Resumen Propuesta
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Métodos numéricos para sistemas hiperbólicos de leyes de conservación Pep Mulet Los sistemas hiperbólicos de leyes de conservación son sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden que aparecen en multitud de modelos cientı́ficos, para expresar la conservación de ciertas magnitudes o su crecimiento a lo largo del tiempo en función de ciertos flujos. En este trabajo nos limitaremos a modelos con una única dimensión espacial, con lo cual las soluciones serán funciones de dos variables. A diferencia de otros tipos de ecuaciones en derivadas parciales, éstas pueden desarrollar discontinuidades de salto (choques) a partir de condiciones iniciales perfectamente suaves. Por este motivo, el concepto de solución débil se introducirá y se estudiarán ciertas condiciones de entropı́a (Lax, Kruzkov, “vanishing viscosity”) que sirven para especificar una solución débil “fı́sicamente relevante”. Algunos problemas no lineales se pueden resolver exactamente cuando las condiciones iniciales son constantes a ambos lados de una única discontinuidad (problemas de Riemann). En general, hay que recurrir a métodos numéricos para aproximar las soluciones de estas ecuaciones. Se estudiarán los métodos numéricos conservativos, que permiten aproximar correctamente las soluciones débiles y se analizará la convergencia y estabilidad de algunos de estos métodos. Finalmente, se propondrán métodos de alta resolución (orden mayor que uno) para la resolución de algunos sistemas de leyes de conservación, tales como el de las aguas someras o las ecuaciones de Euler para la dinámica de fluidos.
