Lógica intuitiva - Instituto de Matemáticas | UNAM

Lógica intuitiva
Una proposición es una afirmación que debe ser cierta o falsa (aunque no lo sepamos).
Ejemplos:
A : “Las águilas vuelan”
B : “El cielo es rosa”
C : “No existe vida extraterrestre”
D : “ 5 < 3”
E : “Algunos triángulos tienen 3 lados iguales”
Las proposiciones pueden combinarse de distintas maneras para obtener otras proposiciones:
La negación de una proposición P es la proposición que dice que P es falsa, se le denota por ┐P .
┐B
: “El cielo no es rosa”
┐C
: “Existe vida extraterrestre”
┐D
: “3≤5”
┐E
: “Ningún triángulo tiene 3 lados iguales”
Observar que ┐P es verdadera si P es falsa, y ┐P es falsa si P es verdadera.
La negación de P consiste de todas las alternativas posibles a P. La negación de la negación de P
es P:
┐┐E
: “Algunos triángulos tienen 3 lados iguales”
La conjunción de dos proposiciones P y Q es la proposición que afirma que ambas son
verdaderas, se le denota por P  Q y se dice “P y Q”.
A  B : “Las águilas vuelan y el cielo es rosa”
Observar que P  Q es falsa cuando alguna de las dos es falsa.
Negar que P y Q sean ciertas equivale a afirmar que alguna de las dos es falsa:
┐(A
 B) : “Las águilas no vuelan o el cielo no es rosa”
La disyunción de dos proposiciones P y Q es la proposición que afirma que al menos una de ellas
es verdadera, se le denota por P  Q y se dice “P o Q”.
A  B : “ Las águilas vuelan o el cielo es rosa”
Observar que P ∨ Q es falsa solo cuando las dos son falsas.
Negar que P o Q sean ciertas equivale a afirmar que ambas son falsas.
┐(A
 B) : “ Las águilas no vuelan y el cielo no es rosa”
La condicional “Si P entonces Q” es la proposición P → Q que afirma que si se cumple P
entonces se cumple Q.
Ejemplos:
A → B : “Si las águilas vuelan entonces el cielo es rosa”
B → A : “Si el cielo es rosa entonces las águilas vuelan”
Observar que P → Q no afirma que P o Q sean verdaderas, únicamente afirma que si P es
verdadera entonces Q también lo es, así que P → Q es falsa solamente si P es verdadera y Q es
falsa. Negar que si ocurre P entonces ocurre Q equivale a afirmar que ocurre P pero no ocurre Q.
┐(A
→ B) : “Las águilas vuelan y el cielo no es rosa”
┐(B
→ A) : “El cielo es rosa y las águilas no vuelan”
┐┐(B
→ A) : “El cielo no es rosa o las águilas vuelan”
Recordar que la negación de la negación debe ser igual a la proposición original, así que las tres
proposiciones siguientes deben significar lo mismo:
A → B : “Si las águilas vuelan entonces el cielo es rosa”
┐A
 B : “Las águilas no vuelan o el cielo es rosa”
┐B
→ ┐A : “Si el cielo no es rosa entonces las águilas no vuelan”
La doble condicional “P si y solo si Q” es la afirmación que dice que si P es cierta entonces Q es
cierta y que si Q es cierta entonces P es cierta. Se le denota por P ↔ Q.
A ↔ B : “Las águilas vuelan si y solo si el cielo es rosa”
Negar la doble condicional es afirmar que puede ocurrir alguna sin que ocurra la otra.
┐(A
↔ B) : “Las águilas vuelan y el cielo no es rosa o Las águilas no vuelan y el cielo es rosa”
Significados y cuantificadores
El lenguaje cotidiano puede ser ambiguo. Al considerar una afirmación su significado debe quedar
totalmente claro.
“Todos los perros no ladran” no es claro: podría interpretarse como “No todas los perros ladran” o
como “Ningún perro ladra”
“Los perros tienen 4 patas” puede querer decir que como especie los perros tienen 4 patas (lo que
es cierto) o que cada perro individualmente tiene 4 patas (lo que es falso).
En lógica y en matemáticas las palabras tienen significados muy precisos, que pueden diferir del
que se les da en el lenguaje común.
Al afirmar algo estamos diciendo que es cierto sin excepciones, a menos que lo aclaremos
explícitamente Para eso se usan los cuantificadores “todos”, “algunos” , “existen” y “ningún” que
significan exactamente lo siguiente:
todos = no existe ninguno que no
algunos = existe al menos uno
ningún = no existe ninguno
se escribe
∀
∃
∃
Ejemplos:
“Los mamíferos vuelan” = “Todos los mamíferos vuelan” = “No existen mamíferos que no vuelen”
“Todos los marcianos son verdes” = “No existen marcianos que no sean verdes”
Al afirmar que todos los marcianos son verdes NO afirmamos que los marcianos existen!
“Algunas estrellas brillan” = “Existen estrellas que brillan” = “Al menos una estrella brilla”
Al afirmar que algunas estrellas brillan NO afirmamos que algunas estrellas no brillen!
Observar ahora como son las negaciones de algunas proposiciones:
A : “Todas las aves vuelan”
┐A
: “Algunas aves no vuelan”
B : “Ningún mamífero vuela”
┐B
: “Algunos mamíferos vuelan”
C : “Algunas estrellas brillan”
┐C
: “Ninguna estrella brilla”
D: “Los polígonos de mas de 3 lados tienen un ángulo interno ≥ 90°”
┐D
: “Existen poligonos de mas de 3 lados que no tienen ningun ángulo interno ≥ 90°”
Tautologías
Al combinar proposiciones por medio de ┐   → pueden obtenerse proposiciones que son
siempre verdaderas, o que son siempre falsas, sin importar si las proposiciones iniciales eran
verdaderas o falsas. Por ejemplo:
P  ┐P
siempre es verdadera, independientemente de P.
P  ┐P
siempre es falsa, independientemente de P.
Las combinaciones de proposiciones que siempre son verdaderas se llaman tautologías y son
importantes porque son la base de los razonamientos lógicos. Las combinaciones de proposiciones
que siempre son falsas se llaman contradicciones.
Algunas tautologías útiles son:
PQ→P
(P  Q)  ┐P → Q
P→PQ
(P → Q)  ┐Q → ┐P
P  (P → Q) → Q
(P → Q) ↔ (┐P  Q)
(P → Q)  (Q → R) → (P → R)
Problemas
1. Si
A : “Todos los hombres son mortales”
B : “Ninguna araña tiene 6 patas”
C : “Algunos elementos son radioactivos”
D: “Algunos perros no son mansos”
escribe las siguientes proposiciones:
┐A
┐(A
┐B
┐C
┐(B
 B)
┐D
┐(A
 C)
 B)
2. Describe las siguientes proposiciones usando únicamente la negación, la conjunción y/o la
disyunción.
PQ
┐Q
 ┐P
┐(P
Q)
(PQ)R
3. ¿Cuales de las siguientes son tautologías, cuales son contradicciones y cuales no son ninguna
de las dos?
a.
(P → Q)  (P → ┐Q)
b. (P → Q)  (┐P → Q)
c. (P → Q) ↔ (┐Q → ┐P)
Argumentos lógicos
Un argumento lógico es uno que a partir de proposiciones verdaderas siempre obtiene
conclusiones verdaderas, sin importar que clase de proposiciones sean. Para construir argumentos
lógicos usamos las condicionales → que son siempre ciertas, llamadas implicaciones, y denotadas
por  .
Ejemplos:
(P  Q)  ┐P  Q
“Los perros tienen 4 patas o los gatos tienen 3 patas” y “los gatos no tienen 3 patas”
implican “Los perros tienen 4 patas”
(P → Q)  P  Q
“Si hay injusticia hay enojo”
y “Hay injusticia”
implican
“Hay enojo”
y “No hay enojo”
implican
“No hay injusticia”
(P → Q)  ┐Q  ┐P
“Si hay injusticia hay enojo”
Pero (P → Q)  ┐P 
┐Q
y
(P → Q)  Q  P
(P → Q)  (Q → R)  (P → R)
“Si hay sol hace calor” y “Si hace calor da sed”
implican
“Si hay sol da sed”
Silogismos
Algunas proposiciones con cuantificadores pueden combinarse de maneras mas sutiles para
obtener conclusiones validas, que se parecen pero no son realmente iguales a las anteriores.
Ejemplos:
“Los pericos son aves”
y
“Las iguanas no vuelan”
“Todas las aves vuelan”
y
implican “Los pericos vuelan”
“Todas las aves vuelan” implican
“Las iguanas no son aves”
pero
“Los pericos son aves
y
“Algunas aves vuelan”
“Los murcielagos no son aves”
y
no implican nada.
“Todas las aves vuelan” tampoco implican nada.
Los argumentos de este tipo son muy generales y muy útiles. Fueron estudiados por Aristoteles,
quien los llamo silogismos.
Ejemplos de Silogismos:
“Todo X es Y” y “Todo Y es Z”  “Todo X es Z”
“Todo X es Y” y “Ningún Y es Z”  “Ningún X es Z”
“Algún X es Y” y “Todo Y es Z”  “Algún X es Z”
“Ningún X es Z” y “Todo Y es Z”  “Ningún Y es X”
Pero hay otras combinaciones de las que no podemos concluir nada, por ejemplo:
“Ningún X es Y” y “Todo Y es Z”
 “Ningun X es Z”
“Ningún X es Y” y “Ningun Y es Z”
 “Ningun X es Z”
“Algún X es Y”
 “Algun X es Z”
y
“Algún Y es Z”
Ejemplo. ¿Que conclusiones lógicas pueden obtenerse?
“Todo triangulo rectangulo cumple el Teorema de Pitagoras” y “El triangulo de lados 4,7 y 8 no
cumple el Teorema de Pitagoras”
El triangulo de lados 4,7 y 8 no es un triangulo rectangulo (ya que si lo fuera, tendria que cumplir el teorema)
“Todo triangulo rectangulo cumple el Teorema de Pitagoras” y “El triangulo de lados 5,12,13
cumple el Teorema de Pitagoras”
No podemos concluir que el triangulo de lados 5,12,13 sea un triangulo rectangulo (podria haber triangulos que no son
rectangulos que cumplen el teorema)
Problemas
4. ¿Que conclusiones lógicas pueden obtenerse? (de algunas no puede obtenerse nada)
a. Si “Ningún reptil tiene pelo”
y
“Todas las serpientes son reptiles”
entonces...
“Ninguna serpiente tiene pelo”
b. Si “Todos los caballos tienen herraduras”
y
“Ningún humano tiene herraduras” entonces...
“Ningun humano es un caballo”
c. Si “Ningun mexicano es europeo” y “ningun europeo es marciano” entonces...
No puede concluirse nada
d. Si “Algunos cuadrilateros son rectangulos” y “todos los rectangulos son paralelogramos” ...
“Algunos cuadrilateros son paralelogramos”
e. Si “Algunas figuras son poligonos”
y
“Ningun circulo es un poligono”
Algunas figuras no son circulos”
f. Si “Algunos animales son mamiferos”
y
“Algunos mamiferos vuelan” entonces...
No puede concluirse nada
¿Es lo mismo o no es lo mismo?
“Todos los X son Y”
que
“Todos los Y son X”
No es lo mismo: todos los hombres son animales, pero no todos los animales son hombres
“Algunos X son Y”
que
“Algunos Y son X”
Si es lo mismo: Si Algunos Y son X entonces existe un w tal que w es Y y w es X, entonces w es
X y w es Y, por lo tanto algunos X son Y
Demostraciones
¿Como podemos estar seguros de que algo es realmente una consecuencia lógica de otras cosas?
No podemos confiar mucho en nuestra intuición, porque esta puede engañarnos, y porque los
argumentos pueden ser demasiado enredados para no equivocarse.
Hay que demostrar que lo que pensamos es cierto. Una demostración es un argumento lógico, en
el que cada paso esta plenamente justificado y es una consecuencia lógica inmediata de los
anteriores.
Ejemplo 1:
Si todos los hombres son mortales
y todos los griegos son hombres
entonces todos los griegos son mortales.
H ipotesis 1:
Para toda x, si x es hombre entonces x es mortal
H ipotesis 2:
Para toda y, si y es griego entonces y es hombre
Por demostrar: Para toda w, si w es griego entonces w es mortal.
Demostracion:
Sea x un griego
entonces, por la hipotesis 1, x es un hombre
como x es hombre entonces, por hipotesis 2, x es mortal.
Ejemplo 2:
Si algún músico no es poeta
y todo músico es actor
entonces algún actor no es poeta:
H ipotesis 1:
Existe x talque x es m usico yx no es poeta
H ipotesis 2:
Para toda y, Si y es musico entonces y es actor
Por demostrar: Existe z tal que z es actor y z no es poeta
Demostración:
Por la hipotesis 1, existe x tal que x es musico y x no es poeta
Como x es musico, entonces por la hipotesis 2, x es actor
asi que x no es poeta y x es actor.
Ejemplo 3:
Ninguna flor es un animal
y algunas flores son plantas
entonces algunas plantas no son animales
H ipotesis 1:
Para toda x, si x es f orentoncesx no es anim al
H ipotesis 2:
Existe y tal que y es flor y y es planta
Por demostrar: Existe z tal que z es planta y z no es animal.
Demostración:
Por la hipotesis 2, existe y tal que y es flor y y es planta
como y es flor, entonces, por la hipotesis 1, y no es animal
Asi que y es planta y y no es animal.
Problemas
5. ¿Es lo mismo o no?
a.
“Ningun X es Y”
que
“Ningun Y es X”
b.
“Algunos X no son Y”
que
“Algunos Y no son X”
6. Demuestra
a.
“Ningún X es Z” y “Todo Y es Z” implican
“Ningún Y es X”
b.
“Ningún X es Y” y “Todo Y es Z” no implican
“Ningún X es Z”