OBTENCIÓN DEL VOLUMEN DEL TETRAEDRO POR ALUMNOS

UNIVERSIDAD DE GRANADA
Facultad de Ciencias de la Educación
Departamento de Didáctica de la Matemática
OBTENCIÓN DEL VOLUMEN DEL TETRAEDRO POR
ALUMNOS CON TALENTO MATEMÁTICO, SIN
EMPLEAR FORMULAS
Trabajo Fin de Máster
Sandra Guerrero García
Tutores:
Dr. Pablo Flores Martínez
Dr. Rafael Ramírez Uclés
Granada, 2014
OBTENCIÓN DEL VOLUMEN DEL TETRAEDRO POR ALUMNOS CON
TALENTO MATEMÁTICO, SIN EMPLEAR FÓRMULAS
Trabajo Fin de Máster
MEMORIA realizada por Sandra Guerrero García bajo la dirección del Dr. Pablo Flores
Martínez y el Dr. Rafael Ramírez Uclés, del Departamento de Didáctica de la
Matemática de la Universidad de Granada para optar al Máster en Didáctica de la
Matemática.
Fdo. Sandra Guerrero García
Vº Bº
Dr. Pablo Flores Martínez
Dr. Rafael Ramírez Uclés
AGRADECIMIENTOS
A Dios, porque no escoge a los capacitados sino que capacita a los que han escuchado el
llamado y por regalarme la mejor experiencia que he tenido en mi vida.
A mi esposo Toni, por estar orgulloso de mi y recordarme que mientras recorres un
camino no sabes a donde te lleva, pero si lo amas te conduce al destino correcto.
A mi madre y a mi padre, por hacerme ver que la manera como miras la vida afecta a
dónde vas a llegar.
Al Dr. Pablo Flores, por la invitación a trabajar en este proyecto de particular belleza lo
que fue un estímulo para decidirme a emprenderlo, implicando seguir un camino
esforzado pero de mucha retribución, durante el cual he podido crecer y madurar a todos
los niveles, ya que entraron en juego el compromiso, la voluntad de hacerlo y una
constante comunicación fluida en la que pude contar permanentemente con su
invaluable ayuda.
Al Dr. Rafael Ramírez, por su trabajo de supervisión y por poner a disposición su
experiencia mediante sus meritorios aportes.
A mis compañeros y a todo el equipo de profesores por sus valiosas enseñanzas.
Índice
Contenido
Página
CAPITULO 1
1.1. Presentación del problema
1.2. Justificación
1.3. Definición del problema
1.4. Marco de investigación
1
3
3
5
6
CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO
2.1. Conceptos matemáticos: la magnitud volumen
Descomposición de áreas en el plano
Imposibilidad de descomponer pirámides
Forma de calcular el volumen de la pirámide
Papel de las fórmulas
2.2. Aspectos didácticos
2.2.1.Enseñanza del volumen
2.2.2. Talento matemático
CAPITULO TRES: METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION
7
7
13
15
20
20
23
23
33
39
3.1. Caracterización
3.2. Elementos de la investigación
3.3. Resultados
39
40
47
CAPÍTULO 4: CONCLUSIONES
57
BIBLIOGRAFIA
63
CAPITULO UNO
Este documento recoge el informe de la investigación realizada como trabajo final
para adquirir el título de máster de didáctica de la matemática, realizado en el curso
2013-2014 como finalización de los estudios.
El presente trabajo se ha llevado a cabo en estudiantes con talento matemático, su
interés se centra en el dominio del concepto de volumen, sin necesidad de recurrir a las
formulas, diferenciando la magnitud como cualidad, de su medida y del cálculo de esta
a través de otras magnitudes. La comprensión de esta última está asociada al sentido de
medida (Moreno y Gil, 2013).
Para subsanar las posibles deficiencias en el tratamiento del concepto de volumen,
se hace necesaria la formación de los futuros profesores o de profesores en ejercicio
para que se puedan generar cambios positivos en la enseñanza, puesto que es crucial que
el docente posea un conocimiento profundo de los conceptos antes de introducirlos en el
aula. Así lo manifiestan Enochs y Gabel, (1984) quienes insisten en que los maestros
desarrollar las habilidades necesarias para transmitir los conceptos de manera clara y
asequible a los estudiantes.
Sabemos que es relevante abordar la enseñanza del volumen y la resolución de
problemas del mismo, introduciendo procesos que profundicen en la adquisición del
concepto, para ello nos hemos valido entre otras cosas de material manipulativo,
mediante el cual los estudiantes pueden comparar figuras, establecer relaciones de orden
entre ellas y obtener reglas a partir de la generalización de regularidades.
Los juegos didácticos de manejo del espacio tienen repercusión en la parte
cognitiva del estudiante, por ello se sugiere que en la enseñanza de la geometría se tenga
en cuenta el aspecto lúdico con sus proyecciones en el aprendizaje de la misma (Alsina,
Burgués y Fortuny, 1987). El material didáctico prepara el camino, para que el alumno
desarrolle habilidades y destrezas y las pueda aplicar en la resolución de problemas con
flexibilidad y fluidez (Alsina, Burgués y Fortuny, 1988, Flores, 2006). Los puzles
utilizados en la propuesta de enseñanza son “La pirámide de Keops”, el tetraedro y las 4
pirámides trirectángulas que se completan para componer el cubo.
1
La función instructiva del material manipulativo incluye uno de los objetivos
que establecen los estándares del NCTM (2001), ya que capacitan al estudiante para
investigar las particularidades y propiedades de los poliedros, dándole la facultad de
argumentar y justificar sus razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas.
En el primer capítulo abordamos la presentación, justificación y definición del
problema, también incluimos el marco de investigación.
En el capítulo dos describimos las componentes del marco teórico. Estas
componentes incluyen dos dimensiones que se desglosan en las bases teóricas
matemáticas y didácticas que definen el problema del tratamiento del volumen, y que
nosotros hemos tomado en consideración para planificar la investigación.
Una dimensión del marco teórico contempla cómo se define matemáticamente el
volumen, qué es y cómo se mide. La dimensión didáctica incluye recomendaciones para
el aprendizaje del volumen, describe el proceso como aprende el estudiante. Nos hemos
basado en la propuesta didáctica para la enseñanza del volumen que plantean Olmo,
Moreno y Gil (1989), para sentar las bases sobre las cuales obtener el volumen de la
pirámide por procedimientos que no recurran a fórmulas. En este trabajo hemos
incorporado primordialmente las fases de percepción y comparación implicadas en el
tratamiento didáctico del volumen.
Tratamos aspectos relacionados con la proporcionalidad para comparar el volumen
de dos pirámides identificando las magnitudes empleadas para medirlo, como por
ejemplo, identificar cuándo se calcula el volumen a partir de bases y alturas (Grupo
Beta, 1990).
En el capitulo tres correspondiente a la metodología, se caracteriza la investigación,
se define su tipo, se establecen las variables, de acuerdo a lo que se pretendía medir y
comprobar. Para establecer resultados se organiza la información procedente de las
respuestas escritas al formulario y las acciones sucedidas en clase, lo cual fue propicio
para hacer apreciaciones generales conducentes a la interpretación de los datos y a la
obtención de los resultados.
2
En el capitulo cuatro damos a conocer las conclusiones a las que hemos llegado
con nuestro estudio.
1.1.
Presentación del problema.
Mediante una actividad de enriquecimiento curricular se pretende ver en concreto
hasta qué punto los alumnos son capaces de obtener el volumen de un tetraedro sin el
requerimiento de formulas. El proceso de calcular el volumen del tetraedro no es fácil
porque habitualmente para calcular la altura se hace uso de fórmulas, que en este caso
implicarían aplicar el teorema del baricentro y el teorema de Pitágoras. Nuestro objetivo
es que se halle el volumen del tetraedro en relación al volumen del cubo. Para
desarrollar este proceso se facilita el escenario en el cual los alumnos lleguen a
descubrir las relaciones entre los volúmenes de la pirámide cuadrada formada por
triángulos equiláteros, el tetraedro regular y una de las pirámides trirectángula que
completa el tetraedro para formar el cubo. Todo ello facilitará los cálculos para
comparar el volumen del tetraedro con el del cubo en el que está incluido. La
comparación permite obtener coeficientes con los que calcular unos volúmenes a partir
de otros, evitando aplicar teoremas para determinar longitudes, con lo que la fórmula
del volumen aparece mucho más justificada.
1.2. Justificación.
El interés de esta investigación se centra en proporcionar al estudiante
apreciaciones de cómo obtener el volumen del tetraedro a través de procesos de
comparación, rompiendo el socorrido recurso de utilizar fórmulas, muchas de las cuales
no han sido comprendidas por los alumnos. Si bien el cálculo de volúmenes de
pirámides por comparación no es fácil (González-López y Flores, 2001), se puede
afrontar en casos particulares, como los que presentamos en este trabajo, es decir, para
el tetraedro regular y la pirámide cuadrada de la misma arista, formada por triángulos
equiláteros1. Esta comparación dará lugar a realizar un proceso de medida directa,
aunque no hagamos uso de la unidad de volumen, sino que la estudiamos respecto a un
cuerpo del que es fácil medir directamente su volumen, como es el cubo.
1
En lo que sigue, cuando hablemos de pirámides cuadradas (P), siempre nos referimos a la pirámide
recta, formada por triángulos equiláteros.
3
Es frecuente en los procesos de enseñanza-aprendizaje del volumen pasar por alto
fases previas y llegar a trabajar la medida indirecta, realizada a partir de la medida de
longitudes. No es extraño que esto pueda inducir a error en el estudiante, ya que el solo
uso de formulas no garantiza el dominio de un concepto, con lo cual es relevante hacer
un uso discriminado de estas. Las fases de percepción y comparación permiten que el
estudiante pueda construir el concepto de volumen distinguiéndolo de otras magnitudes.
Olmo, Moreno y Gil, (1989).
Moreno y Gil, (2013) proponen que para aprender a medir, primero hay captar el
concepto de la magnitud, volumen en este caso, luego realizar comparaciones directas
de volúmenes, estableciendo relaciones de orden entre dos o más figuras y
familiarizarse con la unidad de volumen. Si bien la medida directa de volúmenes es
compleja, salvo en ortoedros o prismas derivados de ellos, el manejo de la unidad
permite que el alumno tenga más claro qué significa la medida, especialmente cuando se
expresa en la unidad de volumen, como el m3 o el cm3.
Para llegar a determinar volúmenes se necesita primero captar la magnitud
volumen antes de pasar al cálculo. La dificultad para pasar a calcular directamente
volúmenes de pirámides se centra en que la mayoría de las pirámides no rellenan el
espacio, ni aceptan un relleno a partir de figuras cúbicas. La pirámide no se puede
rellenar con cubos, pero si se puede comprobar que algunas pirámides se convierten en
una parte del cubo, así que se puede hallar el volumen de estas pirámides particulares
cuando se conoce a qué parte del volumen del cubo corresponden. Llegando a apreciar
que se puede descomponer el cubo en un tetraedro regular, de arista la diagonal del
cubo, y en cuatro pirámides trirectángulas (juntas forman una pirámide cuadrada de
arista la del tetraedro), y estudiando qué relación existe entre el volumen del tetraedro y
la pirámide, el estudiante podrá descubrir que el volumen del tetraedro es un tercio del
volumen del cubo.
Este proceso de descomposición para obtener el volumen de la pirámide no es
sencillo, pero pensamos que los alumnos con talento matemático pueden seguir un
proceso que les facilitará esta apreciación, cuidando de no utilizar la fórmula de cálculo
indirecto del volumen de la pirámide en relación a la longitud de las aristas, en ningún
paso del proceso.
4
Durante este proceso se puede emplear una propiedad basada en el principio de
Cavalieri, consistente en igualar volúmenes a partir de igualar las bases y alturas de dos
pirámides, lo que permitirá obtener relaciones entre volúmenes. La ventaja de emplear
esa propiedad es que el estudiante tiene la oportunidad de ver cuándo trabaja con
magnitudes diferentes al volumen, como la longitud de la altura, y la superficie de la
base, sabiendo en cada caso qué magnitudes son las que realmente se están midiendo.
Con ello se produce un proceso más significativo que permite apreciar por qué para
calcular volúmenes se hace uso de medidas de longitudes y superficies.
Por otro lado, para que el estudiante pueda pasar de una representación
tridimensional a una representación plana es necesario que tenga claro las características
de los objetos tridimensionales, ya que para que pueda entender el concepto de volumen
es conveniente que lo haga a través de la manipulación de figuras tridimensionales
físicas y no solamente con figuras planas, como el dibujo en perspectiva de los
poliedros, o la cara de la base de una figura dada. La enseñanza de la medida de
volúmenes se debe iniciar a través de la percepción de la idea de volumen de cuerpos
tridimensionales, antes de reducirla a cálculos con medidas planas o lineales.
Pretendemos observar cómo evolucionan los estudiantes a través de este proceso, a
medida que van desarrollando tareas planteadas en una sesión de enriquecimiento
curricular, es decir, de profundización en el contenido “volumen”, del currículo de
matemáticas de educación secundaria, que es la forma en que se está planteando la
enseñanza que se imparte a los alumnos con talento matemático del proyecto “Estalmat
Andalucía Oriental”, programa en el que se ha aplicado y realizado la experiencia que
se relata en este informe.
1.3. Definición del problema
Hay numerosas investigaciones que muestran el comportamiento de niños con
talento matemático, especialmente respecto a tareas aritméticas o algebraicas (Ramírez,
2012). El rendimiento geométrico está menos estudiado, llegando incluso a considerar
que las destrezas visuales no son especialmente destacadas en niños considerados con
talento matemático. Examinar cómo se comportan estos alumnos ante situaciones
geométricas, o de medida de magnitudes geométricas, es un reto que llevan a cabo
determinados profesores, como Ramírez (2012), y ha dado lugar a otros trabajos fin de
5
máster realizados en este programa (Osorio, 2009, Salto, 2013). En todos ellos se está
estudiando cualidades visuales y geométricas de niños con talento matemático.
En línea con estos trabajos, la investigación presente se ha centrado en estudiar el
razonamiento que hacen 23 estudiantes con talento matemático entre 14 y 16 años, para
determinar el volumen del tetraedro regular y la pirámide cuadrada a través de procesos
manipulativos, estableciendo relaciones entre figuras.
1.4.
Marco de Investigación.
Este problema se concreta en los siguientes objetivos de investigación:
Objetivo general: Estudiar el razonamiento que hacen estudiantes con talento
matemático, para obtener el volumen del tetraedro, mediante procesos de comparación,
sin emplear fórmulas, durante un proceso de enriquecimiento curricular.
Objetivos específicos:
1. Diseñar una sesión de enriquecimiento curricular para obtener el volumen del
tetraedro regular mediante comparaciones de volúmenes, y sin emplear fórmulas
basadas en medidas de longitudes y superficies.
1.1.
Analizar la forma de obtener el volumen del tetraedro regular sin
emplear fórmulas.
1.2.
Diseñar una secuencia de tareas matemáticas de enseñanza para que los
alumnos lleguen a obtener el volumen del tetraedro regular sin emplear
fórmulas.
1.3.
Implementar dicha sesión siguiendo los pasos previstos y examinar qué
aspectos de los programados han sido posibles poner en práctica.
2. Identificar los pasos que han sido más seguidos por los estudiantes, de la clase
planteada.
3. Analizar el proceso llevado a cabo por algunos estudiantes especialmente
destacados, examinando cómo lo han comprendido y cómo lo expresan en sus
respuestas a las tareas. (Observar de qué manera se refleja la creatividad)
4. Identificar los pasos que han despertado mayores dificultades en los estudiantes.
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CAPITULO DOS: MARCO TEÓRICO
En este capítulo se clarifican los elementos que constituyen nuestro marco teórico,
el cual se constituye de dos componentes claramente diferenciadas que son las bases
teóricas y didácticas que definen el problema, el concepto de volumen y los alumnos
con talento. Terminamos el capítulo presentando algunas investigaciones que han
trabajado el problema planteado.
2.1. Conceptos matemáticos: la magnitud volumen
La definición intuitiva de volumen hace referencia a que este es la cualidad que
tienen todos los cuerpos de ocupar espacio (Olmo, Moreno y Gil, 1989). La
construcción matemática formal del concepto de volumen se hace delimitando los
objetos a los que se aplica y determinando sus propiedades. Veamos cómo se realiza
esta construcción.
El volumen es una cualidad de los sólidos, líquidos y gases, pero para su estudio
matemático conviene identificar unos objetos tridimensionales que se presten a
manejo. Para ello identificaremos los objetos como cuerpos sólidos que reclaman un
espacio a los cuales se les puede medir su volumen. Ejemplos: piedras, bloques de
madera, mármol. A efectos de construcción matemática elemental, recurrimos a objetos
sólidos determinados por caras planas, poliedros. Aun más, para poder descomponer las
figuras, vamos a limitarnos a poliedros de caras paralelas, paralelepípedos.
No olvidemos que el volumen tiene una relación amplia con la magnitud
capacidad, y que la medida de una de ellas se emplea para medir la otra. Sin embargo,
en este trabajo nos limitamos al volumen.
Para determinar cantidades de volumen recurrimos a establecer criterios de
equivalencia de la cualidad volumen. Comenzamos por definir paralelepípedos
congruentes.
-Congruencia: dos paralelepípedos son iguales si tienen sus caras y los ángulos
diedros comprendidos entre ellas respectivamente congruentes. Además es igual el
7
número y la forma de cada una de las caras de los respectivos paralelepípedos. Las caras
de los respectivos paralelepípedos pueden numerarse:
P1: C1, C2,.., Cn y P2: C´1, C´2,…, Cm, son equivalentes, si:
1. m=n
2. Ci = C´i i=1,2,…n
3. C´i = C´j son consecutivos si y solo si Ci y Cj son consecutivos
4. Los diedros Ci Cj y C´i C´j son congruentes.
También puede definirse que dos poliedros son congruentes si existe un
movimiento del espacio que transforma uno en el otro.
Los poliedros P y Q se dicen equivalentes sí admiten descomposiciones
P=P1∪P2…∪Pn; Q= Q1∪Q2…∪Qn tales que Qi = Pi, ∀i=1,2,… n
La definición de equivalencia incluye las transformaciones de romper y rehacer.
Empleándolas se puede transformar un paralelepípedo en otro que sea equicompuesto
con el primero.
En el plano si dos polígonos tienen la misma área son equicompuestos, más en el
espacio si dos poliedros tienen el mismo volumen no siempre son equicompuestos. Por
ejemplo un cubo y un tetraedro pueden tener el mismo volumen, sin embargo no puedo
obtener uno de ellos a partir de la descomposición del otro. Este resultado fue
demostrado por Dehn en 1901.
Matemáticamente la magnitud volumen se define sobre el conjunto de poliedros
entre los que se establece la relación de equivalencia “tener el mismo volumen y ser
equicompuestos”. A cada clase de equivalencia se le denomina cantidad de volumen.
Una cantidad de volumen [a] es la suma de dos cantidades de volumen [b] y [c] si
existen descomposiciones de algún representante de [b] y [c] que permiten construir un
8
representante de [a]; decimos que la cantidad [b] es mayor o igual que [c] si existe una
subdescomposición de un representante cualquiera de [b] que permite obtener un
representante de [c].
A partir de un prisma oblicuo se puede obtener uno recto, en este caso las clases de
equivalencia quedan limitadas a los prismas.
Para saber si un paralelepípedo es más voluminoso que otro se busca una
descomposición del primero que permita construir el segundo, quedando piezas que no
se han utilizado en esta composición (Olmo, Moreno y Gil, 1989). Esta relación permite
ordenar las cantidades de volumen.
Sea R una cantidad de volumen (representada por un paralelepípedo "r" de la clase
de equivalencia), y Q otra (representada por poliedro "q") ambos paralelepípedos.
Pueden descomponerse (por ejemplo, formando cada uno de ellos dos poliedros de igual
base rectangular y ponerlos juntos hasta formar con las piezas que los descomponen un
nuevo poliedro), este poliedro representa una cantidad de volumen que llamamos R+Q.
Generalizando, también puede definirse la suma en el volumen, a partir de otro tipo
de poliedros.
La suma es una operación cerrada en el conjunto de cantidades de volumen, es
decir, dadas dos cantidades de volumen se forma otro, que representa una cantidad de
volumen suma de las anteriores.
Unicidad: Dados dos cantidades de volumen, representados por dos paralelepípedos, la
cantidad de volumen que resulta de descomponer los parelepípedos sumandos es única,
cualquiera que sea la descomposición y composición de formas que se haga. La unión
de dos romboedros dan lugar a otro paralelepípedo que lo denominamos Q (figura 1).
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“Q ”
Figura 1: Suma de poliedros, suma de volúmenes
En la actividad de enriquecimiento curricular que hemos trabajado con los alumnos
hemos utilizado un juego que se llama “La pirámide de Keops”. Flores, (2006) describe
los poliedros del puzle de la pirámide de Keops, estos se componen de pirámides
cuadradas y tetraedros. El puzle contiene las figuras que llevan por nombre pirámide
cuadrada, zueco, pico, y tejado. El poliedro hacha, simbolizado con la letra H, se
compone de dos pirámides cuadradas y dos tetraedros dispuestos como se observa en el
gráfico. Los poliedros R y H están compuestos por las mismas figuras, pero dispuestas
de diferente manera (figura 2).
“R”
“H”
Figura 2: Comprobación conmutativa de la suma
Conmutativa: dados dos paralelepípedos de volúmenes A y B respectivamente la suma
consiste en la reunión de las partes que componen estos paralelepípedos, por lo que el
orden no afecta al resultado de la cantidad de volumen.
Simbólicamente: A + B = B + A.
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Un ejemplo de la conservación del volumen cuando aplicamos la propiedad
conmutativa de la suma, se obtiene cuando realizamos transformaciones de “moldear”
con arcilla o plastilina, en este caso el volumen de la suma seria el volumen de la figura
que resulta de unir los poliedros A y B.
Asociativa: dados tres paralelepípedos A, B y C, los cambios que se hacen en la
manera de agrupar los sumandos no altera la cantidad de volumen resultante de su
suma, pues está se conserva.
Simbólicamente: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
Dado el paralelepípedo de volumen A existe un poliedro N de volumen cero
denominado poliedro nulo, tal que al realizar la suma de estos dos poliedros el volumen
de A no se altera.
Simbólicamente A+ N= N + A = A.
El poliedro nulo N podría ser considerado por ejemplo como un polígono, este
sumado con el volumen de un cuerpo tridimensional da como resultado el volumen del
cuerpo original.
En la suma de volúmenes no existe el elemento simétrico dado que no se puede
encontrar un cuerpo de volumen P que sumado con otro de volumen P´ de cómo
resultado el poliedro nulo N. En efecto, la magnitud volumen es escalar, y por tanto, no
admite elemento simétrico respecto a la suma. Con estas propiedades, podemos decir
que el conjunto de las cantidades de volumen (representadas por parelepípedos), es un
semigrupo conmutativo respecto a la suma.
Multiplicación por un elemento externo.
Dada una cantidad de volumen A, podemos multiplicar dicha cantidad por un
número d cualquiera (racional), descomponiendo d paralelepípedos que representan a A
y componiéndolos de manera que se forme un paralelepípedo que contenga todas las
piezas obtenidas, indicando que la cantidad de volumen resultante es B, con la
condición de que se cumpla que: d•A = B.
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La multiplicación de cantidades de volumen por un elemento externo cumple las
propiedades distributivas respecto al escalar y a la cantidad de volumen:
Simbólicamente: d• (A + B) = d•A + d•B
(c + d) •A = c•A + d•A
El semigrupo abeliano de las clases de volumen, con la operación externa y las
propiedades distributivas descritas, forma un semimódulo conmutativo.
La medida del volumen es el resultado de medir una cantidad de volumen, que se
obtiene al compararla con otra cantidad de volumen, que se toma como referencia. Hay
dos tipos de medida del volumen a saber la medida directa y la medida indirecta.
La medida directa se obtiene por comparación entre una cantidad a medir con la
unidad de medida, para determinar cuántas veces esta unidad de medida cabe en la
cantidad que se va a medir. Una característica principal de la medida directa es que se
emplean volúmenes para medir volúmenes. Por ejemplo para medir el volumen de un
cubo se hace observando cuántos cubos unidad están contenidos en él. Este proceso
resulta sencillo cuando la arista del cubo unidad está contenido una cantidad entera de
veces en la arista del cubo a medir. Si cabe una cantidad racional de veces la unidad, se
puede apreciar igualmente la medida directa. Sin embargo, cuando la arista del cubo a
medir, contiene una cantidad irracional de veces la unidad, el proceso resulta complejo,
y, como en el caso de la superficie del rectángulo, hay que hacer uso de procesos
infinitos, o aplicar el axioma del continuo (Segovia, Flores y Castro, 1996).
En el caso del volumen, se suele elegir un paralelepípedo en forma de cubo, para
representar la cantidad de volumen unidad. Dentro del Sistema Métrico Decimal, se
toma como unidad el metro cúbico, concebido como un cubo (que rellena el espacio), de
un metro de lado. En general la unidad de medida del volumen es la unidad cubica.
El proceso de medida directa es poco usual en la medición de volúmenes.
Principalmente por la dificultad de rellenar el cuerpo al que se quiere medir su volumen,
con las unidades correspondientes. Por ello usualmente se hace con volúmenes
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pequeños, como cajas empleando unidades de medida como decímetros cúbicos o
centímetros cúbicos determinando qué cantidad de estos caben en dicho volumen.
La medida indirecta es el cálculo de la medida de una cantidad empleando la
medida de otras magnitudes diferentes, pero con las que guarda una relación matemática
determinada de antemano. Por ejemplo el volumen de un poliedro se mide
habitualmente en términos de longitudes y superficies, ya que a igualdad de superficies
de la base, dos prismas (o pirámides), tienen volúmenes proporcionales a sus alturas.
Dado que además, la superficie también se calcula de manera indirecta a partir de
longitudes (aristas, alturas, apotemas, etc.), finalmente los volúmenes se obtienen
mediante multiplicación de longitudes y áreas.
La medida directa de superficies es fácil de hacer en polígonos que se transforman
en rectángulos. Esta descomposición y recomposición de áreas en el plano siempre es
posible. En el plano cualquier polígono se descompone en triángulos, el triángulo se
obtiene como la mitad del paralelogramo, y por tanto el área del paralelogramo se
calcula a partir del área del triángulo. El paralelogramo más sencillo es el rectángulo. La
base de todo está en calcular el área del rectángulo y a través de esta hallar la del
paralelogramo y posteriormente la del triángulo, de esta manera se puede hallar el área
de cualquier polígono (Segovia, Flores y Castro, 1996).
Descomposición de volúmenes en el espacio no es posible siempre. GonzálezLópez, y Flores, (2001) señalan que sólo algunos cuerpos se pueden descomponer para
generar otros. Estableceremos relaciones entre:
- el volumen del paralelepípedo y el prisma recto con el del ortoedro,
- el volumen del prisma oblicuos y los correspondientes rectos,
- el volumen de algunas pirámides particulares y el cubo.
Un paralelepípedo se puede descomponer para dar lugar a un ortoedro, al cortarlo
por planos perpendiculares a su base, disponiendo adecuadamente las piezas obtenidas
mediante los cortes, se obtiene un ortoedro que tiene la misma altura y el mismo
polígono como base. El resultado de Bolyai-Gerwien, muestra que no es necesario que
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las bases sean el mismo polígono, basta que sean equicompuestas. De esta manera al
tener la misma altura y las bases equicompuestas tienen el mismo volumen.
La descomposición del paralelepípedo da
lugar
a
un
ortoedro.
Cualquier
paralelepípedo es equicompuesto con el
ortoedro que tiene la misma altura y sus
respectivas bases son equicompuestas.
(Figura 3).
Figura 3: Descomposición de un
paralelepípedo en un ortoedro
La descomposición de un prisma recto da
lugar a un ortoedro. El prisma recto y el
oblicuo están compuestos por la misma
cantidad de prismas triangulares.
Los dos prismas son equicompuestos
(figura 4).
Figura 4: Relacion de equicomposición
entre el prisma oblicuo y el respectivo
recto a través de prismas triangulares.
El prisma triangular se descompone en dos prismas triangulares rectos. Un prisma
recto se puede descomponer en prismas triangulares, estos dispuestos de manera
adecuada forman un ortoedro, para lo cual previamente se ha descompuesto uno de los
prismas triangulares en los dos prismas triangulares rectos que se sitúan en los extremos
para formar los ángulos rectos y dar lugar al ortoedro. El volumen del prisma oblicuo y
el correspondiente recto están relacionados.
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La descomposición de un prisma oblicuo
puede dar lugar a un prisma recto. A partir
de cualquier prisma se puede generar un
prisma rectangular. Por tanto el prisma
oblicuo es equicompuesto con el prisma
recto total (figura 5).
Figura 5: Descomposición de un prisma oblicuo en el respectivo recto
Ejemplo: al realizar dos cortes en el prisma triangular oblicuo por planos
perpendiculares a las aristas, se obtienen un prisma recto semejante de altura menor que
el inicial, una pirámide triangular y una pirámide cuadrangular, las dos asimétricas. Al
disponer estas tres piezas de manera adecuada se obtiene en total un prisma recto. Al ser
equicompuestos haciendo el proceso reversible se puede obtener a partir del prisma
recto el oblicuo, cortando un trozo del prisma recto y descomponiéndolo en las dos
pirámides dadas (figura 6).
Figura 6. Equicomposición del prisma oblicuo y el respectivo prisma recto.
Los dos prismas tiene igual la arista lateral, sus alturas y bases son diferentes. La
base del prisma oblicuo en este caso es un triángulo escaleno y la base del prisma recto
es la sección perpendicular a la arista que es igual a un triángulo rectángulo escaleno.
Las cinco caras de la pirámide cuadrangular asimétrica son una base rectangular,
dos triángulos rectángulos escalenos, un triangulo rectángulo isósceles y un triángulo
isósceles. Uno de los lados iguales del triángulo isósceles es la hipotenusa del triángulo
rectángulo escaleno.
15
La pirámide triangular asimétrica tiene cuatro caras dos triángulos rectángulos
escalenos iguales, un triangulo isósceles y un triángulo rectángulo isósceles.
El trozo de prisma se compone de la unión de las dos pirámides.Las caras
correspondientes a los triángulos isósceles se solapan para completar un prisma de igual
base y menor altura que el inicial.
Imposibilidad de descomponer las pirámides
En general las pirámides no se pueden descomponer. No podemos descomponer
una pirámide oblicua para formar una pirámide recta. Por tanto la descomposición de
volúmenes de pirámides en el espacio no siempre se puede hacer.
Solo se descomponen algunas pirámides particulares veamos algunos casos:
La pirámide trirectángula de la esquina de un cubo se puede descomponer mediante
un proceso de “truncamientos reiterados” (figura 7).
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Figura 7. Descomposición de la pirámide trirectángula por truncamientos reiterados.
Al truncarla por los puntos medios de las aristas perpendiculares se obtienen 3
pirámides trirectángulas semejantes y un cubo truncado, el cual se completa con una de
ellas. Mediante un proceso de descomposiciones reiteradas de las pirámides
trirectángulas se obtiene que la suma de los cubos resultantes de las sucesivas divisiones
sea 1/6 del cubo original (Flores, Ramírez y Rodríguez, 2014).
La pirámide trirectángula está conformada por 3 caras que son triángulos
rectángulos isósceles y una cara que es un triangulo equilátero. El cubo se completa con
4 pirámides trirectángulas y un tetraedro de lado la diagonal de la cara del cubo.
Las figuras azules de las imágenes siguientes corresponden al juego “Arquimat” –
El Juego de las Matemáticas y la Construcción. (García, s.f).
La base de la pirámide cuadrangular que
se aprecia en la figura es igual a una de
las caras del cubo y su altura la mitad de
la arista del cubo, obteniendo así la
relación 1:6 entre el volumen de ambos
cuerpos (figura 8).
Figura 8. Descomposición del cubo en las pirámides cuadradas simétrica y asimétrica.
También es posible justificar una relación 1:3 entre el volumen del cubo de arista n
y la pirámide cuadrangular asimétrica recta de anchura, largura y altura iguales a n, ya
que es posible descomponer el cubo en tres de estas pirámides.
17
En los comentarios de Liu Hui a la obra china Nueve capítulos sobre el arte
matemático aparecen métodos de descomposición de los siguientes poliedros: el cubo,
el semicubo, la pirámide cuadrada y la pirámide triangular asimétricas (González-López
y Flores, 2001).
La pirámide cuadrada asimétrica: tiene dos caras formadas por triángulos
rectángulos isósceles, dos caras formadas por triángulos rectángulos escalenos y la base
cuadrada.
La pirámide triangular asimétrica se conforma de dos caras que son triángulos
rectángulos isósceles y dos caras que son triángulos rectángulos escalenos.
El cubo también se puede descomponer en dos prismas triangulares. El prisma
triangular se compone de dos caras cuadradas, dos caras que son triángulos rectángulos
isósceles y una cara rectangular de base el lado del cuadrado y altura la hipotenusa del
triángulo rectángulo isósceles. El prisma triangular se puede descomponer en una
pirámide cuadrada asimétrica y una pirámide triangular también asimétrica.
La pirámide cuadrangular asimétrica se
puede descomponer en un cubo, dos
prismas triangulares y dos pirámides
cuadrangulares
(de
altura
mitad)
semejantes a la original. Su volumen
equivale a 8 pirámides cuadrangulares
asimétricas de lado uno (figura 9).
Figura 9. Descomposición del prisma triangular en las pirámides cuadrada y triangular
asimétricas.
18
Al truncar la pirámide triangular asimétrica de lado doble por los puntos medios de
las aristas se obtienen dos prismas triangulares y dos pirámides triangulares semejantes.
El prisma triangular doble es equivalente en
volumen al medio cubo de lado dos. La figura
que aparece en color gris es la pirámide
triangular asimétrica y la que aparece en
color azul es la cuadrada también asimétrica
(figura 10).
Figura 10. Relación de equicomposición entre el prisma triangular conformado por las
dos pirámides y el medio cubo.
El cubo de lados dobles se conforma de 8 cubos unidad que equivalen a 24
pirámides cuadradas unidad, la tercera parte corresponde al volumen de la pirámide
cuadrangular de lado dos que serian 8 pirámides cuadradas de lados dobles. El prisma
triangular de la izquierda es equicompuesto con el semicubo de lado doble por tanto es
igual a 12 pirámides cuadradas unidad, pero la pirámide cuadrada lado dos habíamos
dicho que se compone de 8 pirámides unidad, las 4 pirámides restantes corresponden a
la pirámide triangular, con lo cual la pirámide cuadrada es el doble de la triangular.
En la fotografía se puede observar que
la pirámide cuadrangular asimétrica es
el doble de la pirámide triangular
asimétrica (figura 11)
19
Figura 11. Relación 1:2 entre las pirámides
triangular y cuadrangular asimétrica.
Forma de calcular el volumen de la pirámide
Debido a que en su mayoría las pirámides no se descomponen y por tanto no se
puede hallar su volumen por descomposición (González-López y Flores, 2001), se debe
hacer uso de otros procedimientos como el Principio de Cavalieri, el cual es aplicable a
todas las pirámides, tanto las que se descomponen como las que no. El volumen de las
pirámides que no se pueden descomponer se suele calcular por medio de formulas, las
cuales provienen preferentemente del principio de Cavalieri. La unidad de medida
utilizada es la cúbica, la cual no presenta inconvenientes. Para las pirámides como el
tetraedro regular se puede obtener formulas que no provienen del principio de Cavalieri.
El romboedro rellena el espacio entonces puede servir como unidad de referencia
de medida del volumen para cualquier figura.
Papel de las formulas
Segovia, Castro y Flores, (1996) resaltan la importancia que debe tener para el
alumno el distinguir el significado real del uso de las fórmulas, identificando cuando y
como debe hacer empleo de ellas.
La Medida antes se estudiaba dentro de los contenidos de aritmética y geometría
desde hace poco tiempo el NCTM (1991), manifiesta que es un tema que se trabaja en
los currículos de manera independiente.
EL NCTM propone que se debe dar mayor relevancia a las estrategias y al
desarrollo de los conceptos y relaciones que están ligados a las magnitudes y a su
medida como son la estimación y la realización de mediciones para resolver problemas.
Dar menos énfasis a la memorización, a la manipulación de fórmulas y a la conversión
entre sistemas de medida.
Se debe proporcionar al alumno una percepción del sentido de las fórmulas, las
cuales deben ir acompañadas de otras actividades que proporcionen un aprendizaje
significativo de los conceptos involucrados en la medida de superficies y volúmenes.
20
Figura 12. Perímetro y área.
El uso indiscriminado de formulas
indican que uno de los errores más
frecuentes es la confusión por parte del
alumno entre perímetro y área, cuando
calculan los dos a la vez por lo general
asignan el número mayor al área (figura
12).
El cálculo de volúmenes mediante la medida indirecta (a través de la medida de
otras magnitudes) se hace a partir de longitudes y áreas, las cuales también se calculan a
través de longitudes, con lo cual el volumen finalmente se mide a través de longitudes.
Todo esto oscurece la reiteración de las respectivas unidades de medida que debería
hacerse como una fase previa a la aritmetización de las mismas a partir del uso de
formulas.
En el cálculo de superficies el rectángulo es una figura crucial ya que a partir de
este se generan una serie de relaciones, utilizando la descomposición se puede observar
que el rectángulo y el paralelogramo son equicompuestos por tanto tienen la misma
área.
El área de un triángulo es la mitad del área
del paralelogramo de igual base y altura.
Un paralelogramo se puede descomponer
en un rectángulo, entonces el rectángulo
transformado tendrá la misma base y
altura que el paralelogramo dado (figura
13)
Figura 13. Descomposición de un paralelogramo en un rectángulo.
21
La fórmula del área del rectángulo permite hallar la fórmula del área del polígono.
Estas igualdades dan lugar a la obtención de las formulas para el cálculo de las áreas.
Usualmente se hace uso de enunciados de formulas con un lenguaje de supresión
que da lugar a confundir los elementos base y altura con la medida del área tales como:
“El área del rectángulo es igual al producto de su base por su altura.”
Se da por supuesta la unidad de medida, por es obviada. La unidad de medida en
este caso es un cuadrado cuyo lado es la unidad lineal tal que el número de cuadrados
que caben en un rectángulo es igual al producto del número de veces que cabe la unidad
lineal en la base por el número de veces que cabe esta unidad lineal en la altura.
Al examinar la fórmula para hallar el área del rectángulo se presentan dos casos
Cuando se utilizan longitudes enteras. El
área del rectángulo es axb Si utilizamos
unidades de medida cuadradas, b indica el
b
número de cuadrados unidad que caben
en el lado b y a significa el número de
cuadrados unidad que caben en el lado
a. El área del cuadrado es longitud de a
a
por longitud de b (figura 14).
Figura 14. Fórmula del rectángulo empleando la unidad de medida.
Cuando se presentan longitudes racionales aparecen fracciones de unidad, por lo
cual se hace un cambio a unidad cuadrada menor. La unidad de medida tradicional es la
cuadrada y se obtienen fórmulas cuadradas.
Para medir el volumen se toma como unidad de medida el cubo unidad. El volumen
del paralelepípedo es axbxc, lo cual significa que el número de cubos unidad que caben
dentro del paralelepípedo es a×b×c. Primero se forma una banda a×b dicha banda tiene
a×b cubos y hay c bandas.
2.2. Aspectos didácticos:
22
A continuación se describen algunos aspectos sobre la enseñanza y el aprendizaje del
volumen. Se establece la comparación entre figuras para medirlas.
2.2.1. Enseñanza del volumen
Del Olmo, Moreno y Gil, (1989) plantean una propuesta didáctica para la
enseñanza del volumen con tres fases: percepción, comparación y fase de la medida,
que incluye: captación de la unidad de medida, medición directa, medición indirecta,
aritmetización y estimación. Sugieren que se haga un planteamiento lúdico para abordar
el tema de la medida, siempre que se pueda.
Los autores señalan que para percibir el volumen se deben elaborar
representaciones mentales del objeto a partir de la información que disciernen los
sentidos, principalmente la vista y el tacto.
Para que el estudiante pueda captar la magnitud volumen se debe favorecer la
construcción de la misma a través de la identificación de las especificidades y
propiedades que presenta, diferenciándola de otras cualidades (magnitudes).
En el proceso de aprendizaje y enseñanza para que el estudiante perciba y
reconozca la magnitud volumen, hay que promover procesos de visualización, de
manipulación de figuras, a través de las cuales pueda hacer un reconocimiento intuitivo.
Proponer que haga composiciones, desarrollos planos y elabore las figuras que va a
medir (e incluso inventarlas), actividades táctiles, de llenado, de empaquetado, de
teselación del espacio, actividades que le permitan distinguir el volumen de otras
cualidades, como la apreciación del peso ó el costo del objeto proporcional a su
capacidad. Estas actividades facilitan al estudiante el establecimiento de vínculos entre
la cualidad que se está estudiando en las figuras, mediante la identificación de
regularidades de las mismas.
El punto de inicio de este proceso de aprendizaje es la fase intuitiva para pasar de
forma paulatina a la fase formal. La percepción del volumen tienen que sentar las bases
para identificar la diferencia entre el volumen como una cualidad y la medida de este.
En este tratamiento de la cualidad el alumno podrá identificar y manejar los
diferentes elementos de las figuras como las formas de las bases, de las diferentes caras,
23
la posición y medida de las alturas, para comparar magnitudes entre sí. Para ello se
deben propiciar diferentes escenarios en los que pueda desarrollar estos procesos a
través de la manipulación de objetos físicos tridimensionales. Se hace preciso
desarrollar actividades grupales, puestas en común, situaciones relacionadas con la
cotidianidad.
Las primeras comparaciones de objetos respecto de la cualidad volumen, pueden
limitarse a los términos “más que”, “menos que”, para establecer relaciones de orden,
mientras que se utiliza el término “tanto como”, para encaminar al estudiante hacia la
noción de igualdad respecto de esa cualidad y, por tanto, de cantidad de volumen.
La comparación permite ver si hay conservación del volumen en diferentes
situaciones, pues, por ejemplo, cuando dos poliedros tienen igual cantidad de volumen
pero diferente forma, hay tendencia a pensar erróneamente que la cantidad de volumen
no sé conserva Moreno y Gil. (2013). Es importante que el estudiante identifique las
características y pueda verificar si son diferentes y de este modo sienta la necesidad de
hacer comparaciones para observar como son los respectivos volúmenes.
Como complemento de estas ideas, mostraremos varios ejemplos. El ejemplo 1
consiste en comparar pirámides P y M de igual volumen pero de diferente forma.
“M”
“M”
pirámide
oblicua,
alargada
asimétrica, su cara base es un rombo y sus
caras
laterales
triángulos
rectángulos
isósceles y triángulos equiláteros. “M” se
compone de dos pirámides trirectángulas
y un tetraedro (figura 15).
Figura 15. Caracterización de la pirámide oblicua M.
“P” es una pirámide cuadrada simétrica, sus caras laterales son triángulos
equiláteros. Comparar el volumen de las dos pirámides “P” y “M”se puede hacer
mediante diferentes procesos de medida, tales como: descomposición, rellenarlas con
24
el mismo material y comparar las cantidades necesarias para rellenar cada una de ellas.
Estos procesos de medida son fundamentales para que el estudiante pueda
conceptualizar y desarrollar destrezas relacionadas con el volumen y de esta manera
adquiera el sentido de la medida.
Sin realizar ningún proceso de comparación, a simple vista pueden pensar
erróneamente que el volumen de M es mayor que el volumen de P debido a la forma
alargada que presenta R. Para comparar volúmenes no necesariamente se necesita una
unidad de medida. El manejo de las diferentes unidades de medida es otra herramienta
para que pueda el estudiante desarrollar el sentido de la medida y decida cuál de ellas es
más conveniente utilizar según las características del objeto que va a ser medido.
Otra situación en la que no es evidente la conservación del volumen es cuando se
presentan representaciones bidimensionales de un mismo poliedro en distintas
posiciones, lo que puede dar lugar a pensar que se trata de poliedros diferentes y que por
tanto tienen diferente volumen (figura 16).
PICO
Figura 16. Vistas diferentes del “pico”.
El “pico” se compone de una pirámide cuadrada y dos tetraedros. En la figura de la
derecha se puede apreciar que la pirámide cuadrada está compuesta de cuatro pirámides
trirectángulas (dos de ellas aparecen en color gris).
El ejemplo 2 consiste en la comparación de la pirámide cuadrada (P) y el tetraedro
(T), de lados dobles, P₂ y T₂, en función de la pirámide oblicua S de lados dobles.
25
Primero compararemos T₂ y P₂ con S₂ y posteriormente compararemos P₂ y T₂. Para
realizar la comparación previamente describiremos la pirámide oblicua S, expresaremos
T₂ y P₂ en función de S₂.
La pirámide oblicua S compuesta por dos
pirámides
trirectángulas
tiene
el
mismo
volumen que el tetraedro T, esto se evidencia
al identificar que S y T tienen iguales las bases
y las alturas (figura 17).
Figura 17. Relación de igualdad de
volúmenes entre el tetraedro y la
pirámide oblicua S.
S y T no son equicompuestos.
“T2”
“S2”
T₂ y S₂ son los paralelepípedos de
lados dobles, con igual cantidad de
volumen (figura 18).
Figura 18. Tetraedro y pirámide oblicua de lados dobles.
Vamos a comparar el tetraedro lado doble T2 con el paralelepípedo S2. S2 está
compuesto por dos cubos y 4 pirámides trirectángulas.
Simbólicamente S2= T2= 2cubos + 2S
A continuación comparamos el volumen de la pirámide de lado doble P₂, con el
paralelepípedo S₂.
P2= 4 cubos + 8 pirámides trirectángulas = 4 cubos + 4S
26
Simbólicamente P2= 4 cubos + 4S
Se concluye que P2 =2T2. El volumen de P es el doble de T (figura 19).
El construir políedros dobles ayuda a esclarecer el concepto de semejanza. Los
poliedros P, P2 y T, T2 son semejantes.
T₂
P₂
Figura 19. Relación de volumen 1:2 entre el tetraedro y la pirámide cuadrada.
En el gráfico de la derecha se puede observar que la pirámide oblicua S es igual a
media pirámide cuadrada P.
Además Olmo, Moreno y Gil (1989), proponen que después de trabajar el concepto
de unidad de medida con medidas no estandarizadas, se pase a medir con unidades
estándares. Es necesario que el estudiante se familiarizarse con el sistema métrico
entendiendo la utilidad de hacerlo, para lo cual debe realizar conversiones entre
unidades. El estudiante comprenderá que las mediciones son aproximadas, es decir que
no son precisas, por ello se debe afinar al escoger la unidad de medida.
Para ejemplificar cómo medir volúmenes utilizando medidas no estandarizadas,
tomamos como referencia las piezas del puzle de la pirámide de Keops, la pirámide
trirectángula que la denominamos como el poliedro J, la pirámide oblicua S formada
por dos pirámides trirectángulas, el octaedro O, el tetraedro T, el poliedro hacha
denominado H, tal como están referenciadas en Flores (2006).
27
Comenzamos por medir el volumen del zueco (pieza compuesta por un Tetraedro y
una Pirámide cuadrada).
Tomamos como unidad de medida la pirámide trirectángula J (complemento al
Tetraedro para formar el cubo). Las pirámides S y T tienen el mismo volumen por tener
igual base y altura. La unión de S y T da como resultado la pirámide oblicua M.
Volumen del zueco = M + S= (T+S) +S= 2S + S=3S = 6J. Luego el volumen del
zueco es igual a seis pirámides trirectángulas J.
“M”
El medio pico es el paralelepípedo M, se
“S”
obtiene al cortar el pico por la diagonal de la
sección cuadrada. M se compone de un
tetraedro y dos pirámides trirectángulas. El
“M”
zueco también se puede formar uniendo una
pirámide cuadrada P y un tetraedro T (figura
20).
ZUECO=Z = M + S
Figura 20. Composición del medio pico M y del zueco.
Otro ejemplo consiste en medir el volumen de 2 romboedros y de 2 hachas,
tomando como unidad de medida el zueco ( P + T= M +S; M= T +S; S=2J)
28
Volumen del romboedro= O + 2T= 2P + 2T = 2(P +T) = volumen de 2 zuecos, por
tanto el volumen de dos romboedros es igual al volumen de 4 zuecos.
El zueco y el romboedro están en relación 1:2
Volumen hacha= T +O +T = 2T + O= 2T + 2P = 2(P +T) = 2 zuecos (dispuestos de
diferente manera que en el caso del romboedro). El volumen de dos hachas es igual a
cuatro zuecos.
Los dos romboedros y las dos hachas tienen el mismo volumen y son
equicompuestos, entonces pertenecen a la clase del conjunto de objetos que tengan una
cantidad de volumen igual a cuatro zuecos (figura 21).
HACHA=H
“Hacha” compuesta por un
2 hachas = 2 romboedros
octaedro y dos tetraedros.
Figura 21. Equicomposición del hacha y el romboedro.
Los dos anteriores ejemplos también se pueden realizar empleando técnicas de
llenado, empleando las respectivas unidades de volumen sugeridas en cada ejemplo.
Veamos ahora como medir el volumen del prisma trirectángulo.
29
Unidad de medida: trozo de prisma
volumen del prisma: 4 trozos de prisma.
El trozo de prisma se ha obtenido
haciendo un corte paralelo a la base del
prisma. A partir de la altura de la unidad
de medida se puede establecer la altura del
prisma (figura 22).
Figura 22. Empleo de la unidad de medida no estándar
La Medición directa con unidades convencionales (m3, dm³, cm3), se puede
abordar proponiendo actividades como las siguientes:
- Aplicar la técnica de llenado, un ejemplo concreto es utilizar un cubo con una
capacidad de volumen de un dm³ graduado en centímetros cúbicos para hallar el
volumen de los poliedros T, P, M, S, Z. de lados uno y dos respectivamente, utilizando
como unidad de medida el cm³.
- Establecer relaciones de proporcionalidad, identificando las magnitudes que se
emplean para medir el volumen.
Una manera de establecer relaciones de proporcionalidad consiste en construir los
anteriores poliedros de lado doble y hallar su volumen por proporcionalidad entre las
bases y alturas con respecto al volumen. Con esta actividad se observa que las áreas se
cuadriplican y el volumen se vuelve 8 veces mayor. Con estas actividades se inician
medidas indirectas, pues basta la comparación directa de los originales para establecer
relaciones de proporcionalidad, que luego se emplean de manera directa, sin necesidad
de hacer comparaciones.
Los paralelepípedos dobles son semejantes y proporcionales a los paralelepípedos
unidad, y además, cuando la arista se duplica, el área de cualquier cara se cuadriplica; la
altura se duplica; de ahí que el volumen de los paralelepípedos dobles es ocho veces el
de los paralelepípedos originales (figura 23).
30
Z₂
M₂
Z₂= T₂ + P₂
Figura 23. Zueco y medio pico de lados dobles.
M₂= T₂ + S₂
2.2.2. Investigaciones sobre aprendizaje del volumen
Olmo Moreno y Gil, (1989) mencionan estudios de varios autores en los que el
común denominador son aspectos como el estudio de la conservación del volumen, la
implementación de este concepto a una edad temprana en las escuelas y aspectos que
competen a este trabajo fin de máster relativos a la comparación de volúmenes a partir
de la proporcionalidad, como, entre otros, el peso. A continuación desarrollamos estas
ideas mencionando los aspectos más importantes a los que se refieren cada uno de ellos.
Los trabajos más tempranos en el estudio del volumen se deben a la escuela de
Ginebra, y los aportes de Piaget y colaboradores. Estos primeros estudios se centran en
analizar cuándo se capta la conservación de volumen, masa y capacidad, al producir
alteraciones de los cuerpos. Los trabajos les hacen recomendar practicar en las escuelas
actividades de conservación del líquido desalojado por ejemplo. Los estudios
posteriores de Carpenter reconocen que el concepto de conservación de volumen interno
se desarrolla gradualmente.
Otros estudios de Piaget estudian la distinción entre volumen y peso. Sugiere
que se comparen las cualidades relativas al peso y volumen de los mismos objetos,
pidiendo que los alumnos utilicen el adjetivo “pesado”, si hace referencia a la cantidad
de peso, lo que se estimula haciendo preguntas como ¿poseen la misma cantidad?,
mientras que si se alude al volumen, preguntar si ocupan el mismo espacio.
Freudenthal aclara que la cantidad de una magnitud solo puede compararse entre
especímenes de la misma materia, y sugiere que se promueva que los estudiantes
busquen la transformación que hace que se conserve la cualidad.
31
Vergnaud realiza un estudio sistemático del volumen, examinando como varía
respecto a la superficie y la longitud, al pasar de objetos unidimensionales a objetos
bidimensionales y tridimensionales. Estudiar cómo varían las magnitudes lineales, su
efecto cuando forman parte de magnitudes bidimensionales, para apreciar que van más
allá de una variación en cada dimensión. Por tanto esta variación también se aplica al
paso a la tridimensional. Estas cualidades complican las relaciones de proporcionalidad
entre estas dimensiones, lo que hace que sea un concepto valioso pero a la vez difícil de
captar por el estudiante.
Olmo, Moreno y Gil aluden sobre la importancia de trabajar el concepto de
volumen con objetos físicos tridimensionales y que se aborden las etapas previas a la
aritmetización del mismo, para que cuando llegue el momento de emplear las formulas
el estudiante lo haga de manera razonada, entendiendo el porqué de su uso.
Tras esas ideas generales sobre el aprendizaje del volumen, hemos buscado
investigaciones más recientes que se basan en una caracterización del concepto de
volumen de acuerdo a sus propiedades y aspectos particulares. Lo interesante es que hay
distintas formas de concebir el volumen.
Potari y Spiliotopoulou, (1996) desarrollaron una investigación en la que
trabajaron con niños de once años, observando en ellos las diferentes concepciones para
aplicar y comparar aspectos del volumen. En el estudio los autores proponen seis tareas
a los niños para que puedan descubrir qué es el volumen y para detectar los elementos
comunes a las respuestas de los niños. El concepto de volumen es relacionado con la
forma y las propiedades geométricas, con la masa, el peso, la capacidad de contener de
un objeto. Las actividades sugeridas son apropiadas para integrar una diversidad de
ideas y lograr un concepto reflexivo de volumen. Los resultados de la investigación
muestran que hay una parte común en las concepciones que tienen los niños acerca del
volumen.
Sáiz, (2002 y 2003) realizó una investigación sobre concepciones del concepto
de volumen de maestros de primaria. El marco teórico utilizado se basa en la idea de
concepciones, pero también en las diversas formas de contemplar el volumen. Recogió
los datos mediante un cuestionario. Una de las preguntas demanda la posible relación
32
entre otras cualidades y el volumen, como por ejemplo la masa, el área lateral de un
cuerpo etc. La investigación trabaja el concepto de volumen apreciando que tiene por lo
menos cinco aspectos que se pueden considerar al identificarlo, a saber el Volumen
desplazado, o líquido desplazado al sumergir un objeto en él; el volumen ocupado, o
lugar que ocupa un cuerpo en el espacio; el volumen interno, o número de unidades de
volumen que conforman un cuerpo, el volumen encerrado o espacio encerrado por una
superficie cerrada (más próximo a la capacidad), y un número, es decir, el volumen
como una magnitud que se puede calcular y se identifica mediante su medida.
Diversos estudios como los de Enochs y Gabel, (1984) ponen de manifiesto que
el campo de la medición de volúmenes y áreas se desarrolla de forma casi exclusiva en
las matemáticas elementales de la escuela primaria. El hecho es que al no profundizar
en el campo de la medición de volúmenes y áreas en los ciclos educativos de primaria,
secundaria y superiores, los estudiantes presentan deficiencias importantes en este
campo en cursos posteriores, incluso en los universitarios. Es importante considerar esta
realidad a la hora de formar los maestros de primaria, ya que son ellos prioritariamente
los que deben tener los conceptos claros y las habilidades necesarias para transmitir a
los estudiantes, no sólo nociones, si no bases firmes y amplias en cuanto a la enseñanza
del cálculo y medición de volúmenes y áreas.
Los autores recuerdan otros estudios en los que se ha propuesto la enseñanza del
volumen antes que la de la longitud, aunque no han llegado a conclusiones
suficientemente avaladas sobre los resultados satisfactorios de los estudiantes respecto
al manejo del volumen.
El uso de fórmulas para determinar el volumen y el área de superficies parece
estar relacionado con el bajo apoyo conceptual del significado de volumen que tienen
los estudiantes. Enochs y Gabel, (1984) indican que es importante que primero se
entienda de una forma conceptual el concepto de volumen, para a partir de esta base,
incorporar las fórmulas, y en el momento que se introduzcan el estudiante esté en
capacidad de hacer un manejo razonado de las mismas.
2.2. Talento matemático
33
En primer lugar, es preciso hacer una semblanza lo más cercana posible a la del
grupo con el que se ha realizado esta investigación: estudiantes con talento en
Matemáticas y que es la base sobre la cual hemos partido.
Primeramente caracterizaremos al estudiante con talento y posteriormente
trataremos sobre la intervención diseñada para los mismos.
En el estudio de Ramírez (2012) se hace una comparativa de las características de
los estudiantes con talento según diferentes autores. Se utiliza la terminología de las
altas capacidades siguiendo la propuesta de Passow y las particulariza al ámbito
matemático con las propuestas de autores como Freiman, Greenes o Miller.
Passow alude a las altas capacidades a nivel general. Menciona que un alumno
posee altas capacidades cuando en virtud de las mismas es capaz de un alto rendimiento
en diferentes ámbitos como puede ser el matemático, el musical, el artístico etc.
Para caracterizar esta alta capacidad en el ámbito matemático, los autores coinciden
en señalar características tales como que los alumnos se sitúan en la escena de los
problemas, construyen vínculos y relaciones, cambian fácilmente de una estructura a
otra, poseen dominio en la resolución de problemas, conceden interés a los detalles,
tienen agilidad mental y habilidad para generalizar.
Concretamente, en los estudios de Freiman, Miller y Greenes no se encuentran
diferencias significativas entre las características del talento matemático (Ramírez,
2012). Utilizando, por ejemplo, las citadas por Freiman, se destacan entre otras, la
capacidad innata que tienen los alumnos con talento matemático para desarrollar
estrategias eficientes, inventar problemas y un alto nivel para la flexibilidad en el
manejo y organización de los datos. Manifiestan el creativo como otro aspecto
relevante, dado que su agilidad mental les conduce a producir, transmitir e interpretar
ideas.
Hay que resaltar igualmente la habilidad con la que son capaces de transferir
conocimientos a situaciones nuevas, es decir, la capacidad que tienen de desarrollar
habilidades por las que, partiendo de los conocimientos adquiridos en experiencias
previas, generalizan a situaciones nuevas de forma válida y adaptativa.
34
Miller también aporta ideas interesantes cuando señala que los chicos con talento
matemático presentan un entusiasmo inusual y un gran deseo de indagar la información
numérica, manifestando rapidez en el aprendizaje, alta capacidad de entendimiento y
aplicación de las ideas matemáticas. Esto hace que desarrollen habilidades especiales
para trabajar creativamente y de forma abstracta en cuanto a la relación de objetos
matemáticos. Además Greenes destaca la creatividad, capacidad para generalizar y
abarcar más de lo esperado en las tareas propuestas de los estudiantes con talento
matemático.
En esta investigación se ha elegido el término “talento matemático” de acuerdo a
las caracterizaciones que hacen Miller, Freiman y Greenes, puesto que en la experiencia
con los estudiantes participantes en el estudio, observamos similitud con las citadas por
estos autores. Teniendo en cuenta que nuestro trabajo tuvo más en consideración el
proceso realizado que los resultados, coincidimos con estos autores, específicamente
con lo señalado por Greenes, de que el estudiante con talento elabora planteamientos
que abarcan más de lo esperado, tienen capacidad para generalizar y su capacidad
creativa es un elemento dinamizador de su aprendizaje, al llevarles a la elaboración de
propuestas que contienen más aspectos de lo que se aborda en las actividades. Miller
manifiesta que los estudiantes con talento matemático son flexibles en sus
razonamientos, aprenden con rapidez y manejan los datos de un modo flexible,
interrelacionando ideas en la integración de varias estructuras conducentes a la
resolución de problemas. En esta línea, Freiman evidencia que estos estudiantes buscan
patrones y relaciones, lo que implica una capacidad de incorporar la información
obtenida en forma de aprendizaje útil y aplicable. Además, controlan la solución de los
problemas, son persistentes en el desarrollo de la tarea y desarrollan estrategias
eficientes que les llevan a producir ideas que posteriormente aplicarán en otras
situaciones. Se reconoce en la experiencia realizada en estudiantes con talento las
capacidades inherentes a los mismos que les llevan a destacar por cuanto son creadores
de sus propios esquemas que aplican en situaciones nuevas.
La caracterización que hacen los diferentes autores anteriormente citados de los
estudiantes con talento, es complementaria en cuanto a los aspectos que manifiestan la
excepcionalidad de los mismos, lo cual se ha podido constatar en el desarrollo del
35
presente estudio. Hay diversidad de autores que hablan del estudiante con talento, pero
dada la amplitud de los estudios realizados, consideramos que con las características de
los autores anteriormente citados encontramos la suficiente claridad teórica como para
iluminar el presente estudio.
En la fase de intervención es relevante la visión amplia que tienen sobre estos
estudiantes los responsables del proyecto ESTALMAT (programa de estímulo del
talento matemático) ya que presentan tareas a los alumnos pensando en que sus
aptitudes son especialmente excepcionales.
En este sentido, siguiendo a Blanco, Ríos y Benavides (2004), realzamos la
importancia de los programas de enriquecimiento como una solución fructífera para
satisfacer las necesidades de aprendizaje de los estudiantes con talento.
Según estos autores (Blanco, Ríos y Benavides, 2004), es relevante incorporar
actividades de aprendizaje por descubrimiento para que el estudiante se involucre en
ellas. Las tareas instructivas extracurriculares son complementarias y a la vez alternan
con las actividades desarrolladas durante las clases ordinarias. Para tal fin Jhonson
propone el uso de herramientas didácticas tales como material manipulativo (se pueden
incluir puzles), diseño de tareas con contenido recreativo e instructivo, entre otras
propuestas. Jhonson recomienda que estas actividades sean planteadas a nivel grupal
para favorecer el enriquecimiento mutuo además de la capacidad para poder discutir,
debatir y argumentar las soluciones dadas por cada uno. De este modo se favorece que
el enriquecimiento personal sea mayor al incorporar los avances que los otros
compañeros realicen. Todo esto conduce a que el estudiante plantee estrategias para
resolver los problemas, utilice la lógica como elemento dinamizador de la
memorización de los contenidos aprendidos y les capacite para el planteamiento y
resolución de problemas abiertos, novedosos y que impliquen varias posibilidades de
conclusión.
Salir de la rutina de la normalidad general aporta una dosis especial de motivación
lo que les lleva a animarse en las tareas al mismo tiempo que se divierten y aprenden.
Elementos importantes en dichas actividades es el trabajo en equipo y que vayan
enfocadas a abordar situaciones de la vida real (Blanco, Ríos y Benavides, 2004). De
36
esta manera, el estudiante con talento es alentado a protagonizar su propio aprendizaje
(autoformación) en un contexto integrado en el que el profesor se constituye también en
coaprendiz al mismo tiempo que tutor y guía del proceso.
Es por lo tanto que los programas de enriquecimiento deben ser considerados como
pilares fundamentales en el desarrollo educativo de los estudiantes con capacidades
intelectuales altas, ya que se adecuan a sus características, las cuales demandan
actividades extracurriculares especiales. Por tanto es necesario adoptar este tipo de
elementos educativos específicos con el fin de complementar la formación impartida
con el currículo oficial, que por sí sola no es suficiente para satisfacer las necesidades de
los estudiantes con talento. En España existen experiencias interesantes a este respecto,
y en líneas generales, las propuestas y directrices que se desarrollan a nivel educativo
para estudiantes con talento que cursan la E.S.O de acuerdo a la propuesta de Blanco,
Rios y Benavides (2004), son:
- Añadir contenidos que no formen parte del Currículo oficial.
- Abordar con mayor profundidad ciertos contenidos que sean susceptibles de
ahondar más en la capacidad especial y sobresaliente de aprendizaje de los estudiantes
con talento.
- Hacer un esfuerzo significativo con el fin de ampliar la estructura de los temas y
contenidos curriculares, para adaptarlos a las características especiales de los
estudiantes con talento y aportar de este modo mayor nivel de abstracción y
complejidad en dichos contenidos.
- Que la investigación impulse la innovación en el contenido curricular, como
mecanismo favorecedor de procesos educativos adecuados para los estudiantes con
talento en el que puedan desarrollar al mismo tiempo el pensamiento creativo y sus
destrezas.
En este sentido, nuestra investigación se centra en una sesión de enriquecimiento
curricular en la que participan alumnos de un programa de estímulo del talento
matemático. En esta sesión se proponen una serie de actividades diseñadas para que los
alumnos manifiesten las características anteriormente citadas y abordando el tema de la
medida del volumen del tetraedro y la pirámide en mayor profundidad que en las clases
ordinarias.
37
38
CAPITULO 3. METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION
En este capítulo vamos a describir la metodología utilizada. Inicialmente vamos a
caracterizar el tipo de investigación, definiendo los elementos que la identifican. A
continuación mostramos el proceso para describir los resultados obtenidos.
3.1. Caracterización de la investigación
Primeramente haremos un preámbulo sobre lo que es una investigación, los tipos
de investigaciones existentes, mencionaremos la definición de investigación cualitativa
y con este estudio preliminar haremos mención de cuáles son las características de la
investigación cualitativa que se hacen presentes en este trabajo, además de explicar las
fases en que se ha llevado a cabo nuestra investigación.
Munarriz (1992) señala que la investigación cualitativa se entiende como un diseño
flexible que se obtiene a partir de información cualitativa. No conlleva un manejo
estadístico riguroso, ya que su estructura se orienta más al proceso seguido para obtener
soluciones que a la obtención de resultados.
Una de las aplicaciones del diseño cualitativo está en el campo educativo, razón
por la cual permite interpretar el significado que los estudiantes dan a sus acciones, lo
cual lleva a mejorar el tratamiento que se da a los problemas de aprendizaje.
Estando interesados en examinar cómo los estudiantes con talento, de una muestra
intencional, resuelven una tarea de enseñanza, en un contexto de enriquecimiento
curricular, hemos diseñado una investigación cualitativa. Según Munarriz, (1992)
dichas investigaciones no hacen posibles ni pretenden las generalizaciones y que se
llevan a cabo en un contexto natural, en el lugar donde ocurren los hechos, mediante un
diseño abierto, no estructurado, que se va desarrollando a medida que evoluciona.
La investigación cualitativa requiere una metodología sensible a las diferencias, a
los procesos singulares y anómalos, a los acontecimientos y a los significados latentes.
39
El diseño que hemos planteado es descriptivo y exploratorio por que tiene la
intención de percibir las reflexiones que hacen los estudiantes.
En resumen, la investigación planteada es de tipo cualitativo porque está
encaminada a estudiar el razonamiento que hacen estudiantes con talento matemático
para obtener el volumen del tetraedro sin emplear fórmulas, durante un proceso de
enriquecimiento curricular.
Estos razonamientos que hacen los estudiantes los aplican para comparar los
volúmenes de figuras entre sí, y con respecto al cubo. Para ello se observan y describen
qué relaciones entre los volúmenes de las figuras y sus formas aprecian los estudiantes,
cuáles de estas relaciones son las que más se han reflejado en sus reflexiones. Y cuáles
de ellas les han ayudado más para generalizar. También estudiamos cómo llegaron a
esta generalización.
Hernández, Fernández y Baptista (2010), identifica que muchas investigaciones
cualitativas tienen intenciones descriptivas, pretendiendo entender cómo el estudiante
comprende el concepto. Para ello se ejerce un control moderado de las variables, y es
mínimo el peso que se concede a los procedimientos estadísticos, utilizándose la parte
estrictamente necesaria de estos.
Estos autores señalan las siguientes etapas en el desarrollo de este proceso de
investigación: Planteamiento del problema, inmersión del investigador en el campo,
descripción de la muestra anotaciones o toma de datos, recolección y análisis de los
datos.
Ya se ha definido el problema en el capítulo uno, se ha producido la inmersión del
investigador en el campo. Vamos a describir los procesos siguientes.
3.2. Elementos de la investigación.
Descripción de la muestra
Trabajamos con una muestra intencional de 23 niños con talento matemático,
durante una sesión Estalmat, en un día de clase durante 3 horas realizada el 18 de enero
de 2014.
40
ESTALMAT (Estímulo del talento matemático) es un proyecto desarrollado en
España y cuya finalidad es la detección y estímulo del talento excepcional en las
matemáticas en estudiantes, que cursan 6º de Primaria, E.S.O y Bachillerato. Para
cumplir este objetivo se llevan a cabo actividades extraescolares en las que se canalizan
los programas de enriquecimiento curricular, en ellas se desarrollan tareas de
crecimiento grupal.
Los estudiantes participantes en esta investigación se consideran alumnos con
talento matemático, por haber superado una prueba de acceso al programa, en la que
compitieron con casi 500 compañeros de las cuatro provincias andaluzas. No están
diagnosticados mediante procesos objetivos baremados.
Las edades están comprendidas entre 14 y 16 años. Aunque el curso se compone de
25 alumnos, asistieron 7 chicas y 16 chicos, que resolvieron las tareas, dando lugar a 21
respuestas, dado que dos parejas resolvieron sobre el mismo formulario.
Tabla 1. Asistencia por sexo y edad.
Edad
Sexo
Mujer
Hombre
14
15
16
Totales
3
5
8
2
6
7
17
Recolección e instrumentos de toma de datos
Esta investigación se ha llevado a cabo en dos fases. En la primera fase se realizó la
planeación y diseño de la sesión de enriquecimiento curricular en la cual se contempla
una secuencia de tareas que están ordenadas de tal manera que puedan conducir al
estudiante a una evolución en sus razonamientos.
La segunda fase corresponde al apartado empírico, en el cual se implementa dicha
sesión y se toman los datos, observando cómo los alumnos perciben el razonamiento
planteado y seguido en la sesión diseñada.
La recolección de los datos se realizó mediante una observación no participante,
donde la investigadora ha estado de observadora mientras se hacia la prueba.
41
Para apreciar la forma en que los estudiantes siguen los razonamientos previstos, se
han elaborado unas actividades en las que los alumnos tienen que ir expresando sus
apreciaciones. Se han recogido las respuestas escritas de los estudiantes a estas
actividades, complementado mediante las observaciones de la investigadora. Por tanto
los instrumentos de recogida de datos son las respuestas escritas de los estudiantes y las
anotaciones escritas de las observaciones por parte de la investigadora durante la sesión.
En las respuestas escritas de los estudiantes se hace una interpretación de los
razonamientos planteados en las que se identifican los pasos más seguidos, los que han
despertado mayor dificultad, como también los procesos llevados a cabo por los
estudiantes más destacados. Además se estudia hasta que punto han utilizado fórmulas y
en qué medida son capaces de llegar a la solución final
Las observaciones escritas de la investigadora ayudan a incorporar en la recogida
de los datos, comentarios orales y acciones de los alumnos que no anotaban en sus
libretas, como también algunos procedimientos desarrollados en las actividades
(mediciones directas, forma de construcción de figuras dobles y triples, reflexiones
sobre semejanzas entre estas. etc.).
Procedimiento de análisis de los datos
Una vez tenemos los escritos de los alumnos, el análisis cualitativo ha implicado
organizar los datos recogidos, transcribirlos a texto y codificarlos. Para estructurar los
datos recabados, el método que utilizamos en nuestra investigación cualitativa es el
análisis de contenido.
Este método exterioriza la significación del mensaje que va implícita en un texto.
El texto se divide en segmentos llamados unidades de análisis o también unidades de
contenido, las cuales se clasifican de acuerdo a las semejanzas, diferencias o relaciones
existentes entre ellas. En este análisis cualitativo la esencia está en que recibimos datos
no estructurados en forma de texto constituido por las respuestas escritas de los
estudiantes. Estos se estructuraron e interpretaron, haciéndose de esta manera más
visible los significados latentes en ellos.
Hernández, Fernández y Baptista, (2010) facilitan orientaciones para la aplicación
del método del análisis de contenido. Distinguen dos etapas a seguir: la identificación
42
de las unidades de análisis y la elaboración de un sistema de categorías. Primero se
revisó todo el material, después se identificaron las unidades de contenido. El propósito
al estudiar las unidades de análisis es poder extraer significados que se pueden describir,
interpretar, así como observar cómo obtienen reglas los estudiantes.
El tratamiento de las unidades de análisis ha sido de utilidad para comprender
procesos, explorar los tipos de respuestas (difíciles, no previstas, creativas etc.) y
observar elementos específicos. Como también para encontrar el sentido a los datos en
el marco del planteamiento del problema.
Los códigos surgieron de los segmentos de datos, los cuales se organizaron en un
sistema de categorías clasificadas por actividades o por estar relacionadas entre sí,
vinculadas en algún aspecto, habiendo categorías más relevantes que otras.
A continuación explicamos más detalladamente cómo se han seguido estas dos
etapas.
Las unidades de contenido son frases con sentido que responden a cada una de las
tareas planteadas. Fueron extraídas de las partes del texto que nos daban respuesta a lo
que habíamos previsto. El texto está constituido por las respuestas escritas de los
estudiantes. Dentro de cada respuesta se han observado los pasos que se han
desarrollado en la misma, de modo que en cada respuesta pueden apreciarse una o
varias unidades de significado.
Por ejemplo si analizamos la respuesta del sujeto 19 a las tareas de la actividad 1:
“La pirámide tiene más volumen que el tetraedro porque pesa más la pirámide.
Además la pirámide tiene más superficie y su base es mayor. El único problema es que
la altura del tetraedro es menor”
Hemos extraído cuatro unidades de análisis:
1ª: la pirámide tiene más volumen que el tetraedro.
2ª: porque pesa más.
3ª: la pirámide tiene más superficie y su base es mayor
4ª: El único problema es que la altura del tetraedro es mayor.
43
En las anotaciones escritas de la investigadora se observa que el alumno 19 hace
mediciones directas para observar que la altura de T es menor que la de P, apoyando las
dos formas en la banca y mirando las alturas de los ápices de ambas pirámides. En
general esta es la manera como se han obtenido las unidades de análisis extraídas de las
respuestas escritas que dieron los estudiantes a las cuestiones planteadas en las
actividades.
Tras examinar las producciones de los estudiantes observamos que las respuestas
eran variadas y proporcionaban una información valiosa para hacer el seguimiento de
sus razonamientos. En ellos percibimos los procesos que se llevaron a cabo para
determinar el volumen del tetraedro y la pirámide cuadrada, en qué grado se hizo uso de
fórmulas y de qué manera se establecieron relaciones entre figuras a través de procesos
manipulativos. El análisis realizado anteriormente de la sesión de clase y del proceso de
razonamiento propuesto, tomando en cuenta las variables de la investigación,
permitieron crear el sistema de categorías que a su vez representan los valores de las
variables de estudio. Nos centramos en el proceso antes que en los resultados.
Las unidades de análisis se categorizaron y codificaron asignando un número a
cada una de ellas. En total emergieron 16 categorías de las respuestas escritas de los
estudiantes. Los valores que toman las variables son las categorías y estas corresponden
a los pasos que han resuelto los estudiantes
Variables de investigación.
Las variables están en consonancia con el diseño de la sesión de enriquecimiento
vista en todo su conjunto, interrelacionando todo el proceso llevado a cabo por los
estudiantes a través del desarrollo de las tareas planteadas en cada una de las
actividades. Por tanto nos permiten organizar la información y hacer un seguimiento
cercano de las producciones que realizan los estudiantes.
Las variables de investigación abarcan tres aspectos bien diferenciados entre sí. La
variable uno estudia los pasos más seguidos y los más difíciles, entre otras cosas. La
variable dos estudia en qué medida se hace uso de fórmulas. La variable tres analiza la
eficacia de los estudiantes para llegar hasta el final del proceso, todo esto según se
observa en la tabla 2, en la que explicamos en qué consisten y la finalidad que tienen.
44
Cada variable comprende una o más actividades, por ejemplo la variable uno organiza
las respuestas a las actividades 1, 2 y parte de la actividad tres. A su vez las variables
organizan las respuestas de cada categoría, como se puede ver en la tabla 3.
Las categorías son los valores que toma la variable y a su vez corresponden a los
pasos seguidos por los estudiantes.
Tabla 2. Definición de variables
Variable
Descripción
V1
Examina la manera como los estudiantes hacen sus razonamientos para
justificar que el volumen de la pirámide cuadrada es mayor que la del
tetraedro y como la relacionan con el volumen del cubo. Esta variable
permite también estudiar la cantidad de pasos (categorías) que llega a
recorrer, cuáles son los más difíciles, y cuáles son originales, por no
estar previstos. Incluye las siete primeras categorías y la tarea planteada
en la categoría 11 que les permite precisar la relación 1:2 entre T y P.
V2
En la variable V2 se estudia cuándo y cómo los estudiantes hacen o no
empleo de fórmulas.
V3
Estudia la eficacia alcanzada para llegar a la solución final, es decir si
los estudiantes llegan a obtener el volumen del tetraedro a partir de la
longitud de su arista como también si logran obtener la longitud de la
arista, dado el volumen del tetraedro
45
Tabla 3. Definición de las categorías
Código Categoría
1
Afirma que P es mayor que T
2
Compara bases
3
Compara bases y alturas
4
Otros
5
Variable
V1
V1
V1
V1
V1
Actividad
Uno
Uno
Uno
Uno
Dos
V1
V1
Dos
Dos
V2
Tres
V2
Tres
V3
Tres
V1
Tres
V4
V4
V4
V4
V4
Cuatro
Cuatro
Cuatro
Cuatro
Cuatro
Compone y expresa P₂=6P+4T y T₂=2P+4T
6
7
Concluye que P no es el triple de T
Compone y expresa P₃=19P+16T y T₃=8P+11T
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Halla volumen de la pirámide trirectángula por
truncamiento
Halla el volumen de la pirámide trirectángula por
descomposición (comparación de volúmenes)
Halla volumen de la pirámide trirectángula por
fórmula
Relaciona los volúmenes de la pirámide trirectángula,
de la pirámide cuadrada P, del cubo y del tetraedro T,
indicando que volumen de P es doble de volumen de
T.
Dada la arista del cubo halla la del tetraedro
Dada la arista del tetraedro halla la del cubo
Dada la arista del cubo halla el volumen
Dada la arista del tetraedro halla su volumen
Dado el volumen de l tetraedro hallar su arista
En la tabla 3 aparece la descripción de las categorías, su código, asociándolas con
las variables y las actividades a las que corresponden. En la categoría cuatro los
alumnos dan las siguientes justificaciones: La pirámide cuadrada tiene mayor volumen
porque pesa más que el tetraedro y la altura de la pirámide cuadrada es la mitad de la
diagonal de la cara cuadrada de la base. La altura de la pirámide y la mitad de la
diagonal de la base cuadrada son los catetos de un triángulo isósceles que tiene por
hipotenusa la arista del tetraedro regular. La longitud de los catetos es igual a las aristas
del cubo.
Las siete primeras categorías corresponden a la comparación de los volúmenes del
tetraedro T y la pirámide cuadrada P. Las categorías 8, 9 y 10 corresponden a hallar el
46
volumen de la pirámide trirectángula. La categoría 11 establece una red de relaciones
entre los poliedros dados, en su vínculo con el volumen del cubo. Las últimas cinco
categorías van encaminadas a establecer relaciones éntrelas longitudes y volúmenes del
tetraedro y el cubo. Entre otras cosas en la categoría 6 apreciamos que se percatan de
que, aunque 6P es el triple de 2P, como en P2 y T2 hay también 4T, P2 no triple de T2.
En la categoría 8 no hacen uso de fórmulas de ningún tipo.
En la categoría 9 obtienen el volumen de la pirámide trirectángula por
descomposición. Significa que emplean relaciones de proporcionalidad entre pirámides
de la misma base y altura. Comparan una pirámide oblicua compuesta por dos
pirámides trirectángulas con el volumen del tetraedro
En la categoría 10 se recogen las respuestas que obtienen el volumen de la
pirámide trirectángula por fórmula del volumen de una pirámide; para lo cual
identifican la base y la altura de dicha pirámide y calculan su volumen.
La organización de las categorías como se describe en la tabla tres está pensada
para que permita hacer un estudio cercano acerca del dominio significativo de la medida
que puedan manifestar los estudiantes.
47
Tabla 4. Descripción de actividades
V.
Act.
Descripción de la actividad
V1 Uno
La actividad uno tiene dos partes. En la primera
el estudiante determina de manera intuitiva la
relación que existe entre el volumen de P y de
T, y en la segunda, justifica su respuesta
V1 Dos
Debían precisar la relación entre
volúmenes de P y T, a partir de la construcción
de figuras dobles y triples, empleando el puzle,
y
estableciendo
relaciones
entre
las
descomposiciones que se pueden hacer de estas
figuras en tetraedros y en pirámide
V1 Tres
Debían establecer la relación precisa de que P
es el doble de T
V2
Tres
V3
Cuatro
En esta actividad debían obtener que el
volumen de la pirámide es doble del volumen
del tetraedro para lo cual tomaron como
referencia el volumen del diedro trirectángulas
en relación con el cubo
En esta actividad debían relacionar longitudes y
obtener la regla general para hallar la fórmula
del volumen del tetraedro.
Categorías
La actividad uno
comprende
las
categorías 1,2,3,4,
La actividad dos
comprende
las
categorías 5, 6, 7.
Esta tarea de la
actividad
tres
corresponde a una
parte de la categoría
11
La actividad tres
comprende
las
categorías 8, 9 y 10
La actividad cuatro
comprende
las
categorías
12,13,
14,15 y 16
La variable tres organiza las respuestas a la actividad 4. De las respuestas de los
estudiantes a esta actividad establecimos las categorías: 12, 13, 14, 15 y 16.
En la tabla cuatro se describen las actividades de la sesión de enriquecimiento, se
puede observar como las variables estructuran las respuestas a las actividades.
3.3. RESULTADOS
Pasamos a estudiar las producciones de los estudiantes, organizando la información
obtenida en relación al razonamiento completo reflejado en la tabla 5, analizando los
resultados de la investigación.
En la tabla 5 aparecen todas las respuestas de los estudiantes, en ella se especifica
las actividades y variables dentro de las cuales se estudian. La tabla refleja que ha
habido un seguimiento mayoritario del razonamiento completo, aunque ha habido
diferencias en la cantidad de pasos y apreciaciones. Los estudiantes han sido capaces de
llegar hasta el final del proceso previsto, siguiendo la propuesta de actuación.
48
Tabla 5. Respuestas de los estudiantes a cada una de las categorías (pasos)
Alum
Actividad 1
Actividad 2
Actividad 3
Actividad 4
1
1
2
8
9
11 12 13
2
1
2
3
8
11 12 13 14 15
3
1
2
5
7
10 11 12 13 14 15
4
1
5
7
8
11 12 13 14 15
5
1
2
3
10 11 12 13 14
6
1
2
3
5
7
10 11 12 13 14 15
7
1
2
5
6
9
11 12 13 14 15
8
1
2
3
11 12 13 14 15
9
1
5
7
9
10 11 12 13 14 15
10
1
2
5
9
11 12 13 14
11
1
2
5
7
10 11 12 13 14 15
12
1
2
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
13
1
2
3
5
10 11 12 13 14 15
14
1
5
7
9
11 12 13 14 15
15
1
2
3
5
11 12 13 14
16
1
5
12 13 14 15
17
1
2
3
4
5
9
11 12 13 14 15
18
1
2
3
5
7
11 12 13 14 15
19
1
2
3
4
11 12 13 14 15
20
1
2
3
5
7
9
11 12 13 14 15
21
1
2
9
11 12 13 14 15
Total 21 16 10 2
15 2
9
4
9
7
20 21 21 20 17
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
18
.Todos los estudiantes encontraron que la pirámide cuadrada tiene mayor volumen
que el tetraedro a partir de la manipulación de figuras opacas, en las cuales analizaron
su forma y propiedades.
En la actividad uno las justificaciones han sido variadas. 16 estudiantes comparan
las pirámides estableciendo la proporcionalidad entre las bases y argumentan que el
volumen de la pirámide es mayor que el del tetraedro porque su base tiene mayor área, y
10 de ellos además comparan las alturas respectivas.
En la segunda actividad compusieron las figuras dobles y un buen número de ellos
construyeron figuras triples. En esta actividad la creación de figuras dobles la hacen 15
estudiantes esto les permite confirmar que la pirámide tiene mayor volumen que el
tetraedro, 9 de ellos incluso construyen las figuras triples. Expresaron las figuras en
49
función de la pirámide y el tetraedro unidad. En todas las composiciones perciben que
para construir las pirámides emplean más piezas que para componer los tetraedros.
En la tercera actividad llegar a establecer la relación 1:6, entre el triedro
trirectángulo y el cubo, es una de las más predominantes en los razonamientos. Cuatro
estudiantes hallan el volumen de la pirámide trirectángula a través de procesos infinitos,
el resto de los estudiantes emplean alguna fórmula. Nueve estudiantes hallan el volumen
del triedro trirectángulo por el método que hemos denominado “descomposición”, para
lo cual comparan las bases y alturas de una pirámide oblicua formada por dos triedros
trirectángulos, con las del tetraedro, al observar que son iguales, concluyen que sus
volúmenes también lo son. Aplican pues la proporcionalidad entre el volumen y la
superficie de la base, a igualdad de alturas, o de la proporcionalidad entre los volúmenes
y las alturas, cuando tienen igualdad de bases. Al coincidir ambas, se igualan los
volúmenes.
Siete estudiantes obtienen el volumen de la pirámide trirectángula empleando la
fórmula, es decir, apreciando que la base de esta pirámide es un triangulo rectángulo
isósceles, cuyos catetos miden la unidad, con lo cual el área de la base es un medio. La
altura de la pirámide es igual a la del cubo. Encuentran el volumen multiplicando por un
tercio el área de la base por la altura.
En total hay 17 estudiantes que utilizan fórmula en uno u otro caso. En resumen, 4
no emplean fórmulas, 9 emplean fórmulas de proporcionalidad, y sólo 7 no han podido
evitar emplear la fórmula, pese a que se ha planteado la actividad para que no aparezcan
En la actividad 4 salvo el estudiante 1, el resto hallaron el volumen del tetraedro
dada la arista del cubo. Todos los estudiantes dada la arista del cubo hallaron la arista
del tetraedro, multiplicando la arista del cubo por √2. Y dada la arista del tetraedro
hallaron la arista del cubo, para ello multiplicaron la arista del tetraedro por √2/2.
Diecisiete estudiantes hallaron el volumen del tetraedro, dada la arista. Dieciocho
estudiantes hallaron la longitud de la arista del tetraedro, dado su volumen. Las tareas de
la cuarta actividad fueron las que tuvieron más relaciones acertadas en todos y cada
uno de los pasos. Los resultados fueron satisfactorios, la mayoría de los estudiantes
50
siguieron el razonamiento para hallar el volumen del tetraedro y la pirámide cuadrada
en relación con el cubo.
Durante las cuatro actividades planteadas, los estudiantes pusieron en juego sus
conocimientos, destrezas e ideas para desarrollar razonamientos matemáticos sobre
relaciones geométricas, que manifiestan su idea del volumen y la forma en que obtienen
la medida del volumen del tetraedro regular en relación al cubo. Todo esto a través del
descubrimiento de relaciones entre segmentos, áreas y volúmenes mediante la
composición y comparación de figuras poliédricas.
En el análisis de los resultados con respecto a la variable uno hemos observado que
la comparación entre los volúmenes de la pirámide cuadrada y el tetraedro la hicieron de
manera intuitiva estableciendo comparación entre alturas, áreas de las bases, áreas
laterales del tetraedro regular y la pirámide cuadrada respectivamente, aunque estas
últimas no son determinantes. Al comparar áreas de las bases señalaron propiedades,
como que el volumen de una pirámide es proporcional al área de su base. Percibieron la
dificultad de apreciar la comparación, dado el tamaño similar de las figuras utilizadas,
mostrando disposición a comparar figuras semejantes más grandes; cuando pasaron a la
segunda actividad. Se sintieron tentados por el reto de obtener la pirámide con todas las
piezas, lo que distrajo su atención durante algún tiempo. Posteriormente comenzaron a
construir figuras (pirámides y tetraedros) de lados dobles y triples. El puzle les obligaba
a identificar anticipadamente qué caras debían quedar solapadas y cuáles visibles (por
ejemplo, los cuadrados debían quedar ocultos en el tetraedro, dado que no se pueden
formar triángulos equiláteros de las caras laterales del tetraedro más grande, a partir de
cuadrados).
Fueron reconociendo qué partes componían cada una de las piezas, apreciando que
todas se descomponen en tetraedros y pirámides cuadradas. Durante este trabajo
establecieron relaciones de semejanza en el espacio entre las figuras unidad (entre las
que tienen por arista el lado del triángulo equilátero) y las de lado n veces el lado del
triángulo equilátero. En esencia establecieron comparaciones de volúmenes mediante el
rellenado de pirámides
51
La construcción de tetraedros y pirámides de lados dobles y triples les permitió
confirmar su hipótesis de partida de que el volumen de T es mayor que el de P. Se
confirmó al observar que la cantidad de piezas necesarias para construir pirámides de
aristas dobles o triples con relación al lado del triángulo equilátero, es mayor que el
número de piezas utilizadas para construir tetraedros de lados dobles o triples
respectivamente
A medida que desarrollaban las distintas tareas mostraron evolución en la precisión
de los argumentos que hicieron, referidos a que la cantidad de volumen que posee la
pirámide cuadrada es mayor que la del tetraedro.
La variable 2 identifica el uso de fórmulas que hacen los estudiantes. Nos mostró
los que no las usan y los que las emplearon. Describimos cuándo y cómo emplean
fórmulas los estudiantes. Al incluir el tetraedro dentro del cubo, reconocieron que la
arista del tetraedro es igual a la diagonal de la cara cuadrada del cubo. El dibujo plano
que hicieron del tetraedro dentro del cubo llevó a la mayoría de los alumnos a apreciar
que se complementaba con cuatro pirámides triangulares que hemos llamado
trirectángulas, apreciando que estas encajan en el ángulo recto del cubo.
Todos los estudiantes salvo uno de ellos, hallan el volumen de la pirámide
trirectángula, apreciando que corresponde a la sexta parte del volumen del cubo. Esto es
importante, pues a partir de este volumen establecieron la relación de proporcionalidad
entre el volumen de la pirámide cuadrada y el tetraedro, y de estos dos en relación con
el volumen del cubo. Hemos percibido que cuatro estudiantes no necesitan utilizar
fórmulas, hallan el volumen de la pirámide trirectángula por truncamientos reiterados,
reproduciendo lo que se les presentó en clase. Para ello realizan una explicación
minuciosa, acompañada de dibujos aclaratorios en perspectiva (1, 4 y 12), tanto de las
sucesivas pirámides como de los cubos que se construyen. Esto indica que dichos
estudiantes han seguido el razonamiento con atención y son capaces de reproducirlo con
sus palabras y con sus dibujos. Los demás han hecho o bien la formula por medio de la
proporcionalidad entre las bases y alturas de dos poliedros del mismo volumen y
algunos aplicaron directamente la formula.
52
Al abordar el proceso de descomposición encontraron que el volumen de dos
pirámides trirectángulas es igual al volumen del tetraedro regular T. La determinación
de esta igualdad la establecieron tras unir las dos, formando con ellas una pirámide
oblicua de igual base y altura que el tetraedro. Para ello dispusieron las piezas de
manera que las caras de los triángulos rectángulos isósceles queden solapadas, y la base
sea uno de los triángulos equiláteros, es decir comparando el área de los polígonos de
las caras base y la proporcionalidad de los segmentos que componen las alturas.
Unidos estas dos relaciones (1:6 entre la pirámide trirectángula y el cubo, 1:2 entre
el triedro trirectángulo y el tetraedro, y 1:4 entre el triedro trirectángulo y la pirámide),
les lleva a apreciar que el tetraedro tiene un volumen mitad del de la pirámide, que era
la relación que queríamos precisar. Con ello concluyen que el tetraedro tiene de
volumen 1/6 del volumen del cubo. Todos los estudiantes razonaron en relación con el
cubo para hallar el volumen del tetraedro T y la pirámide cuadrada P. En lugar de
aplicar la fórmula tradicional están manejando su relación con el volumen del cubo.
Con la variable tres pretendemos estudiar el grado de eficacia alcanzado por los
estudiantes para obtener la solución final que consiste en hallar el volumen del tetraedro
dada su arista.
Todos los estudiantes relacionaron los segmentos correspondientes a la diagonal y
al lado del cuadrado, de manera que obtuvieron la regla general para hallar la arista del
tetraedro dada la arista del cubo, y recíprocamente, dada la arista del tetraedro
obtuvieron la regla general para hallar la arista del cubo. El relacionar segmentos les
favoreció en el proceso de hallar la fórmula del tetraedro en función de su arista. Con
respecto a la variable tres la relación 1:3 entre los volúmenes del tetraedro y el cubo les
favoreció para hallar el volumen de uno de ellos dado el otro. Demuestran gran
capacidad de generalización cuando obtienen la regla general del volumen del tetraedro
en función de su arista. Para ello previamente han formulado las relaciones entre las
longitudes de las aristas del tetraedro y el cubo expresando las unas en función de las
otras. En general demostraron eficacia para llegar a la solución final.
Un grupo de estudiantes elaboró una serie de respuestas creativas que no estaban,
previstas que destacan por su creatividad, durante el proceso de actividades, que dieron
53
como resultado una ampliación del rango de contestaciones. Algunas respuestas son
particulares y otras más generales en cuanto a que las resolvieron uno o más estudiantes.
El estudiante 3 argumenta que si el volumen de los 4 triedros es igual a dos tercios
del volumen del cubo, el volumen restante que corresponde al espacio ocupado por el
tetraedro será igual a un tercio. El estudiante 17 menciona que el tetraedro se forma al
unir las diagonales de las caras opuestas del cubo y representa gráficamente esta idea, la
cual está relacionada con el planteamiento de graficar el tetraedro dentro del cubo. En
este proceso aparece de manera implícita el concepto de la posición relativa de dos
segmentos en el espacio, que en este caso se cruzan con vectores libres perpendiculares.
El estudiante 21 representa los desarrollos planos de la pirámide y el tetraedro. En la
pirámide oblicua compuesta por los dos triedros trirectángulos relaciona la arista del
triángulo equilátero con la diagonal del cuadrado y el cateto con el lado del cuadrado.
Veinte estudiantes son capaces de relacionar la tridimensionalidad, después de examinar
las figuras de los puzles y realizar construcciones con las mismas, con sus
representaciones planas en perspectiva, en la que plasman aspectos globales como
dibujar el tetraedro dentro del cubo y caracterizar la pirámide trirectángula
El estudiante 14 resume los razonamientos hechos en clase, justifica la fórmula del
volumen del tetraedro. Señala que el volumen del tetraedro es un tercio del volumen del
cubo. Menciona que la arista del cubo es igual a la arista del tetraedro multiplicada por
la raíz de 2, culmina explicando que una vez se tiene la arista del cubo, expresada en
función de la arista del tetraedro, eleva el valor de esta longitud al cubo y la multiplica
por un tercio, con lo cual se obtiene el volumen del tetraedro.
Todos los estudiantes siguen el razonamiento propuesto, independientemente del
número de pasos contestados. Además de las respuestas creativas descritas de manera
particular en la tabla 7 se registran las que se consideran más generales por haber sido
interpretadas por varios estudiantes.
A través de las respuestas no previstas se refleja una de las características a las que
hace mención Greenes en cuanto a que abarcan más de lo esperado en las actividades
planteadas estas ideas se complementas con el estudio que hace Miller cuando ratifica
54
la capacidad que tienen estos estudiantes para transferir sus conocimientos a nuevas
situaciones.
Tabla 6. Respuestas no previstas en la actividades.de la sesión
Act.
1
Acción creativa
No. de
alumnos
14 y 16
2
17
1
19
1
7 y 12
2
11
1
1,9,10,18
4
7,10
2
10,13,21
3
3
Construyen figuras dobles y concluyen que P no
es el triple de T ya que el numero de T que
componen las figuras dobles es el mismo, aunque
las pirámides estén en relación 1:3.
Compone figuras dobles y triples, menciona que
aumentan su volumen de manera proporcional
con P y T
Representa la pirámide oblicua compuesta por
dos triedros trirectángulo
Representa la pirámide oblicua compuesta por
dos diedros trirectángulos y un tetraedro adosado
Representa la base de la pirámide cuadrada,
diferenciando en ella los 4 triángulos rectángulos
isósceles.
Representa el cubo truncado
9
1
3
Representa el triedro trirectangulo
3,9,10,21
4
1
1
2
2
3
3
3
Representación del desarrollo plano de T y P para
comparar áreas de las bases, ,concluyen que P>T
La altura de P es la mitad de la diagonal de la cara
cuadrada de la base La altura y la mitad de la
diagonal corresponden a los catetos de un
triangulo isósceles, de hipotenusa la arista del
tetraedro y longitud de los catetos igual a la del
cubo. Compara las alturas de P y T. Por medición
directa obtiene que la altura de T es mayor que la
altura de P.
El Peso de P es mayor que el peso de T y las dos
están hechas del mismo material, entonces
volumen de P es mayor que el volumen de T.
Código
alumno
En la tabla 7 aparece el porcentaje y el número de estudiantes que siguen cada
55
categoría (paso) esto nos da una idea de cómo ha sido el seguimiento de cada una
de ellas.
Tabla 7. Porcentaje de estudiantes que siguen cada categoría
Categoría
variable
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
V1
V1
V1
V1
V1
V1
V1
V2
V2
V3
V1
V4
V4
V4
V4
V4
Actividad
Número de Porcentaje de
Alumnos.
estudiantes
uno
uno
uno
uno
dos
dos
dos
tres
tres
tres
tres
cuatro
cuatro
cuatro
cuatro
cuatro
21
16
9
2
15
2
9
4
9
7
20
21
21
20
17
18
100%
76%
48%
10%
71%
10%
43%
19%
43%
33%
95%
100%
100%
95%
81%
86%
El desempeño de los estudiantes fue excepcional, siguieron la mayoría de los pasos
en el cual manifestaron un dominio significativo de la medida. Realizaron
representaciones gráficas. Explicaron el proceso de los truncamientos reiterados para
hallar el volumen de la pirámide trirectángula, también lo hicieron empleando el método
de descomposición entre otras formas y demostraron gran capacidad de generalización,
característica descrita por Greenes en este tipo de estudiantes.
En la tabla 8 se plasman los códigos de los estudiantes con la cantidad y el código
de los pasos seguidos. Se puede observar que las respuestas han sido variadas pero
siempre en dirección a seguir la propuesta planteada a lo largo de todas y cada una de
las actividades.
56
Tabla 8. pasos seguidos por los estudiantes
Código Estudiante
1
16
21
5
10
14
2
4
8
9
11
13
15
19
3
7
17
6
18
20
12
Código de los categorías(pasos)
1,2,8,9,11,12,13
1,5,12,13,14,15,16
1,2,9,11,12,13,14,15
1,2,3,10,11,12,13,14,16
1,2,5,9,11,12,13,14,16
1,5,9,11,12,13,14,15,16
1,2,3,8,11,12,13,14,15,16
1,5,7,8,11,12,13,14,15,16
1,2,3,10,11,12,13,14,15,16
1,5,7,9,11,12,13,14,15,16
1,5,7,10,11,12,13,14,15,16
1,2,3,5,10,11,12,13,14,15
1,2,3,5,7,11,12,13,14,16
1,2,3,4,11,12,13,14,15,16
1,2,5,7,10,11,12,13,14,15,16
1,2,5,6,9,11,12,13,14,15,16
1,2,3,4,5,11,12,13,14,15,16
1,2,3,5,7,10,11,12,13,14,15,16
1,2,3,5,7,9,11,12,13,14,15,16
1,2,3,5,7,9,11,12,13,14,15,16
1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16.
En los resultados hemos podido constatar que la caracterización que hacen
Greenes, Miller y Freiman se cumple ampliamente en los estudiantes participantes en el
estudio, destacándose la rapidez que presentan para aprender y aplicar las ideas
matemáticas a medida que avanzan cuando pasan de una actividad a otra, demostrando
su destreza para transferir los conocimientos a situaciones nuevas como lo afirma Miller
quien también menciona la persistencia que tienen estos estudiantes en la consecución
de las soluciones a las actividades hasta el final del proceso.
57
CAPITULO CUATRO: CONCLUSIONES
En esta investigación estudiamos los razonamientos geométricos que hacen los
estudiantes para obtener relaciones entre volúmenes de figuras. Examinamos como
justifican sus respuestas, en ellas pudimos ver los descubrimientos que obtuvieron a
través del procesamiento de la información recibida y considerar a que argumentos les
condujo todas y cada una de las actividades planteadas.
Las conclusiones incluyen aspectos relacionados con los objetivos, investigaciones
relacionadas con el volumen y las posibles líneas abiertas.
De acuerdo al objetivo general, hemos apreciado que los estudiantes hicieron un uso
discriminado de fórmulas, empleándolas en un grado mínimo. El proceso ante todo se
enfocó a la medida de la magnitud volumen para hallar el volumen del tetraedro, a
través de la comparación de figuras, el rellenado de pirámides y la relación de los
volúmenes del tetraedro y la pirámide en relación con el cubo. El hallar el volumen del
triedro trirectángulo fue relevante para que apreciaran la relación de proporcionalidad
entre el volumen de la pirámide y el tetraedro. Ninguno de los estudiantes calcularon
estos volúmenes a través del empleo de formulas, sino que siguieron el proceso de
razonamiento. Algunos de ellos fueron tan hábiles que han sido capaces de calcular el
volumen del triedro trirectángulo por medio de procesos infinitos, lo cual muestra una
gran riqueza, al prescindir de procedimientos en busca de formulas para insertarse en
cálculos de comparación directa.
Con respecto al objetivo uno, el diseño de la sesión de enriquecimiento ha sido
apropiado, lo han seguido, completado y terminado todos los estudiantes, mostrando
que, como señala Freiman, son persistentes en el desarrollo de la tarea y desarrollan
estrategias eficientes.
La variedad, riqueza y complementariedad de las actividades de este proceso de
enriquecimiento permitieron que los estudiantes pudieran seguir el razonamiento de
diferentes maneras. En cada actividad se planteaban más de un interrogante, para que el
estudiante pudiera resolver el problema estableciendo vínculos entre ellos. Esto hizo que
58
establecieran el máximo de relaciones posibles, cumpliendo su función en el proceso
instructivo.
El estudio permite observar el camino que los estudiantes con talento recorren en el
proceso de comparación de cantidades de volumen, dándoles la oportunidad de manejar
el concepto de volumen como una cualidad diferente de otras magnitudes. En todo este
proceso atravesaron las fases de: percepción y comparación, tal como se recogen en la
propuesta didáctica para la enseñanza del volumen (Del Olmo, Moreno y Gil (1989).
En la fase inicial de percepción entran en contacto con las figuras, para apreciar los
elementos que las componen. Por ejemplo para comparar la altura de dos figuras
colocan sus bases sobre un cuerpo plano, para determinar cuál ápice está más alejado de
la base. Es decir realizan una percepción visual de los objetos físicos tridimensionales,
valorando además las diferencias entre las áreas básicas las cuales dependen de la forma
de la base. Aplican la proporcionalidad entre el volumen y el peso de dos figuras que
están hechas del mismo material debido a que el volumen se puede obtener a partir de la
comparación de otras magnitudes, tal como se recoge en las investigaciones de Saiz,
(2003), y Potari y Spiliotopoulou (1996). Esto les da una idea aproximada de las
cantidades de volumen que comparan.
La fase de comparación la hacen todos los estudiantes para ordenar volúmenes. El
rellenado de las pirámides a partir de piezas conformadas por pirámides y tetraedros, les
lleva a situaciones de comparación más precisas, como la obtención y justificación de
las relaciones 1:2 entre T y P. y 1:6 entre la pirámide trirectángula y el cubo. Cuando
comparan la pirámide oblicua con el tetraedro, están haciendo uso de una relación
indirecta, que sólo empleando el principio de Cavalieri podrían justificar. En estas dos
fases las comparaciones fueron muy valiosas.
Cuando encuentran el volumen de la pirámide trirectángula por “descomposición”,
lo que hacen es obtener la relación existente entre las cantidades de volumen de esta
pirámide con el tetraedro. La comparación la hacen a partir de la proporcionalidad, esta
acción la han realizado de manera amplia como un paso previo a la medida que no la
llegan a efectuar.
59
Durante las actividades no se hacen mediciones directas, sino comparar cantidades
de volumen, por tanto no hay aplicación de medida directa en ningún momento. No se
ha aludido a la unidad de medida de volumen hasta la actividad final, en la que se da el
volumen en sus unidades correspondientes.
En la actividad cuatro al ofrecer las medidas, los estudiantes establecieron una
comparación entre estas, de este modo se da el paso de la comparación a determinar la
medida a través de longitudes. Incorporan el teorema de Pitágoras para calcular la
medida de la longitud de la arista del tetraedro que corresponde a la diagonal del
cuadrado y el lado del cubo. Se les orientó a que lo hicieran por comparación,
advirtiendo que con la diagonal de un cuadrado se construye un cuadrado de área la
mitad del anterior. Igualmente emplearon el teorema de Pitágoras para calcular longitud
del lado del cuadrado dada la del lado del tetraedro. Sin embargo nadie utilizo el
teorema de Pitágoras para calcular la longitud de las alturas que en el caso de la
pirámide cuadrada hubiera sido posible, especialmente cuando apreciaron que dos
pirámides unidas forman un octaedro, con lo cual la altura es la mitad de la diagonal del
cuadrado.
Apreciamos que el material manipulativo jugó un papel importante, especialmente
para observar que las figuras en estudio se componen a su vez de figuras, que estas se
pueden relacionar entre sí, con lo que pudieron hacer comparaciones de cantidades de
volumen. Los estudiantes fueron hábiles en el empleo de estos materiales, dando lugar a
que un buen número de ellos construyeron la pirámide y el tetraedro de lados dobles y
triples, para establecer una relación de orden entre estas. Es decir formaron figuras con
las piezas del puzle, pese a que estas son diferentes y presentan formas inusuales.
Distinguieron qué piezas debían colocar en las capas inferior, intermedia y superior
de los poliedros dobles y triples, decidiendo cómo encajarlas entre sí. Percibieron
diferentes vistas de cada pieza así como su forma, dibujando desarrollos planos de
algunas de ellas. Establecieron comparaciones a través del rellenado de pirámides con
pirámides diversas, gracias a lo que establecieron semejanzas y relaciones, al observar
que cada pieza se compone de pirámides y tetraedros. Dieron importancia a la relación
existente entre las formas de las caras de las piezas (cuadrados, triángulos equiláteros,
60
trapecios y rombos), identificando cuáles de ellas se debían hacer visibles. Pasaron del
juego a la búsqueda de relaciones geométricas.
De acuerdo al objetivo dos, los pasos más seguidos se dieron mediante las
siguientes acciones:
Análisis comparativo del volumen del tetraedro regular y la pirámide cuadrada de caras
triángulos equiláteros, estudiando cuál tiene mayor volumen.
Obtención de la relación entre el volumen de T y P, para posteriormente relacionarlos
con el cubo
Cálculo del volumen del tetraedro y la pirámide cuadrada, empleando como elemento
de conexión el volumen de la pirámide trirectángula.
En resumen, podemos decir que los alumnos siguieron con cierta facilidad el
proceso de construcción para la obtención del volumen del tetraedro sin necesidad de
fórmulas, con lo cual pudimos detectar que los estudiantes con talento participantes en
el estudio efectivamente desarrollaron estrategias eficientes como se esperaba de
acuerdo a la caracterización que hace Freiman de los estudiantes con talento
matemático. La única medida indirecta se realizó para determinar longitudes, pese a las
sugerencias para evitarla.
La mayoría de los alumnos con talento siguen el razonamiento completo, algunos
hasta siguen el razonamiento para obtener el volumen de la pirámide trirectángula, sin
fórmulas, y otros lo hacen aplicando el método de “descomposición” en el cual se
establecen relaciones de proporcionalidad de bases y alturas. Los que mejor siguen el
razonamiento son los que han hallado el volumen de la pirámide trirectángula por
truncamientos reiterados. Trabajaron la descomposición del triedro trirectángulo por
procesos infinitos, observando que no todas las pirámides se pueden descomponer.
En general durante todo el proceso manifestaron su habilidad para comparar
volúmenes, componer figuras dobles y triples, hacer representaciones planas de figuras
tridimensionales. Demostraron creatividad al desarrollar representaciones graficas que
61
no estaban previstas. Establecieron relaciones entre magnitudes iguales y diferentes,
para hallar reglas de relaciones entre longitudes y volúmenes.
Con respecto al objetivo tres, entre los estudiantes más destacados se encuentran
los que hallaron el volumen de la pirámide trirectángula a partir de procesos infinitos.
Esta actividad contiene bastante información ya que en ella se integran varios procesos.
Entre las acciones a realizar están las de apreciar la bidimensionalidad y adaptarla al
campo tridimensional, descomponer el triedro trirectángulo, completar los cubos
truncados que se obtienen, percibir que los infinitos cubos cubren una parte de la mitad
del cubo grande y que la suma de sus áreas es un tercio del área del cuadrado grande. La
coordinación de las acciones da como resultado que obtengan la relación 1:6 entre el
triedro y el cubo.
De acuerdo con el objetivo cuatro se hace un estudio identificando los pasos que
han resultado más difíciles a los estudiantes. El punto más llamativo corresponde al
seguimiento y explicación del proceso infinito. Hay que reconocer que algunos
estudiantes tuvieron dificultades para construir las figuras dobles y triples,
especialmente el tetraedro, dado que para su construcción tienen que colocar las piezas
apoyadas sobre las caras triangulares, procurando que las cuadradas y rectangulares se
solapen hasta desparecer de la superficie. Estas figuras rompen además, la imagen tan
clara de la altura que aparece cuando se apoyan sobre caras cuadradas o rectangulares.
El trabajo que presentamos emplea el concepto de volumen considerado como
lugar que ocupa la figura. No hemos aludido a las unidades de volumen (rellenado por
la unidad), ni al desplazamiento (Sáiz, 2003, Potari & Spiliotopoulou, 1996, Enoch).
Apreciamos que estos alumnos manejan la idea de conservación del volumen, por
descomposición y recomposición, aunque no hemos tenido la oportunidad de comparar
con otras magnitudes, salvo el peso, cómo lo hizo un grupo de estudiantes.
Los estudiantes pusieron en juego sus habilidades visuales cuando trabajaron con el
proceso infinito de truncamientos para hallar el volumen del triedro trirectángulo.
Las autoras citadas plantean que el desarrollo de estos procesos de visión espacial
son relevantes, ya que el estudio del volumen está relacionado con la visión espacial.
62
Posibles líneas abiertas.
En este estudio nos hemos contentado con trabajar el volumen a partir de la
comparación, sin realizar medida. Especialmente hemos dejado de lado el empleo de
unidades de medida de volumen. Dejamos abierto para futuras investigaciones abordar
este aspecto específico.
Trabajar las habilidades de visualización utilizando material manipulativo
conformado por varios puzles es una posible línea abierta. Para ello sugerimos incluir
entre los puzles aquellos que están elaborados con materiales transparentes que
permiten observar la composición del interior de las piezas, las posiciones relativas de
rectas y planos. A través de la construcción y composición de figuras se potencia la
percepción de la posición en el espacio, la discriminación visual y la memoria visual
entre
otros.
63
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