El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Edwin Oswaldo Roldán Cruz Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá, Colombia 2013 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Edwin Oswaldo Roldán Cruz Trabajo final presentado como requisito parcial para optar al título de: Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Directora: Doctora Clara Helena Sánchez Botero Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá, Colombia 2013 A Mis hijos Juan Camilo y Andrés Felipe. Mis Padres Hermelinda y Hernando. Mis Hermanos Exary, Raul, Edisson. Mi Abuela Emma. Mi tío Arturo. Mi Anny. Agradecimientos A la Universidad Nacional de Colombia en especial a los profesores de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales por su compromiso con los educadores de Colombia. A la Profesora Clara Helena Sánchez por su constante asesoría y dirección del presente trabajo. A la comisión ampliada de profesores del Colegio Luis Carlos Galán Sarmiento JT por su apoyo y comentarios pertinentes. A la vida por la oportunidad, la espiritualidad y la tenacidad. A la vida en familia. Resumen y Abstract IX Resumen El aprendizaje de la función lineal hace grandes aportes al desarrollo del pensamiento variacional que a su vez resulta fundamental en procesos de generalización y desarrollo del pensamiento abstracto. El presente trabajo versa sobre los aspectos que inciden en la consolidación del concepto de función: histórico, disciplinar, pedagógico y didáctico. Como propósito se tiene el hacer una propuesta didáctica que permita que los estudiantes manejen a cabalidad el concepto de función lineal y puedan aplicarla en situaciones de la vida real. Como resultado del análisis histórico, disciplinar y pedagógico se construyó una secuencia didáctica completamente original en la que se plantean tres tipos de actividades con las que se potencia la experimentación como vehículo de aprendizaje y la elaboración de modelos matemáticos, que en conjunto dan como resultado el aprendizaje de los elementos relacionados con la función lineal. Palabras clave: Función lineal, Función lineal y afín, Historia del concepto de función, Modelización matemática, Enseñanza de la función lineal. Abstract The learning of linear function has made great contributions to variational thinking development that is in turn essential in generalization processes and abstract thinking development. This paper talks about the aspects that affect the function concept understanding: historical, disciplinary, pedagogical and didactic. The purpose is to make a didactic proposal to allow students to handle the linear function concept and applying it in everyday life. As a result of the historical, disciplinary and pedagogical analysis, a completely original didactic sequence was constructed. In this sequence can be find three types of activities that promote experimentation as a learning vehicle and the elaboration of mathematical models. Finally, the result is the learning of the elements related to linear function. Keywords: Linear function, linear and affine function, Function concept history, Mathematical modeling, Linear function teaching. Contenido X Contenido Pág. Resumen......................................................................................................................... IX Lista de figuras ............................................................................................................. XII Lista de tablas .............................................................................................................. XIII Introducción .................................................................................................................... 1 1. Aspectos Históricos ................................................................................................ 3 1.1 Edad Antigua ................................................................................................... 3 1.1.1 Los babilonios ....................................................................................... 3 1.1.2 Los Griegos .......................................................................................... 7 1.1.3 La Trigonometría .................................................................................. 9 1.2 Edad Media ....................................................................................................10 1.2.1 Fibonacci .............................................................................................10 1.2.2 Aporte de las primeras universidades europeas ..................................11 1.2.3 Representación del cambio..................................................................11 1.3 Edad Moderna ................................................................................................12 1.3.1 El movimiento ......................................................................................12 1.3.2 La geometría analítica .........................................................................14 1.3.3 La aparición de la ecuación de la recta “y=mx” ...................................17 1.4 Edad Contemporánea ....................................................................................18 1.4.1 La invención del cálculo .......................................................................18 1.4.2 El cálculo de Newton ...........................................................................18 1.4.3 El cálculo de Leibniz ............................................................................19 1.4.4 Las primeras definiciones ....................................................................20 1.4.5 Nuevos problemas, nuevas definiciones. .............................................22 1.4.6 La continuidad .....................................................................................24 1.4.7 Último desarrollo: La Teoría de Conjuntos ...........................................26 1.4.8 Definiciones abstractas y generalizadas ..............................................26 2. Aspectos Disciplinares...........................................................................................29 2.1 Concepto de función ......................................................................................29 2.1.1 Notaciones y representaciones de función...........................................34 2.1.2 Diagramas sagitales ............................................................................35 2.1.3 Conjunto de pares ordenados ..............................................................36 Contenido XI 2.1.4 Tablas ................................................................................................. 36 2.1.5 Plano Cartesiano................................................................................. 37 2.1.6 Ecuaciones y fórmulas ........................................................................ 38 2.2 Función lineal ................................................................................................ 38 2.2.1 Gráfica de una función lineal ............................................................... 38 2.2.2 Pendiente ............................................................................................ 39 2.2.3 Interceptos .......................................................................................... 41 2.2.4 y-intercepto ......................................................................................... 41 2.2.5 x-intercepto ......................................................................................... 41 2.2.6 El álgebra lineal y la función lineal y afín ............................................ 41 2.2.7 Función lineal y proporcionalidad ........................................................ 44 3. Aspectos Pedagógicos .......................................................................................... 47 3.1 El Aprendizaje del concepto de Función lineal ............................................... 47 3.2 Comprensión y didáctica del concepto de función lineal ................................ 50 3.3 Modelación matemática ................................................................................. 52 3.4 Variación y función lineal ............................................................................... 54 4. Aspectos Didácticos .............................................................................................. 57 4.1 Propuesta Didáctica ....................................................................................... 58 4.1.1 Contexto Matemático: “Cada quien con su pareja” .............................. 58 4.1.2 Contexto Matemático: “Cosas de familia” ............................................ 60 4.1.3 Contexto matemático: “¿Es función? método de la recta vertical” ....... 62 4.1.4 Análisis de situación: “La rueda panorámica” ...................................... 66 4.1.5 Análisis de situación: “El celular” ......................................................... 68 4.1.6 Práctica experimental: “Temperatura del agua” ................................... 69 4.1.7 Práctica Experimental: “Las velas” ...................................................... 73 4.1.8 Análisis de Situación: “Enfriamiento de una bebida” ............................ 77 4.1.9 Análisis de situación: “Entrenamiento de atletismo” ............................ 78 4.1.10 Análisis de situación: “salario de un vendedor”.................................... 79 4.1.11 Contexto matemático: “Tabla de valores” ............................................ 80 4.1.12 Contexto matemático: “Hallar pendiente” ............................................ 81 4.1.13 Contexto matemático: “Hallar pendiente 2” ......................................... 83 4.1.14 Contexto matemático: “Hallar y-intercepto” ......................................... 84 4.1.15 Contexto matemático: “Familia de funciones” ...................................... 86 4.1.16 Práctica experimental: “Geometría dinámica” ...................................... 88 4.1.17 Práctica experimental: “Geometría dinámica 2” ................................... 90 4.1.18 Análisis de situación: “Informe meteorológico” .................................... 91 4.1.19 Análisis de situación: “Dosificación de un medicamento” .................... 92 4.1.20 Análisis de situación: “Producción de una máquina” ........................... 93 4.1.21 Práctica experimental: “las sombras” .................................................. 93 5. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................ 95 Bibliografía .................................................................................................................... 97 XII El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Lista de figuras Pág. Gráfica 1. Tablilla Plimpton No 322, tomada de http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html ................................... 5 Gráfica 2. Representación del movimiento y la variación del mismo introducida por Nicolás Oresme. ............................................................................................................. 12 Gráfica 3. Tomada de (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). ............................. 13 Gráfica 4. Representación de coordenadas según Pierre Fermat. ................................. 16 Gráfica 5. Relación entre dos cantidades denominadas A y E ........................................ 17 Gráfica 6. Representación de una línea poligonal sobre una curva. ............................... 19 Gráfica 7. Analogía de la noción de función como transformación con una maquina ..... 34 Gráfica 8. Diagrama sagital de una función entre los conjuntos A y B ............................ 35 Gráfica 9. plano cartesiano, tomado de www.elplanocartesianofernando.blogspot.com/2011/09/e.html ........................................................................... 37 Gráfica 10. Gráfica cartesiana de una función lineal mostrando parejas ordenadas que la componen. ...................................................................................................................... 39 Gráfica 11 . Gráfica ilustrativa de los incrementos horizontal y vertical de a, b, f(a) y f(b) ....................................................................................................................................... 40 Gráfica 12. Modelo gráfico de un proceso de modelización, adaptado de (Blomhøj, 2004) ....................................................................................................................................... 54 Contenido XIII Lista de tablas Pág. Tabla 1. Suma de cuadrados y cubos transcritos de una tablilla babilónica: tomada del libro: Funciones un paseo por su historia (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). . 4 Tabla 2. Transliteración de la Tablilla Plimpton No 322 al sistema de numeración decimal. Tomado de: http://cambridge.academia.edu/EleanorRobson ............................ 6 Tabla 3. Serie de Fibonacci como solución al problema de las parejas de conejos. ....... 11 Tabla 4. Correspondencia entre cada número natural y su cuadrado. ............................ 14 Tabla 5. Representación en una tabla de algunos valores que satisfacen la función y = f(x) =2x. ........................................................................................................................... 37 Tabla 6. Traducciones entre las representaciones de función, Janver (1978) tomada del texto Funciones y Gráficas. ............................................................................................ 49 Introducción El concepto de función que hoy se maneja en matemáticas; una relación (de correspondencia, asociación) entre dos conjuntos no vacíos, es bastante reciente, viene del siglo XIX con Dirichlet (1805,1859). Pero el concepto de función como fórmula, o simplemente como una tabla que asocia ciertos datos de variables diferentes ya se encuentra en culturas tan antiguas como los babilonios. Desde hace un tiempo se considera que el concepto de función debe ser abordado en la escuela secundaria. Las diferentes investigaciones que se han hecho muestran la dificultad en el proceso de enseñanza-aprendizaje de este concepto. En este trabajo se hace una propuesta didáctica para la comprensión del concepto de función lineal en estudiantes para grados 8° y 9°. En mi práctica docente con ellos he observado mucha dificultad en el paso de una representación a otra en el caso de una función en general debido a que una fórmula como f ( x) x 2 representa una función, mientras que otra como f ( x) x 2 1 no lo es y en ambas se relacionan elementos de R , el conjunto de los número reales. Desde el punto de vista didáctico he observado la ambigüedad con que se presenta el concepto de función lineal en diferentes textos, a veces es una función f : R R tal que f ( x) mx . Y a veces es una función f : R R tal que f ( x) mx b , caso particular de la anterior, que se llama con frecuencia función afín. Otro problema importante desde la didáctica es el de dotar de sentido y significado al concepto de función lineal, y mas cuando se trata de niños entre los 13 y 16 años. Por eso se hace entonces necesario: 1. Proponer actividades de la vida cotidiana y de las mismas matemáticas que den sentido o significado a la función cuya gráfica es una recta; y también a los elementos, atributos o parámetros que la constituyen; estos son la inclinación y los interceptos con los ejes X y Y. 2 Introducción 2. Mostrar el por qué de la ambigüedad en el tratamiento de la función lineal y plantear una propuesta de clarificación del concepto. En los Lineamientos curriculares del Ministerio de educación Nacional (1998) para el área de matemáticas, se resalta la importancia del estudio de la variación de manera paulatina a lo largo de toda la escuela. En el documento se sugiere la enseñanza de este tópico a través de elementos que permitan cuantificar el cambio (pendiente, razón de cambio, etc.) y la forma como se relacionan las variables. Por otro lado las investigaciones didácticas existentes sobre la enseñanza-aprendizaje del concepto de función plantean en sus propuestas la intervención a través de tareas que permitan al estudiante transitar entre los diferentes sistemas de representación, y no privilegiar alguno en particular. Los contextos de aplicación que trabajan son de carácter teórico que son modelizables mediante funciones lineales y afines. El presente trabajo propone una alternativa de intervención didáctica que parta del análisis de situaciones con contexto matemático y cotidiano, y la experimentación y vivencia de “prácticas de laboratorio” o experiencias para ser matematizadas, con el fin de desarrollar el concepto de función lineal en la escuela secundaria. La propuesta didáctica pretende abordar el concepto de función lineal como dependencia de variables y como correspondencia y destaca los elementos que subyacen a este objeto matemático. Como son: razón de cambio, pendiente, variación, proporcionalidad. La propuesta se encamina a dotar de una visión aplicable y útil del conocimiento matemático para desarrollar algunos elementos del pensamiento variacional, a partir del concepto de función lineal. Al plantear una alternativa de intervención didáctica para la enseñanza-aprendizaje del concepto de función lineal, la propuesta se enfatiza en crear situaciones de experimentación en los que el estudiante realice: medición, estimación, conteo, registro, y que este proceso sea el gestor de las ideas y nociones de este objeto matemático. En el primer capítulo se abordan los aspectos históricos relacionados con el desarrollo y consolidación del concepto de función. En el segundo capítulo se encuentran los aspectos disciplinares del concepto de función y función lineal, en este se tratan las definiciones formales de ambos conceptos, las diferentes formas de representación de una función, los atributos presentes en la función lineal, la ambigüedad entre función lineal y función afín, finalmente se establece la relación entre proporcionalidad y función lineal. El tercer capítulo trata sobre los aspectos pedagógicos, en él se recogen algunos temas pertinentes en torno a la enseñanza del concepto de función y función lineal que sustentan los planteamientos hechos en la propuesta didáctica. El cuarto capítulo se dedica a los aspectos didácticos, en este se hace la propuesta formada por 21 actividades. Finalmente el quinto capítulo cierra el presente trabajo con algunas reflexiones propias producto de la elaboración del mismo a manera de conclusiones y sugerencias. 1. Aspectos Históricos En este capitulo se realiza un recorrido por la evolución historia del concepto de función, haciendo énfasis en algunos elemento de la génesis de este concepto que lejos de ser mas importantes que otros que voluntariamente se omitieron brindan un campo conceptual propio y enriquecen esta monografía en lo epistemológico y, en lo didáctico. El propósito de analizar la evolución histórica del concepto de función es tomar algunos aspectos mencionados a lo largo del capitulo para plasmarlos en la propuesta didáctica así como para ser tenidos en cuenta en el momento de su desarrollo, implementación y aprendizaje en el contexto de educación básica. El capitulo se divide en cuatro secciones: edad antigua, edad media, edad moderna y edad contemporánea, en cada una de ellas se analizan los hechos y personajes más relevantes del periodo histórico que aportaron a la consolidación, fundamentación, definición, formalización y legitimación del concepto de función. 1.1 Edad Antigua 1.1.1 Los babilonios Datar específicamente el nacimiento del concepto o noción de función es una labor tan titánica como ubicar el mismo inicio de las matemáticas. Las investigaciones hechas por Collette (1979), Boyer (1958), Hofmann (1963), Bell (1940) sugieren que una primera aparición de ideas matemáticas que se pueden relacionar con de este concepto se sitúan en la antigua Babilonia. Los babilonios desarrollaron un sistema de numeración “mixto” (aditivo-posicional) empleando dos símbolos, uno para la unidad y otro para el agrupamiento de diez unidades, hasta el 59 era aditivo y de ahí en adelante el sistema pasaba a su versión posicional. Empleando este sistema sexagesimal dejaron evidencia en tablillas de arcilla de sus hallazgos matemáticos en diversas actividades de su cotidianidad: comercio, agricultura, astronomía, calendarios, entre otras. El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 4 Tablillas de este tipo fueron dadas a conocer por el arqueólogo Edgar James Banks, alrededor de 1929; aunque desde mucho antes se conocía la escritura empleada en la cultura babilónica debido a los hallazgo hechos en 1835 por Henry Rawlinson, y las traducciones hechas por él y Edward Hincks. Entre las tablillas con mayor interés desde el punto de vista matemático se pueden mencionar las que relacionan los cuadrados de los números naturales hasta 59 y de los cubos hasta 32. En el libro de Sánchez y Valdés (2007) se muestra la transcripción de una tabla babilónica como la siguiente en la que aparece la suma de cuadrados y cubos de algunos enteros positivos. (Tabla 1). n n3+n2 n n3+n2 n n3+n2 n n3+n2 1 2 7 392 13 2366 19 7220 2 12 8 576 14 2940 20 8400 3 36 9 810 15 3600 30 27900 4 80 10 1100 16 4352 40 65600 5 150 11 1452 17 5202 50 127500 6 252 12 1872 18 6156 Tabla 1. Suma de cuadrados y cubos transcritos de una tablilla babilónica: tomada del libro: Funciones un paseo por su historia (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 20). Esta tabla puede considerarse como uno de los avances de esta civilización en la aritmética. Aunque es inmediato apreciar la correspondencia entre las columnas después de haber sido descifradas surge la pregunta: ¿Para qué construir una tabla de suma de cuadrados y cubos? Las respuestas dadas a este interrogante van en dos vías. 1. Para poder realizar la multiplicación por medio de sumas y restas con “fórmulas” que requieren del uso de esas potencias como las siguientes: ( a b) 2 a 2 b 2 2 2 ( a b) ( a b) 2 a b 4 a b Esta explicación ha sido cuestionada por los historiadores dado que si lograban realizar la multiplicación de un entero positivo por si mismo podrían replicar el método para realizar la multiplicación de dos números diferentes y por tanto no complicar el cálculo con el empleo de las anteriores fórmulas. Capítulo 1: Aspectos Históricos 5 a2 )c que es obtenida de la b3 transformación de una ecuación cúbica mixta de la forma ax 3 bx 2 c 0 . Esta es considerada como la razón para la construcción de la tabla de potencias (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). 2. Para hallar las soluciones de la expresión y 3 y 2 ( Otra de las tablas encontradas es la llamada Tablilla Plimpton 3221. En esta los registros están organizados en quince filas y cuatro columnas que se leen y numeran de derecha a izquierda (Gráfica 1). Gráfica 1. Tablilla Plimpton No 322, tomada de http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m44603/pl322/pl322.html Después de la decodificación por parte de Neugebauer y Sach se han identificado errores en las cifras de la columna 2 fila 2 y en la columna 3 filas 9 y 13, la transliteración al sistema de numeración decimal con correcciones y completando los valores que faltan entre paréntesis se muestran en la Tabla 2. La columna I enumera las filas, los números de la columna IV aparecen en orden descendente, un análisis detallado de las columnas II y III evidencia una relación entre ellas de modo que cuando se calculan los cuadrados de los números de la columna II y 1 La Tablilla Plimpton No 322 data según (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007) de entre los años 1800 y 1650 A.C. Nombrada así por el número que lleva en la colección Plimpton de la Universidad de Columbia. La tablilla Plimpton 322 está parcialmente rota, mide aproximadamente 13 cm de ancho, 9 cm de alto y 2 cm de grosor. George Arthur Plimpton compró la tablilla a Edgar James Banks, cerca del año 1922. Recuperado de www.cambridge.academia.edu/EleanorRobson 6 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica se resta de cada uno el cuadrado del número correspondiente de la columna III, se obtiene un número cuadrado. El análisis anterior sugiere que se trata de las conocidas triplas Pitagóricas, es decir números que satisfacen la ecuación x 2 y 2 z 2 . Los datos indicarían las longitudes de la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo; la tablilla presenta un alto grado de exactitud en los datos, motivo por el cual se descarta que se trate de registros de mediciones reales hechas sobre triángulos rectángulos. De hecho si h es la hipotenusa, a y b son los catetos de un triángulo ABH la información incluida en las columnas II, III y IV serían la hipotenusa h, cateto a, y el cociente h2/b2 respectivamente. 2 Dos hechos se destacan: 1. La columna IV corresponde a la razón sec A , y 2. El cociente es calculado con el cateto que no aparece explícito en la tabla, lo cual conduce a pensar que esta no fue elaborada por ensayo-error, y según los investigadores Neugebauer y Sachs, fue por el conocimiento de las relaciones generadoras a 2mn , b m 2 n 2 , c m 2 n 2 (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). IV 1.9834 1.9416 1.9188 1.8862 1.8150 1.7852 1.7200 1.6928 1.6427 1.5861 1.5625 1.4894 1.4500 1.4302 1.3872 III 119 3367 4601 12709 65 319 2291 799 (541) 481 4961 45 1679 (25921) 161 1771 (56) II 169 (11521) 4825 6649 18541 97 481 3541 1249 769 8161 75 2929 289 3229 (53) 106 I 1 2 3 4 (5) (6) 7 8 9 10 11 12 13 14 ( ) 15 Tabla 2. Transliteración de la Tablilla Plimpton No 322 al sistema de numeración decimal. Tomado de: http://cambridge.academia.edu/EleanorRobson En consecuencia podrían considerarse estas tablillas como una de las primeras muestras claras de la aparición de una idea, aunque primitiva, de función como la relación entre números o cantidades de cada una de las columnas. Esto sugiere, entonces, que “durante la antigüedad prehelénica se estudiaron diferentes casos de dependencia entre dos o mas magnitudes y se expresaron a través de tablas numéricas” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 24-25). Se entiende que el nivel alcanzado por los babilonios en el desarrollo del concepto de función y la importancia de resaltarlo no radica en el hecho de que hubiesen hecho representaciones tabulares; se trata del Capítulo 1: Aspectos Históricos 7 soporte que originó tales construcciones, es decir de la observación sistemática de regularidades y del uso de interpolaciones y extrapolaciones. (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996). Finalmente, en el caso de los investigadores Neugebauer y Sachs quienes publicaron en 1945 la interpretación de la tablilla Plimpton No 322 se resalta la importancia del hecho de “aprender a descifrar el enigma de las tablas numéricas de la antigüedad significa descubrir las relaciones funcionales escondidas entre los elementos que conforman la tabla.” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 24). A pesar de las dificultades para la interpretación de tablillas de este tipo y las múltiples conjeturas que en torno a ellas sea posible elaborar “si los investigadores no hubieran encontrado la clave, (…) sería desechada como una simple tabla de transacciones comerciales y temas administrativos, y no tendría ningún interés histórico ni cultural.” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 24). Esto sugiere que actividades del tipo observar, decodificar, descifrar relaciones, interpretar tablas, descubrir y describir (con lenguaje cotidiano o formal) relaciones entre números o cantidades resulta un ejercicio interesante de llevar al aula con el fin de desarrollar nociones o ideas sobre función. 1.1.2 Los Griegos Son considerados como cuna de la civilización occidental y tradicionalmente se les ha atribuido iniciar el tratamiento sistemático de la ciencia; en esta civilización pierde protagonismo el empirismo o matemática práctica, para iniciar el proceso de reflexión sobre el pensamiento matemático, se considera que fijaron las bases de la hoy conocida ciencia deductiva (Collette, 1998). Son herederos de las matemáticas egipcias y babilónicas, por lo tanto “no es posible dejar de considerar que el “milagro griego”2 tuvo como antecedentes el saber que desarrollaron países como Egipto y la Mesopotamia.” (Rey Pastor & Babini, 2000, p. 35). La comunidad académica acepta que son variados los campos de las matemáticas en los que incursionaron pese a la forma como se ha compilado la información producida por los helenos; ya que de las no muy numerosas producciones matemáticas que han sobrevivido hasta hoy, solo se dispone de copias y compilaciones tardías a veces posteriores en varios siglos. Cuando no solas traducciones. Su relación con el origen del concepto de función se tiene principalmente en la aparición de la inconmensurabilidad y la proporcionalidad (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996). 2 J. Burnet plantea la llamada tesis del "milagro griego". Según esta hipótesis la filosofía habría aparecido en Grecia de una manera abrupta y radical como fruto de la genialidad del pueblo griego. Esta hipótesis prescinde de los elementos históricos, socioculturales y políticos, por lo que termina por no explicar nada, cayendo en un círculo vicioso: Los griegos crean la filosofía porque son geniales, y son geniales porque crean la filosofía. en "La Aurora de la filosofía griega" (1915). 8 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica La proporcionalidad y la inconmensurabilidad están fuertemente ligadas. En los libros V y VI de los Elementos de Euclides se plantea la teoría de las proporciones de Eudoxo. Las ideas griegas basadas en la concepción Pitagórica de que “todo es número” se verán invalidadas con la aparición de la inconmensurabilidad, es decir la posibilidad de realizar comparaciones entre dos magnitudes y expresarlas mediante la razón de dos enteros positivos se viene al piso, debido a la imposibilidad de encontrar una unidad capaz de medir al lado y la diagonal del cuadrado. Algunos autores sostienen que se originó en la imposibilidad de encontrar una unidad común para el lado y la diagonal del pentagrama3. Sea cual sea el origen, la idea se aplica a múltiples casos; otro de ellos es el de la razón entre el perímetro y el diámetro del círculo. Esta anomalía frente a las ideas pitagóricas provoca la diferenciación entre magnitudes discretas y magnitudes continuas. Esta diferenciación transforma el manejo dado a la proporcionalidad; debido a que las magnitudes a comparar deben ser de la misma naturaleza, longitudes con longitudes, áreas con áreas, volúmenes con volúmenes; tomando un nuevo sentido las proporciones, pues serán exclusivas para el uso de las magnitudes y su comparación. A esta dificultad es posible atribuir el hecho de que en el período helénico el desarrollo del concepto de función no haya sido mayor (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996). Dado el tratamiento numérico actual en la enseñanza de las proporciones o proporcionalidad en la educación básica “cuando se trabaja con proporciones es difícil distinguir la relación que existe entre magnitudes distintas” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996) lo cual puede ser considerado como un obstáculo en el desarrollo del concepto de función, aunque pienso que la proporcionalidad es un elemento que aporta al desarrollo del concepto de función lineal, debido a que esta lleva implícita la idea de dependencia entre magnitudes de distinta o igual naturaleza y, la de incrementos iguales por unidad o igualdad en su variación, esto es la razón de cambio constante. Las dificultades evidenciadas durante este período radican básicamente en el tratamiento geométrico que tuvo la matemática y, la carencia de un lenguaje apropiado para expresar ideas desde el punto de vista aritmético. Estas dificultades causan retrocesos y avances en el desarrollo del concepto de función, la generalización totalmente geométrica del teorema de Pitágoras es muestra de ello. Pues puede considerarse como un avance, pero ya se expuso que civilizaciones prehelénicas tenían conocimiento de él y, sin embargo no se encuentra evidencia de haber sido expresado en un lenguaje que fortaleciera el desarrollo aritmético del mismo desacelerando el desarrollo del concepto de función. En el siglo III es Diofanto de Alejandría quien con un pensamiento divergente retoma el trabajo aritmético. Se cree que trabajó dentro de la tradición del álgebra babilónica y la introdujo en las matemáticas griegas con casos como el de las fórmulas 3 Llamado también pentagrama místico Pitagórico, se considera como símbolo de identificación de la Escuela Pitagórica, encierra entre sus elementos la proporción áurea, su construcción se hace inscribiendo un pentágono regular en una circunferencia y trazando sus diagonales. (véase Euclides, Elementos, proposición XX libro IV). Capítulo 1: Aspectos Históricos 9 para generar triplas pitagóricas. Estas relaciones numéricas y el rescate del enfoque aritmético es lo valioso del trabajo de Diofanto, aunque no es posible considerarlo como pieza clave que precisa el aporte de los griegos al desarrollo del concepto de función. 1.1.3 La Trigonometría La trigonometría ha estado presente en el desarrollo de las matemáticas desde tiempos muy remotos, se empleó en construcciones egipcias y en la organización de datos astronómicos y astrológicos en los babilonios o, como la mencionada tablilla Plimpton 322 en la que se hace referencia a la secante (Collette, 1998). Los primeros tratamientos sobre la trigonometría se evidencian en el estudio de la relación existente entre los arcos cuerdas de un círculo puestas en correspondencia en tablas de datos organizadas y conocidas prácticamente desde la época de Hipócrates4. Sin embargo, quien es reconocido como padre de la trigonometría es Hiparco de Nicea quien organizó en 12 libros el tratamiento de cuerdas y arcos así como su relación de dependencia. (Collette, 1998). Se cree que Tolomeo de Alejandría se basó en las observaciones de Hiparco para desarrollar las tablas en las cuales también relaciona los arcos y cuerdas de los ángulos centrales de un círculo en intervalos de medio grado, (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). Las transformaciones introducidas por astrónomos y maestros hindúes a las elaboraciones de Hiparco consistieron básicamente en trabajar con semicuerdas en lugar de las cuerdas completas de los arcos, esta transformación posibilitó el hecho de trabajar con triángulos rectángulos dando paso a las razones trigonométricas (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007), aporte significativo a la noción de función como relación y dependencia entre dos magnitudes; en este caso del círculo o del triángulo rectángulo según sea el caso. En conclusión, los tres aportes más significativos desde la trigonometría al desarrollo del concepto de función se encuentran en 1. hacer evidente la relación de dependencia entre elementos de la circunferencia, 2. la organización sistemática y estudios de la dependencia para la determinación de regularidades que a la postre desencadenaría la elaboración de toda una teoría basada en las mediciones de arcos y cuerdas de una circunferencia, y 3. finalmente introducir ideas aunque mínimas sobre la variabilidad de las cantidades empleadas en la elaboración de sus tablas. 4 El subrayado es mío. 10 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 1.2 Edad Media El período comprendido desde la caída del imperio Romano hasta la del Bizantino con el desplome de Constantinopla se conoce como Medioevo u oscurantismo. Pese a las preconcepciones sobre esta época de casi inexistente producción académica, artística o científica, es en el ocaso de esta época que el desarrollo del concepto de función tiene un avance significativo. En este sentido se resaltan los aportes de Leonardo de Pisa (1170,1250), Thomas Bradwardine (1290,1349) y Nicolás Oresme (1320,1382) quienes sin proponérselo ni hacerlo directamente dejan su huella en la historia del concepto de función. 1.2.1 Fibonacci Leonardo de Pisa, reconocido por el uso enfático de los números indoarabigos en su libro de 1202 Liber Abaci (libro del ábaco), titulo engañoso por cierto, ya que su tema central resulta siendo los métodos algebraicos. En este se reconoce la relación álgebrageometría que ya había puesto en evidencia el celebre Al-Jwärizmï, también aparece el tratamiento de diversos problemas que fortalecen o privilegian el uso de los números indoarabigos, justamente la formulación de unos de estos celebres problemas es la pista encontrada en su trabajo para el aporte al desarrollo del concepto de función (Boyer, 1999). En palabras de C. Boyer (1999, p.329) “el problema del Liber Abaci que más ha inspirado a los matemáticos posteriores” y más que el mismo problema es sobretodo el planteamiento de su solución lo que hace aparecer un destello del concepto de función. El problema es el siguiente. ¿Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo mes? La solución a este problema originó la conocida sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… En la que cada término se obtiene como suma de los dos anteriores a partir de los dos primeros: an an1 an2 para n 3 . La interpretación de esta sucesión como solución del problema es que a cada mes le corresponde una cantidad de parejas de conejos, cada uno de los meses puestos en correspondencia con la cantidad de parejas de conejos origina una relación funcional de números naturales en números naturales. En la tabla 3 se indica la correspondencia de meses y cantidad de conejos. Capítulo 1: Aspectos Históricos Meses 1 Parejas de conejos 1 11 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 8 21 9 34 Tabla 3. Serie de Fibonacci como solución al problema de las parejas de conejos. El estudio de la solución del problema como ya se mencionó lo continuaron varios matemáticos encontrando entre otras, propiedades de primalidad, relación con la razón áurea, la filotaxis y el crecimiento de seres vivos, tendencias de cambio del mercado en economía entre otros. Además naturalmente del estudio en si misma como sucesión numérica. 1.2.2 Aporte de las primeras universidades europeas Con la fundación de las universidades de Oxford, Paris y Cambridge durante los siglos XII y XIII, el interés de académicos se centra en comprender el movimiento y el cambio. El estudio cuantitativo de la variación es el aporte de Jordanus Nemorarius (1225, 1260). El de Thomas Bradwardine consiste en plantear una teoría de proporciones en la que el trasfondo es la idea de variación, este trabajo lo plantea a partir del desarrollo de un andamiaje matemático empleando el cálculo de potencias y raíces enésimas (Collette, 1998). 1.2.3 Representación del cambio Nicolás Oresme fue un intelectual del siglo IV, amplió los trabajaos de Bradwardine al incluir en las proporciones potencias fraccionarias, de hecho dio reglas similares a las actuales para el trabajo con potencias racionales. El aporte al desarrollo del concepto de función mas significativo es el planteamiento para representar relaciones de cambio mediante gráficas “Aquí vemos, desde luego, una sugerencia primitiva de lo que ahora llamamos la representación gráfica de funciones” (Boyer, 1999, p. 339). Bajo la influencia del estudio de la cuantificación de la variabilidad de situaciones como la velocidad de un cuerpo móvil o la variación de la temperatura planteó un método para hacer estas representaciones. Decía Oresme: “todo lo que varía se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento uniforme” (Boyer, 1999, p. 339). Para el caso de un movimiento uniformemente acelerado Oresme plantea un segmento horizontal en el cual se indican los diferentes instantes el cual designa con el nombre de longitud, y a cada uno de ellos le hace corresponder un segmento rectilíneo perpendicular denominado latitud. La longitud representa la velocidad en ese instante, en este caso todas las latitudes cubren el área de un triángulo el cual corresponde a la distancia conocida y por tanto se constituye en una verificación geométrica de la regla del 12 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Merton College (Gráfica 2): cuando la velocidad de un objeto crece por igual en intervalos de tiempo iguales desde cero hasta una velocidad v en un intervalo de tiempo t, entonces la distancia recorrida es igual a la mitad de la distancia recorrida por un objeto que se mueve con velocidad constante v en ese intervalo de tiempo t; la cual se puede escribir en notación moderna s(t ) 1 vt . En forma general Oresme “consideraba que para medir 2 la intensidad de cierta cualidad de un objeto era necesario medir su extensión… (en conclusión) la dependencia entre la intensidad y la extensión de una forma se representa por una figura plana acotada superiormente por una curva que Oresme llama línea de las intensidades” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 53). Gráfica 2. Representación del movimiento y la variación del mismo introducida por Nicolás Oresme. Esto se constituye en un aporte significativo dado el uso que se le dio a las representaciones gráficas para el análisis de la relación entre magnitudes variables. La importancia radica en: 1. El hecho de asignar medidas a magnitudes físicas mediante segmentos de recta, 2. Resaltar el estudio de las relaciones funcionales entre las magnitudes. Y, 3. Convertir los atributos cualitativos del movimiento en medidas para plasmar en gráficas que representaran la relación de cambio (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). Sin embargo estas representaciones no reflejan la idea de dependencia que en la actualidad hace una representación cartesiana; para ello sería necesario considerar solamente la frontera superior de la región sobre la que Oresme realiza el estudio y no todos los componentes como en realidad lo hace (áreas de los rectángulos por ejemplo). 1.3 Edad Moderna 1.3.1 El movimiento Para esta época el estudio del movimiento ocupa un lugar protagónico como motor de las ideas científicas, ya se mencionó el caso de Oresme. Galileo Galilei (1564,1642) estudia también el movimiento en el libro de titulo original: Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze (Discursos y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias). En este libro Galileo considera que el movimiento puede ser Capítulo 1: Aspectos Históricos 13 representado mediante curvas las cuales se emplean como representación del trazo que “dejaría” una “partícula” al moverse, con este nuevo punto de vista llamado cinemática “se considera una curva como la trayectoria de un punto móvil” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 56). Uno de los principales aportes al estudio de la función que hace Galileo es basar sus trabajos en observaciones y mediciones hechas al experimentar con el movimiento de caída de cuerpos; de esta forma, incluye en sus trabajos la medición como argumento y elemento para describirlo (el movimiento) a diferencia de las descripciones cualitativas del movimiento hechas por sus antecesores. Este nuevo tratamiento permitiría expresar las relaciones encontradas entre las mediciones por medio de fórmulas. Galileo plantea el estudio de la caída de un cuerpo partiendo de un movimiento horizontal, encuentra que siempre su trayectoria resulta en una parábola, para este hallazgo “descompone el movimiento en uno uniforme horizontal y otro vertical uniformemente acelerado y probó que, si se desprecia la resistencia del aire, la trayectoria resulta siempre en una parábola.” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 58). La representación de dicho movimiento se observa en la gráfica 3, en ella se cumplen las igualdades bc=cd=de, fd=4ic, he=9ic. Galileo concluye que en el instante d el móvil tendrá la posición f y, en el instante e la posición será h, debido a la naturaleza uniforme del movimiento horizontal y acelerado del vertical se obtiene: (hl ) 2 lb ( fg ) 2 bg ( fg ) 2 gb (io ) 2 bo Con la relación entre las mediciones verticales y horizontales y, el planteamiento de las anteriores proporciones se concluye que los puntos i,f,h están sobre una parábola: Tiempo Posición Gráfica 3. Tomada de (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 58). 14 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica En este tratamiento al problema del movimiento se ve por un lado una clara referencia a la visión de correspondencia entre conjuntos; en este caso de los puntos que representan las posiciones del movimiento descompuesto en horizontal y vertical. En segunda medida se evidencian los primeros esbozos de la idea de indivisible e infinito, “tratamos con infinitos e indivisibles, los cuales nuestra mente finita no puede entender debido a la inmensidad de unos y a la pequeñez de los otros” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 59). El trabajo sobre cinemática de Galileo y la forma de realizar su representación es sin duda una versión mejorada de la de Oresme e implica la correspondencia entre conjuntos. Galileo hace un planteamiento paradójico sobre el conjunto de números naturales dejando en entredicho la premisa de que el todo es mayor que sus partes pues pone en correspondencia cada número natural con su cuadrado mostrando a través de esta biyección que por cada natural hay exactamente un cuadrado, es decir establece una correspondencia uno a uno entre un conjunto y una parte de él. número 1 2 3 4 5 6 … cuadrado 1 4 9 16 25 36 … Tabla 4. Correspondencia entre cada número natural y su cuadrado. En conclusión dos hechos se destacan de los aportes al concepto de función por parte de Galileo, por un lado la apertura de una nueva perspectiva al tratamiento de la representación del movimiento como trayectoria y la descripción de sus mediciones con relaciones matemáticas expresadas con fórmulas o proporciones, y por otro lado la importancia de resaltar el origen y contexto científico físico en el que se realiza este aporte dando la idea de que al igual que la astronomía, la física se convierte en cuna del concepto de función lo cual puede ser considerado como elemento didáctico en su enseñanza en niveles de educación básica. 1.3.2 La geometría analítica Con el estudio del movimiento y los planteamientos hechos por Galileo y su aporte en cuánto a una representación más cuantitativa que la de Oresme el estudio de las ciencias y en particular de las matemáticas se centraría en buscar métodos más adecuados para este propósito (descripción del movimiento). Un primer elemento a destacar que aporta significativamente en el desarrollo del concepto de función es empezar a abordar el problema del lenguaje adecuado para expresar las ideas matemáticas; en este sentido François Viète (1540,1603) al advertir una diferenciación entre variable y parámetro de una ecuación propicia por medio de este enfoque que la idea de función tenga aparte de Capítulo 1: Aspectos Históricos 15 representaciones en tablas y esquemas un nuevo representante, la ecuación. El aporte de Viète marca el camino para salir del álgebra sincopada de Diofanto; sin embargo no es posible afirmar que sea definitivo el paso al álgebra simbólica5 o que este estudio contribuya al progreso de la idea de variabilidad. (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007) La intersección entre álgebra y geometría se debió en gran medida a la conveniencia de las matemáticas para el estudio de la mecánica. La “nueva” álgebra permitía gran avance para la realización de cálculos; al confluir en la mecánica análisis algebraico y representación del movimiento por medio de curvas, nace la geometría analítica. Es René Descartes (1596,1650) en su Geométrie, como uno de los apéndices de su obra El discurso del método publicada en 1637 a quien se atribuye su inicio. La geometría analítica puede considerarse como un instrumento para abordar problemas geométricos que utiliza como herramienta básica el álgebra al establecer una correspondencia entre pares ordenados de números reales con los puntos del plano, lo que posibilita una asociación entre curvas del plano y ecuaciones en dos variables. De modo que cada curva del plano tiene asociada una ecuación y, de forma recíproca, cada ecuación en dos variables define una curva. Para el desarrollo del concepto de función este trabajo es muy importante dado que en él se funden los que pueden ser considerados tres pilares de la representación de funciones que hasta el momento se han presentado, la tabla, la gráfica y la ecuación. En la Geométrie de Descartes “aparece por primera vez el hecho de que una ecuación en x e y es una forma para expresar una dependencia entre dos cantidades variables, de manera que, a partir de ella, es posible calcular los valores de una variable que corresponden a determinados valores de la otra” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996, p. 47). Claro que en el libro de Descartes no aparece por ningún lado un “eje cartesiano” ni aparecen mencionadas ecuaciones para una recta o una sección cónica. La importancia de Descartes6 radica en haber logrado emplear los avances del álgebra en los que había incursionado Viète para el análisis de los problemas geométricos provenientes del movimiento y en segundo lugar homogenizar el tratamiento frente a las magnitudes, esto lo hizo convirtiendo cada expresión en segmentos; así por ejemplo a, b2, c3,ab podrían representarse mediante segmentos, con lo cual se interpretaba una ecuación como una relación entre números y no entre cuadrados o cubos (geométricos). 5 El Arrte anlítico de Viète todavía carece de la simbología adecuada y sigue siendo bastante 3 retórico. Por ejemplo, la ecuación x +3Bx=D en la logística especiosa de Viète seria: A cubus + B plano in A aequari D solido. (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007) 6 A René Descartes es atribuida gran parte de la notación que empleamos actualmente en las matemáticas, por ejemplo el uso de las últimas letras del abecedario para las incógnitas de una ecuación y de las primeras para los coeficientes y como ya se dijo la transformación del álgebra de magnitudes de Viète en un cálculo de segmentos. 16 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Quien realmente estuvo mas próximo a la idea de geometría analítica que manejamos en la actualidad es sin duda para este período de tiempo Pierre Fermat (1601,1665), quien escribió un pequeño artículo sobre geometría publicado póstumamente en 1679 titulado Ad locos planos et sólidos isagoge (Introducción a los lugares geométricos planos y sólidos), en el que hace un análisis de problemas de lugares geométricos, de hecho se propone hacer un análisis más general de estos. En esta obra Fermat enuncia el principio fundamental de la geometría analítica: “Cuando una ecuación contiene dos cantidades desconocidas, hay un lugar correspondiente, y el punto extremo de una de estas cantidades describe una línea recta o una línea curva.” (Collette, 1998, Vol. 2, p.23) En esta proposición no solo se evidencia el nacimiento de la geometría analítica sino que se introduce la idea de variable algebraica. Fermat no emplea ejes cartesianos de hecho las representaciones son oblicuas Gráfica 4. P1 P3 P2 E1 E3 E2 A O C1 C2 C3 Gráfica 4. Representación de coordenadas según Pierre Fermat. En el gráfico el extremo superior del segmento E i representa la coordenada y , es decir el segmento Ei Pi Ci ( 1 i n ) donde yi longitud de Pi C i . La coordenada x está determinada por la longitud del segmento Ai , es decir el segmento Ai OCi ( 1 i n ) donde xi longitude de OCi . El modelo para representar la “dependencia” entre cantidades consiste en tomar un eje horizontal sobre el cual se miden las cantidades y, a cada una se le hace corresponder otra cantidad representada por un segmento (oblicuo) cuyo extremo trazará la curva que indica la relación entre las dos cantidades representadas por los dos segmentos. Del aporte de Fermat se destaca que no emplea coordenadas negativas, no tiene explícito el eje Y, y que entre los segmentos E i y Ai se evidencia una relación o dependencia que origina un lugar geométrico al cual es posible asociar una ecuación y, ni Descartes ni Fermat emplean en sus tratados el término “sistema de coordenadas”. Capítulo 1: Aspectos Históricos 17 1.3.3 La aparición de la ecuación de la recta “y=mx” Gráfica 5. Relación entre dos cantidades denominadas A y E Fermat introduce el estudio de la ecuación lineal utilizando las vocales (A y E) para representar como lo había hecho Viète, las cantidades desconocidas. Partiendo de una recta NZM donde N es fijo, toma NZ como la cantidad desconocida A y el segmento ZI, aplicado sobre la recta con un ángulo NZI, como igual a la otra cantidad desconocida E. Cuando “D in A æquatur B in E” es decir, DA = BE donde D y B son constantes, el punto I describirá un lugar geométrico representado por la semirrecta NI. La ecuación lineal mas general de la forma Dx + By = c2, donde x = A e y = E corresponde a la recta MI con MZ = c2/D – A. Fermat enuncia que todas las ecuaciones de primer grado representan líneas rectas7 (Collette, 1998, Vol. 2, p. 24-25). Con los aportes descritos, Descartes y Fermat colocaron las bases de la hoy conocida geometría analítica, que en adelante se convertirá en importante objeto de estudio en las matemáticas. La asociación entre expresiones analíticas y objetos geométricos resultó ser tan sumamente fructífero que aun forma parte de la matemática actual. Pese a que hasta ese momento no se había enunciado una definición formal de función con los avances hechos, los progresos en el concepto de número (configuración de los reales), la aparición de los números imaginarios, el avance del álgebra simbólica en lo referente al empleo de signos y letras para las cantidades, todo estaba listo para la producción de ideas que llevaran al nacimiento del concepto formal (riguroso) de función. 7 El subrayado es mío 18 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 1.4 Edad Contemporánea 1.4.1 La invención del cálculo Es conocido por la comunidad académica y científica que a mediados del s. XVII por caminos diferentes tanto Isaac Newton (1642,1727) como Gottfried Wilhelm Leibniz (1646,1716) crearon el cálculo infinitesimal. Newton consideró las curvas como representaciones del movimiento de un punto, y sobre ellas realizó sus estudios sobre tangentes, normales y áreas bajo la curva. Leibniz empleó los trabajos de Fermat sobre la obtención de la tangente, pensando la curva como una poligonal de infinito número de lados. 1.4.2 El cálculo de Newton Newton plantea su método basado principalmente en dos elementos matemáticos que a la postre resultarían fundamentales, los cuales habían sido trabajados por él previamente: uno, el teorema del binomio y otro, el análisis de series infinitas. El aporte más significativo a la evolución del concepto de función es el tratamiento geométrico cinemático del que parte para realizar su método. Para Newton, la trayectoria de un punto móvil producía una curva; este movimiento se daba por la composición de dos movimientos uno horizontal y otro vertical; así cada posición del punto estaba determinada por un par de coordenadas, esta posición variaba en función del tiempo. Newton llama a sus variables fluentes desde el punto de vista geométrico y cinemático de una cantidad experimentando cambio continuo. Las variables son implícitamente consideradas como funciones de tiempo. El otro concepto básico de Newton es el de fluxión que nota x y es la tasa de cambio instantánea (la velocidad instantánea) de la fluente x , en nuestra notación dx (Kleiner, 2009). Es decir, analiza “cantidades” como dt desplazamiento, velocidad y cambio de velocidad de un punto, las cuales dependen del tiempo así establece una correspondencia entre unas y otras. Las fluentes dependen del tiempo mientras que las fluxiones dependen de las fluentes; lo cual evidencia una correspondencia entre ellas. Newton hace la construcción de su análisis básicamente a partir de dos problemas; el primer problema consiste en encontrar la velocidad del movimiento de un punto en un tiempo dado, dada la longitud del espacio recorrido. El segundo problema es la inversa del primero. Al respecto Jean Collette (1998) cita a Newton en lo que puede ser considerado el párrafo que describe sus concepciones sobre este tópico. Considero que las magnitudes matemáticas no están formadas de partes, por muy pequeñas que sean, sino que son descritas mediante un movimiento continuo. Las líneas son descritas y engendradas, no por la yuxtaposición de sus Capítulo 1: Aspectos Históricos 19 partes, sino por el movimiento continuo de sus puntos, las superficies por el movimiento de las líneas… Considerando, pues que las magnitudes que crecen en tiempos iguales son mayores o menores según que crezcan a una velocidad mayor o menor, busqué un método para determinar las magnitudes a partir de las velocidades de estos movimientos, mientras que las magnitudes engendradas se llamarían fluentes, encontré hacia 1665-1666 el método de las fluxiones, del que hare uso en la cuadratura de las curvas (Collette, 1998, Vol. 2, p. 112-113). 1.4.3 El cálculo de Leibniz Leibniz inicialmente centró su interés en las series infinitas; el más importante avance que hizo al desarrollo del concepto de función y a la vez del cálculo infinitesimal fue advertir la reciprocidad que hay entre los problemas de la obtención del área bajo la curva y su tangente. En 1673 “se dio cuenta que la determinación de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abcisas (sic) cuando estas tienden a cero, así como el cálculo de áreas depende de la suma de las ordenadas o de los rectángulos cuya abcisa (sic) tiende a cero y que ambos son problemas inversos” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996). Y f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x6 ) f ( x4 ) f ( x5 ) X x1 x2 x3 x4 x5 x6 Gráfica 6. Representación de una línea poligonal sobre una curva. En la gráfica 6 se observa el tratamiento que le dio Leibniz a estos problemas. Él consideró una curva como una línea poligonal8 en la que las abscisas de los vértices de dicha poligonal equidistan exactamente una unidad. Al calcular el área de múltiples 8 Línea formada por segmentos rectos consecutivos, es decir que el extremo de cada uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. 20 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica rectángulos cuyos vértices son xi , xi 1 , f ( xi 1 ), f ( xi ) , ( 1 i n ) logró estimar el área bajo la curva. Así mismo al calcular las diferencias de las ordenadas consecutivas se tiene también una aproximación a la pendiente de la tangente. “Es geométricamente evidente que estas aproximaciones mejoran en la medida que las diferencias entre abscisas consecutivas se tomen cada vez mas pequeñas y, por tanto, resuelven los problemas de tangentes y de cuadraturas cuando se considera que el polígono tiene infinitos lados infinitamente pequeños” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 96). Otro de los aportes de Leibniz consiste en la formulación de un lenguaje efectivo y sencillo de emplear con el que términos como constante, variable, coordenadas y parámetro fueron generalizados de acuerdo a como se conocen hoy; así mismo la simbología empleada por él permanece casi invariante para el diferencial y la integral. Finalmente el término “función” se encuentra por primera vez en un manuscrito de Leibniz aunque haciendo referencia a un problema de ordenadas a partir de tangentes. “La correspondencia con Jean Bernoulli muestra como el deseo para expresar mediante una palabra cantidades que dependen de una cierta variable se encuentra todavía restringida a las expresiones analíticas” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996). En esta interpretación de advierte una superación del concepto de variable ligada al movimiento o a la cinemática y aparece la idea de variable en un conjunto numérico cualquiera. En resumen la invención del cálculo en cuánto al concepto de función amplió la idea de variables dependientes como elementos centrales en el análisis de curvas, dio un sentido mas general a la correspondencia vinculo la pendiente de la tangente como elemento de análisis y medición del cambio, el término función no tiene el sentido actual y por tanto esta pendiente en esta época una definición formal para la idea de función. Es importante para reparar en que el cálculo de Newton es un cálculo de variables y ecuaciones relatando estas variables; No es un cálculo de funciones. De hecho, la noción de función como un concepto explícito de matemática surgió sólo en los inicios del siglo 18. 1.4.4 Las primeras definiciones Con la aparición del cálculo se supera el tratamiento exclusivamente mecánico y geométrico del movimiento, del cambio y principalmente de la variabilidad. El interés se centra en el estudio de esta nueva forma de concebirlos; surge así una nueva disciplina: el análisis; en el que el estudio se hace sobretodo desde la aritmética o el álgebra, fue tal el auge del cálculo durante este tiempo que el desarrollo no solo de la noción de función sino en general de las matemáticas cambio los roles protagónicos entre geometría, cinemática, aritmética y álgebra; “hasta el punto que podemos hablar casi de una inversión en el sentido que el análisis no solo se convierte en una disciplina independiente sino que la mecánica, de cuyos problemas había partido, llega a ser considerada como una parte de aquel” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996). Capítulo 1: Aspectos Históricos 21 Quien inicialmente propone una definición de función es Jean Bernoulli 9 (1654,1705) en 1718 para quien “una función arbitraria de x es una cantidad formada de manera cualquiera a partir de x y de constantes” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996) con esta definición es posible interpretar que la “manera cualquiera” se refiere a una ecuación algebraica o trascendente, también se lee entre líneas la idea planteada anteriormente de cambio de la mecánica al análisis en el interés del estudio de las matemáticas. La segunda definición en aparecer es la hecha por Leonard Euler (1707, 1783) quien define función así: “una función de una cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera a partir de esta cantidad variable y números o cantidades constantes” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996), el mismo Euler emprende la tarea de aclarar el sentido que tiene el término “expresión analítica” como operaciones algebraicas y trascendentes luego amplia la idea a funciones obtenidas en el cálculo pero no determina con claridad los alcances del término por lo que tal definición se ve transformada. La tercera definición dada en 1755 al concepto de función corresponde nuevamente a Euler; esta nueva definición se aleja de la anterior entre otras cosas porque desaparece la idea de expresión analítica y, aparece la idea general de correspondencia entre variables como elementos pertenecientes a conjuntos. Alrededor de esto Euler planteó que algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las últimas, las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Una cantidad puede ser determinada por otras, así “si x es una cantidad variable, entonces toda cantidad que dependa de x de cualquier manera o que esté determinada por aquél [x] se llama una función de dicha variable” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996, p. 51). Esta definición plantea la idea de que una función se origina cuando en un sistema de coordenadas es posible asignar a ella una curva cualquiera. A Euler se debe la introducción de la notación empleada en la actualidad f(x) para referirse a la función f aplicada sobre el argumento x. Además de elevar a estatus de función matemática trascendente el cálculo del seno y coseno que pasaron de ser considerados como correspondencia entre magnitudes angulares y magnitudes lineales a correspondencia entre valores numéricos con idénticas dimensiones; al trabajar en exclusividad con la llamada circunferencia goniométrica, Euler realiza el estudio sistemático de la geometría analítica comenzando con la recta, pasando a las cónicas después a curvas de tercer grado, etc. Deja entrever una idea de correspondencia entre ecuaciones y curvas que fortalece la idea de función “dada una función, puede trazarse la curva correspondiente y señala que… cada función de x… dará una línea recta o curva, 9 Jacob I Bernoulli 22 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica cuya naturaleza dependerá de la función y“ (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 117). Bajo la idea de que el estudio de las curvas en si mismo había hecho tomar este camino al desarrollo del concepto de función la aparición de nuevos retos en esta materia harían que fueran creadas nuevas “fórmulas” que lograran describirlas. El cambio o “evolución” de las definiciones dadas a función no eran caprichosas, el trasfondo de este proceso radica principalmente en que la definición dada logre encerrar “todas” las diferentes funciones descubiertas hasta el momento sean de tipo algebraico o trascendente, que sea operativa y que permitan resolver los problemas planteados con suficiencia. Entre varios problemas de la época sobre curvas, los considerados catalizadores del avance conceptual de función son dos: el primero es “encontrar la forma que toma una cuerda (o cadena) perfectamente flexible y homogénea por la acción solo de su peso, si ella es fijada en sus extremos A y B” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 103). Este problema dio origen a la curva conocida como catenaria la cual aunque se parece a una parábola solo coincide en los puntos A y B y en su vértice. La ecuación que e x ex ; sin embargo en la época no se disponía 2 de lenguaje simbólico adecuado para esta expresión y el problema se resolvió por cuadratura, es decir área bajo la curva. El segundo: “dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo posible” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 109). Este es conocido como el problema de la branquisona, y la solución es una curva que para la época era conocida y estudiada por la comunidad científica, la cicloide, que es una curva descrita por una circunferencia que rueda, sin deslizarse. describe la catenaria es: y cosh x Las soluciones y sobre todo los métodos planteados en situaciones como éstas repercutieron en la formulación cada vez mas adecuada de definiciones de función, lo cual como afirma Youschkevitch (1976) en el articulo The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century, el concepto de función como expresión analítica ocupó el lugar central en el análisis matemático. Bajo esta óptica era ya evidente que el estudio geométrico y mecánico del movimiento quedaba en un segundo plano. Con estos problemas la noción de curva se transforma, pasa de ser considerada como elemento representativo o como solución de problemas a convertirse en si misma como la incógnita para hallarla solución de un problema. 1.4.5 Nuevos problemas, nuevas definiciones. El conocido problema de la cuerda vibrante originó entre Leonard Euler, Johann Bernoulli, Daniel Bernoulli (1700,1782) y Jean Le Rond D’Alembert (1717,1783) una tensa polémica debido a sus propuestas de solución. La tensión entre la generación de series infinitas, series trigonométricas, y la idea de función como expresión analítica Capítulo 1: Aspectos Históricos 23 terminó por producir una nueva definición en la que tuviera lugar las nuevas concepciones sobre este aspecto; para esta nueva definición se debía tener en cuenta que para la época era posible expresar toda curva mediante una función, cada función venia dada por una expresión analítica o fórmula, toda representación analítica era única para todos los valores de la variable, se aceptaba el desarrollo de una función en series de potencias pero no en series de funciones. Con el aporte de de Joseph Louis Lagrange (1736,1813) quien logró obtener una forma totalmente analítica para representar las series de funciones trigonométricas se postula una nueva definición del concepto de función: “llamamos función a toda expresión matemática de una o varias cantidades en la cual estas aparecen de cualquier manera, relacionadas o no con algunas otras cantidades que son consideradas como constantes, mientras las cantidades de la función pueden tomar todos los valores posibles” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 128). Lagrange además planteó que las funciones auténticas del análisis o funciones analíticas son justamente aquellas que pueden expresarse mediante serie de potencias, también enfatizaba “la necesidad de desarrollar una teoría autónoma enmarcada en su propio entorno lógico” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 127) refiriéndose al análisis, es decir separarlo de cualquier elemento geométrico o mecánico. Así como el problema de la vibración de una cuerda dio origen a una nueva definición de función, Joseph Fourier (1768,1830) dio solución a otro problema de la física sobre la propagación del calor en una lámina; la conocida ahora serie de Fourier fue concebida como solución al conflicto entre las series de potencias y trigonométricas. Además de esto Fourier también planteó en su trabajo el desarrollo de una función como serie trigonométrica con lo cual unificaba las soluciones planteadas por Euler, Lagrange y Bernoulli. El concepto de función que dio Fourier es: Ante todo debe notarse que la función f(x) para la cual esta prueba se presenta, es enteramente arbitraria, y no está sujeta a una ley de continuidad… En general, la función f(x) representa una sucesión de valores dados para las abcisas (sic) x… No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se suceden una a la otra de cualquier manera, y cada una de ellas está dada como si fuera una sola igualdad (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). Las diferentes soluciones propuestas a problemas de la física ampliaron la visión sobre el concepto de función, de la misma manera exigieron definiciones cada vez mas precisas y que permitieran incluir los nuevos avances en este aspecto como series de potencias, series trigonométricas, funciones continuas, etc. “Es interesante notar que fueron los problemas de la física relacionados con la propagación del sonido, del calor y, en general, con los fenómenos susceptibles de una modelación como movimiento ondulatorio, los que estimularon las precisión en las principales nociones relacionadas con la representación de las funciones” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 133). 24 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Con estas nuevas definiciones aparece un nuevo elemento en el desarrollo del concepto de función la clasificación entre continuas y discontinuas. Al respecto Youschkevitch (1976) afirma: Esta terminología, que para Euler tenía un sentido especial, insólito para nosotros, se utiliza hasta la época en que Bolzano en 1817 y Cauchy en 1821 atribuyeron a las expresiones continuas y discontinuas el significado que en la actualidad ha sido adoptado de manera generalizada; a veces se utiliza incluso hasta en épocas posteriores. En el sentido de Euler, continuidad significa invariabilidad, inmutabilidad de la ley de la ecuación que determinaba a la función a lo largo de todo el dominio de valores de la variable independiente, mientras que la discontinuidad en una función significaba el cambio de la ley analítica, es decir, la existencia de dos leyes distintas en dos o más intervalos de ese dominio. Las curvas discontinuas, explicaba Euler, están compuestas por partes continuas, siendo ésta precisamente la razón por la que se les denomina mixtas o irregulares; a veces, también llamaba a estas curvas mecánicas. En geometría, según Euler, se estudian principalmente las curvas continuas (es decir, las analíticas). Las funciones discontinuas o mixtas, así como las curvas del Volumen 2 de la. Introductio (de L Euler), corresponden a nuestras funciones analíticas por intervalos; en consecuencia, su inclusión en el análisis matemático no ofreció ninguna ampliación esencial del concepto de función. En torno a esta discusión (sobre continuidad) se encamino el desarrollo del concepto y también de las definiciones posteriores, así de la transición entre series de potencias y de funciones trigonométricas y la inmutabilidad a la expresión analítica de la función se pasa al análisis de la misma en el sentido de esta primer clasificación formal que tiene, se observa en esto una relación directa con el desarrollo de la idea de continuidad en los números reales. 1.4.6 La continuidad El estudio sobre la continuidad, la clasificación de funciones, la expresión o no en series de Fourier entre otros fueron los temas principales que motivaron la consolidación en algunos casos y la transformación en otros de las definiciones dadas. La última definición y mas general dada por Euler fue motivo de reflexión y se empleo como base para las nuevas, sin embargo paulatinamente el camino en la evolución del concepto de función tomo nuevos rumbos. Después de la definición de Fourier, Nikolái Ivánovich Lobatchevsky (1792,1856) y Gustav Lejeune Dirichlet (1805,1859) publicaron definiciones mucho más extensas. Capítulo 1: Aspectos Históricos 25 Lobatchevsky escribía en 1834 “El concepto general exige que se denomine función de x a un número que esté dado para toda x y que cambie gradualmente junto con x. El valor de la función se puede dar, ya sea mediante una expresión analítica, o a través de una condición que ofrezca un medio para probar todos los números y seleccionar uno de ellos; o, finalmente, la dependencia puede existir, pero permanecer desconocida.” (Youschkevitch, 1976, p.32) En esta definición se devela las ideas sobre funciones continuas y discontinuas y la exclusión definitiva del condicionante de única expresión analítica para dar la dependencia entre las magnitudes, cantidades o variables. Con el propósito de seguir analizando la continuidad de funciones y ampliar o mejorar la definición; Augustin Louis Cauchy (1789,1857) realiza un aporte planteando “Cuando hay cantidades variables, de tal modo vinculadas entre sí, que estando dado el valor de una de ellas se pueden determinar los valores de todas las demás, por lo común se concibe a estas diversas cantidades como expresadas por medio de una de entre ellas, que entonces toma el nombre de variable independiente; y las demás cantidades expresadas por medio de la variable independiente son lo que se denomina las funciones de esa variable” (Youschkevitch, 1976, p.32). Aparece explícitamente en esta definición el elemento de correspondencia entre variable independiente y dependiente (función), así paulatinamente se abre camino esta concepción y su inclusión para la definición de función. El profundizar en el estudio de problemas de la física en temas como termodinámica, ondas y electromagnetismo y la imposibilidad de modelarlos mediante funciones continuas o no analíticas motivó que los matemáticos se interesaran en ampliar el alcance de las nociones y definiciones del concepto de función. Uno de estos matemáticos fue Dirichlet quien insatisfecho por los planteamientos de Fourier para las series y los inconvenientes que estas presentaban en algunos aspectos de continuidad e integrabilidad desarrolló su versión de la definición de función que ampliaba el alcance para incluir la integral para funciones con un conjunto infinito de puntos de discontinuidad. En 1837 escribe la definición: Designemos por a y b dos valores fijos y por x una magnitud variable, situada entre a y b . Si a todo x corresponde un valor finito y=f(x) que varía de manera continua cuando x varía también de manera continua de a a b , diremos que y es una función continua para este intervalo. Aquí no es en absoluto necesario que y se exprese en función de x según una misma ley sobre todo el intervalo; no es necesario incluso que se posea una expresión algebraica explicita entre x e y (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). El análisis de la continuidad de funciones se encaminó hacia la idea de diferenciabilidad; en este campo se produjo gran cambio al pasar de la idea de que toda función continua era diferenciable, hasta que en un intervalo una función continua podía no tener derivada en algunos puntos; finalmente Karl Weiertrass (1815,1897) empleando la función El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 26 f ( x) b n cos(a nx) demostró que una función puede ser continua y no tener n derivada en ningún punto. El descubrimiento de que las funciones pueden tener cualquier tipo de comportamiento causó que las funciones fueran estudiadas no solamente dentro del cálculo o el análisis sino que sus límites se ampliaran. (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007) Estas curvas suavizadas sin derivada en ninguno punto dieron origen a dos elementos. La geometría fractal; cuyo desarrollo ha sido acelerado debido en parte a la evolución computacional y la aplicación de esta en campos como medicina, biología o geografía, por otro, lado la física continúa ligada como siempre a la evolución del concepto de función, pues si se atiende al llamado movimiento browniano que describe por ejemplo una partícula sumergida en un fluido viscoso se puede observar que se corresponde con una función cuya curva es continua pero sin tangente en ningún punto. 1.4.7 Último desarrollo: La Teoría de Conjuntos Con la creación de la teoría de conjuntos creada en gran medida por Goerg Cantor (1845,1918) el concepto de función siguió evolucionando, de esta manera se amplio para incluir todas aquellas correspondencias arbitrarias que cumplan o satisfagan la propiedad de unicidad lo cual significa o implica que en una correspondencia entre por ejemplo dos conjuntos A y B a cada elemento del conjunto A este relacionado con único (uno y solo uno) elemento del conjunto B, lo cual usualmente se simboliza f : A B . Bajo este predicado se observa claramente que la noción correspondencia para el concepto de función migró al de relación siendo este último concepto o noción próxima al de función principalmente bajo la óptica conjuntista. A la par de la idea de relación nace la de asociación por medio de una expresión analítica para vincular elementos de conjuntos numéricos, esta última idea ha tenido un lugar fundamental en la práctica matemática inclusive en la actual (Youschkevitch, 1976). 1.4.8 Definiciones abstractas y generalizadas El método analítico de la introducción de funciones que revoluciono las matemáticas y que debido a su eficacia aseguro un lugar central en el estudio del concepto de función procuró el desarrollo de este concepto a formas tan diversas y variadas como complejas. Al respecto de esto es pertinente considerar la reflexión: En diferentes textos didácticos (del s. XX) sobre análisis matemático podemos encontrar todavía la vieja idea de identificar las funciones con las expresiones analíticas sin hacer referencia a correspondencias arbitrarias entre conjuntos abstractos. Realmente para el análisis matemático y su concepción moderna de Capítulo 1: Aspectos Históricos 27 teoría de funciones, continúa siendo suficiente asociar este concepto al de expresión analítica (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). En esta última parte de desarrollo histórico que ha presentado el concepto de función se presentaran algunas precisiones y definiciones dadas en el siglo XX El primero en formular una definición basada en la idea de conjuntos abstractos fue Richard Dedekind (1831,1916); en su definición él llama sistema a lo que se conoce hoy como conjunto, y a función la denomina representación: Por una representación φ de un sistema dado entendemos a una ley, de acuerdo a la cual a cada elemento determinado s del sistema se le asocia un determinado objeto que se denomina imagen de s y se denota por el símbolo φ(s); es posible decir que φ(s) corresponde al elemento s, o que φ(s) se obtiene de s por medio de la representación, o que s es transformado en φ(s) por la representación φ (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). Con el fin de resolver las dificultades y criticas hechas a las definiciones dadas por Cantor y Dedekind respecto a la aparición de las nociones no definidas conjunto o sistema y aplicación o representación, en 1911 Giuseppe Peano (1858,1932) brinda una nueva definición, en esta se parte de la definición de producto cartesiano entre conjuntos dejando como única noción indefinida conjunto, así producto cartesiano X × Y = 𝑥, 𝑦 : 𝑥 ∈ X, 𝑦 ∈ Y luego da la definición de relación como subconjunto del producto cartesiano R X Y , finalmente define función como una relación especial “si dos pares ordenados (x,y) y (x,z) con el mismo primer elemento están en relación funcional f entonces necesariamente y=z” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 163). Basados en la teoría de conjuntos el colectivo francés autodenominado Nicolás Bourbaki plantea hacia 1939 una definición de función teniendo como eje conceptual la correspondencia entre conjuntos al igual que Cantor y Dirichlet, la definición dada es: Sean E y F dos conjuntos, que pueden o no ser distintos. Una relación entre un elemento variable x de E y un elemento variable y de F, se llama relación funcional en y, si para todo x en E, existe un único y en F el cual está en la relación dada con x. Damos el nombre de función a la operación que, de esta forma, asocia cada elemento x en E con el elemento y en F que está en relación con x, se dice que y es el valor de la función en el elemento x, y se dice que la función está definida por la relación dada. Dos relaciones funcionales equivalentes determinan la misma función. (Sastre Vázquez, Rey, & Boubée, 2008, p.152). En la actualidad esta definición es aceptada como una de las más formales para el concepto de función. 2. Aspectos Disciplinares 2.1 Concepto de función El recorrido por la historia del concepto de función permite identificar su evolución desde los babilonios hasta la definición que se usa actualmente y que se debe esencialmente al colectivo Nicolás Bourbaki. Esta definición se da rigurosamente dentro de la teoría de conjuntos teniendo como soportes principales tres pilares o conceptos previos: pareja ordenada, producto cartesiano y relación. Por ejemplo la definición que aparece en el libro Introducción a la Teoría de Conjuntos de (Muñoz Quevedo, 2002) es la siguiente “una función es simplemente un conjunto de parejas ordenadas tal que en estas todas sus primeras componentes son distintas”. La cual evidentemente requiere de la definición precisa de los tres conceptos antes mencionados. La idea intuitiva que se tiene de pareja ordenada es un par de objetos (números, elementos, cantidades, razones, etc.) de índole matemático (o no) en los que se distingue e indica el orden establecido correspondiente; así se señala un “primer elemento” y un “segundo elemento”. A cada uno de los dos elementos se le denomina coordenada o componente. La notación convencional empleada determina que la pareja ordenada con primera componente x y segunda componente y se escribe ( x, y) . Una observación pertinente para hacer es que la pareja ordenada ( x, y) es diferente del conjunto x, ydebido a que un conjunto se define por los elementos que lo componen mientras que en la pareja ordenada el orden hace parte de la definición. Por ejemplo x, y y, x porque tienen los mismos elementos; mientras que ( x, y) ( y, x) si x y porque aunque tienen los mismos elementos difieren en el orden. De la observación anterior se obtiene que ( x, y) (w, z) si y solamente si ( x w) y ( y z ) (evidentemente en la misma posición relativa dentro de la pareja). Kazimierz Kuratowski (1896,1980) planteó la siguiente definición para pareja ordenada: 30 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Definición 1: El conjunto x, x, y se ordenada con primera componente x designará por x, y y se llamara la pareja y segunda componente y . Para el concepto de función, como ya se mencionó es fundamental el concepto de producto cartesiano entre dos conjuntos. Definición 2: Se denomina conjunto producto cartesiano entre el conjunto A y el conjunto B al que contiene todas las posibles parejas ordenadas que pueden formarse tomando su primera componente en el conjunto A y su segunda en el conjunto B , es decir Para cualesquiera dos conjuntos A, B se tiene que el producto cartesiano A B ( x, y) / x A y y B . Con esta definición ahora es fácil definir el concepto de relación entre dos conjuntos. Definición 3: Una relación R de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano entre A y B , esto es R A B . Si la pareja ordenada ( x, y) pertenece a la relación R entonces se dice que x esta relacionado con y mediante R y usualmente se escribe xRy ó R( x, y) . Comunmente al conjunto A se le llama conjunto de salida y a B conjunto de llegada. Otros nombres usuales para A y B son dominio y codomínio de la relación. Estamos entonces listos para dar la definición del concepto de función. Definición 4: Una función es una relación en la cual no existen dos o más parejas distintas con la misma primera componente, es decir, f es una función, si y solo si f es una relación y para todo x, y, z , si ( x, y) f y ( x, z ) f entonces y z . En la definición anterior si se recolectan en un conjunto las primeras componentes se tendrá el dominio de f , y si se recolectan las segundas se tendrá lo que se llama el rango de f . Definición 5: se llama recorrido o rango de una función f al conjunto de las segundas componentes de las parejas ordenadas de f ; se denota por R( f ) . Y es subconjunto del conjunto de llegada antes mencionado. Sin embargo en la definición de función generalmente se establecen de antemano el conjunto de salida y el de llegada. Tenemos entonces: Definición 6: Una función f de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano A B con la condición de que para todo x A existen y, z B de tal manera que si la pareja ( x, y) f y ( x, z) f entonces y z Capítulo 2: Aspectos Disciplinares 31 En resumen, dados dos conjuntos A y B , una función f de A en B que se nota f : A B es una relación en la que todo elemento de A esta relacionado por f con un único elemento de B . El conjunto A se llama dominio de f y el conjunto B codomínio de f . Usualmente al único elemento y B relacionado con algún elemento x A se nota f (x) . De esta forma es habitual escribir y f (x) en lugar de ( x, y) f . Es también común mencionar que y es la imagen de x , o que f (x) es la imagen de x , o que el valor tomado por f en x es f (x) . Las formas convencionales para notar una función de A en B además de f : A B son: f B 1. A f : A B, 2. x f ( x) Debido entre otras cosas al nivel de complejidad, el carácter abstracto y el lenguaje simbólico empleado, la definición dada anteriormente para función resulta inconveniente para el desarrollo del concepto en la educación básica. Se hace necesario entonces adecuar este concepto y buscar una definición pertinente al nivel de estudiantes de grados 8 y 9 con edades entre 12 y 16 años. El planteamiento que se hace en adelante busca responder ¿Qué es función? en términos e ideas claras, entendibles, posibles de emplear pero con cierta rigurosidad que permitan tal logro. Como se anotó en el capítulo anterior la definición de este concepto ha tenido un desarrollo histórico ligado a las necesidades de cada época; estas serán parte de las directrices utilizadas para responder a la pregunta. Las diferentes definiciones dadas al concepto de función a través de la historia han cambiado producto del interés y solución de problemas de las ciencias como la física. La evolución de las definiciones creó una tensión entre formalismo y utilidad debido a que plantear definiciones bastante intuitivas provenientes de tales problemas carecen de formalidad, plantear definiciones con alto nivel de formalismo y consistencia alejan tal definición de utilidad frente al problema por hacerse más generales. Los problemas estudiados que aportan al desarrollo del concepto de función generalmente tratan de relaciones entre magnitudes, estas al ser abordadas numéricamente permiten la identificación de correspondencias. Desde este punto de vista plantear situaciones que en el trasfondo encierren relaciones de dependencia entre magnitudes o cantidades brinda una aproximación a la noción de función. Entre estas situaciones se encuentran: La temperatura y presión de un gas; desplazamiento y presión de un émbolo; elongación y tiempo de un péndulo; posición y tiempo de un móvil, son ejemplos entre muchas opciones. Aunque de acuerdo a la amplísima aplicación de las funciones también son 32 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica empleadas en la modelación de situaciones geográficas, económicas, biológicas, estadísticas, etc. Estas relaciones de interdependencia llevan implícito el concepto de variable y de función. Para el tema central del presente trabajo, función lineal, se pueden mencionar situaciones de dependencia entre magnitudes como: 1. la distancia d recorrida en un tiempo t. 2. Un movimiento uniformemente acelerado donde el tiempo y la velocidad son variables; y la segunda depende del primero. 3. La ley de Ohm que relaciona la intensidad (I), resistencia (R) y voltaje (V) mediante la ecuación V R I . Todas estas expresiones que evidencian dependencia entre magnitudes de la física son posibles de generalizar bajo la expresión y m x (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, Funciones y Gráficas, 1996). Al indagar sobre las primeras definiciones dadas para el concepto de función que aparecen en textos; el libro Funciones y Gráficas (1996) las clasifica en 5 definiciones cuyo orden cronológico es el siguiente: 1. Si existe una correspondencia entre los valores de una variable independiente x y otra variable y, dependiente de aquella, de tal modo que a cada valor de x corresponde un valor de y, se dice que y es función de x (Rey Pastor-Puig Adam, 1938.) 2. Sea C un subconjunto del producto cartesiano A x B, diremos que C define una función entre los conjuntos A y B si a cada elemento de A se le asigna aquel o aquellos elementos de B que formen un par con él en uno de los elementos de C (Ediciones SM, 1967.) 3. Una relación entre dos conjuntos A y B se dice que es una aplicación cuando a todo elemento de A le corresponde un elemento de B y sólo uno. Una aplicación de un conjunto numérico en otro se denomina función (Marcos de Lanuza, 1970.) 4. En general diremos que y es función de x y lo escribiremos y = f(x) cuando, para x variable en un determinado conjunto, a cada valor de x le corresponde un solo valor de y; los valores de y constituyen otro conjunto. A y se le da el nombre de variable dependiente, porque depende de los valores que toma la x: en cambio x es la variable independiente (Lombardo Radice-Mancini Proia, 1977) 5. La característica esencial de una función o aplicación es la dependencia entre dos variables. Una función o aplicación está formada por: a) Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. b) Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. c) Regla que asigna a cada elemento del conjunto de salida uno y sólo uno del conjunto de llegada (Grup Zero. 1981.) Estas definiciones tienen como características generales presentar el concepto de función desde las nociones de: correspondencia entre valores variables, dependencia Capítulo 2: Aspectos Disciplinares 33 entre variables, correspondencia entre elementos de conjuntos y conjunto de pares ordenados, lo cual coincide globalmente con la evolución histórica del concepto de función presentada en el capitulo 1. Considero la definición mas adecuada, con lenguaje formal pero manejable por parte de los estudiantes y sobretodo aplicable al trabajo de aula en grados 8 y 9 la que aparece en el texto Teoría de Conjuntos y Temas Afines escrito por Seymour Lipschutz que es la siguiente: Si a cada elemento de un conjunto A se le hace corresponder de algún modo un elemento único de un conjunto B, se dice que esta correspondencia es una función. Denotando esta correspondencia por f, se escribe f : A B que se lee “f es una función de A en B” el conjunto A se llama dominio de definición de la función f , y B se llama codomínio de f . Por otra parte si a A , el elemento de B que le corresponde a a se llama imagen de a y se denota por f (a) que se lee “f de a” (Lipschutz, 1964). El sentido que tiene la correspondencia ya sea entre números, variables o magnitudes está dado por la idea de vincular dos de estos elementos de acuerdo con un criterio específico de asignación. En la cotidianidad se tienen situaciones como: a cada persona le corresponde un documento de identificación, a cada auto le corresponde una matricula (placa), a cada predio de corresponde una dirección, etc. Que son ejemplos de funciones. Identificar la correspondencia entre los dos elementos que están relacionados permite ordenar información, analizarla y establecer procesos de predicción. En la noción de correspondencia queda implícita la idea de fijar una regla que se asuma como criterio para realizar la asignación entre los elementos a vincular. Esta regla es el sustento de las regularidades que observan los estudiantes que son las que permiten el proceso de predicción o extrapolación en las situaciones alrededor de las funciones planteadas. Por ejemplo si un banco fija una tasa de interés para sus préstamos a cada capital prestado le corresponde un monto de intereses, esta correspondencia entre capital e intereses o cada par de valores vinculados en cualquier otra situación se expresa mediante la determinación de pares ordenados en los que la primera y segunda componentes satisfacen la regla dada. (Barnett, Ziegler, & Byleen, 2000). Es imposible definir todas las correspondencias por medio de reglas absolutas o universales. Por ejemplo “a cada niño le corresponde una madre” es una correspondencia en la que la tarea de obtener una reglas de asignación o fórmula no tendría éxito, en consecuencia toda regla establece una correspondencia, pero no toda correspondencia puede expresarse mediante una regla. Finalmente, los elementos que se hacen corresponder son cantidades o números provenientes de cada una de las situaciones susceptibles de ser analizadas; en las que la regla puede ser dada mediante una fórmula o ecuación. Sin embargo es pertinente 34 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica aclarar que como tal la ecuación o fórmula no es la función, de hecho, no toda función puede ser expresada por una fórmula así como no toda fórmula define o es una función. Casos como la circunferencia y su fórmula x 2 y 2 r 2 o una parábola horizontal de fórmula o ecuación y 2 x son ejemplos de fórmulas que no definen funciones, simplemente la ecuación o fórmula puede dar origen a una función y permite tener en este caso una versión “analítica” de la correspondencia. La noción de correspondencia permite elaborar las representaciones de relaciones y funciones por medio de pares ordenados, diagrama sagital, ecuación o regla y gráfica o plano cartesiano. Después de todo lo anterior puede decirse que responder la pregunta ¿Qué es una función? requiere para su respuesta considerar el nivel académico o escolar de quien hace la pregunta, no se trata solamente de dar una visión simplista como “una ley que regula la dependencia entre cantidades u objetos variables” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, Funciones y Gráficas, 1996), porque como ya se evidencio son varias las nociones, ideas, conceptos y requisitos en general que se necesitan tanto para definirla como para su proceso de enseñanza-aprendizaje. 2.1.1 Notaciones y representaciones de función De acuerdo con la definición de función que se tomó para el presente trabajo cuando se trata de funciones entre números reales es usual que se emplee la notación de función así: f :RR x y f (x) Es también común encontrar la notación de conjunto para una función de esta forma: f ( x, y) / y f ( x), x R, y R En algunos textos se presenta la noción de “transformación” para el concepto de función haciendo una analogía con una máquina: una función puede considerarse como un artefacto que transforma valores, el cual al ser alimentado con un número lo transforma en otro. En la gráfica se muestra esta analogía x f f (x) Gráfica 7. Analogía de la noción de función como transformación con una maquina Capítulo 2: Aspectos Disciplinares 35 En general, las distintas formas de notar una función están asociadas a la noción o idea de las que parten ya sea correspondencia, transformación, dependencia, aplicación. Por otro lado, las funciones pueden ser representadas de múltiples formas10 cada una de ellas favorece una noción, característica o elemento particular del concepto de función. Una función puede tener múltiples representaciones, entre ellas se encuentran: diagramas sagitales, conjunto de pares ordenados, tablas, ecuaciones o fórmulas, diagramas de coordenadas (plano cartesiano). Tradicionalmente se han privilegiado las últimas tres. 2.1.2 Diagramas sagitales La representación de una función mediante un diagrama sagital necesita de la determinación de dos conjuntos A y B así como de su representación en diagramas de Venn, usualmente el primer conjunto A es el dominio y es el conjunto de salida, B es el codomínio llamado también conjunto de llegada. Los elementos de B que son “compañeros” de algún elemento de A un subconjunto B llamado Rango de la función o conjunto de imágenes. Cada elemento del conjunto de salida se vincula mediante una flecha con un elemento del conjunto de llegada. De esta manera se establece la función entre los dos conjuntos mediante la correspondencia establecida. Para esta representación si los conjuntos a trabajar son infinitos ante la imposibilidad de escribir todos los elementos se deben tomar algunos. La gráfica 7 muestra una función representada por medio de diagrama sagital. f A B 0. 1. .0 .1 .2 .3 2. 3. 4. .4 Rango (Conjunto de imágenes) .5 .6 . .7 .8 . DOMINIO (Conjunto de salida) CODOMINIO (Conjunto de llegada) Gráfica 8. Diagrama sagital de una función entre los conjuntos A y B 10 En el siguiente capitulo se analiza las implicaciones didácticas asociadas a estas representaciones y demás aspectos pedagógicos concernientes a la representación de funciones. El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 36 2.1.3 Conjunto de pares ordenados En esta representación se hace explícita una a una cada pareja ordenada ( x, y ) de la función. La primera componente pertenece al conjunto de salida o dominio y la segunda componente pertenece al de llegada o codomínio y es el valor el valor de la función en “ x ” o f (x) y las parejas ordenadas serian entonces de la forma ( x, f ( x)) . Al igual que con el diagrama sagital los conjuntos infinitos quedan representados de forma parcial por algunos elementos únicamente; de ahí que sea necesario hacer la expresión del conjunto de parejas por comprensión por ejemplo f {( x, y) R 2 , y x 3 } , mientras que las funciones entre conjuntos finitos son posibles de representar por completo si no son muy grandes. Por ejemplo a continuación se muestra una función entre conjuntos finitos representada como conjunto de parejas ordenadas por extensión. EJEMPLO f (0,0)(1,2)(2,4)(3,6)(4,8)(5,10) 1. En este caso el dominio de la función f es el conjunto D( f ) {0,1,2,3,4,5} y el codomínio Cod ( f ) {0,2,3,6,8,10} 2.1.4 Tablas Esta forma de representar, mostrar y expresar funciones fue la primera conocida por el hombre. En la cotidianidad es una de las formas naturales y más útiles que se tiene para la organización de datos de estudios, prácticas experimentales, etc. En ella se ordena la información para presentar la correspondencia entre cantidades en dos filas o columnas; la primera corresponde al conjunto de salida y la segunda al de llegada. Esta representación de relaciones funcionales tiene las mismas restricciones presentadas para los diagramas sagitales y pares ordenados con respecto al manejo de los conjuntos finitos e infinitos. Una de las ventajas que presenta elaborar tablas es que: “permite descubrir regularidades como son diferencias constantes, diferencias que crecen (o decrecen) regularmente, productos o cocientes constantes, etc.” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996). Así el poder evidenciar la variación entre las cantidades del conjunto de imágenes posibilita la formulación de un modelo matemático11. La representación de la función f ( x) 2 x empleando el registro tabular se muestra en la tabla 4. 11 Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro. Capítulo 2: Aspectos Disciplinares x y f ( x) 2 x 3 2 2 4 1 1 2 37 1 2 2 2 0 1 1 2 2 1 3 2 2 5 2 2 2 2 4 4 2 x Tabla 5. Representación en una tabla de algunos valores que satisfacen la función y = f(x) =2 . 2.1.5 Plano Cartesiano Gráfica 9. plano cartesiano, tomado de www.elplanocartesiano-fernando.blogspot.com/2011/09/e.html Se forma al trazar dos rectas numéricas reales una horizontal y otra vertical llamadas ejes formando cuatro ángulos rectos. El punto donde se cruzan los dos ejes recibe el nombre de origen del sistema y se representa con 0, usualmente de este punto hacia la derecha y arriba se consideran las direcciones positivas y abajo e izquierda negativas; el eje horizontal denominado de las abscisas se conoce como eje x, el eje vertical denominado de las ordenadas se conoce como eje y. De esta manera se hace corresponder cada componente de una pareja ordenada con los ejes así: la primera componente con el eje x y la segunda con el eje y. Cada punto P del plano cartesiano se representa por medio de una pareja ordenada de números reales (x,y) llamados coordenadas del punto P. La que la primera componente representa la distancia medida sobre el eje horizontal desde el origen hasta el punto P, esta es la abscisa. La segunda componente llamada ordenada representa la distancia medida sobre el eje vertical desde el origen al punto P. Si en el punto P con coordenadas ( x, y) x 0 y y 0 entonces P se ubica en el primer cuadrante, si x 0 y y 0 entonces P se ubica en el segundo cuadrante, si x 0 y y 0 entonces P se ubica en el tercer cuadrante, si x 0 y y 0 entonces P se ubica en el cuarto cuadrante, si x 0 y y 0 entonces P es el origen. Dos parejas ordenadas 38 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica ( x, y) y ( x1 , y1 ) representan el mismo puntos si y solo si x x1 y y y1 . En la gráfica 8 se muestra un plano cartesiano con la indicación de los cuadrantes y la ubicación de las parejas ordenadas según las condiciones dadas. 2.1.6 Ecuaciones y fórmulas Es la forma de representar una función por medio de una expresión escrita en la que se explicita la relación entre las variables, esta expresión analítica puede ser algebraica (polinómica) o no y, corresponde a la regla de correspondencia o dependencia entre cantidades o magnitudes. Las dos formas que más se emplean son: y ax n bx m ... f ( x) ax n bx m ... Con estas tres ultimas representaciones se forma una triada que está mutuamente vinculada; así cada ecuación genera una y solo una gráfica cartesiana que se corresponde unívocamente con un conjunto de parejas ordenadas, pero a su vez una ecuación produce un conjunto de parejas ordenadas posibles de disponer parcialmente en una tabla que a su vez origina una y solo una gráfica cartesiana. 2.2 Función lineal Una función lineal tiene la expresión analítica y f ( x) mx b , Donde m y b son números reales y m 0 . m es la pendiente o razón de cambio de y con respecto a x y, b es la intersección de la gráfica con el eje vertical. 2.2.1 Gráfica de una función lineal La gráfica de una función lineal se considera como la representación geométrica de la misma, es importante debido a la posibilidad de análisis y la observación de atributos de la función como son la pendiente (inclinación) e interceptos con los ejes. Para realizarla se establece una correspondencia del producto cartesiano entre números reales ( x, y) / x , y y los puntos del plano cartesiano; de tal manera que a cada elemento de cuya forma es ( x, y) se le asigna un punto P del plano cartesiano, entonces los valores de la abscisa y la ordenada del punto P son respectivamente x y y . Capítulo 2: Aspectos Disciplinares 39 Como en una función lineal se tiene que y mx b se obtiene que las componentes o coordenadas de las parejas ordenadas ( x, y) de una función lineal son x y mx b es decir de la forma ( x, mx b) siendo estas subconjunto de . Se sabe por geometría plana que por dos puntos P1 : ( x1 , mx1 b) y P2 : ( x2 , mx2 b) pasa una sola recta. Cualquier otro punto Pn que pertenezca a la recta y por tanto a la función tiene coordenadas Pn : ( xn , mxn b) En la gráfica 9 se muestra la ubicación de algunos puntos de una función lineal de forma generalizada. EJE Y P1=(x1 , mx1+b) P2=(x2 , mx2+b) P3=(x3 , mx3+b) P4=(x4 , mx4+b) P5=(x5 , mx5+b) EJE X Gráfica 10. Gráfica cartesiana de una función lineal mostrando parejas ordenadas que la componen. 2.2.2 Pendiente La inclinación de una recta esté o no graficada en un plano cartesiano es un atributo posible de ser caracterizado y determinado desde naciones primitivas producto de experiencias vividas o la sola intuición producto de la observación, dicho atributo es la pendiente o razón de cambio de la función lineal; la cual se entiende como la razón entre la elevación y el avance. m elevación avance 40 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Esto es posible de interpretarse de por lo menos 2 formas, como la variación vertical por unidad de cambio horizontal o en términos generales el cambio vertical sobre el cambio horizontal. m cambio vertical cambio horizontal Tanto el cambio vertical como el horizontal son posibles de calcular mediante la diferencia entre las componentes respectivas de dos puntos o parejas ordenadas de la forma (a, f (a)) (b, f (b)) pertenecientes a la función. El cambio horizontal se calcula mediante la diferencia entre las primeras componentes de cada punto, usualmente esta diferencia se nota y calcula mediante x x 2 x1 b a , el cambio vertical se calcularía mediante la diferencia entre las segundas componentes de cada punto, usualmente esta diferencia se nota y calcula: y y 2 y1 f (b) f (a) , por lo tanto la pendiente es posible de calcular mediante la fórmula siguiente: y f (b) f (a) . Este cociente de diferencias es de notable importancia en el m x ba estudio del cálculo, solo se menciona pues no es tema del presente trabajo. f (b) (b, f (b)) y x f (a) (a, f (a)) a b Gráfica 11 . Gráfica ilustrativa de los incrementos horizontal y vertical de a, b, f(a) y f(b) Concluyendo, la pendiente permite determinar si una función es lineal ya que tiene como propiedad que las diferencias entre los valores de la variable y (dependiente) son constantes para iguales diferencias de la variable x (independiente). Se tiene que si m<0 se obtiene una recta cuya inclinación es también negativa y su gráfica es decreciente, por el contrario si m>0 entonces la recta tiene inclinación positiva y su gráfica es creciente. Capítulo 2: Aspectos Disciplinares 41 2.2.3 Interceptos Una recta ubicada en un sistema de coordenadas cartesianas tiene como una de sus características que si m 0 entonces la recta corta o interseca al eje vertical y al horizontal, es decir al eje Y y eje X respectivamente; a cada uno de estos dos interceptos se denomina y-intercepto y x-intercepto. 2.2.4 y-intercepto El cruce entre el eje vertical y la gráfica de una función lineal determina el punto (0,f(x)) que pertenece a esa función. En la función lineal de forma y f ( x) mx b se tiene que si x 0 entonces y f (0) m 0 b , es decir y f (0) b lo que significa que la pareja (0, b) esta en la recta que representa a la función y que justamente el valor de b es el y-intercepto. 2.2.5 x-intercepto El cruce entre el eje horizontal y la gráfica de una función lineal determina el punto (x,0) que pertenece a la función. En la función lineal de forma y f ( x) mx b se tiene que si y 0 entonces y f ( x) 0 mx b , es decir x b lo que significa que la pareja ( b ,0) esta en m m b la recta que representa a la función y que justamente el valor de es el x-intercepto. m 2.2.6 El álgebra lineal y la función lineal y afín Una de las características principales por las que se reconoce una función lineal es la forma que toma al ser graficada en el plano cartesiano. Sin embargo esta forma de caracterizarla produce una ambigüedad, debido a que tanto la expresión y f ( x) mx como la expresión y f ( x) mx b tienen como gráfica cartesiana asociada una línea recta. Es decir a veces una función lineal tiene la forma: f :RR x y mx b 42 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Y a veces tiene la forma: f :RR x y mx Caso particular del anterior; a la primera definición se le llama con frecuencia función afín. La ambigüedad descrita se presenta en diversos textos tanto de nivel básico, técnico o profesional. El concepto de función lineal se presenta en algunos como una función cuya gráfica es una línea recta (cualquiera), en otros, como casos particulares de rectas que pasan por el origen. Se tiene en Cálculo de Hughes Hallett, Gleason, & al., (1997) que se define la función lineal como aquella que tiene forma y f ( x) b mx se aclara que su gráfica es una línea con las condiciones de que m es la pendiente o razón de cambio y b es la intersección vertical. En el mismo texto se distingue la proporcionalidad como caso particular de la función lineal definiendo que si y es directamente proporcional se cumple que y k x . En El Cálculo de Louis Leithold (1998) se define análogamente la función lineal y además hace explicito el caso de una función lineal particular f ( x) x planteando ser llamada identidad. En Cálculo y Geometría Analítica de Larson, Hostetler, & Edwards (1999) se trabaja la recta presentando diferentes elementos y formas analíticas de mostrarse, no se menciona en el apartado la palabra función y se emplea: ecuación lineal. En el texto Cálculo de Tom Apóstol (1988, pág. 66) se menciona: “una función g definida para todo real x mediante una fórmula de la forma g ( x) ax b se llama función lineal porque su gráfica es una recta. El número b es la ordenada en el origen, es la coordenada y del punto (0, b) en el que la recta corta al eje y . El número a es la pendiente de la recta” (Apostol, 1988, p. 66). Como se observa, en este texto la función lineal aparece argumentada desde la obtención de una recta como gráfica y se distinguen dos atributos principales: el corte con el eje y , y la pendiente, sin embargo no se definen estos dos conceptos. Así pues en este documento no aparece mencionada la llamada función afín. En la pagina www.wikipedia.org consultada ampliamente por estudiantes de secundaria se plantea la definición de la función lineal desde dos elementos principalmente: 1. su expresión algebraica representa un polinomio de primer grado y 2. Su representación gráfica cartesiana es una recta: “una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta.” Sin embrago esta definición no puntualiza ni desambigua el concepto, de hecho en los párrafos siguientes menciona: “Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma: f ( x) mx mientras que llaman función afín a la que tiene la Capítulo 2: Aspectos Disciplinares 43 forma: f ( x) mx b cuando b es distinto de cero” dejando abierta la opción de aceptar o no tal clasificación. El tratamiento dado al concepto de función lineal difiere de textos a textos; ninguno de ellos aporta significativamente a desambiguar función lineal y función afín. Con el propósito de dar argumentos claros que brinden claridad respecto a esta situación es necesario recurrir al tratamiento que se hace del tema en el álgebra lineal. La confusión tiene su origen en la no distinción de función lineal y transformación lineal; concepto este último que en el álgebra lineal está muy claramente definido. En el álgebra lineal se emplea el concepto de Transformación Lineal. Como noción o preconcepto de “anclaje” se utiliza el concepto de función, al dar una explicación se dice que una clase importante y especial de funciones entre espacios vectoriales se llaman “Transformaciones Lineales”, que tienen su mayor campo de aplicación en computación y geometría de fractales. En el libro Álgebra Lineal de Stanley l Grossman (1996) se define transformación lineal como sigue: Definición 7. Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v V un vector único Tv W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar . 1. T (u v) Tu Tv y 2. T (v) T (v) En esta definición la primera condición implica que la transformación de una suma es la suma de las transformaciones. La segunda condición que la transformación de un escalar por un vector es igual que el escalar por la transformación de un vector. A partir de la definición dada para trasformación lineal se empieza a elaborar la aclaración de la ambigüedad presente en varios textos entre función lineal y función afín. En el texto de Grossman aparece con precisión tal confusión plenamente aclarada. No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por T : por Tx 2 x 3 . Entonces la gráfica de ejemplo, defina {( x, Tx) : x } es una línea recta en el plano xy ; pero T no es lineal por y T ( x y) 2( x y) 3 2 x 2 y 3 Tx Ty 2 x 3 2 y 3 2 x 2 y 6 . Las únicas transformaciones lineales de que en son función es de la forma f ( x) mx para algún número real m . Así, entre todas las funciones cuyas gráficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En álgebra y cálculo una función lineal con dominio esta definida como una función que tiene la forma f ( x) mx b . [Como ya se había definido en el presente trabajo] Así se puede decir que una 44 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica función lineal es una transformación de en si y solo si b (la ordenada al origen) es cero (Grossman, 1996). Así pues queda establecido el origen de la ambigüedad y su clarificación. Desde este punto de vista al momento de la intervención pedagógica para el proceso enseñanzaaprendizaje del concepto de función lineal es posible decidir claramente cual definición escoger. 2.2.7 Función lineal y proporcionalidad Uno de los elementos conceptuales implícitos en el concepto de función lineal es el de proporcionalidad directa. En el estudio de la proporcionalidad hay algunos elementos que no se definen ni desarrollan y que se dan por sentados, son ellos razón, proporción y solución de problemas de proporcionalidad. Para el tema del presente trabajo resulta importante aclarar el significado de que una magnitud sea proporcionalmente directa a otra. Entre los elementos que dan claridad a esta última frase se encuentran los expuestos por María Luisa Fiol y Josep fortuny en el texto Proporcionalidad directa, la forma y el número (1990) que son una buena presentación de aspectos comunes entre la proporcionalidad directa y la función lineal. Los términos de razón, proporción y proporcionalidad adquieren un significado unificado con la noción de función lineal. Esta noción es un modelo que sintetiza diversos lenguajes, situaciones, expresiones y fenómenos. La función lineal puede considerarse como la matematización de las nociones cotidianas y utilitarias de la proporcionalidad. La función lineal representa la estructura de la proporcionalidad, sirve para visualizar los diferentes estados de variación, es decir expresa su comportamiento cualitativo. La función lineal tiene su origen en el punto de vista geométrico de la proporcionalidad cuyo esquema grafico base corresponde al esquema PROP12. Se comprueba que la transformación multiplicativa (multiplicar por una constante) 12 El esquema PROP corresponde al clásico diagrama de dos rectas paralelas y un haz de rayos que parten del mismo punto. Capítulo 2: Aspectos Disciplinares 45 así como también la comparación de rectángulos semejantes se pueden expresar de esta forma. La proporcionalidad entre dos magnitudes puede interpretarse bajo el concepto de función como una cantidad variable que depende de otra cantidad variable (Fiol & Fortuny, 1990). La representación cartesiana de la proporcionalidad origina una serie de puntos colineales de tal forma que tal función es lineal. De hecho dos medidas de dos magnitudes directamente proporcionales tienen asociada una expresión de la forma y k x en la que el valor de k es la constante de proporcionalidad y la ecuación coincide con la de una función lineal. Esta fórmula origina pares de números de la forma ( y, x) que cumplen: 1. y y1 y 2 y3 ... n k x1 x2 x3 xn 2. La pareja ordenada (0,0) aparece en toda expresión de proporcionalidad, por ello la gráfica siempre pasa por el origen del sistema. 3. f ( k x ) k f ( x) 4. f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) Las características 3 y 4 se mostraron en el apartado anterior como propiedades fundamentales de las funciones lineales, de esta forma se muestra la relación existente entre la proporcionalidad directa y la función lineal. 3. Aspectos Pedagógicos 3.1 El Aprendizaje del concepto de Función lineal Algunas investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la función han evidenciado que existen dificultades relacionadas principalmente con las representaciones y el significado de los atributos (coeficientes), por ejemplo: Azcárate (1992-1996), Sierpinska (1985-1988), Ruiz (1998) han manifestado que tradicionalmente en la escuela los maestros centran su interés en mostrar el aspecto algebraico del concepto dejando de lado en muchas ocasiones un análisis profundo y detallado sobre los elementos propios que permitan consolidar un concepto con suficiente significado para ser aprendido convenientemente. Consecuencia de esto es que los estudiantes en muchos casos terminan teniendo la posibilidad de repetir rutinas sobre objetos algebraicos que poco sentido tienen para ellos. En el libro Hacia la noción de función como dependencia y patrones de la función lineal (1997) los autores resaltan la importancia de los diferentes tipos de representaciones de las funciones en el proceso enseñanza aprendizaje; “distintas investigaciones han determinado que las representaciones asociadas al concepto [de función] ponen de relieve diferentes aspectos, así como distintos objetos que le subyacen” (García, Serrano, & Espitia, 1997, p. 3). Las implicaciones didácticas son inmediatas debido a que de acuerdo al interés de la intervención pedagógica una u otra representación potencia una u otra noción relacionada con el concepto de función. Por lo tanto al diseñar y ejecutar una secuencia didáctica para el aprendizaje de la función lineal como es el caso del presente trabajo se deben tener en cuenta diferentes tipos de representación de este concepto, como lo menciona García et al “el privilegio de un único sistema de representación crea significaciones restringidas del concepto, y oculta la riqueza y complejidad de su noción como objeto matemático” (García, Serrano, & Espitia, 1997, p. 3). Es evidente que existe gran diferencia entre el objeto matemático y sus representaciones asociadas; estas pueden ser empleadas como “camino” para llegar al objeto. De no presentarse distinción entre objeto matemático y representación puede caerse en la situación de que dicha representación limite el concepto al contexto en el 48 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica que fue producido y obstaculice la extrapolación de la misma o aplicación fuera en otros contextos. Con relación al desarrollo del concepto de función así como sus representaciones y el paso de una a otra es interesante el análisis de Anna Sfard sobre la reificación la cual expone como "el acto de creación de entidades abstractas adecuadas" (Sfard, 2009, p. 52) lo cual está en correspondencia con el significado etimológico: convertir una abstracción en un objeto concreto (considerar el concepto abstracto como si fuese algo concreto o físicamente existente). Desde la teoría de Sfard existen dos formas para la concepción de la función: procedimental u operacional y estructural o conceptual; (Sfard, 2009, p.53) “interpretar una noción como un proceso implica manejarlo de una manera potencial más que como una entidad real, que adquiere existencia como elemento de una sucesión de acciones… ver una noción como “objeto” significa ser capaz de reconocer la idea “de un vistazo” y manipularla como un todo, sin reparar en los detalles...” (Sfard, 2009, p. 53). La transición desde la concepción “proceso” a la concepción “objeto” es lenta y difícil. En el escenario de las funciones lineales y en sus representaciones asociadas las acciones concretas de construcción de representaciones, análisis de las mismas, paso de una a otra así como el abordaje del concepto desde diversas nociones (dependencia, correspondencia, transformación, etc.) aportan significativamente en el paso de “proceso” a “objeto” de la función lineal. La importancia de las representaciones radica en que la capacidad de reconocerlas e interpretarlas es una de las formas que tiene el ser humano de adquirir un concepto. Generalmente los conceptos matemáticos no están aislados; por el contrario tienen una red de nociones y elementos interrelacionados que en conjunto “forman” el concepto. Las representaciones asociadas al concepto de función lineal que hacen parte del presente trabajo y “que permiten expresar un fenómeno de cambio, una dependencia entre variables” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, Funciones y Gráficas, 1996, p. 61-62) son las que se mencionan a continuación. 1. Modelo físico o simulación: es el lenguaje más cercano, menos simbólico y que aparece inmediato al realizar un experimento o una simulación en computador. 2. Descripción verbal: utiliza lenguaje común para hacer una descripción generalmente cualitativa. 3. Tabla de valores: presenta una visión cuantitativa, interpretable desde la correspondencia, se identifican los pares ordenados, es parcial debido a la imposibilidad de mostrar la totalidad de datos. 4. Gráfica: da una visión global y completa de la función a nivel cualitativo como cuantitativo, permite la generación de modelos, posibilita “ver” características de variación, crecimiento, continuidad, concavidad, máximos, mínimos, periodicidad, cambio, etc. 5. Fórmula o ecuación: brinda una visión cuantitativa y cualitativa general de la función, también permite observar las características de variación, crecimiento, continuidad, Capítulo 3: Aspectos Pedagógicos concavidad, algebraicos. máximos, 49 mínimos, periodicidad, cambio empleando métodos Estas dos últimas representaciones son las de mayor abstracción y por tanto son las más complejas, proporcionan más y mejor información que las anteriores. La representación algebraica requiere del conocimiento de los símbolos empleados y el empleo de ellos para interpretar conceptos abstractos, la ecuación permite la determinación de valores de forma precisa y la gráfica por su lado da valores aproximados y permite la observación de atributos de forma más intuitiva. Como ya se dijo “el aprendizaje de las funciones [incluida la función lineal] pasa, en primer lugar, por un conocimiento de cada uno de estos lenguajes de representación, es decir, por la adquisición de la capacidad para leer e interpretar cada uno de ellos y posteriormente para traducir de uno a otro” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, Funciones y Gráficas, 1996, p. 62-63). Cada una de las traducciones entre las representaciones presupone una acción o procesos que aportan a la reificación del concepto de función. A continuación se muestra en la tabla 5 el planteamiento que hace Janvier (1978) sobre las acciones que se deben ejecutar para realizar el paso de una a otra representación. Hacia Descripción Desde verbal Descripción verbal Tabla Gráfica Fórmula Medida Boceto Modelo - Trazado Ajuste Tabla Lectura Gráfica Interpretación Lectura - Ajuste Fórmula Interpretación Cómputo Gráfica - Tabla 6. Traducciones entre las representaciones de función, Janver (1978) tomada del texto Funciones y Gráficas. Es tradicional que los ejercicios propuestos, tanto en textos, como por profesores en ejercicio, sean del tipo: obtenga la gráfica de la ecuación y=2x+3. Este tipo de actividades busca que el estudiante elabore de la ecuación una tabla y de ella una gráfica; lo cual evidentemente privilegia únicamente dos acciones de las descritas en la tabla 5 Cómputo y Trazado. La reiteración de este tipo de ejercicios desencadena aprendizajes mecánicos sin mucha comprensión y poca interpretación, conduciendo al estudiante a una serie de concepciones erróneas sobre el significado de la gráfica entre los que se encuentran los relacionados con su lectura e interpretación. 50 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Leer e interpretar una gráfica son acciones diferentes, mientras la lectura se refiere a acciones como identificar variables, dar significado al origen, la unidad y la graduación de los ejes, calcular valor de variables correspondientes, verificar si un punto pertenece o no a la grafica, interpretar una gráfica exige tareas mas complejas encaminadas a interpretar globalmente la función representada, variaciones que presenta, analizar variación por intervalos y no por puntos. Algunos de los procedimientos que aparecen en la tabla son difícilmente abordables en un nivel introductorio, dado que precisan de un trabajo previo sobre los modelos y un cierto dominio de los mismos, pero otros como la lectura y construcción de tablas y la lectura e interpretación de gráficas son perfectamente abordables y permiten una interesante introducción al concepto de función a partir de situaciones reales, externas a las matemáticas, que sirven de soporte concreto para la elaboración del concepto. (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, Funciones y Gráficas, 1996, p. 63) En consecuencia resulta pertinente plantear tareas de paso de una a otra representación en diferentes sentidos y por diferentes rutas sin privilegiar un único camino. Esas tareas deben ser planteadas en contextos ricos de relaciones en las que los elementos de las funciones analizadas cobren sentido y sean fáciles de comprender por el estudiante y estén lejos de cualquier tipo de ejercicios rutinarios que no aporten al aprendizaje de la función. 3.2 Comprensión y didáctica del concepto de función lineal La literatura coincide en varios elementos que resultan decisivos para una profunda comprensión del concepto de función, los elementos más destacados son: 1. Interpretación de funciones representadas por gráficas: Como ya se mencionó potenciar el análisis global de la función extrayendo no solo información explicita sino en análisis más complejos como variación y análisis de intervalos. 2. Descripción de situaciones, fórmulas y tablas: emplea el lenguaje verbal cotidiano para enunciar propiedades, regularidades y observaciones propias de las representaciones mencionadas y las diferentes relaciones que son posibles de descubrir entre ellas. 3. Modelación de situaciones del mundo real: al observar la evolución histórica del concepto de función se observó que en gran medida uno de los motores de ese desarrollo fue la ciencia y las necesidades originadas por ella. Emplear este recurso redunda en beneficio para el estudiante entre otras cosas debido a la Capítulo 3: Aspectos Pedagógicos 51 naturalidad con la que surge la información del contexto, el sentido de los elementos del modelo funcional en la situación; por ejemplo, para el caso de la función lineal la pendiente, el y- intercepto y el x-intercepto. 4. Transferencia entre las múltiples representaciones de las funciones: sin caer en la mecanización descrita en la que el tránsito se hace siempre en el mismo sentido y por las mismas rutas o representaciones, planteando tareas en las que la representación surja naturalmente como la mejor opción para presentar la información obtenida. 5. Análisis de los efectos de cambio en los elementos de las gráficas de las funciones. Para el caso particular de la función lineal lo elementos a considerar son la pendiente y los interceptos y como estos de acuerdo al valor modifican la gráfica. (Díaz Gómez, 2008) De estas cinco observaciones se desprenden, entre otras, las siguientes ideas para la enseñanza del concepto de función: 1. La propuesta de Sierpinska de introducir el concepto de función a través de una definición informal, que coincide con la opinión de Sfard de no utilizar una descripción estructural para introducir una nueva noción matemática. Es decir, más que desarrollar el proceso enseñanza - aprendizaje con definiciones formales que contienen elementos no familiares para el estudiante; es preferible iniciar por aproximaciones que construyan nociones y elementos conceptuales que tenga el papel dual de ser familiar al alumno y propendan por un desarrollo matemático posterior. 2. Introducir el concepto de función lineal a través de problemas prácticos de la vida real, para que el estudiante pueda asociar los elementos principales del concepto con valores, cantidades o magnitudes de la situación o contexto. 3. Hacer un uso selectivo de las diversas formas de representación asociadas al concepto de función lineal, siguiendo como norma la evolución histórica del concepto de función, la utilidad y pertinencia de la forma de representación según el contexto de desarrollo; ya que estas han tenido papel protagónico como instrumento de cognición a lo largo de la historia, y según dice Sierpinska (1991) proporcionan contextos matemáticos dentro de los cuales se hacen relevantes niveles más profundos de la noción de función. 4. Brindar a estudiante tareas en las que lea, confronte, analice, describa, interprete diferentes formas de representaciones, y transforme o convierta unas en otras, como sugieren; Sierpinska y Janvier. 52 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 3.3 Modelación matemática Una de las principales herramientas a utilizar en la propuesta didáctica del presente trabajo consiste en la obtención de modelos lineales como elementos generalizadores y soporte teórico matemático de las situaciones analizadas y prácticas experimentales diseñadas. El carácter modelizador de la función lineal promueve un proceso más dinámico. Para este trabajo modelo matemático se concibe como un elemento teórico simbólico producto de la interrelación de las representaciones tabla, gráfica y ecuación de función y que permite hacer la descripción y análisis total del fenómeno o situación que se estudia y que además posibilita realizar predicciones en torno a la situación. La modelización matemática, sin embargo, puede ser vista como una práctica de enseñanza que coloca la relación entre el mundo real y la matemática en el centro de la enseñanza y el aprendizaje, y esto es relevante para cualquier nivel de enseñanza. Las actividades de modelización pueden motivar el proceso de aprendizaje y ayudar al aprendiz a establecer raíces cognitivas sobre las cuáles construir importantes conceptos matemáticos. (Blomhøj, 2004, p. 20) Al respecto de modelo matemático en el articulo Modelización matemática: Una teoría para la práctica se define como “una relación entre ciertos objetos matemáticos y sus conexiones por un lado, y por el otro una situación o fenómeno de naturaleza no matemática” (Blomhøj, 2004, p. 21). Lo cual da por hecho que dada una situación cotidiana en la que se esta haciendo uso de las matemáticas implícita o explícitamente involucra un modelo matemático; por lo tanto las condiciones para que un estudiante manipule un modelo matemático son que reflexione sobre sus relaciones y que a su vez sea capaz de entender la situación así como la matemática que esta lleva, y como a pesar de ser distintas están relacionadas. Usualmente se presentan situaciones que no son fáciles de analizar. Las matemáticas intervienen aportando las relaciones y sus propiedades para comprender o construir modelos que permitan describir y explicar la situación, verificar los datos y predecir conclusiones. La modelación se convierte entonces en una herramienta poderosa para motivar el aprendizaje de las funciones lineales, dado que a partir de contextos matemáticos, análisis de situaciones cotidianas o practicas experimentales surge la necesidad de relacionar variables, analizar correspondencias de datos, realizar generalizaciones, predecir comportamientos, relacionar e interpretar representaciones, entre otros procesos que aportan a la comprensión del concepto de función. Detrás de cada modelo matemático existe un proceso de modelización, es decir, de forma global un modelo se entiende como el producto de la modelización. “Esto significa que alguien de manera implícita o explícita ha recorrido un proceso de establecer una relación entre alguna idea matemática y una situación real”. (Blomhøj, 2004, p. 23) Para Capítulo 3: Aspectos Pedagógicos 53 este autor un proceso de modelización matemática consiste en los siguientes seis subprocesos: 1. Formulación del problema: formulación de una tarea (más o menos explícita) que guíe la identificación de las características de la realidad percibida que será modelizada. 2. Sistematización: selección de los objetos relevantes, relaciones, etc. del dominio de investigación resultante e idealización de las mismas para hacer posible una representación matemática. 3. Traducción de esos objetos y relaciones al lenguaje matemático. 4. Uso de métodos matemáticos para arribar a resultados matemáticos y conclusiones. 5. Interpretación de los resultados y conclusiones considerando el dominio de investigación inicial. 6. Evaluación de la validez del modelo por comparación con datos (observados o predichos) y/o con el conocimiento teórico o por experiencia personal o compartida Este proceso de modelización se sigue de forma global en las actividades “Práctica Experimental” presentes en la propuesta didáctica (capítulo 4). Cada una de las partes de la actividad trata de corresponder a los propósitos de los subprocesos descritos, a manera de producto en cada una de las actividades se espera la obtención de una expresión que corresponda a un modelo de función lineal; la cual como ya se dijo logra describir junto con las demás representaciones –gráfica y tabla- lo más exacto y mejor posible la situación de la cual surgió. El proceso de modelización no debería ser entendido como un proceso lineal. Sin embargo en la secuencia didáctica se dan planteamientos claros de acciones individuales que al ser concatenadas logren la obtención del modelo. “Un proceso de modelización siempre toma la forma de un proceso cíclico donde las reflexiones sobre el modelo y la intención de uso de éste, conduce a una redefinición del modelo” (Blomhøj, 2004, p. 23). Pese a que las “prácticas experimentales” conservan una estructura con secciones similares también encierran en su diseño el objetivo de que el estudiante plantee estrategias acondicionadas a su experiencia de tal modo que la construcción del modelo lineal no necesariamente es secuenciado en orden jerárquico de acuerdo con los seis subprocesos. En la gráfica 11 se observa un esquema planteado por Blomhøj (2004) en el que se ilustra el carácter dinámico del proceso de modelización. 54 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica MUNDO REAL FORMULACION DEL PROBLEMA VALIDACIÓN DOMINIO CONCEPTUAL VERIFICACION SISTEMATIZACIÓN INTERPRETACIÓN- APLICACIÓN MODELO REPRESENTACIONES MATEMATIZACIÓN ANÁLISIS DEL SISTEMA SISTEMA MATEMÁTICO Gráfica 12. Modelo gráfico de un proceso de modelización, adaptado de (Blomhøj, 2004) 3.4 Variación y función lineal Las funciones lineales están consideradas en el escenario educativo colombiano dentro del dominio conceptual denominado pensamiento variacional y sistemas algebraicos como aparece en los documentos Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2006) y Lineamientos Curriculares Matemáticas (Ministerio de Educación Nacional, 1998). En estos documentos se define el pensamiento variacional como el que “tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos” (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2006). A partir de la definición anterior la elaboración de la propuesta didáctica vincula estos elementos desde las descripciones hechas previamente, de igual manera la propuesta analiza situaciones cotidianas de diversos campos de aplicación como las ciencias y las finanzas, plantea situaciones que potencian el uso de diferentes tipos de registro y promueve su uso como estrategia de percepción, caracterización, descripción y representación, privilegia el planteamiento de prácticas experimentales contextualizadas principalmente en las ciencias y las emplea como recurso para la obtención de modelos lineales, trabaja con contenidos matemáticos pertinentes para la construcción del concepto de función lineal y de los elementos propios de este tópico para producir Capítulo 3: Aspectos Pedagógicos 55 comprensión a partir del análisis y comparación de sus formas de representación –gráfica cartesiana, tabla y ecuación-. Igualmente, en el documento Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas se hace explícita la necesidad de continuar en la educación básica secundaria con el desarrollo del pensamiento variacional mediante el empleo de modelos funcionales; para el caso del presente trabajo función lineal y afín13 “nociones y conceptos propios del pensamiento variacional, como constante, variable, función, razón o tasa de cambio, dependencia e independencia de una variable con respecto a otra, y con los distintos tipos de modelos funcionales asociados a ciertas familias de funciones, como las lineales y las afines (o de gráfica lineal), las polinómicas y las exponenciales, así como con las relaciones de desigualdad y el manejo de ecuaciones e inecuaciones.” (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2006) La noción de función unifica elementos conceptuales “previos” como razón, proporción y proporcionalidad. Existen planteamientos que indican que la función lineal es la matematización utilitaria de la proporcionalidad, el proceso de relacionar números que representan las medidas de objetos o cantidades aportan significativamente a la construcción mental de función, por lo tanto si las relaciones encontradas entre esos números son de proporcionalidad entonces directamente se aporta a la conceptualización de función lineal. la proporcionalidad entre dos magnitudes puede interpretarse bajo el concepto de función dado por Euler “si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, Funciones y Gráficas, 1996) la que puede entenderse como una cantidad variable que depende de otra cantidad variable; y lleva implícitas características como correspondencia, dependencia y variables, así pues la proporcionalidad se comportaría como una correspondencia entre dos cantidades. (Fiol & Fortuny, 1990). Es importante distinguir las funciones lineales de las no lineales y conectar el estudio de la proporcionalidad directa con las funciones lineales. Es importante también tener en cuenta que las funciones permiten analizar y modelar distintos fenómenos y procesos no sólo en problemas y situaciones del mundo de la vida cotidiana, sino también de las ciencias naturales y sociales y de las matemáticas mismas. (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2006) Una de las razones contundentes por las que se hace necesario en la educación secundaria el estudio de la variación es debido a lo fundamental que resulta para los procesos de generalización que inciden en la aplicación de capacidades a situaciones abstractas. Es decir el desarrollo de un verdadero pensamiento abstracto. 13 La aclaración de la ambigüedad entre las dos (función lineal y función afín) se hizo en el capítulo 2 por lo que se usa indistintamente los términos función lineal o función lineal y afín. 56 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Las acciones concretas que los estudiantes al terminar grado noveno deben estar en capacidad de realizar en las que la propuesta didáctica del presente trabajo hace su énfasis (posiblemente aporta en una u otra medida en otras acciones) consignadas en el documento Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas para noveno principalmente son: 1. Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. 2. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. 3. Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. 4. Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación. 5. Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan. 6. Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas. 4. Aspectos Didácticos La propuesta de intervención pedagógica que se presenta a continuación recoge los elementos analizados y descritos en los capítulos anteriores. La primera parte permite aclarar el concepto de función con elementos conceptuales de correspondencia de acuerdo con la definición dada en el texto Teoría de Conjuntos y Temas Afines de la serie Schaum. En seguida se aborda específicamente el concepto de función lineal desde la correspondencia, la dependencia y la transformación. En el desarrollo de la propuesta se presentan las diferentes formas de representación de función como tablas, gráfica cartesiana, fórmulas y se privilegia el paso de una a otra en diferentes sentidos y por distintas rutas. Cada una de las actividades es escogida teniendo como criterio fundamental el potencial que tenga de desarrollo de elementos conceptuales propios de la función lineal que permitan al estudiante un aprendizaje significativo del tema. Se ha visto que un concepto no puede ser aprendido a partir de una sola clase de situaciones, y que se requiere tratar todas aquellas situaciones en las que el concepto interviene, las que le dan sentido. El aprendizaje se produce por adaptación al medio y la situación juega el papel de medio con el que el alumno interactúa… la noción de situación didáctica va mas allá de la idea de mera actividad práctica. Una situación busca que el alumno construya con sentido un conocimiento matemático, y nada mejor para ello que dicho conocimiento aparezca a los ojos del alumno como la solución optima del problema a resolver. (Chamorro, 2003) En la propuesta se plantean tres tipos de actividades: análisis de situaciones, contexto matemático y práctica experimental. En las del primer tipo se plantean y abordan escenarios simulados en contextos cotidianos o culturalmente conocidos y a partir de ellos se potencia el análisis de los elementos conceptuales de la función lineal que se están desarrollando. En las de segundo tipo el contexto del planteamiento es netamente matemático; se abordan los principales elementos conceptuales de función lineal y sus representaciones; en este tipo de actividades se presenta inicialmente el componente “teórico” con el cual se debe desarrollar la actividad. En el tercer tipo de actividades planteo algunas prácticas de ejecución simple y con materiales que se pueden conseguir fácilmente. La ejecución, análisis y discusión de estos laboratorios dan paso a la 58 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica significación del concepto de función lineal, debido entre otras cosas, a que cada elemento de la función lineal tiene un sentido y significado en la práctica. Las actividades están diseñadas y redactadas para que sean abordadas autónomamente por los estudiantes. Considero, sin embargo, como aporte en el proceso enseñanza aprendizaje que la socialización y discusión de las actividades en forma de plenaria o con compañeros generaría cuestionamientos que a la postre redundarían en mejor aprendizaje del tema. 4.1 Propuesta Didáctica 4.1.1 Contexto Matemático: “Cada quien con su pareja” Es usual representar funciones empleando diagramas sagitales en los cuales se señala o indica explícitamente cada pareja que forma la función, mediante el uso de la flecha se muestra la correspondencia entre cada elemento del conjunto de salida con el elemento relacionado del conjunto de llegada. Por ejemplo: Si A es el conjunto de los gases nobles y B es el conjunto de los símbolos de dichos elementos: A={helio, neón, argón, kriptón, xenón, radón} B={He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn} Al hacer el diagrama sagital que muestra la correspondencia s entre el nombre del gas con el símbolo químico se aprende a manejar la simbología de algunos elementos químicos: A s B Helio Rn Neón Xe Argón He Kriptón Kr Xenón Ar Radón Ne Capítulo 4: Aspectos Didácticos 59 EJERCICIOS En cada caso elabore el diagrama sagital que muestre la correspondencia entre los elementos de los conjuntos dados de acuerdo con el criterio dado. 1. A cada valor le corresponde una moneda. A={50, 100, 200,500,1000} B={ , , , 2. A cada vehículo o medio de transporte asocie un tipo de rueda. A={ , B={ , , , , , , } , } 3. A cada letra le corresponde una clasificación gramatical. A= {q, i, d, b, n, o, e, s, l, j, t, x, a, h, g} B= {vocal, consonante} 4. A cada número natural menor que 15 le corresponde una propiedad. A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14} B={primo, compuesto} 5. A cada figura geométrica le corresponde un nombre. A={ , , , , } B={círculo, rectángulo, rombo, pentágono, triángulo} , } El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 60 4.1.2 Contexto Matemático: “Cosas de familia” El siguiente es el árbol genealógico de una familia, en este aparecen los nombres de los miembros así como la edad de cada uno actualmente. Las líneas horizontales indican las parejas de esposos y las verticales los hijos de cada una de las diferentes parejas. Emma y Just tuvieron 4 hijos Hermelinda, Agustín, Gabriel y Arturo, los tres primeros se casaron y tuvieron hijos. JUSTINO 102 EMMA 98 105 98 HERNANDO 67 67 HERMELINDA 68 68 AGUSTIN 64 64 EXARY 48 48 RAUL 47 EDWIN 47 33 33EDISSON GLORIA 60 60 WILSON 42 42 CLAUDIA 41 41 PETER 37 28 Preguntas De acuerdo con el árbol genealógico responda: 1. ¿Cuántos hijos tienen Gabriel y Teresa? 2. ¿Quien es el menor integrante de la familia? 3. ¿Quiénes son los padres de Claudia? 4. ¿Quiénes son los hermanos de Raul? 5. ¿Cómo es el nombre del esposo de Gloria? 6. ¿Quienes son primos de Edwin? 7. ¿Quiénes son los sobrinos de Agustín? 8. ¿Quiénes son mayores que Exary? 9. ¿Quiénes son menores que Claudia? 10. ¿Entre Hermelinda y Gabriel que relación hay? 11. ¿Entre Arturo y Gloria que relación hay? 12. ¿Entre Johnatan y Peter que relación hay? GABRIEL 60 60 TERESA 54 ARTURO 57 54 57 WILMER 29 29JOHNATAN 28 28 SERGIO 16 16 Capítulo 4: Aspectos Didácticos 61 13. ¿Quiénes son tíos de Wilson? 14. ¿Quien es tía de Claudia y Sergio? 15. ¿Quien es mayor Edisson o Wilmer? 16. ¿Cuántos años de diferencia hay entre el integrante mayor y el menor? 17. ¿Cuántos nietos tienen Emma y Justino? Es posible establecer múltiples relaciones entre los miembros de la familia. Por ejemplo en el siguiente diagrama sagital se muestra la relación ser padre de que se escribe P {( x, y) : x es padre de y} “Ser padre de” Justino Hernando Agustín Gabriel Agustin Raul Exary Edwin Claudia Johnatan Sergio Hermelinda Edisson Wilmer Gabriel Wilson Arturo Peter De acuerdo con el ejemplo en la relación “ser padre de” denotada por P {( x, y) : x es padre de y} al conjunto A pertenecen los que son padres. A hace las veces de conjunto de salida y se denomina dominio. El conjunto B hace de conjunto de llegada, está formado por los que son hijos y en este caso el rango de P es igual al conjunto de llegada. EJERCICIOS: De acuerdo con el árbol genealógico: 1. Determine el dominio y rango de la relación “ser tío de” notada por T {( x, y) : x es tío de y} . Luego elabore la representación sagital de la relación vinculando las parejas que la cumplen entre los dos conjuntos. 62 2. El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Determine las parejas que cumplen la relación “ser esposos” notada por E {( x, y) : x es esposo de y} . Luego elabore la representación sagital. ¿en este caso cual conjunto es el Dominio y Cual el Rango? 3. Determine el dominio y rango de las parejas que cumplen la relación “ser primo de” notada por R {( x, y) : x es primo de y} . Luego elabore la representación sagital de la relación. 4. Determine el dominio y rango de las parejas que cumplen la relación “ser nieto de” notada por N {( x, y) : x es nieto de y} . Luego elabore la representación sagital de la relación. 5. Determinar las parejas que cumplen la relación “ser mayor que” notada por M {( x, y) : x es mayor que y} . Luego elabore la representación sagital determine el dominio y el rango. 4.1.3 Contexto matemático: “¿Es función? método de la recta vertical” De manera informal es posible decir que la gráfica cartesiana de una relación consiste en la disposición de los pares ordenados que la componen y que relacionan los dos conjuntos en un plano de coordenadas ortogonal x y. Por ejemplo: Dados los conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,} y la relación R de A en B dada por R={(1,4)(2,6)(3,6)(4,5)(5,7)} su representación sagital es: R 1 4 2 5 3 6 4 7 5 La representación cartesiana llamada plano cartesiano se elabora colocando los valores del conjunto A en el eje horizontal y los del B en el eje vertical, y cada pareja ordenada determinada por la relación se hace corresponder con un punto del plano cartesiano así: Capítulo 4: Aspectos Didácticos 63 Ahora bien en una función cada valor del conjunto A, denominado de salida y denotado usualmente como X debe “corresponder” a uno y solo un valor de conjunto B, denominado de llegada y usualmente denotado como Y. Esto implica que en la gráfica cartesiana de una FUNCIÓN al trazar una recta vertical esta solo interseca un punto de dicha gráfica; es decir, si es posible trazar una recta vertical sobre la gráfica cartesiana de una relación que intercepte dos o mas puntos entonces la relación NO ES FUNCIÓN, por el contrario, si al trazar cualquier recta vertical sobre la gráfica cartesiana de una relación ésta solamente la intercepta en un solo punto entonces dicha relación ES UNA FUNCIÓN. Por ejemplo, la siguiente gráfica cartesiana representa otra relación S diferente entre dos conjuntos, en ella es posible trazar cualquier recta vertical sin que intercepte mas de un punto de la gráfica cartesiana de la relación; por lo tanto esta gráfica representa una función. La gráfica sagital de esta función es: 64 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica S -2 3 -0.5 1 0 0 0.5 2 2 -1 3 3 En cambio en la siguiente gráfica que también representa otra relación T entre dos conjuntos, se observa que existe una recta que intercepta a dos puntos de la relación. Por lo tanto esta gráfica no representa una función ni la relación determinada e una función. La gráfica sagital de esta relación es: T -1 -1 0 0,5 1 -0,5 2 1 3 -1,5 4 0 2 Capítulo 4: Aspectos Didácticos 65 Este método para determinar si una gráfica cartesiana representa o no una función es comúnmente llamado “de la recta vertical” y es de gran utilidad en el análisis de gráficas. EJERCICIOS: Empleando el método de la recta vertical determinar si cada una de las siguientes gráficas representa una función. 66 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 4.1.4 Análisis de situación: “La rueda panorámica” El jefe de mantenimiento de un parque de atracciones mecánicas al supervisar el funcionamiento de la rueda panorámica que mantiene el ritmo todo el tiempo verificó la velocidad de la misma varias veces; él tomó datos del tiempo que tarda en dar un número de vueltas o giros en cada una de esas ocasiones. Al tratar de organizar la información en una tabla se percató de que muchos de los datos estaban incompletos pues registró en unos casos el tiempo pero olvidó el número de giros o viceversa. Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la información anterior. 1. Complete la tabla teniendo la información presente en ella. Tiempo en Minutos Número de giros 12 3 20 …208 36 7 2. ¿Cuántos minutos tarda en dar 5 giros? 14 …35 Capítulo 4: Aspectos Didácticos 67 3. ¿En 32 minutos cuantos giros da? 4. Explique el razonamiento que usted empleó para determinar el tiempo que dura al dar 35 giros. 5. Explique el razonamiento usado para determinar cuántos giros da en 208 minutos. 6. Escriba una fórmula o ecuación que relacione el tiempo con los giros. Es decir que permita calcular el número de giros para un tiempo empleado. No. Giros Tiempo (min) 7. Represente la información en un plano de coordenadas. 8. ¿Es continua la magnitud representada en el eje vertical? justifique 9. ¿Es continua la magnitud representada en el eje horizontal? justifique 10. ¿Que disposición tienen los puntos obtenidos? 11. ¿Qué información brinda cada uno de esos puntos? 12. ¿Cuántos giros exactamente da la rueda en 22 minutos? ¿coincide esta información con la gráfica? 13. ¿es posible emplear solamente la gráfica cartesiana para responder la pregunta anterior? Justifique 14. ¿Cuántos giros exactamente da la rueda en 23 minutos? justifique 15. ¿Cuántos giros exactamente da la rueda en 23,5 minutos? justifique 16. ¿Cuánto aumenta el número de giros cuando el tiempo aumenta de 4 a 8 minutos? 17. ¿Cuánto aumenta el número de giros cuando el tiempo aumenta de 8 a 12 minutos? 18. Cuando el tiempo aumenta de 60 a 64 minutos. ¿El aumento del número de giros es igual que en los casos anteriores? (literales p y q). 19. Concluya una generalidad o conjetura y exprese mediante una relación matemática (ecuación o fórmula) o con lenguaje escrito. 20. Calcule el cociente o razón entre cada par de valores correspondientes de la tabla giros miñutos El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 68 4.1.5 Análisis de situación: “El celular” Experiencias de usuarios del móvil (celular) LG t395 indican que en estado de espera la carga de la batería consume 1% en 50 minutos. Si uno de estos celulares se carga hasta alcanzar el 100% de energía y se deja en reposo. 1. 2. 3. 4. ¿Qué porcentaje se descarga en una hora? Justifique ¿Cuánto tiempo tarda la batería en llegar al 80% de descarga? justifique ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a 60% de descarga? justifique ¿Cuánto tiempo tarda en pasar de 100% a 80%? ¿Cuánto tiempo tarda en pasar de 80% a 60%? ¿Cuánto tardará en pasar de 60% a 40%? Justifique 5. ¿Cuánto tiempo tarda en descargarse totalmente? 6. Emplee el siguiente plano de coordenadas para representar el nivel de carga a medida que pasa el tiempo hora tras hora. El tiempo t=0 corresponde a la carga inicial (100%), de acuerdo con la respuesta de la pregunta anterior (literal d); ubique para t=1 (tiempo de una hora) el nivel de carga -que será mas bajo-, a continuación para t=2, t=3…etc. Nivel de carga 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tiempo (Horas) 7. ¿Cual nivel de carga tiene el celular al cabo de 5 horas (en estado de reposo)? 8. ¿Cuál nivel de carga tiene el celular al cabo de 30 horas (en estado de reposo)? 9. ¿Cuál nivel de carga tiene el celular al cabo de 33 horas? Explique la estrategia u operaciones que realizo para contestar las preguntas. Capítulo 4: Aspectos Didácticos 69 10. Utilice la estrategia anterior para contestar ¿Cuál nivel de carga tiene el celular al cabo de 35,4 horas? 11. Organice mediante una tabla los datos del nivel de energía a medida que pasa el tiempo en horas. Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Nivel de carga (%) 12. ¿En cuánto tiempo se habrá descargado por completo el celular? Justifique 13. ¿Es preciso este resultado? 4.1.6 Práctica experimental: “Temperatura del agua” Parte A: comprensión de la situación y conjeturas. Se toman 1000 cm3 de agua del grifo, se ponen a calentar. Se sabe por experiencia que la temperatura aumentara. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ¿La temperatura del agua aumentara por minuto siempre lo mismo? ¿Cuánto tiempo tardara en bullir? ¿Qué tan rápido se aumentara la temperatura? ¿El aumento de la temperatura se da con la misma rapidez en todo momento? ¿Cómo expresar la rapidez con la que aumenta la temperatura? ¿Como predecir la temperatura aproximada del agua en un tiempo dado? Si se representa mediante una gráfica la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. ¿Cuál es el tipo de gráfico más conveniente? ¿por qué? 8. ¿Qué forma tendrá la gráfica si se emplea un plano de coordenadas como el siguiente? Temperatura del agua en °C (y) Tiempo en minutos (x) El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 70 Parte B: práctica experimental. La práctica permitirá contrastar las respuestas y conjeturas anteriores con datos obtenidos de la observación y medición hecha, para ello se debe contar con: a. b. c. d. e. f. g. h. un mechero. un termómetro. un cronometro. un soporte (universal de laboratorio) un recipiente (beaker) soporte para el termómetro papel para registrar la información. papel para realizar las gráficas La práctica consiste en medir la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo, para ello se hace un montaje así: se llena con 1000 cm3 de agua del grifo el beaker se coloca sobre el soporte, bajo este se enciende el mechero y en contacto con el agua pero sin que toque el beaker va el termómetro. (Para sostenerlo se emplea el soporte de termómetro “pinzas”).(ver gráfico) 1. Antes de encender el mechero tome la temperatura a la que esta el agua. 2. Encienda el mechero y simultáneamente ponga a correr el cronometro. 3. Agite levemente el agua para que la temperatura sea homogénea más o menos cada 30 segundos durante toda la práctica 4. Al cabo de UN minutos registre la temperatura a la que se encuentra el agua. 5. Continúe registrando la temperatura del agua cada minuto hasta que burbujee (empiece a hervir). Parte C: análisis de la práctica. Observe detenidamente los datos obtenidos y registrados del experimento, una posibilidad es organizar esta información en una tabla de datos y representarlos en una gráfica de coordenadas o plano cartesiano. 1. ¿En cuánto tiempo empieza a hervir el agua? Capítulo 4: Aspectos Didácticos 71 2. ¿De cuánto en cuánto aumenta la temperatura del agua? ¿Siempre aumenta lo mismo? 3. ¿En promedio cuántos grados aumenta por cada minuto? 4. Empleando la tabla o la gráfica ¿aproximadamente Cuánta temperatura mide el agua cuando han transcurrido 7 minutos? ¿Cuánto, cuando han pasado 8,5 minutos? ¿Cuánto, cuando han pasado 8,75 minutos? Parte D: Elaborar una modelo. Hasta el momento se han empleado los datos tomados de la experimentación, estos muestran una tendencia lineal; por lo que permiten elaborar predicciones sobre la temperatura del agua para determinado tiempo o, el tiempo de ebullición. Al responder las preguntas de la parte C y sobre todo la 4, se advierte la necesidad de refinar la estrategia, pasar de la observación de la gráfica al planteamiento de algunos cálculos (lo más simplificados) que permitan contestarlas. Observar en la gráfica determinado valor y traducir la información gráfica es posible para saber el tamaño cercano para 7 minutos, este valor se encuentra en el punto medio de dos datos conocidos, el de 6 minutos y el de 8. El tamaño para 8,5 minutos exige mayor elaboración; pues este tiempo no es la mitad de dos datos conocidos; por lo que la conclusión no es que la temperatura del agua sea la mitad de las mediciones hechas entre los dos valores ya conocidos, aun mas con el tiempo 8,75 minutos la gráfica resulta insuficiente; debido a la inexactitud que presenta. Ahora cobra sentido la elaboración de un modelo que permita describir la situación lo mas fiel posible y que permita responder con procesos menos intuitivos y mas deductivos las preguntas hechas. 1. Utilice el siguiente diagrama para registrar los incrementos de la temperatura de cada medición. TIEMPO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 TAMAÑO AUMENTO DE LA TEMPERA 2. Para determinar TURAcuánto se aumenta la temperatura del agua por minuto: se divide el aumento de la temperatura entre el del tiempo transcurrido (un minuto), este valor recibe el nombre de razón de cambio y se nota mediante la letra m. Registre los resultados de cada división por cada tiempo. 72 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Intervalo de tiempo Razón de cambio 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 … 3. ¿Los valores de las razones de cambio se asemejan (son cercanos)? 4. Se obtiene ahora el valor promedio de las razones de cambio de cada intervalo de tiempo. Este valor se denomina razón de cambio promedio y, representa el valor teórico en grados que se espera debería aumentar la temperatura por cada minuto. 5. Empleando el valor de la razón de cambio promedio. ¿cuánto se espera que haya aumentado la temperatura a los 8 minutos? Comparar la respuesta con la medición hecha. Calcular le aumento de temperatura para varios tiempos. 6. Si ya es posible calcular el aumento de la temperatura del agua un tiempo arbitrario ¿Cómo calcular la temperatura teórica esperada del agua para un tiempo dado? ¿Como escribir empleando lenguaje algebraico esta respuesta? Escriba una fórmula 7. Empleando la fórmula. ¿Cómo calcular la temperatura esperada a los 7, 8,5 y 8,75 minutos? ¿se aproximan estos resultados a las observaciones y deducciones hechas con la gráfica y la tabla de los datos tomados realmente? Parte E: verificar el modelo. 1. 2. 3. 4. Hacer el gráfico de la fórmula en el mismo plano donde se graficaron los datos. Observar si la recta pasa sobre ellos, fuera de ellos, es decir describir su posición. Verificar el tiempo teórico esperado de consumo total y el obtenido en la práctica. Confrontar los resultados de cada estudiante o grupo de trabajo. Capítulo 4: Aspectos Didácticos 73 4.1.7 Práctica Experimental: “Las velas” Parte A: comprensión de la situación y conjeturas. Se tiene una vela de parafina corriente cuya altura es de 4,5 cm y su diámetro 4 mm. Al encenderla es evidente que se consumirá. ¿Cuánto tiempo tarda en derretirse? 4,5 cm 4 mm Al realizar un análisis sobre esta situación surgen interrogantes como: 1. 2. 3. 4. 5. 6. ¿Qué tan rápido se consumirá la vela? ¿El desgaste de la vela se dará con la misma rapidez en todo momento? ¿Cómo expresar la rapidez con la que se desgasta la vela? Al medir el tamaño de la vela gradualmente. ¿Disminuirá constantemente? ¿Como predecir la medida aproximada de la vela en un tiempo dado? Si se representa mediante una gráfica el tamaño de la vela a medida que pasa el tiempo. ¿Cuál es el tipo de gráfico más conveniente? ¿por qué? 7. ¿Qué forma tendrá la gráfica si se emplea un plano de coordenadas como el siguiente? Altura de la vela en centímetros (a) Tiempo en segundos (t) El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 74 Parte B: práctica experimental. La práctica permitirá contrastar las respuestas y conjeturas anteriores con datos obtenidos de la observación y medición hecha, para ello se debe contar además de la vela con: a. b. c. d. e. un encendedor o mechero. un flexómetro, una regla metálica o de pasta. un cronometro. papel para registrar la información. papel para realizar las gráficas. La práctica consiste en medir la altura de la vela a medida que pasa el tiempo, dada la dificultad para hacerlo estando encendida es conveniente simular la situación de consumo de la vela; por lo tanto se debe asegurar que las mediciones tanto de tiempo como de altura sean lo mas exactas posible. Antes de empezar asegúrese de despejar el pábilo y que la superficie donde se encuentra tanto el pábilo como la vela es horizontal (ver gráfico). 4,5cm 4,5cm 3mm 3mm Vela con pábilo cubierto Vela con pábilo descubierto 1. Tome la medida inicial de la vela sin contar el pabilo, en ese momento inicia el experimento por lo que el tiempo en ese instante es cero. 2. Encienda la vela y simultáneamente ponga a correr el cronometro. 3. Cronometre 20 segundos y apague la vela. 4. Sacuda levemente el exceso de parafina derretida de la vela y mida la nueva altura que esta tiene, registre el tiempo transcurrido y la altura de la vela. Capítulo 4: Aspectos Didácticos 75 5. Encienda nuevamente la vela, ponga a correr el cronometro; a los 20 segundos apague, sacuda, mida y registre los datos. 6. Repita nuevamente la simulación teniendo en cuanta retirar el exceso de pabilo quemado cada tres o cuatro encendidas. Parte C: análisis de la práctica. Observe detenidamente los datos obtenidos y registrados del experimento, una posibilidad es organizar esta información en una tabla de datos y representarlos en una gráfica de coordenadas o plano cartesiana. 1. ¿En cuánto tiempo se desgasta completamente la vela? 2. ¿De cuánto en cuánto disminuye el tamaño de la vela? ¿Siempre disminuye lo mismo? 3. ¿En promedio cuántos centímetros disminuye por cada 20 segundos? 4. ¿Cuántos centímetros disminuye por segundo? 5. Empleando la tabla o la gráfica ¿Cuánto mide aproximadamente la vela cuando han transcurrido 70 segundos? ¿Cuánto cuando han pasado 95 segundos? ¿Cuánto cuando han pasado 100,5 segundos (100 segundos y medio)? Parte D: Elaborar una modelo Hasta el momento se han empleado los datos tomados de la experimentación, estos muestran una tendencia lineal; por lo que permiten elaborar predicciones sobre el tamaño de la vela para determinado tiempo o, el tiempo de consumo total. Al responder las preguntas de la parte C y sobre todo la 5, se advierte la necesidad de ampliar la estrategia, pasar de la observación de la gráfica al planteamiento de algunos cálculos (lo más simplificados) que permitan contestarlas. Observar en la gráfica determinado valor y traducir la información gráfica es posible para saber el tamaño cercano para 70 segundos, este valor se encuentra en el punto medio de dos datos conocidos, el de 60 segundos y el de 80. El tamaño para 95 segundos exige mayor elaboración; pues este tiempo no es la mitad de dos datos conocidos; por lo que la conclusión no es que el tamaño de la vela sea la mitad de las mediciones hechas entre los dos valores ya conocidos, aun mas con el tiempo 100,5 segundos la gráfica resulta insuficiente; debido a la inexactitud que presenta. Ahora cobra sentido la elaboración de un modelo que permita describir la situación lo mas fiel posible y que permita responder con procesos menos intuitivos y mas deductivos las preguntas hechas. 76 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 1. Utilice el siguiente diagrama para registrar los incrementos de tiempo y las disminuciones del tamaño entre cada medición. INCREMENTO DEL TIEMPO TIEMPO 20 0 20 20 20 20 20 20 40 60 80 100 120 … TAMAÑO DISMINUCION DEL TAMAÑO 2. Para determinar cuánto se consume la vela por segundo: se divide la disminución del tamaño entre el incremento del tiempo transcurrido, este valor recibe el nombre de razón de cambio y se nota mediante la letra m. Registre los resultados de cada división por cada tiempo. Intervalo de tiempo Razón de cambio 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 . . . 3. ¿Los valores de las razones de cambio se asemejan? 4. Se obtiene ahora el valor promedio de las razones de cambio de cada intervalo de tiempo. Este valor se denomina razón de cambio promedio y, representa el valor teórico en centímetros que se espera debería disminuir la vela por cada segundo. 5. Empleando el valor de la razón de cambio promedio. ¿Cuánto se espera que halla disminuido la vela durante 80 segundos? Comparar la respuesta con la medición hecha. Calcular la disminución para varios tiempos. 6. Si ya es posible calcular la disminución de la vela para un tiempo arbitrario ¿Cómo calcular el tamaño teórico esperado de la vela para un tiempo dado? ¿Como escribir empleando lenguaje algebraico esta respuesta? Escriba una fórmula Capítulo 4: Aspectos Didácticos 77 7. Empleando la fórmula. ¿como calcular el tamaño esperado a los 70, 95 y 100,5 segundos? ¿se aproximan estos resultados a las observaciones y deducciones hechas con la gráfica y la tabla de los datos tomados realmente? Parte E: verificar el modelo 1. 2. 3. 4. Hacer el gráfico de la fórmula en el mismo plano donde se graficaron los datos. Observar si la recta pasa sobre ellos, fuera de ellos, es decir describir su posición. Verificar el tiempo teórico esperado de consumo total y el obtenido en la práctica. confrontar los resultados de cada grupo o estudiante. Sugerencia: replicar la práctica y la obtención del modelo cronometrando de 30 en 30 segundos. 4.1.8 Análisis de Situación: “Enfriamiento de una bebida” Se calienta una bebida hasta que alcanza los 87°C luego se expone al medio ambiente y se deja en reposo para que se enfríe. La siguiente gráfica muestra la temperatura del líquido dependiendo del tiempo. Enfriamiento de una bebida 100 90 (0, 87) Temperatura (°C) 80 70 60 (9, 51) 50 40 30 (18, 15) 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Tiempo (minutos) 1. 2. 3. 4. ¿A cuántos grados está la bebida después de 3 minutos? ¿Cuánto tiempo tarda la bebida en llegar a 35 grados? ¿Cómo se interpreta las coordenadas del punto (9,51) ¿Cuanta temperatura disminuye de 0 a 9 minutos? 15 16 17 18 19 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 78 5. ¿en cuánto tiempo la temperatura disminuye de 87°C a 51°C? 6. Calcule la razón de cambio de temperatura y tiempo (disminución de temperatura) / (tiempo transcurrido). ¿Cómo se interpreta ese valor? 7. Si el comportamiento de enfriamiento de la bebida continúa con la tendencia mostrada en la gráfica ¿en cuánto tiempo se espera que tarde en llegar a 0°C? 8. Empleando la razón de cambio calcular la temperatura de la bebida a los 14 minutos. Explique el razonamiento y el procedimiento. 9. Plantee una ecuación o fórmula que permita calcular la temperatura de la bebida en cualquier tiempo 10. Responda las preguntas 1 y 2 usando la ecuación. Compare las nuevas respuestas con las que dio inicialmente. 4.1.9 Análisis de situación: “Entrenamiento de atletismo” El entrenador de un atleta que se esta preparando para la maratón dando vueltas al estadio esta registrando el tiempo transcurrido a medida que cumple cada giro. Los datos los ordeno en la siguiente tabla. Giro tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3,2 6,3 9,5 12,6 15,6 18,7 21,7 24,6 27,5 10 11 12 13 30,3 33,5 36 38,5 1. Elabore la representación en gráfica cartesiana. Tiempo Giros 2. De acuerdo con los datos de la tabla y la gráfica. ¿Es posible predecir el tiempo empleado para dar por ejemplo 15 giros? 3. ¿La gráfica obtenida es una recta? 4. ¿Empleando la tabla o la gráfica es posible determinar el tiempo empleado para dar 4 giros y medio? 5. ¿Los incrementos de tiempo de uno a otro giro se mantienen constantes? 6. ¿El tiempo que tarda en dar una vuelta es siempre el mismo? ¿Por qué cree que sucede esto? 7. En la vuelta 20, 30 o 50 por ejemplo ¿el corredor mantendrá el ritmo constante? Justifique su respuesta. 8. ¿Puede obtenerse un modelo lineal que describa la situación? Justifique. Capítulo 4: Aspectos Didácticos 4.1.10 79 Análisis de situación: “salario de un vendedor” En un cultivo de café pagan a los recolectores un salario básico diario más una comisión de acuerdo a la cantidad que recojan. El lunes Pedro recogió 20 kg y le pagaron $30.000 (incluido salario básico y comisión), el martes recogió 32 kg y le pagaron $36.000 (incluido salario básico y comisión). 1. Si el miércoles recoge 27 kg ¿Cuánto dinero en total le pagarán? 2. Elabore una gráfica cartesiana kg Vs Dinero total pagado. Dinero total pagado (d) Kilogramos recogidos (kg) 3. ¿Cuánto dinero de diferencia le pagaron más el martes que el lunes? 4. ¿Cuántos kilogramos más recogió el martes que el lunes? 5. Utilizando la información anterior determine el dinero que le pagan por cada kg recogido. Dividir el dinero de más entre el café recogido de más. 6. Usando el dinero por kilogramo que le pagan y sabiendo que por 20kg le pagaron 30.000 analice cuánto dinero le darían si recoge 19 kg, 18 kg, 17, 16 … 2,1,0 kg 7. ¿Cuál es el valor del y-intercepto? ¿Qué información brinda este valor en la situación? 8. ¿Coincide el y-intercepto con el valor pagado por 0 kg de café? 9. ¿Cuánto le pagaron a Pedro por los 27 kg recogidos el miércoles? ¿Como es el procedimiento para calcular este valor? 10. Plantee el procedimiento mediante una ecuación o una fórmula. 80 4.1.11 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica Contexto matemático: “Tabla de valores” La siguiente tabla muestra la correspondencia entre algunos de los valores de x e y que se relacionan mediante una función lineal. X Y 1 7 3 11 5 15 8 21 12 29 16 37 17 39 20 45 34 73 A partir de esta tabla se puede analizar algunos elementos de dicha función. a. ¿Cuál será el valor de Y si el valor de X es 2? Para analizar esta pregunta se puede considerar que cuando “x” aumenta de 1 a 3; “y” lo hace de 7 a 11, y como el valor pedido es 2 y se encuentra en medio de 1 a 3; entonces el valor correspondiente seria también el valor medio entre 7 y 11. Así se concluye que para x=2, y = 9. b. ¿Si “x” aumenta una unidad cuánto aumenta “y”? Se debe tener en cuenta el análisis anterior, si se analiza los valores consecutivos 1, 2 y 3 para “x” y sus respectivos valores relacionados 7, 9 y 11 en “y” entonces es posible concluir que por cada unidad de “x” el valor de “y” aumenta dos. c. Si x = 0. ¿Cuánto vale “y”? Teniendo en cuanta que los valores de “y” aumentan dos unidades por cada una de “x”, y sabiendo que para x=1 el valor de y es 7 entonces para x=0 el valor de “y” seria dos unidades menos es decir y=5. d. ¿Cual es la ecuación que modela la tabla? Como los incrementos de “y” son de dos en dos, la pendiente m=2. Como para x=0 el valor de y = 5 entonces b=5 así la ecuación que modela la tabla es: Y=2x+5 Capítulo 4: Aspectos Didácticos 81 EJERCICIOS Las siguientes tablas muestran algunos valores de una función lineal. Escriba los números que faltan en cada casilla y obtenga su ecuación. X Y 3 5 5 X Y 2 8 7 X Y 0 X Y 5 -9 X Y 4 X Y 4.1.12 -2 6 11 17 29 11 35 4 9 6 15 9 17 -15 10 -19 8 19 11 25 7 0 14 7 33 19 Contexto matemático: “Hallar pendiente” Al graficar una función lineal en el plano cartesiano la recta obtenida presenta como una de sus características que se encuentra inclinada. Desde el punto de vista geométrico en las funciones lineales la pendiente es una cantidad que indica tal inclinación respecto al eje X. La pendiente de la recta es un valor constante para cada función lineal que esta dado por la expresión m y . En esta expresión y es el cambio o diferencia (resta) x entre dos coordenadas sobre el eje Y; es común referirse a este cambio como incremento vertical o incremento en el eje Y. x es el cambio o diferencia (resta) entre dos coordenadas sobre el eje X; usualmente se conoce este cambio en el eje X como incremento horizontal o incremento en el eje X14 (Weisstein). 14 Traducido y adaptado de www.mathworld.wolfram.com El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 82 En la siguiente gráfica cartesiana se presenta una función lineal y junto a ella esta su ecuación. En esta gráfica se señala la correspondencia entre los valores para y y x con los incrementos vertical y horizontal de la gráfica, de esta manera se hace explicita una forma de interpretar la pendiente en la gráfica y de obtener una a partir de la otra. 10 9 (6, 9) 8 3 7 (4, 6) 6 2 5 4 3 x 2 (2, 3) 3 3 y f ( x) 2 2 1 (0, 0) 0 0 1 2 3 4 5 6 7 EJERCICIOS Para realizar la siguiente actividad tenga en cuenta la explicación anterior o sea de acuerdo con los valores de los incrementos vertical y horizontal (la pendiente). Relacione cada gráfica con la ecuación que le corresponde: Capítulo 4: Aspectos Didácticos 83 (1 1 y f ( x) x 3 3 y f ( x) x 4 (4 2 x 3 4 y f ( x) x 3 y f ( x) (2 2 y f ( x) x 5 (3 (5 4 y f ( x) x 3 (6 Contexto matemático: “Hallar pendiente 2” 4.1.13 En el ejercicio anterior se utilizaron valores para la pendiente de la forma a , en la b siguiente gráfica se muestra la misma interpretación de la pendiente de una función lineal con valores enteros. 7 (3, 6) 6 5 y f ( x) 2 x (2, 4) 4 2 3 (1,2) 2 y f ( x) 1 1 (0, 0) 0 0 1 2 3 4 2 x 1 84 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica EJERCICIOS Relacione cada gráfica con la ecuación correspondiente: y f ( x) 2 x y f ( x) 4 x y f ( x) 3x y f ( x) 5 x 4.1.14 Contexto matemático: “Hallar y-intercepto” Una función lineal escrita de forma estándar como f ( x) mx b tiene explícitos dos de sus principales atributos. La pendiente “m” que se analizo y utilizo en la actividad anterior, y el segundo atributo es el llamado “y intercepto” cuyo valor esta dado por “b”, el yintercepto indica el punto sobre el eje Y en el cual la gráfica lo intercepta; es decir el punto de cruce de la gráfica con el eje vertical del plano cartesiano, por ejemplo: como se observa en la gráfica de la función lineal y f ( x) x 2 esta es una recta que cruza o intercepta al eje vertical en el punto 2 de acuerdo con el valor de “b” en este caso, lo cual implica que el punto (0, 2) esta en la gráfica de la función. Capítulo 4: Aspectos Didácticos 85 y f ( x) x 2 De esta manera teniendo en cuanta el valor del “y-intercepto” es posible determinar la gráfica que corresponde a una ecuación de acuerdo al cruce de esta con el eje vertical del plano cartesiano. EJERCICIOS: Determine cual ecuación corresponde a cada gráfica de acuerdo con el “y-intercepto” y f ( x) x 1,5 y f ( x) 3 x 1 y f ( x) 2 x 5 y f ( x) 3x 2,5 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 86 4.1.15 Contexto matemático: “Familia de funciones” A continuación aparecen varias funciones lineales graficadas en un mismo plano cartesiano que tienen el mismo valor del y-intercepto. ¿Cuál es la ecuación que representa cada recta? a. f ( x) 3 x2 2 f ( x) 2 x 2 f ( x) 3 x 2 1 f ( x) x 2 3 f ( x) 1 x2 5 Capítulo 4: Aspectos Didácticos 87 b. 1 f ( x) x 3 6 f ( x) 2 x 3 f ( x) 5x 3 1 f ( x) x 3 4 f ( x) x 3 f ( x) x 3 A continuación aparecen varias funciones lineales graficadas en un mismo plano cartesiano que tienen el mismo valor de la pendiente. ¿Cuál es la ecuación que representa cada recta? c. f ( x) 2 x 3 2 f ( x) 2 x 2 f ( x) 2 x 3 f ( x) 2 x 3 f ( x) 2 x f ( x) 2 x 1 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 88 d. 1 f ( x) x 1 2 1 1 f ( x) x 2 2 1 f ( x) x 3 2 1 f ( x) x 2 2 1 f ( x) x 2 4.1.16 Práctica experimental: “Geometría dinámica” Parte A: comprensión de la situación y conjeturas. Un rectángulo como el de la gráfica tiene 24cm de perímetro. 7 cm 5 cm 5 cm 7 cm 1. 2. 3. 4. Construya otros rectángulos con 24 cm de perímetro. ¿Todos los rectángulos de perímetro 24 cm tienen lados con medidas enteras? ¿Cuantos rectángulos mas cuyo perímetro es 24 cm existen? ¿Qué condiciones deben cumplir las medidas de los lados de los rectángulos cuyo perímetro es 24? Capítulo 4: Aspectos Didácticos 89 5. ¿De que forma se pueden obtener diversas medidas de lados de rectángulos cuyo perímetro sea 24? 6. Si el largo de un rectángulo midiera 7,5 cm ¿Cuánto debería medir el ancho para que el perímetro me mantenga en 24 cm? Parte B: práctica experimental. La práctica permitirá contrastar las respuestas y conjeturas anteriores con datos obtenidos de la observación, para ello se debe contar con: a. Geoplano 12 x 12 mínimo. b. Varias Bandas (pitas anudadas en los extremos) de 24 cm NO ELASTICAS c. Hoja para registrar datos La práctica consiste en tomar las bandas no elásticas de longitud constante 24 cm y construir diversos rectángulos en el geoplano, la cuadricula debe ser de 1 cm cada lado. Cada vez que se obtenga uno de los rectángulos registrar las medidas del ancho y largo. Parte C: análisis de la práctica. 1. Organice los datos en una tabla, en una fila coloque las medidas del ancho y en la otra el largo. 2. Represente en un plano cartesiano las dimensiones de los lados de los rectángulos. Ancho (a) Largo (l) 3. Si hipotéticamente la cuadricula del geoplano fuera de medio centímetro. ¿Podrían obtenerse mas rectángulos diferentes con perímetro 24 cm? 4. Si el rectángulo mide de ancho 4,25 cm ¿Cuánto debería medir el ancho para que el perímetro me mantenga en 24 cm? 5. Amplié la tabla de datos incluyendo los rectángulos que se pueden construir con medidas de medio centímetro en medio centímetro. Construya una nueva tabla. El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 90 6. Sume el ancho más el largo correspondiente de cada rectángulo. ¿Qué valores obtiene? ¿Cómo emplear este análisis para determinar las dimensiones de los rectángulos de perímetro 24 cm? 7. Exprese el anterior razonamiento con una fórmula o ecuación. 8. Si el largo de un rectángulo mide 7,63 cm. ¿Cuánto mide el ancho? Explique el procedimiento o razonamiento. 9. Plantee una ecuación que permita encontrar la longitud del ancho dependiendo del largo. 4.1.17 Práctica experimental: “Geometría dinámica 2” Parte A: comprensión de la situación y conjeturas. Se tienen diversos círculos u objetos circulares, para cada uno de ellos es posible determinar la medida de algunas de sus características por ejemplo perímetro, radio, diámetro. Al comparar los tamaños y medidas se observa que entre mas diámetro tenga la circunferencia mas perímetro también tiene surge entonces la pregunta ¿De que forma se relaciona el perímetro de una circunferencia con el diámetro? Parte B: práctica experimental. La práctica propuesta conducirá a elaborar una modelo que permita describir la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia obviamente mediado por la relación de dependencia que se de entre los dos. Para realizarla se necesita: a. b. c. d. Varios círculos de diferente tamaño u objetos circulares. Cinta métrica. Cuerda no elástica. Hoja para registrar información. La práctica consiste en tomar cada objeto y empleando la cuerda y/o el metro medir el borde o perímetro y el diámetro registrando las medidas de cada objeto. Parte C: análisis de la práctica. 1. Organice de menor a mayor las medidas de cada objeto en una tabla así: diámetro perímetro 2. Grafique en un plano cartesiano ¿Qué tipo de gráfica es? Capítulo 4: Aspectos Didácticos 91 Perímetro (p) Diámetro (d) 3. Determine el incremento del diámetro del primero al segundo objeto, del segundo al tercero, del tercero al cuarto… 4. Determine el incremento del diámetro del primero al segundo objeto, del segundo al tercero, del tercero al cuarto… 5. Registre los resultados en una tabla como la siguiente. Incremento del diámetro Incremento del perímetro 6. Calcule el cociente o división entre cada incremento del perímetro con cada incremento del diámetro respectivamente. perímetro diámetro 7. Compare los resultados de cada división ¿Qué tan cercanos entre si están? 8. El valor que se obtiene con estas divisiones corresponde a la razón de cambio o pendiente, usando el promedio de las razones se puede obtener un único valor. Calcule el promedio de las pendientes. 9. Empleando la pendiente plantee una ecuación que permita calcular el perímetro de un objeto circular conociendo el diámetro. 10. ¿cuánto medirá el perímetro de un objeto circular cuyo diámetro es 6,254 cm? 4.1.18 Análisis de situación: “Informe meteorológico” Una estación climatológica esta estudiando el comportamiento de la temperatura en dicho lugar, dentro de los experimentos realizados esta el medir la temperatura a diferentes alturas; para lo cual envían un termómetro ambiental sujeto a un globo que registra la temperatura a medida que sube. A partir de los datos tomados se estableció que la ecuación que modela la relación entre la altura y la temperatura esta dada por: t 2 m 17 , donde t es la temperatura medida y m es la altura en metros que 300 sube. De acuerdo con la información dada en la ecuación responda: 92 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 1. ¿Qué temperatura marca el termómetro cuando el globo sube 100 metros, 300 m, 1000m? 2. ¿Qué temperatura marca el termómetro antes de que se suelte el globo? 3. ¿Cada cuantos metros la temperatura disminuye 1°? 4. ¿a que altura la temperatura es 0°? 5. En esta ecuación el valor de la pendiente es 2 . ¿Cómo se interpreta este valor 300 en el problema? 6. El valor del y-intercepto en la ecuación es 17. ¿Que información brinda este dato en el problema? 7. Organice una tabla en la que relaciones metros vs temperatura represéntela en gráfica cartesiana. 4.1.19 Análisis de situación: “Dosificación de un medicamento” La dosis (d) de cierto medicamento en mg depende del peso (p) del paciente en kg. La ecuación con la que se determina la dosis para un paciente es d 7 p 200 1. ¿Qué dosis deben suministrar a un paciente de 65 kg? 2. si a un paciente dan una dosis de 379mg de medicina. ¿Cuál es el peso de esa persona? 3. ¿Cuál es el peso mínimo desde el cual es posible suministrar este medicamento? 4. ¿Cómo se interpreta que en esta ecuación la pendiente sea 7? 5. Organice una tabla en la cual relaciones la dosis que debería darse a 10 personas con diferentes pesos. Peso (kg) Dosis (mg) 6. Obtenga una representación cartesiana de la ecuación. Dosis (mg) Peso (kg) Capítulo 4: Aspectos Didácticos 4.1.20 93 Análisis de situación: “Producción de una máquina” Una maquina produce 25 tuercas cada minuto, a las 9:00 pm se empaca la producción dejando solo 1500 tuercas en el recipiente. Desde ese momento se inicia un nuevo ciclo. 1. Después de una hora ¿Cuántas tuercas habrá producido? ¿Cuántas tuercas habrá en total en el recipiente? 2. ¿cuantas tuercas habrá a las 11:30 pm en el recipiente? 3. ¿en cuánto tiempo el recipiente contiene 6500 tuercas? 4. ¿Cuánto tiempo tarda para llenar el recipiente hasta las 10000 unidades? 5. ¿Cómo es la gráfica que representa la producción de la maquina? 6. ¿Cómo se interpreta el “25 tuercas por minuto” en un modelo, ecuación o en la gráfica? 7. ¿Cómo se interpreta el “1500” en un modelo, ecuación o gráfica? 8. Plantee la ecuación que modela la situación. 4.1.21 Práctica experimental: “las sombras” Parte A: comprensión de la situación y conjeturas. A una misma hora en un mismo lugar, objetos de diferente tamaño dispuestos verticalmente proyectan sombras de diferente tamaño. Por experiencia se sabe que entre mas largos los objetos, las sombras proyectadas son mas largas también. 1. ¿Cómo se relaciona la longitud del objeto con la de la sombra? Parte B: práctica experimental. Con la práctica experimental se pretende encontrar la relación matemática entre la longitud de un objeto y la sombra proyectada a una hora determinada. Para esta práctica se necesita: a. b. c. d. e. Varillas u objetos de diferente tamaño. (que proyecten una sombra definida) Metro. escuadra Superficie plana sobre la cual marcar Hoja para registrar El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica 94 La práctica consiste en colocar uno a uno los objetos seleccionados en una superficie horizontal plana sobre la cual se proyecte la sombra y medir exactamente la longitud de la sombra proyectada, para ello: 1. 2. 3. 4. Tome un objeto o varilla. Ubíquelo sobre la superficie plana. Verifique que se encuentra completamente vertical empleando la escuadra. Señale el punto donde se ubica el objeto y desde allí mida la longitud de la sombra. 5. Registre el tamaño tanto del objeto como de la sombra. 6. Repita el procedimiento para el resto de objetos. Parte C: análisis de la práctica. 1. Organice los datos tomados en una tabla como la siguiente. longitud sombra 2. Determine los incrementos o razones de cambio. 3. Utilice las razones de cambio para obtener una ecuación. 4. Emplee la ecuación: ¿Cuánto medirá la sombra proyectada por un objeto de 17,5 cm? 5. Conclusiones y recomendaciones El concepto de función no aparece en el escenario de las matemáticas por mera casualidad, surge como herramienta matemática para describir completamente diferentes fenómenos principalmente de la física, posteriormente debido a su amplia aplicabilidad es empleada en otras ciencias como la química, biología, economía o disciplinas tecnológicas como computación, comunicación. Finalmente evoluciona hasta convertirse en área de estudio dentro de las propias matemáticas. La función lineal se constituye en excelente herramienta para estudiar y modelar problemas de variación. Las cantidades empleadas varían en tiempo, espacio, con otras cantidades, esta variación puede ser más rápida o más lenta, creciente o decreciente, sin embargo mantiene tal ritmo de variación ante lo cual son fácilmente identificables patrones y regularidades en ella. Estos aspectos desarrollan significativamente el llamado pensamiento variacional. Comprender lo que es función lineal requiere que el estudiante se aleje de la definición formal que se da –en clase y en textos- de ella, y que a partir de la creación de modelos, la relación de los mismos con datos teóricos y experimentales de situaciones que representan, llegue a una definición propia con sentido que refleje su aprehensión de los elementos teóricos que le subyacen. Es decir, Para que los estudiantes aprendan que es función lineal deben no solo memorizar una definición dada, debe planteárseles diferentes situaciones en las que apartar de la confrontación de datos y diferentes representaciones generen modelos de función lineal en los que los elementos teóricos – pendiente e interceptos tengan sentido. La noción de correspondencia es relevante en las aplicaciones actuales de las matemáticas; debido en gran parte a la importancia para la concepción y estudio de los modelos matemáticos, y dado que prácticamente toda “aplicación” de las matemáticas presupone el empleo de un modelo; entonces tiene valides presentar la función lineal desde la correspondencia numérica entre variables. La enseñanza de la función lineal debe articular de manera equilibrada las formas más importantes de representación, es decir, las formas tabulares, gráficas cartesianas y 96 El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica algebraicas sin dejar de lado la expresión verbal. Se debe fortalecer el paso de una a otra forma de representación empleando diferentes contextos. Las estrategias naturales de construir y analizar tablas, calcular valores numéricos, desarrollar sentido cuantitativo, noción de aproximación aceptable e inaceptable son aspectos de la competencia matemática que se logran de ser posible el tratamiento de información concreta preferiblemente de situaciones reales con contextos enriquecidos (como los que se plantean en la propuesta didáctica denominados “practicas experimentales”) en los que los estudiantes puedan manipular, elaborar, relacionar, medir, contar, calcular entre otras acciones mentales. El empleo de recursos tecnológicos tienen un papel importante en el estudio de la función lineal, es recomendable el uso de calculadoras graficadoras, software como hojas de cálculo y trazadores gráficos que ayudan a desarrollar una comprensión mas profunda del concepto, a la vez que facilitan la elaboración de conjeturas, la verificación de generalizaciones y la resolución de problemas de aplicación en otros campos como los ya mencionados. Bibliografía 97 Bibliografía [1] APOSTOL, T. A.. CALCULUS. Bogota: Editorial Reverté colombiana. (1988) [2] AZCÁRATE GIMÉNEZ, C., & DEULOFEU PIQUET, J. Funciones y Gráficas. Madrid: Sintesis. (1996). [3] BARNETT, R. A., ZIEGLER, N. R., & BYLEEN, K. E. Álgebra. México D.F.: Mc Graw Hill . (2000). [4] BLOMHØJ, M. Modelización Matemática - Una Teoría para la Práctica. Recuperado el 20 de Marzo de 2013, de Universidad Nacional de Cordoba: http://www2.famaf.unc.edu.ar/rev_edu/documents/vol_23/23_2_Modelizacion1.pdf (2004). [5] BOYER, C. B. 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