Curso de Nivelación de Matemáticas

Instituto Tecnológico de Roque
Ciencias Básicas
MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS
Matemáticas
1
Instituto Tecnológico de Roque
Ciencias Básicas
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ROQUE
MATERIAL DIDACTICO DE MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO
CIENCIAS BÁSICAS
ELABORARON:
ERIKA RAMOS OJEDA
RAQUEL ALDACO SEGOVIANO
JORGE ANTONIO BONILLA LÓPEZ
NABOR DURAN HERNÁNDEZ
ALICIA FLORES LÓPEZ
JOSE GABRIEL MENDOZA MANCILLA
ROQUE, CELAYA, GTO.
Matemáticas
JULIO 2013
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Contenido
1. LEYES DE LOS SIGNOS ........................................................................................ 6
1.1 Introducción a los números ................................................................................. 6
1.2 Leyes de los signos ............................................................................................. 6
1.3 Propiedades de los números reales ...................................................................... 6
1.4 Operaciones con números reales (con signos) .................................................... 7
2. OPERACIONES CON TÉRMINOS SEMEJANTES .............................................. 9
2.1 Notación Algebraica............................................................................................ 9
2.2 Signos de Operación Algebraica ......................................................................... 9
2.3 Coeficiente ........................................................................................................ 10
2.4 Nomenclatura algebraica ................................................................................... 10
2.5 Términos Semejantes ........................................................................................ 11
2.6 Reducción de términos semejantes ................................................................... 13
3.
OPERACIONES CON FRACCIONES SIMPLES Y COMPUESTAS ............. 15
3.1. Fracciones y su escritura .................................................................................. 15
3.2. Tipos de fracciones .......................................................................................... 16
3.3. Conversión de fracciones ............................................................................ 16
3.4. Suma y resta de fracciones ............................................................................... 17
3.5 Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos 18
3.6 Multiplicación y División de fracciones ........................................................... 19
4. LEYES DE LOS EXPONENTES ........................................................................... 22
4.1 Leyes de los exponentes .............................................................................. 22
Explicaciones de las leyes ................................................................................... 23
5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS .............................................................................. 25
5.1 Resolución de división de polinomios: ............................................................. 25
5.2 División sintética (Regla de Ruffini). .............................................................. 27
6.
PRODUCTOS NOTABLES ............................................................................... 30
6.1 Binomio al cuadrado ......................................................................................... 30
6.2 Binomio al cubo ................................................................................................ 31
6.3 Binomio Conjugado .......................................................................................... 31
6.4 Binomio con término común............................................................................. 32
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6.5 Binomios con términos semejantes ................................................................... 33
6.6 Aplicación de productos notables ..................................................................... 33
7.FACTORIZACIÓN ................................................................................................. 34
7.1 Factor Común .................................................................................................... 34
7.2 Factorización por agrupación ............................................................................ 35
7.3 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto ............................................... 36
7.4 Factorización por el cubo perfecto de un binomio ........................................... 38
7.5 Factorización por diferencia de cuadrados ........................................................ 39
7.6 Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 .................................................................. 39
7.7 Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ................................................................ 41
7.8 Aplicación de la integral ................................................................................... 42
8. RADICALES .......................................................................................................... 42
8.1 Leyes y Propiedades de los Radicales ............................................................... 43
9. SIMPLIFICACION Y OPERACIONES CON RADICALES ............................... 43
9.1 Simplificación de Radicales .............................................................................. 43
9.2 Adición y Sustracción de Radicales .................................................................. 45
9.3 Multiplicación de Radicales .............................................................................. 46
9.4 División de Radicales........................................................................................ 47
10. RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR .................................................. 48
11.- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. ...................................................... 50
11.1.- Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones .................................... 50
11.2 Método de sustitución ..................................................................................... 52
11.3 Método de igualación ...................................................................................... 53
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación .................. 53
11.4 Método de reducción ....................................................................................... 55
12. ECUACIONES CUADRÁTICAS ........................................................................ 57
12.1 Solución por factorización .............................................................................. 57
12.2 Solución mediante raíz cuadrada .................................................................... 58
12.3 Solución completando el cuadrado ................................................................. 59
12.4 Solución mediante la fórmula cuadrática (general) ........................................ 61
13. PROPIEDADES DE LOGARITMOS .................................................................. 63
14. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS ........................................... 64
15. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS ........................................................... 65
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16. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS .............................................................. 69
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1. LEYES DE LOS SIGNOS
1.1 Introducción a los números
Los números son símbolos creados para registrar montos o cantidades. Son
un conjunto de símbolos estándar que representan cantidades,los conocidos
de 0 a 9 -. Pero además de estos enteros, también hay fracciones y decimales.
Un número positivo es un número que es mayor que cero, mientras que un
número negativo es menor que cero. Un número positivo se muestra con una
signo más ( + ), o sin ningún delante de él. Si el número es negativo, va
precedido de un signo menos ( - ).
1.2 Leyes de los signos
Para realizar multiplicaciones y divisiones es necesario aplicar las leyes de los
signos, las cuales establecen lo siguiente:
La multiplicación de signos iguales de un producto positivo
(+) (+) = +
(-)(-)=+
La multiplicación de signos distintos da un producto negativo
(+) ( - ) = ( - )( + ) = -
La división de signos iguales da un cociente positivo
(+) ÷ (+) = +
( - )÷( - ) = +
La división de signos distintos da un cociente negativo
(+) ÷ ( - ) = ( - )÷( + ) = -
Consideraremos al conjunto de número reales como el conjunto universal.Los
cuales se pueden representar a lo largo de una línea recta.
1.3 Propiedades de los números reales
Supongamos que a, b y c expresan números reales
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
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La adición y la multiplicación son conmutativas
a+b=b+a
a• b = b• a

La adición y la multiplicación son asociativas
(a+b)+c=a+(b+c)
(a• b ) c = a ( b •c )

La identidad aditiva es 0
a+0=0+a=a

La identidad multiplicativa es 1
a•1=1•a=a

Cada elemento a tiene un inverso aditivo expresado por “ - a”
a+(-a)=-a+a=0

Cada elemento diferente a cero a tiene un inverso multiplicativo,
expresado por “ a-1”
a • a-1 = a-1 • a = 1
Nótese que a-1 = 1/a.

La multiplicación es distributiva con respecto a la adición
a ( b + c ) = a• b + a• c
1.4 Operaciones con números reales (con signos)
1. Para sumar dos números reales con el mismo signo, sume sus valores y
agregue su signo común.
( + 5 ) + ( +6 ) = +11
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𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
(-𝟔)+(-𝟔)=-𝟔=-𝟐
2. Para sumar dos números reales con signo diferente, encuentre la
diferencia de sus valores y añada el signo del número con el mayor valor.
(-4)+(+3)=-1
(+5)+(-3)=+2
(−
𝟏𝟏
𝟒
) + ( +𝟏 ) = −
𝟕
𝟕
3. Para sustraer un número real de otro, cambie el signo del número y
añada el signo del número que se resta y siga con la adición.
(-9)–(-8)=(-9)+(+8)=-1
16 – ( 8 ) = 16 + ( - 8 ) = + 8
4. El producto de dos números reales con signos iguales es positivo
( - 3 ) ( - 4 ) = 12
𝟑
(𝟒)( 4)= 3
5. El producto de dos números reales con signos diferentes es negativo
(5 )( - 3 ) = - 15
( - 3 ) ( 4 ) = - 12
6. El cociente de dos números reales con signos iguales es positivo
( - 14 ) ÷ ( - 2 ) = 7
𝟑𝟔
𝟒
= 9
7. El cociente de dos números reales con signos diferentes es negativo
−𝟐𝟖
𝟒
𝟒𝟓
−𝟓
Matemáticas
=-7
= -9
8
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Resuelva las siguientes operaciones:
1. - 4 + 3
2. ( - 4 + 3 )2 + 3
3. 42 + 3
4. 6 ÷ 2 ( 2 + 1)
2. OPERACIONES CON TÉRMINOS SEMEJANTES
2.1 Notación Algebraica
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean
conocidas o desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a,
b, c, d,…se denominan también literales.
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del
alfabeto: u, v, w, x, y, z.se denominan “incógnitas”.
Variable es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto
de números, es decir, puede cambiar el valor.
Constante es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo o establecido,
es decir, no puede cambiar su valor.
2.2 Signos de Operación Algebraica
Los signos de operación son los siguientes:
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9
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+
(Suma o Adicción)
~
(Equivalente a)
-
(Resta o Sustracción)
~
(Aproximadamente igual a)
x
(Multiplicación o Producto)
≠
(Diferente de)
÷
(División o Cociente)
>
(Mayor que)
>
(Mayor que)
<
(Menor que)
<
(Menor que)
√
(Raíz de)
=
(Igual a)
%
(Por ciento)
Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angula
o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo. Estos signos indican que la
operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.
2.3 Coeficiente
Es el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado
coeficiente del otro factor.
Así, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el
factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a = a + a + a. Estos son
coeficientes numéricos.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la
unidad.
2.4 Nomenclatura algebraica
Expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una
o más operaciones algebraicas
Término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o varios
símbolos no separados entre sí por el signo + ó -.
Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal
y el grado.
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El coeficiente es generalmente el primero de los factores que conforman un
término, el coeficiente puede ser de dos clases, por ejemplo:
Coeficiente numérico. Es el factor numérico de un término. Ejemplo:
El coeficiente numérico del término “5ax” es “5”
Coeficiente literal. Es el factor literal de un término.
Ejemplo:El coeficiente literal del término “mby” es “m”
Es importante señalar que el coeficiente siempre va a acompañado del signo
del término.
Ejemplo:El coeficiente numérico de “-2by” es “-2”
Cuando un término no tiene coeficiente numérico indicado, se sobreentiende
que su coeficiente es la unidad.
Ejemplo: axy = 1 axy
Parte literal. Son los factores literales que contiene el término.
Ejemplo:En el término “5ax”, la parte literal es “ax”
2.5 Términos Semejantes
Términos semejantes son aquellos que tienen los mismos factores literales,
cada uno con la misma base y el mismo exponente.
Términos semejantes
Términos No semejantes
7x y 5x
7x y 5y
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8a2 y a2
8a2 y a3
5rs2 y 2rs2
5rs2 y 2r2s
Para asociar términos semejantes han de sumarse o restarse
Procedimiento:
1.- Sumar o restar los coeficientes numéricos:
2.- Conservar el coeficiente literal común
Grado de un término. El grado de un término puede ser de dos formas
absoluto y relativo a una literal
Grado absoluto. El grado absoluto de un término es el número que se obtiene
al sumar los exponentes de la parte literal. Ejemplo:
2x es de primer grado
x3y es de cuarto grado
5ab es de segundo grado
3m2n2x es de quinto grado
8a2x es de tercer grado
x3y2z es de sexto grado
Grado relativo. El grado de un término relativo a una literal es el mayor
exponente que tenga la literal considerada.
Ejemplo:xy2 = Primer grado con respecto a x y de segundo grado con
respecto a y
Clases de términos.
Los términos se clasifican en enteros, fraccionarios, racionales, irracionales,
homogéneos y heterogéneos, los cuales se definen de la siguiente manera:
Término entero: Es aquel que no tiene denominador literal.
Ejemplo: 3a,
Matemáticas
2x,
2y
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Término fraccionario: Es aquel que contiene en el denominador una literal.
Ejemplo:
𝟐𝐦
𝟑
2.6 Reducción de términos semejantes
Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más
términos semejantes. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir
los tres casos siguientes:
a) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo
Regla 1. Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo
signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplos:
3a + 2a = 5 a
-5b – 7b = -12b
- a2 – 9a2 = - 10 a2
Realiza los siguientes ejercicios:
1. 8a + 9a =
2. -b – 5 b =
3. ax + 3ax + 8ax =
𝟐
4. −𝒙 − 𝟑 𝒙 −
𝟏
𝟔
𝒙
5. x2y – 8x2y – 9x2y – 20x2y =
b) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo
Regla 2. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el
signo de mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo:
2a – 3a = -a
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18x – 11x = 7x
-8ax + 13ax = 5ax
𝟏
𝟐
𝟏
𝒂− 𝒂= − 𝒂
𝟐
𝟑
𝟔
Realiza los siguientes ejercicios:
1. 8a – 6a =
2. 15ab – 9ab =
3. -14xy + 32xy =
4.
5.
𝟏
𝟐
𝟓
𝟔
𝐚−
𝟐
𝟒
𝐚=
𝐚𝟐 𝐛 −
𝟓
𝟏𝟐
𝐚𝟐 𝐛 =
6. 7x2y – 5x2y =
𝟏
7. 4a2 - 𝟑a2 =
c) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos.
Regla 3. Se reducen a un solo término los positivos, se reducen a un solo
término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla
del caso anterior. Ejemplo:
5a – 8a + a – 6a + 21a = 13a
𝟐
𝟏
𝟑
𝟒𝟗 𝟐
− 𝒃𝒙𝟐 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒃𝒙𝟐 − 𝟒𝒃𝒙𝟐 + 𝒃𝒙𝟐 = −
𝒃𝒙
𝟓
𝟓
𝟒
𝟐𝟎
Realiza los siguientes ejercicios:
1. 9a -3a + 65a =
Matemáticas
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2. 12mn – 23mn + 5 mn =
3. 11ab – 15ab + 26ab
4.
5.
𝟐
𝟑
𝟑
𝟖
𝟏
𝒚 + 𝟑 𝒚 − 𝒚=
𝟏
𝒂𝟐 𝒃 + 𝟒 𝒂𝟐 𝒃 − 𝒂𝟐 𝒃 =
6. 7ab + 21ab – ab + 80ab =
7. 105a3 – 464a3 + 58a3 + 301a3 =
3. OPERACIONES CON FRACCIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
3.1. Fracciones y su escritura
Una fracción representa una parte de un número entero. Las fracciones sirven
para dividir un número en partes iguales.
Una fracción con literales, por ejemplo:
𝒂
𝒃
es una fracción algebraica, es decir,
es el cociente de dos expresiones algebraicas. Los términos de una fracción
algebraica, se denomina “numerador” al que ocupa la parte supeior y
“denominador” al que ocupa la parte inferior.
Al igual que las fracciones aritméticas, las algebraicas se fundamentan en
principios como:
Si una fracción algebraica se multiplica y se divide por una misma cantidad,
la fracción no se altera.
𝒂 𝒙
𝒂𝒙
( )( ) = ( )
𝒃 𝒙
𝒃𝒙
Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o se divide por una
cantidad, la fracción queda multiplicada y dividida respectivamente, por dicha
cantidad.
Matemáticas
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𝒂 𝒙
𝒂𝒙
( )( ) = ( )
𝒃 𝟏
𝒃
𝒂
𝒙
( ) ÷ ( )=
𝒃
𝟏
𝒂
𝒙
𝒃
=
𝟏
𝒂
𝒃𝒙
Si el denominador de una fracción algebraica se multiplica o se divide por
una cantidad, la fracción queda dividida y multiplicada respectivamente por
dicha cantidad.
𝒂 𝟏
𝒂
( )( ) = ( )
𝒃 𝒙
𝒃𝒙
𝒂
𝟏
( ) ÷ ( )=
𝒃
𝒙
𝒂
𝟏
𝒃
=
𝒙
𝒂𝒙
𝒃
3.2. Tipos de fracciones
a) Fracción propia. El número de partes examinadas se muestra en la
parte superior y es menor que el entero.
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
𝟒
𝟕
b) Fracción impropia. El numerador más grande indica que las partes
provienen de más de un entero.
𝟒
𝟏𝟏
𝟕
𝟑
𝟒
𝟕
c) Fracción mixta. Un entero combinado con una fracción propia.
𝟐
𝟒
𝟑
𝟑
𝟏𝟏
𝟒
3.3. Conversión de fracciones
Conversión de fracciones impropias en mixtas
Matemáticas
16
𝟐
16 𝟕
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Para convertir una fracción impropia en fracción mixta, se divide el numerador
por el denominador.
Conversión de fracciones mixtas en impropias
Una fracción mixta puede convertirse en fracción impropia multiplicando el
número entero por el denominador y agregando el resultado al numerador.
3.4. Suma y resta de fracciones
a) Suma y Resta de fracciones con el mismo denominador
Para sumar y restar fracciones que tienen el mismo denominador,
sencillamente suma o resta sus numeradores para obtener el resultado. Los
denominadores no cambian.
d) Suma de fracciones con distinto denominador.
Para sumar fracciones con distintos denominadores, debes cambiar una o
ambas fracciones para que tengan el mismo denominador. Para ello hay que
hallar un común denominador.
e) Resta de fracciones con diferentes denominadores
Para restar fracciones con diferentes denominadores, debes hallar un
denominador común.
Nota: Para fracciones algebraicas con denominadores iguales, se procede del mismo
modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o
restan los numeradores.
Ejemplos
Consideremos los siguientes casos
3𝑥 +
14𝑥 + 19 29 𝑥 + 19
=
5
5
Matemáticas
17
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Ciencias Básicas
7𝑎 − 4𝑏 17𝑎 + 19𝑏
−10𝑎 − 23𝑏
−
=
𝑥
𝑥
𝑥
Realice los siguientes ejercicios:
Ejercicios:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
𝟗
𝟓
+
𝐱
𝟒
𝐚𝟐
𝟕
−𝐱=
𝐱
𝟓
−
𝟔𝐱
𝟑𝐱−𝟐
−
𝐚𝟐
𝟒
−
𝟒𝐦
𝟐𝐦+𝟓
𝟑𝐱−𝟐
+
𝟐𝒙−𝟑
𝟐𝒙+𝟏𝟓
𝟗
𝐚𝟐
+
𝟕
𝒂𝟐 −𝟑𝒂−𝟒
=
=
𝟓𝐦+𝟔
𝟐𝐦+𝟓
−
𝟕𝒙+𝟖
𝟐𝒙+𝟏𝟓
+
𝟕𝐦+𝟖
𝟐𝐦+𝟓
=
=
𝟐𝒂−𝟓
𝒂𝟐 −𝟑𝒂−𝟒
=
3.5 Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores
distintos
En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores
distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores
(mínimo común denominador).
Ejemplo:
3𝑥+4𝑦
15𝑥𝑦 2
+
2𝑥−3𝑦
10𝑥 2 𝑦
Calculando el mínimo común denominador
15xy2 = 3 • 5 • x • y2
10x2y = 2 • 5 • x2 • y
Mínimo común denominador = 2 • 3 • 5 • x2 • y2
Como el denominador común es 30x2y2, las fracciones se deben igualar los
denominadores:
Matemáticas
18
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3x+4y
15xy2
+
2x−3y
−
𝑏−6𝑎
2𝑎−𝑏
Ejemplo:
3𝑎−3𝑏
10x2 y
Ciencias Básicas
=
2x(3x+4y)
30x2 y2
+
3(2x−3y)
30x2 y2
=
6x2 +14xy−9y2
30x2 y2
4𝑎−4𝑏
Calculando el mínimo común denominador:
3a-3b = 3 (a-b)
4a – 4b = 4(a-b)
Mínimo común denominador = 3 • 4 (a-b) = 12 (a-b)
2𝑎 − 𝑏
𝑏 − 6𝑎
4(2𝑎 − 𝑏) 3(𝑏 − 6𝑎)
26𝑎 − 7𝑏
−
=
−
=
3𝑎 − 3𝑏 4𝑎 − 4𝑏 12(𝑎 − 𝑏) 12(𝑎 − 𝑏) 12 (𝑎 − 𝑏)
Resolver los siguientes ejercicios:
1.
2.
𝟗
𝟓
𝟓𝐱
𝟔
𝐱𝟐
𝟑
− 𝟐𝐱 + 𝐱
𝟕
+
𝟐𝐱
3. 𝐦 − 𝟐 −
4.
5.
6.
𝟕
𝟐𝐦
𝐱+𝟔
𝟖𝐱
𝟑𝐱
𝟓
𝐦+𝟏
+𝐚+𝟏
𝟐𝐚−𝟑
𝐦−𝟐
𝟓
−
+
−
𝟑𝐦−𝟏
𝟓𝐦
𝟐𝐱+𝟓
𝟏𝟐𝐱
3.6 Multiplicación y División de fracciones
Matemáticas
19
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Las fracciones se pueden multiplicar por otras fracciones. Para multiplicar
fracciones por fracciones mixtas o por números enteros, primero debes
convertirlas a fracciones impropias.
a) Multiplicación de dos fracciones propias
Las fracciones propias se pueden multiplicar entre sí.
b) Multiplicación de fracciones mixtas
Para multiplicar una fracción propia por una mixta primero debes convertir la
fracción mixta a fracción impropia.
c) Multiplicación de fracciones algebraicas
En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las
fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si,
simplificando si es posible. Ejemplo:
3𝑥 2𝑧
6𝑥𝑧
∗
=
7𝑦
𝑤
7𝑦𝑤
3𝑥 2 + 2𝑥𝑦 15𝑥 − 10𝑦
∗
9𝑥 2 − 4𝑦 2
2𝑥
Factorizando y simplificando
𝑥 (3𝑥 + 2𝑦)
5 (3𝑥 − 2𝑦)
∗
= 5/2
(3𝑥 + 2𝑦)(3𝑥 − 2𝑦)
2𝑥
Ejercicios
Resolver el producto de las siguientes fracciones algebraicas
1.
2.
3.
4.
𝟐𝐱𝐲 𝟒
𝟑(𝐚−𝐛)
𝟐𝐱
𝐱−𝟐
𝐱−𝟑
𝟓𝐱 𝟑 𝐲
∗
𝟑𝐚𝟑 𝐛
∗
−𝐱 𝟑 𝐲 𝟒
𝐱𝟒𝐲𝟓
Matemáticas
𝟕𝐚𝐛 𝟒
∗
−𝟏𝟕(𝐚−𝐛)
𝟏𝟗𝐱 𝟐
𝐱−𝟓
𝐱−𝟔
∗
∗
𝐳
𝐰
𝐱𝟕𝐲𝟖
−𝐱 𝟏𝟓 𝐲 𝟑
20
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5.
6.
𝟏𝟐𝐱−𝟑𝐲
∗
𝟏𝟓𝐚+𝟏𝟎𝐛
𝟐𝐱−𝟐𝐲
𝟐𝟏𝐚+𝟏𝟒𝐛
𝟐𝟎𝐱−𝟓𝐲
𝟕𝐱+𝟕𝐲
∗
𝐱 𝟐 −𝐲 𝟐
Ciencias Básicas
∗
𝟒𝟐𝐱−𝟒𝟐𝐲
𝐱−𝐲
𝐱
d) División de dos fracciones propias
Las fracciones propias se pueden dividir por otras haciendo una operación
inversa
Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones
aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de
la fracción divisor. Ejemplo:
3𝑥
9𝑥 2
4𝑦 2
÷
=
5𝑦
20𝑦 3
3𝑥
2𝑥 − 4𝑦
6𝑥 − 12𝑦
÷
=1
5𝑥 + 15𝑦
15𝑥 + 45𝑦
𝑥2 − 𝑦2 ÷
𝑥+𝑦
= 2(𝑥 − 𝑦)2
2𝑥 − 2𝑦
Resolver los siguientes ejercicios:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
𝟑𝟓𝒂𝟑
𝟏𝟖𝒃𝟑
𝟏𝟒𝒂𝒃𝟐
÷
𝒂𝟓 𝒃𝟖 𝒄𝟕
𝒂𝟒 𝒃𝟔 𝒄𝟏𝟎
𝟗𝒃𝟑
𝟐𝟒𝒂𝒃𝟑 𝒙𝟐 𝒚
𝟓𝟒𝒂𝟑 𝒃𝒙𝒚𝟒
𝒂𝟐 𝒃𝒙𝟐
𝒂𝒃𝟑 𝒚𝟑
÷
𝟔𝒙𝟐 +𝟗𝒙𝒚
𝒂𝟑
𝒂𝟑 +𝒂
𝒂𝟐 −𝒂
Matemáticas
÷
𝒂𝟔 𝒃𝟖 𝒄𝟗
÷
𝒂𝟑 𝒃𝟐 𝒄𝟓
÷
𝟗𝒚𝟑
𝒙𝟑
𝟑𝒂𝒙𝟐
𝒃𝟐 𝒚𝟑
÷
𝒂
𝟏𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝟏𝒙𝟐 𝒚
𝒂𝟑 −𝒂𝟐
𝒂𝟐 −𝟐𝒂+𝟏
21
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4. LEYES DE LOS EXPONENTES
Los exponentes también se llaman potencias o índices
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica
el número.En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a
la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"
Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes")
vienen de tres ideas:
El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo
tantas veces
Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo
significa dividir
Un exponente fraccionario como 1/n quiere
decir hacer la raíz n-ésima:
4.1 Leyes de los exponentes
Ley
x1 = x
x0 = 1
x-1 = 1/x
m
x xn = xm+n
xm/xn = xm-n
(xm)n = xmn
(xy)n = xnyn
(x/y)n = xn/yn
x-n = 1/xn
𝒏
x1/n = √𝒙
Matemáticas
Ejemplo
61 = 6
70 = 1
4-1 = 1/4
2
3
x x = x2+3 = x5
x4/x2 = x4-2 = x2
(x2)3 = x2×3 = x6
(xy)3 = x3y3
(x/y)2 = x2 / y2
x-3 = 1/x3
3
x2/3= √𝑥 2
22
𝑛
x1/n = √𝑥
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Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión
natural de exponentes. Mira este ejemplo:
Potencias de 5
52
51
50
5-1
5-2
1×5×5
1×5
1
1÷5
1÷5÷5
25
5
1
0,2
0,04
verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de
un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el
exponente crece (o disminuye).
a) Principio de multiplicación xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces,
despuésotras"n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (x•x) * (x•x•x) = x•x•x•x•x = x5
Así que x2x3 = x(2+3) = x5
b) Principio de división xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m"
veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n"
veces.
Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (x•x•x•x) / (x•x) = x•x = x2
Esta ley también te muestra por qué x0=1
x2/x2 = x2-2 = x0 =1
Matemáticas
23
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c) Principio de potencia (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en
total m×n veces.
Ejemplo:(x3)4 = (x•x•x)4
= (x•x•x)(x•x•x)(x•x•x)(x•x•x) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3)4 = x3*4 = x12
d) Principio de potencia (xy)n = xnyn
Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como se
muestra:
Ejemplo: (xy)3 = (x•y)(x•y)(x•y) = x•y•x•y•x•y =
= xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3
𝑥
(𝑦)3 = (x/y)•(x/y)•(x/y) =
xxx
yyy
=
𝑥3
𝑦3
𝒏
e) Principio de raízxm/n = √𝒙m
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
𝑛
Ejemplo:xm/n = x (m * 𝑛1)= (xm)1/n = √𝑥m
¿Qué pasa si x= 0?
Exponente positivo (n>0)
Exponente negativo (n<0)
Exponente = 0
0n = 0
¡No definido! (Porque dividimos entre 0)
El caso de 00
En el estudio del cálculo diferencial se considera como indeterminado el 0 0
Matemáticas
24
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Ejercicios: Simplifica y escribe utilizando exponentes positivos.
1. x 6
x -10
2. 6x4y7
12x5y-8
3.
(6x10) (3x4)2
4.
4 * 10 -12
6 * 10 4
5. x5/2 + x1/2
5.DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división de polinomios es la operación que consiste en hallar uno de los
factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor,
llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.
5.1Resolución de división de polinomios:
Si
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8
y
Q(x) = x2 − 2x + 1
Para P(x) ÷ Q(x)
a) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomiono es completo
dejamoshuecos en los lugares que correspondan.
x5 + 2x3 − x – 8
x2 − 2x +1
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
b) Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del
divisor.
x5 x2
Matemáticas
x3
25
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c) Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior
y lo restamos del polinomio dividendo:
x5
+2x3
-x
x2 − 2x +1
-8
–x3
-x5 +2x4
2x4 – x3-x
x3
-8
d) Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo
restamos al dividendo.
2x4÷ x2 = 2 x2
x5
+2x3
-x
x2 − 2x +1
-8
–x3
-x5 +2x4
2x4 – x3-x
x3 + 2x2
-8
-2x4+4x3 – 2x2
5x3 – 2x2 – x - 8
Procedemos igual que antes.
5x3÷ x2 = 5 x
x5
+2x3
-x5 +2x4
-x
x2 − 2x +1
-8
–x3
2x4 – x3-x
x3 + 2x2+5x
-8
-2x4+4x3 – 2x2
5x3 – 2x2 – x – 8
-5x3 + 10x2 – 5x
8x2 – 6x – 8
Matemáticas
26
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Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2÷ x2 = 8
x5
+2x3
-x5 +2x4
-x
x2 − 2x + 1
-8
–x3
2x4 – x3-x
x3 + 2x2+5x + 8
-8
-2x4+4x3 – 2x2
5x3 – 2x2 – x – 8
-5x3 + 10x2 – 5x
8x2 – 6x – 8
-8x2 + 16x – 8
10x - 16
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto
no se puede continuar dividiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.
5.2 División sintética (Regla de Ruffini).
Para explicar los pasos a aplicar en la división sintética vamos a tomar de
ejemplo la división:
(x4 − 3x2 + 2 ) ÷ (x − 3)
a) Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos
que faltan con ceros.
b) Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
c) Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independen diente
del divisor.
d) Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
Matemáticas
27
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1
0
-3
Ciencias Básicas
0
2
3
.
1
e) Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del
siguiente término.
1
3
0
-3
0
2
3
.
1
f) Sumamos los dos coeficientes.
1
3
0
-3
0
2
3
1
.
3
g) Repetimos el proceso anterior.
1
3
1
0
-3
3
9
3
6
0
2
.
Volvemos a repetir el proceso.
1
3
1
Matemáticas
0
-3
0
3
9
18
3
6
18
2
.
28
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Ciencias Básicas
Volvemos a repetir.
1
3
1
0
-3
0
2
3
9
18
54
3
6
18
56
.
h) El último número obtenido, 56, es el resto.
i) El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo
y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
Ejemplo:
(x5 − 32)÷(x − 2)
1
2
1
0
0
0
0
-32
2
4
8
16
32
2
4
8
16
0
.
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16
R=0
Ejercicios división de polinomios
Dividir:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) ÷ (x2 + 3x − 2)
(x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) ÷ (x2 − x + 3)
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
3
(x + 2x + 70) ÷ (x + 4)
(x5 − 32) ÷ (x − 2)
(x4 − 3x2 + 2 ) ÷ (x −3)
Matemáticas
29
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Indica cuáles de estas divisiones son exactas:
1.
2.
3.
4.
5.
(x3 − 5x −1) ÷ (x − 3)
(x6 − 1) ÷ (x + 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) ÷ (x − 1)
(x10 − 1024) ÷ (x + 2)
( x4 − 3x2 + 2) ÷ (x − 3)
6. PRODUCTOS NOTABLES
Se conoce como producto notable a ciertos productos que cumplen reglas fijas
y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar
la multiplicación.
6.1 Binomio al cuadrado
El cuadrado del primero, mas-menos (±) el doble producto del primero por el
segundo, más el cuadrado del segundo.
(𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Ejemplo:
Desarrollar:
(𝟒𝒂𝟐 − 𝟑𝒃𝟑 )𝟐 = (𝟒𝒂𝟐 )𝟐 − (𝟐)(𝟒𝒂𝟐 )(𝟑𝒃𝟑 ) + (𝟑𝒃𝟑 )𝟐 =
𝟏𝟔𝒂𝟒 − 𝟐𝟒𝒂𝟐 𝒃𝟑 + 𝟗𝒃𝟔
Ejercicios
Resuelve los siguientes binomios al cuadrado.
1. (𝒂 − 𝟑)𝟐
𝟔. (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝟐
2. (𝟓 + 𝒙)𝟐
𝟕. (𝒙𝟓 − 𝟑𝒂𝒚𝟐 )𝟐
3. (𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝒚𝟓 )𝟐
𝟖. (𝒂𝒙 + 𝒃𝒙+𝟏 )𝟐
4. (𝟑𝒂𝟑 + 𝟖𝒃𝟒 )𝟐
𝟗. (𝒙𝒂+𝟏 − 𝟑𝒙𝒂−𝟐 )𝟐
5. (𝒙𝒎 − 𝒚𝒏 )𝟐
𝟏𝟎. (𝟖𝒙𝟐 𝒚 + 𝟗𝒎𝟑 )𝟐
Matemáticas
30
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6.2 Binomio al cubo
El cubo del primer término más-menos el triple producto del cuadrado de la
primera por la segunda, más el triple producto de la primera por el cuadrado
de la segunda, más- menos el cubo del segundo término
(𝒂 ± 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 ± 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 ± 𝒃𝟑
Ejemplo:Desarrollar:
(𝒙𝟐 − 𝟑𝒚 )𝟑 = (𝒙𝟐 )𝟑 + (𝟑)(𝒙𝟐 )𝟐 (−𝟑𝒚) + (𝟑)(𝒙𝟐 )(−𝟑𝒚)𝟐 +(−𝟑𝒚)𝟑 =
𝒙𝟔 − 𝟗𝒙𝟒 𝒚 + 𝟐𝟕𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟐𝟕𝒚𝟑
Ejercicios
Resuelve los siguientes binomios al cubo.
1. (𝒂 + 𝟐)𝟑
𝟔. (𝟒𝒙 + 𝟗𝒚)𝟑
2. (𝒙 − 𝟏)𝟑
𝟕. (𝟏𝟐𝒙𝟒 − 𝟓𝒂𝒚𝟓 )𝟑
3. (𝟕𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚𝟐 )𝟑
𝟖. (𝒂𝒙 + 𝒃𝒙+𝟐 )𝟑
4. (𝟖𝒂𝟓 + 𝟔𝒄𝒃𝟑 )𝟑
𝟗. (𝒙𝒂+𝟏 − 𝟒𝒙𝒂−𝟐 )𝟑
5. (𝒙𝒎 − 𝒚𝒏 )𝟑
𝟏𝟎. (𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒎𝟒 )𝟑
6.3 Binomio Conjugado
El producto de la suma de dos números (𝒂 + 𝒃) por diferencia (𝒂 − 𝒃).
El cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término
Ejemplo:
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = (𝒂 ∗ 𝒂) + (𝒂 ∗ (−𝒃)) + (𝒂 ∗ 𝒃) + (𝒃 ∗ (−𝒃)) =
𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 − 𝒃𝟐 =
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
Matemáticas
31
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Ejercicios
Resuelve los siguientes binomios conjugado
𝟐𝒎𝟐 𝟒𝒏𝟑 𝟐𝒎𝟐 𝟒𝒏𝟑
𝟕. (
+
)(
−
)
𝟑
𝟓
𝟑
𝟓
𝟏. (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)
𝟐. (𝟒𝒂𝟐 + 𝟓𝒃)(𝟒𝒂𝟐 − 𝟓𝒃)
𝟑. (𝟖𝒎𝒛𝟑 + 𝟔𝒏𝟒 )(𝟖𝒎𝒛𝟑 − 𝟔𝒏𝟒 )
𝟒. (𝟑𝒙𝒏+𝟏 + 𝟕𝒚𝒏 )(𝟑𝒙𝒏+𝟏 − 𝟕𝒚𝒏 )
𝟓. (𝟏𝟐𝒚𝟑 + 𝟏𝟎𝒛𝟑 )(𝟏𝟐𝒚𝟑 − 𝟏𝟎𝒛𝟑 )
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝟔. (𝟓𝒚 + 𝟑𝒙 )(𝟓𝒚 − 𝟑𝒙 )
𝟒
𝟓
𝟒
𝟓
𝟖. ( 𝒂𝟐 + 𝒃) ( 𝒂𝟐 − 𝒃)
𝟓
𝟗
𝟓
𝟗
𝟑
𝟑
𝟗. (𝟗𝒚𝟑 + ) (𝟗𝒚𝟑 − )
𝟐
𝟐
𝟕
𝟒
𝟕
𝟒
𝟏𝟎. ( 𝒙𝒚𝒏+𝟑 + 𝒙𝒏−𝟐 𝒚) ( 𝒙𝒚𝒏+𝟑 − 𝒙𝒏−𝟐 𝒚)
𝟖
𝟕
𝟖
𝟕
6.4 Binomio con término común
El producto notable de dos binomios con un término común se caracteriza
por tener un mismo término en ambos binomios.
El cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes
multiplicado por el término común más el producto de los términos no
comunes.
Ejemplo:
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = (𝒙 ∗ 𝒙) + (𝒙 ∗ 𝒃) + (𝒂 ∗ 𝒙) + (𝒂 ∗ 𝒃) =
𝒙𝟐 + 𝒙𝒃 + 𝒂𝒙 + 𝒂𝒃 =
𝒙𝟐 + 𝒙(𝒃 + 𝒂) + 𝒂𝒃
Ejercicios
Resuelve los siguientes binomios con término común
𝟏. (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)
𝒂
𝒂
𝟕. ( − 𝟐𝒃) ( − 𝟔𝒃)
𝟒
𝟒
𝟐. (𝒎 − 𝟓)(𝒎 − 𝟑)
𝟑
𝟓
𝟑
𝟓
𝟑. (𝟖𝒛 + 𝟑𝒏 )(𝟖𝒛 − 𝟔𝒏 )
𝟒. (𝒙𝒏 + 𝟒)(𝒙𝒏 − 𝟓)
𝟑
𝟑
𝟖. ( 𝒑𝟐 + 𝒒) ( 𝒑𝟐 − 𝟒𝒒)
𝟕
𝟕
5. (6x2-2y)(6x2-7y)
𝟓𝒚𝟒 𝟏𝟎 𝟓𝒚𝟒
𝟗. (
+ )(
+ 𝟓)
𝟕
𝟏𝟕
𝟕
𝟔. (𝒚𝒙 + 𝟏𝟐)(𝒚𝒙 − 𝟏𝟓)
𝟏𝟎. (𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟔) (𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝟑)
Matemáticas
32
𝒏
𝒏
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6.5 Binomios con términos semejantes
El producto de términos semejantes más, el producto de los términos de los
medios más, el producto de los extremos más, el producto de los términos no
común.
Ejemplo:
(𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟒) = (𝟑𝒙 ∗ 𝟐𝒙) + (𝟑𝒙 ∗ 𝟒) + (𝟐 ∗ 𝟐𝒙) + (𝟐 ∗ 𝟒) =
𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟖 =
𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟖
Ejercicios
Resuelve los siguientes binomios con término semejante
𝟏. (𝟓𝒙 + 𝟒)(𝟑𝒙 − 𝟐)
𝟐. (𝟖𝒙 − 𝟓)(𝒙 − 𝟐)
𝟑. (𝟑𝒙𝟐 𝒚 + 𝟓𝒛)(𝟖𝒙𝟐 𝒚 − 𝟔𝒘)
𝟒. (𝒙𝒏+𝟓 + 𝟗)(𝟐𝒙𝒏 − 𝟒)
𝟑
𝟓. (𝒙𝟐 − 𝒚)(𝟔𝒙𝟐 − 𝒚)
𝟒
𝟕
𝟏
𝟏𝟑
𝟕. ( − 𝟖𝒃) ( − 𝒃)
𝟑
𝟒
𝟓
𝟏
𝟖. ( 𝒌𝟔 + 𝒎) ( 𝒌𝟔 − 𝟔𝒎)
𝟕
𝟏𝟐
𝟗. (𝟑𝒛𝟐𝒔 +
𝟏
) (𝟔𝒛𝟐𝒔 + 𝟑)
𝟏𝟓
𝟏𝟎. (𝟏𝟓𝒙𝒚𝟒 + 𝟏𝟑𝒛)(𝟐𝟗𝒙𝒚𝟒 + 𝟐𝟑)
𝟕
𝟔. (𝟓𝒚𝒙+𝟐 + 𝟏)(𝒚𝒙+𝟐 − 𝟏𝟎)
6.6 Aplicación de productos notables
Resuelve los siguientes problemas de productos notables.
1. Un fabricante de pelotas de plástico inflables, las construye de
diferentes tamaños y con un espesor en su pared de 2mm. Si x es el
radio inferior en la pelota, encuentra una expresión algebraica en
términos de x que proporcione el volumen del plástico utilizado para
construir cada pelota.
Matemáticas
33
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2. Un depósito para agua de un inodoro tiene forma de un prisma
rectangular y está construido con cerámica de 1 cm de espesor. Si las
dimensiones exteriores son de x cm de ancho, su largo es el doble de
su ancho y su altura es el triple de su ancho, encontrar una ecuación en
términos de x que represente el volumen de cerámica utilizado en la
construcción del depósito.
3. Un tubo de concreto para drenaje de 2m de largo tiene 3 cm de espesor
de pared. Si x es el radio exterior, encuentra una expresión algebraica
en términos de x que proporcione el volumen de concreto utilizado para
construir dicho tubo.
4. Un vaso cilíndrico de vidrio tiene 4mm de espesor, tanto en el fondo
como en sus paredes. Si x representa su radio interior, y tiene 150 mm
de profundidad(sin contar la base), encuentre una expresión algebraica
en términos de x que represente el volumen de vidrio utilizando la
construcción del vaso.
7. FACTORIZACIÓN
La factorización es un proceso matemático que se realiza con el objetivo de
modificar expresiones algebraicas convirtiéndolas en otras que sean
equivalentes. Factorizar significa encontrar factores que puedan originar una
cantidad.
7.1 Factor Común
La trasformación de una suma algebraica en términos de factores aplicando la
propiedad distributiva.
Matemáticas
34
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Se reconoce por que tiene una literal en común en ambos términos
a) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer
factor.
b) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto
viene a ser el segundo factor.
Ejemplo:
𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒄𝒙 = 𝒙(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)
𝒙(𝒂 + 𝒃) − 𝒚(𝒂 + 𝒃) + 𝒛(𝒂 + 𝒃) =
(𝒂 + 𝒃)(𝒙 − 𝒚 + 𝒛)
Ejercicios
Factoriza las siguientes funciones
𝟐 (𝟑𝒂
𝟐 + 𝟐𝒃𝟐− 𝟒𝒄) − 𝟗𝒙𝟐 (−𝟓𝒂 + 𝟑𝒃 − 𝟔𝒄)]
𝟏. (𝟏𝟓𝒂𝟐 𝒃𝒄𝟑𝟕.+[𝟗𝒙
𝟏𝟖𝒂
𝒃 − 𝟗𝒂 𝒄)
𝟖𝒎𝟑 𝟒𝒎𝟐 𝟏𝟔𝒎
𝟐. (
+
−
)
𝟑
𝟗
𝟐𝟏
𝟑. (𝟐𝟒𝒚𝟑 − 𝟑𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟖𝒚)
𝟖𝒕𝟐 𝟏𝟐𝒕 𝟏𝟔
𝟒. (−
+
− )
𝟖
𝟐𝟓 𝟏𝟓
𝟖. (𝟐𝟖𝟎𝒎𝟔 𝒏𝟑 𝒔𝟓 − 𝟏𝟐𝟎𝒎𝟕 𝒏𝟒 𝒔𝟑 + 𝟓𝟒𝟎𝒎𝟓 𝒏𝟐 𝒔𝟗 )
𝟗. [𝒂𝟐 (𝒙 − 𝒚)𝟑 − 𝒃𝟐 (𝒙 − 𝒚)𝟐 + 𝒄(𝒙 − 𝒚)]
𝟏
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏𝟎. ( 𝒂𝟐 + 𝒃) ( 𝒙𝟐 ) + ( 𝒂𝟐 + 𝒃) ( 𝒚)
𝟑
𝟓
𝟓
𝟑
𝟓
𝟓
𝟑
𝟏𝟑 𝒛+𝟓 −𝟒
𝟓. ( 𝒙𝒛+𝟐 𝒚−𝟐 +
𝒙 𝒚 )
𝟕
𝟐𝟒
𝟔. [(𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒚)(𝒂 − 𝒃) − (−𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒚)(𝒂 − 𝒃) − (𝒙𝟐 − 𝒚)(𝒂 − 𝒃)]
7.2 Factorización por agrupación
Cuando se tienen polinomios cuyos términos no contienen el mismo factor
común pero algunas literales se repiten en el.
Matemáticas
35
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Ejemplo:
𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚
𝒂𝒈𝒓𝒖𝒑𝒂𝒏𝒅𝒐 (𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚) + (𝟒𝒙 − 𝟖𝒚)
𝟐𝒙(𝒙 − 𝟐𝒚) + 𝟒(𝒙 − 𝟐𝒚)
= (𝒙 − 𝟐𝒚)(𝟐𝒙 + 𝟒)
Ejercicios
Factoriza las siguientes funciones
.(
𝟏. (−𝟓𝒂𝟐 + 𝟑𝒂𝒙 − 𝟏𝟎𝒂 + 𝟔𝒙)
+
−
−
)
𝟐. (𝟖𝒂𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝒂𝒚 − 𝟏𝟓𝒚)
𝟕. (−𝟐𝒂𝒎 + 𝟔𝒃𝒏 − 𝟗𝒄𝒏 + 𝟓𝒅𝒎 − 𝟑𝒏)
𝟑. (𝟏𝟐𝒂𝒙 − 𝟔𝒂 + 𝟐𝟎𝒃𝒙 − 𝟏𝟎𝒃)
𝟖. (𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 − 𝒄𝒙 + 𝒅𝒙 − 𝒆𝒚)
𝟒. (𝒂𝒙𝟐 + 𝒂𝒚𝟐 − 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒚)
𝟗. (𝒎𝟐 − 𝒃𝟐 + 𝒎 − 𝒃𝟐 𝒎)
𝟓. (𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟒𝒂 − 𝟑𝒃 + 𝟏)
𝟏𝟎. (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚)
6.3 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Identificación de un trinomio cuadrado perfecto
a) El primer término y el tercero deben tener raíces cuadradas exactas.
b) El segundo término debe ser el doble del producto de la raíz cuadrada
del primer y tercer término.
La factorización del trinomio cuadrado perfecto una vez identificado consiste
en los siguientes pasos:
Matemáticas
36
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a) Se extrae la raíz cuadrada del primer término del trinomio y la del
tercero.
b) Con estas raíces se forma un binomio que tendrá el signo del segundo
término del trinomio.
c) Este binomio será la raíz cuadrada del trinomio, por lo que deberá
expresarse multiplicando por si mismo o elevado al cuadrado para que
sea igual al trinomio cuadrado perfecto dado.
Ejemplo:
𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟗𝒚𝟐

√𝟒𝒙𝟒 =2𝒙𝟐 √𝟗𝒚𝟐 = 𝟑𝒚
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒏𝒅𝒐 𝟐(𝟐𝒙𝟐 )(𝟑𝒚) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒚
= (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒚)𝟐
Ejercicios
Factoriza las siguientes funciones
𝟏. (𝟏𝟔𝒎𝟔 − 𝟐𝟒𝒎𝟑 𝒚𝟐 + 𝟗𝒚𝟒 )
𝟐. (𝟓𝟎𝒂𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒂𝒙𝒚 + 𝟐𝒂𝒚𝟐 )
𝟒
𝟒 𝟐
𝟏
𝟑. ( 𝒂𝟒 +
𝒂 𝒃 + 𝒃𝟐 )
𝟐𝟓
𝟏𝟓
𝟗
𝟗
𝟖
𝟏𝟔
𝟔. ( 𝒚𝟔 − 𝒚𝟑 + )
𝟐𝟓
𝟓
𝟗
𝟕. (𝒙𝟔 −
𝟏𝟎 𝟑 𝟐 𝟐𝟓 𝟒
𝒙 𝒚 +
𝒚 )
𝟕
𝟒𝟗
𝟖. (𝟓𝟎𝒙𝟔 + 𝟔𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟖)
𝟑𝟔
𝟒. (𝟏𝟔𝒂𝟐 𝒙 − 𝟔𝒂𝒃𝟐 + 𝟔𝟒 𝒃𝟒 𝒙)
𝟓. (𝟒𝒂𝟒 𝒃𝟔 + 𝟏𝟐𝒂𝟐 𝒃𝟑 𝒙𝟑 𝒚 + 𝟗𝒙𝟔 𝒚𝟐 )
Matemáticas
𝟗. (𝒂𝟒 + 𝟒𝒂𝟐 𝒃 + 𝟒𝒃𝟐 )
𝟏𝟎. (𝟑𝒂𝟔 𝒃𝟒 𝒄𝟐 + 𝟏𝟐𝒂𝟑 𝒃𝟑 𝒄𝒙𝟐 𝒚 + 𝟏𝟐𝒙𝟒 𝒚𝟐 )
37
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7.4 Factorización por el cubo perfecto de un binomio
Se extrae la raíz cúbica al primer y cuarto términos, con las raíces formamos
un binomio; separando las raíces con (+) si todos los términos del cubo son
positivos y con ( - ) si los términos del cubo son alternadamente positivos y
negativos; el binomio formado se eleva al cubo.
Ejemplo:
𝟐𝟕𝒂𝟑 − 𝟓𝟒𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝟔𝒂𝒃𝟐 − 𝟖𝒃𝟑
𝟑
√𝟐𝟕𝒂𝟑 = 𝟑𝒂
𝟑
− √𝟖𝒃𝟑 = −𝟐𝒃
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒏𝒅𝒐 𝟑(𝟑𝒂)𝟐 (−𝟐𝒃) = −𝟓𝟒𝒂𝟐 𝒃
𝟑(𝟑𝒂)(−𝟐𝒃)𝟐 = 𝟑𝟔𝒂𝒃𝟐
(𝟑𝒂 − 𝟐𝒃)𝟑
Ejercicios
Factoriza las siguientes funciones
𝟏𝟒𝟒 𝟒 𝟏𝟎𝟖 𝟐
𝟐𝟕
𝒙 +
𝒙 −
)
𝟓
𝟐𝟓
𝟏𝟐𝟓
𝟏. (𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏)
𝟕. (𝟔𝟒𝒙𝟔 −
𝟐. (𝟖 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 )
𝟏
𝟏
𝟐
𝟖
𝟖. ( 𝒂𝟑 + 𝒂𝟐 + 𝒂 + )
𝟖
𝟐
𝟑
𝟐𝟕
𝟑. (𝒂𝟔 − 𝟗𝒂𝟒 + 𝟐𝟕𝒂𝟐 + 𝟐𝟕)
𝟒. (𝟖𝒂 − 𝟏𝟐𝒂 𝒃 + 𝟔𝒂𝒃 − 𝒃 )
𝟏𝟐𝟓 𝟔
𝟒𝟎 𝟐 𝟔 𝟔𝟒 𝟗
𝟗. (
𝒂 − 𝟐𝟓𝒂𝟒 𝒃𝟑 +
𝒂 𝒃 −
𝒃 )
𝟖
𝟑
𝟐𝟕
𝟓. (𝟔𝟒𝒙𝟔 𝒚𝟑 − 𝟗𝟔𝒙𝟒 𝒚𝟐 𝒛 + 𝟒𝟖𝒙𝟐 𝒚𝒛𝟐 − 𝟖𝒛𝟑 )
𝟏𝟎. (𝒙𝒚𝟏𝟓 − 𝟑𝒙𝒚𝟏𝟎 𝒛𝟔 + 𝟑𝒙𝒚𝟓 𝒛𝟏𝟐 − 𝒙𝒛𝟏𝟖 )
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟔. (𝟐𝟕𝒂𝟔 𝒃𝟗 + 𝟐𝟕𝒂𝟒 𝒃𝟔 + 𝟗𝒂𝟐 𝒃𝟑 + 𝟏)
Matemáticas
38
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6.4 Factorización por diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados, es
decir, es el resultado de multiplicar un la suma de dos monomios por la
diferencia de los mismos.
Ejemplo:
𝟏𝟔𝒎𝟐 − 𝟐𝟓𝒏𝟐
√𝟏𝟔𝒎𝟐 = 𝟒𝒎
√𝟐𝟓𝒏𝟐 = 𝟓𝒏
= (𝟒𝒎 + 𝟓𝒏)(𝟒𝒎 − 𝟓𝒏)
Ejercicios
Factoriza las siguientes funciones
𝟏. (𝟒𝟗𝒙𝟖 − 𝟖𝟏𝒚𝟔 )
𝟐. (𝟖𝒎𝟐 − 𝟐𝒏𝟐 )
𝟏
𝟏𝟔 𝟐
𝟑. ( 𝒂𝒙𝟒 −
𝒂𝒚 )
𝟒
𝟒𝟗
𝟒 𝟔
𝟒. (𝟑𝟔𝒂 𝒃 − 𝟔𝟒)
𝟓. (𝟏𝟖𝒎𝟐 − 𝟓𝟎𝒏𝟐 )
𝟏
𝟒 𝟔
𝟔. (𝟔𝟒𝒙𝟖 𝒚𝟒 − 𝟏)𝟕. ( 𝒂𝟒 −
𝒃 )
𝟒
𝟐𝟓
𝟒
𝟏
𝟖. ( 𝒙𝟔 − 𝒚𝟒 )
𝟒𝟗
𝟗
𝟗. (𝟐𝟓𝒎𝟔 (𝒙 − 𝒚) − 𝟑𝟔𝒏𝟒 (𝒙 − 𝒚))
𝟏𝟎. (𝟗𝒂 − 𝟒𝒂𝒎𝟏𝟎 )
6.5 Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
a) El primer término de ambos factores es la raíz cuadrada del primer
término del trinomio dado.
Matemáticas
39
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b) Los dos términos que faltan, uno en cada binomio, deben cumplir las
condiciones siguientes:
a. El producto de ambos debe ser igual al tercer término del
trinomio dado, c, y la suma algebraica de ambos debe ser igual
al coeficiente del segundo término del trinomio, b.
Ejemplo:
𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔
√𝒙𝟐 = 𝒙
(𝒙 ⋯ ⋯ )(𝒙 ⋯ ⋯ )
( )( ) = 𝟔 , ( ) + ( ) = 𝟓
Dos números cuyo
producto sea +6 y su
suma +5
= (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐)
Ejercicios
Factoriza las siguientes funciones
𝟏. (𝒂𝟐 + 𝟗𝒂 + 𝟐𝟎)
𝟔. (𝒚𝟔 + 𝟏𝟓𝒚𝟐 − 𝟒)
𝟐. (𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟓)
𝟕. (𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟐)
𝟑. (𝒎𝟐 − 𝟖𝒎 + 𝟏𝟓)
𝟖. (𝒚𝟐 − 𝟏𝟏𝒚 + 𝟐𝟒)
𝟒. (𝒃𝟐 + 𝒃 − 𝟐𝟎)
𝟗. (𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 − 𝟒𝟓)
𝟓. (𝒏𝟐 − 𝟏𝟒𝒏 + 𝟒𝟓)
𝟏𝟎. (𝒂𝟐 − 𝟏𝟒𝒂 + 𝟒𝟓)
Matemáticas
40
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6.6 Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Son productos de un par de binomios con terminos semejantes , es decir que
tiene la misma lateral, pero su coeficiente puede ser diferente.
Ejemplo:
𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑
(−𝟑 )(−𝟓 ) = 𝟏𝟓, (−𝟑 ) + (−𝟓 ) = −𝟖
𝟓𝒙𝟐 + (−𝟑 − 𝟓)𝒙 + 𝟑
𝒔𝒆 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐
𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟑
𝒔𝒆 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒏 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐
(𝟓𝒙𝟐 − 𝟓𝒙) + (−𝟑𝒙 + 𝟑) 𝒑𝒐𝒓 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏
𝟓𝒙(𝒙 − 𝟏) + 𝟑(−𝒙 + 𝟏)
𝟓𝒙(𝒙 − 𝟏) − 𝟑(𝒙 − 𝟏) 𝒑𝒐𝒓 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏
= (𝟓𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟏)
Ejercicios
Factoriza las siguientes funciones
𝟏. (𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟕)
𝟔. (𝟐𝒚𝟐 − 𝒚 − 𝟔)
𝟐. (𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟑)
𝟕. (𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟖𝒙 − 𝟏𝟎)
𝟑. (𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟓)
𝟖. (𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐𝟒)
𝟒. (𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 + 𝟒)
𝟗. (𝟐𝒚𝟐 + 𝟏𝟏𝒚 + 𝟏𝟒)
𝟓. (𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟔)
𝟏𝟎. (𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 + 𝟏𝟎)
Matemáticas
41
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7.8 Aplicación de la integral
1. Las expresiones 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 𝐲𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 representan el area de un
rectangulo . a)¿Tiene la misma forma? , b)¿Qué dimensiones tiene
cada uno de los cuadrilateros?, c)¿Cuál seria el área de cada uno de
ellos si en ambos casos x=3 metros?
2. Presentar la expresión 𝟒𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 el área de un rombo o un romboide?
8. RADICALES
𝑛
Un radical es una expresión de la forma √𝑎 que representa la raíz enésima de
“a” llamada radicando o subradical, “n” es el índice del radical y no suele
escribirse en caso de ser 2 y el símbolo √
es el signo radical.
Definición de 𝑛√𝑎. Sean n un entero positivo mayor de 1 y a un número real.
𝑛
(1)
Si a = 0, entonces √𝑎 = 0.
(2)
Si a > 0, entonces √𝑎 es el número positivo b tal que 𝑏 𝑛 = 𝑎.
(3)
(a) Si a < 0 y n es impar, entonces √𝑎 es el número real negativo
𝑛
𝑛
b tal que 𝑏 𝑛 = a.
(b) Si a < 0 y n es par, entonces no es un número real.
Ejemplos:
1) √9 = 3, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 32 = 9
5
1
2) √32 =
1
1 5
, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (2) =
2
1
32
3
3) √−27 = −3, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−3)3 = −27
2
4) √−9 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
Matemáticas
42
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8.1 Leyes y Propiedades de los Radicales
LEY
EJEMPLO
𝑚
𝑛
1
2
3
𝑛
2
2
𝑛
(1) 𝑎 = √𝑎𝑚 = ( √𝑎)𝑚 52 = √5 = ( √5)3 ; 𝑥 3 = √𝑥 2 = ( 3√𝑥)2
𝑛
𝑛
(2) √𝑎𝑛 = ( √𝑎)𝑛 = 𝑎
𝑛
3
√73 = ( 3√7)3 = 7
𝑛
𝑛
(3) √𝑎𝑏 = √𝑎 √𝑏
𝑛
𝑎
(4) √𝑏 =
𝑛
√𝑎
√𝑏
𝑚
3
3
7
√7
√7
√ = 3
=
27
3
√27
3
𝑛
𝑛
(5) √ √𝑎 =
√(2)(16) = √2√16 = √2(4) = 4√2
𝑚𝑛
√𝑎
PRECAUCION
2 3
√ √64 = 6√64 = 6√26 = 2
Si a≠0 y b≠0
Ejemplo
(1)√𝑎2 + 𝑏 2 ≠ 𝑎 + 𝑏
√32 + 42 = √25 = 𝟓 ≠ (3 + 4 = 7)
(2)√𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏
√4 + 9 = √13 ≠ (√4 + √9 =5)
9. SIMPLIFICACION Y OPERACIONES CON RADICALES
9.1 Simplificación de Radicales
El exponente fraccionario y las leyes de radicales se utilizan para hacer
algunos cambios en los radicales, como son:Simplificación del radicando,
Introducir un factor al radical, Racionalización del denominador o numerador,
Expresar un radical como otro de orden (índice) menor.
Simplificación del radical
Para simplificar un radical, se descompone o factoriza el radicando en factores
cuyos exponentes sean múltiplos del índice. Las raíces de estos factores se
escriben fuera del radical y los factores “sobrantes” forman el nuevo radicando.
Ejemplos. Simplificación del radical
(a) 3 320 (b) 3 16 x3 y8 z 4 (c)
Matemáticas
3a 2b3 6a5b
43
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Solución
(a)
3
320  3 64 5 = 3 43 3 5 = 4 3 5
(b)
3
16 x3 y8 z 4  3 (23 x3 y 6 z 3 )(2 y 2 z )  3 (2 xy 2 z )3 (2 y 2 z )  3 (2 xy 2 z )3 3 2 y 2 z  2 xy 2 z 3 2 y 2 z
3a 2b3 6a5b  3a 2b3 (2)(3)a 5b
(c)
 (32 a 6b 4 )(2a)  (3a3b2 ) 2 (2a)  (3a3b2 ) 2 2a  3a3b2 2a
Ejemplo. Simplificación de potencias racionales
(a)
 27  3  4 
52

2
52
(b)
 r 2 s6 
 2 x 3   3x  6 
(c)  1   1 
2
3
 y  y 
5
2
1
3
Solución:
(a)
 27   4 
(b)
r s 
2
2 6
3
1
3

 r2 
 2 x 3   3x  6
(c)  1   1
2
3
 y  y
3
27
s 
6
1
3
  4
2
5
  3  2 
2
 3

5
2

5
2
9
32
 r 3 s2
2
  4 x 3   3x  6

  13
  y  y
5
2
1
3
5
4
  4 3 x 3  6 12 x 6  6 12 x 2

 4

1  13 
4
y
y3
y
3

4
5
8
5
1
Ejemplo. Combinación de radicales
Cambia una expresión que contenga un radical de la forma n a m :
4
(a) 3 a a
(b)
3
a
a2
Solución
(a)
3
a a  a 3 a 2  a(
Matemáticas
1
1
1
1
3 )( 2 )
 a 6  6 a5
5
44
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4
(b)
3
a
a2
Ciencias Básicas
1

a4
1
2
5
1
1
 a ( 4 )( 3 )  a  12  5 
2
a3
a 12 12 a5
Simplifica los siguientes radicales:
1.
6
4.
7.
3
121
2.
64
3.
64
5.
18
6. 3 3 108
75
8.
200
9.
3
64
(800)(270)
Reduce el orden de los siguientes radicales y simplifícalos:
1.
4
45
2.
6
125
3.
4
64
4.
12
64
5.
4
9x6 y 2
6.
6
27x3 y 6
7.
8
64x 4 y 2
8.
19
32x5 y15
9.2 Adición y Sustracción de Radicales
Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice de
la raíz y el mismo radicando, sólo difieren en el signo y el coeficiente.
Para efectuar operaciones de suma y resta algebraica de radicales,
previamente los radicales deben simplificarse. La suma algebraica de
radicales semejantes es un radical del mismo grado, cuyo coeficiente resulta
de suma algebraica de los coeficientes numéricos.
En los siguientes ejemplos, se muestra la suma de radicales semejante:
Matemáticas
45
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a) 3√2 + 5√2 = 8√2
b)
14
√3
2
+
14
√3
3
=
54
√3
6
c) √5 − 6√5 + 2√5 = −3√5
d) √50𝑥 5 + 2𝑥√32𝑥 3 = 5𝑥 2 √2𝑥 + 8𝑥 2 √2𝑥 = 13𝑥 2 √2𝑥
Realiza las operaciones indicadas y simplifica tus resultados:
1.
3.
3
3  12  27
2.
2  3 16  3 54
4.
5. 2 3  5 3  27
7.
9.
4
20  45  80
3
5  3 40  3 320
6. 2 5  3 250  3 432
9  12  3 24
8.
8x 2 y  18 y 3  y 50 y
10.
6
8  34 4  8
20 x3  45xy 2  2 x 45x
9.3 Multiplicación de Radicales
Cuando se tienen radicales del mismo índice, se utiliza la ley de los radicales:
𝑛
𝑛
𝑛
√𝑎 √𝑏 = √𝑎𝑏
Cuando se tienen radicales de distinto índice:
En este caso, los radicales se reducen al mínimo común índice y se multiplican
como en el caso descrito anteriormente.
La reducción de los radicales al mínimo común índice requiere obtener el
mínimo común múltiplo (m.c.m) de los índices, que será el índice común;
Matemáticas
46
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posteriormente, se eleva la cantidad del subradical a la potencia que resulta
de dividir el índice común entre el índice del subradical.
Para multiplicar un radical por una expresión que contiene más de un término
o dos expresiones radicales, cada una con más de un término, se aplica la
metodología o proceso empleado en la multiplicación de polinomios.
Ejemplo:
a) √2√6 = √2(6) = 2√3
b) √2 (√𝑥 − √6 = √2𝑥 − 2√3
c) (√6 + √3) (√6 − √3) = 6 − 3 = 3
Realiza las operaciones indicadas y simplifica tus resultados:
1.

2 3

2 3

2.

2 2 3 3 2  3
3.

5 2

5 2

4.

7 3 5 2 7  5
5.
 6  5 6  5 
6.
5  2 3 5  3 3 
7.

8.

2 3 5

2 3 5





7 5 3

7 5 3

9.4 División de Radicales
Cuando se tienen radicales del mismo índice, se utiliza la ley de los radicales.
Cuando se tienen radicales de diferente índice: Se expresan los radicales en
forma exponencial, y posteriormente se aplican las propiedades de los
exponentes. Y se lleva a cabo la racionalización.
Matemáticas
47
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Ciencias Básicas
Ejemplo:
4
4
a
1
a
a4
1
2
5
1
1
Solución: (a)
(a)
 2  a ( 4 )( 3 )  a  12  5 
3
12
3 2
3 2
12 5
a
a
a
a
a
Realiza las operaciones indicadas y simplifica tus resultados:
2.
192
3
108
5.
3
4.
6
8a 3 y 9
4
4a 6 y 2
7.
3
3
27
12
1.
40
3
135
3.
12a 3b5
6.
75ab 2
24
3
576
27a5b 4
48a3b
10. RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR
Es un procedimiento que consiste en transformar una fracción que contiene un
radical en el denominador en otra fracción equivalente que no contenga ningún
radical en el denominador.
Casos:
Caso 1. Cuando es una fracción cuyo denominador es un radical monomio En
este caso, se multiplica el numerador y el denominador por el radical que se
encuentra en el denominador (y que de una raíz exacta) y se simplifica la
expresión que resulta.
Ejemplo.
Matemáticas
48
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1
5
(a)
1
3
x
(b)
Ciencias Básicas
2
(d)
3
(c)
x
y2
5
Solución
(a)
1
1 5
5
5



2
5
5
5 5
5
(b)
1
1

3
x 3x
3
x2
3
x2

(c)
2
2
2


3
3
3
(d)
x

y2
5
5
5
x
y2

3
x2
3
x3

3
x2
x
3
23
6


2
3
3
3
5
5
x
5
y3
y2
5
y3

5
5
xy 3
y5

5
xy 3
y
Caso 2. Cuando la fracción tiene como denominador un binomio que contiene
radicales de índice 2.En este caso, para racionalizarlo se multiplica el
numerador y el denominador por el conjugado de la expresión de dicho
denominador.
Ejemplo:
a)
1
5−√5
=(
1
5−√
5 + √5
) (5 +
5
√
)=
5
5 + √5
25−5
=
5 + √5
20
Realiza las operaciones indicadas y simplifica tus resultados:
1.
32
32
Matemáticas
2.
49
4 3
4 3
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3.
2 3 5
32 5
4.
6 3 2
6 2
5.
3 5
15  3
6.
14  2 3
7 2
11.- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que
pretendemos de ellas es encontrar su solución común.
a1x + b1y= c1
a2x + b2y= c2
La solución de un sistema es un par de números x1, y1, tales que reemplazando
x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.
3x – 4y = -6
2x + 4y =16
3 * 2 – 4*3 = - 6
6 – 12 = -6
-6 = - 6
2 * 2 + 4 * 3 =16
4 + 12 = 16
16 = 16
11.1. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1. Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma ose
les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
Matemáticas
50
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3x – 4y = -6
3x – 4y + 3 = - 6 + 3
2x + 4y =16
2x + 4y – 5y = 16 - 5y
x = 2, y = 3
2. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un
sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es
equivalente.
3x – 4y = -6
2x + 4y =16
3*(2x + 4y) = 16 * 3
2÷(2x + 4y) =16 ÷ 2
x = 2, y = 3
3. Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación
del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
3x – 4y = -6
2x + 4y =16
3x – 4y = -6
2x + 4y + 3x – 4y = -6 +16
x = 2, y = 3
4. Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de
sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o
divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al
primero.
Matemáticas
51
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3x – 4y = -6
Ciencias Básicas
3x – 4y = -6
2x – 4y
2x + 4y =16
=
2
3x – 4y + x + 2y = -6 + 8
3x – 4y = -6
16
x + 2y = 8
2
4x – 2y = 2
x + 2y = 8
x + 2y = 8
x= 2, y = 3.
5. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de
las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
3x – 4y = -6
2x + 4y =16
2x + 4y =16
3x – 4y = -6
3x – 4y = -6
-4y + 3y = -6
2x + 4y =16
4y + 2x = -6
11.2 Método de sustitución
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación,
obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la
incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Matemáticas
52
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Ciencias Básicas
3x – 4y = -6
2x + 4y =16
6. Despejamosuna de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.
Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
x= 8 – 2y
2x + 4y =16
7. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3(8 – 2y) – 4y = -6
8. Resolvemos la ecuación obtenida:
24- 6y – 4y = -6
-10y= 30
y=3
9. .Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
x= 8 – 2 * 3 = 8 – 6 x=2
10. Solución
x=2 y=3
11.3 Método de igualación
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con
una incógnita.
Matemáticas
53
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Ciencias Básicas
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en
las que aparecía despejada la otra incógnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
3x – 4y = -6
2x + 4y =16
6. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda
ecuación:
3x = -6 + 4y
−6+4𝑦
x=
2x = 16- 4y
x=
3
16−4𝑦
2
7. Igualamos ambas expresiones:
−6+4𝑦
3
=
−6+4𝑦
3
8. Resolvemosla ecuación:
-12 + 8y= 48 – 12y
2(-6 + 4y) = 3 (16-4y)
8y + 12y = 48 +12
20y=60
y=3
9. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresionesen las que
tenemos despejada la x:
x=
Matemáticas
−6+4∗3
3
=
−6+12
3
54
=2
Instituto Tecnológico de Roque
10. Solución:x= 2
Ciencias Básicas
y=3
11.4 Método de reducción
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que
convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
3x – 4y = -6
2x + 4y =16
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las
ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el
proceso.
3x – 4y = -6
2x + 4y =16

2 (3x – 4y = -6)
 -3 (2x + 4y =16)


6x – 8y = -12
-6x – 12y = -48
6. Sumamos y resolvemos la ecuación:
6x – 8y = -12
-6x – 12y = -48
- 20y = - 60
y=3
7. Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
Matemáticas
55
Instituto Tecnológico de Roque
2x + 4(3) =16
Ciencias Básicas
2x + 12 = 16 2x = 4
x= 2
8. Solución:
x = 2, y = 3
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
Resolver por cualquier método los siguientes sistemas:
1.
𝟓𝐱
𝟐
𝟑𝒙
𝟐
+ 3y = 1
– 3y = 15
2. 3x – 2y = 8
x + y =6
3. X + 2y = 9
3x – y = 20
4. 2x+ y = 7
x+3y=11
5. 3x – 4y = -6
2x + 4y =16
2.- ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm
y que su base es el triple de su altura?
3.- Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas.
¿Cuántos cerdos y pavos hay?
4.- Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y
Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad".
¿Cuánto dinero tenía cada uno?
Matemáticas
56
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Ciencias Básicas
12. ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática de una variable es cualquier expresión que pueda
ser escrita en la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
a≠0
siendo x una variable y a, b, y c son constantes. Esta forma se conoce como
forma general de la ecuación cuadrática.
Una ecuación cuadrática siempre debe ordenarse en forma descendente (de
mayor a menor exponente) con respecto a la incógnita.
12.1 Solución por factorización
Si los coeficientes a, b, y c son enteros tales que ax2 + bx + c se puede escribir
como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros. El
método de solución por factorización se basa en la propiedad del cero entre
los números reales. Se obtienen factores lineales que se igualan a cero para
obtener así los dos valores de la incógnita.
Propiedad del cero
Si m y n son números reales, entonces mn = 0 si y sólo si m = 0 ó n = 0 (o
ambos).
Ejemplo:
Encuentre las raíces resolviendo por factorización la siguiente expresión:
a)
𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒) = 𝟎
(𝒙 + 𝟑) = 𝟎
(𝒙 + 𝟒) = 𝟎
𝒙𝟏 = −𝟑
𝒙𝟐 = −𝟒
Para comprobar se sustituyen los valores de la variable en la ecuación inicial:
𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎
Matemáticas
57
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Ciencias Básicas
Sustituyendo el valor de las raíces:
(−𝟑)𝟐 + 𝟕(−𝟑) + 𝟏𝟐 = 𝟎(−𝟒)𝟐 + 𝟕(−𝟒) + 𝟏𝟐 = 𝟎
𝟗 − 𝟐𝟏 + 𝟏𝟐 = 𝟎
𝟏𝟔 − 𝟐𝟖 + 𝟏𝟐 = 𝟎
𝟐𝟏 − 𝟐𝟏 = 𝟎
𝟐𝟖 − 𝟐𝟖 = 𝟎
𝟎=𝟎
𝟎=𝟎
b)
𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎
𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎
𝟑𝒙 (𝒙 + 𝟒) − 𝟓(𝒙 + 𝟒) = 𝟎
(𝒙 + 𝟒)(𝟑𝒙 − 𝟓) = 𝟎
(𝒙 + 𝟒) = 𝟎
(𝟑𝒙 − 𝟓) = 𝟎
𝒙𝟏 = −𝟒
𝒙𝟐 =
𝟓
𝟑
Ejercicios
Resolver los siguientes ejercicios por factorización:
6. 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎
𝟔. 𝟔𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟎
7. 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝟎
𝟕. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 = 𝟖
8. 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟓 = 𝟎
𝟖. 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 − 𝟕 = 𝟎
9. 𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟓𝟔 = 𝟎
𝟗. 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎
10. 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎
𝟏𝟎. 𝟔𝒙𝟐 = 𝟒𝟕𝒙 + 𝟖
12.2 Solución mediante raíz cuadrada
Es para ecuaciones cuadráticas a las que les falta el término de primer grado,
es decir de la forma: ax2 + c = 0 donde a ≠ 0. El método de solución hace uso
directo de la definición de raíz cuadrada de un número.
Matemáticas
58
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Ejemplo:
Resolver por el método de la raíz cuadrada:
𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟕 = 𝟎
𝒙𝟐 =
𝟐𝟕
𝟑
𝒙 = ± √𝟗
𝒙𝟏 = 𝟑
𝒙𝟐 = −𝟑
Ejercicios
Resuelve las siguientes expresiones usando el método de la raíz cuadrada:
1. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖 = 𝟎
2. 𝟑𝟔 − 𝒙𝟐 = 𝟎
3. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 = 𝟎
4. (𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓
𝟏
5. (𝒙 + 𝟑 −)𝟐 =
𝟐
𝟗
12.3 Solución completando el cuadrado
Se basa en el proceso de transformar la ecuación general ax2 + bx + c = 0 en
la forma (x + A)2 = B donde a y b son constantes.
El procedimiento para completar el cuadrado en la forma cuadrática x2 + bx
consiste en sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; es decir, se
suma (b/2)2. Entonces:
𝒃 𝟐
𝒃 𝟐
𝒙 + 𝒃𝒙 + ( ) = (𝒙 + )
𝟐
𝟐
𝟐
Ejemplo:
Completar el cuadrado y encontrar la solución de las siguientes expresiones:
a) 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐 = 𝟎
𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟐
𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 = 𝟐 + 𝟗
Matemáticas
59
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(𝒙 + 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟏
𝒙 + 𝟑 = ± √𝟏𝟏
𝒙 = −𝟑 ± √𝟏𝟏
𝒙𝟏 = −𝟑 + √𝟏𝟏
𝒙𝟏 = −𝟑 − √𝟏𝟏
b) 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎
se divide entre 2, para que el coeficiente de x2 sea 1
𝟏
=𝟎
𝟐
𝟏
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = −
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 +
Se completa el cuadrado
𝟏
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = − + 𝟏
𝟐
𝟏
(𝒙 − 𝟏)𝟐 =
𝟐
𝟏
𝒙 = 𝟏 ± √𝟐
𝟏
𝒙𝟏 = 𝟏 + √𝟐
𝟏
𝒙𝟐 = 𝟏 − √𝟐
Ejercicios
Resuelve los siguientes ejercicios completando el cuadrado.
1. 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 = 𝟎
2. 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑 = 𝟎
3. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟑 = 𝟎
4. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟒𝒙
5. 𝟕𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟒 = 𝟎
Matemáticas
60
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12.4 Solución mediante la fórmula cuadrática (general)
Si no es posible buscar la solución con los otros métodos, se utiliza la ecuación
que se llama fórmula cuadrática. Si los coeficientes a, b, y c son enteros tales
que ax2 + bx + c = 0 y a ≠ 0, entonces:
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
𝒙=
a≠𝟎
𝟐𝒂
Al término b2 – 4ac de la ecuación se le llama discriminante y da información
útil sobre las raíces obtenidas:
Discriminante
Raíces de ax2 + bx + c = 0
Positivo
Dos raíces reales distintas
Cero
Una raíz real
Negativo
Dos raíces complejas no reales,
conjugadas entre sí
Ejemplo:
Encontrar la solución de la siguiente ecuación:
𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎
Sustituyendo los coeficientes en la fórmula general tenemos:
a = 12, b = 7 y c = - 10
𝒙=
−𝟕 ± √(𝟕)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟐)(−𝟏𝟎)
𝟐(𝟏𝟐)
𝒙=
−𝟕 ± √𝟒𝟗 + 𝟒𝟖𝟎
𝟐(𝟏𝟐)
𝒙=
−𝟕 ± 𝟐𝟑
𝟐𝟒
−𝟕+𝟐𝟑
𝒙𝟏 =
𝐱𝟐=
Matemáticas
𝟐𝟒
−𝟕− 𝟐𝟑
𝟐𝟒
=
𝟏𝟔
=
−𝟑𝟎
𝟐𝟒
𝟐𝟒
61
=
=
𝟐
𝟑
𝟓
𝟒
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Ejercicios
Resuelve los siguientes ejercicios mediante la fórmula cuadrática:
1. 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑 = 𝟎
𝟔. 𝒙𝟐 = 𝟖𝒙 − 𝟏𝟓
2. 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟖 = 𝟎
𝟕. 𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎
3. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎
𝟖. 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟒 = 𝟎
4. 𝟕𝒙𝟐 = − 𝟒𝒙
𝟗. 𝒙𝟐 = 𝟖𝒙 + 𝟐𝟎
5. (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟓
𝟏𝟎. 𝟏𝟐𝒙 − 𝟒 − 𝟗𝒙𝟐 = 𝟎
Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas:
1. La suma de dos números es 23 y su producto es 132. Encontrar los
dos números. [Sugerencia: si un número es x, el otro es 23 – x].
2. En la parte central de un terreno rectangular de 8 metros de ancho y 16
metros de largo, se construirá una alberca que cubrirá un área de 48
metros cuadrados de modo que alrededor de ésta haya una banqueta
de ancho constante. ¿cuánto medirá el ancho de la banqueta?
3. Encontrar dos enteros positivos consecutivos tales que su producto sea
168.
4. Se puede llenar un tanque en 4 horas, si se usan dos tuberías.
¿Cuántas horas necesita cada tubo para llenar el tanque si el tubo
menor necesita 3 horas más que el mayor? Calcular las respuestas con
una exactitud de dos cifras decimales.
5. Si la base y la altura de un rectángulo
que mide 4 x 2 pulgadas
aumentan la misma cantidad, el área del nuevo rectángulo será el doble
del antiguo. ¿Cuáles son las dimensiones, con dos cifras decimales, del
nuevo rectángulo?
Matemáticas
62
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13. PROPIEDADES DE LOGARITMOS
Los logaritmos comunes (también llamados de Briggs) son los de base 10.
Los logaritmos naturales (llamados también neperianos) son los de base e.
Se denotan de la siguiente manera: log x = log10x y ln x = logex.
Las propiedades de los logaritmos permiten convertir problemas de
multiplicación en problemas de adición, los de división en problemas de resta
y los que implican elevar a una potencia y extraer raíces, en multiplicaciones.
Además permiten resolver ecuaciones exponenciales.
Si b, M y N son números reales positivos, b ±1 y p es un número real,
entonces:
1.- logbbu = u
2.- logb MN = logbM + logbN
3.- logb =
𝑴
𝑵
= logbM - logbN
4.- logbMp = p logb M
5.- logb 1 = 0
Todas estas propiedades aplican de la misma manera al logaritmo natural.
Ejemplos:
Aplicar las propiedades de los logaritmos en las siguientes expresiones:
1. 𝒍𝒐𝒈 𝟑𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝟑 + 𝒍𝒐𝒈 𝒙
𝟐. 𝒍𝒐𝒈
𝒙
= 𝒍𝒐𝒈 𝒙 − 𝒍𝒐𝒈 𝟓
𝟓
𝟑. 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟕 = 𝟕 𝒍𝒐𝒈 𝒙
𝒎𝒏
𝟒. 𝒍𝒐𝒈
= 𝒍𝒐𝒈 𝒎𝒏 − 𝒍𝒐𝒈 𝒑𝒒 = 𝒍𝒐𝒈 𝒎 + 𝒍𝒐𝒈 𝒏 − (𝒍𝒐𝒈 𝒑 − 𝒍𝒐𝒈 𝒒)
𝒑𝒒
= 𝒍𝒐𝒈 𝒎 + 𝒍𝒐𝒈 𝒏 − 𝒍𝒐𝒈 𝒑 − 𝒍𝒐𝒈 𝒒
𝟐
5. 𝒍𝒐𝒈 (𝒎𝒏) 𝟑 =
Matemáticas
𝟐
𝟑
𝒍𝒐𝒈 𝒎𝒏 =
𝟐
𝟑
(𝒍𝒐𝒈 𝒎 + 𝒍𝒐𝒈 𝒏)
63
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6. 𝒍𝒐𝒈
𝒙𝟖
𝟏
𝒚 ⁄𝟓
= 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟖 − 𝒍𝒐𝒈 𝒚
Ciencias Básicas
𝟏⁄
𝟓
= 𝟖𝒍𝒐𝒈 𝒙 −
𝟏
𝟓
𝒍𝒐𝒈 𝒚
Ejercicios :
Aplica las propiedades de los logaritmos en las siguientes expresiones.
𝒙
1. 𝒍𝒐𝒈 𝟕𝒙
2. 𝒍𝒐𝒈
𝒙𝟐
𝟔. 𝒍𝒐𝒈 (𝟐𝒙 ∗ 𝟑𝒚)
𝒚𝟑
𝒙𝟑 𝒚𝟐
3. 𝒍𝒏 𝒘𝒙𝒚
4. 𝒍𝒐𝒈 𝒖
𝟏⁄
𝟑
𝟓. 𝒍𝒏 (𝒚)
𝟕. 𝒍𝒏 (
𝒛𝟒
𝟏⁄
𝟓
)
𝟑
𝟐⁄
𝟑
√𝑵
𝟖. 𝒍𝒐𝒈 (𝒒𝟐 𝒓𝟑 )
14. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Son las ecuaciones en las que intervienen funciones logarítmicas, tales como
log (x + 3) + log x = 1. Las propiedades de los logaritmos tienen un papel muy
importante en la solución.
Ejemplo:
Resuelva:
a)
(𝒍𝒏 𝒙)𝟐 = 𝒍𝒏 𝒙𝟐
(𝒍𝒏 𝒙)𝟐 = 𝟐 𝒍𝒏 𝒙
(𝒍𝒏 𝒙)𝟐 − 𝟐 𝒍𝒏 𝒙 = 𝟎
Factorizando:
(𝒍𝒏 𝒙)(𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐) = 𝟎
Igualando a cero los factores:
𝒍𝒏 𝒙 = 𝟎
Matemáticas
(𝒍𝒏 𝒙) − 𝟐 = 𝟎
𝒚
64
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𝒙 = 𝒆𝟎
𝒍𝒏 𝒙 = 𝟐
𝒙𝟏 = 𝟏
𝒙 𝟐 = 𝒆𝟐
𝒙𝟐 = 𝟕. 𝟑𝟖𝟗
b)
(𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟒
(𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟑 = 𝟒 𝒍𝒏 𝒙
(𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟑 − 𝟒 𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝟎
Factorizando:
𝒍𝒐𝒈 𝒙 [(𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟐 − 𝟒] = 𝟎
𝒍𝒐𝒈 𝒙 [(𝒍𝒐𝒈 𝒙 + 𝟐)(𝒍𝒐𝒈 𝒙 − 𝟐)] = 𝟎
Igualando a cero los factores:
𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈 𝟎
𝒍𝒐𝒈 𝒙 + 𝟐 = 𝟎
𝒍𝒐𝒈 𝒙 − 𝟐 = 𝟎
𝒍𝒐𝒈 𝒙 = −𝟐
𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝟐
𝒙 = 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈 (– 𝟐)
𝒙 = 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈 (𝟐)
𝒙𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎−𝟐 𝒙𝟑 = 𝟏𝟎𝟐
𝒙𝟏 = 𝟏
𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏
𝒙𝟑 = 𝟏𝟎𝟎
Ejercicios
Resuelva los siguientes problemas:
1. (𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟐 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟐
2. (𝒍𝒏 𝒙)𝟑 = 𝒍𝒏 𝒙𝟒
3. (𝒍𝒏 (𝒍𝒏 𝒙)) = 𝟏
4. 𝒙𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝒙
5. (𝒍𝒐𝒈 𝒙)𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙𝟗
15. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Matemáticas
65
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Ciencias Básicas
Las identidades trigonométricas son igualdades que se satisfacen para todos
los valores de las variables, excepto aquellos para los cuales carezcan de
sentido.
Para que una igualdad quede demostrada se debe llegar a:
1) Una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo; o bien
2) a una cualquiera de las formulas trigonométricas.
Setienen las siguientes identidades básicas:
1. 𝒔𝒆𝒏 𝜶 =
3. 𝒕𝒂𝒏 𝜶 =
5. 𝒔𝒆𝒄 𝜶 =
7.
9.
𝟏
2. 𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
𝒄𝒔𝒄 𝜶
𝟏
𝟏
6. 𝒄𝒔𝒄 𝜶 =
𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝒕𝒂𝒏 𝜶 =
𝟏
4. 𝒄𝒐𝒕 𝜶 =
𝒄𝒐𝒕 𝜶
𝒕𝒂𝒏 𝜶
𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝜶
8. 𝒄𝒐𝒕 𝜶 =
𝒔𝒆𝒏 𝜶
𝟏
𝒔𝒆𝒄 𝜶
𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝒔𝒆𝒏 𝜶
𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏
11. 𝒔𝒆𝒏(𝜶 ± 𝜷) = 𝒔𝒆𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜷 ± 𝒔𝒆𝒏𝜷𝒄𝒐𝒔𝜶
13. 𝒄𝒐𝒔(𝜶 ± 𝜷) = 𝒄𝒐𝒔𝜶𝒄𝒐𝒔𝜷 ∓ 𝒔𝒆𝒏𝜶𝒔𝒆𝒏𝜷
10.
𝟏 + 𝒕𝒈𝟐 𝜶 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶
12.
𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜶 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜶
14.
𝒕𝒈(𝜶 ± 𝜷) =
𝒕𝒈𝜶±𝒕𝒈𝜷
𝟏∓𝒕𝒈𝜶∗𝒕𝒈𝜷
16. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶
15. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶
= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 − 𝟏
= 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶
17.
𝒕𝒈𝟐𝜶 =
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶
𝟐
𝟐
𝟏−𝒕𝒈𝟐 𝜶
𝜶
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶
𝟐
𝟐
19. 𝒄𝒐𝒔 = ±√
21. 𝒔𝒆𝒏𝜶 + 𝒔𝒆𝒏𝜷 = 𝟐𝒔𝒆𝒏
Matemáticas
𝜶
18. 𝒔𝒆𝒏 = ±√
𝟐𝒕𝒈𝜶
𝜶
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝜶
𝟐
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝜶
20. 𝒕𝒈𝟐 =
𝜶+𝜷
𝟐
𝒄𝒐𝒔
𝜶−𝜷
22. 𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝒔𝒆𝒏𝜷 = 𝟐𝒄𝒐𝒔
𝟐
66
𝜶+𝜷
𝟐
𝒔𝒆𝒏
𝜶−𝜷
𝟐
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23.
𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝟐𝒄𝒐𝒔
𝜶+𝜷
𝟐
Ciencias Básicas
𝒄𝒐𝒔
𝜶−𝜷
24. 𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝟐𝒔𝒆𝒏
𝟐
𝜶+𝜷
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝜶 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜷 = [𝒔𝒆𝒏(𝜶 + 𝜷) + 𝒔𝒆𝒏(𝜶 − 𝜷)]
25.
𝟐
𝟏
26.
𝒄𝒐𝒔𝜶 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜷 = [𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷) + 𝒄𝒐𝒔(𝜶 − 𝜷)]
27.
𝒔𝒆𝒏𝜶 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜷 = [𝒄𝒐𝒔(𝜶 − 𝜷) − 𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷)]
𝟐
𝟏
𝟐
𝝅
28. 𝒄𝒐𝒔 ( − 𝜶) = 𝒔𝒆𝒏 𝜶
𝟐
𝝅
29. 𝒔𝒆𝒏 ( − 𝜶) = 𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝟐
𝝅
30. 𝒕𝒈 ( − 𝜶) = 𝒄𝒕𝒈 𝜶
𝟐
Ejemplo:
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
+
= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙
𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒙) + 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙)
= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙
(𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙)(𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)
𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙
= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙
𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙
𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙
= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙
𝟏 − (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙)
𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙
= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙
𝟏 − 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙
= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝟐
= 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙
Resuelve los siguientes ejercicios
Matemáticas
67
𝟐
𝒔𝒆𝒏
𝜶−𝜷
𝟐
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Demostrar que las siguientes igualdades son identidades
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∗ 𝒄𝒔𝒄𝒙
2.
3. 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∗ 𝒄𝒔𝒄𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
4.
5. 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒄𝒙
6. 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙 ∗ 𝒄𝒕𝒈𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
1.
7.
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
+ 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
9. 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏
11.
13.
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒙∗𝒄𝒔𝒄𝒙
= 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝒙∗𝒔𝒆𝒄𝒙
= 𝒄𝒐𝒕 𝒙
21.
𝒄𝒔𝒄 𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟏
+ 𝟏 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
𝟏
8. 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙
10. 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏
12. 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ∗ 𝒄𝒔𝒄𝒙 = 𝒄𝒕𝒈 𝒙
14.
𝟏
𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙
+ 𝟏 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
𝟏
18. 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝒙
= 𝟏+𝒔𝒆𝒏 𝒙
23. 𝒔𝒆𝒄 𝒙−𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙
Matemáticas
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙
𝟏
+ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝟏
𝟏−𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
16. 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙∗𝒔𝒆𝒄𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
17. 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙∗𝒄𝒔𝒄𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙
+ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏
𝟏
15. 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙∗𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
19.
𝟏
𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
20.
22.
24.
68
𝒔𝒆𝒄 𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝒙+𝒄𝒐𝒕 𝒙
𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙
= 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙
= 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟏
𝒄𝒔𝒄 𝒙−𝒄𝒐𝒕 𝒙
𝟏
= 𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒏 𝒙
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25.
Ciencias Básicas
𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙
= 𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝒄𝒔𝒄 𝒙−𝟏
26.
𝒕𝒂𝒏 𝒙−𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝒙
= 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝒙
16. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
16.1
Ecuación trigonométrica. Se aplica a toda ecuación en que las
variables figuran solo como argumento de funciones trigonométricas. Una
ecuación trigonométrica puede no tener soluciones.
Ejemplo:
𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 = −𝟏
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝒙 = −
𝟐
−𝟏
𝟏
𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 (− ⁄𝟐)
𝒙 = −𝟑𝟎°
(𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 = (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝟎 = 𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝟎 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙
𝟎 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (𝟎)
𝒙 = 𝟗𝟎°
Resuelve los siguientes ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas
Matemáticas
69
Instituto Tecnológico de Roque
Ciencias Básicas
1. 𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝟏
𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝟏 = 𝟎
2. 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎
7.
3. 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 + 𝟐 − 𝟖 𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝟎
8. √𝟐 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙) + 𝟏 = 𝟎
4. 𝒔𝒆𝒏 (𝟕𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙) = 𝟎
9. 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 = 𝟑 𝒄𝒐𝒕 𝒙
5. 𝒄𝒔𝒄 (𝟐𝒙) − 𝒄𝒐𝒕(𝟐𝒙) = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝒙
10. 𝟑 𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙
6. √𝟑𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 − 𝟐𝒕𝒂𝒏 𝒙 = √𝟑
Matemáticas
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