Resistencia de los refractarios al choque térmico. II: Teoría unificada

BOL. SOC. ESP. CERAM. VIDR. 32 (1993) 5, 293-298
TRABAJO DE REVISION
Resistencia de los refractarios al choque térmico.
II: Teoría unificada de Hasselman
C. BAUDIN
Instituto de Cerámica y Vidrio (CSIC). 28500 Madrid (España).
RESUMEN: Resistencia de los refractarios al choque
térmico. II: Teoría unificada de Hasselman.
ABSTRACT: Thermal Shock Resistance of Refractories II: Unified Theory of Hasselman.
En este trabajo se reescribe la Teoría Unificada de
Hasselman utilizando un lenguaje matemático sencillo
basado en el criterio de energía potencial mínima.
Asimismo se revisan los trabajos experimentales encaminados a determinar la validez de los factores de mérito derivados de esta teoría para estudiar el comportamiento de materiales refractarios en distintas condiciones experimentales.
The Unified Theory of Thermal Shock proposed by
Hasselman analyzed using a simple mathematical language based on the minimal potential energy criterion.
The experimental work on Hasselman thermal shock
parameters validity for refractories is reviewed.
PALABRAS CLAVE: Refractarios, choque térmico,
propiedades mecánicas, temperatura, termoelasticidad,
energía.
1.
INTRODUCCIÓN
La fig. 1 recoge el comportamiento general de un
material frágil sometido a enfriamientos bruscos de distinta severidad AT(l-3). A partir de los resultados de la
teoría termoelástica, es posible predecir la existencia del
primer incremento de temperatura crítica, AT^, o mínima
diferencia de temperatura que origina la fractura del
material. Utilizando un criterio de balance energético es
posible predecir el grado de daño sufrido por la pieza.
Pero, de ninguna de estas dos aproximaciones surgen
como conclusión los tramos restantes de la curva de la
figura: grado de daño constante en una región de AT,
existencia de un segundo incremento de temperatura crítica, AT'c, y aumento gradual del grado de daño para choques de intensidad superior a AT^ (4).
La Teoría Unificada de Hasselman (5-6) engloba
tanto el momento de la nucleación de la grieta como su
propagación y permite predecir completamente el comportamiento de un material frágil frente al choque térmico mostrado en la fig. 1. Esta teoría está basada en un
criterio de mínima energía potencial, del mismo tipo que
el utilizado por Griffith para estudiar la fractura de sólidos frágiles (7).
En el primer artículo (5), el histórico, Hasselman
toma como modelo un sólido que contiene N grietas circulares planas por unidad de volumen, al cual se le
impide contraer por estar sus superficies sujetas rígidamente y que es enfriado uniformemente. De todos los
casos posibles, el correspondiente a este modelo es el que
maximiza las solicitaciones a las que está sometido el
cuerpo ya que, todos los puntos del sólido están sometidos a un estado triaxial de tensiones. El modelo bidimensional propuesto por Hasselman en 1971 (6), se ajusta
más a la reahdad del choque térmico ya que se puede asimilar a la superficie de un cuerpo enfriado bruscamente.
Recibido el 7-6-93 y aceptado el 30-6-93
SEPTIEMBRE-OCTUBRE, 1993
KEY WORDS: Refractories, thermal shock, mechanical
properties, temperature, thermoelasticity, energy.
Por otra parte, su tratamiento matemático es más simple.
Las conclusiones obtenidas en lo que se refiere a las
características de los materiales, forma de propagación
de las grietas, etc. son del mismo tipo en ambos modelos.
En este trabajo se reescribe la Teoría Unificada de
Hasselman utilizando un lenguaje matemático sencillo
Fig. 1.
Resistencia a la fractura de un material frágil sometido a
enfriamientos bruscos de distintas intensidades.
basado en el criterio de energía potencial mínima y utilizando como modelo el propuesto por Hasselman en
1971. Asimismo, se revisan los trabajos experimentales
encaminados a determinar la validez que tienen los factores de mérito derivados de esta teoría a la hora de predecir el comportamiento de materiales refractarios en distintas condiciones experimentales.
293
C. B AUDIN
2.
tables respectivamente. La condición dW/dl = O, proporciona el incremento mínimo de temperatura para que las
grietas se propaguen, AT^ :
MODELO Y CRITERIO
El modelo utilizado es el indicado en la fig. 2. U n a
lámina -infinita en la dirección X y cuya deformación en
la dirección Y está impedida- de un material completamente frágil que contiene N grietas, de longitud 2^ por
unidad de superficie, es enfriada u n i f o r m e m e n t e un
incremento de temperatura AT. Se asume que las grietas
no interaccionan y que la fractura tiene lugar, cuando AT
= AT^, por la propagación simultánea de las N grietas.
ATc = (2 • G / 71 • £• a2 • E)l/2 • (1 + 27i • N • 62)
[6]
1) Para grietas cortas (2K - N - 6 2 < < i ) e l incremento
crítico de temperatura es:
A T c = ( 2 - G / 7 i - e-a2-E)l/2
[7]
proporcional a í-^^^ e independiente de N.
21
2) Para grietas largas (2K - N * 6 2 > > i ) e l incremento
de temperatura crítico:
->X
Fig. 2.
Modelo utilizado en La Teoría Unificada de Hasselman en
dos dimensiones.
El estado de equilibrio de un sólido elástico sometido
a fuerzas externas es aquel en el que la energía potencial
de todo el sistema es mínima. Para utilizar este teorema
al estudiar la fractura de sólidos reales es preciso considerar, además de la variación en la energía elástica, el
aumento de energía potencial que supone la creación de
dos nuevas superficies.
El módulo de Young de la placa viene dado por (8-9):
-ef-
: E / (1 + 271 • N • ^2)
ATc' = ( 8 7 i - G - N 2 - e 3 / o c 2 . E ) l / 2
proporcional a ß^^^ y a la densidad de grietas, N.
La aproximación de grietas largas es discutible ya que
una de las asunciones de la teoría de Hasselman es que las
grietas no interaccionan, hipótesis que no será cierta para
una alta densidad de grietas de tamaño, I, grande (10).
En el caso de grietas cortas, si se tiene en cuenta la
relación derivada del criterio de Griffith para grietas planas, se tiene que:
ATc - Gf • / a • E
ATc - Gf • (1- v)/ a • E
W.=
[11]
[3]
donde, a, es el coeficiente de dilatación del material.
La energía superficial por unidad de superficie debida
a la presencia de las N grietas es:
Wp = 4 • G • N • e
[10]
por lo que, se recupera el parámetro R de resistencia al
choque térmico de la teoría termoelástica [11-13]:
R = Gf • (1- v) / a • E
Ö? • (AT)2 • E
2 • (1 + 27C • N • £2)
[9]
y, para grietas circulares planas, el modelo tridimensional
[5] proporciona:
[1]
donde E es el módulo de Young del material sin grietas.
La energía elástica por unidad de superficie acumulada
en la placa cuando es enfriada uniformemente un AT es:
[8]
lo cual es coherente ya que la teoría termoelástica analiza la condición para el inicio de la fractura.
En el caso de grietas largas, el parámetro que optimiza
la resistencia del material frente al choque térmico es diferente e incluye la energía de fractura. A partir de la ec. [8]:
[4]
[12]
RQI
donde G es la energía requerida para producir una unidad de superficie de grieta (equivalente a la energía
superficial de fractura efectiva del criterio de balance
energético).
La fractura tendrá lugar si dW/d6<0, donde W = W^ +
Wg es la energía potencial del sistema.
a^E
este parámetro no tiene equivalente ni en los resultados
derivados de la teoría termoelástica (9-10) ni en los derivados del criterio de balance energético (11-14).
3.2.
3.
CONCLUSIONES D E R I V A D A S D E LA
T E O R Í A U N I F I C A D A D E HASSELMAN
3.1.
Condición térmica para el inicio de la fractura
Utilizando el criterio de disminución de la energía
potencial, se tiene: dW>0, dW<0, grietas estables e ines-
294
Regiones de estabilidad de las grietas
Para una placa de un material con una densidad de
grietas dada, el plano AT^ - I queda dividido en zonas de
estabilidad e inestabilidad, d e l i m i t a d a s p o r la curva
dW/d6=0. En la fig. 3 se muestran las mencionadas zonas
para placas con densidad de grietas N = 10/271; y 112% e
idénticas propiedades E, G y a . D e esta figura se deduce
que, para un valor AT^", la fractura de la placa tiene lugar
si el tamaño de las grietas está situado entre dos valores de
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Resistencia de los refractarios al choque térmico. II: teoría unificada de Hasselman
donde ^ y ^ son las longitudes inicial y final de las grietas.
Teniendo en cuenta las expresiones [3] y [4], es posible calcular la longitud final de las grietas, í{.
Diferencia criUca de temperatura
para (a inestabilidad de las grietas
Ö
Ö
•^
csi
"O
LLI
o»
a2(AT,)2E|
1
= 4 - G - N - ( ^ g [15]
(l + 27i:-N-^2)2 (i+27i-N-^2)2
2
^
relación indicada en la figura 4 con línea discontinua.
En el caso de grietas cortas ( ^ < < ^ ) , se tiene que:
.y g
o
c
1)
(1+271-N- ^2)/(i+27i-N- ^ ) - O
[16]
y, utilizando la ec. [7], la longitud final viene dada por:
Longitud de la grieta ( I )
Fig. 3.
í. El valor máximo del tamaño de las grietas que no daría
lugar a la fractura de las placas, ^^\ es el mismo en el caso
de alta densidad de grietas (10/2TC) que en el caso de baja
d e n s i d a d de grietas {llln). Sin e m b a r g o , el t a m a ñ o
máximo de grieta para el que la fractura tendrá lugar es
menor para la placa con alta densidad de grietas (E^") que
para la placa con baja densidad de grietas (^").
3.3.
Íi=(4 7i-N%)-1
Zonas de estabilidad en el plano AT^ -1 para materiales con
densidad de grietas N=10/2n y 1/2TÍ.
Aplicando, igual que en el caso anterior, la relación
de Griffith para grietas planas, se tiene que la longitud
final de grietas inicialmente cortas es:
í^ = (671 • N)l/2
c^
G E
h
Sf^
af^(l-v)
G E
[20]
por lo que se recuperan los parámetros R ' " y R " " de
resistencia al choque térmico obtenidos utilizando el criterio del balance energético (11-12,14).
R •=
[20]
Gf • (1 - V)
R"'' = G R ' "
[21]
[13]
Sea, £, la longitud de las grietas existentes en la placa:
1) si 6> Ejji' entonces d^W/d^^ > O, condición de equilibrio estable por lo que, su forma de propagación será
cuasiestática,
2)úl< £jn, entonces d^W/dE 2< O, condición de equilibrio
inestable, por lo que, su forma de propagación será cinética.
La expresión [13] indica que el t a m a ñ o máximo de
grieta, £, que separa las regiones de propagación estable e
inestable es tanto mayor cuanto menor sea la densidad de
grietas en el material. Esto tiene una implicación práctica
i m p o r t a n t e ya q u e indica que los materiales con más
defectos en su interior sufren un d a ñ o m e n o r cuando
tiene lugar la fractura por choque térmico.
3.5.
Resumen
En resumen, el modelo de Hasselman permite obtener, a partir de una única expresión que engloba la suma
de energías elástica y superficial, las siguientes soluciones:
1) Condición térmica para el inicio de la fractura, esto
es: diferencia crítica de temperatura para la propagación
de grietas cortas (1 < ^ , ^ ~ N'^^^). El parámetro que
maximiza AT^ es el mismo que se obtenía en la aproximación termoelástica R (ec. 11). La ecuación de dimensiones de este parámetro es:
[R]-T
3. 4.
[19]
y, en el modelo tridimensional (5):
Forma de propagación de las grietas
La condición dW/dß = O es una condición de equilibrio. Para que la fractura tenga lugar, la tensión térmica
deberá ser un infinitésimo superior a la correspondiente
a esta condición (i.e: AT^, es un infinitésimo superior). El
signo de dW^/dE^ determina el tipo de equilibrio y, con
ello, el t i p o de p r o p a g a c i ó n q u e t e n d r á n las grietas
cuando AT es un infinitésimo superior a AT^.
La condición dW^/d^^ = O proporciona:
[18]
[21]
Grado de propagación cinética
Las grietas con £ < ^ se propagan hasta que la disminución de la energía elástica iguala al aumento de energía superficial debido a la extensión de las grietas.
We(g-We(^)-W3(^)-W,(y
SEPTIEMBRE-OCTUBRE, 1993
[14]
por lo que, su significado físico es claro, el incremento de
temperatura crítico es proporcional a R.
2) Grado de propagación cinética de las grietas cortas.
El área a través de la que se propagan es inversamente
proporcional a la energía superficial necesaria para su
295
C. B AUDIN
propagación (G) y directamente proporcional a la energía elástica acumulada (~ Of^/E). Los parámetros que
minimizan el daño sufrido por el material son los parámetros de resistencia al choque térmico R'" y R"" (ec.
21 y 22), definidos utilizando para el estudio de la resistencia al choque térmico el criterio de balance energético. La ecuación de dimensiones de R"" es:
frente al choque térmico suele ir ligada a altos valores del
parámetro Rst (ec. [12]) (13,16-21) o parámetros equivalentes (22), lo cual es expHcable dado que a la fractura
Diferencia crítica de temperatura
a
100
[R""] = L
/
Longitud de las grietas resultantes
de la propagación inestable de
grietas l o < l m
[24]
/
/
Q-CM
dimensiones debidas a que, en realidad, en la proporcionalidad entre el área a través de la cual se propaga la
grieta y R"" hay un efecto de la microestructura del
material que no está incluido en R"". En efecto:
•o
ULI
8"^
^
:f(N,g-R'
[25]
/
ü
- ^-^
•5 <•
/A
^
^
~ 100
m
2TI
AT;'
10
10
ATc
AT¿'
y
i-^
c
3) Lo más novedoso de la teoría de Hasselman es que
permite explicar el comportamiento que van a tener las
grietas largas (B>^), preexistentes en el material o fruto
de la propagación cinética de grietas cortas. La diferencia
mínima de temperatura necesaria para propagar grietas
largas es proporcional al parámetro R^^ (ec.l2). Este
parámetro tampoco tiene significado físico directo ya que
su ecuación dimensional es:
[R,t] = T-Ll/2
[26]
dado que:
Ar,^f(N,y-R,t
APLICACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE
RESISTENCIA AL CHOQUE TÉRMICO AL
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE LOS
MATERIALES REFRACTARIOS
4.1.
Revisión bibliográfica
Para correlacionar el comportamiento de los materiales refractarios con los parámetros derivados de la Teoría
Unificada de Hasselman, es preciso tener en cuenta que
el tipo de fractura depende no sólo del tipo de material
sino, también, de la densidad de grietas que colaboran a
la fractura.
En el caso de calentamiento por radiación (15-16), se
suele observar una sola grieta paralela a la cara caliente y
que se desarrolla hacia la superficie. En general, en este
tipo de ensayos se encuentra correlación entre una alta
resistencia al choque térmico y los parámetros R'" o R""
ec[21] y [22] , que describen el comportamiento de grietas cuya propagación es cinética. Esta situación es asimilable a un material con densidad de grietas baja en el
que, el tamaño de grieta, ^ , límite entre fractura cinética
y fractura cuasiestática es grande (fig. 3).
Un mismo material puede presentar los dos tipos de
fractura (cinética, cuasiestática) dependiendo del tipo de
ensayo. Así materiales que presentan fractura cinética en
el caso de calentamiento por radiación pueden presentar
una disminución gradual del módulo de rotura al aumentar la severidad del choque térmico cuando éste se produce por enfriamiento (16). En el caso de enfriamientos
bruscos, la bondad relativa de los materiales refractarios
296
b
1
lO"''
Ib lo
, !
10"^
Im
íT
Im 1 I f
Longitulde la grieta
1
1
If
1
10
(I)
Fig. 4.
Curvas de Hasselman. En línea discontinua se muestra el
tamaño final alcanzado por grietas de tamaño menor que í^.
por enfriamientos bruscos colaboran un alto niimero de
grietas superficiales. Pero, en muchos casos, si los materiales refractarios ensayados poseen una alta resistencia a
la fractura, el grado de daño sufrido presenta una correlación mejor con los parámetros R'" y R"" que con R^^
(13, 17-18, 21). Este resultado puede ser derivado asimismo de la Teoría Unificada de Hasselman ya que una
alta resistencia a la fractura equivale a tamaños iniciales
de grieta, ^, pequeños por lo que, la fractura es de tipo
cinético (fig. 3).
En los ensayos realizados a nivel industrial, normalmente se somete a los materiales a ciclos y gradientes. Las
ventajas de este tipo de ensayos es que están más cerca de
la reahdad de las condiciones de los materiales durante el
uso y que magnifican el daño. Una desventaja clara es que
su interpretación teórica es más difícil. Se ha encontrado
tanto correlación entre el grado de daño sufrido por los
materiales después de un cierto número de ciclos y el
parámetro R"" (23-26) como con el parámetro R^^ (2627). En este caso, el número y el tipo de grietas que se propagan durante la fractura del material son distintos
durante el calentamiento y el enfriamiento y pueden interaccionar. Además, las propiedades del mateial después
de sufrir un ciclo son diferentes a las del material original
ya que, para choques de baja intensidad es de esperar que
los fenómenos subcríticos tengan gran importancia.
4.2.
Ejemplo de aplicación
La Teoría Unificada de Hasselman permite explicar el
comportamiento de los materiales recogido en la fig. 5
(28) y, que no era posible analizar utilizando únicamente
la aproximación termoelástica y el criterio de balance
energético (parámetros R y R"") (4). Estos materiales
han sido ensayados vertiendo acero fundido en una
cuchara precalentada a distintas temperaturas y
vaciando, a continuación, la cuchara. En la tabla I se
recogen los valores del parámetro de resistencia al choque térmico, R^^, calculados para estos materiales.
BOL. SOC. ESP. CERAM. VIDR. VOL. 32 - NUM.5
Resistencia de los refractarios al choque térmico. II: teoría unificada de Hasselman
de dos temperaturas críticas, en el caso de materiales
con longitudes de grietas pequeñas. Este es el caso del
material A (silicoaluminoso). La diferencia entre la
forma de degradación del material A y de los materiales
C, D y F puede ser atribuida a la diferencia entre las
resistencias a la fractura de estos materiales (tabla I), ya
que esta es superior para el material silicoaluminoso.
Sin embargo, no es posible predecir en qué valor del
módulo de rotura se encuentra el límite entre fractura
cinética/fractura cuasiestática.
5.
500
1000
ATCC)
Fig. 5.
Variación del módulo de rotura de materiales refractarios
sometidos a choques térmicos de distinta intensidad. A: silicoaluminoso, C: bauxita, D: alúmina electro fundida, F: magnesita.
El parámetro R^^ permite explicar las diferencias
encontradas entre el comportamiento de los materiales
C (bauxita), D (alúmina electrofundida) y F (magnesita)
ya que decrece en el mismo sentido que lo hace AT^'. El
incremento crítico de temperatura para estos materiales
es del tipo AT^'(grietas largas, fig. 1) ya que la degradación que sufren los materiales es gradual. Por otra parte,
la Teoría Unificada de Hasselman predice la existencia
CONCLUSIONES
Los resultados de la teoría de Hasselman tiene implicaciones prácticas muy importantes en lo que se refiere a
la selección de materiales para trabajar en condiciones
térmicas severas, bajo las que no es posible evitar el inicio
de la fractura por tensiones térmicas, o que contienen
defectos de gran tamaño en su interior. En este caso es
preciso utilizar materiales con valores altos de los parámetros R"" y Rgt, condición que, en general, implica
minimizar R. Pero, además, las ecuaciones [8] y [19] indican que un material de baja resistencia a la fractura será
tanto más resistente al choque térmico cuantos mayores
sean la densidad de grietas y el tamaño de éstas.
En general, los estudios encaminados a comprobar la
validez de los parámetros de Hasselman se realizan comparando una serie de materiales para los que los parámetros de resistencia al choque térmico calculados con propiedades globales de los materiales son muy diferentes.
En estos casos, como ha sido mencionado anteriormente,
el acuerdo encontrado entre los resultados y la teoría es
relativamente bueno. Sin embargo, los materiales refractarios se alejan en gran medida de las hipótesis de isotropía y homogeneidad asumidas en la Teoría Unificada de
Hasselman (5-6). Sería preciso desarrollar modelos en los
que pudiera incluirse el efecto de las microtensiones
localizadas debidas a la gran diferencia que existe entre
las propiedades de las distintas fases presentes en un
material cerámico. De hecho, es posible encontrar respuestas frente a las tensiones térmicas muy diferentes
para materiales refractarios con parámetros de
Hasselman de valores equivalentes y microestructuras
muy diferentes (29). Este es un campo abierto en el que,
previo a un desarrollo teórico, es necesario un gran
esfuerzo experimental sobre materiales modéhcos con
microestructura y propiedades muy controladas.
TABLA I
VALORES DEL PARÁMETRO D E RESISTENCIA AL
CHOQUE TÉRMICO R,^ Y DEL MODULO DE ROTURA
PARA LOS MATERIALES CUYO COMPORTAMIENTO SE
RECOGE EN LA FIG. 5
R,t(xl02«C^i/2)
Módulo
de Rotura (MPa)
Silicoaluminoso
3.3
16
Bauxita
2.5
12
Alúmina electrofundida
1.3
11
Magnesita
0.5
7
Material
SEPTIEMBRE-OCTUBRE, 1993
6.
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