Modelos para la Tendencia y la Estacionalidad

Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad
.
Norman Giraldo Gómez
Escuela de Ingenierı́a de la Organización
Universidad Nacional de Colombia, Medellı́n
.
Curso de Series de Tiempo y Econometrı́a
01 - 2009
Medellı́n
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 1/20
Contenido
1. El Supuesto de Descomposición de una Serie de Tiempo
2. Modelos para la Componente de la Tendencia
3. Modelos para la Componente de la Estacionalidad
4. Pronósticos
5. Análisis Adicionales
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 2/20
El Supuesto de Descomposición
El supuesto de la descomposición de una serie de tiempo
y(t), t = 1, . . . , T asume que se puede escribir yt de las formas siguientes:
y(t) = T (t) + S(t) + e(t)
(1)
y(t) = T (t)S(t) + e(t)
(2)
donde T (t) y S(t) son funciones determinísticas de t y e(t) es aleatoria.
Se denominan
1. T (t) = componente de tendencia
2. S(t) = componente de estacionalidad. Una función de período s.
3. e(t) = componente aleatoria ó error estructural.
4. La suma T (t) + S(t), ó el producto T (t)S(t) se denomina la
componente estructural.
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 3/20
El Supuesto de Descomposición
1. La idea esencial de la tendencia es que es una serie más suave que
la original
2. La tendencia es el cambio a largo plazo en el nivel medio de la serie
(Chatfield)
3. La tendencia es el cambio a largo plazo despues de remover otros
componentes de la serie
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 4/20
Modelamiento de la Tendencia
Según Chatfield, pag. 9:
“ Los métodos tradicionales del análisis de series de tiempo consideran
principalmente la descomposición de la variación en tendencia, variación
estacional, cambios cíclicos, y las fluctuaciones restantes irregulares.
Esta estrategia de análisis no es siempre la mejor pero es
particularmente valiosa cuando la variación está dominada por una
tendencia y/o una estacionalidad.
Sin embargo, es importante anotar que la descomposición generalmente
no es única a menos que se hagan ciertos supuestos".
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 5/20
Ejemplo de Serie con Tendencia Lineal
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 6/20
Ejemplo de Serie con Tendencia Lineal
Example 1.2 Global Warming (Shumway and Stoffer, pag. 5)
Considere el registro de temperaturas globales, discutidas en Jones
(1994) and Parker et al. (1994, 1995). Los datos en Figura 1.2 son una
combinación de promedios de anomalías de temperaturas superficiales y
aéreas medidas en grados centígrados , para los años 1900-1997.
Notamos la tendencia creciente en la serie que ha sido usada como un
argumento para la hipótesis del calentamiento global.
Es de interés para los que proponen el calentamiento global decidir si la
tendencia es natural o está causada por alguna interferencia humana
El problema de la tendencia aquí es más interesante que las
periodicidades
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 7/20
400
300
200
100
AirPassengers
500
600
Ejemplo de Serie con Tendencia Lineal
1950
1952
1954
1956
Time
1958
1960
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y la Estacionalidad. – p. 8/20
10
2 Getting Started
US net electricity generation
1000
3000
Billion kwh
7
6
5
4
3
2
Percentage per annum
8
5000
US 10−year bonds yield
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
1970
1990
2010
Year
UK passenger motor vehicle production
Overseas visitors to Australia
1980 1985 1990 1995 2000 2005
600
400
200
300
400
Thousands of people
500
800
Year
200
Thousands of cars
1950
1985
Year
1990
1995
2000
2005
Year
Fig. 2.1. Four time series showing point forecasts and 80% prediction intervals
obtained using exponential smoothing state space models.
Cycle (C ): A pattern that repeats with some regularity but
with unknown and changing periodicity (e.g., a
business cycle)
Irregular or error ( E): The unpredictable component of the series
In this monograph, we focus primarily upon the three components T, S and
E. Any cyclic element will be subsumed within the trend component unless
indicated otherwise.
These three components can be combined in a number of different ways.
A purely additive model can be expressed as
y = T + S + E,
where the three components are added together to form the observed series.
A purely multiplicative model is written as
y = T × S × E,
where the data are formed as the product of the three components. A seasonally adjusted series is then formed by extracting the seasonal component
2
EDA of short term visitor arrivals to New Zealand
China
8000
6000
0 2000
60000
20000
Other
Total
50000
200000
Germany
10000
0
4000
60000 100000
20000
15000
15000
5000
15000 0
1985
1990
1995
2000
2005
0
Korea
1980
5000
Japan
5000
USA
25000
0
UK
4000020000
Australia
We consider 25 complete years of monthly short term visitor arrival series from January
1980 to December 2004. The arrivals are from the seven most important countries of
origin, ranked by current proportion of the total: Australia, UK, USA, Japan, Korea,
China, Germany, as well as a residual series from ‘Other’ origins. We analyse these series
individually along with their aggregate, denoted ‘Total’.
As seen in Figure 1 a ‘U’-shaped seasonal pattern is common, with visitor numbers
reaching a local maximum in the summer months December to February, and a local
minimum in the winter months June and July. Australian and UK arrivals appear to be
growing at a relatively steady rate. In contrast, a large downturn in arrivals from the USA
is evident in the late 1980s, a period which immediately followed the stock market crash of
October 1987. The trend in Japanese arrivals levels off over the last 15 years. The effect
of the Asian financial crisis of 1997 is evident especially in the Korean data, with visitor
numbers dramatically reduced just after this event. Arrivals from China contain perhaps
the most visible short term effect in these series, which is due to the SARS epidemic that
virtually eliminated international travel by Chinese nationals during May and June 2003.
German arrivals show a clear change from exponential growth prior to the early 1990s
to a more stable pattern in recent times. The Other arrivals show a SARS effect much
less prominent than that seen in the Chinese arrivals, as do some further series including
Total arrivals. One of the more obvious shifts in the aggregate Total series appears to be
linked to the Korean downturn, which can be attributed to the Asian financial crisis.
1980
1985
1990
1995
2000
2005
Figure 1: Monthly short term visitor arrivals to New Zealand, by origin, from January 1980 to
December 2004. The vertical scales are not equal.
The Asian financial crisis of 1997-1998 markedly affected stock markets and exchange
3
Modelamiento de la Tendencia
El objetivo es estimar la componente Tt , T̂t , para examinar la tendencia a
corto plazo
Además, producir una nueva serie sin tendencia (detrended),
(1)
yt = yt − T̂t .
Además, poder calcular pronósticos (cuando sea posible!) a partir de T
con T̂T +j , j = 1, 2, . . . , h.
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 9/20
Métodos de Descomposición en R
Para modelar la tendencia en R Tt se pueden considerar varias
alternativas. Algunas estiman conjuntamente tendencia y estacionalidad.
1. Tt se asume un polinomio en t hasta de grado 3.
T (t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 . Los coeficientes aj se estiman
mediante regresión lineal múltiple.
2. T (t) se asume una función no lineal: T (t) = exp(a0 + a1 t),
T (t) = (a0 + a1 bt )−1 .
3. Utiliizar un filtro lineal.
4. Utilizar el procedimients STL un filtro de regresión lineal local.
5. utilizar un modelo de espacio de estados.
6. Utilizar los métodos de suavizamiento de Holt-Winters.
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 10/20
Modelamiento de la Tendencia con Polinomios
Para series y(t) cuya variación aparezca dominada o determinada por
una tendencia constante, lineal, cuadrática, de tipo sigmoidal es decir,
con una asíntota a largo plazo, puede estimarse la tendencia mediante
regresión lineal múltiple ó regresión no lineal. Por ejemplo
1. y(t) = a0 + ǫ(t)
2. y(t) = a0 + a1 t + ǫ(t)
3. y(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + ǫ(t)
4. y(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + ǫ(t)
5. y(t) = (a0 + a1 bt )−1 + ǫ(t)
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 11/20
Modelamiento mediante un filtro lineal
1. En este método se asume que las componentes Tt y St se pueden modelar
mediante filtros lineales. Ver comentario de Chatfield sobre la utilidad de los
filtros lineales para la tendencia.
2. Un filtro lineal es otra serie xt que se calcula a partir de la serie original yt y
se define a partir de un vector de coeficientes, a = (a1 , . . . , aq ), tal que
xt = a1 yt−1 + a2 yt−2 + . . . + aq yt−q .
3. Los coeficientes aj se pueden escoger arbitrariamente ( se verá en los filtros
Holt-Winters) ó usar valores por defecto (ver más adelante).
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 12/20
Modelamiento mediante un filtro lineal
1. Este método está implementado en R en la función “decompose".
2. La forma de usar la función es: si y es un objeto “ts" se escribe
x = decompose(y, type = c(“additive", “multiplicative"), filter = NULL)
en type se debe escoger una de las dos alternativas:“additive",
“multiplicative"
3. El modelo aditivo significa: y(t) = T (t) + S(t) + e(t). El modelo
multiplicativo significa: y(t) = T (t)S(t) + e(t).
4. Si no se especifica el tipo de filtro, colocando filter = NULL, se utiliza
un filtro lineal simétrico, de la forma general
Pn−1
1
x(t) = n j=0 y(t + (1/2)(n − 1) − j para un n fijo. Por ejemplo, para
1
n = 13 se genera x(t) = 12
(y(t + 6) + . . . + y(t) + . . . + y(t − 6)).
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 13/20
Modelamiento mediante un filtro lineal
1. El objeto “x" tiene componentes:
2. seasonal = la componente estacional S(t)
3. trend = la tendencia T (t)
4. random = la parte aleatoria e(t)
5. El método no permite calcular pronósticos
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 14/20
Filtrado con Regresiones Locales: STL
◮ Está basado en una método de descomposición de series
denominado STL, introducido por Cleveland, R.B, Cleveland, W.S.,
McRae, J.E. and Terpenning, I. (1990). "STL : a Seasonal-Trend
Decomposition Procedure based on Loess". Journal of Official
Statistics. 6,(1),3-73. Como una alternativa al método Census II.
◮ No permite pronósticos
◮ Explicación de la idea de regresión local: loess.
◮ Se implementa en la función R "stl()".
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 15/20
Filtrado con Regresiones Locales: STL
◮ fit = stl(x, t.window, s.window,...)
◮ x es una serie de tiempo como objeto ts
◮ La componente de tendencia se estima usando loss "local polynomial
regression",
◮ El grado de suavizamiento del estimador de la tendencia se controla
con t.window, pero tiene un valor de defecto razonable. Toma valores
enteros. A mayor valor mayor suavizamiento.
◮ s.window se puede igualar a "periodic", ó a un entero que controla el
suavizamiento de la componente estacional
◮ produce un objeto con tres componentes (columnas): seasonal,trend,
irregular
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 16/20
Filtrado con un Modelo 1 de Espacio de Estados 1
1. El modelo asume que la tendencia (“level"’) T (t) evoluciona aleatoriamente
de acuerdo a un modelo llamado “marcha aleatoria", y la series resulta de
medir esa tendencia más un error.
T (t + 1)
=
T (t) + ξ(t), ξ(t) ∼ N (0, σξ2 )
(3)
y(t)
=
T (t) + e(t), e(t) ∼ N (0, σe2 )
(4)
Hay dos parámetros en el modelo, las varianzas σξ2 , σe2 .
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 17/20
Filtrado con un Modelo 2 de Espacio de Estados
En esta versión la tendencia evoluciona aleatoriamente con dos componentes,
según marchas aleatorias, de acuerdo al sistema
T (t + 1)
=
T (t) + n(t) + ξ(t), ξ(t) ∼ N (0, σξ2 )
(5)
n(t + 1)
=
n(t) + ζ(t), ζ(t) ∼ N (0, σζ2 )
(6)
y(t)
=
T (t) + e(t), e(t) ∼ N (0, σe2 )
(7)
con tres parámetros varianzas. Es posible que σζ2 = 0 en cuyo caso se reduce la
modelo 1) ó σξ2 = 0, en el cual aparece una tendencia suave.
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 18/20
Filtrado con un Modelo 3 de Espacio de Estados
T (t + 1)
=
T (t) + n(t) + ξ(t), ξ(t) ∼ N (0, σξ2 )
(8)
n(t + 1)
=
n(t) + ζ(t), ζ(t) ∼ N (0, σζ2 )
(9)
s(t + 1)
=
2
−s(t) − ... − s(t − s + 2) + w(t), w(t) ∼ N (0, σw
)
(10)
x(t)
=
T (t) + s(t) + ǫ(t), ǫ(t) ∼ N (0, σǫ2 )
(11)
2
= 0 corresponds to a deterministic (but arbitrary) seasonal
The boundary case σw
pattern.
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 19/20
Modelamiento de la Estacionalidad
Enders, pag. 111
“Muchos procesos económicos muestran alguna forma de estacionalidad. Los
sectores de la agricultura, la constucción, (hotelero?) y transporte muestran
patrones estacionales obvios que resultan de la dependencia del clima.
Similarmente, los días de fiesta como Navidad, día de acción de gracias, tienen
efectos pronunciados sobre las ventas. De hecho, la variación estacional puede
explicar de manera preponderante la totalidad de la varianza en algunas series".
Modelos para la Tendencia
y la Estacionalidad. – p. 20/20