BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD
AUTÓNOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS
COLEGIO DE FÍSICA
TRABAJO DE TESIS
LICENCIATURA EN FÍSICA APLICADA
“ESTUDIO DE LA PROPAGACIÓN NUMÉRICA DE HACES GAUSSIANOS,
BESSEL, BESSELGAUSS,
HERMITE-GAUSS Y LAGUERRE-GAUSS EN ESPACIO LIBRE”
PRESENTA
RAMSÉS VALENTE SALAZAR APARICIO
ASESORA
DRA. M. MARIBEL MÉNDEZ OTERO
Diciembre 2009
Índice General
Capítulo 1 Introducción
1.1 Introducción 5
1.2 Objetivo y contenido de la tesis 6
Capítulo 2 Marco Teórico
2.1 Introducción 8
2.2 Ecuación de onda 8
2.3 Ecuación de Helmholtz 10
2.4 Haces paraxiales 11
2.5 Soluciones a la ecuación de onda paraxial 12
Capítulo 3 Análisis numérico
3.1 Introducción 17
3.2 Conceptos básicos de programación 17
3.3 Método Split-Step para analizar la propagación de luz 18
3.4 Programa numérico 19
Capítulo 4 Resultados numéricos
4.1 Introducción 22
4.2 Haces Gaussianos 22
4.3 Haces Bessel 25
4.4 Haces Bessel-Gauss 28
4.5 Haces Hermite-Gauss 31
4.6 Haces Laguerre-Gauss 50
Capítulo 5 Conclusión General
Apéndice A 61
Apéndice B 62
Bibliografía 63
Introducción
El uso de las matemáticas se ha realizado desde el nacimiento de la civilización, como
se puede apreciar en la ciencia y arte de culturas tan antiguas como la egipcia, griega, romana,
china, maya, etc. Hoy en día, también sirven para entender fenómenos naturales y prevenir
sus consecuencias, para resolver complicados problemas de ingeniería y finanzas, para
desarrollar investigación de punta en ciencias, etc. Sin embargo, diversos problemas
matemáticos son muy complicados de resolver analíticamente y en ciertos casos imposibles de
resolver. Por tal motivo, se introdujo la ayuda computacional, la cual está basada en PCs y hoy
en día es una práctica común. Entre los más importantes paquetes computacionales se
encuentran Mathematica de la compañía Wolfram Research Inc., Maple de Maplesoft,
MathCad de la compañía Mathsoft Engineering & Education Inc. y Matlab de MathWorks Inc.,
entre otros. Toda esta paquetería maneja las matemáticas de una manera muy simple, además
están habilitados con utilerías que permiten a los usuarios realizar complicados
procedimientos matemáticos, con una gran facilidad. La solución de algunas ecuaciones
matemáticas que describen fenómenos ópticos lineales y no lineales no es sencilla de
encontrar, por lo que se hace uso de métodos numéricos para resolverlos, incluyendo la
propagación de éstos, a través de espacio libre o algún medio óptico.
Por otro lado, aun cuando se empleen métodos numéricos, en la solución de
problemas ópticos es indispensable entender la propagación de luz coherente o parcialmente
coherente en forma de haces paraxiales (caso particular), tanto en espacio libre como en un
medio lineal o no lineal, según sea el objetivo del trabajo. En ocasiones es fácil generar
diferentes distribuciones de luz, sin embrago, su descripción analítica no siempre resulta ser
sencilla, es por ello que en la actualidad existe un gran número de diferentes tipos de
distribución de intensidad de haces de luz tanto a nivel experimental como analítica.
La solución más simple y común a la ecuación de onda paraxial es el haz Gaussiano, sin
embargo no es la única solución, existen algunas soluciones más, como por ejemplo los
hacesadifraccionales (haces libres de difracción) bajo ciertas condiciones físicas [1-4], haces
Hermite- Gauss y Laguerre-Gauss [4]. Los haces adifraccionales tienen la propiedad de
conservar la misma distribución de luz (incluyendo un factor de fase) en un plano ortogonal a
la dirección de propagación (eje z ). Estos haces se pueden entender como una superposición
de ondas planas, cuyos vectores de onda se encuentran situados sobre un cono alrededor del
eje z , donde todas estas ondas planas tienen la misma componente del vector de onda a lo
largo del eje z . En consecuencia todas estas ondas sufren el mismo cambio de fase a lo largo
del eje z . Las relaciones de fase mutua entre varias ondas planas no cambian sobre la
propagación, así que el patrón de interferencia en general tiene una y la misma forma en algún
plano z cte. . Para el haz más simple de este tipo, el cual es circularmente simétrico, la
distribución transversal tiene la forma de una función Bessel de primera clase de orden cero, (
) 0 J k, donde denota la distancia desde el eje z y kque es la componente del vector
de onda ortogonal al eje z , de cualquiera de las ondas planas que componen al haz [5,6]. En
las últimas dos décadas se dio a conocer un nuevo tipo de solución a la ecuación de onda
paraxial, la cual es considerada como el caso límite entre haces adifraccionales y haces
Gaussianos. Esta nueva solución es conocida como haz tipo Bessel-Gauss (de orden cero). De la
misma manera que un haz adifraccional, el haz Bessel- Gauss lleva una potencia finita y puede
ser generado experimentalmente con una buena aproximación debido a la ley de dispersión
ensanchamiento rápido) del perfil de un haz Gaussiano [7,8]. En un trabajo reciente se
muestran los modos de haces Gaussianos, Hermite-Gaussiano y Laguerre-Gaussiano [9], sin
embargo no se dan las características físicas de la propagación de los mismos, es por ello que
estamos interesados en realizar una caracterización de la propagación de diversos haces
ópticos y que además son soluciones a la ecuación de onda paraxial.