Fiabilidad de Sistemas: Ordenación y Clasificación José Mar´ıa Ruiz

Fiabilidad de Sistemas: Ordenación y Clasificación
José Marı́a Ruiz Gómez
Murcia, 16 de marzo de 2015
Índice
1. Preliminares
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . .
1.2. Variables aleatorias truncadas . . .
1.3. Medidas de fiabilidad . . . . . . . .
1.4. Sistemas y tipos . . . . . . . . . . .
1.5. Clases de envejecimiento y órdenes
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2. Comparaciones de sistemas
3. Mantenimiento y reparación de
3.1. Polı́ticas de mantenimiento . .
3.2. Modelos de choque continuos
3.3. Modelos de choque discretos .
3.4. Reparación mı́nima . . . . . .
3
3
3
4
5
6
8
sistemas
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15
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4. Redundancia
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5. Agradecimientos
25
1
Sr. Presidente de la Academia
Autoridades
Sres. Académicos
Compañeros, amigos, familiares, Sras y Sres.
Para mı́ es un gran honor y compromiso, cumplir con la misión que se me encomienda
como Académico Numerario por orden de antigüedad, impartir la lección correspondiente a
esta solemne apertura del Curso Académico, según establece el Art. 44 de los Estatutos.
Antes de comenzar esta lección, deseo expresar mis excusas hacia la parte de esta distinguida audiencia, que hoy ha querido estar presente en este acto, y cuya actividad se
encuentra lejos de las matemáticas, por si esta lección le resultara algo árida. No obstante,
intentaré que sin perder el rigor cientı́fico que el acto reclama, hacer una exposición lo más
general posible. La elección de este tema, ha estado determinada por su relación con algunas
lı́neas de investigación de nuestro grupo, que hemos venido desarrollando desde hace algunos
años.
2
1.
Preliminares
En esta lección, no vamos a exponer de forma exhaustiva todos los aspectos de la teorı́a
de la fiabilidad, sino que, nos centraremos en algunos aspectos importantes de la misma, en
los que este grupo de investigación ha trabajado durante los últimos años y sigue trabajando.
1.1.
Introducción
Fiabilidad es una palabra con diferentes connotaciones. En sentido coloquial, decimos que
alguien o algo es fiable si podemos confiar en él o en ello. Cuando se aplica a un ser humano,
usualmente se refiere a la aptitud de la persona para realizar ciertas tareas de acuerdo a un
estándar especificado. Por extensión, la palabra es aplicada a una componente o a todo el
equipo, para indicar la aptitud de esta componente o equipo para realizar aquello para lo
que es requerido.
Podemos entender por fiabilidad, la probabilidad de que un dispositivo realice adecuadamente su función prevista a lo largo del tiempo, cuando opera en el entorno para el que ha
sido diseñado. Históricamente la teorı́a de la fiabilidad ha estado limitada fundamentalmente
a aplicaciones militares y aplicaciones aeroespaciales, en las cuales la consecuencia de un fallo
del sistema tiene un fuerte impacto económico y/o de seguridad.
Podrı́amos decir que las primeras técnicas de fiabilidad surgen hace menos de 50 años con
el comienzo de la aeronáutica y un libro básico, que representó un avance muy importante
en el estudio matemático de sistemas fiables es [5].
En sentido amplio, la Teorı́a de la Fiabilidad, comprende un conjunto de teorı́as y métodos
matemáticos-estadı́sticos, procedimientos organizativos y prácticas operativas, que mediante
el estudio de las leyes de ocurrencia de fallos, tratan de investigar las causas por las cuales los
dispositivos envejecen y fallan. Estudia leyes de las ocurrencias de estos fallos y da repuestas,
entre otros, a distintos problemas de previsión, estimación y optimización de la probabilidad
de supervivencia, duración media de vida y porcentaje de tiempo de buen funcionamiento de
estos dispositivos. Lógicamente, una mejor comprensión de los aspectos anteriores, ayudarán
en la identificación de las mejoras que pueden introducirse, para optimizar su tiempo de
funcionamiento o al menos, paliar las consecuencias adversas de la producción de fallos.
1.2.
Variables aleatorias truncadas
Un concepto importante para introducir algunas medidas de fiabilidad es el concepto
de variable aleatoria truncada. Ası́ por ejemplo, si T representa el tiempo de vida de una
unidad o sistema, donde el término unidad o sistema puede interpretarse de diversas formas
dependiendo del contexto en que estemos trabajando (podrá interpretarse tanto como la
componente de una cierta maquinaria o como un ser vivo, pasando por una renta familiar,
el tiempo de espera para recibir un servicio, la duración de una llamada telefónica, etc.), se
define:
a) Función de supervivencia como F (t) = P (T > t) y representa la probabilidad de
que una unidad con tiempo de vida T funcione tras haber sobrevivido a la edad t.
3
b) Función de distribución como F (t) = P (T ≤ t) y representa la probabilidad de que
una unidad con tiempo de vida T tenga un tiempo de vida inferior a un edad t.
A partir de T puede definirse la variable aleatoria truncada por la izquierda como una nueva
variable TI (t) = (T |T > t), y que representa el tiempo de vida para una unidad que ha
sobrevivido un tiempo t.
Esta variable permite formular matemáticamente el concepto de unidades que han sobrevivido a un cierto tiempo t, en el estudio del tiempo de vida de una unidad o sistema.
Tiene también interés en el estudio de distribuciones de ingresos, es decir cuando T
representa los ingresos de una persona, familia o empresa ya que indica los ingresos superiores
a t. Su importancia radica en que gran parte de los estudios económicos y más en concreto
los estudios de desigualdad de ingresos, se realizan en términos de datos que proporcionan
las declaraciones de la renta, estando en general estos datos, truncados por la izquierda.
También es importante este concepto en los estudios de riqueza.
De forma análoga se define la variable aleatoria truncada por la derecha TD (t) = (T |T ≤
t) y puede ser utilizada en los estudios de pobreza, basados en los ingresos inferiores a una
cierta cantidad t, siendo también importante en distribuciones de tiempo de vida de unidades
con tiempo inferior a t. Otra variable aleatoria de interés es la variable vida residual adicional
en el tiempo t, definida por T (t) = (T − t|T > t), que representa el tiempo de vida adicional
que le resta a una unidad que ha sobrevivido a un tiempo t. Su función de supervivencia
viene dada por:
F t (x) = P [T > t + x|T > t], para x ≥ 0.
1.3.
Medidas de fiabilidad
A partir de las variables aleatorias truncadas, podemos definir algunas medidas de fiabilidad.
a) Función de medias truncadas por la izquierda m(t) = E(T |T > t) y que representa
el tiempo esperado para un unidad que está funcionando a la edad t.
b) Función vida media residual eT (t) = E(T − t|T > t), y que representa el tiempo de
vida adicional esperado para una unidad que está funcionando a la edad t.
c) Razón de fallo
Si consideramos la probabilidad P (t < T ≤ t + k|T > t),que representa la probabilidad
de que una unidad que funciona a la edad t se rompa o fallezca en las siguientes k
unidades de tiempo, se define la razón de fallo r(t), también conocida como función de
muerte súbita, como
P [t < T < t + k|T > t]
r(t) = lı́m+
k→0
k
y de forma cualitativa mide la probabilidad instantánea de fallo a la edad t.
Nuestro grupo de investigación ha trabajado en la caracterización de estas medidas de
fiabilidad, obteniendo condiciones necesarias y suficientes sobre las mismas y caracterizando
4
la función de supervivencia del modelo, tanto a partir de estas medidas, como de la función de
media doblemente truncada , estadı́sticos ordenados y valores record, ı́ndice de concentración
truncado y medidas sesgadas. [40-44], [65], [67], [71-73], [79], [81], [90-93] y [102].
1.4.
Sistemas y tipos
Un sistema puede ser considerado como una colección de dos o más componentes, en el que
para su funcionamiento es necesario que al menos funcione una de ellas. Por tanto, interesa
el estudio del comportamiento del sistema a través del comportamiento de sus componentes,
en distintos sentidos. Las componentes pueden ser independientes entre sı́ o pueden tener
interacciones especı́ficas entre ellas, es decir tener algún tipo de dependencia. En general,
cualquier sistema será absolutamente fiable si algún suceso no deseable, llamado fallo, no
ocurriera en el funcionamiento del mismo y decimos que el sistema falla, cuando deja de
brindarnos el servicio que debı́a darnos o cuando aparecen efectos indeseables, según las
especificaciones de diseño con las que fue construido. Además antes o después, todos los
sistemas llegan a un instante en el que no pueden cumplir satisfactoriamente aquello para lo
que fueron diseñados. El fallo del sistema tendrá unas repercusiones que dependerán del tipo
de sistema, y del tipo de misión que este desempeñando y del momento en que se produzca
el fallo.
Todos los fallos tienen algo en común, que son aleatorios, pues:
a) Los procesos no se atienen a las condiciones estrictas de funcionamiento establecidas
en el diseño.
b) El funcionamiento de procesos considerados análogos no es siempre el mismo. Por
tanto, hay que asumir un cierto grado de incertidumbre en las predicciones y se trata por
tanto de un problema estocástico o aleatorio y para la investigación de las causas por las
que los dispositivos envejecen y fallan se aplican principios cientı́ficos y matemáticos. El
objetivo estriba en que una mayor comprensión de los fallos de los dispositivos ayudará en
la identificación de las mejoras que pueden introducirse en los diseños de los productos para
aumentar su vida o, al menos, para limitar las consecuencias adversas de los fallos.
Desde un punto de vista determinista, se llama sistema a un conjunto de elementos que
llamaremos componentes, donde el estado del sistema es
1 si el sistema funciona
φ=
0 si el sistema ha fallado.
Consideramos la situación en que el sistema está formado por n componentes. Sea s =
(s1 , s2, · · · , sn ) el vector de estados de las componentes, es decir:
1 si la componente i funciona
si =
, i = 1, . . . , n.
0 si la componente i ha fallado
Suponemos que φ=φ(s1 , s2 , .., sn ) (función de estructura del sistema).
Dentro de los posibles sistemas que se pueden considerar están los sistemas coherentes,
y se dice que un sistema, con función de estructura φ, es coherente si:
a) Dado i = 1, ..., n, entonces φ depende de si , es decir, φ(s1 , ..., 1i , .., sn ) 6= φ(s1 , ..., 0i , .., sn ).
(la componente i-ésima es relevante)
5
b) φ es creciente.
Algunos ejemplos de interés de este tipo de sistemas son los siguientes:
a) Sistemas en serie: Se dice que un sistema de n componentes es un sistema en serie,
si el sistema funciona solo cuando funcionan todas sus componentes, es decir
φ(s) =
n
Y
1 si si = 1, ∀i = 1, ..., n
=
si = mı́n{si }
0 en caso contrario
i=1
b) Sistemas en paralelo: Se dice que un sistema de n componentes es un sistema en
paralelo, si el sistema funciona siempre que al menos una de las componentes funcione, es
decir
n
Y
0 si si = 0, ∀i = 1, ..., n
φ(s) =
= 1− (1 − si ) = máx{si }
1 en caso contrario
i=1
c) Sistemas k de n: Se dice que un sistema de n componentes es un sistema k de n, si
el sistema funciona si al menos k de las n componentes están funcionando, es decir
P
1 si Pni=1 si ≥ k
φ(s) =
n
0 si
i=1 si < k
El concepto de estructura de un sistema ha sido introducido en el contexto de ser invariante respecto del tiempo, es decir, para un instante fijo del mismo. No obstante, las
componentes de un sistema, ası́ como el propio sistema, sufren modificaciones con el paso del tiempo, es decir, el envejecimiento de las componentes y del sistema pueden alterar
su estado de funcionamiento y de fallo,en este caso aleatorio y no determinista. Por ello,
sean T1 , ..., Tn variables aleatorias que representan el tiempo de vida de las n componentes
de un sistema, supongamos que son independientes con funciones de supervivencia F i (t),
i = 1, 2, ...n. Si denotemos por τ el tiempo de vida aleatorio del sistema, entonces su función
de supervivencia del sistema viene dada por
F τ (t) = P (τ > t) = h(F 1 (t), ..., F n (t)).
1.5.
Clases de envejecimiento y órdenes
Con el paso del tiempo las componentes del sistema (coches, televisores, computadoras,
plantas industriales,...), no pueden cumplir satisfactoriamente aquello para lo que fueron
diseñadas, ya que están sujetas a desgaste o envejecimiento, es decir, a un deterioro gradual
de sus caracterı́sticas de funcionamiento perfecto, y por tanto, a un aumento creciente de la
probabilidad de fallo de las mismas. El estudio del envejecimiento de un sistema, en general,
pretende formalizar en términos de la teorı́a de la probabilidad, como es la evolución del
funcionamiento en el tiempo del mismo, entendiendo por envejecimiento, ”el que una unidad
o sistema más viejo tenga una vida restante más corta, que una más joven, en algún sentido
estadı́stico o probabilı́stico”[32].
a) ¿Cómo modelizamos de forma adecuada estas propiedades de envejecimiento?
La teorı́a de la fiabilidad responde a esta cuestión, introduciendo distintas nociones de
envejecimiento, ası́ como, diferentes clases que permiten estudiar el envejecimiento positivo
6
de una unidad o sistema (es decir, el efecto adverso de la edad sobre la vida residual),
junto con el correspondiente dual de envejecimiento negativo. También distintos órdenes,
que permitirán por un lado, comparar sistemas y diseñar sistemas mejores, es decir, más
fiables en algún sentido, y por otro lado, determinar el comportamiento del sistema a partir
del comportamiento de sus componentes.
Sea T una variable aleatoria continua, con extremo inferior del soporte 0, se dice que
a) T pertenece a la clase razón de fallo creciente (decreciente) y se dice que T es IFR
(DFR) si
F Tt (x) ≥ (≤) F Tt0 (x), para todo x ≥ 0 y 0 ≤ t < t0 .
Se tienes entonces que T es IFR (DFR) si la razón de fallo r(t) es creciente (decreciente),
es decir, si las probabilidades de fallo instantáneo aumentan (disminuyen) con el paso
del tiempo.
b) T pertenece a la clase nueva mejor (peor) que usada y se dice que T es NBU (NWU)
si
F T (x) ≥ (≤) F Tt (x), para todo x ≥ 0 y t ≥ 0.
Tenemos entonces que T es NBU(NWU), si el tiempo de vida que le queda a una
unidad que está funcionando después de t unidades de tiempo, tiene una supervivencia
menor (mayor) que una unidad nueva.
c) T pertenece a la clase vida media residual decreciente (creciente) y se dice que T es
DMRL (IMRL) si
eT (t) es decreciente (creciente) en t ≥ 0,
donde eT (t) = E[Tt ].
Tenemos entonces que T es DMRL (IMRL), si le promedio de tiempo de funcionamiento
adicional va decreciendo (creciendo) con el paso del tiempo.
d) T pertenece a la clase nueva mejor (peor) que usada en promedio y se dice que T
es NBUE (NWUE) si se verifica que
E[T ] = eT (0) ≥ (≤) eT (t) para todo t ≥ 0.
Tenemos entonces que T es NBUE(NWUE), si el promedio de tiempo de vida que le
queda a una unidad que está funcionando después de t unidades de tiempo, tiene un
promedio de vida menor (mayor) que el de una unidad nueva.
A continuación definimos algunos órdenes estocásticos:
Sean X e Y dos variables aleatorias:
a) X es menor que Y en el orden estocástico y se escribe X ≤st Y , si
F X (t) ≤ F Y (t), ∀t ∈ R.
El orden estocástico indica que la probabilidad de sobrevivir t unidades de tiempo es
siempre menor para la unidad con tiempo de vida X que para la unidad con tiempo
de vida Y , para cualquier valor de t.
7
b) X es menor que Y en el orden razón de fallo y se escribe X ≤f r Y , si
F Y (t)
, es creciente en t ∈ R.
F X (t)
En este caso la unidad con tiempo de vida Y siempre tiene una probabilidad de fallo
instantáneo menor que la unidad con tiempo de vida X.
c) X es menor que Y en el orden cociente de verosimilitudes y se escribe X ≤lr Y , si
fY (t)
, es creciente en t ∈ R,
fX (t)
siendo f y g las funciones de densidad de X e Y , respectivamente. En el orden lr
tenemos que la unidad con tiempo de vida Y siempre tiene una supervivencia mayor
en cualquier intervalo de tiempo que la unidad con tiempo de vida X.
Aunque en la lección aparecen otras definiciones de órdenes y clases de envejecimiento,
el resto de las utilizadas pueden verse en el texto de Shaked y Shanthikumar[95].
Además de los conceptos de envejecimiento positivo y negativo, tiene gran importancia la
propiedad de no envejecimiento, es decir, si el paso del tiempo no tiene ningún efecto sobre
el tiempo de vida que le resta a una unidad o sistema. En este sentido se ha demostrado que,
en el caso continuo, la distribución exponencial es la única que pertenece simultáneamente
a una clase de envejecimiento y su dual (IFR y DFR); mientras que en el caso discreto es
la distribución geométrica. Esta propiedad que tienen estas distribuciones se conoce con la
propiedad de falta de memoria, equivalente a:
P [T > t + x|T > t] = P [T > x], para x ≥ 0.
2.
Comparaciones de sistemas
Como se ha indicado previamente, el envejecimiento o fallo del sistema depende del
envejecimiento de las componentes. Una cuestión importante es analizar el modelo de envejecimiento del sistema a partir del comportamiento del envejecimiento de sus componentes,
ya que ello nos permitirı́a controlar y mejorar la vida útil del mismo.
En este sentido la primera cuestión que interesa estudiar, son las condiciones bajo las
cuales, una determinada propiedad de las componentes de un sistema se puede extrapolar al
propio sistema (propiedades de clausura),informando ası́, sobre como es el efecto del paso del
tiempo en el funcionamiento o rendimiento del sistema, sabiendo como es el envejecimiento
de sus componentes.
Existe una amplia literatura dedicada al estudio de la clausura de clases de envejecimiento, la clase y NBU y sus dual [35]; resultados de preservación de las clases DMRL y
NBUE, para sistemas en serie y paralelo con componentes independientes e idénticamente
distribuidas [2] y la clase DFR [68].
Para la preservación de la clase razón de verosimilitud creciente (decreciente) ILR(DLR),
bajo la formación de determinados sistemas coherentes [47], se tiene:
8
Teorema 2.1. Sea h(p) la función de fiabilidad de un sistema coherente τ con componentes
i.i.d. Supongamos que existe a ∈ [0, 1] tal que
1.
ph00 (p)
es decreciente y positiva para todo p ∈ [0, a].
h0 (p)
2.
(1 − p)h00 (p)
es decreciente y negativa para todo p ∈ (a, 1].
h0 (p)
Si X ∈ ILR, entonces τ ∈ ILR.
Mediante un ejemplo se puede probar que la clase IFR no es cerrada bajo la formación
de cualquier sistema coherente con componentes i.i.d, aunque si lo es, bajo la formación de
sistemas k-out-of n.
Para sistemas en serie y componentes independientes pero no necesariamente idénticamente distribuidas, se obtiene la preservación de las clases, razón de fallo creciente de orden
dos, IFR(2) y nueva mejor que usada en orden 2, NBU(2) [45]:
Teorema 2.2. Sean X1 , ..., Xn los tiempos de vida de n componentes independientes.
1. Si Xi ∈ IF R(2) para todo i = 1, ..., n, entonces mı́ni=1,...,n {Xi } ∈ IF R(2), y si Xi ∈
DF R(2) para todo i = 1, ..., n, entonces mı́ni=1,...,n {Xi } ∈ DF R(2).
2. Si Xi ∈ N BU (2) para todo i = 1, ..., n, entonces mı́ni=1,...,n {Xi } ∈ N BU (2), y si
Xi ∈ N W U (2) para todo i = 1, ..., n, entonces mı́ni=1,...,n {Xi } ∈ N W U (2).
Mediante un contraejemplo, se prueba que la clase DMRL no se preserva bajo la formación
de sistemas en serie con componentes independientes e idénticamente distribuidas.
Podemos concluir que es posible controlar el envejecimiento del sistema a partir del
envejecimiento de sus componentes.
Una cuestión también importante es el estudio del problema inverso, es decir, si conocemos las propiedades del envejecimiento del sistema, ¿ es posible conocer las propiedades de
envejecimiento de las componentes?
Los primeros resultados en este sentido [64], estudian la preservación de los órdenes right
spread y TTT- transformada y las clases de envejecimiento negativas IMRL y NWUC para
sistemas en serie y paralelo.
Completamos los resultados anteriores [13], con la preservación inversa del orden estocástico convexo creciente para sistemas en serie y, con el orden cóncavo creciente para
sistemas en paralelo. Por ejemplo, para el orden convexo creciente, se tiene:
Teorema 2.3. Sean T1 , . . . , Tn variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución F y sean S1 , . . . , Sn variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas con función de distribución G.
Si mı́n{T1 , . . . , Tn } ≤icx mı́n{S1 , . . . , Sn }, entonces F ≤icx G.
En el caso de preservación inversa de clases de envejecimiento, completamos para sistemas
en paralelo, la preservación de las clases IMRL, DFR y NWUE y, para sistemas en serie, la
preservación de las clases: razón de fallo creciente(decreciente) en promedio IFRA (DFRA)
y nueva mejor(peor) que usada en ordenación convexa NBUC [13]. Por ejemplo, para el caso
de la clase IMRL en sistemas en paralelo se tiene:
9
Teorema 2.4. Sean T1 , . . . , Tn n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución F. Si el sistema en paralelo τ1,n es IMRL, entonces F es
IMRL.
Otra cuestión de interés para determinar el comportamiento de los sistemas, es estudiar
las distintas ordenaciones estocásticas entre los tiempos de vida de los mismos, mediante
la ordenación de sus componentes. Ello proporciona nuevamente: a) información acerca del
comportamiento del sistema a partir del comportamiento de sus componentes; b) permite
elegir aquel sistema cuyo proceso de envejecimiento se adapte mejor a unas determinadas
caracterı́sticas, que son las que nos interesa estudiar; y c) diseñar sistemas mejores, es decir,
más fiables en algún sentido.
En este contexto, la mayorı́a de resultados están orientados a estudiar la preservación de
una determinada ordenación bajo la formación de sistemas en paralelo, sistemas en serie o
sistemas k-out-of-n con la misma estructura y componentes independientes e idénticamente
distribuidas.
Por ejemplo, para el orden dispersivo [6], para los órdenes estocástico, razón de fallo y
en razón de verosimilitud [98], y, en [31],[34] y [37] se obtienen la preservación de los órdenes
convexo, en razón de verosimilitud y razón de fallo.
Existe también una amplia literatura relacionada con el estudio de condiciones sobre la
función de fiabilidad de un sistema coherente, que aseguren la preservación de un determinado
orden, particularizando después al modelo menos general de los sistemas k-out-of-n. Por
ejemplo, [66] y [68], prueban la preservación del orden razón de verosimilitud y condiciones
suficientes para comparar, en los órdenes en razón de fallo y en razón de fallo inverso.
Posteriormente, se han estudiado comparaciones estocásticas entre los tiempos de vida
de sistemas con distinta estructura k-out-of-n formados a partir de un mismo conjunto de
componentes independientes, [50] y [69], entre otros.
Entonces, una cuestión importante a estudiar, es la comparación entre los tiempos de
vida de dos sistemas coherentes con distinta estructura a partir de la ordenación de sus
componentes. Este nuevo enfoque permite, en primer lugar extender la mayorı́a de los resultados mencionados anteriormente, en segundo lugar, establecer nuevas comparaciones entre
sistemas de tipo k-out-of-n con distinta estructura, y por último, diseñar sistemas ’mejores’
o más fiables en distintos sentidos. Consideramos:
1. Comparación de dos sistemas coherentes formados a partir de un mismo conjunto de
componentes de tiempos de vida T = (T1 , . . . , Tn ).
2. Comparación de dos sistemas coherentes formados a partir de dos conjuntos de componentes con tiempos de vida T = (T1 , . . . , Tn ) y S = (S1 , . . . , Sn ), tanto en el caso de
componentes independientes e idénticamente distribuidas, como en el caso más general de
componentes independientes no idénticamente distribuidas.
Por ejemplo, para el caso de dos sistemas con distinta estructura y formados a partir de
un mismo conjunto de componentes, obtenemos resultados de preservación para los órdenes
estocásticos, en razón de fallo, en razón de fallo inverso y en razón de verosimilitud[10]. Por
ejemplo, con relación al orden razón de fallo inverso, se tiene:
Teorema 2.5. Sean T1 , T2 , ..., Tm los tiempos de vida de m componentes independientes,
n ≤ m, y sean h1 (p|n| ), h2 (p|m| ) las funciones de fiabilidad de dos sistemas coherentes con
10
n y m componentes, respectivamente. Si
∂h1
1
∂h2
1
(p|n| ) ≤
(p|m| ) para todo i = 1, ..., n
1 − h1 (p|n| ) ∂pi
1 − h2 (p|m| ) ∂pi
entonces h1 (X|n| ) ≤rh h2 (X|m| ).
Para el caso de dos sistemas coherentes con distinta estructura y formados a partir de
dos conjuntos de componentes, se tiene por ejemplo, la preservación del orden en razón de
fallo.
Teorema 2.6. Sean T = (T1 , ..., Tn ) e U = (U1 , ..., Um ) los tiempos de vida de dos conjuntos
de componentes independientes, n ≥ m y sean h1 (p|n| ), h2 (p|m| ) las funciones de fiabilidad
de dos sistemas coherentes con n y m componentes, respectivamente. Supongamos que se
verifica la desigualdad
1
∂h
∂h
1
1 p|n| ≥
2 p|m| para todo i = 1, ..., m
h1 p|n| ∂pi
h2 p|m| ∂pi
y que
n
X
i=1
m
X
pi
∂h2
pi ∂h1
(p|n| ) ó
(p|m| ) es decreciente en cada pi .
h1 (p|n| ) ∂pi
h (p|m| ) ∂pi
i=1 2
Si Ti ≤f r Uj para todo i, j = 1, ..., m, entonces h1 (T) ≤f r h2 (U).
De igual forma se obtiene la preservación para los otros órdenes.
Estudiamos también comparaciones en ordenaciones más generales que las anteriores, las
ordenaciones proporcionales y ordenaciones trasladadas, introducidas en [9] y [96]. El interés
principal de estas ordenaciones reside en los siguientes tres aspectos: primero, su utilidad
para establecer desigualdades estocásticas, segundo, que en general son más fuertes y fáciles
de verificar que las ordenaciones usuales, tercero, que sirven para caracterizar distintas clases
de envejecimiento y determinar qué sistema es más fiable.
El estudio del envejecimiento de un sistema está ı́ntimamente relacionado con los estadı́sticos ordenados X(r, n) y los valores record, ya que dentro del campo de la fiabilidad, el
r-ésimo estadı́stico ordenado representa el tiempo de vida de un sistema (n-r-1)-out-of-n (el
sistema funciona si y, sólo si, al menos n-r-1 de sus componentes funcionan), mientras que los
valores record pueden aplicarse en modelos de choque y procesos de Poisson no homogéneos.
Con el objetivo de comparar la fiabilidad de diferentes sistemas y ciertos procesos de envejecimiento, en la literatura pueden encontrarse trabajos basados en ordenaciones estocásticas
de estadı́sticos ordenados y valores record,[8],[11], [29], [58],[85] y [98].
También, los espaciamientos de estos modelos Er:n = X(r, n) − X(r − 1, n) tienen gran
interés en el contexto de tiempo de vida de sistemas, ya que representan el tiempo que
transcurre entre el (r − 1)-ésimo fallo y el siguiente para un sistema con n componentes, o
bien, el tiempo de vida adicional que se gana al considerar un determinado sistema (n − r)out-of-n en lugar de un sistema (n−r+1)-out-of-n, mientras que los espaciamientos de valores
record se pueden interpretar, bien como los tiempos de espera entre dos fallos consecutivos de
11
las componentes de un sistema, como los tiempos de espera entre dos choques consecutivos
de un sistema sujeto a choques, o bien, como la diferencia de intensidad de dichos choques
[54] y [61].
Una primera extensión de los modelos anteriores son los estadı́sticos ordenados generalizados introducidos en [57]. Este modelo incluye a su vez otras formas de ordenación de
variables aleatorias, tales como los estadı́sticos ordenados con tamaño muestral no entero,
estadı́sticos ordenados secuenciales, k-ésimos valores record, el modelo record de Pfeifer y knrecord procedentes de distribuciones no idénticas. Estos modelos también tienen su aplicación en Fiabilidad. Por ejemplo, los estadı́sticos ordenados secuenciales aportan un carácter
más realista en el estudio de tiempos de vida de un sistema (n − r − 1)-out-of-n, englobando
a los estadı́sticos ordenados, puesto que incluyen ciertas dependencias o interacciones entre
las componentes del sistema producidas por los fallos de las mismas, ya que si alguna componente del sistema falla, este fallo puede tener influencia sobre las distribuciones del tiempo
de vida del resto de componentes. Del mismo modo, los distintos valores record mencionados,
son determinadas generalizaciones de los valores record, y por consiguiente, aportan mayor
flexibilidad en su aplicación a modelos de choque y procesos. Sobre estadı́sticos ordenados
generalizados [3], [4], [7], [48], [51] y [53] , entre otros.
P
Definición 1. Sean n ∈ N, k ≥ 1, m1 , . . . , mn−1 ∈ R, Mr = n−1
j=r mj , 1 ≤ r ≤ n − 1,
parámetros tales que γr = k + n − r + Mr ≥ 1, para todo r ∈ 1, . . . , n − 1, y sea m
e =
(m1 , . . . , mn−1 ), si n ≥ 2 (m̃ ∈ R arbitrario, si n = 1). Llamaremos estadı́sticos ordenados
generalizados uniformes al vector aleatorio (U(1,n,m̃,k) , . . . , U(n,n,m̃,k) ) con función de densidad
conjunta
! n−1
!
n−1
Y
Y
h(u1 , . . . , un ) = k
γj
(1 − uj )mj (1 − un )k−1 ,
j=1
j=1
para todo 0 ≤ u1 ≤ · · · ≤ un ≤ 1. Llamaremos estadı́sticos ordenados generalizados
basados en una función de distribución F al vector aleatorio
(X(1,n,m̃,k) , . . . , X(n,n,m̃,k) ) ≡ F −1 (U(1,n,m̃,k) ), . . . , F −1 (U(n,n,m̃,k) ) .
Sobre este modelo de estadı́sticos ordenados generalizados, tanto para el caso de parámetros iguales como para el caso de parámetros distintos, nuestro grupo ha estudiado [19],[46]:
a) Comparaciones estocásticas basadas en una misma función de distribución, correspondiente al orden en razón de verosimilitud, obteniendo:
Teorema 2.7. Si F ≤st G, entonces X(r,n,m,k)
≤st Y(r,n,m,k)
.
e
e
b) Comparaciones basadas en dos distribuciones distintas, para los órdenes: estocásticos,
razón de fallo y razón de verosimilitud. Por ejemplo para el orden razón de verosimilitud con
distintos parámetros, se tiene:
0
Teorema 2.8. Si F ≤f r G, entonces X(r1 ,n1 ,m,k
f0 ,k2 ) para todo r2 ≥ r1 , γr1 ≥ γr2
e 1 ) ≤f r Y(r2 ,n2 ,m
y m ≥ m0 ≥ −1.
c) Comparaciones entre espaciamientos basados en dos distribuciones, para los órdenes: estocástico, razón de fallo, razón de fallo inverso y razón de verosimilitud, cuando las
12
poblaciones están ordenadas y una de ellas pertenece alguna clase de envejecimiento no
paramétrico.
Nuestros resultados extienden algunos de los indicados anteriormente para estadı́sticos
ordenados, valores record y estadı́sticos ordenados generalizados y permiten obtener comparaciones entre espaciamientos de distintos modelos de variables ordenadas, es decir, entre
estadı́sticos ordenados y estadı́sticos ordenados secuenciales, entre valores record y valores
record de Pfeifer, etc.
Sin embargo, no son muchos los trabajos dedicados al estudio de comparaciones estocásticas multivariantes de sistemas cuyas componentes son estadı́sticos ordenados. Por ejemplo,
en [6] y[61] se establecen comparaciones entre vectores de espaciamientos procedentes de dos
poblaciones distintas, el primero de ellos en el orden estocástico multivariante y el segundo
en el orden en razón de verosimilitud. Dentro de este tema en [28], se estudia la comparación
de sistemas para distintos ordenes, por ejemplo, para la comparación de sistemas en el orden
estocástico,se tiene:
Teorema 2.9. Sean T1 , ..., Tn e U1 , ..., Un los tiempos de vida de dos conjuntos de componentes cualesquiera. Si (T1 , ..., Tn ) ≤st (U1 , ..., Un ), entonces (T(1) , ..., T(n) ) ≤ST (U(1) , ..., U(n) ).
Para poder comparar en otros órdenes como, el orden razón de fallo y razón de verosimilitud, es necesario definir una versión dinámica en el tiempo de las mismas y utilizar el
concepto de historia [94].
Dentro de este tópico hemos estudiado:
a) Nuevos resultados sobre comparaciones estocásticas entre vectores aleatorios de estadı́sticos ordenados procedentes de dos poblaciones, para los órdenes multivariantes: razón
de fallo, razón de verosimilitud y dispersivo [28]. Por ejemplo, para el orden razón de verosimilitud se tiene:
Teorema 2.10. Sean T = (T(1) , ..., T(n) ) e U = (U(1) , ..., U(n) ) los tiempos de vida de estadı́sticos ordenados procedentes de dos muestras aleatorias simples de T e U , respectivamente. Entonces, T ≤lr U si y sólo si
T ≤lr U
para todo n ≥ 1.
b) Propiedades multivariantes de envejecimiento del sistema, las cuales describen el comportamiento de dicho sistema desde un punto de vista dinámico. En concreto definimos y
caracterizamos las extensiones de las clases univariantes IFR y ILR, a través del concepto
de vida media residual dada una historia.
Por ejemplo para la clase multivariante de razón de fallo creciente, MIFR , se tiene:
Definición 2. Sea T un vector de tiempos de vida aleatorio no negativo. Se dice que X es
creciente en razón de fallo multivariante, X es MIFR, si
[(X − te)+ |ht ] ≤fr X
para toda historia ht , t ≥ 0.
13
Teorema 2.11. Sea T = (T(1) , ..., T(n) ) el vector de tiempos de vida de estadı́sticos ordenados
procedente de una muestra aleatoria simple de T . Entonces, T es IF R si, y sólo si, T es
MIFR, para todo n ≥ 1.
Observemos que si el vector aleatorio de estadı́sticos ordenados representa la sucesión
de fallos que se producen en un sistema con n componentes, algunos de nuestros resultados
describen el efecto del paso del tiempo sobre la probabilidad de fallo de las componentes.
Por ejemplo el Teorema 2.10 muestra que, dados dos sistemas con n componentes, si los dos
tipos de componentes están ordenados en razón de verosimilitud, entonces la probabilidad
de que ocurra un fallo en el instante t es mayor para un sistema que en el otro.
Dentro de la Inferencia Estadı́stica, a partir de estos resultados, se puede establecer comparaciones estocásticas entre transformaciones crecientes de vectores de estadı́sticos ordenados procedentes de dos poblaciones. Algunos ejemplos de estas transformaciones crecientes
son, la función de supervivencia empı́rica, la media, la mediana muestral y las medias recortadas. Otro estadı́stico importante en Fiabilidad que se obtiene mediante una transformación
creciente del vector de estadı́sticos ordenados es la TTT-transformada.
Hasta ahora hemos hablado de sistemas con componentes independientes, sin embrago,
en la práctica, las componentes de un sistema suelen tener alguna dependencia estructural
ya que comparten el mismo entorno y, en muchos sistemas, el fallo de una unidad afecta a
otras unidades. A partir del concepto de signatura de un sistema, iniciamos el estudio de
comparación de sistemas con componentes dependientes [74], obteniendo la comparación de
dos sistemas con componentes dependientes en los órdenes estocástico, razón de fallo y razón
de verosimilitud. Otras comparaciones de sistemas con componentes dependientes [70] y [80],
entre otros. Como hemos visto un sistema está constituido por varias componentes y puede
representarse como una caracterı́stica multidimensional cuya distribución de probabilidad
conjunta está dada por un modelo multivariante, que suele determinarse a través de caracterı́sticas unidimensionales de sus componentes. Hemos construidos sistemas coherentes con
componentes dependientes utilizando los procedimientos de
a) especificación marginal, que permite obtener modelos multivariantes a partir de sus
distribuciones marginales, y
b) especificación condicional, donde la construcción de modelos multivariantes está basada en la resolución de ciertas ecuaciones funcionales, construidas a través de distribuciones condicionadas especificadas.
Los sistemas construidos [75-78],tienen:
1) Distribución conjunta normal.
2) Componentes cuyo tiempo de vida es exponencial y tienen distribución conjunta
bivariante exponencial de Gumbel tipo I.
3) Componentes cuyo tiempo de vida, cuando conocemos el fallo de la otra componente
es exponencial, lo que equivale a suponer que la distribución conjunta es un modelo
con condicionadas exponenciales, y
4) Componentes con distribución conjunta de tipo Pareto.
14
3.
3.1.
Mantenimiento y reparación de sistemas
Polı́ticas de mantenimiento
La palabra mantenimiento se emplea para designar las técnicas utilizadas para asegurar
el correcto y continuo funcionamiento de los sistemas, siendo su objetivo reducir la incidencia
negativa de los fallos, bien disminuyendo su número o reduciendo sus consecuencias. Existen,
entre otros mantenimientos:
a) Mantenimiento Correctivo o por Fallos : se realiza cuándo el equipo es incapaz de
seguir operando porque las componentes están fallando o han fallado.
b) Mantenimiento Preventivo: es un mantenimiento totalmente planeado que implica
la reparación o reemplazo de componentes a intervalos fijos, efectuándose para hacer
frente a fallos potenciales.
Para el mantenimiento preventivo se consideran dos polı́ticas de sustituciones, según el tipo
de reparación que se realiza:
a) Reparación por edad, la unidad es reemplazada por una nueva cuando se produce un
fallo, o en un instante de tiempo prefijado de antemano y, que corresponde en general,
al de una edad predeterminada.
b) Reparación por bloques, la unidad se reemplaza por una nueva cuando falla en
instantes de tiempo espaciados uniformemente T, 2T,3T,.. independientemente de la
edad. Los valores óptimos de los tiempos de la polı́tica pueden ser determinados, por
ejemplo, analizando los modelos apropiados de costes.
Mientras que dos sustituciones importantes no planeadas son:
c) Renovación, la unidad es reemplazada por una nueva, cuando se produce un fallo.
d) Reparación mı́nima, la unidad es reparada dejándola como se encontraba antes del
fallo y, la probabilidad de fallo sólo depende del tiempo de funcionamiento del sistema
y no del número de fallos previos.
En general, consideramos sistema de componentes, y el proceso de fallos sucesivos y las
reparaciones de estos fallos. Por ejemplo podemos pensar en un sistema de iluminación,
en el que cuando se funde una bombilla o foco (fallo del sistema), es reemplazada por otra
(reparación del sistema). En este contexto el número de fallos en el intervalo [0, t), N (t), es un
proceso de conteo, que puede especificarse a partir de los tiempos aleatorios T (n), en que se
produce el fallo n-ésimo, y también mediante los tiempos entre fallos U (n) = T (n)−T (n−1).
El caso más sencillo es aquel en que el proceso de conteo es un proceso de Poisson
homogéneo, que queda caracterizado por que los tiempos entre llegadas son independientes
con distribución exponencial y el mismo parámetro. Las extensiones naturales son los Proceso
de renovación, en los cuales los tiempos entre fallos U (n), son independientes e idénticamente
distribuidos y los Procesos de Poisson no homogéneos, donde el parámetro depende del
tiempo, y se llama intensidad del proceso.
15
Estos modelos se pueden reescribir en términos del tipo de reparación que se realiza. Por
ejemplo, el proceso de renovación se puede entender como un modelo de reparación completa,
donde la unidad que ha fallado se reemplaza por una unidad nueva con la misma distribución
que la anterior. En estos procesos hay dos funciones fundamentales la función de renovación
M (t), que es el número de reparaciones hasta el instante t y la vida residual S(t), que es el
tiempo que queda hasta la siguiente reparación en dicho instante t. Sobre estas funciones hay
distintos trabajos que relacionan la ordenación en distintos tiempos de las vidas residuales,
con propiedades de la función de renovación y con la clase a la que pertenecen los tiempos
de funcionamiento de la unidad que se reemplaza. Estos trabajos son de interés puesto que
permiten obtener acotaciones sobre el tiempo que queda hasta la siguiente reparación en
un determinado instante. Nuestro grupo ha colaborado estudiando la ordenación entre la
distribución de los tiempos entre renovaciones y los tiempos de vida residuales hasta el
siguiente fallo, considerando los órdenes creciente convexo, creciente cóncavo y Laplace y, a
partir de propiedades de clasificación de la distribución de los tiempos entre renovaciones
[21].
Para el caso de proceso de Poisson no-homogéneo la reparación que se realiza es la
siguiente. Suponemos una componente con tiempo de vida aleatorio Y , que se pone en
funcionamiento en el tiempo 0. Si falla en el tiempo T (1) se reemplaza por una unidad con
la misma distribución que la anterior pero con tiempo de vida T (1). El proceso se repite
cada vez que una unidad falla. En general este proceso se corresponde con el de concepto de
reparación mı́nima con unidades igualmente distribuidas, En este caso el interés se centra
principalmente en la estructura de los tiempos en que se producen los fallos T (n) y de los
tiempos entre fallos U (n). En concreto los trabajos realizados tratan sobre la clasificación y
ordenación de estos tiempos T (n) y U (n), dando condiciones sobre los distintos elementos que
caracterizan el proceso de reparación de mı́nima. La mayorı́a de artı́culos sobre el tema, [33],
[49], [60-61], estudian el problema desde el punto de vista univariante, mientras que en [12]
y [26], se afrontan este estudio de forma más general desde un punto de vista multivariante.
De la interpretación anterior es obvio que los procesos de Poisson no homogéneos se pueden generalizar considerando que el reemplazamiento no se produce con unidades igualmente
distribuidas. La extensión del proceso de Poisson no homogéneo, se conoce como proceso de
conteo por relevo. En este caso los tiempos en los que se producen los fallos, T (n), se modelizan de la siguiente forma. Sea Y (n), n = 1, 2 . . ., una sucesión de variables aleatorias no
negativas, que representan el tiempo de vida de la unidad n-ésima que reemplaza en el fallo
a la n − 1- ésima, entonces T (1) = Y (1) y T (n) = (Y (n)|Y (n) > T (n − 1)). El estudio de la
comparación entre procesos de este tipo puede verse en [12] y [18]. En concreto en [18], en el
contexto de clasificación y ordenación de tiempos en los que se produce la reparación, se han
clasificado de forma multivariante las clases MIFR y multivariante postividad total de orden
2, MPF2, para los vectores de los tiempos en que se producen las primeras n reparaciones,
a partir de la intensidad con que se producen los fallos del sistema.
Por ejemplo, se obtiene el siguiente resultado:
Teorema 3.1. Sean Tn , n ≥ 1, los tiempos de llegada de un proceso de nacimiento puro
no homogéneo con intensidades {rn , n ≥ 1}. Si rn es creciente para todo n ≥ 1, entonces
T n = (T1 , T2 , ..., Tn ) es MIFR.
16
Comparamos polı́ticas de reemplazamiento programadas (edad y bloques) con una polı́tica no planeada de proceso de renovación, tanto para la clase nueva mejor que usada en promedio, NBUE y nueva mejor que usada en el orden convexo, NBUC [22] y [24]. Por ejemplo
para la clase NBUE se tiene:
Teorema 3.2. Sea N un proceso de renovación con distribución de tiempos entre llegadas F
y NA,T una polı́tica de reemplazamiento por edad con tiempo de reemplazamiento planeado T .
Sean Ti y TiA los tiempos del i-ésimo fallo bajo N y NA,T , respectivamente, para i = 1, 2, ....
Entonces F ∈ N BU E sı́, y solo sı́, E[Ti ] ≤ E[TiA ], para todo i = 1, 2, ... y para todo T ≥ 0.
El resultado anterior indica, que en el caso en que tengamos una unidad con tiempo
de vida NBUE, el promedio de tiempo entre fallos es mayor si se procede a una polı́tica
de reemplazamiento por edad, que si solamente se somete a una polı́tica de renovación.
Resultados similares se obtienen para la comparación de la polı́tica por bloques y renovación
y para la clase NBUC.
3.2.
Modelos de choque continuos
En el caso de sistemas reparables, es posible considerar una variante conocida como
modelos de choque, en la cuál la reparación puede ser infructuosa de forma aleatoria, lo que
produce que el sistema no pueda ser puesto más en funcionamiento.
En teorı́a de fiabilidad de sistemas se habla de modelo de choque, cuando se tiene un
sistema o mecanismo ( que puede ser una máquina, un ser vivo, un proceso de producción
industria, etc.) sometido a choques. Se entiende por choque cualquier cambio o variación que
produce un efecto negativo o positivo sobre el tiempo de vida del sistema y que llegan en el
tiempo, según un proceso estocástico N (t), de forma que el sistema es capaz de sobrevivir a
un número aleatorio de choques, con probabilidades de resistencia P k , k = 0, 1, . . ., y si se
excede dicha resistencia se produce el fallo del sistema. Los distintos modelos de choque se
obtienen al especificar N (t) y P k .
El estudio de modelos de choque tiene aplicaciones en la teorı́a de fiabilidad de sistemas
y en otros contextos como, análisis de supervivencia, teorı́a de colas, control de inventarios,
ası́ como en distintos campos de la economı́a. El siguiente cuadro muestra las equivalencias
de conceptos entre algunos ambitos de aplicación:
Fiabilidad de
Control de
Análisis de
Biometrı́a
Sistemas
Inventarios
Riesgos
Choques
Demandas
Reclamaciones
Choques
Fallo del sistema Falta de stock
Quiebra
Fallecimiento
Supervivencia
Suficiente stock Atención de todas las Supervivencia
hasta t
en [0, t]
reclamaciones en [0, t]
hasta t
Hay dos elementos básicos que caracterizan un modelo de choque y son:
1) el proceso estocástico {N (t), t ≥ 0}, que gobierna la llegada de los choques y que
representa el número de choques producidos hasta el instante de tiempo t, y que se considera
17
en general un proceso de conteo. Además, si s < t, N (t) − N (s) representa el número de
choques producidos en el intervalo (s, t] .
y
2) las probabilidades de resistencia a k choques P k , k = 0, 1, ... del sistema.
Los distintos modelos de choque se obtienen al especificar N (t) y P k .
Dentro de los modelos de choque interesa estudiar en primer lugar su clasificación, que
permitirá obtener condiciones sobre el modelo para que el tiempo de vida del sistema pertenezca a alguna de las clases de envejecimiento de interés. Las condiciones requeridas por
el modelo de choque se refieren tanto a condiciones sobre el proceso N (t), que determina
la llegada de los choques, como a las condiciones sobre las probabilidades de resistencia a
choques, representadas por P k . En las tres últimas décadas, el estudio de modelos de choque
ha cobrado gran importancia y son muchos los trabajos que se han publicado en esta lı́nea
de investigación, iniciada con los trabajos [1] y [36], donde se obtienen los primeros resultados de preservación sobre las clases IFR, NBU, DMRL, NBUE, IFRA y sus duales. En
[55] se prueba un resultado similar para la clase armonica nueva mejor (peor) que usada en
esperanza HNBUE (HNWUE) y en esta lı́nea en [38], se extienden estos resultados para las
clases NBUC, IFR(2), NBU(2) y sus duales.
En el caso de modelos de nacimiento puro, se estudian en [56] las clases HNBUE, IFRA
y DMRL y en [84] obtiene resultados sobre la clase HNBUE.
En [20] se obtienen resultados para la preservación de la clase NBULt en modelos de
choque de Poisson y nacimiento puro.
En segundo lugar, la ordenación estocástica de modelos de choque permite comparar la
evolución en el tiempo de dos sistemas para poder elegir aquel cuyo proceso de envejecimiento
se adapte mejor a unas determinadas caracterı́sticas. Para el caso de modelo de choque de
Poisson homogéneo, [89] y [97] entre otros, estudian las ordenaciones lr, fr, st, icx y mr.
Para modelos más generales, correspondientes al caso en que la llegada de los choques es
un proceso de conteo general determinado a partir de los tiempos entre llegadas y tiempos de
llegada, [59-60] estudia los órdenes lr, icx y mr, en [82] se estudia la preservación del orden
fr y en [39] se obtiene la de los órdenes mr e icx.
3.3.
Modelos de choque discretos
Hasta ahora hemos centrado el estudio en investigar cómo evoluciona en el tiempo un
sistema, es decir, hemos estudiado una variable aleatoria continua que representa la edad o
tiempo de vida del sistema. Vamos a extender el estudio anterior al caso de modelos discretos.
Consideramos dos modelos discretos:
a) El modelo de choque discreto, introducido por nuestro grupo de investigación, como
una versión discreta del modelo de choque continuo.
b) El modelo de reparación mı́nima discreto, introducido en [83].
En ambos modelos se tiene un sistema que realiza operaciones y está sometido a choques
que llegan según algún proceso estocástico en tiempo discreto, de forma que las operaciones
pueden ser de dos tipos: con éxito o sin éxito, en cuyo caso se dice que se ha producido
un fallo. Cada fallo es reparado de forma inmediata para que el sistema pase a realizar la
siguiente operación, hasta que se produce el fallo final y el sistema deja de funcionar. En
este sentido también se puede hablar de dos tipos de fallos: reparable (si es reparado y el
18
sistema sigue funcionando) o no reparable (si no puede ser reparado y el sistema deja de
funcionar) En el modelo de choque discreto, interesa considerar el número de operaciones con
éxito realizadas por el sistema hasta que deja de funcionar. Si interpretamos cada operación
con éxito como una unidad nueva producida por el sistema, este modelo cuenta el número
de unidades producidas por dicho sistema hasta que se para. En el modelo de reparación
mı́nima discreto, interesa obtener el número de operaciones abordadas por el sistema (se
completen o no) hasta que se produce un fallo.
En el contexto del modelo de choque, estamos interesados en estudiar la variable aleatoria
discreta M que cuenta el número de unidades producidas por el sistema antes del fallo no
reparable y vamos a suponer que el sistema al menos produce una unidad, luego M ≥ 1,
es decir, M = 1, 2, 3, ... Los choques que causan los fallos del sistema llegan según algún
proceso estocástico en tiempo discreto N = {N (m), m = 1, 2, ...}, donde N (m) representa
el número de fallos hasta la unidad m − ésima y el sistema tiene una resistencia a k choques
representada por P k , k = 0, 1, ... , de forma que el proceso de llegada de los choques N y las
probabilidades de resistencia a choques P k son independientes.
Dentro de este modelo en tiempo discreto, el caso más sencillo es aquel en que las probabilidades de fallo son constantes, que puede considerarse como una versión discreta del
proceso de Poisson homogéneo del caso continuo. Este modelo puede ser generalizado al caso
en que las probabilidades de fallo dependen del número de fallos producidos, dando lugar a
la versión discreta del proceso de nacimiento puro.
Hemos desarrollado dos nuevos modelos que son el modelo discreto de Poisson homogéneo
y el modelo discreto de nacimiento puro.
Para definir el primero de ellos, consideramos que los tiempos entre llegadas son variables
aleatorias geométricas con el mismo parámetro. Para este modelo se obtiene la preservación
de las clases: frecuencia de Polya de orden 2,PF2, IFR, DMRL, NBU, NBUE, IFRA, HNBUE,
nueva mejor que usada de orden 2, NBU(2), NBUC, nueva mejor que usada en el orden
Laplace, NBULt y sus duales[25]. Por ejemplo, para la clase IFR(DFR) se tiene:
19
Teorema 3.3. Sea M el número de unidades producidas de un modelo discreto de Poisson
homogéneo de parámetro α, con 0 < α < 1 y β = 1 − α y con distribución de probabilidades
de resistencia a choques P. Si P es IF R (DF R), entonces M es IF R (DF R).
En cuanto a ordenación en modelos discretos de Poisson homogéneo, consideramos dos sistemas que realizan alguna operación con probabilidad de fallo α y una probabilidad β = 1−α,
de que produzca una unidad nueva, común para ambos. Sin embargo, cada sistema tiene una
probabilidad de resistencia a choques distinta representadas por Pk y Qk , respectivamente.
Obtenemos resultados de preservación para los órdenes:razón de fallo, razón de fallo
inverso, razón de verosimilitud,estocástico, creciente convexo, vida media residual y Laplace.
Por ejemplo, para el orden estocástico se tiene:
Teorema 3.4. Sean M y N el número de unidades producidas de un modelo discreto de
Poisson homogéneo de parámetro α, con 0 < α < 1 y β = 1 − α y con distribuciones
de probabilidades de resistencia a choques P y Q, respectivamente. Si P ≤st Q, entonces
M ≤st N.
Este resultado permite comparar las producciones de los dos sistemas representados por
las variables M y N. Extendemos el modelo discreto de Poisson homogéneo al caso en que
la probabilidad de un nuevo fallo del sistema entre los fallos j y j + 1- ésimo depende
del número actual j de fallos del sistema (αj en lugar de α). Por tanto en este caso, los
tiempos entre llegada Uj+1 son variables aleatorias independientes geométricas de parámetro
αj con 0 < αj < 1, es decir, si se han producido j fallos sobre el sistema, entonces hay
una probabilidad αj de que se produzca un nuevo fallo y una probabilidad βj = 1 − αj de
que se produzca una nueva unidad. Para este modelo , se ha obtenido la preservación de las
clases de envejecimiento: PF2, IFR, IFRA, DMRL, NBUE, HNBUE, DRLLt, NBULt y sus
duales[25].
3.4.
Reparación mı́nima
Comenzamos describiendo en qué consisten el modelo de reparación mı́nima discreto,
introducido en [83]. Estos modelos se aplican cuando tenemos una unidad o componente de
un sistema que realiza secuencialmente una serie de operaciones O1 , O2 , O3 , ..., y asociado
con cada operación Oi hay una probabilidad ri de fallo del sistema durante la ejecución de la
misma. Las operaciones son realizadas secuencialmente hasta que tiene lugar el primer fallo,
por ejemplo, en la operación Oi1 , es decir, X1 = i1 , donde X1 se interpreta como el número de
operación en la que se produce el fallo primero [86-87]. Después del fallo del sistema, la unidad
es repuesta o sustituida inmediatamente por otra similar que sigue funcionando, pasando a
realizar la operación Oi1 +1 . Supongamos que el sistema vuelve a fallar por segunda vez en
la operación Oi2 , es decir, X2 = i2 , donde X2 se interpreta como el número de operación
en la que se produce el fallo segundo. De nuevo, la unidad es repuesta pasando a realizar la
operación Oi2 +1 y ası́ sucesivamente.
Observamos que en este modelo cuando el sistema falla realizando una operación Oi ,
entonces es reparado inmediatamente pasando a la operación siguiente Oi+1 , de manera que
dicha operación Oi es olvidada y quedará sin completar. Este modelo puede ser razonable
en algunas situaciones, por ejemplo si el sistema es un contador eléctrico que es comprobado
20
sólo al final de cada mes y se encuentra defectuoso al final del mes i, entonces es repuesto por
otro contador que está dispuesto a trabajar en el mes i + 1 y en adelante. Sin embargo, este
modelo puede no resultar adecuado cuando se requiere que todas las operaciones hayan de ser
perfectamente realizadas consecutivamente. Definimos Zj , como el número de operaciones
no realizadas con éxito hasta la prueba j−ésima y sea
Xn ≡ mı́n {j : Zj = n} , n = 1, 2, ...,
entonces, Xn cuenta el número de operación en que se produce el n − ésimo fallo.
Si definimos los valores Yn = Xn − Xn−1 , para n = 1, 2, ...,
Yn
n entonces las variables
o
e
e
juegan el papel de los tiempos entrellegadas del proceso N = N (m), m = 1, 2, ... cuyos
tiempos de llegada son las variables Xn que cuentan el número de operaciones abordadas
hasta el fallo n.
En [83] se estudian propiedades de logconcavidad de tiempos entrellegadas y tiempos de
llegada en este modelo.
Para el caso de dos modelos de reparación mı́nima discreta y, para distintos órdenes
multivariantes, se obtiene la preservación entre las distribuciones subyacentes y los tiempos
de llegada y entre llegada. Por ejemplo, para el orden en razón de fallo multivariante de los
n primeros tiempos de llegada de los dos modelos[23] , se tiene:
Teorema 3.5. Sean dos modelos de reparación mı́nima discretos, con distribuciones subyacentes L y K, respectivamente. Entonces L ≤f r K si, y sólo si,
(X1 , ..., Xn ) ≤f r (U1 , ..., Un ), para todo n ≥ 1.
y para los tiempos entre llegadas, se tiene para el orden en razón de verosimilitud multivariante, que :
Teorema 3.6. Sean dos modelos de reparación mı́nima discretos, con distribuciones subyacentes L y K, respectivamente. Si L ≤f r K y zi /si es creciente en i ≥ 1, entonces
(X1 , ..., Xn ) ≤lr (U1 , ..., Un ), para todo n ≥ 1.
Las ordenaciones multivariantes anteriores permiten obtener resultados sobre la clasificación multivariante de los vectores de tiempos de llegada y entrellegada:
Teorema 3.7. Sea un modelo de reparación mı́nima discreto, con distribución subyacente
L. Se tiene que
a) (X1 , ..., Xn ) es MTP2.
b) Si L tiene función puntual de probabilidad logarı́tmico convexa y si es lo-garı́tmico
convexa en i, entonces (Y1 , ..., Yn ) es MTP2.
4.
Redundancia
Se entiende por redundancia la existencia en un sistema de un número adicional de
componentes, con el objetivo que puedan ponerse en funcionamiento alguna de ellas, si falla
21
alguna de las componentes iniciales. Por tanto, puede existir más de una componente para
realizar una función dada.
Este concepto puede tener connotación negativa asociada con lo superfluo o lo innecesario,
aunque también puede tener sentido positivo cuando la redundancia permite resolver un
problema de fallo en el sistema. Con la redundancia se persigue mejorar la fiabilidad, ya que
aumentando el número de componentes, prevenimos el efecto del fallo de alguna de ellas.
Por ejemplo, en los aviones numerosas componentes se encuentran duplicadas y lo mismo en
sistemas cuyo fallo represente un problema de importancia.
Entonces un problema importante en Teorı́a de la Fiabilidad, es estudiar donde ubicar
una componente redundante en el sistema con el fin de obtener, una configuración óptima
del mismo que permita aumentar su fiabilidad.
Esta ubicación puede hacerse, principalmente, de dos formas distintas:
a) redundancia activa, que corresponde al caso en que las dos componentes se colocan
en paralelo y por tanto trabajan simultáneamente, un ejemplo de redundancia activa se
tiene en un avión trimotor, cuya despegue está asegurado aunque falle uno cualquiera
de ellos, pero no más de uno.
b) redundancia en espera, que corresponde al caso en que existe una componente
primaria, que es la única que realiza la función mientras no hay averı́as y la componente
redundante permanece en espera hasta que se produce el fallo. Por tanto, la redundancia
activa lleva al estudio del máximo de las componentes, mientras que la redundancia en
espera supone la convolución o suma de dichas variables.
Para ilustrar este problema consideramos el caso en que tenemos dos componentes con
tiempos de vida aleatorios T1 y T2 , que forman un sistema en serie. Consideremos ahora
una componente adicional con tiempo de vida S que puede ser puesta en redundancia activa
con cualquiera de las dos componentes anteriores. Esto darı́a lugar a dos sistemas, U1 =
mı́n{máx(T1 , S), T2 } y U2 = mı́n{T1 , máx(T2 , S)},
U1 :
T1
T2
S
22
T2
U2 :
T1
S
y el problema está en decidir cuál de estos sistemas es mejor en algún sentido probabilı́stico,
es decir, con cuál de las dos componentes serı́a preferible hacer la redundancia activa.
Este problema ha sido estudiado de forma intensa en la década de los 90 para sistemas
con componentes independientes,[30], [88], [99] y ha recobrado nuevo interés con las publicaciones [101-102]. Como puede verse en estos trabajos, las condiciones que permiten decidir
en que componente es mejor colocar la componente redundante, se obtiene en términos de
las ordenaciones estocásticas de las componentes del sistema. En estos resultados también
se considera el orden en preferencia que definimos a continuación.
Definición 3. Sean X e Y dos variables aleatorias, se dice X es menor que Y en el orden
preferencia, denotado por X ≤pr Y si,
P (X > Y ) ≤ P (Y > X).
Nosotros estudiamos, en primer lugar, el caso de sistemas en serie y paralelo con dos
componentes dependientes y, para los dos tipos de redundancia, activa y en espera [14].
Consideramos, en primer lugar, el caso de dos componentes dependientes con tiempos
de vida T1 y T2 , en sistemas serie y una componente adicional en redundancia en activo
con tiempo de vida S, esto da lugar a dos sistemas U1 = mı́n{máx(T1 , S), T2 } y U2 =
mı́n{T1 , máx(T2 , S)}.
Se tiene: a) Para redundancia activa:
Teorema 4.1. Sean T1 , T2 y S variables aleatorias, se tiene
a) Si (T1 |S = x) ≤st:j (T2 |S = x) para todo x, entonces U2 ≤pr U1 .
b) Si (T1 |S = x) ≤lr:j (T2 |S = x) para todo x, entonces U2 ≤st U1 .
Que indica que es preferible hacer redundancia en la componente más débil según el
criterio de ordenación conjunta considerado.
b) Para redundancia en espera:
Teorema 4.2. Sean T1 , T2 y S variables aleatorias, se tiene
a) Si (T1 |S = x) ≤st:j (T2 |S = x) para todo x, entonces V2 ≤pr V1 .
b) Si (T1 |S = x) ≤hr:j (T2 |S = x) para todo x, entonces V2 ≤st V1 .
23
Que indica que es preferible hacer redundancia en la componente más débil según el
criterio de ordenación conjunta considerado.
Para sistemas en paralelo, observamos que la redundancia activa no tiene sentido, pues
da lugar a dos sistemas iguales.Consideramos entonces el caso de redundancia en espera.
Tenemos dos componentes con tiempos de vida T1 y T2 , y una componente con tiempo de
vida S para redundancia en espera, lo que da lugar a los sistemas W1 = máx{T1 + S, T2 } y
W2 = máx{T1 , T2 + S}.
Para este caso se tiene:
Teorema 4.3. Sean T1 , T2 y S variables aleatorias, y sean W1 y W2 los tiempos de vida de
dos sistemas como los descritos anteriormente, se tiene
a) Si (T1 |S = x) ≤st:j (T2 |S = x) para todo x, entonces W1 ≤pr W2 .
b) Si (T1 |S = x) ≤rh:j (T2 |S = x) para todo x, entonces W1 ≤st W2 .
Que indica que es preferible hacer redundancia en la componente más fuerte según el
criterio de ordenación conjunta considerado.
Estos resultados anteriores no son meramente teóricos, pues hay multitud de distribuciones multivariantes conocidas, que pueden representar los tiempos de vida del sistema y
que verifican las hipótesis exigidas en los teoremas anteriores, como son las distribuciones de
Dirichlet, Normal, Pareto, Marshall-Olkin, Exponencial trivariante de Freund, Exponencial
de Marshall-Olkin, Exponencial de Moran-Downton. De nuestros resultados se obtienen los
obtenidos por otros autores en el caso de independencia entre las componentes del sistema.
Estos resultados han sido los primero publicados en la literatura, sobre el estudio de
la redundancia de sistemas cuando las componentes son dependientes y es el inicio de un
importante campo de estudio, como puede verse en [63] y Mathematical Reviews 2796015
(2012f:62209)
Nos planteamos la extensión de estos resultados al caso de sistemas con n-componentes
T1 , . . . , Tn , con (n > 2). En consecuencia, consideramos el caso en el que disponga de una
misma componente con tiempo de vida S para redundancia activa y en espera con cualquiera
de las n componentes que forman el sistema.
Los órdenes conjuntos en el caso n-dimensional, no habı́an sido definidos ni estudiados
de forma explı́cita en la literatura, salvo el orden en razón de verosimilitud conjunto (lr:j)
que fue introducido en [97]. Desarrollamos versiones multivariantes de los órdenes conjuntos
estocástico, razón de fallo y razón de fallo inverso y caracterizamos las mismas.
Posteriormente estudiamos el reparto de componentes redundantes en sistemas en serie
y paralelo con n componentes y en sistemas k-out-of-n, para los órdenes conjuntos st, fr, rf
y lr tanto en redundancia activa como en redundancia en espera.[15].
Por ejemplo, para sistemas en serie y redundancia activa, es decir consideramos el caso de
n componentes con tiempos de vida T1 , . . . , Tn , y una componente adicional para redundancia
activa con tiempo de vida S, lo que da lugar a n sistemas:
(n)
= mı́n{máx(T1 , S), T2 , . . . , Tn }
(n)
= mı́n{T1 , máx(T2 , S), . . . , Tn }
U1
U2
24
..
.
Un(n) = mı́n{T1 , T2 , . . . , máx(Tn , S)}.
obtenemos:
Teorema 4.4. Sean T1 , . . . , Tn y S variables aleatorias, se tiene
(n)
≥pr · · · ≥pr Un .
(n)
≥st · · · ≥st Un .
a) Si T1 (x) ≤st:j · · · ≤st:j Tn (x) para todo x, entonces U1
b) Si T1 (x) ≤lr:j · · · ≤lr:j Tn (x) para todo x, entonces U1
(n)
(n)
Entonces para sistemas en serie es preferible hacer redundancia en la componente más
débil según el criterio de ordenación conjunta considerado.
Obtenemos también que:
a) Para sistemas en paralelo, es preferible hacer redundancia en la componente más
fuerte, según el criterio de ordenación razón de fallo inverso conjunto.
b) Para el caso de sistemas k-out-of-n y redundancia activa, se obtiene que es preferible
hacer redundancia en la componente más débil, según el criterio de ordenación cociente
de verosimilitud conjunto.
c) Para el caso de redundancia en espera, se prueba que es preferible hacer redundancia
en la componente que es más débil, según el criterio de ordenación razón de fallo
conjunto y más fuerte según el de razón de fallo inverso conjunto.
Tras esta exposición, observamos que un problema importante es poder caracterizar los
distintos tipos de órdenes. Nuestro grupo de investigación, está también dedicado actualmente a dicho estudio, habiendo alcanzado ya resultados en los órdenes vida media residual
y TTT-transformada [16-17].
5.
Agradecimientos
Para finalizar esta lección, quiero expresar mi agradecimiento a todas aquellas personas
a las que considero debo mi carrera universitaria. En primer lugar, mostrar mi profundo
cariño y agradecimiento a mi maestro, el profesor D. Procopio Zoroa, catedrático jubilado
de nuestra universidad, él me inculcó el cariño por la docencia y la investigación. Inició las
lı́neas de investigación sobre los temas: a)Distribuciones truncadas, continuada por nuestro
grupo de investigación y b) Teorı́a de juegos, continuada por el equipo de investigación de
la profesora Noemı́ Zoroa. Lı́neas de investigación que dieron y siguen dando resultados
de interés. Fue mi director de tesina de licenciatura, de tesis doctoral, y co-dirigı́ con él
varias tesis doctorales. Aparte de la importancia que ha tenido siempre su ayuda, lo que
más valoro es que todavı́a cuento con su amistad y su cariño. Gracias D. Procopio. Mi
agradecimiento a todos las personas que han participado en nuestro grupo de investigación,
que con su trabajo y ayuda, han contribuido a aumentar mi saber docente e investigador. A
nuestros becarios Marı́a del Carmen Ruiz, Carlo José Sandoval, Helena Martı́nez, José Ángel
25
Mercader, José Francisco Pinar, Julio Mulero y Carolina Martı́nez. Algunos de ellos, fueron
contratados en distintas universidades, otros tuvieron que optar por la enseñanza secundaria
y el paro. A mis compañeros, José Candel, Josefa Marı́n, Antonio Guillamón y Manolo
Franco, Por último, y por ello no menos importante, a Jorge Navarro y Felix Belzunce, que
como suele ocurrir a veces, para el progreso de la ciencia, en algunos casos el discı́pulo supera
al maestro. Para mi, ha sido una enorme satisfacción haber colaborado en la formación de
todos ellos. Agradecimiento a mi mujer, porque siempre he contado con su ayuda en todos los
aspectos de mi vida, a mis hijos y a mi familia. También a los compañeros de departamento
y a todos los investigadores con los que hemos colaborado. También deseo expresar mi
agradecimiento a los distintos Ministerios que nos han concedido Proyectos Nacionales y a
la Fundación Séneca de la Región de Murcia, que han hecho posible con su financiación,
el desarrollo de nuestra investigación.En relación a la preparación de esta memoria, deseo
expresar mi agradecimiento al profesor Felix Belzunce por su ayuda.
Referencias
[1] A-Hameed, M. S. and Proschan, F. (1975).Shock Models with Underlying Birth Process,
Journal Applied. Probability, 12, 18-28.
[2] Abouammoh, A. and El-Neweihi, E. (1986). Closure of the NBUE and DMRL classes
under formation of parallel systems. Statistics Probability Letters, 4, 223-225.
[3] Ahsanullah, M. (1997). The generalized order statistics.In:Applied Statistical Science
II. Ed. M. Ahsanullah. Nova Science Publishers Inc. New York. pp 57-75.
[4] Ahsanullah, M. (2000). Generalized order statistics from exponential distributions. Journal Statistical Planning and Inference, 85, 85-91.
[5] Barlow, R.E. and Proschan, F. (1975). Statistical Theory of Reliability and Life Testing.
Holt, Rinehart and Winston.
[6] Bartoszewicz, J. (1986). Dispersive ordering and the total time on test transformation.
Statistics and Probability. Letters.,4, 285-288.
[7] Balakishnan, N,; Belzunce, F.; Hami, N. and Khaledy,B-E. (2010). Univariate and multivariatelikelihood ratio ordering of generalized order statistics and associated random
variables. Probability in the Engineering and Informational Sciences, 24, 441-455.
[8] Balakrishnan, N.; Belzunce, F.; Sordo. M. A. and Súarez-Llorens, A. (2011). Increasing
directionally convex orderings of random vectors having the same copula and their use
in comparing ordered data. Journal of Multivariate Analysis, 105, 45-54
[9] Belzunce, F.; Candel, J. and Ruiz, J.M.(1995). Ordering of truncated distributions through concentration curves. Shankhya, 57, 375-383.
[10] Belzunce, F.; Franco, M.; Ruiz, J.M. and Ruiz, M.C. (2001). On partial orderings between coherent systems with different structures, Probability in the Engineering and
Informational Sciences, 15, 273-293.
26
[11] Belzunce, F., Gurler, S. and Ruiz, J.M. (2011). Revisiting multivariate likelihood ratio
ordering results for order statistics. Probability in the Engineering and Informational
Sciences, 25, 355-368.
[12] Belzunce, F.; Lillo, R.; Ruiz, J.M. and Shaked, M. (2001). Stochastic comparisons of
nonhomogeneous processes. Probability in the Engineering and Informational Sciences,
15, 199-224.
[13] Belzunce, F.; Martı́nez-Puertas, H. and Ruiz, J.M. (2007). Reversed preservation properties for series and parallel systems, Journal of Applied Probability, 44, 928-937.
[14] Belzunce, F. Martı́nez-Puertas, H. and Ruiz, J.M. (2011). On optimal allocation of
redundant components for series and parallel systems of two dependent components.
Journal of Statistical Planning and Inference, 141, 3094-3104.
[15] Belzunce, F.; Martinez-Puertas, H. and Ruiz, J.M. (2013). On allocation of redundant
components for systems with dependents components. European Journal of Operational
Research, 230, 573-580.
[16] Belzunce, F.; Martinez-Riquelme, C. and Ruiz, J.M. (2013). On sufficient conditions for
mean residual life and related orders. Computational Statistics and Data Analysis, 61,
199-210.
[17] Belzunce, F.; Martinez-Riquelme,C. and Ruiz, J.M. (2014). A characterization and sufficient conditions for the total time on test transform orders. Test, 23, 72-85.
[18] Belzunce, F. Mercader, J.A. and Ruiz, J.M. (2003). Multivariate aging properties of
epoch times of nohomogeneous process. Journal of Multivariate Analysis, 84, 335-350.
[19] Belzunce, F.; Mercader, J.A. and Ruiz, J.M. (2005). Stochastic comparisons of generalized order statistics, Probability in the Engineering and Informational Sciences, 19,
99-120.
[20] Belzunce, F.; Ortega, E.M. and Ruiz, J.M. (1999). The Laplace order and ordering of
residual lives. Statistics and Probability Letters, 42, 145-156. 747-753.
[21] Belzunce, F.; Ortega, E.M. and Ruiz, J.M. (2001).A note on stochastic comparisons of
excess lifetimes of renewal processes. Journal of Applied Probability, 38, 747-753.
[22] Belzunce, F., Ortega, E.M. and Ruiz, J.M.(2005). A note on replacement policy comparisons from NBUC lifetimes the unit. Statistical Papers, 46, 509-522.
[23] Belzunce, F., Ortega, E.M. and Ruiz, J.M. (2006). Stochastic orderings of discrete-time
proceses and discrete record values. Probability in the Engineering and Informational
Sciences, 20, 447-464.
[24] Belzunce, F.; Ortega, E.M. and Ruiz, J.M. (2006). Comparison of expected failure times
for several replacement policies. IEEE Transactions on Reliability, 55, 490-495.
27
[25] Belzunce, Ortega y Ruiz (2009). Ageing properties of a discrete-time failure and repair
model. IEEE Transactions on Reliability, 58, 161-171.
[26] Belzunce, F. and Ruiz, J.M. (2002). Multivariate dispersive ordering of epoch times of
nonhomogeneous Poisson processes, Journal of Applied Probability, 39, 637-643.
[27] Belzunce, F. Ruiz, J.M. and Ruiz, M.C. (2002). On preservation of some shifted and
proportional orders by systems. Statistics and Probability Letters, 60, 141-154.
[28] Belzunce, F. Ruiz, J.M. and Ruiz, M.C. (2003). Multivariate properties of random vectors of order statistics. Journal of Statistical Planning and Inference , 115, 413-424.
[29] Belzunce, F. and Shaked, M. (2001). Stochastic comparisons of mixtures of convexly
ordered distributions with applications in reliability theory. Statistics & Probability
Letters, 53, 363-372.
[30] Boland, P.J.; El-Neweihi, E. y Proschan, F. (1992). Stochastic order for resundancy
allocations in series and parallel systems. Advances in Applied Probability, 24, 161-171.
[31] Boland, P.J. y Proschan, F. (1994).Stochastic order in system reliability
theory.Stochastic Orders and Their Applications. Academic Press, 485-508.
[32] Bryson, M.C. y Siddiqui, M.M. (1969). Some criteria for ageing. Journal of American
Statistics Association, 64, 1472-1483.
[33] Brown, M. and Shanthikumar, J.G. (1998).Comparing the variability of random variables and point processes. Probability in the Engineering and Informational Sciences, 12,
425–444.
[34] Chan,W.; Proschan, F. and Sethuraman, J. (1991). Convex-ordering among functions,
with applications to reliability and mathematical statistics. In:Topics in Statistical Dependence, IMS Lecture Notes, 16, 121-134.
[35] Esary, J.D.; Marshall, A.W. and Proschan, F. (1970). Some reliability applications of
the hazard transform. SIAM Journal Applied Mathemtics., 18, 849-860.
[36] Esary, J.D., Marshall, A. W. and Proschan, F. (1973). Shock Models and Wear Processes. The Annals of Probability, 1, 627-649.
[37] Fagiuoli, E. and Pellerey, F. (1993). New Partial Orderings and Applications, Naval
Research Logistics, 40, 829-842.
[38] Fagiuoli, E. and Pellerey, F. (1994a). Mean residual life and increasing convex comparison of shock models. Statistics Probability Letters, 20, 337-345.
[39] Fagiuoli, E. y Pellerey, F. (1994b).Preservation on certain Classes of Life Distributions
under Poisson Shock Model. Journal Applied Probability, 31, 458-465.
[40] Franco, M. and Ruiz, J.M. (1995). On characterizations of continuous distributions with
adjacent order statistics. Statistics, 26, 375-385.
28
[41] Franco, M. and Ruiz, J.M. (1996). On characterization of continuous distributions by
conditional expectation of record values. Sanhkya, 58, 135-141.
[42] Franco, M. and Ruiz, J.M. (1997). On characterization of distributions by expected
values of order statistics and record value with gap. Metrica, 45, 107-119.
[43] Franco, M. and Ruiz, J.M. (1999). Characterization based on conditional expectation
of adjacent order statistic: A unified approach. Proceedings AMS, 127, 861-874.
[44] Franco, M. and Ruiz, J.M. (2001). Characterization of discrete distributions based on
conditional expectations of record values. Statistical Papers, 42, 102-110.
[45] Franco, M., Ruiz, J.M. y Ruiz; M.C. (2001). On closure of the IFR(2) and NBU(2)
classes. Journal of Applied Probability, 38, 235-241.
[46] Franco, M., Ruiz, J.M. y Ruiz; M.C. (2002). Stochastic orderings between spacings of
generalized order statistics. Probability in the Engineering and Informational Sciences,
16, 471-484.
[47] Franco, M., Ruiz, J.M. y Ruiz; M.C. (2003). A note on the closure of ILR and DRL
classes under formation of coherent systems. Statistical Papers, 44, 279-288.
[48] Gajek, L. y Okolewski, A. (2000). Sharp bounds on moments of generalized order statistics. Metrika, 52, 27-43.
[49] Gupta R.C. y Kirmani, S.N.U.A. (1988). Closure and monotonicity properties of nonhomogeneous Poisson processes and record values. Probability in the Engineering and
Informational Sciences, 2, 475-484.
[50] Hu, T. y He, F. (2000). A note on comparisons of k–out-of-n systems with respect
to the hazard and reversed hazard rate orders. Probability in the Engineering and
Informational Sciences, 14, 27–32.
[51] Hu, T. y Wei, Y. (2001). Stochastic comparisons of spacings from restricted families of
distributions. Statistics Probability. Letters., 53, 91-99.
[52] Kamps, U. (1995). A concept of generalized order statistics. Stuttgart. Teubner.
[53] Keseling, C. (1999). Conditional distributions of generalized order statistics and some
characterizations. Metrika, 49, 27-40.
[54] Khaledi, B.E. y Kochar, S. (1999). Stochastic orderings between distributions and their
sample spacings - II. Statistisc. Probability Letters, 44, 161-166.
[55] Klefsjö, B. (1981). HNBUE Survival under some Shock Models. Scandinavian Journal
Statistics, 8, 39-47.
[56] Klefsjö, B. (1982). The HNBUE and HNWUE classes of life distributions. Naval Research. Logistics., 29, 331-344.
29
[57] Klefsjö, B. (1983). A useful ageing property based on the Laplace Transform. Journal
Applied Probability, 20, 615-626.
[58] Kochar, S.C. (1990). Some partial ordering results on record values. Communications
in Statistics: Theory and Methods, 19, 299-306.
[59] Kochar, S.C. (1990). On Preservation of some Partial Orderings under Shock Models.
Advance Applied. Probability, 22, 508-509.
[60] Kochar, S.C. (1993). Correction. Advance Applied Probability, 25, 1013.
[61] Kochar, S.C. (1999). On stochastic orderings between distributions and their sample
spacings. Statistics and Probability Letters, 42, 345-352.
[62] Kotz, S.; Ruiz, J.M. and Navarro, J. (2007). Characterization of Arnold and Strauss and
related bivariante exponencial models. Journal Multivariate Analisys, 98, 1494-1507.
[63] Li, X. and Ding, W. (2013). On allocation of active redundancies to systems: A brief
review. Lecture Notes in Statistics, 208. In honor of Professor Moshe Shaked. Editores,
Li, H. and Li, X. Springer, 12, 235-255.
[64] Li, X. y Yam, R. (2005). Reversed preservation properties of some negative aging conceptions and stochastic orders. Statistical Papers, 46, 65-78.
[65] Loperfido, N.; Navarro, J.; Ruiz, J.M. and Sandoval, C.J. (2007). Some relationships between skew-normal distributions and order statistics from exchangeable normal random
vectors. Communications in Statistics-Theory and Methods, 36, 1719-1733.
[66] Lynch, J., Mimmack, G., y Proschan, F. (1987). Uniform stochastic orderings and total
positivity. Canadian Journal Statistics, 15, 63–69.
[67] Marı́n, J.; Ruiz, J.M. and Zoroa, P. (1996). Characterizations of discrete random vectors
by conditional expectations. Journal Multivariate Analysis, 58, 82-95,
[68] Nanda, A.K.; Jain, K. y Singh, H. (1998). Preservation of some partial orderings under
the formation of coherent systems. Statistics and Probability Letters, 39, 123-131.
[69] Nanda, A.K. y Shaked, M. (2001). The hazard rate and the reversed hazard rate orders,
with applications to order statistics. Annals of the Institute of Statistical, 53, 853-864.
[70] Navarro, J.; del Aguila,Y.; Sordo, M. A. and Súarez-Llorens, A. (2014). Preservation of
reliability classes under the formation of coherent systems. Applied Stochastic Models
in Business and Industry, 30, 444-454.
[71] Navarro, J.; y Ruiz, J.M. (2004). A characterization of the multivariate normal distribution using the hazard gradient. Annals of the Institute of Statistical , 56, 361-367.
[72] Navarro, J. and Ruiz, J.M. (2004). Characterizations from relationships between failure rate functions and conditional moments. Communications in Statistics-Theory and
Methods, 33, 3159-3171.
30
[73] Navarro, J.; Ruiz, J.M. and del Aguila, Y. (2006). Multivariate weighted distributions:
a review and some extensions. Statistics, 40, 51-64.
[74] Navarro, J., Ruiz, J.M. and Sandoval, C.J. (2005). A note on comparisons among coherent systems with dependent components using signature. Statistics and Probability
Letters, 72, 179-185.
[75] Navarro, J., Ruiz, J.M. and Sandoval, C.J. (2006). Reliability properties of systems with
exchangeable components and exponential conditional distributions. Test, 15, 471-484.
[76] Navarro, J.; Ruiz, J.M. and Sandoval, C.J. (2007). Properties of coherent systems with
dependent components. Communications in Statistics-Theory and Methods, 36, 1-17.
[77] Navarro, J.; Ruiz, J.M. and Sandoval, C.J. (2007). Characterization of multivariate
distributions using products of the hazard gradient and mean residual life components.
Statistics, 41, 85-91.
[78] Navarro, J.; Ruiz, J.M. and Sandoval, C.J. (2008). Properties of systems with the exchangeable Pareto components. Statistical Papers, 49, 177-190.
[79] Navarro, J.; Ruiz, J.M. and Zoroa, N. (1998). A unified approach to characterization
problems using conditional expectations. Journal of Statistical Planning and Inference,
69, 193-207.
[80] Navarro, J. and Spizzichino. F. (2010). Comparisons of series and parallel systems with
components sharing the same copula. Applied Stochastic Models in Business and Industry, 26, 777-791.
[81] Pakes, A.G.; Navarro, J.; Ruiz, J.M. and del Aguila, Y. (2003). Characterization using
weighted distributions. Journal of Statistical Planning and Inference, 116, 389-420.
[82] Pellerey F. (1993). Partial Orderings under Cumulative Damage Shock Models. Advances Applied Probability, 25, 939-946.
[83] Pellerey, F.; Shaked, M. and Zinn, J. (2000).Non-homogeneous Poisson Processes and
Logconcavity. Probability in the Engineering and Informational Sciences, 14, 353-373.
[84] Pérez-Ocón, R. and Gámiz-Pérez, M.L. (1995). Conditions on the arrival process to
obtain HNBUE survival using a shock model. Communications in Statistics-Theory
and Methods, 24, 931-944.
[85] Raqab, M.Z. and Amin, W.A. (1996). Some ordering results on order statistics and
record values. IAPQR Transactions, 21, 1-8.
[86] Rocha-Martı́nez, J.M. (1998). On some applications of a discrete-time model of failure
and repair. Applied Stochastic Models & Data Analysis, 14, 189-198.
[87] Rocha-Martı́nez, J.M. and Shaked, M. (1995). A discrete-timmodel of failure and repair.
Applied Stochastic Models and Data Analysis, 11, 167-180.
31
[88] Romera, R.; Váldéz, J.E. and Zequeira, R.I. (2004). Active-redundancy allocations in
systems. IEEE Transactions on Reliability, 53, 313-318.
[89] Ross, S.M. and Schechner, Z. (1984). Some reliability applications of the variability
ordering. Operations Research, 32, 679-687.
[90] Ruiz, J.M.; Marı́n, J. and Zoroa, P. (1993). A characterization of continuous multivariate
distributions by conditional expectations. Journal of Statistical Planning and Inference,
37, 13-21.
[91] Ruiz, J.M. and Navarro, J. (1994). Characterization of distributions by relationships
between failure rate and mean residual life. IEEE Transactions of Reliability, 43, 640644.
[92] Ruiz, J.M. and Navarro, J.(1996). Characterizations based on conditional expectations
of the doubled truncated distributions. Annals of the Institute of Statistical, 48, 563-572.
[93] Ruiz, J.M. and Navarro, J. (1996). Failure-rate functions for doubly truncated random
variables. IEEE Transactions of Reliability, 45, 685-690.
[94] Shaked, M. and Shanthikumar, J. G. (1991). Dynamic multivariate aging notions in
reliability theory. Stochastics Processes and Their Applications, 38, 85-98.
[95] Shaked, M. and Shanthikumar, J.G. (2007). Stochastic Orders. Springer Series in Statistics, Springer, New York.
[96] Shanthikumar, J. G. and Yao, D.D. (1986). The preservation of the likelihood ratio
ordering under convolution. Stochastic Processes and their Applications, 23, 259-267.
[97] Shanthikumar, J. G. and Yao, D.D. (1991). Bivariate characterization of some stochastic
order relations. Advances in Applied Probability, 23, 642-659.
[98] Singh and Jain (1989). Preservation of some Partial Orderings under Poisson Shock
Models. Advances Applied Probability, 21,713-716.
[99] Singh, H. and Vijayasree, G. (1991). Preservation of partial orderings under the formation of k-out-of-n:G systems of i.i.d. components. IEEE Transactions Reliability, 40,
273-276.
[100] Singh, H. and Misra, N. (1994). On redundancy allocations in systems. Journal of
Applied Probability, 31, 1004-1014.
[101] Valdéz, J.E. and Zequeira, R.I. (2003). On the optimal allocation of an active redundancy in a two-component series systems. Statistics and Probability Letters, 63,
325-332.
[102] Valdéz, J.E. and Zequeira, R.I. (2006).On the optimal allocation of two active redundancies in a two-component series system. Operational Research Letters, 34, 49-52.
[103] Zoroa,P; Ruiz, J.M. and Marı́n, J. (1990). A characterization based on conditional
expectations. Communications in Statistics: Theory and Methods, 19, 3127-3135
32