1. El vector V (3,2) es el vector localizado del segmento AB cuyo punto medio es
c = (3,1). Hallar las coordenadas de los extremos AB
B
C = (3,1)
A
Del dato
AB = V (3,2)
B A (3,2) 1
Luego
Se observa que
2 AC HB
Por sus paralelos
2(2 A) B A
2C 2 A B A
26 = B + A
Como (3,1) 2(3,1) B A
(6,2) = B + A ……(?)
9
B ,2
2
3
A = ,0
2
2. V = (7, - 6) es el vector localizado del segmento AB y c = (5/3, 3) el punto de
trisección mas cercano de B de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A y B.
(5/3,3)
C
D
B
AB
= CB
3
(7 ) 6
CB
3
AB = (7,-6)
(7 / 3;2) CB
A
Vector localizado en CB es (7/3,-2)
B – C = (7/8,-2)
B – (5/3,3) = (7/3,-2)
B = (4,1)
B – A = (7,6)
(4,1) – A = (7.-6)
(4,1) – (7,-6) = A
(-3,7) = A
3. Sea el vector a OP cuyo componente horizontal es x3 y componente vertical es 6
– x. hallar a si ab = (9 x 4 – y3, y) y a = b
Y
P
O
a = (x3, 6 - x)
(I) X3 = 9xy – y3
(II) 6 – x = y
6₧y+x
Al cuadrado
X
b = (9xy- y3, y)
x3 + y3 = a x y
(x + y) (x2 – xy + y2) = axy
6 (36 – 36xy) = axy
18 (12 - xy) = axy
36 ₧ y2 + x2 + 2xy
24 – 2xy = xy
36 – 2 2xy = y2 + x2
24 = 3xy
8 = xy
8 – x (6 - x)
x2 – 6x + 8 = 0
x
-4
x
-2
x=4
x=2
y=2
y=4
RPTA: a = (64,2) ; (8,4)
4.
V 4 2 (3) 2 5
V = r (cos 0, sen 0)
V = (coso, sen0)
V = 5 (cos300, sen 300)
1 3
V = 5 ,
2
2
V = (5/2, - 5
3
)
2
5. Hallar un vector V cuya magnitud es igual a la del vector OB = (4, - 3 ) y cuyo
ángulo es la misma que del vector OC = (1, -
a) V = (x,
V 6
3 x)
3)
x 2 3x 2 6
4x2 = 36
X=3
x = -3
V = (3, 3 3 ) ;
(-3, -3 3 )
b)
(x, 3)
u
V
V
V
(3,-12)
V ( x 3) 2 15 2
17 ( x 3) 2 15 2
289 225 ( x 3) 2
64 ( x 3) 2
x3 8
x 3 8
x = 11
x=-5
Luego
u
( x 3,15)
17
(8,15)
( 8 ,15 )
17 17
17
(8,15) 8 15
u
,
)
(
17 17
17
u
6. si V = (x,y) cuya norma es b & y =
V ( x, y )
3 x. hallar dicho vector
V 6
y y 3x
Luego del dato
V x2 y2 6
V (3,3 3 ) V (3,3 3 )
x 2 3x 2 6
4x 2 6
x 6 x 3
x=3
b) Hallar un vector unitario en la dirección del vector V de norma 17, que tiene su
punto inicial en (3, 12) y punto Terminal tiene ordenada 3.
B (x, 3)
AB V
V 17
A (3, -12)
Ahora
V AB ( x,3,15)
Luego del dato
( x,3,15) 17
( x,3) 2 15 2 17
( x,3) 2 15 2 17 2
X2 – 6x + 9 + 32.(-2) = 0
X2 – 6x – 55 = 0
(x - 11) (x + 5) = 0
X = 11 x = -5
V = (8,15) V = (-3, 15)
u
1
1
(8,15) u (8,15)
7
17
u (vector unitario) tal que u // V
7. El segmento de una recta limitada por los puntos A = (-1, 8, 3), B = (9, -7, -2) esta
dividido en 5 partes iguales por los puntos C, D, E, F. hallar las coordenadas de
dichos puntos.
B (9,-7,-2)
F
E
D
C
A
(-1,8,3)
Vector localizado de AB
B–A
(9,-7,-2) – (-1,8,3)
(10,-15,-5)
El vector en AC el
1
(10,15,5)
5
(2,-3,1) = C – A
(2,-3,-1) = C – (-1,8,3)
(1,5,2) = C
8. En un paralelogramo ABCD se designa AB = a , AD = b expresar en términos de
a y b los vectores MA , MB , MC , MD donde M es punto de intersección de las
diagonales
B
V
a
A
C
M
r
b
D
w
MA u
MB V
MC W
MD r
a b 2 w
a b
w
2
a b
u w
2
a
2v
b 2V a
2V a b
a b
V
2
b
b a
r V
2
9. Demostrar que los puntos A = (6,3,4), B = (2,1, -2) y C = (4, - 1, 10) son vértices de
un triangulo isósceles.
AB 16 4 36 56 2 14
BC 4 4 144 152 2 38
AC 4 16 36 2 14
10. En el tetraedro OPQR que se muestra en la figura sea a = OP , b = OQ , C = OR
sea M el punto medio de RQ . Hallar PM en función de a , b , b
c b
QM
2
PM PQ QM
c b
PM b a
2
b 2 a c
PM
2
11. En la figura 1 se tiene un paralelo pipedo de OA = 3, OB = 4, OC = J. hallar
donde V = a - 2 b + 2 c + d + e
A
y W = (0,2,1).
Z
(0,0,3)
A1 (0,5,3)
3
E (4,5,3)
5
4
B (4,0,0)
C
O
y
D (4,5,0)
X
a = A1 – A = (0,5,0)
b = E – B = (0,5,3)
c = B – A = (4,0,-3)
d = C – D = (-4,0,0)
e = C – E = (-4,0,-3)
(0,5,0)
V = (0,5,0) – (0,10,6) + (8,0,-6) + (-8,0,-3)
V = (0,-5,-15)
w = (0,2,1)
V . w.
V w
V 25 225 5 10
w 5
0 10 15 25
5 10 . 5
5 50
50
50
5 50 5 2
2
50
10
2
10
12. la figura es un cubo si A = 6, -2, 4), c = (3, -2) F= (-6, 4, 2), H = (8, 4, 4). Hallar las
demás coordenadas
B
C (8,-2,-10)
(6,-2,4) A
F
E
(-6,4,2)
D
G
H(8,4,4)
H–A=G–B
(2,6,0) = G – B
G–F=C-B
G –B = (2,6,0)
G+B=C+F
G + B = (2,2,-8)
G + B = (2,2,-8)
2G = (4,8,-8)
(2,4,-4) + B – (2,2,-8)
G = (2,4,-4)
B = (0,-2,-4)
E–F=H–G
E = (8,4,4) – (2,4,-4) + (-6,4,2)
E = (0,4,10)
D–A=H–E
D=H–E+A
D = (8,4,4) – (0,4,10) + (6,-2,4)
D = (14,-2,-2)
13. Si A + B + C = O ,
( A ) = 6, ( B ) = 8, ( C ) = 12 hallar A. (2B - A)
A + B + C = O aplicando. B
2
A . B + B C . B O A . B 64 C . B C
Pide
A .(2 B - A )
2
2 A.B - A
2 A . B - 36
2 (22) – 36 = 8
Sab.
A + B+ C = O
(. A )
2
A + A . B + A .C =O
A . B + A . C = -36
(. B )
(C )
A.B
2
B
+ C . B = 0 A . B + C . B = -64
2
A .C + B .C + C = 0
A . B C. B 64
A . C + B . C = -144
Sumando
2 ( A . B + B . C + A . C ) -244
A . B + B . C + A . C = -122
A . B + - 144 = -122
A . B = 22
B) Si A + B + C = O
( A ) = 6,
B .C + A .C
2
( A - B ). ( A - B ) = A B
2
2
A - 2 A . B + B =302
121 – 2 A . B + 529 = 900
- 250 = 2 A . B
- 125 = A . B
c) Dado (A) = 11, (B) = 23, (A - B) – 30. Hallar (A + B)
2
( A . B ) . ( A . B ) = A B
2
2
2
A 2 A. B B A B
2
121 + 2 (-125) + 529 = A B
( B ) =3 , ( C ) = 8 calcular A . B +
2
650 – 250 = A B
20 = A B
14. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triangulo
es paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud.
B
CB
2
A-B
M
CB
2
N
C
A
BM MN BM
MN BN BA
C B A B
MN
2
2
CA
MN
2
1
MN ( AC )
2
15. Dado un paralelogramo ABCD
Es verdad (AB)2 + (BC)2 + (CD)2 (DA)2 = (AC)2 + (BD)2
16. Probar V
-
V
(L) Primero consideramos
a b a b
V -V
V , V ERn.
2
2
2
2
a b ( a b ).( a b )
2
2
2
2
a b a 2 a b b a 2 a b b
a b a b
a b a b
a . b a b cos
Pero cos 1
a b cos a b
a.b a b
Tenemos
a b a a b
, b ER n
Consideramos en particular
a uv
u u v v u v u v
Sea
= v – u, b u
v vu u
vu u v
uv u v
… (II)
De (I) y (II)
/ u - v / uv
… (I)
17. probar que: V , V son octagonales si y solo si
V-V
2
=
u
2
+ 1v
sab. que u, v son originales
2
2
2
u v (u v).(u . v)
2
u v (u ) 2 2 u . v v
2
2
u v u v
2
2
2
sup u v u v
(u v).(u v)
(
2
2
2
u 2 u . v v u v
)
u . v 0 Tengo dos octagonales
18. tres vectores están orientado como en la figura donde
A
= 20,
C y = 30. encuentra A + B + C
A (0,20)
A
B
A (0,20)
45º
X
45º
B r (cos , sen )
B 40(cos 45, sen45)
B (20 2 ,20 2 )
C
B
= 40,
c 30(cos 315, sen315)
c 30( 2 2 , 2 2 )
c (15 2 ,15 2 )
A B C (315 2 ,20 5 2 )
(49.5; 27.1)
A B C 2450.25 734.41
56.4
tg
20 5 2
35 2
20 5 2
arctg
35 2
271
artg
49.5
A B C 56.4(cos , sen )
A B C 56.4
0
