Dada la función f(x) = 5x – x2 – 4. (a) Encuentra la primitiva F de f

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57.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – Junio 2012
Dada la función f(x) = 5x – x2 – 4.
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 2.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva
y el eje X entre x = 2 y x = 6.
RESOLUCIÓN apartado (a)
Dada una función f(x), se denomina función primitiva de ésta a otra función F(x), derivable
en todo el dominio de f(x), tal que F'(x) coincida con el valor de f(x) en dichos puntos.
F(x) = ¿?
F ’(x) = f(x)
f(x) = 5x – x2 – 4
Calculemos la primitiva F(x)
∫ (5x – x2 – 4) dx =
= ∫ 5x dx – ∫ x2 dx – ∫ 4 dx =
5x 2
x3
–
– 4x →
2
3
5x 2
x3
– 4x + k
F(x) =
–
2
3
=
5· 32
33
–
– 4·3+k=2
2
3
22.5 – 9 – 12 + k = 2
k = 0.5
La primitiva F(x) que verifica las condiciones del enunciado sería:
F(3) = 2
→
F(x) =
5x 2
1
x3
–
– 4x +
2
3
2
RESOLUCIÓN apartado (b)
Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre
x = 2 y x = 6.
La función f(x) = 5x – x2 – 4 se trata de una parábola. Obtenemos la tabla de valores y,
ayudándonos de las propiedades obvias del estudio local, representamos la función.
f(x) = – x2 + 5x – 4
→
V(–b/2a, y)
V (2.5, y)
2
y = – x + 5x – 4
x
y
2.5
2.25
1
0
2
2
3
2
0
–4
5
–4
4
0
Vértice (2.5, 2.25)
 Abel Martín
Del aula a la PAU
2
Esbozo de la gráfica y visualización de la curva y el eje X entre x = 2 y x = 6
La superficie a calcular será:
S1 sabemos que está entre 2 y 4 ya que los puntos de corte se observan directamente en la
tabla de valores:
S1 →
4
∫2
(5x – x2 – 4) dx
Aplicamos la Regla de Barrow
Integrales. Aplicaciones
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3
4
5x 2
x3
–
=[
– 4x] 2 =
2
3
=[
5·4 2
43
5·2 2
23
–
– 4·4] – [
–
– 4·2] =
2
3
2
3
= 40 –
64
8
– 16 – 10 +
+8=
3
3
= 10/3 ≅ 3.3333
S1 = 3.3333 u2
S2 →
6
∫ 4 (5x – x2 – 4) dx
Aplicamos la Regla de Barrow
6
5x 2
x3
=[
–
– 4x] 4 =
2
3
=[
5·6 2
63
5·4 2
43
–
– 4·6] – [
–
– 4·4] =
2
3
2
3
64
= 90 – 72 – 24 – 40 +
+ 16 =
3
= – 26/3 ≅ – 8.66667
S2 = 8.66667 u2
ST = S1 + S2
ST = 3.3333 u2 + 8.66667 u2 = 12 u2
VISUALIZACIÓN Y CÁLCULO DIRECTO CON CALCULADORA GRÁFICA
Simplemente bastará con representar directamente el valor absoluto de la función:
Una vez que conocemos la gráfica de la función, es sencillo comprobar los resultados
obtenidos si tenemos unos mínimos conocimientos teóricos matemáticos...
Comprobación directa con la
calculadora científica:
Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial:
(a) Calcular la primitiva: 0.75 puntos (b) Representar la función: 1. Calcular el área: 0.75 puntos.
 Abel Martín