TEMA 7: Formas lineales.

TEMA 7: Formas lineales.
1) De…nición. Espacio dual.
2) Base dual.
3) Aplicación dual. Matriz traspuesta.
Hoja de ejercicios
1.- Demuestra que en el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden
n, Mn n , la aplicación traza (tr(A) = a11 + a22 +
+ ann , siendo A = (aij ))
es una forma lineal.
2.- Prueba que en el espacio vectorial de las funciones reales continuas
de…nidas en el intervalo [ 1; 1]; C([ 1; 1]) , la aplicación
: C([ 1; 1]) ! R
dada por (f ) = f (0) es una forma lineal.
3.- En R3 se considera la base B = f(2; 1; 1); (3; 1; 2); (0; 0; 4)g . Halla su
base dual.
4.- En M2
2
se considera la base
1
1
B=
3
4
;
0
0
1
0
;
3
1
1
1
;
1
1
1
1
Halla su base dual.
5.- Siendo f1 ; f2 y f3 las formas lineales sobre R3 dadas por
f1 (x; y; z) = x
y; f2 (x; y; z) = 2x + z; f3 (x; y; z) = x + 2y + z;
prueba que ff1 ; f2 f3 g es una base de (R3 ) y busca una base de R3 cuya dual
sea la anterior.
6.- Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre R de grado menor o
igual a 2. Sean '1 ; '2 y '3 las formas lineales en V de…nidas como sigue
'1 (p(x)) =
Z
1
p(x)dx;
'2 (p(x)) = p0 (1);
'3 (p(x)) = p(0)
0
(p(x) = ax2 + bx + c) . Halla la base de V cuya dual es f'1 ; '2 ; '3 g:
1
7.- Sea B = f~e1 ; ~e2 ; ~e3 g la base canónica de R3 y '; y tres formas lineales
en R3 de las que se sabe:
'(~e1 ) = 1; '(~e2 ) = a; '(~e3 ) = 0;
(a 2 R)
(~e1 + ~e2 ) = 3; (~e1 + ~e2 2~e3 ) = 1; (2~e1 + ~e2 ~e3 ) = 2
ker( ) = f(x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 x1 + x2 + bx3 = 0g; (~e2 ) = 2;
(b 2 R)
a) Halla las ecuaciones de '; y en la base B:
b) Halla las coordenadas de '; y en la base B dual de B:
c) Halla la relación que deben guardar a y b para que f'; ; g sea un sistema
linealmente independiente en V :
8.- Siendo fa1 ; a2 ; a3 g la base de C3 formada por a1 = (i; 0; 0); a2 = (i; i; 0);
a3 = (i; i; i) y fa1 ; a2 ; a3 g la base dual de la anterior, calcula las coordenadas en
esta última base de la forma lineal f (x; y; z) = i(x + y + z):
9.- Sea ' la forma lineal en R2 de…nida por '(x; y) = 3x 2y . Para cada
una de las siguientes aplicaciones lineales t : R3 ! R2 , halla t (')(x; y; z)
a) t(x; y; z) = (x + y; y + z)
b) t(x; y; z) = (x + y + z; 2x y)
10.- Demuestra que si f; g : U ! V y h : V ! W son lineales entonces
a) ( f + g) = f + g
b) (h f ) = f
h
2