Reglas Formales de Derivación

Capítulo 8
Reglas Formales de
Derivación
En este capítulo extenderemos a las funciones de varias variables las
reglas del cálculo de derivadas para las funciones de una variable: regla de
la cadena, fórmula de Leibnitz, etc. Los mismos enunciados de los teoremas
e incluso las mismas fórmulas, van a seguir siendo formalmente válidos para
las funciones de varias variables.
Proposición 8.1 Si f, g son funciones diferenciables en un punto a (de clase
C 1 ), entonces también es diferenciable en a (de clase C 1 ) la función λf + µg.
Y se verifica que
D(λf + µg)(a) = λDf (a) + µDg(a).
Demostración. Es consecuencia inmediata de la definición de función diferenciable (función de clase C 1 ) y de la unicidad de la diferencial en un punto.
Regla de la cadena
Proposición 8.2 Sean E, F y G espacios normados y f : A ⊂ E → F ,
g : B ⊂ F → G.
o
o
(i) Si f es diferenciable en a ∈ A y g es diferenciable en el punto f (a) ∈ B,
entonces la aplicación u = g ◦ f es diferenciable en a y se tiene que
(8.1)
D(g ◦ f )(a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a)
77
(Regla de la Cadena).
78
Reglas Formales de Derivación
8.2
(ii) Si B ⊃ f (A), f ∈ C 1 (A) y g ∈ C 1 (B), entonces u ∈ C 1 (A).
Demostración. Observemos en primer lugar que por ser f continua en a y
f (a) interior a B, existe algún entorno V de a tal que f (V ) ⊂ B, y por tanto
la aplicación u = g ◦ f está definida sobre V . Veamos que u es diferenciable
en a: Sea ε > 0.
Puesto que f es diferenciable en a, existe δ1 > 0 tal que si khk ≤ δ1
kf (a + h) − f (a) − Df (a)hk ≤ εkhk.
De igual modo, por la diferenciabilidad en el punto f (a) de la aplicación g,
existe η > 0 tal que si kkk ≤ η
kg(f (a) + k) − g(f (a)) − Dg(f (a))kk ≤ εkkk.
Por último, y debido también a la diferenciabilidad de f en a (ver 6.9),
existen δ2 > 0 y α > 0 tal que si khk ≤ δ2 entonces kf (a + h) − f (a)k ≤
αkhk ≤ η.
Luego, para khk ≤ δ = mı́n(δ1 , δ2 ) y k = f (a + h) − f (a), se tiene
k(g ◦ f )(a + h) − (g ◦ f )(a) − (Dg(f (a)) ◦ Df (a))hk
≤ kg(f (a) + k) − g(f (a)) − Dg(f (a))kk
+ kDg(f (a))(f (a + h) − f (a) − Df (a)hk
≤ εkkk + εkDg(f (a))kkhk ≤ (α + kDg(f (a))k)εkhk.
Esto demuestra que si khk ≤ δ
k(g ◦ f )(a + h) − (g ◦ f )(a) − (Dg(f (a)) ◦ Df (a))hk ≤ M εkhk,
donde M = α + kDg(f (a))k, es decir que u = g ◦ f es diferenciable en a y
que Du(a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a).
Supongamos ahora que f y g son de clase C 1 . Según lo anterior la
aplicación u es diferenciable en cada punto de A y se tiene que Du(x) =
Dg(f (x)) ◦ Df (x). Si consideramos entonces la descomposición de Du
x → (Dg(f (x)), Df (x)) → Dg(f (x)) ◦ Df (x),
resulta que Du es continua por ser composición de dos aplicaciones continuas, la primera de ellas continua por serlo sus funciones coordenadas,
(Dg) ◦ f y Df , y la segunda por tratarse de una aplicación bilineal del tipo
considerado en 7.7.
8.4
Reglas Formales de Derivación
79
Corolario 8.3 (T. del valor medio) Sea [a, b] un segmento de Rn contenido en el abierto U . Supongamos que f : U ⊂ Rn → Rp es una aplicación
continua en cada punto de [a, b] y diferenciable en (a, b) y que existe un
número real M tal que
kDf (x)k ≤ M,
∀x ∈ (a, b),
entonces
kf (b) − f (a)k ≤ M kb − ak.
Demostración. Sólo daremos aquí la demostración para el caso en que la
norma utilizada en Rp sea la norma producto. Para el caso general, ver el
anexo.
Consideremos la aplicación λ : [0, 1] ⊂ R → Rn definida por λ(t) =
a + t(b − a). Esta aplicación es claramente continua en [0,1] y derivable en
(0,1), siendo λ0 (t) = b − a. Denotemos entonces por fi a la i-ésima función
coordenada de f y sea gi = fi ◦ λ; gi es una función escalar de una variable,
que por ser composición de dos funciones derivables es, según lo anterior,
derivable en cada punto de (0,1), siendo su derivada, gi0 (t) = Dfi (λ(t))(b−a).
Se deduce pues que
(8.2)
|gi0 (t)| ≤ kDfi (λ(t)kkb − ak.
Teniendo en cuenta que si la norma utilizada en Rp es k k∞ , entonces
kDfi (x)k ≤ kDf (x)k (ejercicio), de 8.2 se deduce que
|gi0 (t)| ≤ kDfi (λ(t)kkb − ak ≤ kDf (x)kkb − ak ≤ M kb − ak;
aplicando ahora el teorema de valor medio para funciones escalares de una
variable, se tiene que
kf (b) − f (a)k∞ = máx |fi (b) − fi (a)| = máx |gi (1) − gi (0)| ≤ M kb − ak.
8.4 A la sencillez formal de la regla de la cadena será preciso adjuntar, a
efectos de cálculo, su reformulación en términos de derivadas parciales.
Es claro que, en dimensión finita, lo que expresa la fórmula, Du(a) =
Dg(f (a)) ◦ Df (a), es que la matriz jacobiana de la aplicación u en el punto
a es el producto de las matrices jacobianas de la aplicación g en el punto
80
Reglas Formales de Derivación
8.4
f (a) por la matriz jacobiana de la f en a, es decir, si f : A ⊂ Rn → Rp y
g : B ⊂ Rp → Rk , entonces:

∂g1
∂g1
∂f1
∂u1
∂u1 
∂f1 
·
·
·
·
·
·
·
·
·
 ∂y
 ∂x1
 ∂x1
∂yp 
∂xn 
∂xn 
 1








 ∂u2

∂g
∂g
∂f
∂u
∂f2 
2
2


2
2



···


···
···
 ∂x

=  ∂y1
×
∂yp 
∂xn 
∂x
∂x

 1


1
n



. . . . . . . . . . . . . .



.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.







 ∂uk



∂uk
∂gk
∂fp 
∂gk
∂fp
···
···
···
∂x1
∂xn (a)
∂y1
∂yp f(a)
∂x1
∂xn (a)



Esta igualdad matricial nos permite escribir entonces lo que podemos llamar
la regla de la cadena para derivadas parciales:
p
X ∂gi
∂ui
∂fs
(a) =
(f (a))
(a).
∂xj
∂ys
∂xj
s=1
Fórmula de Leibnitz
Proposición 8.5 Sean f, g : A ⊂ E → R aplicaciones diferenciables en
un punto a (de clase C 1 en A), entonces su producto, f · g, es también
diferenciable en a (de clase C 1 en A) y se tiene que
D(f · g)(a) = f (a)Dg(a) + g(a)Df (a) (Fórmula de Leibnitz).
Demostración. Si escribimos s = f · g como composición de las funciones
x → (f (x), g(x)) → f (x)·g(x),
para probar que s es diferenciable en a (de clase C 1 en A), sólo hemos de ver
que la aplicación T de R2 en R, (u, v) → u·v, es de clase C 1 . Pero esto ya lo
sabemos, puesto que T es una aplicación bilineal. La fórmula de Leibnitz se
obtiene ya sin más que aplicar la regla de la cadena. En efecto, si denotamos
por φ a la aplicación x → (f (x), g(x)), entonces
Ds(a)h = D(T ◦ φ)(a)h
= (DT (φ(a)) ◦ Dφ(a))h = DT (f (a), g(a)) (Df (a)h, Dg(a)h)
= T (Df (a)h, g(a)) + T (f (a), Dg(a)h) = g(a)Df (a)h + f (a)Dg(a)h
= (g(a)Df (a) + f (a)Dg(a))h.
Se tiene pues que D(f · g)(a) = f (a)Dg(a) + g(a)Df (a).
8.7
Reglas Formales de Derivación
81
Proposición 8.6 Sean f, g : A ⊂ E → R aplicaciones diferenciables en un
punto a (de clase C 1 en A). Si g(a) 6= 0 (g no se anula en ningún punto de
A), entonces la aplicación h = f /g es diferenciable en a (de clase C 1 en A).
Se tiene entonces que
(8.3)
D(f /g)(a) =
g(a)Df (a) − f (a)Dg(a)
.
g(a)2
Demostración. Basta ver que si g(a) 6= 0 (g no se anula en ningún punto
de A), entonces la aplicación 1/g es diferenciable en a (de clase C 1 en A).
Escribiendo 1/g como la composición de las aplicaciones
x → g(x) →
1
,
g(x)
eso se sigue de que la aplicación de R en R, t → 1/t, es de clase C 1 en
R \ {0}.
La fórmula 8.3 se obtiene de la correspondiente fórmula para funciones
de una variable y de la fórmula de Leibnitz.
Nota. No consideraremos aquí la diferenciabilidad de la inversa de una función, ya que el estudio de funciones inversas será el objeto de otro capítulo
posterior.
8.7 Los resultados anteriores nos permitirán construir una extensa familia
de funciones de clase C 1 . Empecemos, por ejemplo, con los polinomios: Como
se sabe un polinomio de varias variables es una aplicación de la forma
f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
X
ai1 ...in xi11 . . . xinn ,
ik = 0, 1, . . .
finita
Puesto que la suma y el producto de aplicaciones de clase C 1 es una aplicación de clase C 1 , es evidente que los polinomios son de clase C 1 ya que las
aplicaciones
(x1 , x2 , . . . , xn ) → ai1 ...in
(x1 , x2 , . . . , xn ) → xik
lo son, por ser, respectivamente, aplicaciones constantes y lineales.
Aplicando 8.6, las funciones racionales (cocientes de dos polinomios) son
de clase C 1 sobre el conjunto de puntos donde el polinomio del denominador
no se anula.
82
Reglas Formales de Derivación
8.7
Por último, mediante la composición de las funciones anteriores con funciones de una variable de clase C 1 , se obtienen nuevas funciones de varias
variables y de clase C 1 :
sen (x2 + y 2 ),
log(1 + x2 + y 2 ),
1
,
1 + cos2 (xyz)
...
ANEXO: El teorema del valor medio
La versión más usual de los teoremas de valor medio para funciones de
una variable, establece que
8.8 Si f es una función continua en un intervalo compacto [a, b] de R y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe algún punto intermedio
a < ξ < b tal que f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a).
Este teorema puede extenderse textualmente a las “funciones escalares"de
varias variables, pero, en cambio, no es válido para funciones vectoriales (ver
ejercicio 8H). Para las funciones vectoriales aún puede obtenerse un teorema
de valor medio que implica, en particular, la fórmula conocida como de los
incrementos finitos:
kf (b) − f (a)k ≤ sup kDf (x)kkb − ak.
x∈(a,b)
Teorema 8.9 (Funciones Escalares) Si f es una función escalar definida
sobre un conjunto A de un espacio normado, continua sobre el segmento
[a, b] ⊂ A y derivable en (a, b) siguiendo el vector b − a, entonces existe
ξ ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a) = D(b−a) f (ξ).
Demostración. Sea g(t) = f (a + t(b − a)), t ∈ [0, 1]. Esta aplicación es
continua en [0, 1], ya que g = f ◦ λ, donde λ es la aplicación de [0, 1] en [a, b]
definida por λ(t) = a + t(b − a), que es claramente continua. Además es
derivable en cada punto t de (0,1), pues
g(t + s) − g(t)
f (a + (t + s)(b − a)) − f (a + t(b − a))
= lı́m
s→0
s→0
s
s
= D(b−a) f (a + t(b − a)).
lı́m
8.10
Reglas Formales de Derivación
83
Aplicando a g el teorema 8.8, se deduce que existe algún punto t0 en (0,1)
tal que
f (b) − f (a) = g(1) − g(0) = g 0 (t0 ) = D(b−a) f (ξ),
ξ = a + t0 (b − a).
Nota. Si en el teorema anterior se supone f diferenciable en (a, b), entonces
este teorema establece que existe un punto ξ en el segmento (a,b) tal que
f (b) − f (a) = Df (ξ)(b − a),
fórmula que en dimensión finita puede escribirse
f (b) − f (a) =
X ∂f
∂xj
(ξ)(bj − aj ).
Para el teorema de valor medio para funciones vectoriales usaremos la siguiente versión del teorema de valor medio para funciones de R en R:
Lema 8.10 Sea [a, b] un intervalo compacto de R y f : [a, b] → R una aplicación continua que admite derivada a la derecha en cada punto de (a, b).
Se tiene que
1. Si f+0 (t) ≥ 0 para todo t ∈ (a, b), entonces la función f es no decreciente
en [a, b].
2. Si |f+0 (t)| ≤ M para todo t ∈ (a, b), entonces |f (b) − f (a)| ≤ M (b − a).
Demostración. 1. Supongamos primero que f+0 (t) > 0 para todo t ∈ (a, b).
Bastará probar que f (a) ≤ f (b). Supongamos, por el contrario, que f (b) <
f (a) y sea c un punto intermedio entre f (a) y f (b), es decir f (a) > c > f (b).
Sea tc el mayor de los puntos t ∈ [a, b] para los que f (t) = c. Debido a la
continuidad de f en [a, b], es claro que tal punto existe y pertenece a (a, b)
y, de acuerdo con su definición, se tiene que:
u > tc
⇒
f (u) < f (tc )
⇒
f (u) − f (tc )
< 0.
u − tc
Pero la anterior condición implica que f+0 (tc ) ≤ 0, en contra de la hipótesis.
Si f+0 (t) ≥ 0 para todo t ∈ (a, b), entonces, para cada ε > 0 la función
0 (t) > 0 para todo t ∈ (a, b), luego
g(t) = f (t) + ε(t − a) verifica que g+
f (a) = g(a) ≤ g(b) = f (b) + ε(b − a). Por el carácter arbitrario de ε se
deduce que f (a) ≤ f (b).
84
Reglas Formales de Derivación
8.10
2. Si |f+0 (t)| ≤ M para todo t ∈ (a, b), entonces las funciones g1 (t) =
f (t) + M (t − a) y g2 (t) = M (t − a) − f (t) son no decrecientes, pues sus
derivadas a la derecha en todo punto son no negativas. Luego:
f (a) = g1 (a) ≤ g1 (b) = f (b) + M (b − a) ;
−f (a) = g2 (a) ≤ g2 (b) = M (b − a) − f (b).
De ambas desigualdades se deduce que |f (b) − f (a)| ≤ M (b − a).
Nota. Observemos que si en el lema anterior se supone f+0 (t) > 0, para todo
t ∈ (a, b) entonces lo que se obtiene es que f es estrictamente creciente en
[a, b], pues, por un lado f no decreciente, obliga a que f (a) < f (b) ya que,
de lo contrario, f sería constante y por lo tanto f 0 (t) = 0, para todo t.
En consecuencia si se tuviese que |f+0 (t)| < M , la misma demostración dada
para el apartado 2 del lema, conduciría ahora a que |f (b)−f (a)| < M (b−a).
Corolario 8.11 Sea [a, b] un intervalo compacto de R y f : [a, b] → R una
aplicación continua que admite derivada a la derecha en cada punto de (a, b),
entonces existe algún punto t0 ∈ (a, b) tal que |f (b)−f (a)| ≤ |f+0 (t0 )(b−a)|.
Demostración. Si, por el contrario, |f (b) − f (a)| > |f+0 (t0 )(b − a)|, entonces,
tomando M = |f (b) − f (a)|/(b − a) y teniendo en cuenta la nota anterior,
resultaría que |f (b) − f (a)| < M (b − a) = |f (b) − f (a)| lo cual es absurdo.
Teorema 8.12 Sean E, F espacios normados. Si f : A ⊂ E → F es una
aplicación continua en el segmento [a, b] ⊂ A y diferenciable en (a, b) ,
entonces existe un punto ξ ∈ (a, b) tal que
kf (b) − f (a)k ≤ kDf (ξ)(b − a)k.
En consecuencia, si existe un número real M tal que kDf (x)k ≤ M, para
cada x ∈ [a, b], entonces
kf (b) − f (a)k ≤ M kb − ak.
Demostración. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que f (a) =
0. Consideremos la aplicación g : [0, 1] → R definida por g(t) = kf (a +
t(b − a))k. La prueba del teorema va a resultar del hecho de que la función
g es continua y admite derivada a la derecha de cada punto t ∈ (0, 1),
8.12
Reglas Formales de Derivación
85
0 (t)| ≤ kDf (a + t(b − a))(b − a)k. En efecto, si
verificándose además que |g+
suponemos eso, entonces, por el corolario 8.11, existe t0 ∈ (0, 1) tal que
0
kf (b) − f (a)k = |g(1) − g(0)k ≤ |g+
(t0 )| ≤ kDf (a + t0 (b − a))(b − a)k.
Veamos pues que g es derivable a la derecha en cada punto de (0,1). Sea
t0 ∈ (0, 1). Puesto que f es derivable en x0 = a + t0 (b − a), para t > t0 se
tiene que f (a + t(b − a)) = f (x0 ) + (t − t0 )Df (x0 )(b − a) + (t − t0 )ε(t)kb − ak,
siendo ε(t) una función que tiende a cero cuando t → t0 . Entonces,
lı́m
t→t+
0
g(t) − g(t0 )
kf (a + t(b − a))k − kf (a + t0 (b − a))k
= lı́m
+
t − t0
t − t0
t→t0
= lı́m
t→t+
0
kf (x0 ) + (t − t0 )Df (x0 )(b − a)k − kf (x0 )k
.
t − t0
Por lo tanto, para que g sea derivable a la derecha en t0 bastará que exista
lı́m
t→t+
0
kf (x0 ) + (t − t0 )Df (x0 )(b − a)k − kf (x0 )k
,
t − t0
con otras palabras que la función t → kf (x0 ) + tDf (x0 )(b − a)k tenga derivada a la derecha en 0. Observemos que esta función es del tipo
t → ky + tzk,
donde y, z son dos vectores dados. Es inmediato comprobar que estas funciones son convexas y, por tanto, derivables a la derecha en cada punto.
Aunque también puede demostrarse esto directamente:
La función
ky + tzk − kyk
σ(t) =
t
es creciente a la derecha de 0. Sean 0 < t < u,
(∗)
ky + uzk − kyk ky + tzk − kyk
tky + uzk − uky + tzk + (u − t)kyk
−
=
.
u
t
ut
Como
uky + tzk − tky + uzk ≤ kuy + utz − ty − tuzk = (u − t)kyk,
se deduce de (∗) que σ(t) ≤ σ(u).
Por otra parte
ky + tzk − kyk ≤ ktzk = kzk ⇒ −kzk ≤ σ(t).
|σ(t)| = t
|t|
86
Reglas Formales de Derivación
8.12
Así, σ es una función nodecreciente a la derecha de 0 y acotada inferiormente,
luego existe lı́mt→0+ σ(t) y además | lı́mt→0+ σ(t)| ≤ |z|. En el caso particular
que nos interesa, habríamos demostrado pues que
0
|g+
(t0 )| = lı́m
t→0+
kf (x0 ) + tDf (x0 )(b − a)k − kf (x0 )k ≤ kDf (x0 )(b − a)k.
t
(Para otros teoremas de valor medio ver Flett [12] y Cartan [5]).
Ejercicios
8A Sea f una función escalar de clase C 1 . Probar que también es de clase C 1 la
función
h(x, y) = |f (x) + f (y)|3 .
8B Demostrar que si la función escalar, f , es diferenciable en 0 y f (0) = 0, entonces
f 2 (x)
= 0.
x→0 kxk
lı́m
8C Estudiar si las siguientes funciones son diferenciables o de clase C 1 :
1
1. f (x, y) = xy sen 2
; f (0, 0) = 0
x + y2
(
x2 y 2 sen xy1 2 si x 6= 0 o y 6= 0
3. f (x, y) =
f (x, 0) = f (0, y) = 0
5. f (x, y) = p
xy
x4
+
y2
2. f (x, y) = x
4. f (x, y) =
p
p
x2 + sen4 y
(x − y)4 + z 4
 2
 x y
6. f (x, y) = x + y 2

0
; f (0, 0) = 0
si x > 0
si x ≤ 0
3
7. f (x, y) =
x4
y
; f (0, 0) = 0
+ y2
8. f (x, y) = xy sen |x − y|.
8D (a) Probar que la función de una variable
g(t) =
es de clase C 1 .
t2
1 + |t|
8G
Reglas Formales de Derivación
87
(b) Utilizar (a) para probar que también es de clase C 1 la función
h(x, y) =
(x − y)2
1 + |x − y|
8E (a) Probar que la función
g(t) =
sen t
, t 6= 0;
t
g(0) = 1,
es de clase C 1 .
(b) Estudiar, teniendo en cuenta (a), si las funciones siguientes son diferenciables
o de clase C 1 :

3
3
3
 sen(x − y + z )
3
3
3
h(x, y, z) =
x −y +z

1
3
3
si x3 − y 3 + z 3 6= 0
en otro caso
3
sen(x − y + z )
si x2 + y 2 + z 2 6= 0;
x2 + y 2 + z 2

 sen x − sen y si x 6= y
x−y
h(x, y, z) =
cos x
si x = y.
h(x, y, z) =
h(0, 0, 0) = 0
Indicación. Para estudiar la tercera función utilizar la fórmula
x−y
x+y
sen x − sen y = 2 sen
cos
2
2
8F Sea f : A ⊂ Rn → R una aplicación de clase C 1 sobre A.
(a) Probar que si K es un compacto y convexo de interior no vacío contenido en
A, entonces
sup kDf (x)k
x∈K
es la menor constante de Lipschitz de f en K.
(b) Considerando en R2 , sucesivamente, las normas k · k1 , k · k2 y k · k∞ , calcular
la menor constante de Lipschitz de la aplicación f (x, y) = x2 + sen(x + y) en
el compacto |x| ≤ 1, |y| ≤ 1.
Indicación: Tener en cuenta los ejercicios 1S y 4G)
8G Sea h : A ⊂ (Rn , k · k∞ ) → (Rp , k · k∞ ) una aplicación de clase C 1 sobre A.
Demostrar si C es un n-cubo cerrado (centrado, para concretar, en el punto a, y de
lado l) contenido en A, entonces h(C) está contenido en el p-cubo cerrado de centro
h(a) y lado α · l, donde α = máx{kDh(x)k : x ∈ C}. ¿Se mantiene lo anterior si en
vez de la norma k · k∞ se considera la norma k · k2 o hay que cambiar el valor de
α?
88
Reglas Formales de Derivación
8H
8H Sea f : R → R2 dada por
f (t) = (cos t, sen t).
Probar que para a, b ∈ R distintos, no existe ningún número real c tal que
f (b) − f (a) = Df (c)(b − a)
8I Sea E un espacio normado y Φ la aplicación definida por
Φ(x, y) = x − T (2x − y, x),
donde T es una aplicación bilineal y continua de E × E en E. Probar que Φ es de
clase C 1 y calcular DΦ(x, y).
8J Sea E un espacio normado y Φ : L (E, E) → L (E, E), la aplicación Φ(T ) =
T 2 − 2T . Probar que Φ es de clase C 1 y hallar DΦ(T ).
o
8K Sean f, g : A ⊂ R → L (E, E) aplicaciones derivables en un punto t0 ∈ A.
Demostrar que también es derivable en t0 la aplicación
h : t → f (t) ◦ g(t),
siendo su derivada
h0 (t0 ) = f 0 (t0 ) ◦ g(t0 ) + f (t0 ) ◦ g 0 (t0 ).
8L Sean E, F espacios normados, T : E ×E → F , la aplicación T (x, y) = a(x+y)r ,
donde a es una aplicación r-lineal simétrica de E × · · · × E en F y a(x + y)r denota
abreviadamente a(x+y, . . . , x+y). Probar que T es de clase C 1 y calcular DT (x, y)
(Tener en cuenta el ejercicio 7C).
8M En este ejercicio g y ϕ serán en todos los casos una función escalar de clase
C 1 (aunque no siempre del mismo número de variables). Supuesto esto, se trata
de probar que la función h construida a partir de g es también de clase C 1 y de
calcular sus derivadas parciales en términos de las funciones g y ϕ y sus derivadas
parciales:
1. h(x, y, z) = g(x2 − z, sen xyz)
2. h(x, y, z) = g(x + y − z 2 )
3. h(x) = g(x3 , sen x, x − 1)
4. h(x) = g(x2 , g(x, sen x))
5. h(x, y) = g(x2 , g(x, sen y))
6. h(x, y, z) = xg(xy) + yg(xz) + zg(yz)
7. h(x) = xg(x + g(x))
8. h(x, y, z) = g(x, y) + g(x, z) + g(y, z)
9. h(x, y) = g(x + ϕ(x, y))
10. h(x, y) = g(x, yϕ(x, y))
8Ñ
Reglas Formales de Derivación
89
8N Como en el ejercicio anterior, g y ϕ denotarán funciones escalares de clase C 1 .
Sean:
(a) h(x, y, z) = g(xy, ϕ(yz)), con
ϕ(0) = 0 ;
ϕ0 (0) = 1 ;
∇g(0, 0) = (2, 3)
Calcular ∇h(0, 1, 0).
(b) h(x, y) = x · g(x, y, y), con
∇g(1, 0, 0) = (1, 2, −2).
g(1, 0, 0) = 1 ;
Calcular ∇h(1, 0).
(c) h(x, y, z) = g(xz, g(y, z)), con
g(0, 1) = 0 ;
∇g(0, 0) = (1, 2) ;
∇g(0, 1) = (−3, 4).
Calcular ∇h(0, 0, 1).
8Ñ Probar que la función
Z
h(x, y) =
x+y
2
e−t
+x
dt
0
es diferenciable en cada punto y calcular su diferencial.
Indicación: Tener en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral:
R x Si f es
una función continua en el intervalo [a, b], entonces la función F (x) = a f (t)dt es
derivable y su derivada es F 0 (x) = f (x).