Examen Junio 2009 opción B

IES la Serna
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Comunidad de Madrid. Año 09. Septiembre. Opción B
Ejercicio 1. (3 puntos)
x-y+ z = 3

Se considera el siguiente sistema, dependiente del parámetro k:  x + ky + z = 3
 kz - 3z = 6

a) Discútase el sistema según los valores de k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para k=3
Solución:
a) Discusión:
1 −1 1
1 −1 1 


C= 1 k
1 ⇒ C = 1 k
1 = − k 2 − 4k − 3 ⇒ – k2–4k – 3= 0 ⇒ k= –3, k = – 1
 k 0 − 3
k 0 −3


•
•
Para k ≠ –3, k ≠ –1 ⇒ R(C) = R(A) = nº de incógnitas = 3, sistema compatible
determinado.
Para k = –3, se estudian los rangos de la matriz de los coeficientes C y de la ampliada A
 1 − 1 1 3  ( F2 − F1 ) /(− 2)  1 − 1 1 3  F1 + F2




R ( A) = R 1 − 3 1 3 
=
R 0 1 0 0 
=
 − 3 0 − 3 6
 0 − 3 0 15  F + 3F
F3 + 3F1
2



 3
1 0 1 3


R 0 1 0 0 
 0 0 0 15 


R(C) = 2 < R(A) = 3, sistema incompatible.
•
Para k = –1, se estudian los rangos de la matriz de los coeficientes C y de la ampliada A
 1 − 1 1 3  F2 − F1  1 − 1 1 3 




R( A) = R 1 − 1 1 3  =
R 0 0
0 0
 − 1 0 − 3 6 F + F  0 − 1 − 2 9
1

 3


R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas, sistema compatible indeterminado.
b) Resolver en el caso en que tenga infinitas soluciones (para k = –1).
Escribiendo el sistema desde la última matriz de la discusión del sistema:
x − y + z = 3

− y − 2z = 9 
x = − 6 − 3λ 
E1 − E 2
x + 3z = − 6 

⇒
 ⇒ La solución es: y = − 9 − 2λ 
y = − 9 − 2z

z= λ

c) Resuélvase el sistema para k = 3
Por Cramer:
C = − 3 2 − 4 ⋅ 3 − 3 = –24
x=
3 −1 1
3 3
1
6 0 −3
− 24
=
5
2
y=
1 3 1
1 3 1
3 6 −3
− 24
= 0
z=
1 −1 3
1 3 3
3 0 6
− 24
=
1
2
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Ejercicio 2. (3 puntos)
El beneficio semanal (en miles de euros) que obtiene una central lechera por la producción de
leche desnatada está determinado por la función:
B(x) = – x2 + 7x – 10
En la que x representa los hectolitros de leche desnatada producidos en una semana.
a) Represéntese gráficamente la función B(x) con x ≥ 0.
b) Calcúlense los hectolitros de leche desnatada que debe producir cada semana central
lechera para maximizar su beneficio. Calcúlese dicho beneficio máximo.
c) Calcúlense las cantidades mínima y máxima de hectolitros de leche desnatada que debe
producir la central lechera cada semana para no incurrir en pérdidas (es decir, beneficio
negativo)
Solución:
a) Representación:
b) B’(x) = – 2x + 7
B’(x) =0 ⇔ – 2x + 7 = 0 ⇔ x =
B’’(x) = – 2 > 0 ⇒
x=
7
2
7
es un máximo de B(x)
2
Po lo tanto, el beneficio es máximo cuando se producen 3,5 Hectolitros en una semana
 7 9
B  = = 2,25
 2 4
c)
Luego el beneficio máximo semanal es de 2250 €
P1 = (2,0)
y = − x 2 + 7 x − 10
 ⇒
P2 = (5,0)
y= 0

Por lo tanto, y a la vista de la gráfica, hay que producir más de 2 Hectolitros semanales y
menos de 5.
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Ejercicio 3. (2 puntos)
La probabilidad de que a un habitante de un cierto pueblo de la Comunidad de Madrid le guste
la música moderna es igual a 0,55; la probabilidad de que le guste la música clásica es igual a
0,40 y la probabilidad de que no le guste ninguna de las dos es igual a 0,25. Se elige al azar un
habitante de dicho pueblo. Calcúlese la probabilidad de que le guste:
a) al menos uno de los dos tipos de música.
b) la música clásica y también la música moderna.
c) sólo la música clásica.
d) sólo la música moderna.
Solución:
P (Moderna) = 0,55
P (Clásica) = 0,4
P (Modernac ∩ Clásicac) = 0,25
a) P (Moderna U Clásica) = 1– P (Modernac ∩ Clásicac) = 1 – 0,25 = 0,75
Luego la probabilidad de que le guste al menos un tipo de música es igual a 0,75.
b) P (Moderna U Clásica) = P (Moderna) + P (Clásica) – P (Moderna ∩ Clásica)
P (Moderna ∩ Clásica) = P (Moderna) + P (Clásica) – P (Moderna U Clásica) =
= 0,55 + 0,4 – 0,75 = 0,2
Luego la probabilidad de que le gusten los dos tipos de música es igual a 0,2.
c) P (Clásica ∩ Modernac) = P (Clásica) – P (Moderna ∩ Clásica) = 0,4 – 0,2 = 0,2
Por lo tanto, la probabilidad de que le guste sólo la música clásica es igual a 0,2.
d) P (Clásicac ∩ Moderna) = P (Moderna) – P (Moderna ∩ Clásica) = 0,55 – 0,2 = 0,35
La probabilidad de que le guste sólo la música moderna es igual a 0,35.
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Ejercicio 4. (2 puntos)
Se supone que la estancia (en días) de un paciente en un cierto hospital se puede aproximar
por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 9 días. De una
muestra aleatoria simple formada por 20 pacientes, se ha obtenido una media muestral igual a
8 días.
a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la estancia media de un paciente en
dicho hospital.
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse para que dicho intervalo de
confianza tenga una longitud total inferior o igual a 4 días?
Solución:
a) Intervalo de confianza:
1 – α = 0,95 se tiene que P ( − Z α
≤ Z ≤ Z α / 2 ) = 0,95
P (− Z α / 2 ≤ Z ≤ Z α / 2 ) = P ( Z ≤ Z α / 2 ) − (1 − P ( Z ≤ Z α / 2 )) = 0,95
0,95 + 1
P(Z ≤ Z α / 2 ) =
= 0,975 ⇒ Z α / 2 = 1,96
2

9
9 
,8 + 1,96 ⋅
 = (4’1, 11’9)
El intervalo es:  8 − 1,96 ⋅
20
20 

/2
Se tiene que µ ∈ (4’1, 11’9) con una probabilidad del 95%. Es decir, con una confianza del
95% se puede estimar que el tiempo medio de estancia en un hospital va a estar
comprendido entre 4,1 y 11,9 días.
b) El tamaño muestral se obtiene a partir del error máximo admitido, y este de la amplitud
del intervalo, en este caso, c = 4.
ε max =
4
= 2
2

σ
ε max ≥ Z α ⋅
⇒ n ≥  Z α ⋅
2
n
 2 ε max
El valor crítico es el mismo que el del apartado anterior: Z α =
σ
2

Sustituyendo ⇒ n ≥  Z α ⋅

2
σ
ε
max
2
2



1,96
2

9
 =  1,96 ⋅  = 77,79
2


Por lo tanto, se debe tomar una muestra de al menos 78 pacientes.
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