PDF (Logaritmos)

IV.
Logaritmos:
Se llaman l o g a r i t m o de un n ú m e r o al exponente
de l a potencia a que es p r e c i s o e l e v a r otro n ú m e r o
base p a r a r e p r o d u c i r el n ú m e r o d a d o .
llannado
• Es Innpor t a n t í s i m o c o m p r e n d e r e s t a definición p a r a a s í o b s e r var la r e l a c i ó n e x i s t e n t e e n t r e la función l o g a r í t m i c a y la función e x p o n e n c i a l .
(1)
(Base) exponente
(2)
L„ N ú m e r o
'base
Núnnero (Función Exponencial)
Exponento (Función l o g a r í t m i c a )
Ejemplo:
=
8
Función exponencial
=
3
Función l o g a r í t m i c a (se lee l o g a r i t m o en base
2 de 8
es igual a 3
^2
\
«,
Nota:
El ejemplo a n t e r i o r es
calculadora.
may útil m.^ndo •^'e
Ejercicios:
1.
H a l l a r el valor de x p a r a la e.xprosión log:> v - 8.
Como el p r o b l e m a e s t á en función l o g a r í t m i c a lo pagam o s a la función e x p o n e n c i a l .
3 =
base
8 =
p o t e n c i a * £icpoi\j£-is/Te'
X =
n ú m e r o o r e s u l t a d o pedido
=
2.
6561
H a l l a r el valor de x p a r a la e x p r e s i ó n
R/
log9 = 2
Tenemos:
f
X =
base
2 =
exponente
9 =
resultado
P a s a n á o a la f o r m a e x p o n e n c i a l :
x
+ 3
4
3.
Hallar el valor de x p a r a ta e x p r e s i ó n
(Nota:
Igx = 0.5
Cuando la base no se e x p r e s a se supone base 10)
Entonces:
10
=
base
0.5 =
X
exponente
=
resultado
10 0.5
El r e s u l t a d o a n t e r i o r se puede hacer en c a l c u l a d o r a ,
varias m a n e r a s .
Veamos una:
1.
Señalar
2.
3.
4-
A p r e t a r tecla xV o y^- que Indica "Elevado a"
A p r e t a r el exponente 0.5
Signo = (igual)
de
10
x = 3.16
Propiedades
de
los
Logaritmos
1«
Ig^^^^y = Ig X + 1{
2.
Ig x / y =
b
3.
l,¡
Igxb
a
I
Igy
b
IgJ
No se deben confundir las e x p r e s i o n e s s i g u i e n t e s , que son d i ferentes :
Igx
^b
^g^y
ih^
^g, x / y
b
Cuando la base es e , el l o g a r i t m o se denom,ina n a t u r a l o n e p e r i a n o y se denota en la siguiente f o r m a :
Igx =
e
Inx = 2 3
Igx
10
Conno puede o b s e r v a r s e el l o g a r i t m o n a t u r a l es un múltiplo del
l o g a r i t m o vulgar (base 10).
El l o g a r i t m o n a t u r a l , base de muchos problem,as matennáticos
de l a s ciencias n a t u r a l e s , s e r á muy usado en Ouímlca I I .
Do qué consta el logarltnno de un n ú m e r o :
Consta de una parte e n t e r a l l a m a d a c a r a c t e r í s t i c a que puede
s e r positiva, negativa ó c e r o , y una p a r t e d e c i m a l que tiene
que s e r positiva, denominada m a n t i s a Af O o» <
Como conocer la c a r a c t e r í s t i c a
1.
SI el núnnero es e n t e r o o e n t e r o con p a r t e d e c i m a l , la
c a r a c t e r í s t i c a c o r r e s p o n d e al núnnero de cifras e n t e r a s
menos una.
Ejemplos:
Número
N o . de cifras
enteras
1500
1500.75
575
5.75
2.
4
4
3
1
No.cifra.<í
- 1
Característlca
3
5
->
SI el n ú m e r o es menor que uno , la c a r á c t e r •'stica es n*^gativa y se calcula conno el n ú m e r o de c e r o s Incluyendo
el a n t e r i o r a la coma o punto decinnal.
Ejemplos:
Núnnero
.
Núnnero de c e r o s
Característica
0.5
1
í
0.05
2
2
0.005
3
3
0.0052
3
3
0.00502
3
3
El signo nnenos se coloca e n c i m a del n ú m e r o p a r a Indica.r que
solannente él es n e g a t i v o .
Como conocer la m a n t i s a . Es la p a r t e decimal que l o c a l i z a mos en la tabla con la ayuda del n ú m e r o ; s i e m p r e es positiva
Ejemplo:
Número
Mantisa ( + )
2000
200
20
2
0.2
0.02
.
.
.
.
,
.
30103
30103
30103
30103
30103
30103
1000
100
10
1
.
.
.
.
00000
00000
00000
00000
Nota j_:
O b s e r v e que la m a n t i s a es la misnna p a r a un n ú m e r o y sus
tnúltiplos o submúltiplos de 10.
La única diferencia e s t á en la c a r a c t e r í s t i c a , .
No. 2 ,
No existe l o g a r i t m o s p a r a núnneros n e g a t i v o s .
Otros ejemplos:
L
2000
= 3,30103
Lg
200
= 2„30103
Lg
20
= 1,30103
L
2
= 0.30103
Lg
0.2
= 1.30103 = - 1 , 0 + 0.30103 = - 0 . 6 9 8 9 7
L„
0.2
= L„ 2 X 10-1 = L„2 + L „ 1 0 - l = 0.30103 -1 L„10
6
6
6
6
6
= 0,30103 -1 = - 0 . 6 9 8 9 7
Lg
0.002
= 3.30103 = - 3 . 0 + 0.30103 = 2.6987
Lg
0,002
= Lg2 X 10-3
= Lg2 + LglO-3
= 0.30103
-3Lgl0
= 2,69897
Lg
(-0.02)
r: No e x i s t e .
Dado el l o g a r i t m o c a l c u l a r el^ núnnero a_que c o r r e s p o n d e .
T,a operación se denomina a n t i l o g a r i t m o ; lo h a c e m o s de dos
fornnas:
1,
C 3n ayuda de la definición de l o g a r i t m o , haciendo uso de
las ecuaciones (1) y (2) y con la ayuda de la c a l c u l a d o r a .
2.
Mediante el uso de tablas de l o g a r i t m o s .
Ejennplos :
1.
lg x
=
3
. *.
X = 103
=
1000
La base 10 g e n e r a l m e n t e se o m i t e .
2.
Igx
=
-3
=
3.
Ig X
=
-1.70
3.00
.
. • .
.
X = 10-^ = 0.001
X = 10-^-'^"
P a s o s a seguir en la c a l c u l a d o r a p a r a e s t e últinno
ejennplo:
a.
b.
c.
d.
Señalar 10
T e c l a x^ o y^ (observando si es n e c e s a r i o
h a c e r uso de inverso)
Señalar
1.70.
Tecla [ + /-} ; no I ~ I
Signo Igual.
X = 2 . 0 X 10^
R/
SI de lo q u e se dispone es de una tabla t e n d r í a m o s :
Igx
=
-1.70
Como - 1 . 7 0 es un núnnero e n t e r a m e n t e negativo debemos
t r a n s f o r m a r l o en un n ú m e r o de m a n t i s a positiva, s u m á n dole + 1 a la p a r t e decinnal y restándole 1 a la p a r t e
entera:
Igx = - 1 . 0 - 0.70 = ( - 1 . 0 - 1 . 0 ) + (1.0 - 0.70)
= (-2) + (+0.30)
= 2 . 3 0 ; (0.30 es la nnantisa)
N
2000
log (nnantisa
. 30
Antilog (log x) = Antilog 2.30
X = Antilog 2.30
x se busca con 0.30 en ia tabla y es el núnnero (N) de
la tabla con una cifra e n t e r a , multiplicando por una p o tencia de 10 cuyo exponente s e a Igual a la c a r a c t e r í s t i c a
con su r e s p e c t i v o s i g n o . Esto e s :
X = 2.0
X 10
-2
4.
Cal-ule x si loa.x
-• ' 13.95
Aquí no hay p'-oblema de t i g n o s , ya que la p a r t e
decimal o m a n t i s a es n o s i t i v a .
N I loe
9000
. 95
Pasos
a.
b.
Con 0.95 se lee el núnnero de la tabla con
una cifra e n t e r a , es d e c i r , 9 . 0 .
Se multiplica este n ú m e r o por una potencia
de 10 con un expcnente ipual a la c a r a c t e r í s t i c a : 9.'"^ X lo'^-'^
Entonces:
Antilog (Igx) - Antilog
13.95
x ^ n. o V- 10^3
El E j e r c i c i o r e s u e l t o por c a l c u l a d o r a
Igx = 13.95
. • .
serí.aj
X = lo''^-'^'^ = C.9I X lo'-^
= 9.0 X 10^-
Pasos;
a.
Señalar 10
' .
Tecla x^ o yX
c.
Señalar 13.95
d.
Signo Igual
o, en o t r a s c a l c u l a d o r a s ,
a.
b.
13.95
Tecla 10'^ (se hace uso de i n v e r s o según la
calculador a)
Con lo cual l l e g a r í a m o s a la respuest.n. dada inicialmente .
F o r m a r á p i d a de t r a n s f o r m a r logaritnnos negativos en l o g a r i t mos de m a n t i s a p o s i t i v a .
Consiste en aumentar en una unidad la p a r t e e n t e r a eonser vando el signo inenos; la nueva m a n t i s a (parte decimal) s e r á í
Lo
Lo
Lo
Lo
que
que
que
que
falta
falta
falta
falta
para
para
para
para
10, si es h a s t a
100, si es h a s t a
1000, si es h a s t a
10.000, si es h a s t a
décimas
centésimas
nnlléslma.=!
dieznnilésimas
Ejemplo 1 .
1.7
2.75
-
= 2.3
= 3.25
13.756
=14.244
- 200,7323
=201.2677
Ejemplo 2 .
Hallar x p a r a la e x p r e s i ó n
Lg X = ~ 13.70
Transfornnando el logarltnno
. • „
anterior,
queda:
Lg X = P 4 . í t
—
Antilog (Lg x) = Antilog 14.30
-l'^
. ' .
x = 2 . 0 x 10
X se busca en la tabla con la m a n t i s a . 30. Al n ú m e r o hallado
se le coloca una cifra e n t e r a y se nnultlpllca por una potencia
de 10 cuyo exponente s e a Igual a la c a r a c t e r í s t i c a , p a r a l l e g a r
a la r e s p u e s t a pedida; utilizando la c a l c u l a d o r a es mucho m á s
r á p i d o . Los pasos s e r í a n :
1.
P a s a m o s de la función l o g a r í t i n l c a a la función
cial
X = 10-13.70
2.
Apretamos
3.
Tecla
"*•
'O
13.70
| +/,[ ; no T J l
(se hace uso de I n v e r s o en c a s o n e c e s a r i o )
Ejemplo 3,
Hallar y p a r a la e x p r e s i ó n :
Ln y = - 2 , 5
exponen-
10
Lo que equivale a d e c i r :
L%y = - 2 . 6
Método p a r a r e s o l v e r este
1,
problenna con c a l c u l a d o r a :
C o n v e r t i m o s la función l o g a r í t m i c a a la función exponencial.
y = e-2«^'
2,
Apretamos
3,
Tecla
4,
Tecla e^
2,6
[+71
se hace uso de Inverso en c a s o n e c e s a r i o )
, • ,
y = 0.074
E j e r c i c i o s con logaritinos
Efectué las o p e r a c i o n e s I n d i c a d a s .
1,
Log x = -2
2,
Lg 2»10-'^ =
3.
Lg y = 5
y = ?
4„
Lg X + Log 2 = Log 4
X
=
.•'
5.
Log X - Log 2 = Log 4
X
=
?
6.
Logx
Log2
X
=
?
7.
y =-Log 2 X 10-3
y = ?
8,
5 = - Log k
k = ?
9.
Logx = -3.35
V
=
•?
10„
Logk =
IL
LoggX = 3 = Lnx
X
=
9
12.
Lny = - 3 . 5
^ 5
X = ?
4.65
> = .'