Esquema de los contenidos del tema 15

Análisis de Datos I
Esquema del Tema 15
Tema 15: Contrastes de hipótesis sobre algunos
parámetros
1. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA, 
Conocida 
Desconocida 
2. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA CORRELACIÓN, 
__________________
Bibliografía: Tema 15 (págs. 379-402)
Ejercicios recomendados del libro: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 y 9.
Carmen Ximénez
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Análisis de Datos I
Esquema del Tema 15
1. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA, 
Para contrastar hipótesis sobre el valor de una media vamos a distinguir dos casos: aquellos en los que se
conoce la varianza poblacional, 2, y aquellos en los que no se conoce. Aunque el primer caso es muy
infrecuente en la práctica, por razones didácticas se suele exponer en primer lugar.
Contraste de hipótesis sobre la media, conocida σ
El procedimiento consiste, como ya hemos visto en el tema anterior, en aplicar el esquema habitual con
los siguientes pasos:
1) Hipótesis. Si se trata de un contraste bilateral, éstas serán de la forma,
H0: µ = µ0
H1: µ ≠ µ0
2) Supuestos.
- La población se distribuye N(µ; σ) o la muestra es suficientemente grande como para
asumir la normalidad basándonos en el Teorema Central del Límite.
- La media muestral se ha obtenido sobre una m.a.s.
- Conocemos σ.
3) Estadístico de Contraste y su distribución bajo H0 verdadera. Z 
X  0

N
~ N(0; 1)
4) Regla de Decisión, basada en el nivel de significación (α) adoptado.
Rechazar si Z ≥ 1-α/2z ó Z ≤ α/2z
No rechazar si α/2z < Z < 1-α/2z
5) Decisión y Conclusión.
Ejemplo 1. Supongamos que queremos contrastar la hipótesis de que la media poblacional en una
determinada variable, X, es igual a 100, sabiendo que la varianza poblacional es igual a 64. Para ello
extraemos una m.a.s. de 25 observaciones y calculamos su media aritmética en X, que resulta ser igual a
103. Establecemos un nivel de significación (α) de 0,05.
1) Hipótesis. H0: µ = 100
H1: µ ≠ 100
2) Supuestos.
(Adviértase que en el problema no se especifica nada sobre la
dirección de la diferencia entre 100 y la media poblacional real, en
caso de ser falsa H0, por lo que se realiza un contraste bilateral)
- La población se distribuye N(µ; 8)
- Se trata de una m.a.s.
- Conocemos σ
3) Estadístico de Contraste. En las condiciones indicadas, Z 
4) Regla de decisión.
103  100
 3,125 ; donde Z ~ N(0; 1)
8 25
Rechazar si Z ≥ 1,96 ó Z ≤ -1,96
No rechazar si -1,96 < Z < 1,96
5) Decisión y Conclusión. Como 3,125 > 1,96 rechazamos H0.
Concluimos que la evidencia aconseja rechazar, según la regla de decisión
adoptada, la hipótesis de que la media poblacional sea igual a 100.
Carmen Ximénez
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Análisis de Datos I
Esquema del Tema 15
Contraste de hipótesis sobre la media, desconocida σ
Con mucha frecuencia nos encontraremos en una situación como la anterior pero con la diferencia de que
no conoceremos la varianza poblacional, σ2. Es decir, queremos contrastar si la media poblacional toma
cierto valor y podemos asumir la normalidad de la población (o se trata de una muestra grande) y que la
media se ha obtenido en una m.a.s. Si la única diferencia con el escenario anterior es que no conocemos la
varianza poblacional (algo bastante razonable, dado que será raro que no conozcamos µ y en cambio
conozcamos σ) entonces podemos recurrir a un estadístico similar al anterior, pero en el que en lugar de
aparecer σ en el denominador aparece su estimador, SN o SN-1 (la desviación típica de la muestra), aunque en
ambos casos la distribución es la misma: tN-1. El esquema, muy similar al del caso anterior, es el siguiente:
1) Hipótesis.
H0: µ = µ0
H1: µ ≠ µ0
2) Supuestos.
- La población se distribuye N(µ; σ) o la muestra es suficientemente grande como para
asumir la normalidad basándonos en el TLC.
- La media muestral se ha obtenido sobre una m.a.s.
- Desconocemos σ.
3) Estadístico de Contraste. T 
X  0
S N 1
N
~
tN-1
o
T
X  0
SN
N -1
~
tN-1
4) Regla de Decisión. Rechazar si T ≥ 1-α/2tN-1 ó T ≤ α/2tN-1
No rechazar si α/2tN-1 < T < 1-α/2tN-1
5) Decisión y Conclusión.
Ejemplo 2. Supongamos que queremos contrastar la hipótesis de que la media poblacional en una
determinada variable, X, es igual a 80. Extraemos una m.a.s. de 81 observaciones y en ella obtenemos que
su media es 75,8 y su varianza ( S N2 1 ) es igual a 236. Establecemos un nivel de significación (α) de 0,01.
1) Hipótesis.
H0: µ = 80
H1: µ ≠ 80
2) Supuestos.
- La población se distribuye N(µ; σ)
- Se trata de una m.a.s.
- Desconocemos σ.
3) Estadístico de Contraste.
T
X  0
S N 1
N

75,8  80
 -2 , 461 ; donde T ~ t80
15, 36 81
4) Regla de decisión, con el nivel de significación adoptado (α = 0,01),
Rechazar si T ≥ 2,639 ó T ≤ -2,639
No rechazar si -2,639 < T < 2,639
5) Decisión y Conclusión. Como el valor obtenido (-2,461) está entre ± 2,639 Mantenemos H0.
La evidencia aconseja no rechazar, según la regla de decisión adoptada, la
hipótesis de que la media poblacional sea igual a 80; la evidencia observada es
compatible con ella.
Carmen Ximénez
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Análisis de Datos I
Esquema del Tema 15
2. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA CORRELACIÓN, 
El caso que exponemos aquí es única y exclusivamente aquel en el que queremos contrastar si la
correlación de Pearson poblacional es 0. Los contrastes sobre cualquier otro valor exigen otros elementos
que se expondrán en la asignatura de Análisis de Datos II. No obstante, el contraste del valor 0 es, con
mucho, el más interesante y el que con mayor frecuencia se emplea.
* Se trata de contrastar la independencia lineal entre dos variables; es decir, si la correlación poblacional
(ρ) es igual a 0. Para ello necesitamos especificar un escenario en el que podamos definir un Estadístico
de Contraste con una distribución conocida con la que establecer la regla de decisión. El escenario
buscado es el que se resume en el siguiente esquema, en el que se llega a un Estadístico de Contraste que
bajo hipótesis nula verdadera se distribuye según la t de Student con N – 2 grados de libertad (tN-2).
1) Hipótesis.
H0: ρ = 0
H1: ρ ≠ 0
2) Supuestos.
- Las dos variables a las que se refiere la correlación son normales.
- La correlación muestral, rxy, se ha obtenido sobre una m.a.s. de pares de valores de X e Y.
3) Estadístico de Contraste. T 
rxy N - 2
1  rxy2
~ tN-2
4) Regla de Decisión. Rechazar si T ≥ 1-α/2tN-2 ó T ≤ α/2tN-2
No rechazar si α/2tN-2 < T < 1-α/2tN-2
5) Decisión y Conclusión.
Ejemplo 3. Supongamos que queremos contrastar si a nivel poblacional las variables X e Y son
linealmente independientes. Extraemos una m.a.s. de 62 observaciones y en ella obtenemos una
correlación de 0,28. Por estudios anteriores sabemos que podemos asumir que se trata de variables
normales. Establecemos un nivel de significación (α) de 0,05.
1) Hipótesis.
H0: ρ = 0
H1: ρ ≠ 0
2) Supuestos.
- Ambas variables se distribuyen Normalmente en la población.
- Se trata de una m.a.s.
3) Estadístico de Contraste. T 
rxy N - 2
1  rxy2

0 , 28 62 - 2
1  0 , 28 2
 2 , 259 ; donde T ~ t60
4) Regla de Decisión. Rechazar si T ≥ 2,000 ó T ≤ -2,000
No rechazar si -2,000 < T < 2,000
5) Decisión y Conclusión. Como 2,259 no está entre ± 2,000, Rechazamos H0.
La evidencia aconseja rechazar, según la regla de decisión adoptada, la hipótesis de
que en la población estas variables sean linealmente independientes; la evidencia
observada no es compatible con ella.
Carmen Ximénez
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Análisis de Datos I
Esquema del Tema 15
Selección de una prueba de significación estadística
1. Diseño experimental empleado
- Una, dos o más muestras
- Independientes o relacionadas
2. Características de los datos
- Escala de medida (cuantitativas vs. Cualitativas)
- Distribución de la población (pruebas paramétricas vs. no paramétricas)
- Tamaño de la muestra
3. Importancia del cumplimiento de los supuestos
Tipos de contrastes: esquema
CONTRASTES CON UNA MUESTRA
Parámetro
Media, 
Correlación, 
Supuestos y condiciones
Estadístico y
Distribución
- Normalidad
X  0
Z
~ N(0; 1)
- Conocida 
N

- m.a.s.
- Normalidad
X  0
T
~ tN-1
- Desconocida 
S N 1 N
- m.a.s.
- Normalidad
rxy N - 2
~ tN-2
- Hipótesis de independencia lineal,  = 0 T 
2
1

r
- m.a.s.
xy
Proporción, 
Binomial
Varianza, 2
Chi-cuadrado
CONTRASTES CON DOS MUESTRAS
Parámetro
Igualdad de medias,
1 = 2
Supuestos y condiciones
Muestras independientes
- Asumiendo 21 = 22
- Asumiendo 21  22
Muestras relacionadas
Igualdad de varianzas,
21 = 22
Muestras independientes
Igualdad de proporciones,
1 = 2
Muestras independientes
Carmen Ximénez
Muestras relacionadas
Muestras relacionadas
Estadístico y
Distribución
t de Student
t de Student
F de Snedecor
t de Student
N(0;1)
Binomial
5