FRACCIONES SOLUCIÓN SOLUCIÓN SOLUCIÓN

3.
SEMANA 11
FRACCIONES
Si
mn
nm
1.
Si: A =
Halle la suma de cifras de la suma de
la parte periódica y la parte no
periódica de A + B
B) 25
E) 28
D) 24
A) 5
D) 2
mn (2a) a ( a + 2 ) ( a − 2 ) − 2a
=
9990
nm
Como hay 3 cifras periódicas y 1
cifras no periódica; nm contiene un
divisor de 999 y otra factor 2 y/o 5
13 9 117
i =
= 0,117 = 0.117 117 117...
111 9 999
Si nm = 27 i 2 →
genera
cumple)
⇒
parte parte
no periódica periódica
Si
a
Halle:
b
⌢
A) 0, 9
⌢
D) 0, 3
=
nm
cifra
nm = 37 i 2 →
45 5
=
54 6
periódica
mn
nm
=
(no
47
74
es
n=7
uego
0
(2 a ) a ( a + 2 ) ( a − 2 ) − 2a = 9
a+2
= 0, ef
b+2
⌢
B) 0, 6
⌢
E) 0,5
a =3
Luego
a 3
= = 0, 428571
n 7
⌢
C) 0, 7
4.
SOLUCIÓN
Si: a
mn
(2 a ) a ( a + 2 ) ( a − 2 ) − 2 a L
47
=
74
9990
RPTA.: A
Si:
a
= 0, a
b
una
correcto. m = 4
Luego
Suma= 139 517 + 117 = 139 634
∑ cifras = 26
2.
C) 3
SOLUCIÓN
14
14 24 224
A=
=
i
=
= 0,0224
625 54 24
104
⇒
B) 4
E) 1
C) 27
SOLUCIÓN
B=
; halle la
última cifra del período generado
a
por
n
14
13
,B =
625
111
A) 26
= 0, (2a) a ( a + 2 ) ( a − 2 )
a
⇒b=9
b
9
a+2
ef
= 0, ef =
⇒ 9 ( e + f ) = ef
11
99
= 0, a =
Descomponiendo e = 8;f = 1;a =7
⌢
a 7
Luego:
= = 0, 7
b 9
RPTA.: C
RPTA.: E
(
Para cuántos valores de n n ∈ Ζ +
expresión:
5n + 1 7
3n − 8
)
la
representan
número fraccionarios mayores que
7?
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
Se tiene
8
= 0, a...xy
23
5n + 17
7<
3n − 8
16 n < 73
n < 4,...
8
a...xy
=
→ 8 × 99...99 = 23.a...xy
23 99...99
...92 = 23 × a....xy
Además
Multiplicando
3n − 8 > 0
8
n>
3
⇒
y=4
;
x=0
x+y =4
RPTA.: C
Luego n = 3
ó
n=4
7.
RPTA.: B
Si se cumple que:
342 , xyz mn(6) = abc,32
(8)
5.
Si:
Calcule: ( x + y + z + m+ n) − ( a + b + c)
N
= a ( a + 1), ( a + 2) ( a + 3) ( a + 2) ( a + 3) …
33
Calcule N máximo y dar como
respuesta la suma de sus cifras.
A) 20
D) 12
A) 6
D) 5
C) 22
SOLUCIÓN
*
B) 18 C) 25
E) 22
B) 11
E) 24
abc(8) = 342(6 ) = 3 × 62 + 4 × 6 + 2
a b c (8 ) = 1 3 4 = 2 0 6 (8 )
SOLUCIÓN
a = 2; b =0; c = 6
N
= a ( a + 1), ( a + 2 ) ( a + 3)
33
*
N a( a + 1)( a + 2)( a + 3) − a( a + 1)
=
33
99
3N = a ( a + 1) 22
32(8) − 3
⇒
23
→ a base 6
70(8)
56
0, yxz mn(6 ) = 0,224 32(6 )
Si a = 2
N = 774
Si a = 5
N = 1 874
a + 3 < 10 ; a < 7
∴
( x + y + z + m+ n) − (a+ b + c) = 13 − 8 = 5
Cumple para a = 5 Nmáximo = 1874
8.
0
0
Luego a ( a + 1) 22 = 3 → a = 3− 1
RPTA.: A
Determine la suma de las dos
últimas cifras del período originado
por la fracción
A) 9
D) 8
8
.
23
B) 6
E) 10
=
RPTA.: D
∑ cifras = 22
6.
0,32(8) = 0, yxz mn(6)
C) 4
¿Cuál es el
que la suma
parte es un
cantidad par
menor número par, tal
de su séptima y tercera
número que posee una
de divisores propios?
A) 720
D) 420
B) 210
E) 350
C) 840
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
Sea el número “N” par.
F=
N N 10N
f = + =
⇒ N = 21K.
7 3
21
PAR
f =
10 × 21K
= 2×5×K;
21
con
1
1
1
1
+
+
+ .... +
1 × 4 4 × 7 7 × 10
88 × 91
30 sumandos
K
*
mínimo
K = 2x5
T(30) = 91
f = 22 × 52 ⇒ CD( f ) = 3 × 3 = 9
Luego:
N = 21 × K = 21 × 10 = 210
RPTA.: B
9.
90 1 30
1

× =
3F = 1 −  ; F =
91 3 91
 91
m
n + 1
= 0, 
 (n + 1) n ;
37
 2 
Calcule: (m + n)
Si:
A) 12
D) 9
B) 13
E) 11
Suma de términos 121
RPTA.: B
C) 8
11.
Si la función:
F=
SOLUCIÓN
n + 1
(n + 1) n
m  2 
n + 1
=
⇒ 27 × m = 
 (n + 1 ) n
37
999
 2 
0
n + 1
n
+
1
n
=
9
⇒n=3
(
)
 2 


243
m=
=9⇒m=9
27
Piden:
Genera 72 cifras en la parte no
periódica. Calcúlese la suma de cifras
del
período
que
genera
la
n − 3
.
 n 
fracción: 
A) 31
D) 29
RPTA.: A
F=
Calcule la suma del numerador y
denominador
al
simplificar
la
expresión:
F=
F=
1
1
1
1
+
+
+
+ ......
4 28 70 130
B) 121
E) 132
B) 30
E) 28
C) 27
F=
280
40 × 34n + 5
3n
(2
3
7 × 23 × 5
×5
)
3n
i 17n + 5 i 2n +5
7
10n + 2
2
3n −1
×5
× 17n +5
Dato:
10 n + 2 = 72 ; n =7
30 sumandos
A) 142
D) 113
280
40 × 34n + 5
3n
SOLUCIÓN
m + n = 3 + 9 = 12
10.
3
3
3
3
+
+
+ ... +
1 × 4 4 × 7 7 × 10
88 × 91
 1   1 1  1 1 
1 1
3F = 1 −  +  −  +  −  + ... +  − 
 4  4 7  7 10
 88 91
3F =
C) 102
F=
n−3 4
= = 0,571428
n
7
Suma de cifras: 27
RPTA.: C
12.
Si la fracción:
1
5
1
5
1
f = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ...
3
3
3
3
3
es irreductible, halle la diferencia
de sus términos
A) 21
D) 33
B) 23
E) 30
14.
mn
Si la fracción irreductible
a (3a + 1)
da origen a un número decimal 8 de
la forma
. 0, cb ( a + 1)
Calcule: ( a + b + c + m + n)
C) 27
A) 15
D) 18
B) 16
E) 19
C) 17
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
1
5
1
5
+ 4 + 6 + 8 + .....
2
3
3
3
3
1
5
1
5
+ 2 + 3 + 4 + .....
f =
9 9
9
9
15(9)
14
7
f = 0.15(9) =
=
=
88(9)
80 40
f =
mn
a (3 a + 1)
mn
a (3a + 1)
Diferencia de términos:
40 – 7 = 33
(
Además:
B) 13
E) 17
C) 14
⇒
SOLUCIÓN
(
37 × 27
)
b=0
c=7
a+b+c+m+n=
2 + 0 + 7 + 1 + 9 = 19
RPTA.: E
MCD ab;ba = 9
ab = 9 × q1
c b ( a + 1)
37 × 19 = cb3 ; m = 1
703 = c b 3
Calcule: (b + a + r)
A) 12
D) 15
999
=
37 × mn = c b 3
Afirman: 7 × m = i 3 ; n = 9
= 0,5mnpqr
ba
c b ( a + 1)
mn c b ( a + 1)
=
27
37 × 27
)
Si: MCD ab;ba = 9
ab
=
Se deduce:
3 a + 1 = 7; a = 2
RPTA.: D
13.
= 0, c b ( a + 1)
15.
Pesi o primos
relativos.
ab = 9 × q2
q1 = 4; q2 = 7 cumplen
Si f es irreductible, además:
n+1
f =
= 0,pqr
(n − 1) (n + 3)
¿Cuántas
cifras
periódicas
origina:
ab 36 4
=
= = 0,5mnpqr
ba 63 7
a = 3; b = 6; r = 8
a + b + r = 17
A) 2
D) 5
n+1
?
qpr
B) 3
E) 6
C) 4
SOLUCIÓN
RPTA.: E
f =
n+1
=
pqr
pqr
=
999 27 × 37
(n − 1) (n + 3)
(n − 1) (n + 3) = 37 ⇒ n = 4
f =
5
= 0,135 = 0,pqr
37
Entonces:
SOLUCIÓN
n+1
5
1
1
=
=
=
315 63 7 × 9
qp r
x2 + 1 < 14 ⇒ x = 3
Reemplazando
El 7 genera 6 cifras periódicas.
0,53(10)(14) =
RPTA.: E
53(10)(14)
1000(14)
=
1032 129
=
2744 343
en base 7:
16.
Si:
m3 c
129
31
×7 = 2
343
49
31
3
×7 = 4
49
7
3
×7 = 3
7
129
= 0,243(7) = d, abc(7)
343
= 0,p q 2 ab ,
a (b + 1) ( c + 3)
siendo a < b < c y a2 c es Pesi con
154. Calcule: ( a+b+c +m+p+ q)
A) 20
D) 18
B) 21
E) 19
Luego:
C) 22
2
en base 6
43
2
= 0, 014(6) → 3
43
SOLUCIÓN
Se observa que: C < 7
RPTA.: C
2 × 27
2
Además: a (b + 1) ( c + 3)
18.
22 × 37
0, abc ( a + b + c ) =
→b=−1
a (b + 1) ( c + 3) = 148
A) 5
D) 6
→ a = 1; b = 3 ; c = 5
⇒
∴
m35
= 0,pq 216
148
135
m=1→f=
= 0, 91216
148
a + b + c + m + p + q = 20
f =
Si:
 15 
0, 
( x ) x2 + 1

 x 
(
)
(14)
0, abc ( a + b + c ) =
la
fracción
a
bc
= d, abc(7) .
cuando
expresa en base 6.
A) 1
D) 4
B) 2
E)5
C) 30
6 (b + c ) b
abc ( a + b + c ) − abc
Calcule cuantas cifras genera en el
período
B) 14
E) 15
SOLUCIÓN
RPTA.: A
17.
6 (b + c ) b
c 000
Además: a y c son primos y a; b y
c
son
cifras
significativas
diferentes entre sí.
Si: a (b + 1) ( c + 3) = 22 × 27 = 108
⇒
Calcule (a x b x c ) si:
se
9 000
c 000
=
6 (b + c ) b
c 000
Simplificando
9 abc + a + b + c 6 (b + c ) b
=
9
c
Como “c” divide a 9 ⇒ c = 3
Reemplazando a = 2 ; b = 1
RPTA.: D
C) 3
19.
15 273
tiene en el
37037037.......
denominador (33n + 2 ) cifras, hallar
Si: E =
la última cifra del período generado
en E.
A) 0
D) 4
B) 1
E) 7
C) 2
SOLUCIÓN
15273
27
…1
i
=
370370...37 27 999 … 9
Como 0,...x = .......x
99...99
E=
Luego se observa x = 1
RPTA.: B
20.
Un tanque es llenado por un caño en
4 horas por otro caño en 6 horas.
Estando el tanque lleno puede ser
vaciado por un desagüe en 8 horas o
por otro desagüe en 12 horas.
Estando el tanque lleno hasta su
octava parte, se abren los caños dos
horas y luego los desagües ¿En
cuanto tiempo se lleno el tanque?
A) 3 horas 30 min
B) 3 horas 15 min
C) 3 horas
D) 2 horas 12 min
E) 2 horas
SOLUCIÓN
1
4
1
6
1
8
1
12
2
4
2
6
x
4
x
6
x
8
x
12
Falta llenar
7 2 2 x x x
x
= + + + − −
8 4 6 4 6 8 12
1
x=
hora
5
1
= 2 horas
Luego se llena en 2 +
5
12 minutos.
RPTA.: D