CARACTERÍSTICAS, EN LOS PROBLEMAS ESCOLARES, QUE

Características, en los problemas escolares, que inciden
en la dificultad de los mismos
CARACTERÍSTICAS, EN LOS PROBLEMAS ESCOLARES,
QUE INCIDEN EN LA DIFICULTAD DE LOS MISMOS (*)
Elisa Pardo (**)
Desde no hace demasiados años parte de los miembros de la comunidad de Educadores de
Matemáticas ha estado realizando investigaciones sobre «Resolución de problemas». Muchas
de estas investigaciones pretendían conocer cómo actúa el alumno ante un problema, qué
pautas sigue para resolverlo, qué tipo de estrategias utiliza, qué dificultades encuentra, etc. En
particular, han sido investigadas las dificultades que plantean los problemas dependiendo de
las características de los mismos.
En este artículo pretendo recoger algunas de las consecuencias de los resultados de estos trabajos en relación con las dificultades que plantean los problemas dependiendo de las características de los mismos que pueden observarse antes de resolverlo el alumno.
Conocer estas características y las dificultades que plantean puede ser de interés para todos los
profesores de Primaria en el momento de planificar o programar tareas con problemas y especialmente para comprender algunos de los errores que cometen los alumnos en la resolución
de los mismos.
Las características a las que me voy a referir son:
A) Formato externo.
B) Número de operaciones.
C) Indicaciones de resolución.
D) Significado matemático.
Hay otra característica que no voy a tratar y que también se puede observar antes de ser
resuelto el problema por los alumnos: es el número de soluciones del mismo.
Como la mayor parte de los problemas que se plantean en Enseñanza Primaria son problemas
aritméticos, entendiendo como tal a los problemas en los que:
• Los datos y la pregunta son cantidades.
• Las condiciones son relaciones entre esas cantidades.
• Para resolverlo hay que hacer operaciones aritméticas.
Los ejemplos que propongo son de este tipo y están tomados de libros de texto de Primaria de
diversas editoriales. Por simplicidad, la mayor parte de ellos son de una etapa. Es decir, para
resolverlos, sólo hay que hacer una operación.
A continuación voy a explicar a qué hace referencia cada una de estas características y cómo
aumenta la dificultad del problema al variar estas características. Para una mejor compresión
están ilustradas con algún ejemplo.
(*) Este artículo se publicó en la Revista SIGMA 13/14. Debido a su interés hemos decidido volver a publicarlo.
El artículo está actualizado.
(**) Departamento de Didáctica de la Matemática y Ciencias Experimentales de la U.P.V. En la actualidad trabaja en la Escuela de
Ingenieros Técnicos de Donosti.
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Elisa Pardo
A. FORMATO EXTERNO
Hace referencia a:
1. Tamaño del problema.
2. Complejidad gramatical.
3. Datos.
4. Pregunta.
5. Secuencia del enunciado.
1. Tamaño del problema
Se refiere al número de frases del enunciado y el tamaño de las frases.
P.1. 70 niños se ponen en fila. En cada fila hay 7 niños. ¿Cuántas filas hay?
P.2. Setenta niños se colocan en filas de a siete. ¿Cuántas filas hay?
P.3. ¿Cuántas filas hay colocándose 70 niños en filas de a siete?
P.1. tiene tres frases separadas por un punto.
P.2. tiene dos frases. Una de ellas contiene los datos y las condiciones y la otra la
pregunta.
P.3. tiene en una frase los datos, condiciones y pregunta.
Dificultad creciente
• Tres frases cortas.
• Dos frases cortas.
• Una frase.
Esta jerarquización es notoria en los tres primeros cursos de Primaria, ya que influye en la
compresión del texto. En niveles superiores el incremento de dificultad no es significativo
frente a otras características del problema.
2. Complejidad gramatical
Se refiere a los significados de las palabras que aparecen en el enunciado y que hacen referencia al contexto del problema. A aquellas palabras que son decisivas para la elección de la
operación, palabras clave, y no a las palabras nuevas para el alumno cuyo significado desconoce. Esas palabras clave generalmente son adjetivos y verbos.
Dificultades crecientes
• Palabras propias de la terminología matemática como: añadir, juntar, quitar, sustraer,
repetir, repartir, dividir…
• Palabras de lenguaje usual no propias de la terminología matemática como: llenar,
entrar, coger, rebajar, comprar, perder…
P.4. Pedro tenía 20 canicas. Le han quitado 7. ¿Cuántas tiene?
P.5. Pedro tenía 20 canicas. Ha perdido 7. ¿Cuántas tiene ahora?
P.6. Un librero ha recibido 48 libros. Quiere repartirlos en 7 estanterías todas iguales.
¿Cuántos libros colocará en cada estantería?
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SIGMA Nº 24 • SIGMA 24 zk.
Características, en los problemas escolares, que inciden
en la dificultad de los mismos
P.7. Un librero ha comprado 48 libros. Quiere colocarlos en estanterías de forma que todas
tengan el mismo número de libros. ¿Cuántos libros colocará en cada estantería?
El P.4. es más fácil que P.5. y P.6. es más fácil que P.7.
3. Datos
Se refiere a la presentación de los datos. Estos pueden venir dados con dibujos, materiales
concretos, símbolos numéricos, nombre de los números.
Dificultad creciente
• Dibujos. Material.
• Símbolos numéricos (cifras).
• nombres de los números.
210 m
160 m
P.8. ¿Cuánto cuesta vallar este campo si el metro de valla cuesta 3€?
150 m
230 m
P.9. ¿Cuánto cuesta vallar un campo cuyos lados miden 160 m, 150 m, 210 m y 230 m, si el
metro de valla cuesta 3€?
En el P.8. los datos vienen dados mediante el gráfico y la relación entre ellos también ya que
el dibujo sugiere la suma entre esos datos, mientras que el P.9. carece de esa información gráfica. En este ultimo la forma del campo se obtiene a través del número de datos que aparecen
en el enunciado como medidas de los lados.
El P.8. es más fácil que P.9.
P.10. A mamá la compra le ha costado 52€. Y ha entregado para pagarla 60€. ¿Cuánto le han
devuelto?
P.11. A mamá la compra le ha costado cincuenta y dos euros y ha entregado para pagarla
sesenta euros. ¿Cuánto le han devuelto?
P.10. es más fácil que P.11. porque en P.10. los datos vienen dados mediante cifras numéricas
y en P.11. los datos vienen expresados mediante el nombre de los números.
4. Pregunta
Se refiere a la situación de la pregunta en el enunciado.
P.12. Un librero ha comprado 48 libros y quiere colocarlos en estanterías de forma que todas
tengan el mismo número de libros. ¿ Cuántos libros colocará en cada estantería?
P.13. Luis ha comprado 8 cuadernos iguales. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno si se ha gastado
56€?
P.14. ¿Cuánto cuesta un cuaderno si he comprado 8 iguales y me he gastado 56€?
El P.12 tiene la pregunta al final del enunciado. P.13 la tiene en medio, entre datos del problema P.14 comienza el enunciado con la pregunta.
Dificultad creciente
• Pregunta al final del enunciado.
• Pregunta en medio o al comienzo.
Entre P.13 y P.14 no hay diferencia significativa en dificultad. La dificultad de P.13 y P.14 frente
a P.12 radica en que el alumno ha de hacer un esfuerzo de estructuración temporal. En este
caso también son más difíciles por ser uno de los datos numéricos de tamaño mayor.
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Elisa Pardo
5. Secuenciación del enunciado
Se refiere al orden de presentación de los datos, si se corresponden o no con el orden en que
son utilizados para efectuar las operaciones que le llevan a la solución del problema.
P.15. Pedro se ha ido al cine con 25€. Y ahora tiene 19€, ¿Cuánto se ha gastado?
P.16. Pedro tiene ahora 19€ y antes tenía 25€. ¿Cuánto se ha gastado?
Los problemas se resuelven con la misma operación:
25-19
En P.15 los datos aparecen en el mismo orden en que son utilizados para la resta mientras que
en P.16 los datos aparecen en otro orden, por lo que es más difícil. En P.16 algunos alumnos/as
suman para resolverlo a pesar de identificar la acción como una resta, pero al no poder restar
los números en el orden en que aparecen entonces suman.
Dificultad creciente
• Datos en el mismo orden en que son utilizados en las operaciones.
• Datos en orden distinto en el que son utilizados en las operaciones.
Estas características de un problema son las que intervienen principalmente en la primera
etapa de la resolución del problema. Intervienen en el primer contacto del alumno con el problema, en lo que llamamos comprensión del problema. Es la etapa de la resolución del
problema que mayores dificultades presenta en los niveles de Educación Primaria.
Es interesante tener presente estas características en el momento de diseñar problemas y utilizarlos como recurso para el aprendizaje de un contenido. Podéis observar cómo a partir del
enunciado de un problema, con pequeñas modificaciones podemos crear otro problema
nuevo con una dificultad un poco mayor.
A partir de un problema vamos a ver las modificaciones que se pueden hacer para variar su
dificultad, atendiendo sólo a las características del formato externo señaladas aquí.
Ejemplo 1. Borja tiene que leer un libro de 900 hojas. Quiere repartir las hojas del libro
entre los 15 días de vacaciones y leer todos días la misma cantidad de hojas.
¿Cuántas hojas le toca leer cada día?
Variaciones respecto al tamaño del enunciado:
T.1. Borja quiere que leer un libro de 900 hojas en 15 días y repartir las hojas por igual, cada
día la misma cantidad de hojas. ¿Cuántas hojas le toca leer cada día?
T.2. ¿Cuántas hojas tiene que leer Borja cada día si debe leer un libro de 900 hojas en 15 días
y quiere leer la misma cantidad de hojas cada día?
El ejemplo 1 tiene tres frases, es más fácil que T.1. que tiene dos fases. T.1. es más fácil que
T.2. que tiene una frase.
Variaciones respecto a la complejidad gramatical.
G.1. Borja tiene que leer un libro de 900 hojas. Quiere leerlo en los 15 días de vacaciones y
leer cada día la misma cantidad de hojas. ¿Cuántas hojas le toca leer cada día?
Ejemplo 1 es más fácil que G.1. pues contiene en el enunciado la palabra repartir que es el
término matemático que se utiliza para la división.
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SIGMA Nº 24 • SIGMA 24 zk.
Características, en los problemas escolares, que inciden
en la dificultad de los mismos
Variaciones respecto a la pregunta:
Como ejemplo pueden servir T.1 y T.2, T.1 es más fácil que T.2 por tener la pregunta al final
del enunciado.
Variaciones respecto a la secuencia verbal:
S.1. Borja tiene 15 días de vacaciones y quiere leerse un libro de 900 hojas. Quiere repartirse
las hojas para leer cada día la misma cantidad. ¿Cuántas hojas tiene que leer cada día?
Ejemplo 1 es más fácil que S.1. pues las cantidades aparecen en el mismo orden en que las
utiliza para efectuar la operación que le dará la solución.
B. NÚMERO DE OPERACIONES
Esta característica se refiere al número mínimo de operaciones que ha de realizar el resolutor.
Está claro que el problema se podrá resolver con más operaciones.
P.17. ¿Cuánto debo quitar a una barra de 3/4 de kg de pan para quedarme con 1/2 kg?
P.18. Antes de vacaciones yo pesaba 32,5 kg. Durante las vacaciones engordé 2,75 kg. pero
después de una gripe me hizo adelgazar 0,80 kg. ¿cuánto pesaba después de la gripe?
P.19. Por Navidad hice dos semanas de vacaciones; por Semana Santa hice una semana y tres
días; y en verano 30 días y dos semanas. ¿Qué tiempo de vacaciones he hecho en total?
¿ Cuántos días representa?
Para resolver P.17 sólo hay que hacer una operación:
3/4 – 1/2
se dice que es un problema de una etapa.
Para resolver P.18 hay que hacer dos operaciones, una suma y una resta:
32,5 kg + 2,75 kg = 35,25 kg
35,25 kg – 0,80 kg = 34,45 kg
se dice que es un problema de dos etapas.
Para resolver P.19. hay que hacer más de dos operaciones, es un problema de más de dos etapas.
Dificultad creciente
• Problemas de una etapa.
• Problemas de dos etapas.
• problemas de más de dos etapas.
C. INDICACIONES DE RESOLUCIÓN
Esta característica se refiere al hecho de que haya o no alguna indicación para empezar a
resolver el problema.
P.20. Por un casco de limonada me devuelven en la tienda 20 céntimos, y por uno de vino 12
céntimos. He llevado a la tienda 25 cascos y me han devuelto 3,56€.¿ Cuántos cascos
de cada tipo he llevado?
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Elisa Pardo
25
cascos
Limonada 20 cént.
12
............
8
............
Vino 12 cént.
13
............
17
............
Dinero
396 = 3,96€
............
364 = 3,64€
............
«muy alto»
«todavía alto»
P.21. Una familia va en su coche desde San Sebastián a Madrid y hay 490 km. Cuando paran a
comer el cuentakilómetros marca 187 km. ¿Cuántos km les quedan hasta llegar a Madrid?
Rodea la respuesta correcta:
490+187
490x187
490:187
187-490
187+490
187+317
P.22. Escribe un problema que se resuelva con esta operación:
490-187
27x5
El P.20 es un problema que llamaríamos de estimación, se va acercando a la solución por tanteos. Este problema tiene una indicación para resolverlo, resulta mucho más fácil que si el problema se da sólo con el texto.
El P.21 tiene entre las posibles soluciones casi todas las posibles combinaciones de las dos
cantidades dadas como datos y las cuatro operaciones. No conozco datos para decir si es más
difícil que el mismo problema sólo con el enunciado. Pienso que para algunos alumnos que
no tengan bien asimilado los conceptos de suma, resta…, puede resultar más difícil que el
mismo problema sólo con el enunciado. (Salvando las dificultades originadas por el uso de
esa unidad de longitud.)
El P.22 tiene la operación necesaria para resolver el problema y para el alumno el problema
está en crear la historia. Resulta más difícil crear la historia más o menos real, posible, con
sentido, que para resolver el problema dada la historia.
D. SIGNIFICADO MATEMATICO
Esta característica hace referencia al sentido del texto, al significado global del texto, a la relación que se establece entre los datos. Hay situaciones o problemas que se resuelven con la
misma expresión matemática, como ocurre con los problemas P.23 y P.24 y, sin embargo,
corresponden a modelos matemáticos distintos. Esta característica es la que interviene en la
traducción del enunciado verbal a la expresión matemática y para explicarla voy a separarla
en dos partes, una para las operaciones suma y resta y la otra para producto y división.
Para la suma y resta hay tres tipos de problemas según el significado:
P.23. Iván tiene en la hucha 124€. Ha metido 63€. ¿Cuánto tiene ahora?
P.24. Iván tiene 124€. Y su hermano Borja 63€. ¿Cuánto tienen entre los dos?
P.25. Iván tiene 124€. Y su hermano Borja 147€. ¿Cuántos euros Tiene Borja más que Iván?
En P.23. hay una cantidad inicial, dinero de la hucha, que sufre una acción, meter 63€, y hay
una cantidad final, el dinero que queda. A este tipo se le llama de cambio. Se caracterizan
porque siempre tiene un esquema como éste:
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SIGMA Nº 24 • SIGMA 24 zk.
Características, en los problemas escolares, que inciden
en la dificultad de los mismos
Cantidad inicial
Acción
Cantidad fija
Esquema:
c. comparada más que
c. De referencia (c.comp. – c. Refer.)
c. comparada menos que
c. De referencia (c.refer. – c.comp.)
De estos tres tipos de significados para la suma – resta la dificultad crece:
• Cambio
• Combinar
Esta jerarquía varía con el tamaño de números
• Comparar
Siempre es posible encontrar problemas que no encajan bien en estos tipos: cambio, combinar y comparar como el siguiente:
P.26. Pedro ganó 7 canicas por la mañana, perdió 3 canicas por la tarde y ganó 5 al día
siguiente. ¿Cuántas ganó en los dos días?
Está claro que es de cambio pues aparecen las acciones ganar y perder, pero no aparece la
cantidad inicial, ni la cantidad final. La pregunta hace referencia a los cambios. El problema
lo podríamos interpretar así:
c. inicial
cambio
cambio
c.final
7
-3
+5
?
Para el producto y la división también se pueden considerar 3 tipos según el significado de las
operaciones en el texto del problema:
P.27. Hay 8 estanterías en una habitación. En cada estantería hay 7 libros. ¿Cuántos libros hay
en total?
P.28. Un botellín tiene una capacidad de 25 cl. Una jarra se llena con 14 de estos botellines.
¿Qué capacidad tiene la jarra?
P.29. Mi jardín tiene forma rectangular de 8 m de largo por 6 m de ancho. ¿Cuánto mide su
superficie?
Los tres se resuelven con un producto pero corresponden a modelos matemáticos distintos.
En P.27. hay dos magnitudes: nº de libros y nº de estanterías y una correspondencia entre ellas.
nº de estanterías
nº de libros
1
7
2
14
…
...
8
?
A éstos se les llama problemas de correspondencia o razón.
En P.28. sólo hay una magnitud, en este caso capacidad, y un escalar u operador, el 14.
capacidad
operador
capacidad
25 cl
14
?
A éstos se les llama problemas de operador.
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Elisa Pardo
En P.29. multiplicamos dos cantidades de longitud y obtenemos una cantidad de superficie.
Son problemas de producto cartesiano. De este tipo son todos los problemas de áreas y volúmenes y los de combinatoria.
La acción puede producir un aumento de la cantidad inicial ( es una suma) o una reducción
(es una resta). La pregunta del problema puede referirse a la cantidad inicial, a la acción o a
la cantidad final.
P.23.a. Iván tenía en la hucha 223 euros. Ayer le metió dinero su madre y ahora tiene 380
euros. P.30. ¿Cuánto dinero le metió su madre?
P.23.b. Iván no recuerda la cantidad que tenía en la hucha. Hoy ha metido 85 euros. Y ahora
tiene en la hucha 315 euros. ¿Cuánto tenía ayer en la hucha?
P.23.c. Iván tenía en la hucha 325 euros. Ha sacado para gastar 78 euros. ¿Cuánto le queda
ahora?
P.23.d. Iván tenía 235 euros. En la hucha. Ha sacado dinero para gastar y ahora le queda 185
euros. ¿Cuánto ha sacado?
P.23.e. Iván no se acuerda del dinero que tenía en la hucha. Hoy ha sacado 85 euros. Para
comprarse unas chucherías y ahora le quedan 165 euros. ¿Cuánto tenía ayer?
En este cuadro se observa la situación de la pregunta en el esquema de este tipo de problemas de cambio.
Cantidad inicial
Acción
Cantidad fija
P.23.
P.23.a.
P.23.b.
P.23.c.
P.23.d.
P.23.e.
+
+?
+
–
–?
–
?
?
?
?
En el siguiente esquema se refleja la dificultad según la situación de la pregunta y cómo es la
acción, el sentido de la flecha indica que aumenta la dificultad:
a
e
P.23.
c
b
d
En P.24. hay dos cantidades como partes de un todo y la pregunta se refiere a ese todo. A éstos
se les llama de combinar. Sólo hay dos modelos de combinar, uno que responde al del P.24.
en el que conocidas las partes se pide el total (es un problema de sumar) y el otro modelo en
el que conocida una parte y el total se pide la otra parte ( es un problema de restar) como el
P.24.a.
P.24.a. Iván tiene 132€. Y entre su hermano y él tienen 167€. ¿Cuántos euros. tiene su hermano?
El P.25. compara dos cantidades, observar que aparece el término más que. Hay una cantidad
comparada, dinero de Borja, otra cantidad con la que se compara o cantidad de referencia,
dinero de Iván, y en este caso se pide la diferencia. A éstos se les llama problemas de comparar.
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SIGMA Nº 24 • SIGMA 24 zk.
Características, en los problemas escolares, que inciden
en la dificultad de los mismos
En P.28. sólo hay una magnitud, en este caso capacidad, y un escalar u operador, el 14.
capacidad
operador
capacidad
25cl
14
?
A éstos se les llama problemas de operador.
En P.29. multiplicamos dos cantidades de longitud y obtenemos una cantidad de superficie.
Son problemas de producto cartesiano. De este tipo son todos los problemas de áreas y volúmenes y los de combinatoria.
P.30. En un Burger de mi ciudad venden sanwiches de 3 tipos de pan y de tres tipos de relleno.
¿Cuántos tipos de sanwiches puedo pedir?
Este problema responde al modelo de multiplicación como producto cartesiano.
Dificultad creciente:
• Producto como razón.
• Producto como operador.
• Producto como p. Cartesiano.
A continuación vamos a ver tres problemas de dos etapas para observar el significado matemático de cada una de las operaciones y en el último también analizaremos todas las características.
P.31. Mi jardín tiene forma rectangular de 8 m de largo por 6 m de ancho. Quiero sembrarlo de
un césped que me cuesta a 5€. el m.2 ¿Cuánto me tengo que gastar en el césped?
Esquema:
Longitud
Longitud
Superficie
8
6
?
Superficie
Correspondencia
n.º de ptas
48
x5
?
(P. Cartesiano)
(corresp.)
P.32. Seis botellas de leche cuestan 7,2€. ¿Cuánto cuestan 9 botellas de leche?
Este es un problema de regla de tres.
Esquema:
Nº de botellas
correspon.
Nº de ptas.
6
?
7,2€
Nº de botellas
correspon.
Nº. de ptas.
9
78
?
(corresp.)
(corresp.)
Los dos son problemas de dos etapas y el significado de la operación puede ser distinto o no
en cada una de ellas como se ha podido observar.
P.33. He comprado 2,25m de tela en una tienda y 33,25 m en otra. Para los vestidos de mis
hijas he utilizado 12,25 m ¿Cuánta tela me ha sobrado?
Vamos a analizar las características del problema. Es un p. De dos etapas:
1.ª etapa: 2,25 m + 33,25 m = 35,50 m
suma
2.ª etapa: 35,50 m – 12,25 m =
m que sobran
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resta
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La pregunta viene al final. La palabra clave para la suma es comprar y para la resta es utilizar.
El significado matemático de la suma es combinar (conoce las partes y busca el todo, que en
el texto del problema se omite). El significado de la resta también es combinar (se conoce el
todo y una parte y se pregunta por la otra).
Vamos a ver cómo actuaría ante ese problema un alumno experimentado y un novato en resolución de problemas:
Novato: Empezaría por la pregunta, por el final e iría hacia atrás. ¿Cuánta tela sobra?…sé lo
que ha gastado…necesito saber cuánta tenía…(sigue leyendo hacia atrás) es la que compró…¿Cuánta compró?
Experimentado: Empieza por el principio del problema…Ha comprado…y…en total… m. Ha
gastado… luego sobra…
Este distinto modo de actuar es debido al hecho de que el alumno experimentado tiene mapas
conceptuales más amplios con una red de conexiones mayor que el alumno novato.
Termino esta posición presentando dos cuadros a modo de resumen para problemas de una
etapa. En horizontal aparecen las características de un problema y en cada columna el orden
de dificultad de cada una de esas características (de menor a mayor dificultad). Estos cuadros
pretenden recoger criterios a tener en cuenta a la hora de planificar tareas de problemas; permiten secuencializar problemas atendiendo sólo a una característica.
Problemas de una etapa a resolver con suma o resta
Presentación
Frases
Pregunta
P. Clave
Significado
Resolución
Oral
(con material)
3
Final
Añadir-quitar
Cambio
Con
indicaciones
Gráfica
y escrita
2
En medio
o comienzo
Sumar-restar
Combinar
Sin ellas
Resueltos, con
opciones
Escrita
1
Otras
Combinar
Crear
problema
dada solución
Problemas de una etapa a resolver con producto o división
Presentación
Frases
Pregunta
P. Clave
Significado
Resolución
Oral
(con material)
3
Final
Repetir
Repartir
Razón
Con
indicaciones
Gráfica
y escrita
2
En medio
o comienzo
... veces
Dividir
Operador
Sin ellas
Resueltos, con
opciones
Escrita
1
Otras
P. cartesiano
Crear
problema
dada solución
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SIGMA Nº 24 • SIGMA 24 zk.
Características, en los problemas escolares, que inciden
en la dificultad de los mismos
BIBILIOGRAFIA
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1981.
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TOMÁS, M.: Problemas aritméticos de la E.P. Estudio de dificultades y Propuesta didáctica. Educar nº 17, 1991.
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illa
te Meav
icen
Autor: V