1. El vector )2, 3( = V es el vector localizado del segmento AB cuyo



1. El vector V  (3,2) es el vector localizado del segmento AB cuyo punto medio es

c = (3,1). Hallar las coordenadas de los extremos AB
B
C = (3,1)
A
Del dato


AB = V  (3,2)
 B  A  (3,2)  1
Luego
Se observa que


2 AC  HB
Por sus paralelos
 2(2  A)  B  A
 2C  2 A  B  A
26 = B + A
Como  (3,1)  2(3,1)  B  A
(6,2) = B + A ……(?)
9 
 B   ,2 
2 
3 
A =  ,0 
2 


2. V = (7, - 6) es el vector localizado del segmento AB y c = (5/3, 3) el punto de
trisección mas cercano de B de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A y B.
(5/3,3)
C
D
B


AB
= CB
3
(7 )  6 
 CB
3

AB = (7,-6)

(7 / 3;2)  CB
A

Vector localizado en CB es (7/3,-2)
B – C = (7/8,-2)
B – (5/3,3) = (7/3,-2)
B = (4,1)
B – A = (7,6)
(4,1) – A = (7.-6)
(4,1) – (7,-6) = A
(-3,7) = A


3. Sea el vector a  OP cuyo componente horizontal es x3 y componente vertical es 6




– x. hallar a si ab = (9 x 4 – y3, y) y a = b
Y
P
O

a = (x3, 6 - x)
(I) X3 = 9xy – y3
(II) 6 – x = y
6₧y+x
Al cuadrado
X

b = (9xy- y3, y)
x3 + y3 = a x y
(x + y) (x2 – xy + y2) = axy
6 (36 – 36xy) = axy
18 (12 - xy) = axy
36 ₧ y2 + x2 + 2xy
24 – 2xy = xy
36 – 2 2xy = y2 + x2
24 = 3xy
8 = xy
8 – x (6 - x)
x2 – 6x + 8 = 0
x
-4
x
-2

x=4
x=2
y=2
y=4

RPTA: a = (64,2) ; (8,4)
4.


V  4 2  (3) 2  5
V = r (cos 0, sen 0)

V = (coso, sen0)

V = 5 (cos300, sen 300)

1  3

V = 5  ,

2
2



V = (5/2, - 5

3
)
2

5. Hallar un vector V cuya magnitud es igual a la del vector OB = (4, - 3 ) y cuyo

ángulo es la misma que del vector OC = (1, -

a) V = (x,

V 6
3 x)
3)
x 2  3x 2  6
4x2 = 36
X=3 
x = -3

V = (3, 3 3 ) ;
(-3, -3 3 )
b)
(x, 3)


u 

V

V
V
(3,-12)

V  ( x  3) 2  15 2
17  ( x  3) 2  15 2
289  225  ( x  3) 2
64  ( x  3) 2
x3 8

x  3  8
x = 11

x=-5
Luego

u
( x  3,15)
17
(8,15)
 ( 8 ,15 )
17 17
17

(8,15)  8 15
u
,
)
(
17 17
17

u

6. si V = (x,y) cuya norma es b & y =

V  ( x, y )
3 x. hallar dicho vector

V 6 
y y  3x
Luego del dato

V  x2  y2  6


V  (3,3 3 )  V  (3,3 3 )
 x 2  3x 2  6
 4x 2  6
 x  6  x  3

x=3

b) Hallar un vector unitario en la dirección del vector V de norma 17, que tiene su
punto inicial en (3, 12) y punto Terminal tiene ordenada 3.
B (x, 3)


AB  V


 V  17
A (3, -12)
Ahora


V  AB  ( x,3,15)
Luego del dato
( x,3,15)  17
 ( x,3) 2  15 2  17
 ( x,3) 2  15 2  17 2
X2 – 6x + 9 + 32.(-2) = 0
X2 – 6x – 55 = 0
 (x - 11) (x + 5) = 0
X = 11  x = -5


 V = (8,15)  V = (-3, 15)

 u

1
1
(8,15)  u  (8,15)
7
17



u (vector unitario) tal que u // V
7. El segmento de una recta limitada por los puntos A = (-1, 8, 3), B = (9, -7, -2) esta
dividido en 5 partes iguales por los puntos C, D, E, F. hallar las coordenadas de
dichos puntos.
B (9,-7,-2)
F
E
D
C
A
(-1,8,3)
Vector localizado de AB
B–A
(9,-7,-2) – (-1,8,3)
(10,-15,-5)
El vector en AC el
1
(10,15,5)
5
(2,-3,1) = C – A
(2,-3,-1) = C – (-1,8,3)
(1,5,2) = C




8. En un paralelogramo ABCD se designa AB = a , AD = b expresar en términos de






a y b los vectores MA , MB , MC , MD donde M es punto de intersección de las
diagonales
B
V

a
A
C

M


r

b
D
w




MA  u
MB  V




MC  W
MD  r





a b  2 w
a b 
w
2
 
 a b 
u   w  
 2 






a

2v


b  2V  a



2V  a  b


a b
V
2


b


b a
r  V 
2


9. Demostrar que los puntos A = (6,3,4), B = (2,1, -2) y C = (4, - 1, 10) son vértices de
un triangulo isósceles.
AB  16  4  36  56  2 14
BC  4  4  144  152  2 38
AC  4  16  36  2 14





10. En el tetraedro OPQR que se muestra en la figura sea a = OP , b = OQ , C = OR




sea M el punto medio de RQ . Hallar PM en función de a , b , b


c b
QM 
2




PM  PQ  QM


c b
PM  b  a 
2






b 2 a c
PM 
2




11. En la figura 1 se tiene un paralelo pipedo de OA = 3, OB = 4, OC = J. hallar







donde V = a - 2 b + 2 c + d + e
A
y W = (0,2,1).
Z
(0,0,3)
A1 (0,5,3)
3
E (4,5,3)
5
4
B (4,0,0)
C
O
y
D (4,5,0)
X

a = A1 – A = (0,5,0)

b = E – B = (0,5,3)

c = B – A = (4,0,-3)

d = C – D = (-4,0,0)

e = C – E = (-4,0,-3)

(0,5,0)
V = (0,5,0) – (0,10,6) + (8,0,-6) + (-8,0,-3)

V = (0,-5,-15)

w = (0,2,1)
 
V . w.
 
V w



V  25  225  5 10

w  5

0  10  15  25

5 10 . 5
5 50
50
50
 5 50  5 2
 2


50
10
2
10

12. la figura es un cubo si A = 6, -2, 4), c = (3, -2) F= (-6, 4, 2), H = (8, 4, 4). Hallar las
demás coordenadas
B
C (8,-2,-10)
(6,-2,4) A
F
E
(-6,4,2)
D
G
H(8,4,4)
H–A=G–B
(2,6,0) = G – B
G–F=C-B
G –B = (2,6,0)
G+B=C+F
G + B = (2,2,-8)
G + B = (2,2,-8)
2G = (4,8,-8)
(2,4,-4) + B – (2,2,-8)
G = (2,4,-4)
B = (0,-2,-4)
E–F=H–G
E = (8,4,4) – (2,4,-4) + (-6,4,2)
E = (0,4,10)
D–A=H–E
D=H–E+A
D = (8,4,4) – (0,4,10) + (6,-2,4)
D = (14,-2,-2)





13. Si A + B + C = O ,





( A ) = 6, ( B ) = 8, ( C ) = 12 hallar A. (2B - A)


A + B + C = O aplicando. B

 2

 
 
 
A . B + B  C . B  O  A . B  64  C . B  C

Pide


A .(2 B - A )




 2
2 A.B - A
2 A . B - 36
2 (22) – 36 = 8
Sab.




A + B+ C = O

(. A )
2





A + A . B + A .C =O




A . B + A . C = -36

(. B )

(C )




A.B
2
B







+ C . B = 0  A . B + C . B = -64

2
A .C + B .C + C = 0
 


A . B  C. B  64




A . C + B . C = -144
Sumando






2 ( A . B + B . C + A . C ) -244










A . B + B . C + A . C = -122
A . B + - 144 = -122
A . B = 22





B) Si A + B + C = O



( A ) = 6,


B .C + A .C





 2
( A - B ). ( A - B ) = A B
 2




 2
A - 2 A . B + B =302
121 – 2 A . B + 529 = 900


- 250 = 2 A . B


- 125 = A . B
c) Dado (A) = 11, (B) = 23, (A - B) – 30. Hallar (A + B)





 2
( A . B ) . ( A . B ) = A B
 2


 2

 2
A  2 A. B  B  A B

 2
121 + 2 (-125) + 529 = A B



( B ) =3 , ( C ) = 8 calcular A . B +

 2


650 – 250 = A B
20 = A B
14. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triangulo
es paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud.
B
CB
2
A-B
M
CB
2
N
C
A





BM  MN  BM

MN  BN  BA

C  B A B
MN 

2
2

CA
MN 
2

1 
 MN  ( AC )
2
15. Dado un paralelogramo ABCD
Es verdad (AB)2 + (BC)2 + (CD)2 (DA)2 = (AC)2 + (BD)2

16. Probar V
-

V

(L) Primero consideramos




a b  a  b


V -V


 V , V ERn.

 2


 2
 2

 2






a  b  ( a  b ).( a  b )


 2
 2
  2
 2
a b  a  2 a b b  a  2 a b  b

a b  a  b


a b  a  b


 
a . b  a b cos 
Pero cos   1




a b cos   a b
 
 
a.b  a b
Tenemos





a b  a  a  b

 , b ER n
Consideramos en particular

a uv
u  u v  v  u  v  u v
Sea

= v – u, b  u
v  vu  u
 vu  u  v
 uv  u  v
… (II)
De (I) y (II)
/ u - v /  uv
… (I)


17. probar que: V , V son octagonales si y solo si


V-V
2

=
u
2
+ 1v
 
 sab. que u, v son originales

 2


 2


 2

 
u  v  (u  v).(u . v)
 2
 
u  v  (u ) 2  2 u . v  v
2
2
u v  u  v
 2

 2
 2
 sup u  v  u  v




(u  v).(u  v)
(

 2
 
 2
 2
u  2 u . v v  u  v
)
 
 u . v  0 Tengo dos octagonales
18. tres vectores están orientado como en la figura donde




A
= 20,

C y = 30. encuentra A + B + C


A  (0,20)
A


B
A  (0,20)
45º
X
45º

B  r (cos , sen )

B  40(cos 45, sen45)

B  (20 2 ,20 2 )

C

B
= 40,

c  30(cos 315, sen315)

c  30( 2 2 , 2 2 )

c  (15 2 ,15 2 )



A B  C  (315 2 ,20  5 2 )
(49.5; 27.1)



A B  C  2450.25  734.41
56.4
tg 
20  5 2
35 2
 20  5 2 

  arctg 
 35 2 
 271 
  artg 

 49.5 







A B  C  56.4(cos  , sen )
A B  C  56.4