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OPERADORES MATEMÁTICOS
4. En la tabla:
1. Si: m#n=3n-5m,
Halle: (2#3)#(4#6)
A) 0
D) 11
B) -1
E) -11
C) 1
RESOLUCIÓN
2. Si:
p * q = (p − q) / 2, cuando p>q;
p * q = (q − p) / 3, cuando p<q;
Halle: (11*7) * (5*8)
C) -1,5
11-7
11 ∗ 7=
=2
2
8-5
5 ∗ 8=
=1
3
2-1 1
2 ∗ 1=
= = 0, 5
2
2
b b a
c c c
c
a
( ( a ∗ b) ∗ c) ∗ a
a ∗ ( b ∗ c)
A) a
D) c
B) 0
E) 1
C) b
RESOLUCIÓN
( a ∗ b ) ∗ c  ∗ a
E= 
a ∗ (b ∗ c)
( b ∗ c) ∗ a = c
a∗c
A) 16
D) 81
c
=1
RPTA.: E
B) 32
E) 12,5
C) 25
RPTA.:A
RESOLUCIÓN
E = ( 81 & 27 ) & 16
Halle: “n” en:
1 3
( 4) = 32
2
1 2
32 & 16=25 & 24 = ( 5 ) = 12, 5
2
RPTA.: E
81 & 27=34 & 33 =
4 #n = 2 ∗ n
C) 6
RESOLUCIÓN
6. En la tabla
4#n=2 * n
42 − 4n + n2 = 3(2) + 2n + 1
n2 − 6n + 9 = 0
n
n
c
5. Si an & an −1 = 0, 5na
Halle: E = ( 81 & 27 ) & 16
3. Si: a ∗ b=3a+2b+1,
a#b=a2 − ab + b2,
B) 3
E) 4
a b
E=
RESOLUCIÓN
A) -3
D) 9
a
E=
RPTA.: B
B) 1
E) 3
c
Reducir:
2#3=3(3) -5(2)=-1
4#6=3(6)-5(4)=-2
(-1)#(-2)=3(-2)-5(-1)=-1
A) 0,5
D) 1,5
∗ a b
∗
0 1 2 3
0 0 1 2 3
-3
-3
n=3
RPTA.: B
1 1 3 0 2
2 2 0 3 1
3 3 2 1 0
Hallar “n” en:
RESOLUCIÓN
( 3 ∗ n) ∗ ( 2 ∗ 0) = ( 3 ∗ 3) ∗ 0
A) 0
D) 3
B) 1
E) 4
× =
C) 2
X
2
-1=x(x+2)
=x + 1
X
RESOLUCIÓN
4
=4+1=5
( 3 ∗ n) ∗ ( 2 ∗ 0) = ( 3 ∗ 3) ∗ 0
( 3 ∗ n) ∗ 2 = 0
6
=6+1=7
∴
RPTA.: C
3∗n=1
n=2
RPTA.: C
(
=4x+4
−1
2−1 ∗ 3−1
2−1 ∇ 3−1 2−1 # 3−1
)(
A) 1
D) 1/6
=2x-6
Halle: E= 8 -5 1
A) -2
D) 0
Halle:
E=
9. Si:
x
x+2
7. Si: m ∗ n = m2 − n2
2
a ∇ b = ( a − b)
p#q=(p+q) ( p-q)
E = 3(5) – 2 (7) =1
B) 0
E) 2
)
B) 2
E) 4
RESOLUCIÓN
C) 6
x+2
=2
X+2
1 1
∗
2
3
E=
1 1  1 1 
 2 ∇ 3   2#3 



×
8 = 6+2
=2 (6)+5 =17
1 = -1+2
=2 (-1)+5=3
RPTA.: B
a
10. Si:
=
2x+1
RPTA.: A
= x2 − 1
=21
A) 0,25
D) 2
B) 0,5
E) 4
RESOLUCIÓN
C)1
De “afuera hacia adentro”:
= x(x+2)
a ( a + 1)
2
2x+1
B) -1
E) -2
a(a − 1)
2
Halle: x en:
Halle:
E=3 4 -2 6
A) 0
D) 2
=2x + 5
⇒ E = 17 − 5(3) = 2
2
1 1
 2 −  3
   
E=
=1
 1 1  
2
+
 1 1   2 3  
−
 2 3   1 1  

  −  
 2 3  
×
8. Si:
-6 = 4x + 4
X+2
RESOLUCIÓN
2
C) 1
C) 1
= 21 ⇒ a = 6
=6
a ( a + 1)
2
=6⇒a=3
A) n
C) n
E) (n − 1) / ( n + 1)
=3
2x+1
a ( a + 1)
2
RESOLUCIÓN
=3 ⇒a=2
De adentro hacia afuera:
1
2x + 1 = 2 ⇒ x = = 0, 5
2
1º Op→ f(n) =
RPTA.: B
2
a#b
=4a
Halle: x=50#65
A) 30
D) 13
3º Op →f(f(f(n))) = f(n) =
B) 20
E) 15
C) 14
⇒
678 Op; como es par → E=n
14.
= ( a#b ) − 1 + 4 = 4a
12.
x=
4 ( 50 ) − 4 + 1 = 15
RPTA.: E
B) 45
E) 22
)
RESOLUCIÓN
4 @27= 16@3 = 16 − 3 = 7
2
6 2 @512= 72@83 = 72 − 82 = 8
Halle:
678 operadores
B) 2
E) 0
C) 3
a #b2 = 2 2

(
a #b2 = 4
a #b2 − 2ba − ab
3
(
4
3 #2 =
)
⇒
x=
15.
(
6
6
3#
4
)
a #b2 − ba − ab

)
a #b2 = 3ab ⇒
de “x”:
RPTA.: B
13. Si: f(n) = ( n + 1) / ( n − 1)
E = f(...f(f(f(n)))...)
1 4 44 2 4 4 43
6
RESOLUCIÓN
C) 41
E = 7@8= 49@23 = 49 − 22 = 45
31 / 4 # 2
A) 1
D) 2
a@b3 = a − b2
(
⇒
)
b # a2 − ab
Halle:
4a − 4 + 1
3
(
a #b2 = 2
Halle: E = ( 4@27 ) 6 2 @512
A) 53
D) 14
RPTA.: A
Si:
2
x = 50#65 =
n+1
n−1
M
RESOLUCIÓN
a#b=
n+1
n−1
n+1
+1
2n
n
−
1
=
=n
2º Op→ f(f(n) ) =
n+1
2
−1
n−1
= ( n + 1) + 4
n
11. Si:
a#b
B) 2n
D) (n + 1) / ( n − 1)
2
( )
2
a #b2 = ab
2
3 #2 = 3 × 2 = 6
=1
Si:
3
x =x + 1
RPTA.: A
x = x2 + 3x
Halle el máximo valor de “n” en:
x
=-7
A) 0
D) -1
B) 4
E) 20
C) 2
RESOLUCIÓN
Dándole forma al problema:
5@ ( x-1) + 1 = x@ 3@ ( 0+1) 
2 ( 5) − 3 ( x − 1) = x@ 2 ( 3) − 3 ( 0) 
13 − 3x = x@6
13 − 3x = x@ ( 5+1)
13 − 3x = 2x − 3 ( 5)
RESOLUCIÓN
n = n + 3n
2
(
n = n + 3n
2
(n
2
)
3
28 = 5x → x =
+ 1 = −7
+ 3n
)
3
= −8
n2 + 3n = −2
n2 + 3n + 2 = 0
n
+2 ⇒ n= -2
n
+1 ⇒ n=-1
→ máximo valor: n = −1
16. x Si:
x+3
RPTA.: D
A) 2
D) -1
B) 1
E) 4
C) 0
F( 2) = F( 1 +1) = F(1 ) + 1.......(I)
F( 1) = F( 0+1) = F( 0) + 3(0) − 2
B) 4
E) 2
C) 0
RESOLUCIÓN
F( 1) = F( 0+1) = F( 0) − 2
Cómo F( 0) = 1 → F( 1 ) = −1
Reemplazando en (I):
F( 2) = −1 + 1 = 0
RPTA.: C
= 2  x + 3 − 16 = 8x
19. Si se define:
2
A&B= AB ( A + 2)
x + 3 = 4x + 16
Además: A=x+3 y B=x+k
Halle:
K>0, si el término independiente de
A&B es 60.
4 = 1 + 3 = 4(1) + 16 = 20
⇒
F( 0) = 1; Halle F( 2)
F( 2) = F( 1 +1) = F(1 ) + 3(1) − 2
Halle: E= 4 -2 2
x+3
18. Si: F( x +1) = F( x ) + 3x − 2
RESOLUCIÓN
=2(x-16)
=8x
A)-4
D)-2
28
5
RPTA.: C
2 = −1 + 3 = 4(−1) + 16 = 12
E = 20 − 2 ( 12) = −4
RPTA.: A
17.
Sabiendo que:
A@ ( B+1) = 2A − 3B
E) 12
C) 3
A & B= ( x+3 ) ( x+k ) ( x + 3) + 2
A & B= ( x+3 ) x2+2kx+k2 ( x + 5)
2
(
Si: 5@x=x@(3@1)
19
B)
5
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
Halle: “x”
32
A)
5
37
D)
3
A) 1
D) 4
28
C)
5
(
)
)(
A & B= x2 + 8x + 15 x2 + 2kx + k2
15k = 60
)
2
20.
Sabiendo que:
k = 2
RPTA.: B
∗ 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 3 4 5
3 3 4 5 6
4 4 5 6 7
Halle: ( 6 ∗ 7) ∗ ( 3 ∗ 5)
A) 15
D) 20
(

−1
Halle: E =  d ∗ a
B) 17
E) 16
C) 18
A) a
D) d
RESOLUCIÓN
De tablas se obtiene:
1 ∗ 2 = 2 = ( 1 + 2) − 1
*
2 ∗ 3 = 4 = ( 2 + 3) − 1
∗ b−1 

B) b
E) e
−1
C) c
RESOLUCIÓN
Cálculo del elemento neutro (e):
de la tabla: e=a
∗ a b c d
6 ∗ 7 = ( 6 + 7 ) − 1 = 12
a a b c d
12 ∗ 7 = ( 12 + 7 ) − 1 = 18
b b c d a
c c d a b
d d a b c
3 ∗ 5 = ( 3 + 5) − 1 = 7
∴
−1
e
4 ∗ 3 = 6 = ( 4 + 3) − 1
⇒
)
RPTA.: C
(
)
2
3
21. Si ∆ x + x = x ; x ∈ R
Calcule: ∆ ( −1)
A) -1
D)
*
B) 0
1
2
E)
(
→
)
x 2 + x = −1
x ( x + 1) = −1
(
)
= ( b ∗ d)
define
−1
en
RPTA.: A
A= { a,b,c}
∗ a b c d
22.aSea b
define en
c d
siguiente operación:
∗ a b c
a b c a
= − 1 ( x − 1)
x3 − x = − x + 1
x3 = 1
b b c d a
c c d a b
d d a b c
−1
−1
la siguiente operación:
b c a b
c a b c
x x − 1 = − ( x − 1)
⇒
−1
E = ( d ∗ a) ∗ d


23. Se
Multiplicando ambos miembros por
( x − 1) :
x ( x + 1) ( x − 1)
−1
c −1 = c
d−1 = b
E = d−1 ∗ d
E = a−1 = a
Igualamos los argumentos:
2
a−1 = a
b−1 = d
-1
2
∆ x2 + x = x3 y ∆ (−1) = ?
(a ) ;
para cada letra
C) 1
RESOLUCIÓN
Cálculo de elemento inverso
RPTA.: C
A= { a,b,c,d} , la
¿Cuáles
de
las
siguientes
proposiciones son verdaderas?
I.
Si: (b*x) (b*c)=(c*a)*b
→x=a
II.
Se cumple la propiedad de
clausura
III.
Se
cumple
la
propiedad
conmutativa
El elemento neutro es “b”
a−1 = b
IV.
V.
A) I, II, IV
C) II, III, V
E) Todas
Calcule:
B) II, III, IV
D) II, IV, V
A) 1
B) 2
D) 4
1
E)
2
P4
( b ∗ x ) ∗ ( b ∗ c ) = ( c ∗ a) ∗ b
( b ∗ x) ∗ b = a ∗ b
( b ∗ x) ∗ b = c
( )
P2
=
( )
P4
( )
b∗x = a
x =b
P( 2)
→F
II. Sí se cumple la propiedad de
clausura.
→V
III. Sí se cumple la propiedad
asociativa
→V
IV. El elemento neutro es “C” → F
V. a−1 = b
→V
C) 3
24. Se define: a ∗ b = a + b − 4
−1
−1
−1
Calcule: 3 ∗ 2 ∗ 4
)
P4
( )
P 4 
 
 2
=
P4
( )
P( 4) − P( 2)
Invirtiendo:
P( 2)
P( 4)
RPTA.:C
(
P( 2)
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
I.
P( 4)
⇒
=
P( 4) − P( 2)
P( 4)
=1−
P( 2)
P(4 )
 P( 2) 
2  = 1
 P( 4) 
P( 4)
=2
P( 2)
RPTA.: B
a−1 es el elemento inverso de a
A) 4
D) 7
B) 5
E) 8
26.
C) 6
a ( b ∗ a) = a ∗ b ; a ∗ b > 0
Calcule: 16 ∗ 2
RESOLUCIÓN
*
Cálculo del elemento neutro “e”:
a ∗ e=a
a +e - 4 = a
e=4
Cálculo del elemento inverso " a−1 " :
*
A)2
D) 8
(3
(3
−1
(3
−1
−1
)
) ∗4
∗2
)
−1
= ( 5 + 6 − 4) ∗ 4
∗ 2−1 ∗ 4−1 = 7 ∗ 4 = 7 + 4 − 4 = 7
RPTA.: D
25. Si: P ( x / y ) = P ( x ) − P ( y )
C) 6
a( b ∗a
) ; b ∗ a = b( a ∗)b
a∗ b =
a∗b =
( a ∗ b)
2
a  b ( a ∗ b) 


= a  b ( a ∗ b) 


2
= a b ( a ∗ b ) 
( a ∗ b)
3
( a ∗ b ) = a2 b
4
∗ 2−1 ∗ 4−1 = ( 5 ∗ 6) ∗ 4
−1
B)4
E) 2 2
RESOLUCIÓN
a ∗ a−1 = e
a + a−1 − 4 = 4
a−1 = 8 − a
3−1 = 8 − 3 = 5
2−1 = 8 − 2 = 6
4−1 = 8 − 4 = 4
⇒
Se define:
a∗b =
⇒
3
a2b
16 ∗ 2 = 3 162 x2 = 8
RPTA.: D
27. Si: x  = n; ∀xεZ;
n ≤ x <n+1
Halle: F ( −3) en:
a2 + 3 ,2   +  2− ,8   + 8−,01
F ( a) =
a + 0 ,95   −  3− ,4   1−
A)-1
D) 0
B) -2
E)Ind.
=k+1
K
 
2
=2+1=3
1
= 12 − 1 = 0
1
0
=
=0+1=1
C) +1
2
⇒
1
+
=3 + 1 = 4
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
De la definición, tenemos:
©
«3,2¬
®= 3 ;
29. Si: x-1
3 ≤ 3,2 < 4
m +1
©
«−2,8¬
®= −3 ; − 3 ≤ −2,8 < −2
©
«−8,01¬
®= −9 ; − 9 ≤ −8,1 < −8
©
«0, 95¬
®= 0 ;
⇒
∴
a2 + 3 − 3 − 9
a+0+4−1
F( a) =
a2 − 9
a+3
F( −3)
( −3)
=
2
A) 3
D) 2
−9
=
(
= k (k+2)
+ 1
m + 2) − 1
B) 7
E) 4
=
m
3
-2
C) 3
RESOLUCIÓN
2
K
= 4 m+1 +3
= 4 ( m + 2) − 1 + 3
3 ( m + 2 ) + 2 = 4 3 ( m + 2 ) + 2  + 3
A) 5
D) 2
K
C) 0
Dándole la forma de la 1º operación
RPTA.: E
Halle:
2
B) -1
E) 1
m +1
0
= Ind
0
= k2 − 1
k
)
20
RESOLUCIÓN
−3 + 3
K
28.
+3
8
E = ( −2
− 4 ≤ −3, 4 < −3
F( a) =
= 4 m+1
Calcule:
0 ≤ 0,95 < 1
©
«−3, 4¬
®= −4 ;
=3x+2
2
K - 1 = k (k + 2)
= k2 + 2k + 4 + 1 = ( k + 1) 2
⇒
∴
m
+8 =4 3m+8 + 3
= 4m + 9
= 4 ( −2) + 9 = 1
E = ( 1) = 1
n
RPTA.: E
30.
×
Si:
=x-x+x-x+…………….. ∞
Calcule el valor de:
2
21 operadores
B) 2−8
E) 2−21
A) Ind
D) 2−20
C) 2−19
RESOLUCIÓN
×
×
×
= x − x − x + x − x + ...∞ 
=x− ×
x
=
2
1º Op.
2º Op.
3º Op.
2
= 1 = 2º
2
1
= 2−1
1 =
2
1
1
1
= 2 = 2 = 2−2
2
2 2
2
4º Op. 1
22
=
1
2
1
= 2 = 3 = 2−3
2
2
M
21Op.
2−20
RPTA.: D