea traspasado un límite
predeterminado, considerando los niveles de inflación que se han registrado, es decir:
if REM = [(1+if1) - 1] x 100 (15); donde:
1 + if0
if REM = Tasa de inflación remanente; if i = Inflación que se tiene como limite u objetivo; if 0 = Inflación ya
registrada.
15
Problema: Se estima una inflación anual del 72%, si al momento se ha incurrido en una inflación semestral de
40%. ¿Cuál es la inflación remanente para el segundo semestre?
Solución:
if 0 = 40% = 0.40
if 1 = 72% = 0.72
if REM = [ (1+0.72) - 1] x 100 = 22.85%
(1 + 0.40)
if REM = 22.85% para el próximo semestre.
Inflación Anual (Banxico): Es la tasa a acumularse en el año si tomamos como base la inflación registrada en un
periodo (Es necesario suponer que el mismo nivel de inflación se registra en todos los periodos subsecuentes), su
utilización es útil, por lo tanto, para la realización de pronósticos, es decir:
if ANUAL= [(1+if)n - 1] x 100 (16); donde:
if ANUAL: Tasa de Inflación Anual; if: inflación registrada en el periodo en cuestión; n: N° de periodos iguales
contenidos en un año.
Problema: Si la inflación en un mes fue de 5%, para saber la inflación anual se supondrá que cada mes durante los
siguientes 11 meses se registrará una inflación del 5%.
Solución:
if = 5% Mensual.
n = 12 meses.
if ANUAL= [(1+0.05)12 - 1] x 100 = 79.59%
if ANUAL= 79.59%.
Inflación Promedio: La inflación promedio se obtiene a partir de una inflación acumulada y representa la
inflación igual para cada uno de los periodos contenidos en el periodo analizado, es decir:
if PROM= [(1+if ACUM)1/n - 1] x 100 (17); Donde:
if PROM = Tasa de inflación promedio por periodo; if ACUM = Inflación acumulada; n = N° de periodos
contenidos en el periodo analizado.
Problema: Determine la inflación promedio anual si en un periodo de 5 años, la inflación acumulada fue de 400%.
Solución:
if ACUM = 400% = 4
n = 15 Años.
if PROM= [(1+4)1/5 - 1] x 100 = 37.97%
if PROM=37.97 %
16
Tasa de Devaluación: Es la medida de la perdida del valor dee la unidad monetaria nacional frente a otra moneda
extranjera. En nuestro caso, la moneda extranjera frente a la cual tiene mayor aplicación éste concepto es el dólar
de los E. E. U. U. Esta tasa se determina tomando los cambios de dolar por pesos mexicanos en dos fechas
diferentes, es decir: id = [(TCn/ TCn) - 1] x 100 (18); donde id= tasa de devaluación; TCn = Tipo de Cambio en el
tiempo n y TCD= Tipo de cambio en el tiempo D.
Problema: Si el 1° de enero de un año un dólar varía $9.45 y el 31 se diciembre del mismo año el cambio estaba
en $10. ¿Cuál es la tasa de devaluación de ese año?
Solución:
Tcn = $10
TcD = $9.45
id = [(10/ 9.45) - 1] x 100 = 5.82%
id = 5.82% Anual.
Tasa Real: El concepto de tasa real ha cobrado cada vez mayor importancia en razón de que el entorno en el que
se ha venido desarrollando el sistema financiero mexicano ha marcado la necesidad de deslindar de los
rendimientos la perdida del poder adquisitivo. En este contexto, han aparecido una serie de instrumentos de la
inversión cotizadas en tasa real, en los que el rendimiento pactado al inversionista se mide en forma de “inflación
más tanto”. El caso más destacado son los ajusta bonos.
La tasa de interés nominal son las que se utilizan generalmente para cotizar los diferentes instrumentos en mercado
de dinero. Una tasa de interés nominal mide la variación de un monto de dinero durante un periodo determinado de
tiempo, pero sin hacer referencia al cambio real en el poder adquisitivo de ese monto de dinero, por lo tanto,
incrementos en esta tasa de interés incluyen tanto incrementos en precios como incrementos reales de la misma. Es
decir:
iR = [(1+r) - 1 ] x 100 (19); donde:
1+if
IR = Tasa de interés real; r = tasa de Interés nominal; if = tasa de inflación.
Problema: Determine la tasa real de una inversión con rendimiento de 76% Anual, existiendo una inflación del
60%.
Solución:
r = 76% anual = 0.76
if = 60% = 0.60
iR = [(1+0.76) - 1 ] x 100
1+0.60
iR = 10% Anual.
Problema: Determine la tasa nominal de un préstamo si se pactó una tasa real del 20% anual y la inflación que se
espera es de 40% Anual.
Solución:
17
iR = 20% = 0.20
if = 40% = 0.40
iR = [(1+r) - 1 ] x 100
1+if
0.20 = [( 1 + r ) - 1 ]
1+0.40
(1.20)(1.40)= 1+r
r = 68% Anual.
Tasa Real de Crédito: Es aquella que tiene relación con la tasa de devaluación y la tasa comercial de crédito en
dólares. Es decir: iRC = [id + ic + (id)(ic)] x 100 (20); donde:
iRC = Tasa Real de Crédito; id = Tasa de devaluación; ic = Tasa comercial de crédito en dólares.
Problema: Hoy obtenemos un crédito por valor de 5000 dólares a un año. El cambio de hoy es de $9.40
y se prevé que dentro de un año el cambio será de $10.25. si la tasa de interés e del 12% anual,
determinar el verdadero costo de crédito.
Solución:
Id = [(Tcn/Tco)-1]x100
Id = [(10.25/9.4)-1]x100
IC = 12% Anual = 0.12
IRC = [0.0904+0.12+(0.0904)(0.12)]x100
IRC = 22.08% Anual.
Tasa de Oportunidad: Por lo general, no todas las personas tienen las mismas oportunidades en la vida y en un
caso específico es el que hace referencia a las inversiones que pueden hacer las personas o entidades. En este
sentido, cada persona puede tener diferentes oportunidades de realizar sus inversiones. Por ejemplo, una
determinada persona puede tener un acceso a las siguientes tasas en el mercado: 25% Anual, 28% Anual, 33%
Anual y hasta un 35% Anual, sin incurrir en mayores riesgos o gastos adicionales. Dentro de esta gama de
oportunidades que tiene la persona, a la mayor tasa se le conoce generalmente ”Tasa de Oportunidad”, que en
nuestro caso es del 35% Anual; a la menor, en este caso el 25%, se le conoce con el nombre de “Tasa mínima
atractiva del rendimiento (TMAR)”. Como puede deducirse, la tasa de oportunidad es una tasa netamente personal
o individual, depende exclusivamente de la persona o entidad inversionista y no del flujo de caja de la inversión
como si sucede con la llamada “Tasa Interna de Rendimiento (TIR)”. Cuando se van a evaluar alternativas de
inversión, la tasa de descuento que se utiliza es precisamente la tasa de oportunidad del inversionista, porque esto
quiere decir que es la tasa de interés que deja de recibir por hacer la inversión en estudio.
El sentido financiero de descontar el flujo de caja de un proyecto con la tasa de oportunidad es el cobrarle al
proyecto o inversión la tasa que el inversionista se priva de devengar en otras actividades por hacer la inversión en
el proyecto que esta evaluando.
1.10 .- Interpolación: Algunas veces es necesario localizar el valor de un factor para una tasa de interés i ó un
plazo n que no aparecen en las tablas de factores de interés. Cuando esto ocurre, es necesario interpolar entre los
valores tabulados o ambos lados del valor deseado que no figura. El primer paso en la interpolación lineal es18
ordenar los valores conocidos y los desconocidos como se muestra en la tabla y después se establece la ecuación
proporcional y se resuelve para c.
Tabla:
Valor tabulado Valor N° 1
b a Valor deseado (i ó n) Valor no listado (x) c
Valor tabulado Valor N° 2 d
Donde a, b, c y d representan diferencias no negativas que figuran en las tablas de valores de interés, es decir: C =
ad/b (21); entonces el valor no listado x se obtiene con las expresiones:
x = Valor N° 1 + C (22) (Cuando el valor N° 2 > Valor N° 1)
x = Valor N° 1 - C (23) (Cuando el valor N° 2 < Valor N° 1)
Problema: Calcula el valor presente necesario para obtener un monto de $6000 en un plazo de 9 años a
una tasa de interés de 7.7% Anual.
Solución:
F = $6000
i = 7.7% Anual
n = 9 años.
P = F[(P/F,I%,n) = 6000[(P/F,7.7%,9) = 6000(0.54138)
" P = $3248.28
i% P/F
7% 0.5439 x = Valor N°1 - c
b a 7.7% x c x=0.5439-.00252=0.54138
8% 0.5403 d " (P/F,7.7%,9)=0.54138
a = 7.7 - 7 = 0.7
b = 8 - 7= 1.0
d = 0.5439-0.5403=0.0036
c = ad/b = [(0.7)(0.0036)]/1.0
c = 0.00252
Valor N° 2 < Valor N° 1
Como evitarlo:
19
F = $6000
i = 7.7% Anual = 0.077
n = 9 años
P = F[1+i)-n = 6000((1+0.077)-9 = 6000(1.077)-9
P = $3077.58
Problema: Si una persona deposita $1000 hoy, $3000 dentro de 4 años y $1500 dentro de 6 años a una tasa de
interés de 12% anual capitalizada semestralmente. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta 10 años después?
Solución:
'Matemáticas financieras'
Utilizando tasa efectiva (evitar capitalización)
r = 12% Anual = 0.12
n = 1 año = 2 semestres.
i = {[(1 + r%)/n]n - 1 } x 100 = [(1+0.12/2)2 - 1] x 100
i = 12.36% anual efectiva.
F = 1000 (F/P, 12.36%, 10) + 3000 (F/P,12.36%, 6) + 1500 (F/P, 12.36%, 4).
Interpolando:
i % F/P (10) i % F/P (6) i % F/P (4)
12% 3.1058 12% 1.9738 12% 1.5735
12.36 x 12.36 x 12.36 x
13% 3.3946 13% 2.0820 13% 1.6305
20
(F/P, 12.36, 10)= 3.209768
(F/P, 12.36, 6)= 2.012752
(F/P, 12.36, 4)= 1.59402
F = 1000(3.209768)+3000(2.012752)+1500(1.59402)
" F = $ 11, 639.054
Utilizando tasa convertible (evitar interpolación)
i = 12% Anual Cap/Sem.
is = 6% Semestral.
n1 = 10 Años = 20 Semestres.
N2 = 6 Años = 12 Semestres.
N3 = 4 Años = 8 Semestres.
F =1000(F/P,6%,20)+3000(F/P,6%,12)+1500(F/P,6%,8).
F = 1000(3.2071) + 3000(2.0122) + 1500(1.5938)
" F = $11, 634.40
TIPOS DE INTERES COMPLEMENTARIO
El interés (I) es el monto pagado por la institución financiera para captar recursos, igualmente es el monto cobrado
por prestarlos (colocar). El interés es la diferencia entre la cantidad acumulada menos el valor inicial; sea que
tratemos con créditos o con inversiones.
El interés es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio, es la renta pagada por el
uso de recursos prestados, por período determinado.
Fórmulas utilizadas para el cálculo del interés I:
[16] I = VF - VA
10.1. La tasa de interés ( i )
La tasa de interés es el precio del tiempo, mientras que la tasa de rentabilidad es el precio del tiempo cuando existe
riesgo. La tasa de rentabilidad es el precio del tiempo más una prima por riesgo (precio del riesgo).
Calculamos la tasa de interés dividiendo el interés I recibido o pagado por período, por el monto inicial, VA; de
modo que la tasa de interés será:
21
El resultado obtenido con las fórmulas [13A] y [13B], representa la tasa de todo el período de composición. De
aplicación cuando evaluamos préstamos e inversiones a interés simple (pago flat) y para casos de inversiones a
interés compuesto aplicamos la fórmula [13], cuando tratamos con un solo pago. No es aplicable para el caso de
las anualidades o flujos variables, en estos casos son de mucha utilidad las funciones financieras TASA (flujos
uniformes) y TIR (flujos variables) de Excel.
10.2. Componentes de la tasa de interés
La tasa de interés corriente (ic), es la tasa del mercado, aplicado por los bancos y las entidades financieras; la tasa
efectivamente pagada por cualquier préstamo. Tiene tres componentes o causas:
1. El efecto de la inflación ):Φ( medida del aumento del nivel general de precios, valorada a través de la canasta
familiar; notamos su efecto en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda. A mayor inflación, mayor tasa de
interés.
2. El efecto del riesgo, inherente al negocio o inversión. A mayor riesgo, mayor tasa de interés. Elemento de riesgo
(ip).
3. La tasa real « i » propio del negocio, lo que el inversionista desea ganar, libre de riesgos e inflación.
Rendimiento base. Generalmente los bonos del tesoro de EE.UU. son tomados como parámetro para la tasa libre de
riesgo. Tasa de interés real (i).
11. Tasas de interés y descuento equivalente
En el mundo real, las tasas de interés son en más de un período por año. Por convención, las tasas de interés son en
base anual. La tasa de interés expresada anualmente y con composición en más de una vez por año es la tasa
nominal, es una tasa de interés simple; ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual capitaliza
el interés.
Tasa periódica: Tasa de interés cobrada o pagada en cada período, por ejemplo, semanal, mensual o anual; tiene la
característica de ser nominal y efectiva a la vez.
Tasa efectiva anual (TEA): La tasa que realmente paga o cobra por una operación financiera, incluye todos los
costos asociados al préstamo o inversión. Si el interés capitaliza en forma trimestral, semestral, mensual, la
cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que la compuesta en forma anual.
Interés anticipado (ia): Es el interés liquidado al inicio del período, cuando recibimos o entregamos dinero.
Interés vencido (iv): Liquidado al final del período, cuando recibimos o entregamos dinero.
Fórmulas de las Tasas de interés nominal, efectivo y equivalente:
11.1. Tasas equivalentes
22
Dos tasas con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes, si al cabo de un año producen el mismo
interés compuesto.
Común en operaciones bancarias y también en el caso de bonos del tipo «cupón cero», el uso de la tasa de
descuento (d) en vez de (o junto con) la tasa de interés, como referencia del rendimiento de la operación. Usar la
tasa de descuento o la tasa de interés es puramente convencional y siempre podemos expresar una en términos de la
otra.
Esto lo explicamos con las tasas equivalentes pagadas al vencimiento (iv) o por anticipado (ia).
Pactan muchas negociaciones en términos de interés anticipado y es deseable conocer cuál es el equivalente en
tasas de interés vencido. Un ejemplo corriente, lo constituyen los préstamos bancarios y los certificados de
depósito a término.
Cuando indican un pago de interés anticipado (ia), en realidad ello significa que -en el caso de un préstamo- recibe
un monto menor al solicitado.
Estas dos fórmulas sólo son de aplicación a tasas periódicas.
EJERCICIO 24 (Tasa nominal y tasa efectiva anual)
Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de interés es 2.5% mensual. Determinar la tasa anual que realmente me
cuesta.
Solución:
i = 0.025; n = 12; j = ?; TEA = ?
Por demostración calculamos la tasa periódica a partir de la tasa nominal y TEA:
Aplicando las funciones financieras de Excel:
23
Respuesta:
El costo nominal de la tarjeta de crédito es 30% y el costo real o Tasa Efectiva Anual (TEA) es 34.49%.
Caso típico de tasas equivalentes, 30% de tasa nominal es equivalente a 34.49% de tasa efectiva anual.
FORMULAS FINANCIERAS
Moda = Li – 1 +
ni + 1
x Ai
ni – 1 + ni + 1
Amplitud = Ai = Li - Li – 1
Densidad de Frecuencias = di = ni / Ai
Intervalo de Mediana =
2
∑Ni .
Mediana = Li – 1 + N/2 – Ni – 1
ni
x Ai
Media Aritmética = ξ = ∑ Xi ni .
∑ni
Varianza = S2 = ∑ (Xi – ξ)2 x ni .
∑ ni
Desviación Media = ∑ Xi – ξ ni .
∑ ni
Desviación Tipica = S = raiz S2
Cuantiles = (r/k) N – Ni – 1
ni
x Ai + Li – 1
Coeficiente de Variación = CV = S/ξ
CVPearson = S/ξ x 100
Variable Tipificada = Zi = Xi – ξ.
S
Marca de Clase = Xi = Li + Li – 1
2
Momentos = mn = ∑ (Xi – ξ)n ni
N
Frecuencia Absoluta = n i
Frecuencia Relativa = fi = ni / N
Frecuencia Absoluta Acumulada = N
Frecuencia Relativa Acumulada = Fi = Ni / N
Media Geométrica=G= raiz N X1n1 x X2n2 =(X1n1 x X2n2 ...)1/N
24
Media Armónica = H =
N
.
∑ 1/Xi ni
H = N ∑ Xi
ni
Media Cuadrática = C = raiz ∑ Xi2ni
N
•
Covarianza = Sxy = ∑ Xi Yi ni – ξ ŷ
N
Nota Æ C ≤ X ≤ G ≤ H
Coeficiente de Correlación Lineal = r = Sxy
Sx – Sy
Coeficiente de Determinación Lineal = R2 = r2
Numeros Indices de Laspeyres
Precios = ILP = ∑ Pt qo x 100
∑ Po qo
Cantidades = ILq =∑ Po qt
∑ Po qo
x 100
Numeros Indices de Paasche
Precios = IPP = ∑ Pt qt
∑ Po qt
Cantidades =
∑ Pt qo
x 100
IPq = ∑ Pt qt
x 100
Numeros Indices de Fisher
Precios = IFP = raiz ILP x IPP
Cantidades = IFq = raiz ILq x IPq
Indice de Valores = Indice Precios x Indice Cantidades
Coeficiente de Asimetria de Pearson = As = ξ – Mo .
S
•
Si As = 0 Æ Distribucion Simetrica
•
Si As < 0 Æ Distribución Asimétrica Negativa
•
Si As > 0 Æ Distribución Asimétrica Positiva
Coeficiente de Asimetria de Fisher = g1 = m3/S3
Coeficiente de Sesgo Cuartílico = SC = (Q3 – Q2) – (Q2 – Q1)
Q3 – Q1
Coeficiente de Sesgo Percentilico 10-90 = SP10-90 = (P90 – P50) – (P50 – P10)
Q90 – Q10
25
•
•
•
Coeficiente de Apuntamiento = Ap = m4 / S4
Si Ap = 3 la distribución es mesocurtica
Si Ap < 3 la distribución es platicurtica
Si Ap > 3 la distribución es leptocúrtica.
Coeficiente de Apuntamiento Percentilico = Ap10 – 90 =
2 (P90 – P10)
Q3 – Q1 .
Indice de Concentración de Gini (Ico)
pi = Ni x 100
N
qi = ∑ Xini x 100
∑ Xini
Ico = ∑ (pi – qi)
∑ pi
Spearman = 1 - 6∑di2
N3 – N
Contingencia = raiz
X2 = (nij’ – nij)2
nij’
X2 .
X +N
2
1. Introducción
No sabemos a ciencia cierta cuando aparecieron, pero de lo que si estamos seguros es que la Matemática
Financiera es una derivación de las matemáticas aplicadas que estudia el valor del dinero en el tiempo y que a
través de una serie de modelos matemáticos llamados criterios permiten tomar las decisiones más adecuadas en los
proyectos de inversión.
El lector debe establecer y analizar el concepto de Matemática Financiera, así como sus principios y elementos
básicos. Del mismo modo, debe relacionar el estudio de las matemáticas financieras con la práctica empresarial.
Para la solución de los ejemplos, casos y ejercicios aplicamos en forma combinada las fórmulas y las funciones
financieras de Excel o simplemente la función, siguiendo un proceso básico:
1.
2.
3.
Identificación y ordenamiento de los datos,
Aplicación de la fórmula o fórmulas y,
Empleo de las funciones financieras de Excel.
Cuando operamos con porcentajes, lo hacemos en su expresión decimal (0.20), por ejemplo 20% = 0.20 (20/100),
que es la forma correcta de trabajar con las fórmulas.
Los resultados de las operaciones lo expresamos generalmente con cinco o cuatro decimales, en el caso de los
factores o índices. Las respuestas finales de los ejercicios vienen con dos decimales. En ambos casos los resultados
son redondeados por exceso o por defecto.
Las funciones financieras más utilizadas en la obra son:
PER (tasa;pago;va;vf;tipo); PAGO (tasa;nper;va;vf;tipo);
26
TASA (nper;pago;va;vf;tipo;estimar); VA (tasa;nper;pago;vf;tipo);
VF (tasa;nper;pago;va;tipo) y la opción Buscar Objetivo del menú herramientas, entre otras.
2. Capitalización y descuento
Consideramos dos tipos de interés: el interés simple y el interés compuesto.
12.- Interés Simple
Una operación financiera es a interés simple cuando el interés es calculado sobre el capital (o principal) original y
para el período completo de la transacción. En otras palabras, no hay capitalización de intereses.
Nomenclatura básica:
Símbolo Significando
VA Capital, principal, Valor Actual expresado en unidades monetarias
VF Capital más el interés, monto, Valor Futuro expresado en unidades monetarias
j Tasa nominal o la tasa de interés anual
t Número de años, tiempo,
m Número de capitalizaciones por año
n Número de períodos de composición
i Tasa periódica
TEA Tasa Efectiva Anual
VAN Valor Actual Neto
TIR Tasa Interna de Retorno
C Anualidad o cuota uniforme
VA Valor presente de una anualidad
VF Valor futuro de una anualidad
ia Tasa de interés anticipada
iv Tasa de interés vencida
UM Unidad Monetaria
3.1. Conceptos básicos
Los empresarios que obtienen dinero prestado tienen que pagar un interés (I) al propietario o a la entidad
financiera por usar su dinero.
La cantidad prestada es el capital o principal (VA o P), la suma de ambos (capital más interés) recibe el nombre
27
de monto (VF); el período de tiempo acordado para la devolución del préstamo es el plazo (n).
El interés cobrado es proporcional tanto al capital como al período del préstamo, está expresado por medio de una
tasa de interés (i). Para la teoría económica, el interés es el precio del dinero.
Cuando sólo pagan intereses sobre el principal, es decir, sobre la totalidad del dinero prestado, se denomina interés
simple.
Fórmula del interés simple:
El interés es el producto de los tres factores, capital (VA), tiempo (n) y tasa (i), así tenemos:
Que viene a ser la fórmula o ecuación para calcular el interés simple.
EJERCICIO 1 (Calculando el interés simple)
Una Caja Rural, paga el 6% sobre los depósitos a plazos. Determinar el pago anual por interés sobre un depósito de
UM 18,000.
Solución:
VA = 18,000; n = 1; i = 0.06; I = ?
[1] I = 18,000*1*0.06 = UM 1,080
Respuesta:
La Caja Rural paga anualmente sobre este depósito la suma de UM 1,080.
EJERCICIO 2 (Préstamo a MYPES)
Un Banco obtiene fondos al costo de 12% y presta a los microempresarios al 58.6% anual, ganándose así el 46.6%
bruto. Si los ingresos anuales que obtuvo de esta forma fueron de UM 500,000, ¿cuánto dinero prestó?
Solución
I = 500,000; n = 1; i = 0.466; VA = ?
[1] 500,000 = VA*1*0.466 despejamos VA:
Respuesta:
El Banco prestó UM 1’072,961.37
EJERCICIO 3 (Calculando el plazo de una inversión)
Una entidad financiera invirtió UM 250,000 al 17.6% en hipotecas locales y ganó UM 22,000. Determinar el
tiempo que estuvo invertido el dinero.
Solución
28
VA = 250,000; I = 22,000; i = 0.176; n = ?
Despejamos n de la fórmula [1] I = VA*n*i
Respuesta:
El dinero estuvo invertido durante medio año.
EJERCICIO 4 (Calculando la tasa i de interés)
Si una empresa hipotecaria tiene invertido UM 320,000 durante 3½ años a interés simple y obtiene en total UM
146,250 de ingresos, ¿cuál es la tasa de interés?.
Solución
I = 146,250; VA = 320,000; n = 3.5; i = ?
Despejamos i de la fórmula [1] I = VA*n*i:
Respuesta:
La empresa hipotecaria obtuvo el 13% sobre su inversión.
3.2. Monto
El monto es la suma obtenida añadiendo el interés al capital, esto es:
MONTO = CAPITAL + INTERES
Reemplazando en [1] por sus respectivos símbolos, obtenemos la fórmula general para el monto:
Fórmula para el monto (VF) a interés simple de un capital VA, que devenga interés a la tasa i durante n años.
De donde:
29
4. Tipos de plazos de los intereses
Generalmente conocemos dos tipos de plazos:
a) Interés Comercial o Bancario. Presupone que un año tiene 360 días y cada mes 30 días.
b) Interés Exacto. Tiene su base en el calendario natural: un año 365 o 366 días, y el mes entre 28, 29, 30 o 31
días.
El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por el acreedor, es de uso
normal por las entidades financieras.
La mayoría de ejercicios en la presente obra consideran el año comercial; cuando utilicemos el calendario natural
indicaremos operar con el interés exacto.
EJERCICIO 5 (Interés Simple Comercial)
Jorge deposita UM 2,300, en una libreta de ahorros al 9% anual, ¿cuánto tendrá después de 9 meses?.
1º Expresamos la tasa en meses: 0.09/12 = 0.0075, mensual:
Solución:
VA = 2,300; i = 0.0075; n = 9; VF = ?
2º Aplicamos la fórmula [2] y Excel:
[2] VF = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = UM 2,455.25
Respuesta:
El valor futuro es UM 2,455.25
EJERCICIO 6 (Interés Simple Exacto)
Un pequeño empresario, con utilidades por UM 5,000 los deposita en una libreta de ahorros en un banco al 9.7%
anual. Calcular cuanto tendrá al final de 8 meses.
1º Expresamos el plazo en años: (8 meses por 30 días = 240 días)
240/365 = 0.6575 años
Solución:
VA = 5,000; i = 0.097; n = 0.6575; VF = ?
2º Aplicamos la fórmula (2) y Excel:
[2] VF = 5,000 *[1 + (0.097*0.6575)] = UM 5,318.89
30
Respuesta:
El pequeño empresario tendrá al final de los 8 meses UM 5,318.89
13.-El Interés compuesto
El interés compuesto es una fórmula exponencial y en todas las fórmulas derivadas de ella debemos operar
únicamente con la tasa efectiva. La tasa periódica tiene la característica de ser a la vez efectiva y nominal, ésta tasa
es la que debemos utilizar en las fórmulas del interés compuesto.
Con el interés compuesto, pagamos o ganamos no solo sobre el capital inicial sino también sobre el interés
acumulado, en contraste con el interés simple que sólo paga o gana intereses sobre el capital inicial.
Una operación financiera es a interés compuesto cuando el plazo completo de la operación (por ejemplo un año)
está dividido en períodos regulares (por ejemplo un mes) y el interés devengado al final de cada uno de ellos es
agregado al capital existente al inicio. Así, el interés ganado en cada período percibirá intereses en los periodos
sucesivos hasta el final del plazo completo. Su aplicación produce intereses sobre intereses, conocido como: la
capitalización del valor del dinero en el tiempo.
La tasa de interés en el ejemplo anterior es 9% compuesto anualmente. Esto significa que el interés paga
anualmente. Así tenemos que en nuestra libreta de ahorros al final del primer año tendremos UM 109 (el principal
más los intereses), en el segundo año este saldo aumenta en 9%. Arrojando al final del segundo año un saldo de
UM 118.81 que puede computarse como sigue:
Como vemos, un modelo matemático va manifestándose con mucha nitidez. El Valor Futuro de una inversión
inicial a una tasa de interés dada compuesta anualmente en un período futuro es calculado mediante la siguiente
expresión:
Que no es otra cosa, que la fórmula general del interés compuesto para el período n de composición. En las
matemáticas financieras es fundamental el empleo de la fórmula general del interés compuesto para la evaluación y
análisis de los flujos de dinero.
Las ecuaciones derivadas de la fórmula [11] (para inversión y recuperación en un sólo pago) son:
El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el
plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la31
tasa al tiempo o viceversa.
Al utilizar una tasa de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses.
EJERCICIO 10 (Calculando el VF)
Calcular el VF al final de 5 años de una inversión de UM 20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20%
anual.
Solución:
VA = 20,000; n = 5; i = 0.20; VF = ?
Respuesta:
El VF al final de los 5 años es UM 49,766.40
EJERCICIO 11 (Calculando el VF a partir del VA)
Yo tengo un excedente de utilidades de UM 1,000 y los guardo en un banco a plazo fijo, que anualmente me paga
8%; ¿cuánto tendré dentro de 3 años?
Solución:
VA = 1,000; n = 3; i = 0.08; VF = ?
Indistintamente aplicamos la fórmula y la función financiera VF:
Respuesta:
El monto al final de los 3 años es UM 1,259.71
EJERCICIO 12 (Calculando el VA a partir del VF)
Inversamente, alguien nos ofrece UM 5,000 dentro de 3 años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy una
cantidad al 10% anual. ¿Cuánto es el monto a entregar hoy?
Solución:
VF = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA = ?
32
Aplicamos la fórmula y/o la función financiera VA:
Respuesta:
El monto a entregar el día de hoy es UM 3,757.57
EJERCICIO 13 (Calculando el tipo de interés i)
Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de UM 25,000 que ha generado en tres años intereses totales por
UM 6,500.
Solución:
(VF = 25,000 + 6,500)
i = ?; VA = 25,000; n = 3; I = 6,500; VF = 31,500
Aplicando la fórmula [13] o la función TASA, tenemos:
Respuesta:
La tasa de interés aplicada es de 8% anual.
EJERCICIO 14 (Calculando el tiempo o plazo n)
Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de UM 35,000, si el monto producido fue UM 56,455 con un
interés de 9 %.
Solución
VA = 35,000; VF = 56,455; i = 0.09; n = ?
Aplicando la fórmula [14] o la función NPER, tenemos:
33
Respuesta:
El tiempo en que ha estado invertido el capital fue de 5 años, 6 meses y 17 días.
6.3. Valor actual de un flujo único
El valor actual, es el valor de las unidades monetarias de hoy. El proceso de calcular los valores actuales a una tasa
específica de Interés es conocido como descuento.
La tasa de interés con el que determinamos los valores actuales es la tasa de descuento, cuando el dinero proviene
de fuentes externas y costo de oportunidad cuando la inversión proviene de recursos propios.
Por ejemplo:
El valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de un año es UM 91.74, si la tasa de descuento es 9% compuesto
anualmente tenemos:
Cálculos a valor futuro:
Un año 91.74(1 + 0.09) = 100 ó
La ecuación de valor futuro la utilizamos para describir la relación entre el valor actual y el valor futuro. Así, el
valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de dos años es UM 84.17 a la tasa de descuento de 9%.
Dos años 84.17(1 + 0.09)2 = UM 100 ó
84.17 = 100/(1 + 0.09)2
Como vemos el modelo matemático derivado de la fórmula del interés compuesto utilizada es el del valor actual.
Ecuación que nos permite calcular el valor actual de un flujo de caja futuro dado la tasa de descuento en un período
determinado de tiempo.
EJERCICIO 15 (Calculando el VA)
Determinar el valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de 3 años a partir de hoy si la tasa de interés es 9%.
Solución:
VF = 100; n = 3; i = 0.09; VA = ?
Aplicando al flujo la fórmula 12 o la función financiera VA, tenemos:
34
Respuesta:
El VA al final de los 3 años es UM 77.22
DESCUENTOS
Es una operación de crédito llevada a cabo principalmente en instituciones bancarias y consiste en que estas
adquieren letras de cambio, pagarés, facturas, etc. de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los
intereses que devengaría el documento entre la fecha recibida y la fecha de vencimiento. Anticipan el valor actual
del documento.
La formula para el cálculo del descuento es:
Donde:
D = descuento
VF o VN = valor del pagaré o documento (monto), valor nominal
d = tasa de descuento
n = número de períodos hasta el vencimiento del pagaré
Otras fórmulas del descuento:
Despejando de la fórmula [6] tenemos:
[7] VN = VA + D
[8] VA = VN - D
[9] D = VN - VA
Sustituimos el valor de VF en la formula [6]:
D =[VA + D]n*d
D =VA*b*d + D*n*d y pasando el segundo termino tenemos D – D*n*d = VA*n*d
EJERCICIO 7 (Pagaré)
Tenemos un pagaré por UM 185,000, girado el 15/09/03 y con vencimiento al 15/11/03, con una tasa de35
descuento de 50% anual. Determinar el descuento y el valor actual del documento.
Solución:
VN = 185,000; n = 2 meses; d = (0.50/12) = 0.0417; D = ?; VA = ?
Respuesta:
El descuento es de UM 15,416.64 y el valor actual del documento es de UM 169,583.33.
EJERCICIO 8 (Descuento de pagaré)
Una empresa descuenta un pagaré y recibe UM 20,000. Si la tasa de descuento es del 66% anual y el vencimiento
es en tres meses después del descuento. ¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de vencimiento?.
Solución:
VA = 20,000; d = (0.66/12) = 0.055; n = 3; VF = ?
[7] VF = 20,000 + 3,300 = UM 23,300
Respuesta:
El valor nominal (VF) del documento en la fecha de vencimiento es UM 23,300.
EJERCICIO 9 (Descuento de letra)
Una empresa descuenta una letra por la cual recibe UM 2,520. Si la tasa de descuento es de 66% y el valor nominal
de UM 2,950. ¿Cuánto tiempo faltaba para el vencimiento de la obligación?.
Solución:
VN = 2,950; VA = 2,520; d = (0.66/12) = 0.055; D = ?
[9] D = 2,950 - 2,520 = UM 430.00
Despejando n de la fórmula (6) D = VN *n*i obtenemos:
Respuesta:
Faltaba para el vencimiento 2 meses y 20 días.
6. Valor del dinero en el tiempo
El tiempo (plazo) es fundamental a la hora de establecer el valor de un capital.
Una unidad monetaria hoy vale más que una unidad monetaria a ser recibida en el futuro. Una UM disponible36
hoy puede invertirse ganando una tasa de interés con un rendimiento mayor a una UM en el futuro. Las
matemáticas del valor del dinero en el tiempo cuantifican el valor de una UM a través del tiempo. Esto, depende de
la tasa de rentabilidad o tasa de interés que pueda lograrse en la inversión.
El valor del dinero en el tiempo tiene aplicaciones en muchas áreas de las finanzas el presupuesto, la valoración de
bonos y la valoración accionaria. Por ejemplo, un bono paga intereses periódicamente hasta que el valor nominal
del mismo es reembolsado.
Los conceptos de valor del dinero en el tiempo están agrupados en dos áreas: el valor futuro y valor actual. El valor
futuro (VF - Capitalización) describe el proceso de crecimiento de una inversión a futuro a una tasa de interés y en
un período dado. El valor actual (VA - Actualización) describe el proceso de un flujo de dinero futuro que a una
tasa de descuento y en un período representa UM de hoy.
6.1. Valor futuro de un flujo único
El valor futuro de un flujo único representa la cantidad futura, de una inversión efectuada hoy y que crecerá si
invertimos a una tasa de interés específica. Por ejemplo, si el día de hoy depositamos UM 100 en una libreta de
ahorros que paga una tasa de interés de 9% compuesto anualmente, esta inversión crecerá a UM 109 en un año.
Esto puede mostrarse como sigue:
Año 1: UM 100(1 + 0.09) = UM 109
Al final de dos años, la inversión inicial habrá crecido a UM 118.81. Como vemos la inversión ganó UM 9.81 de
interés durante el segundo año y sólo ganó UM 9 de interés durante el primer año. Así, en el segundo año, ganó no
sólo interés la inversión inicial de UM 100 sino también los UM 9 al final del primer año. Esto sucede porque es
una tasa de interés compuesta.
ANUALIDADES
Las anualidades
Una anualidad es un flujo de caja en el que los flujos de dinero son uniformes (es decir, todos los flujos de dinero
son iguales) y los movimientos de dinero ocurren a un intervalo regular. Los flujos de dinero de la anualidad son
los pagos de la anualidad o simplemente pagos. El nombre de anualidad es utilizado como una generalización sobre
el tema, no siempre son períodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son:
1. Pagos mensuales por renta
2. Cobro quincenal o semanal por sueldo
3. Abonos quincenales o mensuales por pago de un préstamo.
4. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida, etc.
Flujo de una anualidad
No es una Anualidad
El flujo no es una anualidad porque al 4to año se interrumpen para reiniciarse al 5to.
37
Cuando el flujo de caja es de una anualidad, el proceso de cálculo del valor actual y del valor futuro de un flujo de
dinero se simplifica enormemente.
Las anualidades son:
Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en las cuales los pagos son hechos a su
vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago.
Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables se efectúan al principio de cada periodo.
Las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período el VA o VF las pospagables
multiplicándolas por (1 + i). Es decir, utilizamos las mismas fórmulas del VA o VF de las anualidades pospagables,
multiplicando el resultado por (1 + i).
8.1. Valor actual de una anualidad
El valor actual de una anualidad es igual a la suma de los valores actuales de los pagos de la anualidad. Esto puede
calcularse a través de la siguiente ecuación:
, con esta fórmula obtenemos:
Donde:
VA = Valor actual de la anualidad
C = Pago de una anualidad
i = Interés o tasa de descuento
En las fórmulas de anualidades de VA y VF, la tasa de interés no puede ser despejada, por lo cual debe obtenerse
por ensayo y error. Por esta razón en el presente libro, para obtener la tasa de interés utilizamos la función TASA
cuando operamos con flujos uniformes y la función TIR cuando operamos con flujos variables.
Cuando estamos frente a un perfil de flujos iguales para cada período, es posible hacer una formulación que nos de
el Valor Actual de los flujos de una sola vez obviando el cálculo del descuento flujo por flujo. De esta forma de
cálculo son las Anualidades. Ejemplo:
38
Si usamos el método de descuento flujo por flujo y lo descontamos al 15% por período tendríamos los valores
indicados en el cuadro y después lo comparamos con el método abreviado a través de la fórmula y la función VA:
Aplicando la fórmula [18] o la función VA:
Como podemos observar, con los tres métodos obtenemos resultados iguales.
EJERCICIO 17 (Calculando el VA de una anualidad pospagable)
Tenemos una anualidad de UM 500 anual, durante cinco años vencidos. Si la tasa de descuento es igual a 13%,
¿cuál es el VA de la anualidad?
Solución:
C = 500; n = 5; i = 0.13; VA = ?
Aplicando la fórmula (18) o la función VA, tenemos:
Respuesta:
El VA de los cinco pagos iguales es UM 1,758.62.
EJERCICIO 18 (La mejor elección)
Usted gana la lotería. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la lotería le proponen lo siguiente: cobrar hoy UM
500,000 ó UM 3,000 mensuales durante los próximos 25 años. ¿Qué elige Ud.?
Solución:
39
VA = 500,000; i = ?
En este caso, primero determinamos la tasa de interés, que nos permita descontar las cuotas mensuales y
compararlo con los UM 500,000 que recibiríamos el día de hoy. El dinero hoy vale más que en el futuro.
Asumamos una inflación del 6% anual proyectada para los próximos 25 años. (i = 0.06/12 = 0.005)
i = 0.005; C = 3,000; n = (5*12) = 300; i = 0.005; VA = ?
Aplicamos la fórmula [18] o la función VA:
Respuesta:
El VA de las 300 cuotas mensuales de UM 3,000 descontadas a la tasa de inflación del 6% anual es UM
465,620.59 inferior a los UM 500,000 que cobraríamos hoy, en consecuencia, nuestra decisión será cobrar la
loterías hoy.
EJERCICIO 19 (Calculando el VA de una anualidad prepagable)
El dueño de una MYPE contrae una deuda para saldarla en cinco pagos iguales de UM 26,913 al inicio de cada
año, con una tasa de interés de 45.60% anual. Calcular el valor actual de esta obligación.
Solución:
C = 26,913; n = 5; i = 0.456 ; VA = ?
Aplicando el concepto de las anualidades prepagables en la fórmula (18) y la función VA multiplicamos el
resultado de la fórmula por (1 + i) y la función a operamos con tipo = 1:
Respuesta:
El valor actual prepagable de ésta operación es UM 72,800, considera el pago anticipado de cada cuota anual.
EJERCICIO 20 (Calculando el incremento anual)
En 1978 el franqueo de un sobre a Europa era de UM 10. En el 2003 colocar por correo la misma carta cuesta UM
70. ¿Que incremento anual en el franqueo de una carta experimentó durante este tiempo?
Solución (n = 2003 - 1978)
C = 10; VA = 70; n = (2003 - 1978) = 25; i = ?
Aplicando la función TASA obtenemos:
40
Respuesta:
El incremento anual es 13.71%
EJERCICIO 21 (Calculando la tasa de interés de una anualidad)
Una inversión de UM 120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de UM 45,000 durante 5 años.
Calcular la tasa de rendimiento del proyecto.
Solución:
VA = 120,000; C = 45,000; n = 5; i = ?
Respuesta:
La tasa anual de rendimiento del proyecto es 25.41%
8.2. Valor Futuro de una anualidad
Al tratar el cálculo de las anualidades, determinábamos el valor de los flujos en valor actual o del momento cero.
También es posible emplear esta misma formulación y plantear por ejemplo, cuánto tendré ahorrado en un
momento futuro si depositara una determinada cantidad igual período a período, dada una cierta tasa de interés por
período. Es decir, lo que estamos haciendo es constituir un fondo.
Anteriormente calculamos el valor actual de una serie de pagos futuros. Lo que ahora buscamos, como monto
futuro, es una expresión que responda al siguiente perfil financiero:
Partimos depositando una suma ahora y hacemos lo mismo con igual monto hasta el período n-1 y con la misma
tasa de interés por cada período.
La fórmula del valor futuro de la anualidad y las derivadas de ella son:
El valor, depende sólo de las variables tasa de interés «i», igual para cada período y el valor correspondiente al
número de periodos «n», para flujos realizados a comienzo de cada uno de ellos.
Las anualidades tienen la característica que siendo un pago constante en el caso de amortizar una deuda los
intereses pagados en los primeros periodos son mayores, destinándose el excedente al pago de amortización de41
capital, el cual aumenta gradualmente, el interés posterior deberá calcularse sobre un menor monto de capital por la
disminución o amortización de éste.
EJERCICIO 22 (Calculando el VF y el plazo de un ahorro)
Un microempresario deposita UM 2,500 ahora en una cuenta de ahorros que reconoce una tasa de interés del 1.8%
mensual y considera retirar UM 390 mensuales, empezando dentro de 10 meses. ¿Calcular por cuánto tiempo podrá
realizar retiros completos?
Solución:
VA = 2,500; i = 0.018; C = 390; n = 10; VF = ?; n = ?
1º Calculamos el VF de los UM 2,500 a 10 meses:
[11] VF = 2,500(1 + 0.018)10 = UM 2,988.2559
2º Calculamos el tiempo durante el cual podrá hacer retiros por UM 390 cada uno:
Respuesta:
A partir del mes 10 puede hacer retiros completos por 7 meses.
Las perpetuidades
Por definición significa duración sin fin. Duración muy larga o incesante.
A partir del valor actual (VA) de una anualidad C, que representa una serie de pagos, depósitos o flujo periódico
uniforme para cada uno de estos periodos y efectuando algunas modificaciones podríamos derivar las
perpetuidades. La característica de una perpetuidad es que el número de periodos es grande, de forma que el valor
de los últimos flujos al descontarlos es insignificante. El valor de la anualidad de muchos términos, llamada
perpetuidad, es calculada con la siguiente fórmula:
Las perpetuidades permiten cálculos rápidos para determinar el valor de instrumentos de renta fija (VAP) de
muchos periodos. En este caso, «C» es el rendimiento periódico e «i» la tasa de interés relevante para cada período.
Ejemplos de perpetuidades son también las inversiones inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada la tasa de
interés aproximamos el valor de la inversión (C).
Por lo general, la tasa de interés es casi siempre anual y el canon de arriendo es mensual, por lo cual deberá
establecerse la tasa de interés equivalente (Ver definición y fórmula en el numeral 10, de este capítulo) para este42
período de tiempo. Otras aplicaciones importantes son las pensiones o rentas vitalicias.
EJERCICIO 23 (Perpetuidad)
Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 años, es requisito fundamental
-entre otros- depositar el día de hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga mensualmente por
ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institución disponer de UM 2,500 mensuales a perpetuidad. ¿Cuánto
debo depositar el día de hoy?.
Solución:
C = 2,500; i = 0.005; VAP = ?
Respuesta:
Debo depositar el día de hoy UM 166,6667. Mensualmente el dinero gana UM 2,500 de interés. Este interés
constituye la beca
ANUALIDADES Y AMORTIZACION COMPLEMENTARIO
2.1 .- Introducción…45
2.2 .- Definición…45
2.3 .- Tipos de Anualidades…45
2.3.1 .- Anualidades Vencidas…45
2.3.2 .- Anualidades Anticipadas…50
2.3.3 .- Anualidades Diferidas…59
2.4 .- Amortización…69
2.5 .- Fondo de Amortización.
ANUALIDADES COMPLEMENTARIO
2.1 .- Introducción :
Cuando en un país, se disfruta de cierta estabilidad económica, se presentan con mayor frecuencia las operaciones
mercantiles a través de pasos periódicos, que pueden ser con interés simple o con interés compuesto y en cuyo caso
recibirán el nombre de anualidades.
2.2 .- Definición:
Desde el punto de vista financiero, se denomina anualidad a una serie de cantidades que vencen progresivamente a
intervalos iguales en tiempos iguales, como lo son: rentas, abonos, sueldos, importes a invertir, etc. Por costumbre
se denomina anualidad de pago o de inversión, aun cuando no se efectúa cada año, puesto que debe ser semestral,
trimestral, bimestral, mensual, quincenal, semanal, es decir, cada periodo establecido.
2.3 .- Tipos de Anualidades:
43
2.3.1 .- Anualidades Vencidas:
También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que
los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
'Matemáticas financieras'
(Capital p) valor presente (P) : El valor presente P de la serie uniforme A, se puede determinar considerando cada
valor A como un valor futuro en la formula de valor presente pago único y luego sumando los valores del valor
presente. Es decir:
P=A+A+A+...+A.
(1+i)¹ (1+i)² (1+i)³ (1+i)n
en síntesis:
P = A [ (1 + i)n - 1 ] (1) ó P = A (P/A * i% * n) (2)
i( 1+i)n
El plazo n y la tasa de interés i%, deben expresarse en la misma base de tiempo.
(Monto) Valor Futuro (P) : Una anualidad esta formada por una serie de pagos A que a su vez son montos de la
parte vencida, por lo que el monto o valor futuro de una anualidad es la suma de los montos compuestos de estos
pagos A. Es decir, como los pagos se hacen en forma vencida, cada pago efectuado capitaliza interés, excepto el
último (Puesto que con el termina la deuda), es decir:
F = A (1+i)n + A (1+i)n-1 + . . . + A, entonces :
F = A [(1+i)n - 1 ] (3) ó F= A(F/A, i%, n) (4)
i
Recuperación de Capital (A/P) : La recuperación de capital se obtiene empleando las formulas:
A = P [ i (1+i)n ] (5) ó A = P (A/P, i%, n) (6)
(1+i)n - 1
44
Donde: A es el pago de serie uniforme o anualidad.
Fondo de Amortización (A/F) : Para obtener el fondo de amortización, se emplean las formulas:
A = F [ i ] (7) ó A = F(A/F, i%, n) (8)
(1+i)n - 1
* Problema: En la compra de una máquina con valor de $10, 000 nos da la facilidad de adquirirla mediante 36
pagos iguales si pacta la operación con una tasa de interés del 6% mensual. ¿Cuál será el importe de los pagos?
Solución:
'Matemáticas financieras'
Empleando: A = P (A/P, i%, n) = 100, 000 (A/P, 6%, 36)
A = $100, 000(0.06839) = $6839
Conclusión: Se requieren 36 pagos iguales de $6839 mensuales, para cubrir la deuda de $100, 000 a una tasa de
interés del 6% mensual.
* Problema: Calcular el tiempo en que un capital de $10, 580 se pague en pagos iguales de $1000 con una tasa de
interés mensual de 4%.
Solución:
45
'Matemáticas financieras'
P = A [ (1 + i)n - 1 ]
i( 1+i)n
P = (1 + i)n - 1 = (1 + i)n - 1 .
A i( 1+i)n i( 1+i)n i( 1+i)n
P=1-1.
A i ( 1+i)n
Pi=1-1.
A ( 1+i)n
Pi-1=-1.
A ( 1+i)n
Pi - 1 = - ( 1+i)-n
A
( 1+i)-n = 1 + Pi
A
Log ( 1+i)-n = log (1 + Pi )
A
-n log (1+i) = log ( 1- Pi )
46
A
n = - log ( 1- Pi )
A
Log (1+i)
Sustituyendo:
n = - log [1- 10580(0.04)]
1000
Log (1+0.04)
n = 12 meses
Conclusión: Se requieren de 12 meses para saldar la deuda de $10,580 con pagos mensuales de $1 000.
* Problema: Si se depositan $3 000 mensuales durante 10 meses, ¿Cuál será el monto de esta operación si la tasa
de interés mensual es 2%?
Solución:
Empleando F=A(F/A, i%, n) = 3000(F/A, 2%, 10)=3000(10.9497)
Conclusión: 10 Pagos mensuales de $3000 a un interés del 2% mensual acumulando un monto de $32849.1
* Problema: Una aspiradora se vende al contado en $25, 000 a plazos, se recarga el valor en un 10% y se ofrece
con el siguiente plan: $5000 de enganche y el saldo en 8 abonos mensuales. Hallar el valor de los abonos y la tasa
de interés cargada .
Solución:
Valor de los abonos
A = [25000(1.10)-5000]/8
47
A = 2812.50/mes
Empleando: P = A(P/A, i%, n)
20, 000= 2812.50(P/A, i%, 8)
(P/A, i%, 8) = 20, 000/2812.50
(P/A, i%, 8)= 7.1111
INTERPOLANDO:
7.0197 3%
7.1111 i%
2%
c = (ad)/b = [(0.0914)(1)
c = 0.2988%
i = valor N°1 - c
i = 3% - 0.2988%
i =2.7% Mensual.
Conclusión: El valor de los pagos serán de $2812.50 cada mes, durante 8 meses, necesarios para saldar la deuda de
$20, 000 a una tasa de interés de aproximadamente 2.7% mensual o de 32.4% anual capitalizada mensualmente.
2.3.2 .- Anualidades Anticipadas: Son aquellas en las que los pagos se realizan al principio de cada periodo,
ejemplo: la renta de un departamento, etc.
48
Calculo de Factores de Pago Único y Serie Uniforme.
Capital o Valor Presente (P):
P = A [ 1 + 1 - (1+i)-n+1] (9)
i
Monto o Valor Futuro (F):
F = A [ (1+i)n+1 - 1] (10)
i
Anualidad o Serie Uniforme :
A=P.
[ 1 + 1 - (1+i)-n+1] (11)
i
ó
A=F.
[ (1+i)n+1 - 1] (12)
i
* Problema: Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $500 al principio de cada mes. Si la cuenta paga 2.3%
mensual de interés, ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año?
Solución:
49
Empleando:
F = A [ (1+i)n+1 - 1]
i
F = 500 [ (1.023)12+1 - 1]
0.023
F = $6977.18
Conclusión: Haciendo depósitos de $500 mensuales, habrá acumulado en un año un monto de $6977.18, a la tasa
de interés de 2.3%.
* Problema: Un comerciante renta un local para su negocio y acuerda pagar $7500 de renta; por anticipado. Como
desearía librarse del compromiso mensual de la renta, decide proponer una renta anual equivalente y también
anticipada. Si se calculan los intereses a razón de 37.44% anual capitalizable mensualmente, ¿De cuánto deberá ser
la renta anual?
Solución:
50
=
Empleando: P = A [ 1 + 1 - (1+i)-n+1]
i
P = $7500 [ 1 + 1 - (1.0312)-12+1]
0.0312
i = 37.44% Anual Cap/Mes
im = 3.12% Mensual = 0.0312
P = $74435.71
Conclusión: Una renta mensual anticipada de $7500 es equivalente a una renta anual anticipada de $76, 435.71
* Problema: En una tienda se vende una bicicleta por $800 al contado o mediante cinco abonos mensuales
anticipados. Si el interés es de 32.24% Anual capitalizado mensualmente, calcúlese el valor del pago.
Solución:
51
Empleando:
A=P.
[ 1 + 1 - (1+i)-n+1]
i
A = $ 800 .
[ 1 + 1 - (1.0268)-5+1]
0.0268
i = 32.24% Anual Cap/Mes
im = 2.68% Mensual = 0.0268
A=$168.57
Conclusión: Para cubrir la deuda de $800, deberá realizar 5 abonos anticipados de $168.57 con una tasa de interés
de 32.24% anual capitalizada mensualmente.
* Problema: La señora González debe pagar $9000 dentro de dos años, y para reunir esta cantidad decide hacer 12
depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2% de interés bimestral. ¿De cuánto deben ser sus
depósitos si hoy realiza el primero?
Solución:
Empleando:
A=F.
[ (1+i)n+1 - 1]
52
i
A = $9000 .
[ (1.092)12+1 - 1]
0.042
A=$568.26
Conclusión: Para cubrir la deuda de $9000 que vence dentro de 2 años, la señora González deberá depositar
$568.26 mensuales a partir
de hoy a una tasa de interés bimestral de 4.2%.
* Problema: En un almacén se vende un mueble de comedor por $4, 600 al contado, o mediante pagos
mensuales anticipados de $511.625. Si el interés es de 29.36% Anual Cap/Mes. ¿Cuántos pagos es necesario
hacer?
Solución:
i = 29.36% Anual Cap/Mes.
im = 2.45% Mensual= 0.0245.
Empleando : P = A [ 1 + 1 - (1+i)-n+1]
I
(P - 1) i= [ 1 - (1+i)-n+1]
A
(1+i)-n+1= 1 - ( P - 1)i
A
-n+1 = log [1- ( P - 1)i]
53
A.
Log i+1
n = 1 - log [1- ( P - 1)i]
A.
Log i+1
n = 1 - log [1- (4600/511.625 - 1)0.0245]
log (1.0245)
n = 10
Conclusión: Deberá realizar 10 pagos mensuales a partir de hoy de $511.625 para cubrir la deuda de $4500.
* Problema: El señor González piensa jubilarse al reunir $100, 000 mediante depósitos mensuales de $500 de las
ganancias que obtiene de su negocio. Si invierte sus depósitos a una tasa de interés de 2.25% mensual e inicia a
partir del día de hoy, ¿En cuánto tiempo reunirá la cantidad que desea?
Solución:
Empleando: F = A [ (1+i)n+1 -1 - 1]
i
(F + 1)i = (1+i)n+1 -1
A
(F + 1)i +1 = (1+i)n+1
A
n+1 = log [(F + 1) i +1 ]
54
A.
log (1+i)
n = log [(F + 1) i +1 ]
A.-1
log (1+i)
n = log [(1000+ 1) 0.0225 +1 ]
500 . - 1
log (1.0225)
n = 75.80 Meses.
n = 75 meses y 24 días.
Conclusión: En un plazo aproximadamente de 75 meses y 24 días, alcanzara reunir la cantidad de $100, 000, si
deposita a partir de hoy $500 mensuales a una tasa de interés del 2.25% mensual.
* Problema : ¿A que tasa de interés anual 15 depósitos anuales anticipados de $800 acumulan un monto de $200,
000?
Solución:
Empleando:
F = A [ (1+i)n+1 -1 - 1]
i
F + 1 = (1+i)n+1 -1
Ai
55
200, 000 + 1 =(1+i)15+1 -1
800 i
251 =(1+i)15+1 -1
I
Por Tanteos:
Si i=30%=0.30
(1.30 16 -1 = 218.47
0.30
Si i=31%=0.31
(1.31 16 -1 = 239.42
0.31
Si i=32%=0.32
(1.32 16 -1 = 262.36
0.32
Interpolando:
239.42 31%
251.00 i%
262.36 32%
c = (ad)/b = [(11.58)(1)]/22.94
c = 0.504795%
i=31.5% Anual.
2.3.3 .- Anualidades Diferidas: Son aquellas en las que el inicio de los cobros o depósitos se posponen para un
periodo posterior al de la formalización de la operación. Para su análisis se emplean las mismas formulas
empleadas en factores de pago único y anualidades vencidas.
ANUALIDADES DIFERIDAS
Definición: Se pospone la realización de los cobros o pagos, se adquiere hoy un artículo a crédito para pagar con abonos
mensuales; el primer pago habrá de hacerse seis meses después de adquirida la mercancía.
Simbología:
R = pago periódico de una anualidad o renta
i = tasa efectiva por período de capitalización
56
j = tasa nominal anual
m = número de capitalizaciones en el año
j/m = tasa nominal con m períodos de capitalización en el año
n = número de períodos de interés o pago
S = monto de una anualidad
A = valor presente a la anualidad
Ejemplo: Considerar una anualidad de $ 1,000.00 anuales, durante 4 años al 5 %.
Datos:
C = 1,000
n = 4 años
i = 5 % = 0.05
S =?
S = 1,000 + 1,000 (1.05)1 + 1,000 (1.05)2 + 1,000 (1.05)3 = 4,310.12
S = 4,310.12
Nota: Puesto que el primer pago gana intereses de 3 años, el segundo pago 2 años, el tercero 1 año y el cuarto coincide con el
término del plazo que se tiene.
Ejemplo: Considerar una anualidad de $ 1,000.00 anuales, durante 4 años al 8 %.
S = 1,000 + 1,000 (1.08)1 + 1,000 (1.08)2 + 1,000 (1.08)3 = 3,246.41
S = 3,246.41
Ejemplo: Considerar una anualidad del $ 1,500.00 anuales, durante 3 años al 3%.
Datos:
C = 1,500
n = 3 años
i = 3 % = 0.03
S =?
S = 1,500 + 1,500 (1.03)1 + 1,500 (1.03)2
S = 1,500 + 1,545 + 1,591.35 = 4,636.35
S = $ 4,636.35
Valor Presente: El valor presente A de una anualidad es la suma de los valores presentes de los distintos pagos, cada uno
descontado al principio del plazo, por tanto, con respecto al ejercicio anterior.
57
A = 1,000 + 1,000 (1.05)-1 + 1,000 (1.05)-2 + 1,000 (1.05)-3 +1,000 (1.05)-4
A = 1,000 + 952.38 + 907.02 + 863.83 + 822.702 = 4,545.932
A = C (1+i)-n Valor Presente
Ejemplo: : Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 200.00 bimestral pagaderos durante 7 años y medio, al 7.5
% nominal convertible bimestralmente
Datos
R = 200
m=6
j = 7.5 % = 0.075
i = j/m = 0.075/6 = 0.0125
n = 7 años ½ = 45 bimestres
200 (1+0.0125)45-1
S=
0.0125
S = 11,983.138
200 1- (1+0.0125)-45
A=
0.0125
A = 6,851.6336
Ejemplo: Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 100.00 mensuales pagaderos durante 15 años, al 9 %
nominal convertible mensualmente.
Datos
R = 100
m = 12
j = 0.09
i = j/m = 0.09/12 = 0.0075
n = 15 años = 180 meses
100 (1+0.0075)180-1
S=
0.0075
58
S = 37,840.57
100 1- (1+0.0075)-180
A=
0.0075
A = 9,859.3408
CALCULO DE LA RENTA CUANDO SE CONOCE EL MONTO (con TABLAS)
De S = R Sn i se obtiene
1
R=S
Sn i
1
Donde =
Sn i
Ejemplo: ¿Cuál tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de
ahorros que paga el 3½ % convertible semestralmente, durante 10 años para que el monto sea de $ 25,000.00 precisamente
después del último depósito?
Datos:
S = 25,000
j 3.5 % = 0.035
m=2
i = j/m = 0.035/ 2 = 0.0175
n = 10 años = 20 semestres
1
R=S
Sn i
1
R = 25,000
S20 0.0175
1
R = 25,000
59
23.70161119
R = 1,054.78
CALCULO DE LA RENTA CUANDO SE CONOCE EL VALOR PRESENTE
Ejemplo: Calcular los pagos por semestre vencidos, necesarios para cancelar el valor de $ 100,000.00 de una propiedad
comprada a 8 años plazo, con el interés del 9 % capitalizable semestralmente.
Datos:
A = 100,000
n = 8 años X 2 = 16 semestres
j = 9 % = 0.09
m=2
i = j/m = 0.09/2 = 0.045
1
A=A
An i
1
A = 100,000
A16 0.045
1
A = 100,000
11.23401505
A = 8,901.5369
! Recomendaciones para la solución de problemas:
Dibujar un diagrama de flujo de caja de ingresos y egresos del problema.
Ubicar el valor presente (P) y el valor futuro (F) en el diagrama de flujo de caja.
Determinar n, renumerando el diagrama de flujo de caja.
Dibujar el diagrama de flujo de caja representando el flujo de caja equivalente deseado.
Establecer y resolver las ecuaciones.
60
* Problema: Una persona compra una propiedad en $5000 de enganche y pagos anuales diferidos de $500 durante
6 años, empezando dentro de 3 años. ¿Cuál es el valor presente de la inversión si la tasa de interés es 8% Anual?
Solución:
P=5000+500(P/A,8%,6)(P/F, 8%, 2)
P= 5000+500(4.6229)(0.8573)
P = $6981.60
Conclusión: El valor actual de la propiedad es de $6981.60
* Problema: La señora López contrae hoy una deuda de $10, 075, que debe pagar mediante un abono de $3000
dentro de tres meses y, después, tantos pagos mensuales de $725 como sean necesarios hasta saldar el total de la
deuda, y comenzando dentro de 6 meses, si el interés al que se contrató el préstamo es de 37.68% anual
capitalizado mensualmente. ¿Cuántos pagos mensuales debe hacer?
Solución:
61
i =37.68% Anual Cap/Mes
im = 3.14% Mensual=0.0314
P' = 10075(1.0314)5-3000(1.0314)2=$8567.92
Empleando:
P = A [ (1 + i)n - 1 ]
i(1+i)n
Desarrollando:
P = (1 + i)n - 1 .
A i(1+i)n i(1+i)n
P=1-1.
A i i(1+i)n
Pi = 1 - 1 .
A (1+i)n
1 = 1 - Pi
(1+i)n A
(1+i)-n = 1 - Pi
A
-n log (1+i) = log (1 - Pi)
A
62
n = Log (1 - Pi )
-A
Log (1+i)
Sustituyendo:
n = - Log [1 - (8567.92)(0.0314)/725]
Log (1+0.0314)
n=15
Conclusión: Se requieren 15 pagos mensuales de $725 a partir del mes seis, para pagar el saldo de la deuda.
* Problema: Si para pagar una deuda de $2500 se hacen 5 pagos mensuales de $700 comenzando 8 meses después
de formalizar la operación. ¿Cuál fue la tasa de interés que se cobró?
Solución:
P'= 2500(1+i)7 = P
Empleando:
P = A [ (1 + i)n - 1 ]
i(1+i)n
2500(1+i)7 = 700 [ (1 + i)5 - 1 ]
i(1+i)5
2500= (1 + i)5 - 1
700 i(1+i)5(1+i)7
3.5714 = (1 + i)5 - 1
63
i(1+i)12
Por tanteos:
Si i=4% = 0.04
(1.04)5 - 1 = 3.3830
0.04(1.04)12
Si i=3% = 0.03
(1.03)5 - 1 = 3.7237
0.03(1.03)12
Interpolando:
4%
i%
3.7237 3%
C = ad/b = (0.1884)(1)/0.3407 = 0.5530%
i= 4%-0.5530 = 3.447%
im = 3.447% Mensual.
Conclusión: La tasa cobrada en la operación es de $41.364% Anual Capitalizada mensualmente.
ANUALIDADES PERPETUAS
Se presenta una perpetuidad o anualidad perpetua, cuando se hacen pagos constantes indefinidamente sin límite de tiempo.
Estrictamente hablando, esta clase de anualidad no se presenta en la realidad, por la sencilla razón de que a causa de lo
cambiante de las tasas que manejan y ofrecen las instituciones financieras y crediticias también las rentas resultan variables a
pesar de que el capital invertido permanezca fijo.
Para que lo anterior se cumpla, el capital al inicio de cada período debe ser el mismo e igual a la inversión inicial, de tal
manera que los intereses que se produzcan durante un período, sean equivalentes a la renta de ese período. Bajo esta
consideración, para calcular dichos intereses basta aplicar las fórmulas siguientes:
I = nCi Donde I = R R = nCi
R = nCi n = 1
R = Ci i siempre se divide entre p (períodos) i/p
Ejemplo: Con el producto de sus ventas la Lotería Nacional instituye una beca trimestral mediante la donación de un cierto
capital “C” que se invierte al 23 % nominal trimestral. Encontrar ese capital para que el importe becario sea de $ 850.00 por
trimestre.
C 850 850 850 850
1 2 … K K+1
64
Datos:
i = 23 % nom. Trim. = 0.23
p=4I=R
R = 850 R = nCi
n=1
C=?
R
C=
n i/p
850
C = C = 14,782.60
1(0.23/4)
Ejemplo: Obtener la renta trimestral de una perpetuidad cuyo valor actual o capital es de $15,000.00 y devenga intereses del
42 % nominal trimestral.
Datos:
C = 15,000 R = 1(15,000) (0.42/4)
p = 4 R = (15,000) (1.105)
i = 42% trim. = 0.42
n = 1 R = 1,575
R=?
Ejemplo: Un departamento de interés social se renta en $ 450.00 mensuales, ¿cuál es la tasa de interés si el propietario lo tiene
valuado en $ 56,000.00
Datos:
R = 450
C = 56,000
p = 12
n=1
i=?
R = nCi/p
RR
65
= i/p p=i
nC nC
Rp
i=
nC
(450)(12) 5,400
i = = = 0.0964
1(56,000) 56,000
i = 9.64 %
Ejemplo: El Gobierno Federal construye un puente carretero, establece un fondo para mantenimiento, que se prevé costará $
60,000.00 por bimestre. A partir del 5º año inclusive. Obtener el valor actual del fondo si se ganan intereses del 45 %
convertible bimestralmente.
R = nCi
R = 60,000
n=1
i = 45 % = 0.45
p=6
(60,000)(6)
C = = 800,000
1(0.45)
Otras formas de despejar
GRADIENTES
Es una serie de cosas en progresión.
Producto Nacional Bruto (PNB):
Representa el valor total de los actuales precios de todos los bienes y servicios producidos para venta más el valor estimado de
ciertas producciones implícitas.
Principales componentes del PNB:
•
Desembolso de consumo personal
•
Bienes durables
•
Bienes no durables
•
Servicios
66
•
Inversión doméstica privada bruta
•
Exportaciones netas de bienes y servicios
•
Compras gubernamentales de bienes y servicios (federal, estatal, local).
AMORTIZACION
1.- CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN DE LAS AMORTIZACIONES
La utilización del equipo productivo durante el ejercicio económico, origina el coste de amortización que es un tipo
de coste que forma parte del total del producto, atendiendo a la clasificación de costes según su naturaleza.
Dentro del activo fijo amortizable debemos diferenciar, a su vez, el material (elementos patrimoniales tangibles,
muebles e inmuebles) e inmaterial (elementos patrimoniales intangibles, constituidos por derechos susceptibles de
valoración económica), pues los costes asociados a los mismos van a ser diferentes, ya que las características de
ambos también los son.
Costes del activo fijo material
Se pueden clasificar en dos grandes grupos: 1) costes asociados a las diferentes causas de depreciación y 2) costes
derivados de las reparaciones y mantenimiento. Ambos conceptos se encuentran relacionados, ya que cuanto
mayores son los costes de reparaciones y mantenimiento, menor será la depreciación sufrida por los elementos.
•
Causas de la depreciación:
• Utilización del elemento en el proceso productivo: Todos los bienes tienen una duración y una
capacidad limitada de producción a lo largo de la vida útil; por ello, según se van utilizando, van consumiendo su
capacidad y productividad, perdiendo valor (Amortización funcional).
• Desde el punto de vista técnico, la depreciación incide sobre el inmovilizado, haciéndole perder
parte de su poder para generar productos, así como una pérdida del rendimiento potencial del mismo.
•
Desde el punto de vista económico, será el traspaso del valor del activo a los productos obtenidos
en el proceso.
• Desde el punto de vista financiero, la amortización funcional consiste en la recuperación de forma
gradual de los fondos invertidos en la adquisición de los elementos del inmovilizado, que se carga a los productos
finales como un componente de coste más.
• Transcurso del tiempo: el simple paso del mismo supone un envejecimiento del inmovilizado
material, independientemente de su utilización (Amortización física). Es necesario no confundirla con aquella otra
establecida en función del reparto del tiempo, como puede suceder con las concesiones administrativas.
• Obsolescencia motivada por el avance de la tecnología, así como los cambios de demanda: lo cual
lleva a que diferentes tipos de productos no sean competitivos en el mercado, lo que supone una perdida de valor
(Amortización económica u obsolescencia).
De forma general, este coste de resumir las diversas causa de depreciación, aunque si desglosamos cada uno de los
componentes, la amortización funcional formará parte del coste del producto. La amortización física se debe de
considerar ajena al coste del producto, tratándolo como un coste de subactividad. La amortización por
obsolescencia no debe de cargarse al coste de los productos por no ser previsible.
•
Costes de mantenimiento y reparaciones: Los costes ocasionados por el mantenimiento y las
reparaciones están relacionados con los productos obtenidos previamente, pero no lo están con los productos
futuros, pues corrige defectos originados en la producción previa. Se puede considerar que van a ser costes de
carácter indirecto, normalmente cuantificables, y se incorporan en función de los criterios utilizados para
67
repartir los costes de amortización.
Los costes de mantenimiento son más regulares y uniformes, mientras que los de reparación son más irregulares.
Normalmente, estos costes se cargan en el período en que se producen. En determinadas ocasiones, la empresa
puede establecer unas previsiones de costes para imputarlos, de forma uniforme, a los productos y no incrementar,
de forma indiscriminada, aquellos productos derivados del período de reparación.
El coste del inmovilizado inmaterial
La base de valoración es el principio de adquisición y de importancia relativa, al igual que para el inmovilizado
material (para el inmaterial la activación de intereses no se produce). Los costes de depreciación que sufren se
imputa en función de su vida útil.
Dentro del inmaterial destacan los gastos de I+D. Atendiendo a la IASC 9 se entiende por Investigación todo
estudio original y planificado, emprendido con la finalidad de obtener nuevos conocimientos. Por Desarrollo, la
puesta a punto de la investigación o cualquier otro tipo de conocimiento científico, en un plan o diseño para la
producción de materiales, productos, métodos o procesos o sistemas nuevos o sustancialmente mejorados, antes de
su explotación comercial. Pueden existir dificultades a la hora de decidir qué costes son imputables a las
actividades de I+D, para ello señalamos los siguientes:
•
Sueldos, salarios y otros gastos de personal
•
Costes de materiales y servicios
•
Depreciación del equipo
•
Un grupo de costes indirectos
La distribución de los costes de I+D entre los diversos períodos está determinada por su relación con los beneficios
futuros generados por las actividades que los han producido. En el caso de que dicha relación sea nula, por diversas
causas, los costes de I+D se han de cargar como costes del ejercicio en que se realizan. Este tipo de costes se
amortizan o bien atendiendo al ritmo de venta o al uso del producto, repartido entre un período razonable de
tiempo.
El coste del inmovilizado inmaterial
Por amortización se puede entender un concepto económico en el que se incluye la pérdida de valor que sufren los
activos fijos y que, por tanto, va a suponer un coste para la empresa. El valor de la depreciación se le imputa al
coste de la producción industrial por las siguientes razones:
• Por el esfuerzo de recuperar el capital invertido en forma de activos de producción.
• Por el rigor en la determinación de los costes de producción, para los fines y objetivos de la
Contabilidad de Costes.
• Por la inclusión de la depreciación en los gastos de funcionamiento, con objetivos tributarios.
El concepto de amortización puede ser considerado desde diferentes puntos de vista. Desde una
óptica contable, será considerado como la parte del coste de inmovilizado que se incorpora en el coste final del
producto. Ateniendo a la definición del PGC, por amortización se entiende la depreciación sistemática anual
efectiva sufrida por el inmovilizado, por su aplicación al proceso productivo. Desde una óptica financiera, se
considera como el medio para la recuperación, al final de la vida útil, del capital invertido en un bien del
inmovilizado. Desde la óptica fiscal, es una partida, que puede ser utilizada por la empresa con la posibilidad de
diferir el impuesto, dependiendo del método de amortización utilizado. Según las diferentes ópticas, las funciones
que realiza la amortización dentro de la empresa son:
• Función de carácter contable: con objeto de incorporar el coste del elemento productivo al
coste total de la producción. Será necesaria la utilización de algún procedimiento que permita la asignación del 68
coste de amortización entre los diversos ejercicios económicos de la vida útil, y al mismo tiempo, dentro de cada
ejercicio productivo, entre los diversos outputs.
• Función financiera: con objeto de la recuperación del capital invertido en la adquisición de los
elementos del activo fijo. Cuando los fondos procedentes de la amortización no son de reinversión inmediata,
puede dar lugar a un exceso de disponibilidades transitorias en el activo, hasta la renovación. Esto es lo que origina
la consideración de que los fondos procedentes de la amortización pueden considerarse como parte de la
autofinanciación de la empresa.
Del concepto de coste de amortización se derivan una serie de características básicas:
• Es la valoración económica de la pérdida de valor de un bien del activo fijo. Esto supone que tiene
un carácter intangible y que el consumo se va realizando en forma no divisible del elemento del inmovilizado. Esto
supondrá que dicho coste tiene un valor relativo y de difícil contrastación.
• Supone la estimación de desgaste físico de los activos fijos que intervienen en la producción, por
lo que consideramos que los elementos del inmovilizado son factores de producción.
• Aparece como consecuencia de la aplicación al proceso productivo de los bienes de inmovilizado,
por lo que se puede considerar la amortización como un coste normal de producción. Cuando la pérdida de valor
del elemento se deriva por causas extraordinarias no da lugar a un coste de amortización, sino que origina pérdida
independiente del proceso productivo.
La importancia de la determinación de este coste se centra en dos causas fundamentales: en primer lugar, como un
sistema para repartir el coste de factores productivos entre varios años y entre el total de unidades producidas, y en
segundo lugar, como medio para la renovación de la inversión efectuada.
El problema que se puede plantear en períodos de inflación es que el valor de reposición sea mayor que su valor
histórico. A esto hay que unir el cambio tecnológico que se produzca y las modificaciones de los elementos.
Cuando se trate de repercutir el coste histórico inicial, se hablará de un sistema de amortización a coste histórico;
cuando se trate de financiar la renovación, se habla de un sistema de amortización a precio de reposición.
Mientras que el coste de materiales y de mano de obra son costes que pueden determinarse con cierta objetividad,
la amortización no cumple estas características. Las razones fundamentales que lo implican pueden sintetizarse en:
política de empresa, el tiempo considerado como vida útil de los elementos de inmovilizado, sistemas de
amortización utilizados y métodos para su cuantificación y el valor del inmovilizado utilizado como base de
cálculo, entre otros.
2.- TRATAMIENTO CONTABLE DE LA AMORTIZACIÓN
Con relación a este tratamiento, se ha de realizar un doble cálculo dentro de la empresa. Por una parte, tenemos las
amortizaciones calculadas en el ámbito externo. Estas amortizaciones externas se denominan calculadas y se
llevan como gasto a la Cuenta de Pérdidas y Ganancias. Los métodos de cálculo suelen caracterizarse por su
sencillez, pero pueden provocar discrepancias entre las cuotas de amortización y los valores consumidos. La
amortización estará calculada sobre la base de Principios Contables generalmente aceptados y, en determinadas
circunstancias, están acorde a lo establecido en el Reglamento de Impuesto sobre Sociedades.
Desde el punto de vista interno las amortizaciones se suelen denominar imputadas, y dependen de la aplicación real
de los bienes al proceso productivo. Por tanto, su determinación estará ligada a una perspectiva temporal efectiva
de utilización del equipo.
Las discrepancias fundamentales entre estas dos amortizaciones se centran en los siguientes puntos: si se aplican
sistemas de amortización no lineales, los costes imputados en los diferentes ejercicios son distintos, pero no
consideran la contribución del inmovilizado al proceso productivo; en determinadas circunstancias, los métodos de
amortización utilizados por la Contabilidad Financiera pueden considerarse rígidos, en el sentido de que si un
elemento del inmovilizado deja de utilizarse de forma extraordinaria en el transcurso del ejercicio económico, se
puede seguir dotando la amortización hasta que finalice el período previamente establecido, mientras que desde el
ámbito de la Contabilidad de Costes, se considerará que no existe coste de ese inmovilizado; ocurre lo contrario 69
si desde el ámbito de la Contabilidad financiera se considera finalizada la vida útil aunque se siga utilizando en el
proceso productivo.
El esquema contable, desde el ámbito externo, es crear una cuenta de carácter indirecto, llamada Amortización
Acumulada del Inmovilizado; mientras que desde el ámbito interno, una vez calculado el coste de amortización,
éste pasa directamente a los diferentes centros o secciones que podemos encontrar dentro de la empresa y a partir
de aquí, y mediante los portadores de coste, a los productos, o bien de forma directa a los productos y al cálculo del
resultado (como ocurre con el modelo inorgánico de agregación de costes).
Para determinar el coste de amortización del ejercicio, es necesario conocer el valor del inmovilizado y el método
de amortización. La base de cálculo viene dada por el valor amortizable, que se obtiene por diferencia entre el
valor de adquisición y el valor residual, siendo éste el importe que se puede recuperar con la venta del elemento
una vez finalizada su vida útil. Dicho valor amortizable será la cantidad a repartir durante la vida útil y el coste
imputable en concepto de utilización del elemento. Con relación al valor del inmovilizado, podemos encontrar
diversos criterios:
• Precio de adquisición; bien el precio de compra (incluye, además, el coste de transporte,
instalación, etc.) o el coste de producción (coste de materias primas más costes directamente imputables, sin
olvidar los costes indirectos que le pertenezcan), es decir, aquellos costes adicionales para su utilización inmediata.
Se incluye como mayor valor del inmovilizado, los intereses que devengan los préstamos con que se
financia su adquisición y puesta en funcionamiento (Intereses intercalarios), durante el tiempo que transcurre hasta
que el elemento se encuentra en condiciones normales de funcionamiento. Se diferencian de los intereses
financieros en que se van a periodificar e imputar a costes de ejercicios posteriores, junto con la amortización.
• Coste de reposición; se tomará como valor del inmovilizado el valor que el bien tenga actualmente
en el mercado. El problema puede radicar en varias razones: no se conoce con certeza la evolución de los precios ni
la incidencia que pueda tener la inflación; no es posible determinar con exactitud el momento de renovación del
equipo industrial; en determinadas circunstancias no será posible la sustitución de un elemento por otro
exactamente igual, debido a los avances de la tecnología.
Para imputar los costes de amortización a los productos existen varios criterios. El más utilizado es el coste/hora
(en las construcciones el coste/m2). En dicho caso se hace necesario un control de las horas que se está usando la
maquinaria, considerándolas como horas directas.
3.- SISTEMAS DE CALCULO DE LAS AMORTIZACIONES
Sistemas Financieros
Son métodos que incorporan el interés de la inversión realizada junto con las cuotas de amortización, para
recuperar el valor del inmovilizado (normalmente toman como valor amortizable el precio de adquisición). Dentro
de los sistemas financieros podemos diferenciar, principalmente, entre el Método del Fondo de Amortización y el
Método de las Anualidades de Amortización Financiera.
Sistemas Económicos
Son métodos que no consideran el interés de la inversión realizada para la recuperación del valor del inmovilizado.
Con carácter general se emplea el tiempo transcurrido en cada período como base de cálculo de la amortización
para su imputación en la cuenta de resultados, desde la óptica de la contabilidad financiera, mientras que desde la
óptica interna, suele considerarse la base de reparto en función del consumo de los factores de producción,
considerando en la imputación del coste de amortización, las unidades producidas. Atendiendo al reparto en el
tiempo, los diferentes métodos de amortización son los siguientes:
• Sistema de cuota constante de acuerdo con los coeficientes señalados en las tables del Ministerio
de Economía y Hacienda.
•
Sistema de amortización lineal. Todos los años se amortiza la misma cantidad, mediante la
aplicación de un porcentaje constante sobre el valor de adquisición, o bien en función del número de años de
70
vida útil.
• Método de la suma de dígitos progresivo o degresivo. En el primero de ellos, la cuota de
amortización es mayor en los períodos económicos posteriores. En el método degresivo, la cuota disminuye a
medida que transcurre la vida útil del bien.
Sistemas aplicados en la contabilidad de costes
En el ámbito interno, la imputación de los costes de amortización puede realizarse según los métodos
basados en estimaciones de consumo, denominados sistemas predeterminados, y en métodos centrados en los
consumos reales medidos o sistemas históricos. También se incorpora un método intermedio por suplementos de
costes.
•
Métodos basados en los consumos estimados. En éstos la cuota de amortización está fijada al
comienzo del período, permitiendo el cálculo de costes y la valoración de inventarios, la fijación de precios y la
determinación de márgenes durante el proceso productivo, sin esperar al cierre del ejercicio. Dentro de estos
modelos encontramos las siguientes modalidades:
• Sistemas predeterminados en función de portadores físicos, como puede ser las horas de
utilización, unidades producidas o cantidades de materia prima tratada. Dichos sistemas pretenden obtener una
cierta homogeneidad en la incidencia del consumo dentro de la producción del período; mediante el conocimiento
del coeficiente de rendimiento del bien, obtenemos del tiempo natural el tiempo homogéneo, y a partir de éste,
gracias al conocimiento de determinadas características técnicas del bien, el tiempo efectivo.
• Sistemas predeterminados de portadores temporales, en los cuales el coste total del activo se
reparte en función de los períodos de vida útil del mismo, partiendo de la consideración de que la depreciación está
en función del paso del tiempo.
• Sistemas mixtos, son aquellos en los que el reparto se hace primero en función del tiempo y
después se imputa a las unidades producidas (hora/máquina, hora/hombre, etc.)
• Métodos a coste histórico, en los cuáles el coste de amortización se determina al finalizar la
producción. Es decir, la valoración de los diferentes consumos no se realiza hasta que no se tengan los datos
globales, y posteriormente, se determina el coste y se reparte entre cada portador elegido. Dentro de este sistema
están los siguientes: sistema histórico de portadores físicos, sistema histórico de portador fijo y sistema mixto.
• Métodos por suplementos de costes directos. Son aquellos métodos que se basan en la correlación
existente entre el valor del coste de amortización correspondiente a un determinado producto y el importe de otros
conceptos de costes imputables al mismo (materia prima y mano de obra). En este caso, es necesario aplicar
diversas técnicas estadísticas como pueden ser las regresiones lineales. La ventaja de este método es poder conocer
que parte de este coste es fijo y variable.
4.- OTROS GASTOS GENERALES DE FABRICACIÓN
Se denomina así a un conjunto de costes que se caracterizan por los siguientes puntos:
•
Son costes indirectos al producto, siendo necesario para su imputación el establecimiento de
diversos criterios o claves de reparto.
• Son costes irrelevantes, con relación a los costes directos totales, ya que no desempeñan un papel
fundamental en la toma de decisiones empresariales.
• Son costes que no tienen una relación explícita causa - efecto entre la aplicación de un grupo de
factores productivos y la obtención de los productos.
No existe una clasificación cerrada de todos aquellos conceptos que se puedan recoger bajo este epígrafe, sino que
será cada empresa y cada período económico el encargado de realizar dicha clasificación. Los costes generales
de fabricación, incluidos dentro del grupo de costes indirectos, se caracterizan porque se reparten o bien a las 71
secciones o bien a los productos, utilizando determinados criterios de reparto. Estos criterios se deben caracterizar
porque existe una proporcionalidad entre el coste que se reparte y la unidad utilizada para repartir dichos costes, y
han de incentivar el rendimiento en la utilización de recursos escasos.
Ejemplos de estos criterios son: 1) en los materiales indirectos, las horas de trabajo, el coste de los materiales
directos, etc.; 2) en la mano de obra indirecta, el coste de la mano de obra directa, de las horas de trabajo, etc.; y 3)
en la energía, la potencia instalada, las horas de trabajo, etc.
5.- TRATAMIENTO CONTABLE DE LOS C.G.F.
Como ya dijimos, será la propia empresa la que establezca qué partidas va a incluir dentro de estos costes, en
función de su importancia relevante o no para la toma de decisiones y las propias características del proceso
productivo. Para contabilizar dichos gastos se procederá a tomar los siguientes pasos:
•
Se reflejará en la contabilidad interna los gastos soportados por la empresa procedentes de la
contabilidad externa, clasificándolos. Se identificarán según su naturaleza, se realizará una periodificación de los
mismos atendiendo al principio de devengo para determinar las cuantías de cada factor, y en el caso de que sea
posible, se separarán en fijos y variables.
•
Una vez clasificados, los distintos costes se irán imputando a las diferentes secciones o centros de
la empresa, en función del criterio de reparto establecido, en el caso de un sistema de costes orgánico. Si se trata de
un modelo inorgánico, se llevarán directamente a los portadores.
•
Cuando se haya obtenido el total de costes indirectos de cada una de las secciones, se procederá a
la realización de la liquidación de estos costes entre las fases auxiliares, procedimiento denominado subreparto.
•
Los coste generales que son soportados por las secciones de aprovisionamiento y transformación
formarán parte del coste del producto.
•
Los costes de las secciones comercial, administración, junto con los costes de subactividad, se
tendrán en cuenta para determinar el resultado analítico del período.
•
Se contabilizarán las desviaciones, producidas entre los gastos contabilizados desde el punto de
vista externo y los costes realmente soportados, desde el punto de vista interno, formando parte del resultado
analítico de explotación.
•
Una vez establecidos los CGF, la empresa debe asignarlos al producto final mediante la
imputación, a fin de obtener el coste total de la producción.
El principal problema radica en la cuantificación de los consumos, puesto que esta magnitud no se conocerá hasta
el cierre del ejercicio, lo que supondrá una estimación previa de los mismos. Como consecuencia de la
incorporación de costes presupuestados, al final del ejercicio existirán diferencias de incorporación
(subaplicaciones o sobreaplicaciones). Dichas diferencias se podrán liquidar mediante los siguientes métodos:
•
Incorporar las diferencias a la cuenta de resultados del período, modificando el margen industrial.
•
Liquidación con contrapartida al resultado del ejercicio y a los inventarios de producción.
•
Reparto proporcional entre el coste de venta y los inventarios, modificando el coste de producción,
sobre la base de los costes generales de fabricación reales.
IMPORTANCIA DE LA AMORTIZACIÓN PARA EL BIENESTAR DE LA ECONOMÍA
Evidentemente el mayor avance relacionado con instrumentos financieros durante años recientes ha sido la
aparición de la hipoteca a largo plazo o amortizable. Este instrumento ha favorecido que se incremente la cantidad
de flujos de efectivo destinados a la vivienda. El desarrollo de hipotecas a largo plazo amortizables, descansó
primordialmente en nuevos cometidos del gobierno federal. Con el fin de estimular la construcción de viviendas
72
durante la época de depresión, el gobierno federal a través de la Federal Housing Administration, procedió a
garantizar préstamos a largo plazo amortizables, garantizados con propiedades residenciales. Posteriormente
también aparecieron los préstamos garantizados con hipotecas por parte de la Veterans Administration respecto a
viviendas adquiridas por los veteranos de la guerra.
DETERMINACIÓN DEL PAGO DE LA AMORTIZACIÓN
Cuando una deuda se amortiza efectuando pagos iguales a intervalos iguales de tiempo, la deuda en sí estará
representada por el valor presente de una anualidad, veamos un ejemplo:
Daniela Sierra contrae hoy una deuda de $95,000.00 al 18% convertible semestralmente, que amortizará mediante
6 pagos semestrales iguales, R, el primero de los cuales vence dentro de 6 meses. ¿Cuál es el valor de estos pagos,
o el valor de R?
Los pagos constituyen una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata con valor actual o C de $95,000.00
R =? n = 6
C = $95,000.00
i = 0.18/2 = 0.09
Si:
C=R 1-(1+i)-n
i
R=___C(i)___ = 95000(0.09) = __8550__ = 21,177.36
1-(1+i)-n 1-(1.09)-6 0.403733
1er sem. 2do. sem. 3er. Sem 4to. Sem. 5to. Sem. 6to. Sem.
21,177.36 21,177.36 21,177.36 21,177.36 21,177.36 21,177.36
Seis pagos semestrales vencidos de $21,177.36 amortizan una deuda con valor actual de %95,000.00 con intereses
a 9% semestral.
Por otro lado el concepto de fondo de amortización es el inverso del de amortización, ya que en el primero la deuda
a pagar es una cantidad en valor actual mientras que, en el caso del fondo se habla de una cantidad o deuda a pagar
a futuro, para lo cual se acumulan los pagos periódicos con objeto de tener en esa fecha futura la cantidad
necesaria.
Amortización.- Se refiere a la extinción, mediante pagos periódicos, de una deuda actual.
Fondos de amortización.- Son la acumulación de pagos periódicos para liquidar una deuda futura.
Veamos el siguiente ejemplo:
Una empresa obtiene un préstamo por $700,000.00 que debe liquidar al cabo de 6 años. El Consejo de
Administración decide que se hagan reservas anuales iguales con el objeto de pagar la deuda en el momento de su
vencimiento. Si el dinero del fondo se puede invertir de manera que produzca 16% de interés, ¿Cuánto se deberá
depositar en el fondo para acumular $700,000.00 al cabo de 6 años?
En este caso, la deuda es el monto de una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata:
73
R=?
M = 700,000.00
i = 0.16
n=6
M=R(1+i)n-1
i
R = __M(i)____
(1+i)n -1
R = 700,000(0.16) = _112,000_ = 77,972.91
(1.16)6 -1 1.436396
R = $77,972.91
CAPITAL INSOLUTO O DEUDA PENDIENTE DE AMORTIZACIÓN
Conocer cuál es el capital insoluto de una deuda a una fecha dada resulta ser con frecuencia muy importante. El
deudor podrá desear liquidar la parte restante de la deuda efectuando un pago global o el prestamista podrá desear
traspasar el derecho que tiene sobre la cantidad que se le adeuda. Para poder calcular el principal de la deuda aún
pendiente en un momento determinado, podemos calcular el valor de los pagos restantes a dicha fecha.
Como ejemplo tomemos el siguiente caso:
Con el fin de pagar una deuda de $8000 un señor obtuvo un préstamo a 10 años con intereses del 12% anual
capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el capital insoluto sobre la deuda después de que haya efectuado pagos
durante 5 años?
Consideremos el pago mensual o renta por $114.78. Con el fin de determinar el capital insoluto, establecemos una
ecuación de valor y comparamos la deuda original con los pagos que a se hayan efectuado. Colocamos la fecha
focal en el pago no. 60 y llevamos todo a esa fecha:
X = $8000(1.01)60 114.78 x s60
= 8000 x 1.816691 -- 114.78 x 81.66967
= 14,533.58 - 9374.04
= $5,159.54
Hasta el momento la principal deuda tan sólo se ha reducido en 8000 - 5,159.54 = $2,840.46, aún cuando el señor
ha pagado $6,886.80. Durante los primeros años del programa o plan de amortización a largo plazo, gran parte del
dinero se destina a pago de intereses. Reconocer esta realidad conduce a que para fines prácticos el comprador de
una casa de tratar de obtener un préstamo de quién cargue la tasa de interés más baja y que permita que el
solicitante del préstamo pueda pagar más rápido de lo que establezca el contrato, bonificando intereses o no
cobrando intereses no devengados.
CAPITAL AMORTIZADO
La participación de propiedad se inicia con el enganche y poco a poco se incrementa por aquella parte de los74
pagos mensuales que supera el interés. Respecto a un préstamo a largo plazo, la propiedad de una casa por ejemplo,
se va adquiriendo poco a poco, ya que los cargos por intereses son elevados en los primeros años. La porción que
ya pertenece al deudor se obtiene restando el capital insoluto de la deuda al préstamo original y a esto se le suma el
enganche.
Cabe señalar que el valor de una propiedad adquirida de ésta forma no toma en cuenta incrementos o decrementos
en el valor de la misma. Cuando se deteriora una vecindad o una propiedad, su propietario no podrá recuperar la
inversión cuando venda la propiedad o el inmueble. Por otro lado, cuando una propiedad aumenta de valor, la
propiedad estimada será inferior al verdadero valor de la inversión del propietario. Un periodo prolongado de
precios crecientes y un régimen atractivo para las ganancias de capital han conducido a obtener rendimientos
financieros muy atractivos sobre muchos bienes raices.
Veamos el siguiente ejemplo en dónde una persona compra una casa con valor de $62,500 pagando $12,500 de
enganche. El propietario de la casa obtiene un préstamo a 25 años e intereses del 12% por el saldo. Los pagos
mensuales que deberían efectuarse eran de $526.62. ¿Qué parte del valor total corresponderá al propietario después
de 10 años?
Capital insoluto = 50,000(1.01)120 - 526.62s120
= 165,019.34 - 121,142.97
= $43,876.37
Incremento de la participación de la propiedad = 50,000 - 43,876.37
= $6,123.63
Al final de 10 años el propietario ha pagado un total de $63,194.40 para obtener una participación de $6,123.63
sobre la casa.
PROGRAMA DE AMORTIZACIÓN
Cuando las deudas se liquidan utilizando el método de amortización, resulta muy importante conocer qué parte del
pago se destina a intereses y qué parte se destina a reducir el capital. En el siguiente ejemplo podemos apreciar que
los intereses podrán representar una parte significativa del pago periódico.
Una persona compra una casa y obtiene un préstamo hipotecario a 25 años por valor de $50,000 debiendo pagar
intereses del 12%. Los pagos mensuales ascenderían a $562.62. El comprador que acude a la institución bancaria a
hacer el primer pago mensual pensará que está comprando la casa. Del pago que se realiza ¿cuánto se aplica a
amortizar el préstamo de la casa?
Supongamos que la tasa de interés es del 1% mensual. El interés para el primer mes sería de $500. Si se deduce la
cantidad del pago mensual se puede apreciar que el propietario sólo esta adquiriendo $26.62 de la casa con el pago,
el capital insoluto se reduce a $5000 - 26.62 = $49,973.38. El interés del segundo mes se calcula sobre ese capital
insoluto y asciende a $499.73. Con este segundo pago el comprador adquiere una mayor parte de la casa, 27cts.
para ser precisos. A medida que se hacen los pagos, la mayor parte de ellos se aplicará a la deuda. Cuando ésta se
reduce aprox. a $20,000 (que para esto tienen que transcurrir 21 años), los intereses tan solo ascenderán a $200 por
lo que la mayor parte del pago se acreditará al capital insoluto para así adquirir la propiedad de la casa.
Una persona que compra una casa sobre un plan de amortización deberá recibir un estado periódico del prestamista
que señale cuánto interés ha pagado y cuánto se ha reducido el valor de su deuda. El comprador podría obtener una
cédula o tabla de amortización que le indique en detalle y en cualquier momento el desglose de intereses y
amortización a capital y saldo insoluto.
Veamos el siguiente ejemplo con su respectiva tabla de amortización:
75
Una deuda de $5000 se amortizará mediante 5 pagos semestrales al final de cada semestre
Si el interés se carga a una tasa del 6% capitalizable cada 6 meses, determinar el pago
periódico y construir una tabla de amortización.
(1)
(2)
(3)
Número de
Pago total
pago
(4)
(5)
Pago aplicado
Pago aplicado a
a amortización Capital
intereses .03 x
de capital (2) - (5) - (4)
(5)
(3)
insoluto
$5,000.00
1
$1,091.78
$150.00
$941.78
$4,058.22
2
$1,091.78
121.75
970.03
3088.19
3
$1,091.78
92.65
999.13
2089.06
4
$1,091.78
62.67
1029.11
1059.95
5
$1,091.78
31.8
1059.95
$5,458.90
$458.87
$5,000.00
IMPORTE DE LOS PAGOS EN UNA AMORTIZACIÓN
Tomemos el siguiente ejemplo para ver cómo se puede obtener el importe de los pagos de una
amortización:
Calcular el valor de los pagos y elaborar una tabla de amortización para saldar un adeudo de $4000.00
contratado a 42% convertible bimestralmente, si la deuda ha de quedar saldada al cabo de una año,
haciendo pagos bimestrales comenzando dentro de 2 meses.
C= 4,000.00
n= 6
i = 0.42/6 = 0.07
R = ___Ci____ = 4,000(.07) = ___ 280____ = 839.18
1-(1+i)-n 1-(1.07)-6 0.33365778
La renta o los pagos bimestrales es de $839.18
Tabla de amortización:
Pago
bimestral
Fecha
Al momento
operación
de
7%
sobre
insolutos
saldos
Amortización
la
Saldo
4,000.00
Final del bimestre 1
839.18
280.00
559.18
3,440.82
Final del bimestre 2
839.18
240.86
598.32
2,842.50
76
Final del bimestre 3
839.18
198.97
640.21
2,202.29
Final del bimestre 4
839.18
154.16
685.02
1,517.27
Final del bimestre 5
839.18
106.21
732.97
784.30
Final del bimestre 6
839.20"
54.90
784.30
0.00
Totales
5,035.10
1,035.10
4,000.00
DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR Y SALDO A FAVOR DEL ACREEDOR
En una operación de compraventa a crédito, después de que el deudor ha realizado algunos pagos, ha
adquirido parcialmente el bien, mientras que el acreedor, de haber recibido estos pagos, ya no es
propietario de todos los derechos sobre el bien sino sólo de una parte. En general, en cualquier operación
de amortización de una deuda, y en cualquier momento
Derechos del deudor + Derechos del acreedor = Valor de la operación
Retomando el ejemplo anterior queda claro que al termino del segundo bimestre resta un saldo de
$2,842.50, éstos corresponden a los derechos que aún son propiedad del acreedor y, al mismo tiempo los
derechos del deudor serían:
4,000 - 2,842.50 = 1,157.50
Sin necesidad de elaborar la tabla de amortización se podrían calcular estas cantidades de la siguiente
manera:
Los derechos del acreedor (Saldo):
4000(1.07)2 - 839.18 (1.07)2 -1 =
0.07
4579.60 - 1737.10 = 2,842.5
Y por otro lado los derechos del deudor son:
839.18(1.07)2 - 1 - [(4000)(1.07)2 - 4000]
0.07
1737.10 - 579.6 = 1,157.5
2.4 .- Amortización:
Introducción: En el área financiera, amortizar significa saldar gradualmente una deuda por medio
de una serie de pagos que, generalmente, son iguales y que se realizan también a intervalos de
tiempo iguales. Aunque esta igualdad de pagos y de periocidad es lo más común, también se
llevan a cabo operaciones con algunas variantes y, por ello, se analizan aquí algunas de estas
situaciones.
Tablas de Amortización: Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los intereses y a
reducir el importe de la deuda. Para visualizar este proceso conviene elaborar una tabla de amortización que
muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la amortización y el saldo.
n
Pago
i% de interés sobre saldo
Amortización
Saldo
77
Donde : n : Numero de Periodos, Pago: Es una cantidad constante que se calcula con la formula (5) es decir:
A = P [ i(1 + i)n ]
(1+i)n - 1
i% : Tasa de interés que corresponde al periodo de capitalización y la cual se aplica al saldo de la deuda.
Amortización: es el abono a la deuda, siendo la diferencia entre el pago y los intereses.
Saldo: Es el capital insoluto (Capital Vivo).
Derechos del Deudor y del Acreedor: Resulta fácil ver que, por ejemplo, en una operación de compra-venta a
crédito, después de que el deudor ha realizado algunos pagos, ha adquirido parcialmente el bien, mientras que el
acreedor, al haber recibido esos pagos, ya no es propietario de todos los derechos sobre el bien sino solo de una
parte (El saldo a su favor). En general, en cualquier operación de amortización de una deuda y en cualquier
momento:
Derechos Derechos Valor
del + del = de la
Deudor Acreedor Operación
(Amortización) (Saldo Insoluto) (Deuda)
Calculo de la amortización y saldo insoluto: La amortización se obtiene como la diferencia entre el abono y el
interés, es decir:
AMn=A[(1+i)n-1] - P [(1+i)n-1] (13)
i
donde A= Pago y P= Capital; mientras que el saldo insoluto se obtiene como la diferencia de la deuda menos el
abono, es decir:
SIn= P [(1+i)n-1] - A[(1+i)n-1] (14)
i
* Problema: Una persona contrae una deuda por $500, 000 para ser cancelada mediante pagos semestrales durante
2 ½ años a una tasa de interés del 28% Anual capitalizado semestralmente.
Calcular el valor del pago semestral.
Elaborar una tabla de amortización.
Solución:
a) Empleando: A= P [i(1+i)n]
(1+i)n-1
78
A= 500, 000 [0.14(1.14)5]
(1.14)5-1
A=$145, 641.77 Cap/Semestre
i=28% Anual Cap/Sem
is=14% Semestral= 0.14
n=2 ½ Años = 5 semestres.
b) Elaborando tabla de amortización:
n
Pago Semestral
0
-
14% de Interés
Amortización
sobre saldo
-
1
145, 641.77
70, 000.00
75, 641.77
424, 358.23
2
145, 641.77
59, 410.15
86, 231.62
338, 126.61
3
145, 641.77
47, 337.73
98, 304.04
239, 822.57
4
145, 641.77
33, 575.15
112, 066.62
127, 755.95
5
145, 641.77
17, 885.82
127, 755.95
-
Saldo
$500, 000
$728, 208.85 $228, 608.85 $500, 000.00
* Problema: Con el objeto de desarrollar un área industrial, se conceden prestamos de fomento por: $500, 000 con
el siguiente plan de amortización: plazo 5 años; cuotas semestrales con una tasa de 4% semestral, en los dos
primeros años, se amortiza el 20% de la deuda y, en los tres últimos años el 80%.
Obtenga el valor de los pagos semestrales.
Elaborar una tabla de amortización.
Solución:
a) Valor de los pagos:
Primeros 2 años se amortiza 20%($500, 000)=$100, 000
Últimos 3 años se amortiza 80%($500, 000)=$400, 000
Empleando: A= P [i(1+i)n]
(1+i)n-1
is =4% Semestral = 0.40
n =2 años =4 Semestres.
A =100, 000 [0.04(1.04)4] = $27, 549 c/Sem en los dos primeros años
(1.04)4-1
79
is =4% Semestral = 0.40
n =3 años =6 Semestres.
A =400, 000 [0.04(1.04)6] = $76, 304.76 c/Sem en los últimos 3 años.
(1.04)6-1
b) Elaborar tabla de amortización:
n
Pago Semestral
0
-
4%
de
Interés
Amortización
sobre saldo
-
1
27, 549.00
20, 000.00
7, 549.00
492, 451.00
2
27, 549.00
19, 698.04
7, 850.96
484, 460.04
3
27, 549.00
19, 384.00
8, 165.00
476, 460.04
4
27, 549.00
19, 051.80
8, 497.20
467, 797.84
5
76, 304.76
18, 711.914
57, 592.45
410, 205.39
6
76, 304.76
16, 408.216
59, 896.144
350, 309.25
7
76, 304.76
14, 012.37
62, 292.00
288, 017.26
8
76, 304.76
11, 520.69
64, 783.67
223, 233.59
9
76, 304.76
8, 929.34
67, 375.016
155, 858.57
10
162, 092.91
6, 234.34
155, 858.57
-
Saldo
$500, 000
$653, 812.71 $153, 950.71 $500, 000.00
* Problema: Un señor tiene una deuda de $3500 contraída en septiembre, con intereses del 27% Anual
capitalizado mensualmente y que acordó pagar en 12 abonos mensuales vencidos e iguales. ¿Cuántos pagos ha
realizado si ha adquirido derechos sobre la deuda por $1345.767?
Solución:
P =$3500; n =12 meses
i =27% Anual Cap/Mes
im =2.25% Mensual =0.0225
A= P [i(1+i)n] = 3500 [0.0225(1.0225)12]
(1+i)n-1 (1.0225)12-1
A =$336 Pago Mensual.
AMn =$1345.767
Empleando: AMn=A[(1+i)n-1] - P [(1+i)n-1]
i
80
1345.767=336[0.0225(1.0225)n] - 3500[(1.0225)n-1]
0.0225
1345.767= 14933.333[(1.0225)n] - 3500[(1.0225)n]
n =5 Pagos.
Conclusión: El señor ha realizado 5 pagos mensuales de $336, con ello ha alcanzado una amortización de
$1345.767
* Problema: Una persona tiene una deuda de $1000 que convino en pagar con pagos bimestrales vencidos e
iguales durante un año con intereses al 28% anual capitalizado cada dos meses. ¿Cuántos pagos completos le faltan
por hacer si el saldo de su deuda es de $567.992?
Solución:
P =$1000; n =6 bimestres
i =28% Anual Cap/2 Mes
i6 =4.67% Bimestral =0.0467
A= P [i(1+i)n]
(1+i)n-1
A=1000 [0.0467(1.0467)6]
(1.0467)6-1
A =$194.94 c/Bimestre
SIn =$567.992
Empleando:
SIn= P [(1+i)n-1] - A[(1+i)n-1] (14)
i
567.992=1000 [(1.0467)n - 194.94 [(1.0467)n-1]
1.0467
567.992=1000(1.0467)n - 4174.3 [(1.0467)n - 1]
n =2.79 Pagos.
81
Conclusión: Al señor le faltan por hacer 4 pagos completos de $194.94 Bimestrales.
* Problema: Salvador Contreras contrae una deuda por $8000 a pagar en 14 meses con 3.5% mensual la
amortización con pagos mensuales vencidos.
Hallar el valor de los pagos
Elabore una tabla de amortización que muestre los tres primeros renglones y los dos últimos del cuadro.
Solución:
P =$8000
im =3.5% Mensual =0.035
n =14 Meses.
a) Valor de los pagos
Empleando: A = P [i(1+i)n]
(1+i)n-1
A= 8000 [0.035(1.035)14]
(1.035)14-1
A =$732.56 c/Mes.
b) Elaborar tabla de amortización.
Primeros tres renglones:
n
Pago Mensual
3.5 % de Interés
Amortización
sobre saldo
Saldo
0
-
-
-
$8000.00
1
732.56
280.00
452.56
7547.44
2
732.56
264.16
468.40
7079.04
Últimos renglones del cuadro.
12
1391.737
13
732.56
48.71
683.84
707.910
14
732.18
24.78
707.91
-
Empleando:
82
SIn= P [(1+i)n-1] - A[(1+i)n-1] (14)
i
Sustituyendo:
SI12=8000 (1.035)12 - 732.56 [(1.035)12-1]
0.035
SI12= $1391.737
* Problema: Una deuda de $7250 se debe pagar en un año, mediante pagos trimestrales de tal manera que se
incrementen un 10%. Si el interés pactado para la operación es de 36% anual capitalizado trimestralmente.
Hallar el valor de los pagos.
Elabore tabla de amortización.
Solución:
a) Valor de los Pagos.
n =1 año = 4 Trimestres.
i =36% Anual Cap/Trim
it =9% Trim =0.09
Empleando: P = F(P/F, i%, n)
7250 = X (P/F, 9%, 1) + 1.10X(P/F, 9%, 2) + 1.21X(P/F,9%,3) + 1.331X (P/F, 9%, 4)
7250=X (0.9174)+1.1X(0.8417)+1.21X(0.7722)+1.331X(0.7084)
X =$1948.70 Primer Pago.
1.10X =$2143.58 Segundo Pago.
1.21X =$2357.94 Tercer Pago.
83
1.331X =$2593.73 Cuarto Pago.
b) Tabla de Amortización.
n
Pago Trimestral
0
-
9 % de Interés
Amortización
sobre saldo
-
1
1948.70
652.500
1296.2000
5953.8000
2
2143.58
535.842
1607.7380
4346.0620
3
2357.94
391.145
1966.7944
2379.2676
4
2593.40
214.134
2379.2676
-
Saldo
$7250.0000
$9043.62 $1793.621 $7250.00
2.5 .- Fondo de Amortización: Anualidad establecida para liquidar una deuda en fecha futura, es muy usual este
procedimiento por la empresa ya que le permite reponer equipos al finalizar su periodo de depreciación.
Tabla de capitalización. Esta tabla nos muestra como va aumentando un capital, periodo a periodo. Para
visualizar este proceso conviene elaborar una tabla de capitalización que muestre lo que sucede con los depósitos,
los intereses, incremento al fondo y el saldo.
n
Pago
i% de interés sobre saldo
Incremento al Fondo
Saldo
Donde n: número de periodos; depósito: es una cantidad constante que se calcula con la formula (7); es decir: A
=F[i/(1+i)n-1]; i%: tasa de interés que corresponde al periodo de capitalización, la cual se aplica al saldo;
incremento al fondo: es la cantidad que se obtiene al sumar el depósito y los intereses devengados al periodo
correspondiente al periodo y saldo, el cual muestra el capital reunido hasta el periodo indicado.
* Problema: Elaborar una tasa de capitalización para capitalizar $300, 000.00 en 1 ½ años, haciendo depósitos
trimestrales iguales, si la tasa de interés es de 32% Anual capitalizado trimestralmente.
Solución:
Valor del depósito: empleando A = F [ i ]
(1+i)n - 1
F= $300, 000.00
n= 1 ½ Años= 6 trimestres
i%= 32% Anual Cap/Trim
it= 8% Trim= 0.08
A = 300, 000 [ 0.08 ]
(1.08)6 - 1
A= $40, 894.62 (Depósito trimestral).
Tabla de Capitalización.
84
n
Depósito
Trimestral
8 % de Interés
Incremento al Fondo
sobre saldo
Saldo
1
$40, 894.62
-
$40, 894.62
$40, 894.62
2
$40, 894.62
3271.57
44, 166.19
85, 060.81
3
$40, 894.62
6804.86
47, 699.485
132, 760.29
4
$40, 894.62
10, 620.824
51, 515.444
184, 275.73
5
$40, 894.62
14, 742.059
55, 636.680
239, 912.40
6
$40, 894.62
19, 192.993
60, 087.613
300, 000.00
$245, 367.72 $54, 632.28
* Problema: Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $40, 000.00 para asegurar el pago, el
contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondo mediante depósitos mensuales a una
cuenta que paga el 30% anual capitalizado mensualmente.
¿De cuánto deben ser los depósitos?
Elabore una tabla de capitalización.
Solución:
a) Valor de los depósitos.
F= $400, 000.00
n= 6 meses.
i%= 30% Anual Cap/Mes
im= 2.5% Mensual= 0.025
A=F[i]
(1+i)n - 1
A = 40, 000 [ 0.025 ]
(1.025)6 - 1
A= $6262.00 (Depósito Mensual)
n
Depósito Mensual
2.5 % de Interés
Incremento al Fondo
sobre saldo
Saldo
1
$6262.000
-
$6262.000
$6262.000
2
$6262.000
156.550
6418.550
12, 680.550
3
$6262.000
317.014
6579.014
19, 259.564
4
$6262.000
481.489
6743.489
26, 003.053
5
$6262.000
650.076
6912.076
32, 915.129
6
$6261.993
822.878
7084.871
40, 000.00
85
AMORTIZACION GRADUAL
La parte que amortiza el capital va creciendo gradualmente como se avanza con los pagos.
Debe cumplirse que la magnitud de cada periodo sea mayor que los intereses que genera la deuda, porque de lo
contrario esta nunca se cancelaría, sino que más bien, aumentaría con el tiempo.
Ejemplo: Para pagar su colegiatura anual, el padre de un estudiante consigue un préstamo por $7,000.00 con
recargos del 18% nominal. ¿Cuántos abonos quincenales de $700.00 le serán necesarios para amortizar su adeudo?
Datos: Formula: -np
C = $7,000.00 C = R 1 - (1 + i/p) / (i/p)
i = 18% = i/j = .18/24 = 0.0075 -24n
R = 700.00 7,0000 = 700 1-(1+0.0075) / 0.0075
P = 24 quincenas -24n
n = ¿ 7,000 /700 = 1-(1+0.0075) / 0.0075
-24n
10 (0.0075) = 1- (1.0075)
-24n
0.075 - 1 = - (1.0075)
-24n
-1 - 0.925 = - (1.0075)
-24n
0.925 = (1.0075) propiedades de los logaritmos:
n
ln X = n ln X
ln 0.925 = -24n ln 1.0075
-0.07796 = -24n 0.007472014
-0.07796 = -0.17933 n
n = -0.07796 / -0.17933
n = .43473 Esto es años pero lo que buscamos es en quincenas, por lo tanto tenemos: (.43473)(24 quincenas) =
10.4335.
recalculando con n=10.43 tenemos:
86
-np
C = R 1 - (1+i/P) / (i/P)
-10.43
7,000 = R 1 - (1+0.0075) / 0.0075
7,000 = R (9.9964)
R = 7,000 / 9.9964
R = $700.25
AMORTIZACION CONSTANTE
Sé a dicho que el sistema de amortización constante se presenta cuando cada pago, la porción que reduce al capital
se mantiene constante y no creciente como en el gradual. Esta amortización es siempre la misma y esto da origen a
que el tamaño de los pagos se reduzca paulatinamente.
FORMULAS:
El primer pago: R1 = (C/np)(1+in); el N-esimo es:
RN = (C/np) 1+in - (N-1)(i/p)
2
La diferencia entre dos pagos sucesivos es: d = Ci / np
Donde:
C = Deuda original, el valor actual.
n = Plazo en años.
p = Numero de amortizaciones por año.
i = tasa de interes compuesto.
N = Numero de periodos.
Ejemplo: Con el sistema de amortización constante, los intereses del 60% nominal quincenal y un plazo de 2 años,
calcular la magnitud de los primeros cuatro pagos quincenales que se hacen para amortizar un adeudo de $4,800.00
y elaborar un cuadro de amortización. También calcular los derechos poco después de haber hecho el abono
numero 35.
Datos:
i = 60 % quincenal
n = 2 años
C = $4,800.00
np = 24 quincenas en un año
87
R1 = ¿
R2 = ¿
R3 = ¿
FORMULA:
R1 = (C/np)(1+in)
R1 = (4,800/48)(1+(.60)(2))
R1 = 220
DIFERENCIA:
2
d = Ci/np
2
d = (4,800)(.60) / 2(24)
d = 2,880 / 1,152
d = 2.50
Teniendo este dato podemos obtener las R2, R3 y R4:
R2 = R1-d R3 = R2-d R4 = R3-d
R2 = 220-2.50 R3 = 217.50-2.50 R4 = 215-2.50
R2 = 217.50 R3 = 215 R4 = 212.50
Si queremos saber cual será el pago de la renta numero treinta, tenemos:
R30 = (4800/48) 1+(.60)(2)-(30-1)(.60/24)
R30 = 100 1+1.2-(29)(0.025)
R30 = 100(2.2-0.725)
R30 = 100(1.475)
R30 = 147.50
NOTA: Al efectuar este pago el saldo es de $100.00 y los intereses son:
I = nC(i/p)
I = (1)(100)(.60/24)
I = 2.50
88
Y por lo tanto, dicho pago es de:
R48 = 100+2.50
R48 = 102.5
C = 815.52040
TABLA DE AMORTIZACIONES:
DEPRECIACION
4.1.- Conceptos Básicos:
* Depreciación: Es la pérdida de valor de un activo conforme se utiliza para producir ingresos.
* Depreciación acumulada: Es la suma de las depreciaciones hasta la fecha.
* Activos Fijos: Se utilizan en más de un año e incluyen maquinaria, equipo de oficina, edificios y propiedades
similares de los negocios.
* Recuperación de Costos: Es el concepto, utilizado en las recientes leyes fiscales, de la declinación en el valor de
un activo.
* Valor en Libros: Es el valor de un activo en los registros de la compañía, el valor en libros de un activo no
implica que el activo se pueda vender por ese importe.
* Tabla de recuperación en costos: Muestra la recuperación anual del costo, el valor en libros y la recuperación
acumulada por el costo, durante el numero de años predeterminados especificaos en la ley fiscal.
* Tabla de depreciación: Muestra la depreciación anual, el valor anual en libros y la depreciación acumulada para
cada año.
* Depreciación Total: Es el costo original menos el valor de reventa o de mercado.
* Vida útil: Es el número de años durante el cual se usa y deprecia un activo.
4.2.- Importancia de la Depreciación:
Desde el momento en que se adquiere un bien (A excepción de los terrenos y algunos metales), éste empieza a
perder valor por el transcurso del tiempo o por el uso que se le da; esta pérdida de valor es conocida como
depreciación y debe reflejarse contablemente con el fin de:
Determinar el costo de bienes o servicios que se generan con dichos activos.
Establecer un fondo de reserva que permita reemplazar el bien al final de su vida útil.
Es importante que toda empresa que se dedica a la fabricación de bienes y servicios, considere provisiones por
depreciación, porque de no ser así, puede verse en serios problemas financieros y descapitalización al terminar la
vida útil de sus activos, además se considera como factor importante al establecer sus costos de operaciones y
servicios.
4.3.-Objetivos y Valores de la Depreciación:
89
* Objetivos:
Reflejar los resultados de la pérdida de valor del activo.
Crear un fondo interno para financiar la adquisición de un nuevo activo al finalizar la vida del antiguo.
* Valores:
Los cargos periódicos que se realizan son llamados “Cargos por Depreciación”.
La diferencia entre el valor original y la depreciación acumulada a una fecha determinada se le conoce como
“Valor en Libros”.
El valor en libros de un activo no corresponde necesariamente a su valor de mercado, en tiempos de alta
inflación, esto puede llegar a ser varias veces superior, pues aquel refleja únicamente la parte del costo original que
esta pendiente de ser cargado a resultados.
El valor que tiene el activo al final de su vida útil se le conoce como “Valor de Salvamento” o “Valor de
Rescate” y debe ser igual al valor en libros en esa fecha.
4.4.- Métodos de Depreciación:
4.4.1.- Método de Línea Recta (L.R.): Es el método más simple y el más utilizado en muchos países como
México, es el único aprobado por las autoridades para cumplir con las disposiciones fiscales al respecto. Este
método supone que la depreciación anual es la misma durante toda la vida útil del activo. De acuerdo con ello:
Dk= (P - Vs)/n (1); donde : Dk= Depreciación Anual (Cargo anual al fondo de reserva), P= Valor del Activo; Vs=
Valor de Salvamento, n= Vida útil del activo, k= plazo (1" k " n), P - Vs= Base de depreciación (Constante).
* Valores:
* Depreciación Acumulada: Ak= KDk (2)
* Valor en Libros: VLk= p - Ak (3)
* Depreciación con inflación: Casi siempre que se adquiere un bien material, por ejemplo al comprar un
automóvil, se observa que el valor consignado en la factura original es menor que el valor de compraventa y esto se
debe a que la inflación produce un efecto mayor que el que produce la depreciación. A continuación se justifica
una fórmula para ser empleada en casos como el que se menciona, suponiendo que ambas, inflación y
depreciación, permanecen constantes en el periodo de tiempo que se esté considerando. Si esto no se cumple o si la
depreciación es considerada o evaluada de otra forma, no con el método de línea recta que ahora nos ocupa,
entonces se procederá con los cálculos de manera individual por año, pero sin llegar a una formula general.
El valor de salvamento o de compraventa de un activo considerando inflación, con el método de L. R. Es:
Vs= P(1+if)n - Dk[(1+if)n - 1] (4)
if
donde if= tasa de inflación; Dk= Depreciación Anual.
* Problema: Se compra un equipo de computo con valor de $16, 000 y se calcula que su vida útil será de 4 años,
antes de que deba ser reemplazado por un equipo más moderno, su valor de salvamento se calcula en $2500,
determine por L.R. :
La depreciación anual.
90
Elabore una tabla de depreciación.
Solución:
P= $16, 000
Vs= 2500
n= 4 Años.
Dk= ?
a) Empleando: Dk= (P - Vs)/n
Sustituyendo:
Dk= (16000 - 2500)/4
Dk= $3375.00
b) Tabla de Depreciación:
Año (n)
Depreciación Anual
Depreciación
Acumulada
Valor en Libros
0
-
-
$16, 000
1
3375
3375
12, 625
2
3375
6750
9, 250
3
3375
10, 125
5, 875
4
3375
13, 500
2, 500
Vl4=V5=$2500 Ok
* Problema: La compañía constructora del Sureste S.A., compró una maquina para hacer block-ladrillo en $12,
100, estima que tendrá una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de $1320 con una inflación del 11% Anual.
Empleando el método de L.R. obtener:
La depreciación anual.
Elabore una tabla de depreciación.
Solución:
P= $12, 100
Vs= $1320
n= 5 Años.
if= 11% Anual.
91
a) Empleando:
Vs= P(1+if)n - Dk[(1+if)n - 1]
if
Sustituyendo:
1320= 1200(1.11)5 - D[(1.11)5 - 1]
0.11
Dk= $3061.95 (Depósito Anual).
-
Depreciación
Anual
-
Depreciación
Acumulada
-
$12, 100.0000
1
13, 431.0000
3061.95
3061.95
$10, 369.0500
2
11, 509.6450
3061.95
6123.90
$8, 447.6955
3
9, 376.9420
3061.95
9185.85
$6, 314.9920
4
7, 009.6411
3061.95
12, 247.80
$3, 947.6911
5
4, 381.9371
3061.95
15, 309.75
$1, 320.0000
n
Valor c/Inflación
0
Valor en Libros
fc= 1+i%/100 f=1.11
4.4.2.- Método por suma de dígitos al año (S.D.A.): Es un método acelerado de depreciación que asigna un cargo
mayor a los primeros años de servicio y lo disminuye con el transcurso del tiempo. La suma de dígitos s del 1 a n
de los años de vida útil esperada del activo se determina utilizando la fórmula:
S= n(n+1) (5)
2
Depreciación y Valor en Libros: La depreciación por el método S.D.A. se obtiene aplicando la fórmula:
Dk= n-k+1(P-Vs) (6)
s
y el valor en libros de obtiene aplicando la fórmula:
Vlk= p - [k(n - 0.5k + 0.5) (P-Vs)] (7)
5
donde: P= Valor del Activo; Vs= Valor de Salvamento; s= Suma de dígitos; n= Vida útil del activo; k= plazo (1"
k"n) y (P-Vs)= Base de depreciación (Constante).
* Problema: Un camión de reparto que cuesta $11, 000 se espera que dure 6 años y tenga un valor de salvamento
de $500. aplicando S.D.A. obtener:
El valor de la depreciación para cada uno de los 6 años
92
Elabore tabla de depreciación.
Solución:
P= $11, 000
n= 6 Años.
Vs= $500
a) Valor de depreciación por cada año aplicando S.D.A.
Utilizando:
Dk= n-k+1(P-Vs)
s
S= n(n+1)
2
Dk= 6-k+1(11, 000-500)
21
Dk= (7-k)($500)
Si k=1: D1=6(500)= $3000
Si k=2: D2=5(500)= $2500
Si k=3: D3=4(500)= $2000
Si k=4: D4=3(500)= $1500
Si k=5: D5=2(500)= $1000
Si k=6: D6=1(500)= $500
b) Elaborar tabla de depreciación:
Año (n)
Depreciación Anual
Depreciación
Acumulada
Valor en Libros
0
-
-
$11, 000
1
$3000
$3000
9, 000
2
2500
5500
5, 500
3
2000
7500
3, 500
4
1500
9000
2, 000
5
1000
1000
1, 000
6
500
10500
500
* Problema: Una sierra eléctrica de control digital costó $33, 000. ¿Cuál será su valor de salvamento si en el
primer año se desprecia $9500? tiene 5 años de vida útil y se considera inflación de 12.3% anual. Utilice el93
método de S.D.A.
Solución:
Vs5=?
P= $33, 000
D1= $9, 500
n= 5 Años.
if= 12.3% Anual
fc= 1+if/100
fc= 1.123
Como la depreciación es diferente cada año y existe inflación, entonces el análisis debe ser de manera individual
por año, sin llegar a fórmula general, empleando:
Dk= n-k+1(P-Vs)
s
S= n(n+1) = 5(6) = 15; si k=1 D1= 9500
22
Sustituyendo: 9500=5-1+1(P-Vs)"(P-Vs)= $25, 500 (Base de dep cte)
15
Valor de la sierra al final del 1er año:
P1= Vs0*Fc= $33, 000(1.123)
P1= $37, 059
Vs1= P1 - D1= $37, 059 - $9, 500
Vs1=$27, 559
Para k= 2
D2= 5-2+1(28, 500)
15
D2= $7, 600
Valor de la sierra al final del 2do año:
P2= Vs1*Fc= $27, 559(1.123)
94
P2= $30, 948.76
Vs2= P2 - D2= $30, 948.76 - $7, 600
Vs2=$23, 348.76
Para k= 3
D3= 5-3+1(28, 500)
15
D3= $5, 700
Valor de la sierra al final del 3er año:
P3= Vs2*Fc= $23, 343.76(1.123)
P3= $26, 220.65
Vs3= P3 - D3= 26, 220.65 - 5700
Vs3=$20, 520.65
Para k= 4
D4= 5-4+1(28, 500)
15
D4= $3, 800
Valor de la sierra al final del 4to año:
P4= Vs3*Fc= 20, 520.65(1.123)
P4= $23, 044.7
Vs4= P4 - D4= 23, 044.7 - 3800
Vs4=$19, 244.7
Para k= 5
D5= 5-5+1(28, 500)
15
D5= $1, 900
Valor de la sierra al final del 5to año:
P5= Vs4*Fc= 19, 244.7(1.123)
P5= $21, 611.92
95
Vs5= P5 - D5= 21, 611.92 - 1, 900
Vs5=$19, 711.80
Conclusión: El valor de salvamento de la sierra de $33, 000, con una inflación del 12.3% Anual será de $19,
711.80 de acuerdo al método S.D.A.
4.4.3.- Método por Fondo de Amortización (F.A.): Este método toma en consideración los intereses que gana el
fondo de reserva que se va constituyendo, por lo tanto, el incremento anual al fondo estará dado por la suma del
cargo anual por la depreciación más los intereses ganados en el periodo de referencia.
Depósito Anual: La depreciación anual es el equivalente al depósito que es necesario realizar, el cual se obtiene
con la fórmula:
D= (P-Vs)i (8)
(1+i)n-1
donde: P= Valor del activo; Vs= Valor de Salvamento; i= Tasa de interés; n= Número de años de vida útil del
activo y (P-Vs)= Base de depreciación (Constante).
Depreciación Acumulada: Esta depreciación se puede calcular empleando la fórmula:
Ak=D[(1+i)k - 1] (9)
i
donde: D= Depósito Anual y k= plazo (1"k"n)
Valor en Libros: Es el valor del activo en cualquier periodo k, el cual se calcula, empleando la fórmula:
Vlk= P-Ak (10) ; donde: P= Valor del Activo; Ak= Depreciación Acumulada y k= plazo (1"k"n).
Efecto de la Inflación: Cuando ocurre esto y el bien se deprecia por F.A., entonces el depósito y la depreciación
acumulada se calculan empleando las fórmulas:
D= (P-Vs)iR (10) y Ak= D[(1 iR)k-1 ] (11)
(1 iR)n-1 iR
donde: iR= Tasa Real; la cual se obtiene aplicando la ecuación iR= if-d (12); donde if= Tasa de inflación y d= Tasa
fija de depreciación.
* Problema: Se adquiere mobiliario nuevo para un hotel. Su costo de adquisición es de $40, 000 y se calcula que
tenga una vida útil de 5 años, al cabo de los cuales su valor de salvamento será nulo. El interés vigente es de 35%
Anual. Aplicando F.A. Determine:
El cargo anual por depreciación (Depósito).
Elabore una tabla de depreciación.
Solución:
P= $40, 000
Vs= $0
96
n= 5 años.
i= 35% Anual = 0.35
a) Empleando:
D= (P-Vs)i = (40, 000 - 0)0.35
(1+i)n-1 (1.35)5 - 1
D= $4, 018.3311 (Depósito Anual)
b) Elaborar tabla de depreciación.
-
Intereses
Ganados
-
Depreciación
Anual
-
Depreciación
Acumulada
-
Valor
en
Libros
$40,000.00
1
4,018.3311
-
4,018.3311
4,018.3311
35,981.669
2
4,018.3311
1,406.415
5,424.7470
9, 443.0780
30,556.921
3
4,018.3311
3,305.079
7,323.4080
16,766.486
23,233.513
4
4,018.3311
5,868.270
9,886.6010
26,653.080
13,346.911
5
4,018.3311
9,328.580
13,346.9110
40,000.000
-
n
Depósito Anual
0
vlk=P-Ak
Intereses ganados son sobre la depreciación acumulada; depreciación anual es igual al depósito más los intereses
del periodo k.
* Problema: Considerando que tendrá una vida útil de 13 años y un valor de salvamento de $16, 000, la empresa
“Botanas y Aperitivos S.A.”, compro un nuevo equipo para freír sus productos. Aplicando F.A. Obtener:
El costo original, si el cargo por depreciación anual (Depósito) es de $750 con un tipo de interés del 12% Anual
El valor en libros al término del décimo año de servicio.
Solución:
n= 13 años.
Vs= $16, 000
P= ?
D= $750
i= 12% Anual= 0.12
a) Empleando:
97
D= (P-Vs)i
(1+i)n-1
750= (P - $16, 000)0.12
(1.12)13-1
P= $37, 021.83
b) Empleando:
Vlk= P - Ak y Ak=D[(1+i)k - 1]
i
Para k= 10
A10=750[(1.12)10 - 1] = $13, 161.5513
0.12
para k= 10
Vl10= 37, 021.83 - 13, 161.5513
Vl10= $23, 860.28
* Problema: Un montacargas de control digital, costó $47, 500 y se supone que tendrá una vida útil de 6 años y
valor de salvamento de $35, 300, considerando un índice inflacionario constante de 11.4% anual, sabiendo que la
tasa fija de depreciación es de 14% Anual, aplicando F.A. obtener:
El cargo por depreciación anual (Depósito).
La depreciación acumulada hasta el tercer año.
Elabore una tabla de depreciación.
Solución:
P= $47, 500.
n= 6 años.
Vs= $35, 300.
if= 11.4% Anual.
d= 14% Anual.
iR= if - d
iR= 11.4% - 14%
98
iR= -2.6% = -0.026
a) Empleando:
D= (P-Vs)iR
(1 iR)n-1
D= (47, 500 - 35, 300)(-0.026)
(1 - 0.026)6 - 1
D= $2, 169.5604 (Depósito Anual).
b) Empleando:
Ak= D[(1 iR)k-1 ]
iR
para k= 3
A3= 2, 169.56[(1 - 0.026)3 - 1 ]
-0.026
A3= $6, 340.92
c) Tabla de Depreciación:
n
Depósito Anual
Intereses
Ganados
0
-
-
1
2,169.5604
2
No Depreciación
Anual
Depreciación
Acumulada
Valor en Libros
-
-
$47,500.000
-
2,169.5604
2,169.5604
45,330.4396
2,169.5604
-56.4086
2,113.1518
4,282.7122
43,217.2878
3
2,169.5604
-111.3505
2,058.2099
6,340.9221
41,159.0779
4
2,169.5604
-164.8640
2,004.6964
8,345.6185
39,154.3815
5
2,169.5604
-216.9861
1,952.5743
10,298.1929
37,201.8072
6
2,169.5604
-267.7530
1,901.8074
12,200.0000
35,300.0000
DEPRECIACION COMPLEMENTARIO
Desde el momento en que se adquiere un bien (a excepción de los terrenos y algunos metales), éste empieza a
perder valor por el transcurso del tiempo o por el uso que se le da. Esta pérdida es conocida como depreciación y
debe reflejarse contablemente con el fin de:
Determinar el costo de bienes y servicios que se generan con dichos activos.
Establecer un fondo de reserva que permita reemplazar el bien al final de su vida útil.
La pérdida de valor que sufre un activo físico como consecuencia del uso recibe el nombre de depreciación. La
mayoría de los activos, tienen una vida útil mediante un periodo finito de tiempo y en el transcurso de tal se da ésta
pérdida de valor.
99
Contablemente se realiza un cargo periódico a los resultados por la depreciación del bien y, en contrapartida, se
crea un fondo para contar con los recursos necesarios para reemplazarlo al concluir su vida útil.
Los cargos periódicos que se realizan son llamados cargos por depreciación. La diferencia entre el valor original y
la depreciación acumulada a una fecha determinada se conoce como valor en libros.
El valor en libros de un activo no corresponde necesariamente a su valor en el mercado. En tiempos de alta
inflación, éste puede llegar a ser varias veces superior, pues aquél refleja únicamente la parte del costo original que
está pendiente de ser cargada a resultados.
Al valor que tiene un activo al final de su vida útil se le conoce como valor de salvamento o valor de desecho y
debe ser igual al valor en libros a esa fecha.
La base de depreciación de un activo es igual a su costo original menos su valor calculado de salvamento y es la
cantidad que debe ser cargada a resultados en el transcurso de su vida activa.
En el caso de los activos que no pueden reemplazarse se utiliza el concepto de agotamiento que no es más que la
pérdida progresiva de valor por la reducción de su cantidad aprovechable como por ejemplo el caso de las minas.
Así pues podemos resumir los dos puntos importantes que son objetos de la depreciación:
Reflejar los resultados en la pérdida de valor del activo
Crear un fondo para financiar la adquisición de una nuevo activo al finalizar la vida útil del otro.
En la depreciación se utilizará la siguiente notación:
C = Costo original del activo
S = Valor de salvamento
n = Vida útil en años
B = C-S = Base de depreciación por el año
Dk = Cargo por depreciación por el año k(1<k<n)
Ak = Depreciación acumulada al final de año K
Vk = Valor en libros al final de año
dk = Tasa de depreciación por el año
EL MÉTODO DE LÍNEA RECTA
El Método más sencillo para considerar la depreciación. En éste método la depreciación se reparte de una manera
uniforme a través de la vida útil del activo. El cargo de depreciación periódico se obtiene simplemente dividiendo
en valor depreciable del activo entre su vida útil.
D=B/N
Ejemplo: Se compra un equipo de cómputo con valor de $20,000.00 y se calcula que su vida útil será de 6 años. Su
valor de desecho se calcula en 3,000.00 ¿Cuál es la depreciación anual?
D = 20,000 - 3000 = 2833.33
100
6
MÉTODO DE SALDO DECRECIENTE O PORCENTAJE FIJO
Conforme a éste método de depreciación, se aplicará un porcentaje constante sobre le valor en libros o valor por
depreciar del activo. Dado que el valor en libros disminuye cada año, los cargos por depreciación son elevados al
principio y luego se hacen cada vez menores.
Los nuevos activos que tengan una vida de cuando menos 3 años podrán depreciarse conforme a éste método al
doble de la tasa de depreciación en línea recta suponiendo cero de valor de desecho. Si se prevé que un activo
específico haya de tener un valor de desecho significativo, la depreciación deberá de ser suspendida cuando el
costo menos este valor de desecho ya se haya recuperado, aún cuando esto ocurra antes de concluir su vida útil.
Bajo éste método la depreciación anual será dada por las siguientes fórmulas:
S = C(1-d)n
Ejemplo: Una compañía compra una camioneta para el reparto de su mercancía en $75,000.00. Se calcula que su
vida útil será de 5 años y que al final de ella su valor de desecho será de $10,000.00. Determinese la tasa de
depreciación que debe aplicarse.
10,000 = 75,000(1-d)n
10,000 / 75,000 = (1-d)5
0.13333333 = (1-d)5
(0.1333333)1/5 = 1-d
0.66832506 = 1-d
d =1- 0.66832506
d = 33.1675%
MÉTODO DE LA SUMA DE DÍGITOS
Este es un método muy sencillo que pretende que los cargos por depreciación en los primeros años de vida del
activo fijo sean suficientemente grandes. La depreciación para cada uno de los años representará una fracción del
valor depreciable. El denominador de la fracción se obtiene numerando los años de vida útil y sumándolos. Por
ejemplo si la vida estimada es de 4 años, el denominador será igual a 1+2+3+4= 10. El numerador para el primer
año será igual a la vida útil estimada. Cada año se reduce el numerador en uno.
Ejemplo: Una maquinaria cuesta $5000. Se ha estimado un valor de desecho al cabo de 5 años por valor de $500.
Determine las provisiones anuales de depreciación utilizando el método de suma de años dígitos
La suma de los dígitos es 1+2+3+4+5 = 15, Las provisiones por depreciación serán:
Año Provisiones para depreciación
1
4500 x 5/15 = 1500
2
4500 x 4/15 = 1200
3
4500 X 3/15 = 900
4
4500 x 2/15 = 600
5
4500 x 1/15 = 300
101
$45,000
DETERMINACIÓN DEL MEJOR MÉTODO
El objetivo de todos los métodos de depreciación concierne a la recuperación paulatina del dinero invertido en un
activo, pero existen diferencias en el grado de recuperación. Este aspecto es muy importante dado que el valor de
una suma de dinero depende no sólo de la cantidad monetaria sino también de cuánto se haya de recibir. Otra
consideración se refiere a la maximización de las utilidades netas después de impuestos en la compañía.
Una ventaja del método de línea recta es lo sencillo de aplicar. Existen ocasiones en que el método de depreciación
en línea recta no sólo nos proporciona sencillez, sino que también nos brinda ventajas financieras. Los impuestos a
cargo de las personas físicas depende de qué grupo o escalafón de impuestos se encuentra uno. Cuando se trata de
nuevos negocios, los propietarios podrán encontrarse en niveles de impuesto bajos. Cargos elevados de
depreciación en esos momentos podrían ser menos deseables que cargos futuros cuando se espera que los
propietarios se encuentren dentro de los niveles o categorías de impuestos más elevados.
Los métodos de depreciación de doble saldos decrecientes y la suma de años permiten que exista una rápida
recuperación de gran parte del dinero invertido en el activo. Puesto que los cargos por depreciación reducen las
utilidades que se reportan para fines fiscales, una depreciación elevada durante los primeros años podrá implicar
ahorros en impuestos sobre la renta durante esos años.
MÉTODO POR UNIDAD DE SERVICIO
Al adquirir un activo se espera que de servicio durante un determinado periodo, o bien que produzca una cantidad
determinada de kilos, toneladas, unidades, kilómetros, etc. Si se conoce la vida esperada del bien en función de
estos parámetros puede depreciarse de acuerdo con las unidades de producción o servicio que ha generado durante
un periodo determinado.
Ejemplo. Una compañía arrendadora de autos adquiere un automóvil para su flotilla, con un costo de $152,000.00.
La compañía calcula que la vida útil del automóvil es de 60,000 Km. y que al cabo de ellos, el valor de desecho de
la unidad será de $62,000.00. El kilometraje recorrido por la unidad durante los primeros tres años fue:
Año Kilómetros
1
24,000
2
22,000
3
14,000
En primer lugar se determina la base de depreciación: B = C-S
B = 152,000 - 62,000 = 90,000
Esta base de depreciación se distribuye entre el kilómetro útil para efectos de arrendamiento con el fin de encontrar
la depreciación por kilómetro:
d/Km = 90,000 = 1.50
60,000
La depreciación por kilómetro es de $1.50
MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
En éste método se toma en consideración los intereses que gana el fondo de reserva que se va constituyendo; por lo
tanto, el incremento anual en el fondo estará dado por la suma del cargo anual por depreciación más los intereses
102
ganados en el periodo de referencia.
En este caso, lo que se conoce como Monto o M será igual a B, pues es el monto que se debe acumular al cabo de n
años, a una tasa de interés i y lo que se conoce cono renta o R será igual a D, que es el cargo anual que debe
realizarse al fondo.
Por consiguiente se obtiene la fórmula:
Dk=B ___i___ = ___Bi___ = ___Bi___
(1+I)n-1 (1+I)n-1 (1+I)k-1
Para determinar la depreciación acumulada Ak se calcula el monto de un pago periódico D a un plazo K y a una
tasa de interés i por periodo:
Ak = D__(1+i)k-1__
I
Ejemplo: Si se adquiere mobiliario para un hotel y su costo de adquisición es de $40,000.00 y se calcula que tenga
una vida útil de 5 años, al cabo de los cuales su valor de desecho será de 0. El interés vigente es de 35% anual.
¿Cuál es el cargo anual por depreciación?
En primer lugar se debe calcular la base de depreciación:
B = C-S
B = 40,000.00 - 0 = 40,000.00
Posteriormente se determina el cargo annual por depreciación:
D = B____i____
(1+i)n-1
D = 40,000____0.35____
(1+0.35)5-1
D = 40,000____0.35____
4.48403344 -1
D = 40,000____0.35____
3.48403344
D = 40,000(0.10045828)
D = 4,018.33
EL VALOR DE LA REPOSICIÓN
Cuando las organizaciones enfrentan situaciones de alta inflación, los encargados de las finanzas tienen una gran
responsabilidad: hacerlas productivas descontando el efecto de la inflación. Una empresa puede mostrar utilidades
en los estados financieros, pero si el porcentaje de incremento que ha tenido de un año a otro no compensa la
pérdida del poder adquisitivo ocasionada por la inflación, dicha empresa está sufriendo pérdidas en términos103
reales. Se a ello se aúna el hecho de que tales utilidades aparentes se reparten entre los accionistas, lo que estará
sucediendo es que le empresa se estará descapitalizando y que en pocos años afrontará serios problemas de liquidez
que pueden llevarla incluso a la quiebra.
El concepto de valor de reposición se refiere al importe que se necesitará desembolsar en el futuro para reponer un
activo que se encuentra en servicio en un momento determinado. En este cálculo influyen varios factores:
Vida útil esperada del activo: son los años durante los cuales se considera que el activo podrá funcionar
rentablemente.
La obsolescencia del activo: Si bien un activo puede tener una vida de 10 años, puede ser que el avance
tecnológico haga su cambio necesario con mayor prontitud.
La inflación esperada: Para poder conocer el valor de reposición de un activo es necesario calcular la inflación
promedio esperada para los años de vida. Este cálculo varía dependiendo de las políticas económicas de cada país,
su interdependencia y la presencia de variables ajenas al control de las mismas.
Ahora bien observemos un ejemplo de cálculo del valor de reposición.
¿Cuál es el valor de reposición de un equipo cuyo costo de adquisición es de $5000.00 si su vida útil esperada es de
4 años y se prevé que la inflación anual promedio será de 30%?
En primer lugar se aplica la fórmula de Monto para el interés compuesto:
M = C(1+i)n
M = 5000 (1.30)4
M = 5000(2.8561)
M = 14,280.50
Si el valor de éstos equipos ha estado disminuyendo 5% cada año en términos reales ¿Cuál será el valor de
reposición esperado?
Si se considera que el equipo tuviera un valor constante de $5000.00 al cabo de un año su precio sería 5% menor,
al cabo de dos años 5% menor, y así sucesivamente.
VRC = 5000(0.95) (0.95) (0.95) (0.95)
VRC = 5000(0.95)4 = 4072.53
Así al valor obtenido se la aplica la inflación esperada de 30% durante los próximos cuatro años:
M = 4072.53(1.30)4
M = 11,631.56
CONCLUSIONES
Sin lugar a dudas, cualquier persona en algún momento de su vida, se verá en la situación de amortizar una deuda,
como por ejemplo en la compra de una casa o de un automóvil, probablemente algunas personas se verán en la
necesidad de amortizar gastos en algún momento, en los casos en que aplique, por ello la importancia de conocer
su finalidad, cómo es que se calculan, cómo se elaboran las tablas de amortización, para tener un panorama real de
lo que se esté pagando en ese momento, ya que lamentablemente por lo general se desconoce al cien por ciento, el
cómo se calcularon los intereses, o los pagos, y por el lado de las depreciaciones, consideramos que si bien son
aplicadas más a organizaciones o empresas, que a personas físicas, es de igual manera relevante el conocimiento104
acerca de los métodos que se pueden utilizar, ya que en el ámbito laboral, que es en dónde se pudiera tener más
contacto con las depreciaciones, se utiliza comúnmente.
REDES
.
1. Concepto.
Desde la introducción de la Gráfica de Gantt, han habido algunas innovaciones dramáticas en la Planeación de
proyectos, ocasionada por la necesidad de planear y controlar proyectos complejos que comprenden muchos
elementos y grupos de trabajo.
El método de la ruta crítica (CPM) o programación de la ruta crítica (CPS) es una forma de planeación de
proyectos denominada Planeación de Redes.
La planeación de redes comprende la elaboración de una gráfica de los elementos y las actividades que constituyen
un proyecto complejo, mostrando las secuencias e interrelaciones necesarias y determinando la ruta crítica o
secuencia de eventos más larga que realmente determina cuando puede completarse un proyecto. Los recursos
adicionales aplicados a estas actividades serían eficaces en la reducción del lapso de tiempo del proyecto.
Diagramas de flechas, actividad y sucesos
Fundamentalmente un Diagrama de Flechas es la plasmación, en un gráfico de los procesos o operativos que han
de tener lugar durante la ejecución o realización de un proyecto. Estos diagramas pueden presentar la totalidad de
un proyecto o parte del mismo.
En los proyectos de gran magnitud y/o de gran complejidad de los diagramas totales serán muy esquemáticos con
el fin de evitar el que la pretensión de llegar a un grado de detalle muy profundo haga perder visión general
provocando confusionismo.
Por el contrario, en los proyectos sencillos y simples, se puede llegar a tener la idea de detalle sin que el gráfico
resultante sea embrollado.
Actividad.
Se conoce con el nombre de actividad a la operación o conjunto de operaciones que se representan en el diagrama
mediante una flecha.
La flecha del dibujo representa a la actividad A, que puede corresponder a una operación tan simple como "pulsar
el freno de un torno" o tan compleja como "levantar el horno alto número 1", dependiendo, como es lógico, la
complejidad de la magnitud del proyecto y de la etapa de planificación que se está considerando.
En los gráficos o diagramas, cada actividad debe estar perfectamente identificada mediante una inicial o
abreviación de la operación que corresponde y, además, en relación aparte, cada actividad debe estar descrita en
forma tal que esté perfectamente comprensible.
Sucesos
Se denominan sucesos o eventos, a los momentos en que tienen lugar los principios y finales de las actividades.
Estos sucesos deben estar perfectamente definidos o identificados de forma tal que no se produzca ambigüedad en
el momento de considerar su realización.
Así, el "bajar la palanca de freno" no es una buena identificación de un suceso, ya que no define con exactitud
cuándo ocurre este suceso que da por terminada la realización de una actividad. Por le contrario, "bajar de freno
105
hasta que haya llegado al tope inferior", define perfectamente el momento de realización del suceso.
En la primera representación gráfica de una actividad A (a) representa el suceso inicial y la cabeza de la flecha (b)
representa el suceso final de la actividad A. Debemos tener presente que la longitud de la flecha A o (ab) no
representa la duración de la actividad.
Proyectos planificables por red.
En general, podemos decir que los proyectos planificables mediante diagramas de flechas o Red son aquellos que
presentan problemas de ordenación. Llamaremos problemas de ordenación a aquellos que satisfagan las 3
condiciones siguientes:
El objetivo del problema debe ser el estudio yrealización y control de un proyecto. Por proyecto entendemos
desde un gran /o la conjunto como puede ser una factoresquema para descargar un camión o pintar una
habitación, etc.
Puede ser también una producción permanente como lo es un ciclo de fabricación en serie, una intervención
temporal, como son las correspondientes a entretenimientos preventivos.
Hay que hacer notar que la planificación por Red no resuelve el cómo debe realizarse tecnológicamente el
desarrollo de un proyecto. Estos aspectos son ajenos al proceso de planificación y ésta debe apoyarse,
precisamente, en aquellos.
El proyecto debe ser susceptible de ser descompuesto en operaciones elementales o actividades. El decir
operaciones elementales no representa el llegar a un grado de detalle que descomponga cada operación en
sus elementos esenciales.
Como ya se ha indicado, en cada momento el grado de detalle y, en consecuencia, la magnitud de la actividad
depende del proyecto en sí y de la etapa de planificación en que se está.
En general, la descomposición exige conocimientos de la técnica, cómo debe desarrollarse el proyecto e implica el
hacer intervención en esta etapa a las personales que serán responsables de la ejecución del mismo.
Por ello se aconseja responsabilizar de la planificación a los realizadores del proyecto e integrarlos en esta etapa,
dado que esto presupone, además del asesoramiento idóneo para la desmenuzación y definición de actividades, el
identificar a los realizadores con el problema, aún antes de su inicio, y el predisponerlos a que durante su ejecución
no vean la planificación como algo inadecuado, innecesario o incomprensible, calificativos que instintivamente se
da a los programas.
La ejecución de las actividades debe estar sometida a un conjunto de limitaciones o ligaduras que
condicionan los valores adaptados por sus características.
La realización no puede efectuarse de cualquier manera. Existen una serie de condiciones que es necesario respetar.
Estas ligaduras pueden ser producidas por restricciones de los siguientes tipos:
•
Tecnológicas: Una actividad no puede empezar hasta que otra u otras hayan terminado o llegado a
un cierto grado de realización.
•
Comerciales: Cumplir ciertos plazos parciales preestablecidos.
•
Limitación de recursos: No se dispone más que de un determinado número de horas - hombre,
existe el problema de no poder hacer los acoplamientos y participaciones que se pueden hacer con la mano de obra,
así como el tiempo que se pierde en traslados.
•
Climatológicas: Ciertas actividades no pueden realizarse mas que en determinadas épocas del año.
106
Demoras obligadas.
Red de actividades
A continuación, expondremos una serie de normas que deben tenerse en cuenta para planificar por Red en forma
correcta:
Definir las actividades a realizar.
Esto representa el estudiar detenidamente el proyecto y desmenuzarlo, hasta el grado que se consideren actividades
que deben quedar perfectamente definidas.
En este punto debe colaborar el responsable de la ejecución del proyecto, quien, de tener que poner reparos al
procedimiento que se sigue, debe manifestarse en este momento, así como cualquier aspecto que quede ambiguo o
que pueda representar un trastorno posterior.
La consideración de este punto tiene la gran ventaja de hacer que el proyecto sea conocido de antemano por todos
los afectados, por él, en forma importante, e incluso, el lograr la conformidad al sistema de realización de los que
van a intervenir en el mismo.
El planificador no tiene por qué conocer la forma de ejecución del proyecto ni el responsable del mismo la forma
de planificar. Sin embargo, es conveniente que cada uno de ellos conozca el campo del otro, si no son profundidad,
por lo menos, con un conocimiento suficiente para poder seguir todas las etapas.
Definir los recursos que se necesitan para realizar cada una de las actividades.
Del estudio del punto anterior se desprende la necesidad de recursos para poder realizar cada una de las
actividades.
Debe considerarse cada actividad por separado e independientemente de las demás para aislar completamente la
necesidad de recursos de la actividad que se considera.
De hecho, incluso, puede anotarse para cada actividad las posibles soluciones de recursos necesarios con el fin de
no dejarse influir por el resto de actividades, que, aunque no se quiera, se recuerdan al hacer la consideración. Una
vez completada en la lista la relación de recursos necesarios se analiza y se trata de armonizar lo más posible.
Estimación de los tiempos necesarios para realizar cada actividad.
Una vez considerados los puntos 1 y 2, se ve el tiempo necesario para realizar cada actividad.
Para hallar cada uno de estos tiempos se analiza cada actividad por separado e independientemente de las demás,
teniendo en cuenta la cantidad de trabajo contenida en la descomposición de la actividad y la cantidad de los
recursos que se han estimado necesarios.
Se aconseja el elegir los recursos de acuerdo a lo que se considera norma en casos similares.
Una vez tenidos en cuenta los puntos señalados se pasa a la etapa siguiente, en la que hay que definir:
Relación de recursos disponibles para la realización del proyecto. Ciñéndose a aquellos que se van a emplear según
la relación de actividades correspondientes a la tabla anterior.
Relación de restricciones tecnológicas que hacen necesario el que algunas actividades se realicen en una secuencia
determinada.
Relación de fechas comprometidas. Que irá referida a todas aquellas que se han acordado previamente, tanto para
el cumplimiento total del proyecto como de las etapas parciales que se han concretado.
107
Como norma, las actividades deben elegirse de magnitudes similares con el fin de que todo el diagrama de Red
guarde una relativa proporcionalidad en lo referente al grado de detalle que se especifica.
Asimismo, deben aislarse siempre las demoras en la definición de actividades
CONCLUSIONES
Se puede designar como la red que representa el flujo del trabajo.
•
Cada actividad se representa por una flecha.
• Cada suceso o situación se representará por un círculo, elipse, o cuadrado, en cuyo interior se
consignará un número.
•
En consecuencia cada actividad estará limitada por 2 números, de los cuales el 2º siempre será
•
Entre dos sucesos o nudos solo puede haber una actividad.
mayor que el 1º.
A veces es necesaria la utilización de actividades ficticias, es decir, actividades que suponen una
pausa, una espera, etc., y que no exigen un trabajo.
Todo nudo describe la relación completa entre las actividades que en él terminan, y las que parten de él.
SUCESO
ACTIVIDAD
2. Problema de árbol de peso mínimo.
3. Problema de la ruta más corta.
4. Problema de flujo máximo.
5. Técnicas de revisión y evaluación de programas (PERT / Costo y PERT / Tiempo).
La Técnica del P.E.R.T. (Program Evaluation and Review Technique) es un instrumento diseñado especialmente
para la dirección, permitiéndole planificar, programar y controlar los recursos de que dispone, con el fin de obtener
los resultados deseados.
Se trata de una técnica que proporciona a la gerencia información sobre los problemas reales y potenciales que
pueden presentarse en la terminación de un proyecto, la condición corriente de un proyecto en relación con el logro
de sus objetivos, la fecha esperada de terminación del proyecto y las posibilidades de lograrlo, y en dónde se
encuentran las actividades mas criticas y menos criticas en el proyecto total.
El P.E.R.T. no intenta usurpar las funciones de la dirección, sino ayudarla a realizar sus actividades con mayor
éxito. Tampoco, como es natural, dirige por si solo, pero si que se puede afirmar, que depende de la habilidad con
que la dirección usa de esta técnicas, el que descubra y resuelva los problemas que surgen con mayor eficacia.
Rara vez se conoce, en el momento de tomar una decisión, toda la complejidad y consecuencias que puede tener.
Sin embargo la Técnica P.E.R.T., traza un método eficaz para reducir los riesgos tomando aquellas decisiones que
tengan mayor probabilidad de éxito.
Todos sabemos que existen diferentes niveles de dirección: director gerente, jefe de departamento, jefe de división,
jefe de centro, etc. pero todos los niveles se realizan fundamentalmente tres actividades.
2. Fijar los objetivos.
108
3. Buscar y organizar los medios necesarios para alcanzar los objetivos previamente fijados.
4. Controlar la concordancia existente entre el plan fijado y lo que se está realizando, con el fin de
poder actuar sobre los recursos y hacer frente a las condiciones reales.
RED P.E.R.T.: Una red PERT es la representación gráfica y simbólica de las tareas a desarrollar para llevar
a feliz termino un fin propuesto.
Quizá la técnica de planeación de redes más aplicada sea el PERT (Técnica de Evaluación y Revisión de
Proyectos), que es un refinamiento del método de la ruta crítica, en la cual se elaboran estimados de los tiempos
optimistas, más probables y pesimistas para la terminación de cada elemento en el proyecto. Estos datos se
introducen en una computadora en la que se calculan las probabilidades estadísticas de completar las varias rutas y
se determina la ruta crítica. La computadora imprime también información sobre esas actividades que tienen
tiempo holgado y pueden tolerar retrasos, de modo que el esfuerzo, la mano de obra, las máquinas y el dinero
pueden ser desviados de actividades con holgura a actividades más críticas, si es posible, reduciendo el tiempo total
del proyecto sin costo extra.
Este análisis también muestra las fechas de primera y última de inicio y de terminación para cada elemento en su
propia secuencia con otros elementos.
Estas técnicas de planeación de proyectos pueden también usarse en el control de proyectos pero el solo hacer el
plan original puede ayudar mucho a asegurar que no se pasen por alto los elementos importantes y a lograr que el
proyecto se inicie apropiadamente. Una vez que se ha establecido una gráfica PERT, se puede revisar en forma
periódica el avance del proyecto y la gráfica puede ser actualizada.
Con frecuencia, se observarán cambios sustanciales en la ruta crítica conforme se determinan con anticipación
algunos eventos y se retrasan otros.
El mantenimiento de la información actualizada necesaria para utilizar la planeación de proyectos como técnica de
control requiere un esfuerzo considerable al pasar el tiempo y presentarse los cambios en el proyecto.
LÍNEAS DE ESPERA
Terminología.
La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación de líneas de espera
es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede a la
capacidad actual de proporcionarlo. Con frecuencia, en la industria y en otros sitios, deben tomarse decisiones
respecto a la cantidad de capacidad que debe proporcionarse. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con
exactitud cuándo llegarán las unidades que buscan el servicio y/o cuánto tiempo será necesario para dar ese
servicio; es por esto que esas decisiones suelen ser difíciles. Proporcionar demasiado servicio implica costos
excesivos. Por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos
momentos. Las líneas de espera largas también son costosas en cierto sentido, ya sea por un costo social, por un
costo causado por la pérdida de clientes, por el costo de empleados ociosos o por algún otro costo importante.
Entonces, la meta final es lograr un balance económico entre el costo de servicio y el costo asociado con la espera
por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve directamente este problema, pero contribuye con información
vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de
espera como el tiempo de espera promedio.
La teoría de colas proporciona un gran número de modelos matemáticos para describir una situación de línea de
espera. Con frecuencia se dispone de resultados matemáticos que predicen algunas características de estos
modelos.
109
2. Estructura básica de una línea de espera.
El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente: Los clientes que requieren
un servicio se generan a través del tiempo en una fuente de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una
cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante
alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un
mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.
Proceso básico de colas.
des
smo
de s
s
Fuente de entrada (población potencial).- Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es
el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de
clientes potenciales distintos. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que llegan se conoce como
población de entrada. Puede suponerse que el tamaña es infinito o finito (de modo que también se dice que la
fuente de entrada es ilimitada o limitada). Como los cálculos son mucho más sencillos para el caso infinito, esta
suposición se hace muy seguido aun cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente grande, y deberá
tomarse como una suposición implícita en cualquier modelo que no establezca otra cosa El caso finito es más
difícil analíticamente, pues el número de clientes en la cola afecta el número potencial de clientes fuera del sistema
en cualquier tiempo; pero no debe hacerse esta suposición finita si la tasa a la que la fuente de entrada genera
clientes nuevos queda afectada en forma significativa por el número de clientes en el sistema de líneas de espera.
También se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. La
suposición normal es que se generen de acuerdo a un proceso Poisson, es decir, el número de clientes que llegan
hasta un tiempo específico tienen una distribución Poisson. Una suposición equivalente es que la distribución de
probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo
que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo de llegadas.
Cualquier otra suposición no usual sobre el comportamiento de los clientes debe especificarse también. Un ejemplo
sería cuando se pierde un cliente porque desiste o se rehúsa a entrar al sistema porque la cola es demasiado larga.
Cola.- Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden
ser finitas o infinitas, según si este número es finito o infinito. La suposición de una cola infinita es la estándar para
la mayor parte de los modelos, incluso en situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente
grande) sobre el número permitido de clientes, ya que manejar una cota así puede ser un factor complicado para el
análisis. Los sistemas de colas en las que la cota superior es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia,
necesitan suponer una cola finita.
Disciplina de la cola.- La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para
recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser: primero en entrar, primero en salir, aleatoria, de acuerdo a algún
procedimiento de prioridad o a algún otro orden. La que suponen como normal los modelos de colas es la de
primero en entrar, primero en salir, a menos que se establezca otra cosa.
Mecanismo de servicio.- El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de
ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existen más de una instalación de
servicio, puede ser que se sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales de servicio en serie). En una
instalación dada, el cliente entra en uno de los canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de
colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales paralelos) en cada una. Los
modelos más elementales suponen una instalación, ya sea con un servidor o con un número finito de servidores.
El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una instalación se
llama tiempo de servicio (o duración del servicio). Un modelo de un sistema de colas determinado debe
especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicios para cada servidor ( y tal vez para los
distintos tipos de clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores. La
distribución del tiempo de servicio que más se usa en la práctica (por ser más manejable que cualquier otra) es la
distribución exponencial. Otras distribuciones de tiempos de servicios importantes son la distribución110
degenerada (tiempos de servicio constante) y la distribución Erlang (gama).
3. Modelos de una cola con un servidor.
4. Modelos de una cola con servidores múltiples en paralelo.
5. Modelos de una cola con servidores múltiples en serie.
6. Comportamiento prioritario de una línea de espera.
CONTROL DE INVENTARIOS
ADMINISTRACIÓN FINANCIERA DE INVENTARIOS
1. Métodos de valuación de inventarios.
Existen dos buenos sistemas para calcular los inventarios, el sistema periódico y el sistema permanente. En el
sistema periódico, cada vez que se hace una venta sólo se registra el ingreso devengado; es decir, no se hace ningún
asiento para acreditar la cuenta de inventario o la de compra por el monto de la mercancía que ha sido vendida. Por
lo tanto, el inventario sólo puede determinarse a través de un conteo o verificación física de la mercancía existente
al cierre del período económico. Cuando los inventarios de mercancías se determinan sólo mediante el chequeo
físico a intervalos específicos, se dice que es un inventario periódico. Este sistema de inventario es el más
apropiado para las empresas que venden gran variedad de artículos con alto volumen de ventas, y un costo unitario
relativamente bajo; tales como supermercados, ferreterías, zapaterías, perfumerías, etc.
El sistema de inventario permanente o continuo, a diferencia del periódico, utiliza registros para reflejar
continuamente el valor de los inventarios. Los negocios que venden un número relativamente pequeño de
productos que tienen un elevado costo unitario, tales como equipos de computación, vehículos, equipos de oficina
y del hogar, etc., son los más inclinados a utilizar un sistema de inventario permanente o continuo.
En el sistema de inventario permanente existen varios métodos para calcular el monto de los inventarios, los más
usados son: el de primeras entradas, primeras salidas (PEPS); el de últimas entradas, primeras salidas (UEPS), el
método de promedio móvil.
Las empresas que utilizan este sistema de inventario llevan el control de la circulación de sus mercancías, en unas
tarjetas previamente elaboradas para tal fin. El diseño de estas tarjetas no es estándar, cada empresa puede tener su
propio modelo adaptado a las necesidades y requerimientos particulares. Cualquiera sea el modelo que se utilice,
un buen control con información suficiente para los efectos administrativos y contables requiere de una ficha de
control de existencias que contenga las siguientes partes: nombre del artículo, código, unidad, ubicación, mínimo,
máximo, proveedor, fecha, comprobante, cantidades, precio unitario, monto.
Se destina una tarjeta para cada clase de artículo y en ella se anota el nombre de éste, así como su código que es el
número de referencia asignado; también se escribe en ella el lugar de ubicación que le corresponde a ese artículo en
el almacén; la casilla de unidad se refiere a la unidad de medida del artículo, como por ejemplo: bulto, caja, juego,
estuche, gruesa, docena, galón, kilo, etc.; mínimo, para señalar la cantidad menor del artículo en existencia con la
cual se pueden servir con regularidad los pedidos que realicen los clientes; máximo, señala la cantidad mayor de
ese artículo que debe existir sin sacrificar espacio en el almacén ni abultar innecesariamente la inversión;
proveedores, lugar para anotar el nombre y dirección del proveedor del artículo; fecha, columna para anotar la
fecha en que se llevó a cabo la operación; comprobante, espacio para registrar el número del comprobante que
respalda la operación realizada; cantidades, sección que comprende a su vez tres columnas: la primera es para
registrar las entradas, la segunda es para las salidas, y, en la tercera se registra la existencia remanente después de
cada operación; precio unitario, sección con dos columnas: en la primera se anota el precio unitario de las entradas
y en la segunda el de las salidas de cada una de las unidades en referencia; monto, sección que comprende tres
columnas, en el debe se registran el costo de las unidades que entran, en el haber se asienta el costo de las unidades
que salen según el método empleado, en la columna de saldo se anota el costo remanente del movimiento y
representa el costo de la existencia de ese artículo.
2. Técnicas de administración de inventarios.
Existen tres tipos de inventarios: el inventario de materia prima, de productos en proceso y el de productos
111
terminados. Para el manejo de inventarios existen básicamente tres métodos:
• El sistema ABC: consiste en dividir el inventario en tres grupos. En los productos A se concentra
la máxima inversión. El grupo B esta formado por los artículos que siguen a los A en cuanto a magnitud de la
inversión y el grupo C lo componen los productos que solo requieren de una pequeña inversión.
•
Modelo básico de cantidad económica de pedido (CEP) considera diversos costos operacionales
y financieros y determina la cantidad de pedido que minimiza los costos del inventario total mediante costos
básicos (costos de pedido, de mantenimiento de inventarios y costo total, excluye el costo real de la mercancía )
método grafico y método analítico.
•
Punto de reordenación: Una vez calculado el CEP, se debe determinar el momento adecuado
para formular un pedido P de R = tiempo de anticipo en días x uso diario. Tan pronto como el nivel de inventario
alcance el P de R se hace un periodo por una cantidad igual al CEP obtenido.
•
Sistema de inventario de seguridad : Inventario adicional que se mantiene para proteger contra
los cambios en las tazas de ventas o en las demoras de producción / embarque
3.
Inversión necesaria o financiamiento.
El inventario se considera una inversión en el sentido de que obliga a la empresa a darle uso racional a su dinero.
La inversión promedio en inventarios puede calcularse el costo de ventas anual y la rotación anual de inventarios.
Inventario promedio = Costo de lo vendido / rotación del inventario
4.
Plazo medio de producción y de consumo de materia prima.
La empresa puede obtener financiamiento requerido a partir de sus orígenes : pasivo a corto plazo – fondos a largo
plazo.
El inventario es una inversión en el sentido de que obliga a la empresa a darle un uso racional a su dinero. La
inversión promedio de cuentas por cobrar podría calcularse mediante el costo de ventas anuales y la rotación de las
cuentas por cobrar. Similar para la inversión promedio de inventarios sobre el costo de ventas y la rotación de
inventarios.
Estrategias para reducir inventarios
5.
Estrategias para reducir inventarios.
Justo a tiempo: a través de este sistema los inventarios son reducidos al mínimo en virtud de que los inventarios
son adquiridos e incorporados al almacén o producción justo en el momento en que se requieren. Con este método
se ahorran cantidades de almacenaje, seguros, etc. Este sistema rompe con el concepto convencional de mantener
grandes inventarios. Sin embargo para su implantación se requiere que la administración determine en forma rápida
y veraz las cantidades a solicitar al proveedor y que requerirá para sus ventas o producción. También requiere de
modificar los procedimientos, productos y equipo para reducir tiempo y costos de ensamble.
Aparte del control administrativo el proveedor debe ser capaz de brindar:
•
Sistema de distribución o reparto que permiten una secuencia de descarga predeterminado para
facilitar ahorro en el tiempo, recepción y costos
•
Producir artículos terminados o materia prima sin defectos con lo cual se puedan reducir o eliminar
los costos de inspección.
TRANSPORTE Y ASIGNACION
PROGRAMACIÓN LINEAL
1.
Concepto.
Mucha gente sitúa el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes de la mitad
del siglo XX, y debemos estar de acuerdo con esta afirmación si tenemos en cuenta que su impacto desde 1950 ha
sido extraordinario. Se han escrito decenas de libros de texto sobre la materia y los artículos publicados que112
describen aplicaciones importantes se cuentan ahora por cientos. De hecho, una proporción importante de todo el
cálculo científico que se lleva a cabo en computadoras se dedica al uso de la programación lineal y a técnicas
íntimamente relacionadas. (Esta proporción se estimó en un 25%, en un estudio de la IBM).
Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima, (o una
estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles.
En todos los problemas de Programación Lineal, el objetivo es la maximación o minimización de alguna
cantidad.
2. Desarrollo
Construcción de los Modelos de Programación Lineal
De forma obligatoria se deben cumplir los siguientes requerimientos para construir un modelo de Programación
Lineal.
Requerimiento 1. Función objetivo. (F.O).
Debe haber un objetivo (o meta o blanco) que la optimización desea alcanzar.
Requerimiento 2. Restricciones y decisiones.
Debe haber cursos o alternativas de acción o decisiones, uno de los cuáles permite alcanzar el objetivo.
Requerimiento 3. La F.O y las restricciones son lineales.
Deben utilizarse solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales.
Modelo standard de Programación Lineal
Optimizar Z = C1X1+ C1X2 +….+ Cn Xn). Función objetivo.
Sujeta a a11X1+ a11X2 +…..+ a1nXn) £ b1
a21X1+ a21X2 +…..+ a2nXn) £ b1
Restricciones
am1X1+ am1X2 +…..+ amnXn) £ bm
Debiendo ser
X1 ³ 0, X2 ³ 0, ….. Xn ³ 0
Donde :
Xj : variables de decisión, j = 1,2.., n.
n : número de variables.
m : número de restricciones.
aij , bi , cj constantes, i = 1,2.., m.
113
Pasos para la construcción del modelo
1.
Definir las variables de decisión.
2.
Definir el objetivo o meta en términos de las variables de decisión.
3.
Definir las restricciones.
4.
Restringir todas las variables para que sean no negativas.
Ejemplo: Taller de mantenimiento.
Un taller de mantenimiento fabrica dos tipos de piezas para la reparación de equipos fundamentales del proceso
productivo. Estas piezas requieren un cierto tiempo de trabajo en cada una de las tres máquinas que las procesan.
Este tiempo, así como la capacidad disponible (h) y la ganancia por cada pieza se muestran en el cuadro siguiente:
Máquina Tiempo
por
Pieza
A B
2
2
I
1
2
II
4
2
III
4
Ganancia 6
($/Pieza)
Fondo de
Tiempo(h)
160
120
280
Se logra vender todo lo producido y se desea determinar la cantidad de piezas a fabricar que optimice la ganancia.
Formulando el modelo
•
X1 : Número de piezas del tipo A.
•
X2 : Número de piezas del tipo B.
Optimizando la ganancia (Z).
Max Z = 6X1 + 4X2
Sujeto a las restricciones:
•
2X1 + 2X2 £ 160 Fondo de tiempo de la máquina 1.
•
X1 + 2X2 £ 120 Fondo de tiempo de la máquina 2.
•
4X1 + 2X2 £ 280 Fondo de tiempo de la máquina 3.
Como ninguna variable implicada puede ser negativa.
•
X1 ³ 0; X2 ³ 0
Métodos de solución: gráfico, dual, simplex
2. Métodos de solución: gráfico, dual – simplex.
El método simplex es un procedimiento iterativo que permite tender progresivamente hacia la solución óptima. Es
un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los vértices de optimalidad.
El método requiere que las restricciones sean ecuaciones en lugar de inecuaciones, lo cual se logra añadiendo
variables de holgura a cada inecuación del modelo, variables que nunca pueden ser negativas y tienen114
coeficiente 0 en la función objetivo. Para el modelo formulado anteriormente tenemos:
Z – 6X1 – 4X2 = 0
2X1 + 2X2 + s1 = 160
X1 + 2X2 + s2 = 120
4X1 + 2X2 + s3 = 280
Todas las variables son no negativas.
La solución básica inicial se obtiene seleccionando las variables de holgura como variables básicas, resultando
conveniente disponer los valores como se muestran en la tabla siguiente:
i
1
2
3
4
VB
Z
S1
S2
S3
Z
1
0
0
0
X1
-6
2
1
4
X2
-4
2
2
2
S1
0
1
0
0
S2
0
0
1
0
S3
0
0
0
1
Bi
0
160
120
280
Cada ecuación debe tener una única variable básica(VB), con el coeficiente unidad en la fila correspondiente.
Esta solución básica debe ser examinada para observar si puede ser mejorada. La presencia de coeficientes
negativos en la FO indica que la solución básica puede ser mejorada, pues el valor de Z se incrementará.
Cuando no hay coeficientes negativos, significa que la solución es óptima.
Para encontrar una solución mejorada es necesario:
•
Elegir la variable que entra como la de mayor coeficiente negativo (X1)
• Elegir la variable que sale como aquella que al ser removida permita que la variable que entra a la
base pueda tener un valor tan grande como sea posible, sin violar alguna de las restricciones en el modelo.
•
En este caso la variable S3 deja la base y a su vez X1 se introduce como la nueva variable básica.
• El elemento pivote es el coeficiente que está en la intersección de la columna de la variable que
entra y la fila de la variable que sale.
•
Los valores correspondientes a la nueva fila pivote se obtienen dividiendo los coeficientes de la
fila pivote en la tabla inicial por el elemento pivote.
•
Las otras filas de la solución mejorada se calculan por la expresión:
Nueva fila = Fila anterior – elemento de la columna pivote(nueva fila pivote)
Así, se obtiene la siguiente tabla:
i
0
1
2
VB
Z
S1
S2
Z
1
0
0
3
X1 0
X1
0
0
0
X2
-1
1
1.5
S1
0
1
0
1
0.5 0
S2
0
0
1
0
Como se puede apreciar esta no es aún la solución óptima ¿Por qué?
S3
1.5
-0.5
0.25
0.25
Bi
420
20
50
70
115
Iterando nuevamente se obtiene la tabla correspondiente que se muestra a continuación:
i
0
1
2
3
VB Z X1 X1 S1 S2 S3
Z 1 0 0 1 0 1
X2 0 0 1 1 0 0.5
S2 0 0 0 1 0.5
1.5
X1 0 1 0 0 0.5
0.5
Bi
440
20
20
60
¿Es esta la solución óptima? Si lo es determine entonces los valores de las variables para el óptimo.
Se ha aplicado el algoritmo para el caso del modelo estándard, cuando se presentan problemas con restricciones ³ o
= y el criterio de optimización es mínimo, entonces hay que introducir variables artificiales y se sugiere convertir el
problema en un problema de maximizar.
Aspectos Fundamentales Del Método Simplex
a. Encuentra una solución óptima
b. Es un método de cambio de bases
c. Requiere que la función objetivo sea expresada de tal forma que cada variable básica tenga como
coeficiente 0
d. Requiere que cada variable básica aparezca en una y solamente una ecuación de restricción.
Dualidad.
Asociado a cada problema de Programación Lineal existe un llamado dual, de hecho al de Programación Lineal se
le llama primal. La forma general del problema dual es la siguiente:
Optimizar Z = b1Y1+ b1Y2 +….+ bn Yn). Función objetivo.
Sujeta a a11Y1+ a11Y2 +…..+ am1Y1) £ C1
a21Y1+ a22Y2 +…..+ am2Y2) £ C1
Restricciones
a1mY1+ a2mY2 +…..+ amnYm) £ Cn
Para facilitar la comprensión de lo anterior considérese el diagrama siguiente:
Primal
Dual
C1……. Cn b1……. bm (3)
(1)
a11 b1
a11…….
am1 C1
(2)
(2) (3)
(1)
am1 bm
C2
116
Variables Variables
X1……. Xn
Y1……. Ym
El problema dual tiene las siguientes características:
•
El objetivo de la optimización es contrario al del primal.
•
Las inecuaciones de restricción son inversas.
•
La solución del dual es la misma que la del primal.
Desde el punto de vista económico, el significado de las variables duales es de gran interés para los gerentes, ya
que representan el valor por unidad de recurso adicional, lo cuál permite tomar decisiones sobre dónde invertir para
incrementar las utilidades.
Análisis de Sensibilidad.
El objetivo del análisis de sensibilidad es determinar la influencia de ciertos valores en la solución óptima, que nos
permite la interpretación razonable de los resultados obtenidos. En muchos casos la información lograda por la
aplicación del análisis de sensibilidad puede ser más importante y más informativa que simple resultado obtenido
en la solución óptima.
El análisis deviene del resultado de los cambios en:
•
Los coeficientes en la función objetivo.
•
Los términos independientes en las restricciones.
3. Modelo de transporte.
Recibe este nombre debido a que muchas de sus aplicaciones involucran determinar la manera óptima de
transportar bienes. Las aplicaciones de los problemas de transporte y asignación tienden a requerir un número muy
grande de restricciones y variables, de manera que una aplicación en computadora del método símplex puede
requerir un esfuerzo computacional exorbitante. Por fortuna, una característica clave de estos problemas es que la
mayor parte de los coeficientes ai j en las restricciones son cero. Como resultado, se han podido desarrollar
algoritmos simplificados especiales que logran ahorros computacionales sorprendentes al explotar esta estructura
especial del problema.
En particular, el problema general de transporte se refiere (literal o en sentido figurado) a la distribución de
cualquier bien desde cualquier grupo de centros de abastecimiento, llamados orígenes, a cualquier grupo de
centros de recepción, llamados destinos, de tal manera que se minimicen los costos totales de distribución.
Modelo de asignación
4. Modelo de asignación.
Incluye aplicaciones tales como la de asignar personas a tareas. El problema de asignación es un tipo especial de
problema de programación lineal en el que los asignados son recursos que se destinan a la realización de tareas.
Por ejemplo, los asignados pueden ser empleados a quienes se tiene que dar trabajo. La asignación de personas a
trabajos es una aplicación común del problema de asignación. Sin embargo, los asignados no tienen que ser
personas, también pueden ser máquinas o vehículos o plantas o incluso intervalos de tiempo a los que se asignan
117
tareas.
Para que se ajuste a la definición de un problema de asignación, es necesario que este tipo de aplicaciones se
formule de manera tal que se cumplan las siguientes suposiciones:
totales.
•
El número de asignados es igual al número de tareas.
•
Cada asignado se asigna a exactamente una tarea.
•
Cada tarea debe realizarla un asignado.
•
Existe un costo asociado con el asignado que realiza la tarea.
•
El objetivo es determinar cómo deben hacerse las n asignaciones con el fin de minimizar los costos
Cualquier problema que satisface todas estas suposiciones se puede resolver en forma extremadamente
eficiente mediante logaritmos diseñados especialmente para los problemas de asignación.
CONTROL DE INVENTARIOS
MODELO DE INVENTARIOS
1. Problema general.
Un inventario consiste de recursos utilizables, pero que están ociosos.
Estos recursos pueden ser de cualquier tipo; por ejemplo: hombres, materiales, máquinas o dinero. Cuando dicho
recurso es material, o artículos en cualquier etapa de acabado, el inventario generalmente se menciona como
“existencia en almacén”.
Existe un problema de inventario si el volumen de recursos está sujeto a control y si hay, cuando menos, un costo
que disminuya al aumentar el inventario.
Naturalmente, el objetivo es minimizar el costo total ( real o esperado ).
Sin embargo, si el inventario afecta la demanda (el volumen solicitado por los clientes o usuarios), el objetivo
puede ser maximizar las utilidades (reales o esperadas).
Las variables que se pueden controlar, separadamente o en combinación, son las siguientes:
a.- La cantidad adquirida (por compra, producción o algún otro medio); o sea, cuanto. Esto se puede fijar para
cada tipo de recursos en forma separada o para todos colectivamente; por ejemplo: la compra o el nivel de
producción o ambos. Las decisiones acerca del número de puntos de almacenamiento también afectan al volumen
de existencia.
b.- La frecuencia o tiempo de abastecimiento; es decir, qué tan a menudo o cuándo.
El tomador de decisiones puede tener control sobre ambos o solamente uno de estos tipos de variables controlables.
Por ejemplo: La ama de casa no controla la frecuencia de las visitas del lechero, pero sí controla qué cantidad le
deja de cada producto.
c.- La etapa de acabado de los artículos almacenados. Mientras más avanzado es el grado de acabado de los
artículos que se mantienen en inventario, menor es la demora en el suministro a los clientes, pero mayor es el costo
de almacenamiento. Mientras menos terminados estén los artículos ( en el otro extremo materias primas) más
tiempo tomará cumplir con los pedidos, pero el costo de mantener la existencia será menor. Además, los errores de
pronósticos para artículos en existencia, tienden a incrementarse mientras más acabados estén éstos; por tanto, el
factor de seguridad que se necesita para protegerse de la incertidumbre deberá ser mayor. Finalmente el número de
artículos diferentes que se deben almacenar, normalmente crece muy rápido con los avances en el grado de
118
acabado de los artículos almacenados.
La mayor parte de la teoría de inventarios ha tratado solamente los dos primeros tipos de variables controlables, de
aquí que en éstos se haga más énfasis.
En los problemas de inventarios las variables no controlables se dividen en variables de costos y otras. Las
variables principales de cada tipo son las siguientes:
a.- Costos de mantenimiento de inventarios.- Costos que se incrementarán en proporción directa al crecimiento
del inventario y al tiempo que van a permanecer almacenados los artículos. El componente más obvio y que es
estrictamente proporcional al nivel de existencias y al tiempo es el costo del capital invertido.
Además de los costos de capital debemos considerar los del mantenimiento del archivo y los cargos
administrativos.
Otros componentes importantes del costo de mantenimiento del inventario son:
• Costos de manejo: éstos incluyen los costos de la labor de mover las existencias, grúas de
capacidad media, armazones para soportar barriles, montacargas y otro equipo usado para este propósito.
•
Costo de almacenamiento.- Renta del local o interés y depreciación de nuestro propio local.
•
Seguros e impuestos.
• Costos de depreciación, deterioro y obsolescencia.- Éstos son particularmente importantes para
artículos antiguos o que cambian químicamente durante el almacenamiento, tales como los alimentos.
b.- Costos de déficit o multas.- Costos que surgen cuando algún artículo que se demanda no se tiene en existencia.
Un déficit puede no ocurrir si se pueden tomar medidas de emergencia de tal manera que las entregas se sigan
haciendo, o se hagan antes de la fecha que requieren los clientes (es decir, acelerar). Sin embargo, al tomar tales
medidas hay involucrados costos: costos de transporte más elevados (carga por avión en vez de camión); aumento
en los costos de arranque o costos de tiempo extra; costos administrativos o el costo de romper el programa de
producción planeado. También puede haber costos del equipo de producción de relevo que se usa solamente en
emergencias. Tal equipo puede ser obsoleto o estar fuera de uso y tener costos de producción más altos que el
equipo regular.
Cuando las fechas de entrega se pasan por alto y ocurre déficit, los costos son a menudo menos tangibles.
Alternativamente, los déficit pueden dar como resultado la cancelación de pedidos y las pérdidas de ventas que, a
su vez, pueden ocasionar pérdida de buen crédito.
c.- Costos debido a los cambios en la tasa de producción.- Incluyen costos de arranque que resulta de cambiar la
tasa de producción desde cero a un volumen positivo. En el caso de una compra, implican los costos fijos
administrativos de colocar un pedido.
Otros costos que dependen de los cambios que se hagan a las tasas de producción son aquellos de contratación y
adiestramiento de mano de obra, y los correspondientes al despido de personal. El último puede ser grande,
especialmente cuando los sindicatos obligan a que se tenga en cuenta la antigüedad para hacer los movimientos de
personal. Luego, un gran número de bajas puede dar como resultado nuevas asignaciones para una gran parte de la
fuerza laboral. Para empezar esto causa un proceso de “aprendizaje”, mientras que cada hombre se adapta en su
nueva actividad. Durante tales trastornos las tasas de producción pueden ser relativamente bajas, los rechazos por
inspección pueden ser altos, todo esto acompañado de altos costos.
d.- Precio de compra o costos de producción directos.- el costo unitario por artículo comprado puede depender de
la cantidad que se compre debido a “precios quebrados” o a “descuentos por volumen”. El costo unitario por
artículo producido también puede abatirse bastante debido a una gran eficiencia de hombres y máquinas en119
corridas largas de producción continua.
e.- Demanda.- El número de artículos que se requieren por período. Nótese que esto no necesariamente es la
cantidad vendida, debido a que parte de la demanda puede no satisfacerse por déficit o demora. En efecto, sería la
cantidad que se vendería, si todo lo que se necesitara estuviera disponible.
La demanda puede ser (o se puede suponer que es) conocida con exactitud. Si esto es cierto, cada decisión acerca
del reaprovisionamiento no tiene impacto sobre los costos que siguen a las decisiones subsecuentes. Por otro lado,
se pueden presentar situaciones en las que la demanda se conoce sólo en forma probabilística, es decir, sujeta a una
distribución de probabilidad. En tales casos, cada decisión puede tener un impacto sobre las que siguen.
f.- Tiempo de reorden.- El tiempo que transcurre entre la colocación del pedido y la llegada del artículo al
almacén. Si este es conocido y no es igual a cero y se conoce la demanda, todo lo que se necesita hacer, es pedir
con una anticipación igual al tiempo de reorden. Sin embargo, si es una variable que se conoce sólo en forma
probabilística la pregunta de cuándo pedir es mucho más difícil. Sin embargo, si la demanda o el tiempo de reorden
se conocen sólo probabilísticamente, la cantidad y el tiempo de reordenamiento se encuentra considerando costos
esperados de mantenimiento de inventario y de ruptura sobre el período de tiempo de reorden.
g.- Cantidad entregada.- Si se pide una cantidad q para compra o producción, la cantidad entregada puede variar
alrededor de q con una función de densidad de probabilidad conocida. Como se puede ver, el efecto de dicha
incertidumbre es el mismo que el de la incertidumbre relativa a la demanda o al tiempo de reorden.
2.
Cantidad económica de pedido.
El problema de inventarios que con más frecuencia enfrentan los fabricantes, mayoristas y comerciantes es aquel
en el que los niveles de existencia se reducen con el tiempo y después se reabastecen con la llegada de nuevas
unidades. El modelo del lote económico es un modelo sencillo que representa esta situación ( veces se hace
referencia a este modelo como el modelo de la cantidad económica a ordenar).
Se supone que los artículos bajo consideración se sacarán en forma continua a una tasa constante conocida
denotada por a ; es decir, la demanda es de a unidades por unidad de tiempo al mes. Se supone también que el
inventario se reabastece produciendo u ordenando un lote de tamaño fijo ( Q unidades), y que las Q unidades llegan
juntas en el tiempo deseado. Los únicos costos que se considerarán son:
K = Costo de preparación para producir u ordenar un lote.
c = El costo de producir o comprar cada unidad.
h = El costo de mantener el inventario por unidad, por unidad de tiempo.
El costo por unidad de tiempo T se obtiene a partir de las siguientes componentes:
Costo por ciclo de producción u ordenar = K + cQ
El nivel de inventario promedio durante el ciclo es (Q + 0 ) /2 = Q/2 unidades por unidad de tiempo, y el costo
correspondiente es hQ/2 por unidad de tiempo. Como la longitud del ciclo es Q/a,
Costo
por
ciclo
mantener inventario =
de
HQ2
2ª
Por lo tanto;
120
Costo total por ciclo = K +
HQ2
cQ +
2ª
Y el costo total por unidad de tiempo es
T = K +cQ
hQ2/(2 a)
+=
+ ac
aK +
hQ
Q
2
Q/a
El valor de Q, digamos Q*, que minimiza T se encuentra estableciendo la primera derivada igual a cero (y
observando que la segunda derivada sea positiva).
0 Q/a 2Q/a tiempo T
dT = - aK + h =
0
2
dQ
Q
2
De manera que
Q* = 2ak
ah
Que es la familiar fórmula del lote económico. De igual manera, el tiempo que toma obtener este valor
óptimo de Q*, llámese t*, está dado por
t*
=
=
Q*
2K
Es interesante observar que Q* y t* cambian de forma intuitivamente aceptable cuando se hace un cambio en K, h
o a. Cuando el costo fijo K crece, tanto Q* como t* crecen (menos preparaciones). Si el costo unitario de mantener
h, aumenta, tanto Q* como t* disminuyen (niveles de inventarios menores). Conforme la tasa de demanda a crece,
Q* crece (lotes más grandes) pero t* disminuye (preparaciones más frecuentes).
El objetivo consiste en determinar con qué frecuencia y en qué cantidad reabastecer el inventario de manera que se
minimice la suma de estos costos por unidad de tiempo.
Se supondrá revisión continua, por lo que el inventario se puede reabastecer cuando el nivel baje lo suficiente.
Primero se supondrá que no se admiten faltantes (pero después se relajará esta suposición). Con la tasa de demanda
fija, se pueden evitar los faltantes reabasteciendo el inventario cada vez que el nivel baje a cero, y esto también
minimizará el costo de mantener.
Observaciones sobre los modelos de lote económico.
a.- Si se supone que el costo unitario de un artículo es constante a través del tiempo, este costo unitario no aparece
en la solución óptima para el tamaño del lote. Este resultado ocurre porque no importa qué política se use, se
requiere el mismo número de unidades y así este costo por unidad de tiempo es fijo.
b.- Se supuso antes que el tamaño del lote Q es constante de un ciclo a otro. El tamaño del lote óptimo Q* de121
hecho minimiza el costo total por unidad de tiempo para cualquier ciclo, por lo que el análisis muestra que debe
usarse este tamaño de lote constante de un ciclo a otro aun cuando no se requiera un tamaño constante.
c.- El punto del inventario óptimo en el que debe reabastecerse nunca puede ser mayor que cero en estos modelos.
Si se espera hasta que el inventario se baje a cero (o a menos de cero cuando se permiten faltantes) reduce tanto los
costos de mantener como la frecuencia con la que se incurre en el costo fijo K. Sin embargo, si no se cumplen por
completo las suposiciones de una tasa de demanda constante y conocida y de entrega inmediata, puede ser
prudente planear un “inventario de seguridad” que queda cuando está programado reabastecer el inventario.
d.- Los modelos suponen reabastecimiento instantáneo. No obstante, se puede tomar en cuenta un tiempo de
entrega si éste se conoce. Sencillamente se coloca el pedido con suficiente anticipación para que llegue cuando se
necesite.
3.
Casos especiales (faltantes, ventas, pérdidas y producción finita).
ESTADISTICA DESCRIPTIVA E
INFERENCIAL
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Tabulación de datos, frecuencias absolutas y relativas
La estadística descriptiva incluye técnicas que se relacionan con el resumen y la descripción de datos
numéricos. Estos métodos pueden ser gráficos o pueden incluir análisis mediante cálculos.
1. Tabulación de datos.
Pone los valores en orden ascendente o descendente, lo cual nos permite descubrir rápidamente los122
valores mínimos y máximos, dividir los datos en secciones, darnos cuenta si algunos valores aparecen más
de una vez en el arreglo y observar la distancia entre valores consecutivos de la tabla.
2. Distribución de frecuencias absolutas y relativas.
Una distribución de frecuencia muestra el número de observaciones provenientes del conjunto de datos que
caen dentro de cada una de las clases. Es absoluta cuanto presente las frecuencias en números enteros y es
relativa cuando las presenta en fracciones o porcentajes.
Presentación gráfica de datos: Histogramas, diagramas de pay, ojivas.
3. Presentación gráfica de datos: histogramas, diagramas de pay, ojivas.
Histogramas.- Es una serie de rectángulos, todos ellos de anchura proporcional a la gama de valores dentro
de una clase y también de altura proporcional a los elementos que caen dentro de una clase (gráfica de
barras de una distribución de frecuencia).
Diagramas de Pay (pastel).- Son especialmente apropiados para ilustrar las divisiones de una cantidad total,
tal como la distribución de los egresos o los ingresos de una compañía.
Ojivas.- Es la gráfica de una distribución de frecuencia acumulativa del tipo “menores que”, la cual nos
permite ver cuantas observaciones se hallan por arriba o por debajo de ciertos valores, en lugar de
limitarnos a anotar los números de elementos dentro de los intervalos.
MEDIDAS DESCRIPTIVAS
4. Medidas de tendencia central: media, mediana, moda, media ponderada y geométrica.
Como su nombre lo indica, las medidas de tendencia central buscan, en términos generales, un valor
representativo del grupo o del conjunto, un valor que de manera sencilla represente al conjunto de datos
observados. Estas medidas son de gran utilidad cuando nos interesa tener una idea aproximada acerca de
las características de un determinado grupo.
Media aritmética.- El cálculo de la media aritmética (también conocida como promedio) se representa por
X y se lee como X barra o X testada y no es otra cosa que la suma de las magnitudes (valor agregado) de
las características entre el número de elementos que componen al conjunto.
Moda.- Es el valor de mayor frecuencia de ocurrencia; dicho de otra forma, el valor que más se repite en
un conjunto (se representa con: Mo. ).
Mediana.- Es el valor que divide al conjunto en dos partes iguales; es decir, por debajo de la mediana
se localiza la mitad de los datos menores a ella, o sea el 50%, y la otra mitad, el 50% restante,
corresponderá a la información mayor a la mediana. La mediana es una medida de posición ya que
indica el valor que divide a los datos del grupo en dos partes iguales.
Md = X1 + Xn
2
Media ponderada.- Nos permite obtener un promedio tomando en consideración la importancia de
cada valor para el total global, su fórmula es:
(W * X )
XW = * W
123
Donde:
XW=
W=
Media ponderada.
Peso (o importancia) de
cada observación.
* (W * Suma del peso de cada
X)=
elemento multiplicado por
ese elemento.
* W = Suma de todos los pesos.
Media geométrica.- Es la tasa promedio de cambio, o sea, el promedio de cantidades que cambian a
lo largo de un período.
Medidas de dispersión: Rango, varianza, desviación estándar y coheficiente de variación.
5. Medidas de dispersión: rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.
Las medidas de dispersión pretenden explicar, en términos generales, la variabilidad de los datos y la
dispersión que está en el interior del grupo; toman como referencia el conjunto de los datos, aunque parten
de la media aritmética para medir las diferencias o variaciones; es decir, miden la magnitud de las
diferencias de acuerdo a un valor representativo del conjunto.
Rango.- Es una medida de dispersión absoluta que sirve para calcular el alejamiento entre el dato
menor y el dato mayor.
R = Xn - X i
Varianza.- Medida de dispersión absoluta considerada como el promedio de las desviaciones de cada
uno de los datos con respecto a su media elevada al cuadrado.
2
* = * (X - X )2
N
Desviación estándar.- Es el promedio de las desviaciones de cada uno de los datos con respecto a su
media aritmética.
*=
* (X - X )2
N
Donde:
*=
X=
X=
N=
( )2 =
•
Indica suma del cuadro de
los valores.
Es cada uno de los casos
que contiene el grupo.
Es la media aritmética.
Es el número total de caos
que contiene el grupo.
Se elevan al cuadrado las
restas de X menos X
Coeficiente de variación.- El coeficiente de variación (CV) expresa la variación como un
porcentaje, al contrario de cómo lo presenta la desviación estándar, que se expresa en los valores
originales. Por esta razón, el Coeficiente de Variación se considera como una medida de
variabilidad relativas, y se representa en porcentajes.
CV =
•
Donde:
*
X
(100)
124
* = Desviación
estándar.
X = Media aritmética.
Curva normal: Conocida como campana o Curva de Gauss, es un modelo teórico de curva en el caso de
que se de una distribución normal. Es la curva a la que toda distribución normal tiende a dibujar cuando es
representada gráficamente.
Curva Platicúrtica: Presenta una curva más aplastada, con una elevación de la distribución inferior a la
curva normal.
Curva Leptocúrtica: Presenta una distribución más apuntada, con una elevación superior a la curva
normal.
Curva Mesocúrtica: Es el que corresponde a la curva normal y presenta un nivel de apuntamiento
considerado como ideal.
Cuantil: Es una forma de interpretar las puntuaciones directas refiriéndolas a diferentes escalas. Si se
divide la serie en varias partes, en función de los porcentajes que incluyen, podemos situar las
puntuaciones de los sujetos a lo largo de la misma, utilizando los porcentajes que permiten cierta
comparación. La serie podrá quedar dividida en cuantas partes se desee, pero generalmente suele hacerse
en 4, 10 ó 100, teniendo así los cuartiles, deciles o percentiles. El proceso de cálculo es idéntico al de la
mediana, ya que ésta es, a la vez, el cuartil 2, el decil 5 o el percentil 50.
Desviación Media: Hace referencia a la media aritmética de las desviaciones tomadas en valor absoluto,
respecto de un promedio. Dicho promedio puede ser la media aritmética, la mediana o la moda, es una
medida poco utilizada, sobre todo porque existen otras que permiten un superior desarrollo estadístico a
partir de su valor.
Desviación Típica: Es una de las medidas más importantes de dispersión y variabilidad, se utiliza más en
el ámbito de la estadística descriptiva, en la caracterización de las muestras y permite un alto desarrollo
estadístico sobre la base de la misma. Es la raíz cuadrada de la varianza.
Diagrama de barras: Consiste en representar los valores de una variable en función de sus frecuencias
absolutas o relativas, por tanto dentro de un eje de coordenadas colocaremos los valores de la variable en el
eje de abscisas y la frecuencia absoluta o relativa en el eje de abscisas. La representación consiste en
levantar alturas para cada valor de la variable iguales a su frecuencia.
Diseño: Un diseño es un esquema o estructura lógica de acción que permite mantener constante el flujo de
las variables experimentales pertinentes y controlar así la influencia de las variables independientes sobre
las variables dependientes. Podemos concretar como objetivos del diseño el maximizar la varianza
sistemática, controlar la varianza sistemática de las variables extrañas o fuentes de variación secundarias, y
minimizar la varianza del error (el azar y los errores de medición).
Diseños Cuasiexperimentales: Se manipula la variable independiente, es decir, se introduce un
tratamiento. Carece de una de dos propiedades del diseño experimental, que son aleatoriedad y grupo
control. Son prácticos, brindan información útil para generalizar, se pueden llevar a cabo en ambientes
naturales. La desventaja es que pueden surgir varias hipótesis rivales que compiten con la hipótesis de
manipulación experimental en la explicación de los resultados observados.
Diseño Experimental Puro: El investigador actúa como un agente activo y no como un observador
pasivo, el investigador puede tener una mayor confianza en la autenticidad e interpretación de las
relaciones entre variables debido a que las ha observado bajo condiciones rigurosamente controladas.
Diseño Factorial: Se manipulan dos o más variables de manera simultánea. Permite probar múltiples125
hipótesis en un solo experimento. Permite probar no sólo los efectos principales, sin también la interacción
entre las variables manipuladas.
Diseño de Solomon: Fue desarrollado para controlar todas las variables extrañas, y poder observar la
varianza sistemática, consecuencia del tratamiento experimental objeto de estudio. Son cuatro grupos los
necesarios y todos se forman al azar. La variable experimental se representa por X.
Diseños Jerárquicos: Son diseños donde se encuentran factores anidados. Tienen tres potenciales fuentes
de variación. A) Aquella atribuible a la variable experimental. B) El efecto debido a los grupos. C) Las
diferencias individuales, como variación residual, y en consecuencia, la variación del error.
Diseño por bloques al azar: Se utiliza cuando las unidades experimentales no son todas iguales, cuando
existe gran heterogeneidad. Se forman tantos bloques como valores de la variable independiente interesa
contrastar; los tratamientos se asignan igualmente al azar.
Cuadrado Latino: Se distingue de todos los demás porque es cuadrado, ya que los datos nos los
proporcionan a través de una matriz cuadrada. Hay dos variables de bloqueo que lo que hacen es
homogeneizar la muestra pero que no intervienen en el experimento. No es un diseño al azar, se clasifica a
los sujetos según unas condiciones iniciales y luego se aplica el experimento. Las variables de bloqueo,
que no intervienen en el desarrollo del proceso, tienen los mismos niveles que la experimental por ser de
diseño cuadrado.
ESTADISTICA INFERENCIAL
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
ESTIMACION
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
MUESTREO
1.- INTRODUCCIÓN
El muestreo estadístico es la herramienta que la Matemática utiliza para el estudio de las características
de una población a través de una determinada parte de la misma.
La muestra de estudio debe ser lo más pequeña posible ya que del hecho de que una muestra sea más
grande, no se desprende necesariamente que la información sea más fiable.
Además, la muestra elegida debe serlo por un proceso aleatorio para que sea lo más representativa posible.
Términos usuales en un estudio estadístico
•
Población: conjunto de todos los individuos que son objeto del estudio.
•
Muestra: parte de la población en la que miden las características estudiadas.
•
Muestreo: proceso seguido para la extracción de una muestra.
•
Encuesta: proceso de obtener información de la muestra.
Métodos de muestreo
1.- Muestreo no probabilístico: no se usa el azar, sino el criterio del investigador.
2.- Muestreo probabilístico o aleatorio:
2.1.- Muestreo aleatorio simple: se asigna un número a cada uno de los individuos de la población, y
seguidamente se van eligiendo al azar los componentes de la muestra. La elección de un individuo no debe
afectar a la del siguiente, por tanto debe reemplazarse el nº, una vez extraído.
2.2.- Muestreo sistemático: se ordenan previamente los individuos de la población, después se elige uno al
azar y a continuación, a intervalos constantes, se eligen todos los demás hasta completar la muestra.
151
2.3.- Muestreo estratificado: se divide la población total en clases homogéneas (estratos). La muestra se
escoge aleatoriamente en número proporcional al de los componentes de cada estrato.
Ejemplo: en un I.E.S. hay 120 alumnos en 2º de Bachillerato provenientes de 4 zonas o pueblos.
Zona A: 20 alumnos
Zona B: 32 alumnos
Zona C: 60 alumnos
Zona D: 8 alumnos
Hay que elegir una muestra de 20 alumnos para hacerles una serie de preguntas.
Utiliza los tres métodos de muestreo aleatorio para escoger la muestra.
2.- DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
Es evidente que los resultados obtenidos del estudio de una muestra no son del todo fiables, pero sí en
buena medida. Los parámetros que obtienen de una muestra (estimadores estadísticos) nos permitirán
arriesgarnos a predecir una serie de resultados para toda la población. De estas predicciones y del riesgo
que conllevan se ocupa la Inferencia Estadística.
Distribución de medias muestrales
Si una población tiene N elementos, el nº de muestras distintas de tamaño n que se pueden elegir es
.
.
Si
pueden
repetirse
individuos,
el
número
de
muestras
será
igual
a
Ejemplo: calcular el nº de muestra de tamaño 21 que pueden elegirse en una población de 120 alumnos:
sin reemplazamiento
con reemplazamiento
Repaso de la distribución normal
Ejercicios:
Si Z es una N(0, 1), calcular las siguientes probabilidades:
a) p(Z<1) b) p( Z>1´3) c) p(Z<-0´5) d) p(-0´5<Z<1´3)
Si X es una N(15, 3), responder a las siguientes cuestiones:
tipificarla a una N(0, 1) con el cambio
calcular las siguientes probabilidades:
152
p(X<21) p(X<-7) p(X>31)
Parámetros muestrales
Elegida
una
muestra,
hallaremos
en
ella
la
media
y la desviación típica S. Lo que tendremos que estudiar será la representatividad de estos parámetros
muestrales con los parámetros reales de la población, es decir: la media poblacional , y la desviación
típica de la población .
Si en una población de N individuos tomamos todas las muestras posibles de tamaño n, se puede demostrar
que la media de las medias muestrales coincide con la media poblacional, esto es
Sin embargo, no se cumple lo mismo para la desviación típica de las medias muestrales, sino que se
verifica
, siendo n el tamaño de las muestras.
que
Teorema central del límite
•
La distribución de las medias muestrales de tamaño n, extraídas de una población normal
,
.
•
se
ajustan
a
una
normal
Si las medias muestrales provienen de una población no normal, pero el tamaño de las mismas es
n"30, la distribución de las medias muestrales también se ajusta a una
.
Ejemplo: en el último año, el peso de los recién nacidos en una maternidad se ha distribuido según una ley
normal de parámetros =3.100 gramos y = 150 gramos.
¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese más de 3.130 gramos?
¿Qué distribución seguirán las muestras de tamaño 100 de recién nacidos?
¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de tamaño 100 sea superior a 3.130 gramos?
Ejercicio: en una oposición en la que participan miles de candidatos se hizo un examen tipo test. Las
calificaciones se distribuyeron normalmente con media =72 puntos y desviación típica =10.
¿Cuál es la probabilidad de que un opositor elegido al azar obtenga más de 76 puntos?
¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 64 opositores obtenga un promedio superior a 76
puntos?
Ejercicios:
Supongamos que la estatura media de las alumnas de bachillerato es 165 cm, con desviación típica 8
cm.
153
Halla los parámetros de las medias muestrales de tamaños n=36 y n= 64
¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 36 alumnas tenga una media superior a 167 cm.? ¿Y de
que una muestra de 64 alumnas supere esa misma medida?
¿Tiene algo de extraño que una muestra de tamaño 36 tenga una media de 170 cm.?
3.- INTERVALOS DE PROBABILIDAD
A los intervalos simétricos respecto de la media o proporción poblacionales se les denomina intervalos de
probabilidad.
Intervalos de probabilidad para la media muestral
Sabemos que la distribución de medias muestrales es
y desviación típica, donde y son los parámetros de la población.
normal
de
media
Nos haremos la siguiente pregunta:
¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre dos valores simétricos respecto de la
media poblacional?, es decir, queremos evaluar las siguientes probabilidades:
Se llama intervalo de probabilidad para la media a uno de la forma
tal
que
se
cumple
se encuentre en él es igual a .
Al parámetro
Si
que
la
probabilidad
de
que
se le llama nivel de confianza, y la diferencia (1- ) es el riesgo asumido.
tipificamos
la
variable
,
llegaremos
a
una
expresión
de
la
forma:
, donde Z es una variable que se ajusta a una N(0, 1). De este modo podremos evaluar el valor de k
consultando la tabla de valores de dicha distribución.
Ejemplo: vamos a hallar el intervalo de probabilidad para el peso medio de una muestra de 100 recién
nacidos, con un nivel de confianza de 0,9, sabiendo que =3.100 gramos y =150 gramos.
Solución: como se ha dicho anteriormente, tenemos que evaluar la siguiente expresión
si consultamos
en la tabla de la N(0,
, por lo tanto, el intervalo de probabilidad será el siguiente:
1),
comprobaremos
que
154
que simplificado, es el intervalo
(3.075´325 ; 3.124´675)
Ejercicios:
Hallar el intervalo de probabilidad con una confianza de 0´95 para la misma distribución.
Para las muestra de tamaño 36 extraídas de la distribución de calificaciones en una población de 120
alumnos, con media 5´5 y desviación típica 2´04, halla los intervalos de probabilidad para un nivel de
confianza de:
75´4%
0´87
Ejercicios:
Si la estatura de las alumnas de segundo de Bachillerato se ajusta a la normal N(165, 8), en cm, halla,
para las muestras de tamaño 64:
El porcentaje de ellas que dará una media entre 163 y 167 cm.
El intervalo de probabilidad con un nivel de confianza del 80%.
El nivel medio de colesterol (en mg/dl), en individuos sanos, depende de la edad y el sexo; para los
hombres con menos de 21 años su distribución es normal con media =160 y desviación típica =10. Un
nivel
fuera
de
resulta extraño: indica que puede haber alguna anomalía. Lo mismo cabe decir de las muestras: un nivel
muestral
fuera
de
resulta extraño. ¿Cuál es el intervalo de probabilidad admisible (no extraño) para las muestra de tamaño
1
9
100
¿Qué porcentaje de individuos o muestras se encuentran en los intervalos hallados para los diferentes
tamaños de la muestra?
1.- ESTIMACIÓN A PARTIR DE UNA MUESTRA
Habitualmente, lo normal es que se desconozcan la media y la desviación típica de la población y que,
mediante técnicas de muestreo, se busque estimarlas con la fiabilidad necesaria. Así, si para 400 individuos
de una región, elegidos al azar, se obtiene una renta per cápita de 1.215.000 ptas, con una desviación típica
de 650.000 ptas, podemos hacernos dos preguntas:
¿La renta per cápita de los habitantes de toda la región será de 1.215.000 ptas?
¿Qué seguridad se tiene de tal afirmación?
Cuando se contestan estas preguntas se está haciendo una estimación a partir de la muestra.
2.- INTERVALOS DE CONFIANZA
155
En este apartado vamos a dar respuesta a las dos preguntas anteriores.
Intervalo de confianza para la media muestral
Al
intervalo
se le llama intervalo de confianza para la media poblacional, siendo los elementos que aparecen en dicho
intervalo, los ya estudiados anteriormente.
La probabilidad de que la media de la población se encuentre en este intervalo es , que es el nivel de
confianza. Si la confianza es , suele decirse que el nivel de significación es 1- , o nivel de riesgo.
En el caso en que la desviación típica de la población sea desconocida ( ), no tendríamos más remedio
que sustituirla por la desviación muestral s; así el intervalo de confianza para la media poblacional , para
, sería
con
una
probabilidad
de
y s la media y la desviación típica de la muestra, respectivamente.
,
siendo
A
se le llama error típico de la media.
Ejemplo: para una muestra de 400 personas elegidas al azar se obtiene una renta per cápita de 1.215.000
ptas. Si la desviación típica de la renta per cápita para la población es de 700.000 ptas, calcula el intervalo
de confianza para la media poblacional con un nivel de significación de:
0,1
0,05
Ejercicios:
Para una muestra de 30 alumnos se obtuvo una nota media en el último examen de matemáticas de
, con una desviación típica s= 1'92. Determina el intervalo de confianza al 80%. Interpreta el resultado.
El peso medio de una muestra de 100 recién nacidos es 3.200 gramos. Sabiendo que la desviación típica
de los pesos de la población de recién nacidos es de 150 gramos, halla el intervalo de confianza para la
media poblacional para una significación de 0'05
3.- ERROR ADMITIDO Y TAMAÑO DE LA MUESTRA
Error admitido
Cuando
con
decimos
un
que
la
media
nivel
poblacional
de
confianza
156
,
estamos
admitiendo
un
. A este número se le llama error máximo admisible.
error
máximo
de
Tamaño muestral
El tamaño muestral mínimo de una encuesta depende de la confianza que se desee para los resultados y del
error máximo que se esté dispuesto a asumir.
El tamaño mínimo n de una muestra viene dado por:
Para la media:
Para tamaños de muestra mayores que n el error será menor que E.
Ejercicios:
Se desea realizar una investigación para estimar el peso medio de los hijos recién nacidos de madres
fumadoras. Se admite un error máximo de 50 gramos, con una confianza del 95%. Si por estudios
anteriores se sabe que la desviación típica del peso medio de tales recién nacidos es de 400 gramos, ¿qué
tamaño mínimo de muestra se necesita en la investigación?
Para 96 familias españolas, elegidas al azar, se ha determinado que la televisión permanece encendida
en la casa una media de 217 minutos diarios; la desviación típica de la muestra fue de 40 minutos.
Para una fiabilidad del 95%, ¿qué error se asume cuando se da por bueno ese dato para el total de las
familias españolas?
¿Qué tamaño muestral sería necesario para reducir ese error a la mitad?
========================
Estadística descriptiva: Tiene una función simplificadora y descriptiva consistente en procesos estadísticos
que se realizan con datos empíricos, tomados, recogidos y/o medidos en las muestras.
Estadística inferencial: Le corresponde decidir sobre los problemas irresueltos por la estadística
descriptiva. Al informarnos sobre los valores de la población, parámetros, permite establecer hipótesis,
plantear leyes y tomar decisiones.
Estadística Paramétrica: Es la más poderosa siempre que se cumplan estos 3 supuestos. Que los
estadísticos que se estudian existan en la población. Que en ella están distribuidas normalmente y que el
estadístico muestral da una estimación del parámetro.
Estadística No Paramétrica: Es aquella cuyo modelo estadístico no parte de supuestos acerca de la
población, o estos son muy débiles y operan con datos ordinales y hasta nominales.
Estadístico o estimador: Cualquier característica medible calculada sobre una muestra.
Estado de la cuestión: Es conocer la situación actual del problema planteado en un momento determinado
con todas su variables y posibilidades.
Experimento y sus clases: Es una forma de experiencia científica caracterizada por provocar un157
fenómeno para mantenerlo bajo control y la utilización de la medición. Clases: Experimento de laboratorio
y experimento de campo.
Frecuencia absoluta fi : ( de un determinado valor xi ) al número de veces que se repite dicho valor .
Frecuencia absoluta acumulada Fi : ( de un determinado valor xi ) Su frecuencia absoluta más la suma de
las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores .
Muestreo: El muestreo se ocupa del estudio de las muestras no por sí mismas, sino como un modo de
conocer a la población que representa. En vez de hacer un censo completo, los procedimientos de muestro
estadístico se han convertido en la herramienta preferida en la mayoría de las situaciones de investigación.
Existen 3 razones principales para extraer una muestra:
- lleva menos tiempo que un censo completo
- es menos costoso
•
es más ágil y eficiente que obtener el completo de la población objeto.
Encuesta: Es una modalidad de investigación destinada a la recogida de información no a través de las
pruebas, sino por medio de preguntas formuladas directamente a los sujetos. Las preguntas, eso sí, pueden
incidir directa o indirectamente en el tema investigado.
Los pasos que se deben seguir a la hora de hacer una encuesta son:
1) Determinación de los objetivos
2) Determinación del tipo de encuesta:
3) Diseño del cuestionario: Es un instrumento que contiene varias preguntas y que trata de una diversidad
de fenómenos o características.
4) Codificación del cuestionario: Una vez diseñado y testado el cuestionario, conviene codificarlo antes
de realizar el trabajo de campo. Con el objeto de evitar posibles errores de diseño. La codificación del
cuestionario facilita la tabulación de los datos resultantes y su análisis posterior a través de un programa
informático de análisis estadístico.
5) Muestreo: En vez de hacer un censo completo, los procedimientos de muestro estadístico se han
convertido en la herramienta preferida en la mayoría de las situaciones de investigación.
6) Trabajo de campo: Una vez desarrolladas las fases anteriores, se realiza el trabajo de campo
entrevistando a todos los integrantes de la muestra seleccionada. El trabajo de campo es controlado y
revisado por el investigador para evitar distorsiones de la información resultante.
7) Tabulación de Datos: Construir tablas. Al finalizar el trabajo de campo, y una vez revisados y
depurados los cuestionarios, se tabulan estadísticamente los datos obtenidos.
8) Análisis de Resultados y Elaboración del Informe: Por último, se analizan los datos tabulados, y en
base a los resultados y las conclusiones se redacta el informe final de la investigación.
Muestra: Es una parte o subconjunto de una población normalmente seleccionada de tal modo que ponga
de manifiesto las propiedades de la población. Su característica más importante es la representatividad.
Probabilística: Son las que utiliza el muestreo al azar, y merced a ello pueden calcular de antemano la
probabilidad de detener cada una de las muestras posibles.
158
No Probabilística: No usan el muestreo al azar sino que se obtiene por el criterio del investigador, razones
de economía, comodidad, etc. (Muestreo intencional, muestreo accidental, etc.).
Dentro de los muestreos probabilísticos se encuentran:
Muestreo aleatorio simple: una vez censado el marco de la población, se asigna un número a cada miembro
y se eligen aleatoriamente las unidades muestrales, es decir que cada individuo o elemento tiene la misma
oportunidad de selección que cualquier otro, y la selección de un individuo o elemento en particular no
afecta la probabilidad de que se elija cualquier otro.
Muestro Sistemático: Es un muestreo aleatorio en el cual se eligen los elementos de la población a
intervalos uniformes a partir de un listado ordenado (dentro del marco, tomar un número y repetirlo varias
veces hasta terminar la lista)
Muestreo estratificado: Lo primero que hace el investigador es clasificar los elementos de la población en
subgrupos separados de acuerdo a una o más características. Después se obtiene por separado una muestra
aleatoria simple o sistemática de cada estrato.
Muestreo por conglomerado: Es un tipo de muestreo aleatorio en el que los elementos de la población se
dividen en forma natural en subgrupos. En éste muestreo, la unidad muestral no son los individuos sino un
conjunto de individuos que, bajo determinados aspectos, se puede considerar que forman una unidad o
conglomerado. En vez de censar toda la población, es necesario censar sólo los conglomerados. El método
consiste en seleccionar aleatoriamente un número de conglomerados cuya suma total de elementos
proporcione el tamaño muestral buscado.
Dentro de los muestreos no probabilísticos se encuentran:
Muestreo por criterio: Éste procedimiento se basa en el criterio o juicio del investigador para seleccionar
unidades muestrales representativas.
Muestreo por conveniencia: Éste procedimiento consiste en seleccionar las unidades muestrales más
convenientes para el estudio, o en permitir que la participación de la muestra sea totalmente voluntaria.
Muestreo por cuotas: En éste método, primero se realiza una estratificación de la muestra que garantice la
variedad de criterios y características de la población objeto en estudio, y luego se aplica un muestreo por
criterio para seleccionar las unidades muestrales de cada estrato. Ej.: divido en sexo y edad.
Además las muestras pueden ser:
Muestras grandes: Son consideradas aquellas cuyo número de sujetos (N) es superior a 30. Cuando más
grande sea una muestra más significativos serán los resultados obtenidos de ella en relación con la
población.
Muestras pequeñas: Son consideradas aquellas cuyo número de sujetos (N) es inferior a 30. El problema de
las muestras pequeñas es que debido a su escaso número de representantes de la población a estudiar,
puede ofrecer unos datos menos representativos de dicha población.
Muestras correlacionadas: En muchas ocasiones, se toman muestras donde cada observación está
emparejada con una observación de la otra muestra. Medidas en un mismo sujeto antes y después de
someterlo a un tratamiento , medidas en hermanos gemelos, etc.
Muestras independientes: Son aquellas muestras que no están relacionadas con otras.
Probabilidad: Es la probabilidad que tenemos de que algo suceda. Es muy complejo de definir. Hay dos
tipos:
Objetiva: A priori. Es una probabilidad ideal a la que tienden los fenómenos reales.
159
Subjetiva: Real. Se determina de un modo empírico a través de un número suficiente de pruebas.
Problema: un problema existe cuando hay tres elementos, cada uno claramente definido: una situación
inicial; una situación final u objetivo a alcanzar y restricciones o pautas respecto de métodos, actividades,
tipos de operaciones, etc., sobre los cuales hay acuerdos previos.
Pruebas paramétricas: Son las más poderosas siempre que cumplan estos requisitos (1- Que las
características que se estudian existan en la población. 2- Que en ella estén distribuidas normalmente. 3
Que el estadístico muestral da una estimación del parámetro). Ventajas: Mayor potencia para rechazar Hº
falsas o al igual potencia el ahorro de sujetos en las muestras, desarrollo estadístico superior, permiten
hacer estimaciones de los parámetros indicando el margen de error que les afecta. Inconvenientes: Su uso
está limitado a una serie de restricciones.
Pruebas no paramétricas: Son aquellas cuyo modelo estadístico no parte de supuestos acerca de la
población o éstos son muy débiles y opera con datos ordinales y hasta nominales. Ventajas: Cálculo más
sencillo, menos restrictivas incluso a niveles de medida tan elementales como ordinal o nominal, son
especialmente adecuadas para muestras pequeñas donde suelen ser tan potentes como las paramétricas.
Inconvenientes: Menor potencia y desarrollo estadístico menor.
Prueba bilateral: Bilateral cuando es bidireccional, de dos colas, es indiferente el sentido del orden.
Prueba unilateral: es unidireccional, de una cola, sólo puede mirar en un sentido sin alterar el significado.
Prueba objetiva: Son aquellas pruebas que se realicen intentando evitar cualquier aspecto que pueda ser
interpretado desde una subjetividad, tanto por el que realiza la prueba, como sobre todo, por el que la
evalúa.
Prueba Post-hoc: Una vez que se ha determinado que existen diferencias entre las medias, las pruebas de
rango post hoc permiten determinar qué medias difieren. La prueba de rango post hoc identifica
subconjuntos homogéneos de medias que no se diferencian entre sí.
pruebas de bondad de ajuste: Es una prueba no paramétrica que contrasta si las frecuencias observadas en
cada una de las clases de una variable categórica varían de forma significativa de las frecuencias que se
esperaría encontrar si la muestra hubiese sido extraída de una población con una determinada distribución
de frecuencias.
Ji cuadrado: La prueba estadística de X2 para una muestra se emplea frecuentemente como prueba de
bondad de ajuste, sin embargo, en un plan experimental, en el que se cuenta con un grupo muestral, con
diversas subclases y las mediciones están en escala nominal, resulta muy útil este procedimiento.
La eficacia de la prueba está de acuerdo con el tamaño de la muestra, pues con un grado de libertad, si hay
dos subclases, algunos autores consideran que la prueba es insensible, no obstante la información que
aporta más de dos categorías es satisfactoria en función de la fórmula:
X2 = ð HN=l (fo - fe)2
fe
Prueba de McNemar: Prueba que comprueba, para dos variables dicotómicas relacionadas, si los pares de
respuestas desiguales (0,1) y (1,0) tienen la misma probabilidad. Esta prueba es muy útil para detectar
cambios de una categoría a otra en los diseños experimentales de tipo antes-después.
Prueba Binomial: Prueba para contrastar si una muestra procede de una distribución binomial con la
probabilidad especificada de éxito (p).
Prueba de Kolmogorov-Smirnoff: Se trata de un modelo no-paramétrico para comprobar bondad de ajuste.
La clasificación de este modelo se debe al hecho que no depende de una distribución original
especifica; no se sabe a priori la forma de la distribución de donde se sacan los datos. El modelo de160
Kolgomorov-Smirnov se aplica a distribuciones de tipo ordinal. También se la usa para probar hipótesis
acerca de distribuciones discretas. Se basa en calcular las diferencias, en valor absoluto, entre las
frecuencias acumuladas relativas observadas y las esperadas, en cada clase. Luego se busca la mayor de las
diferencias en valor absoluto, y la diferencia máxima obtenida se compara con el valor critico de tablas.
“Breve introducción a la Inferencia Estadística”.
La inferencia estadística es, realmente, la parte más interesante y con mayor cantidad de aplicaciones en
problemas concretos. ¿De qué se ocupa? El planteo, a grandes rasgos, es más o menos el siguiente: el
investigador se encuentra estudiando una gran población (personas, o tornillos, o palomas, o automóviles,
o lo que sea) y quiere disponer de algunos valores (promedios, desvíos, tendencias, forma de la
distribución, etcétera) que sean válidos en forma general, para toda la población en estudio. Sin embargo,
le resulta imposible acceder a toda la información, medir la variable analizada en todos y cada uno de los
integrantes de la población.
¿Qué hace?. Apela al estudio de muestras, que son subconjuntos de la población original, con menos
elementos, pero que intentan representarla del modo más fiel posible. En algún sentido puede decirse que
una muestra seleccionada honestamente es un “modelo reducido a escala” de la población. Por supuesto, al
tomar la muestra siempre se producen errores y se pierden detalles, pero es mucho más lo que se gana
respecto a la información que ella puede proporcionar.
Existen numerosas técnicas para seleccionar muestras. Este paso es de importancia vital en un estudio
estadístico, porque las conclusiones que se obtienen dependen muy esencialmente de la/s muestra/s
analizada/s. Las técnicas que proporcionan las mejores muestras son las aleatorias, en las que cualquier
integrante de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido.
La cantidad de elementos que integran la muestra (el tamaño de la muestra) depende de múltiples
factores, como el dinero y el tiempo disponibles para el estudio, la importancia del tema analizado, la
confiabilidad que se espera de los resultados, las características propias del fenómeno analizado, etcétera.
A partir de la muestra seleccionada se realizan algunos cálculos y se estima el valor de los
parámetros de la población tales como la media, la varianza, la desviación estándar, o la forma de la
distribución, etcétera. Existen dos formas de estimar parámetros: la estimación puntual y la estimación
por intervalo de confianza. En la primera se busca, con base en los datos muestrales, un único valor
estimado para el parámetro. Para la segunda, se determina un intervalo dentro del cual se encuentra el valor
del parámetro, con una probabilidad determinada.
Ejemplo: Si se dice que la media de las alturas de los estudiantes varones del I.E.S. Nº9-OO8 “Manuel
Belgrano” es de 1,77 m ( =1,77m), se está dando una estimación puntual. En cambio, si se dice que la
media de las alturas es de 1,77m
161
PROBABILIDAD
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
PROBABILIDAD COMPLEMENTARIO
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
REGRESION
ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL
OBJETIVOS Y SUPOSICIONES DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN
El principal objetivo del análisis de regresión es estimar el valor de una variable aleatoria (la variable dependiente)
conociendo el valor de una variable asociada (la variable independiente). La ecuación de regresión es la fórmula
algebraica mediante la cual se estima el valor de la variable dependiente.
El término de análisis de regresión simple indica que se estima el valor de la variable dependiente con base en una
independiente, en tanto que el análisis de regresión múltiple se ocupa de la estimación del valor de la variable
dependiente con base en dos o más variables independientes.
Las suposiciones generales en las que se basa el modelo de la regresión que se presenta son: (1) la variable
dependiente es una variable aleatoria; (2) las variables dependiente e independiente tienen una relación lineal; y (3)
las varianzas de las distribuciones condicionales de la variable dependiente, para diversos valores de la variable
independiente, son iguales (homoscedasticidad). La primera suposición indica que, aunque puedan controlarse los
valores de la variable independiente, los valores de la variable dependiente se deben obtener a través del proceso de
muestreo.
Si se utiliza la estimación por intervalos en el análisis de regresión, se requiere una suposición adicional: (4) las
distribuciones condicionales de la variable dependiente, para valores diferentes de la variable dependiente, son
todas distribuciones normales para la población de valores.
EJEMPLO
Un analista desea estimar el tiempo de entrega de refacciones industriales embarcadas por camión. Desea utilizar el
tiempo de entrega como variable dependiente y la distancia como variable independiente. Suponga que elige diez
embarques recientes de los registros de la compañía, de manera que las distancias por carretera correspondientes
están más o menos equitativamente dispersas entre 100 y 1,000 kilómetros de distancia, y registra el tiempo de
entrega para cada embarque. Como se va a utilizar la distancia por carretera como variable independiente, esa
selección de viajes con distancias específicas resulta aceptable. Por otro lado, la variable dependiente (el tiempo de
entrega) es una variable aleatoria en su estudio, lo cual se ajusta a los supuestos del análisis de regresión. El que las
variables tengan o no una relación lineal, por lo general se determina construyendo un diagrama de dispersión o
una gráfica de residuales. Estos diagramas se utilizan también para observar si la dispersión vertical (varianza) es
más o menos igual a lo largo de la línea de regresión.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
Un diagrama de dispersión es una gráfica en la que se traza cada uno de los puntos que representan un par de
valores observados para las variables independiente y dependiente. El valor de la variable independiente se grafica
con respecto al eje horizontal, y el valor de la variable dependiente y se traza con respecto al eje vertical.
La forma de la relación representada mediante el diagrama de dispersión puede ser curvilínea y no lineal. Para
relaciones que no son lineales, un enfoque utilizado con frecuencia consiste en determinar algún método para
transformar los valores de una o ambas variables, de manera que la relación de los valores transformados sí sea
lineal. Después, puede aplicarse el análisis de regresión a los valores transformados y pueden transformarse los
valores estimados de la variable dependiente, de vuelta a la escala original de medición.
EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARA AJUSTAR UNA LÍNEA DE REGRESIÓN
El modelo lineal que representa el modelo de regresión lineal simple es:
Yi = ð0 + ððXi + ði
187
en donde
Yi - Valor de la variable dependiente en el i-ésimo ensayo u observación.
ðð - Primer parámetro de la ecuación de regresión, que indica el valor de Y cuando X= 0.
ðð - Segundo parámetro de la ecuación de regresión, que indica la pendiente de la línea de regresión.
Xi - El valor especificado de la variable independiente en el i-ésimo ensayo, u observación.
ði - Error aleatorio de muestreo en el i-ésimo ensayo, u observación (E es el griego "épsilon")
RESIDUALES Y GRÁFICAS DE RESIDUALES
Para un valor X dado de la variable independiente. al valor y frecuentemente se le denomina el valor ajustado de la
variable dependiente. A la diferencia entre el valor observado y y el valor ajustado y se le denomina residual para
esa observación, y se le denota mediante e:
e = Y- y
EL ERROR ESTÁNDAR DEL ESTIMADOR
El error estándar del estimador es la desviación estándar condicional de la variable dependiente Y, dado un valor de
la variable independiente X. Para datos poblacionales, el error estándar del estimador se representa mediante el
símbolo σ Y.X. La formula de desviaciones que permite estimar este valor con base en datos muestrales es
(ðY- y)2 ðe2
SY.X = -------------- = ---------n-2 n-2
INFERENCIAS SOBRE LA PENDIENTE
Antes de utilizar la ecuación de regresión para realizar estimaciones o predicciones, debe determinarse en primer
lugar si, de hecho, existe una relación entre las dos variables de la población o, por otro lado, si pudiera ser que la
relación que se observa en la muestra haya ocurrido por azar. Si no existe relación en la población, la pendiente de
la línea de regresión poblacional sería cero, por definición: ð1 = 0. Por ello, la hipótesis que generalmente se
prueba es H0: ð1= 0. También puede plantearse la hipótesis nula, como prueba con un criterio de calificación, en
cuyo caso la hipótesis alternativa no es simplemente que las dos variables están relacionadas, sino que la relación
es de algún tipo específico (directa o inversa).
Se prueba el valor hipotético de una pendiente calculando la estadística t y utilizando n -2 grados de libertad. Se
pierden dos grados de libertad en el proceso de la inferencia porque se incluyen en el análisis de regresión dos
estimaciones de parámetros, b0 y b1. La fórmula general es
b1 - (ð1)0
t = -------------sb1
en donde
SY.X
188
Sb1 = ----------------S X2 - nX2
Sin embargo, cuando la hipótesis nula dice que la pendiente es cero, lo cual generalmente es el caso, se simplifica
la fórmula y se plantea de la siguiente manera:
b1
t = --------s b1
EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Aunque el coeficiente de determinación es relativamente fácil de interpretar, no se prueba muy bien en pruebas
estadísticas. Sin embargo, la raíz cuadrada del coeficiente de determinación, que se denomina el coeficiente de
correlación r sí se presta para las pruebas estadísticas, porque puede utilizarse para definir una estadística de prueba
que tiene distribución t cuando la correlación en la población p es igual a 0. El valor del coeficiente puede variar de
-1.00 a +1.00. El signo aritmético asociado con el coeficiente de correlación, que es siempre igual al signo de ð1 de
la ecuación de regresión, indica la dirección de la relación entre X y Y (positiva = directa; negativa = inversa). El
coeficiente de correlación poblacional, teniendo el mismo signo aritmético que ð1 de la ecuación de regresión es:
p = p2
El coeficiente de correlación muestral es
r = r2
En resumen, el signo del coeficiente de correlación indica la dirección de la relación entre las variables X y Y, en
tanto que el valor absoluto del coeficiente muestra la medida de la relación. El coeficiente de correlación elevado al
cuadrado es el coeficiente de determinación e indica la proporción de la varianza de Y que queda explicada por el
conocimiento de X (y viceversa).
SIGNIFICACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Es común que la hipótesis nula de interés sea que la correlación en la población p = 0, porque si se rechaza esta
hipótesis a un nivel especificado ð, se concluiría que existe una relación real entre las variables. También puede
plantearse la hipótesis como prueba con un criterio de calificación. Considerando que se satisfacen las
suposiciones, la siguiente estadística muestral que incluye a r se distribuye como la distribución t, con gl = n -2,
cuando p =0:
r
t = -----------1-r2
n-2
Probar la hipótesis nula de que p = 0 es equivalente a probar la hipótesis nula de que ð = 0 en la ecuación de
regresión.
189
190
191
192
193
194
195
REGRESION COMPLEMENTARIO
196
197
198
199
200
201
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