1 Calcula la expresión algebraica del perímetro de un triángulo

1
Calcula la expresión algebraica del perímetro de un triángulo donde las longitudes de sus lados son 3
números consecutivos.
Solución:
El perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados.
Tres números consecutivos son: x, x + 1, x + 2
Así, perímetro = x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3
2
Escribe, empleando el lenguaje algebraico, las siguientes frases:
a)
b)
c)
d)
Un número sumado a 8 es igual a 36.
La mitad de un número más 7 es igual a 15.
La cuarta parte de un número más 12 es igual al número.
El cubo de un número menos su cuadrado es 100.
Solución:
a)
x + 8 = 36
x
b)
+ 7 = 15
2
c)
x
4
3
d)
3
+ 12 = x
2
x - x = 100
Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
2
4x + 2x
7a + 3b
8x - 5x + x
2
x -x
3
2
x + 3x
2
2
2
9x - 2x + 5x
Solución:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4
2
2
2
4x + 2x = 6x
No se puede reducir
8x - 5x + x = 4x
No se puede reducir
No se puede reducir
2
2
2
2
9x - 2x + 5x = 12x
2
Halla el valor numérico de 5x + 2x - 7 para:
a)
b)
c)
x=3
x=0
x = -2
Solución:
a)
b)
c)
5
2
5 — 3 + 2 — 3 - 7 = 45 + 6 - 7 = 44
2
5 — 0 + 2 — 0 - 7 = -7
2
5 — (-2) + 2 — (-2) - 7 = 20 - 4 - 7 = 9
Completa la tabla calculando los valores de las expresiones algebraicas dadas para los distintos valores de
a y b.
2
2
a +b
2
2
a -b
2
b
(a + b)
2
1
9
3
4
-3
2
-5
-1
a
b
(a + b)
2
1
(2 + 1) = 9
2 +1 =5
(2 − 1) = 1
2 −1 =3
3
4
49
25
1
−7
−3
2
1
13
25
5
−5
−1
36
26
16
24
5
(a - b)
2
a
2
1
2
2 -1 =3
Solución:
6
2
2
2
a +b
2
2
2
(a − b)
2
2
2
a −b
2
2
2
Calcula la expresión algebraica del perímetro de un rectángulo que cumple que la medida de la base es el
doble que la altura. Si la altura mide 4 cm, ¿cuánto mide el perímetro?
Solución:
El perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados.
x
2x
Perímetro = x + x + 2x + 2x = 6x
Si x = 4 cm ; Perímetro = 6 — 4 = 24 cm
7
Comprueba si los siguientes valores de x son soluciones de la ecuación correspondiente:
a)
b)
c)
d)
2 — (x + 2) = x - 1, para x = 4
2x - 7 = 5, para x = 6
5 - x = 7, para x = -2
8 — (x + 5) = 30x, para x = -1
Solución:
Se sustituye el valor de x en los miembros de la ecuación y se ve si se obtiene el mismo valor.
a) 2 — (x + 2) = x - 1, para x = 4 ; 2 — (4 + 2) = 12 y 4 - 1 = 3 ; x = 4 no es solución
b) 2x - 7 = 5, para x = 6 ; 2 — 6 - 7 = 5 y 5 = 5 ; x = 6 es la solución de la ecuación
c) 5 - x = 7, para x = -2 ; 5 - (-2) = 7 y 7 = 7 ; x = -2 es la solución de la ecuación
d) 8 — (x + 5) = 30x, para x = -1 ; 8 — (-1 + 5) = 32 y 30 — (-1) = 30 ; x = -1 no es la solución de la ecuación.
8
Estudia si alguno de los siguientes valores es la solución de la ecuación:
3x + 4 − 2x = x − 1 + 5 x
a) 3
b)) -2
c) 0
d)) -1
e) 1
Solución:
a)
b)
c)
d)
e)
9
x = 3: 3 — 3 + 4 − 2 — 3 = 3 − 1 + 5 — 3 ⇒ 9 + 4 − 6 = 3 − 1 + 15 ⇒ 7 = 17 No es solución.
x = −2: 3 — (−2) + 4 − 2 — (−2) = −2 − 1 + 5 —(−2) ⇒ −6 + 4 + 4 = −2 − 1 − 10 ⇒ 2 = −13 No es solución.
x = 0: 3 — 0 + 4 − 2 — 0 = 0 −1 + 5 — 0 ⇒ 4 = −1 No es solución.
x = −1: 3 — (−1) + 4 − 2 — (−1) = −1 − 1 + 5 —(−1) ⇒ −3 + 4 + 2 = −1 − 1 − 5 ⇒ 3 = −7 No es solución.
x = 1: 3 — 1 + 4 − 2 — 1 = 1 − 1 + 5 —1 ⇒ 3 + 4 − 2 = 1 − 1 + 5 ⇒ 5 = 5 Sí es solución.
Comprueba si se verifican las siguientes ecuaciones con los valores de x que se indican:
a)
b)
c)
2x - 4 = 16 para x: 5, 10.
2x = 20 para x: 10, 15.
x + 12 = 18 para x: -4, 6.
Solución:
a)
Para x = 5: 2 — 5 - 4 = 16 ; 6 = 16 No
Para x = 10: 2 — 10 - 4 = 16 ; 16 = 16 Sí
b)
Para x = 10: 2 — 10 = 20 ; 20 = 20 Sí
Para x = 15: 2 — 15 = 20 ; 30 = 20 No
c) Para x = -4: -4 + 12 = 18 ; 8 = 18 No
Para x = 6: 6 + 12 = 18 ; 18 = 18 Sí
10 Expresa en la unidad que se indica cada una de las siguientes medidas:
a)
b)
c)
d)
2
2
80 dam en cm
2
2
92 hm en dm
2
2
74 mm en dm
2
2
503 m en hm
Solución:
a)
b)
c)
d)
2
80 000 000 cm
2
92 000 000 dm
2
0,0074 dm
2
0,0503 hm
11 Expresa en la unidad indicada en cada caso, las siguientes medidas:
a)
b)
c)
2
2
6 hm en m
2
2
700 dam en m
2
2
150 mm en dm
Solución:
a)
b)
c)
2
60000 m
2
70000 m
2
0,0150 dm
12 Averigua si son ciertas las siguientes igualdades:
a)
b)
c)
d)
13 + 20 = 3 — 20
7 + 19 + 14 = 80 : 2
120 - 20 = 4 — 25
(7 + 9 - 7) : 2 = (5 + 4) — 4
Solución:
a)
b)
c)
d)
13 + 20 = 33
3 — 20 = 60
No es una igualdad.
7 + 19 + 14 = 40
80 : 2 = 40
Sí es una igualdad.
120 - 20 = 100
4 — 25 = 100
Sí es una igualdad.
(7 + 9 - 7) : 2 = 9 : 2 = 4,5
(5 + 4) — 4 = 9 — 4 = 36
No es una igualdad.
13 Comprueba si se verifican las siguientes ecuaciones con los valores de x que se indican:
a)
b)
x - 3x = 4 para x: 3, -2
5x - x = x + 12 para x: 3, 4
9x
c) 4x − x =
para x : 7, − 8
2
Solución:
a)
x - 3x = 4
b)
5x - x = x + 12
c) 4x − x =
para x = 3: 3 - 3 — 3 = 4 ; 3 - 9 = 4 ; -6 = 4 No.
para x = -2: -2 - 3 — (-2) = 4 ; -2 + 6 = 4 ; 4 = 4 Sí.
para x = 3: 5 — 3 - 3 = 3 + 12 ; 15 - 3 = 15 ; 12 = 15 No.
para x = 4: 5 — 4 ; 4 = 4 + 12 ; 20 - 4 = 16 ; 16 = 16 Sí.
9x
9—7
63
63
para x = 7 : 4 — 7 − 7 =
; 28 − 7 =
; 21 =
No.
2
2
2
2
−72
9 — ( −8)
para x = − 8 : 4 — ( −8) − 8 =
; − 32 − 8 =
; − 40 = −36 No.
2
2
14 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes:
a)
b)
c)
d)
2x = 6
4-x=1
x+4=7
3x = 6
Solución:
a)
b)
c)
d)
El número que multiplicado por 2 da 6 es 3. La solución es x = 3.
El número que hay que restar a 4 para que dé 1 es 3. La solución es x = 3.
El número que hay que sumar a 4 para que dé 7 es 3. La solución es x = 3.
El número que multiplicado por 3 da 6 es 2. La solución es x = 2.
Son equivalentes las ecuaciones de los apartados a, b y c.
15 Calcula el número que hay que poner en lugar de la letra para que la igualdad sea cierta:
a)
b)
c)
d)
2x + 3 = x - 1
(5 + x) — 2 = 18
7x - 1 = 0
5x + 1 = 1
Solución:
a)
b)
2x + 3 = x - 1 ; x = -4
(5 + x) — 2 = 18 ; x = 4
1
c) 7x - 1 = 0 → x =
7
d) 5x + 1 = 1 ; x = 0
16 Resuelve las siguientes ecuaciones:
x x
+ =7
4 3
-2x
b)
= -5
7
4x
c)
+ 1 = -7
3
a)
Solución:
x x
x x
+ = 7 → 12 ⋅ ( + ) = 12 ⋅ 7 → 3x + 4x = 84 → 7x = 84 → x = 12
4 3
4 3
-2x
35
b)
= -5 → - 2x = -35 → x =
7
2
4x
4x
c)
+ 1 = -7 →
= -8 → 4x = -24 → x = -6
3
3
a)
17 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
b)
x + 5 = 14
7x - 1 = -x + 7
5x
c)
= -10
4
Solución:
a)
x + 5 = 14 ; x = 14 - 5 ; x = 9
b)
7x - 1 = -x + 7 ; 7x + x = 7 + 1 ; 8x = 8 ; x = 1
c)
5x
4
= -10 → 5x = -40 → x = -8
18 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a)
b)
c)
5x
= 10
3
5 — (x - 2) = 20
5x + 10 = 7x + 2
Solución:
a)
b)
c)
5x
= 10 → 5x = 30 → x = 6
3
5 — (x - 2) = 20 ; x - 2 = 4 ; x = 6
5x + 10 = 7x + 2 ; 8 = 2x ; x = 4
19 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a)
4x - 1 = x + 8
x
b)
=3
7
c) 5x - 1 = 19
Solución:
a)
b)
c)
4x - 1= x + 8 ;
x=3
x
= 3 → x = 21
7
5x - 1 = 19 ; x = 4
20 Escribe la ecuación para cada uno de los siguientes dibujos, después resuélvelas para hallar el valor de x.
Solución:
a)
3x + 2x + x = 180
6x = 180
x = 30º
b)
3x + 3x + (x + 5) = 180
7x + 5 = 180
7x = 180 - 5
175
x=
7
x = 25º
c)
3x + 2x + (x - 15) = 180
6x - 15 = 180
6x = 180 + 15
195
x=
6
x = 32,5º