Tema 12. - IES Alfonso X el Sabio

CIDEAD. 2º Bachillerato. Electrotecnia
Tema 12.- Sistemas trifásicos.
Desarrollo del tema.1. Concepto de sistemas polifásicos.
2. Conexión de las fuentes en estrella y en triángulo.
3. La conexión de los receptores.
4. Conexión en estrella y triángulo en receptores.
5. Resolución de problemas de circuitos trifásicos equilibrados y
reducción a monofásicos.
6. Potencia en los sistemas trifasicos equilibrados.
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Tema 12.- Sistemas trifásicos.
1. Concepto de sistemas polifásicos.
Los circuitos de corriente alterna estudiados anteriormente, son sinusoidales en la tensión e
intensidad y podían estar o no desfasadas. Estos circuitos eran monofásicos. En ocasiones, por un
mismo circuito, pueden circular, diferentes tensiones e intensidades desfasadas entre si pero todas
teniendo la misma pulsación. Estos sistemas se denominan polifásicos.
Un sistema equilibrado de corrientes polifásicas está formado por dos o mas corrientes
alternas monofásicas de la misma pulsación ω y amplitud , que se encuentran desfasadas entre si y
aparecen de acuerdo a un orden determinado. Cada una de las corrientes recibe le nombre de fase.
Para poder utilizar las corrientes polifásicas. Se necesita de un alternador polifásico,
formado por tres devanados diferentes (con seis terminales) que se van enrollando en los soportes
del inducido (estator), colocándose ordenadamente (N-S-N-S...) y en el interior gira un campo
magnético, que es el inductor, a una velocidad constante.
Estator o inducido
Rotor o inductor
Velocidad de
giro del rotor
Devanados a-b-c
a(N) a´(S)
Un sistema polifásico con tres fases, se denomina trifásico y se dice que está equilibrado
cuando poseen las tres tensiones la misma pulsación, los mismos valores eficaces y se encuentran
simétricamente desfasados: 0, 120º y 240º
Siempre que no se cumplan las condiciones anteriores, se dirá que el sistema de carga se
encuentra desequilibrado.
Un alternador trifásico origina tres fases de corriente que se denominan a,b,c , también con
mayúsculas A, B y C o con las letras R,S, T o r,s,t . También se pueden utilizar los números 1,2,3 .
La secuencia de fases es relativa, ya que puede ser positiva o negativa (positiva, adelantada,
o negativa, retrasada).
Si se toma la tensión de una de las fases en el eje de abscisas, en sentido positivo, el giro de
circulación hacia las otras fases puede ser, en sentido de las agujas del reloj o contrario.
Si el sentido es antihorario, primero pasaría E1 , después E2 con desfase (-120) y después el
E3 con desfase (-240). Es la secuancia directa o positiva.
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Si el sentido es horario. La secuencia será E1 , E2 (desfase 120) y E3 (desfase 240). Es la
secuencia inversa o negativa.
A la salida de una alternador trifásico, se observan tres terminales, que dependiendo a su
asociación, diremos que se han conectado en triángulo o en estrella
Conexión en triángulo
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Conexión en estrella
2. Conexión de las fuentes en estrella y en triángulo.
Las conexiones de las fuentes, como ya se ha indicado, puede ser en estrella (Y) o en
triángulo (Δ ) . En cualquiera de los dos casos, se debe de calcular la tensión e intensidad de fase, la
tensión e intensidad de línea y el desfase entre la línea y la fase.
a. Conexión de fuentes en estrella.
En este caso Ul = Uab = Ubc = Uac =
 3 . Uφ =  3 Ua
Si la secuencia es directa, Ul se encontrará adelantada 30º respecto a Uφ.
Si la secuencia es inversa , Ul se encuentra retrasada 30º respecto a Uφ
I l = Iφ
En el caso de que el sistema se encuentre equilibrado In = I1 + I2 + I3 = 0
In = 0
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Si el sistema no se encuentra equilibrado, In ≠ 0
Las tensiones de fase son iguales entre si y desfasadas 120º. Las tensiones de línea son
iguales entre si y se encuentran desfasadas 120º.
b. Conexión en triángulo.
En este caso la Ul = Uab = Uφ = Ua
La Il = Iab =
 3 Iφ =  3 Ia
Las tensiones de fase se encuentran entre si desfasadas 120º . Las tensiones de línea
también lo están.
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Las intensidades de fase, se encuentran también desfasadas 120 º . Las intensidades
de línea su desfase es igual a 120º. La intensidad de línea se encuentra retrasada frente a la de fase,
30º, cuando la secuencia es directa. Cunado la secuencia es inversa, la intensidad de línea se
adelanta a la de fase 30º
Las redes de alta tensión poseen únicamente tres cables, no hay cable de neutro, por lo que
la tensión que se utiliza es la de línea.
Problema 1.- Cada una de las bobinas de un alternador trifásico, genera una tensión senoidal de
50 Hz de frecuencia y 311V de tensión de valor máximo.
Calcular los valores de las tensiones correspondientes a la unión en estrella y en
triángulo.
Resolución.Conexión en estrella :
U max
Uφ = U1 = U2 = U3 =
= 220 V
2
UL =
 3 . Uφ = 381 V
Conexión en triángulo
Uφ = UL = 220 V
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3. La conexión de los receptores.
Los receptores se pueden conectar a un sistema trifásico a una fase y neutro o bien entre
fase-fase.
La conexión en estrella se realiza cuando la tensión nominal de los receptores coincide con
la tensión de fase de la red. Siempre habrá que destacar que las cargas se encuentren equilibradas o
no equilibradas.
En el caso de que las cargas se encuentren equilibradas, UL =
Uφ =
UL
= Ua ;; I a =
3
 3 Uφ = Uab
Ua
Za
Para que el sistema se encuentre equilibrado : Za = Zb = Zc
Iφ = IL = Ia
In = Ia + Ib + Ic = 0
Cuando las cargas se encuentran no equilibradas
In = Ia + Ib + Ic ≠ 0
Ia =
Ua
Za
;
Ib =
Ub
Zb
;; Ic =
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Uc
Zc
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S istema de cargas equilibradas
S istema de cargas no equilibradas
Problema 2.- Tres impedancias iguales de valor Z = 4 + 3 j , se encuentran conectadas en
estrella y se le aplica un sistema trifásico equilibrado de tensiones con secuencia directa de 380 V
de tensión eficaz de línea.
Calcular las intensidades de línea y las tensiones de fase. Dibujar el diagrama vectorial de
las tensiones e intensidades.
Resolución.-
UL
= 220 V ;; Z = 4 + 3 j = 537º
3
Uφ =
IL = Iφ =
U
Z
=
2200º
= 44-37º A, el resto se desfasan 120º : 83º//203º
5 37º
Las otras dos tensiones en línea serán : U1 = 2200º
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3
30
= 380 30º
U2 = 220-120
3
30
U3 = 220120º
3
30
= 380 -90
= 380150
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La representación vectorial será :
Problema 3.- Tres reactancias inductivas de 2,3 y 4 Ω, están conectadas en estrella a una
red de 380 V de tensión de secuencia directa y con hilo neutro. Determinar el valor de las
intensidades de la línea y la que circula por el hilo neutro y dibujar el diagrama vectorial.
Resolución.
UL
Uφ =
Ia =
Ic =
Uc
=
Zc
3
Ua
=
Za
= 220 V
2200º
= 110-90 A
290º
;
Ib =
Ub
Zb
=
220−120º
= 73,3150 A;;
390º
220120º
= 5530 A
4 90º
IN = Ia + Ib + Ic = -110 j - 63,4 + 36,7 j + 47,63 + 27,5 j = (-15,7 -45,8 j )A
= 48,4
251º
A
9
=
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El diagrama es el siguiente :
La conexión en triángulo se realiza cuando la tensión nominal de los receptores es igual a la
tensión de la línea de red.
En estos casos, UL = Uφ y IL =
 3 Iφ ;; Ia =  3 Iab
Al estar el sistema equilibrado, Iab + Ibc + Ica = 0
Z1 = Z2 =Z3 ;; IL = Ia =
UL
.
Z1
3
Cuando la secuencia es directa, la intensidad de línea se encontrará retrasada 30º respecto la
intensidad de fase. Si la secuencia es inversa, la intensidad de línea se adelantará 30º a la intensidad
de fase.
En los circuitos de cargas desequilibradas se cumplirá :
Iab =
U ab
Z1
;; Ibc =
U bc
;; Ica =
Z2
U ca
;; Los desfases serán φ1 , φ2 , φ3
Z3
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siendo φ1 = arctg
Ia = Iab – Ica
X1
R1
, etc.
;; I b = Ibc - Iab ::: I c = Ica – Ibc
Conexión en triángulo cargas
equilibradas
Conexión en triángulo
cargas no equilibradas
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Problema 5.- Determinar las intensidades de línea y de fase en el circuito
equilibrado de la figura, en el que las tensiones de línea son 220 V y la frecuencia es de 50 Hz.
Resolución.- Z = R + X j
R = 100 Ω ; XC =
1
= 16 Ω ;; Z = 100 – 16 j = 101,3-9 º Ω
C. 
Iφ = Iab = Iac = Ibc =
220
= 2,17 A
101,3
El desfase respecto a la tensión es de 9º
IL = I a =
 3 Iab = 3,76 A
Problema 6.- Calcular las intensidades de línea y de fase en un circuito desequilibrado de
secuencia directa, que se representa en la figura adjunta, en las que las tensiones de linea son de
220 V y la frecuencia de 50 Hz.
Resolución.- Uab = 220 0º Ubc = 220-120º Uca = 220120º
Zab = 3 + 4j = 553,1º ;; Zbc = 6 – 8j = 10-53,1º ;; Zca = 9+12 j = 1553,13º
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Iab =
U ab
= 44306,8º A ;; Ibc =
Z ab
U bc
= 22293º A ;; Iac =
Z bc
U ac
= 14,666,8
Z ac
Iab = 26,3 – 35,23 j ;; Ibc = 8,59 - 20 j ;; Iac = 5,75 + 13,41 j
Ia = Iab – Iac = 20,55 – 48,64 j ;; Ib = Ibc – Iab = - 17,71 + 15,23 j
;; I c = Ica – Ibc = -2,84 +
33,41 j
Problema 7.- En una conexión en estrella, la línea es de 208 V y la intensidad de
fase es de 20 A. Calcular los valores de la tensión de fase y la intensidad de línea.
Resolución.- U l =
 3 Uφ ;; Uφ = 120 V ;; Iφ = IL = 20 A
Problema 8.- En el circuito de la figura establecer el valor de las tensiones de fase y de
línea.
Resolución.- UL= 220 V ;;
Ul=
 3 Uφ ;; Uφ = 127 V
Problema 9.- Una red trifásica equilibrada de 380 V de tensión de línea, se conectan tres
resistencias iguales de 50 Ω cada una . Hallar las intensidades de línea correspondientes si las
resistencias se conectan en estrella y en triángulo.
Resolución.- a ) en estrella .- Uφ =
IL =
U
Z1
UL
= 220 V
3
= 4,4 A
b) en triángulo.- Uφ = UL ;; Iφ =
IL=
 3 I φ = 13, 16 A
13
U
Z1
=
380
= 7,6 A
50
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Problema 10.- Tres resistencias de 40 Ω se encuentran conectadas en estrella a una
fuente trifásica de 240 V de tensión de línea. Otras tres resistencias, iguales, se conectan en
triángulo de modo que consuman la misma corriente eléctrica de línea. Determinar el valor de
estas resistencias y la corriente que circula por ellas.
Resolución.- a) Conexión en estrella.- UL =
IL =
U
Z1
= 3, 46 A
b. Conexión en triángulo IL =
R=
 3 U φ ;; Uφ = 138,5 V
U
I
 3 I φ ;; Iφ = 2 A
= 120 Ω
5. Resolución de problemas de circuitos trifásicos equilibrados y
reducción a monofásicos.
Para la resolución de los problemas en circuitos trifásicos, es necesario recordar el teorema
de Kennelly que permite la conversión de una asociación de resistencias o impedancias, de
triángulo en estrella o viceversa:
a. Conversión de triángulo en estrella.
Ecuación.- Z1 =
Z 31 . Z 12
Z 12Z 31Z 23
b. Conversión de estrella en triángulo , Ecuación.- Z31 =
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Z 1 . Z 2Z 1 . Z 3Z 2 . Z 3
Z2
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Cuando las cargas se encuentran equilibradas: Z1 = Z2 = Z3 : ZΔ = 3 ZY
Z12 = Z13 = Z23
Problema 11.- Dado el circuito equilibrado de la figura, determinar las intensidades de fase.
Resolución.- Como es un circuito equilibrado : Ia + Ib + Ic = 0
4 – 2 + j + Ib = 0 ;; Ib = -2 – j (A)
Para calcular las intensidades de fase convertimos la asociación de triángulo en estrella:
Z1 =
Z 31 . Z 12
=
Z 12Z 31 Z 23
Z2 =
1 j1− j
= 0,5 Ω
1 j1− j2
1 j 2
= 0,5 (1+j) Ω
1 j1− j2
Z3 =
1− j 2
= 0,5(1-j) Ω
1 j1− j2
Tensiones de fase:
U aN = 2 0 V ;; U bN = 2,23206 . 0,7045 = 1,56251 V ;; UCN = 0,70-45 . 2.23153 = 1,56108 V
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Tensión de línea : Uab = Ua – Ub = 2 – ( -0,50 – 1,47 j ) = 2,5 + 1,47 j (V)
Uca = Uc – Ua = -0,5 + 1,5 j - 2 = - 2,5 + 1,5 j (V)
Ubc = Ub – Uc = -0,50 – 1,47j + 0,50 – 1,5 j = - 3j V
En la asociación en triángulo, las tensiones de fase y línea coinciden.
Según esto, las intensidades que pasan por las ramas de la asociación en triángulo serán:
Iab =
U ab
=
Z ab
330
= 2,1275 A
1,41 45
Ibc =
U bc
=
Z bc
3−90
= 1,5-90 A
20
Ica =
U ca
=
Z ca
3−30
= 2,1215 A
1,41−45
Para calcular los circuitos trifásicos equilibrados por reducción a uno monofásico se recurre a la
siguiente operación.
a. Conexión estrella- estrella : Y – Y
Generadores : estrella ;;; Receptores : estrella
La bobina de cada generador posee una impedancia ZG . Cada conductor de línea, posee una
impedancia ZL y ZN . Cada receptor posee una impedancia Z .
Si en cada línea consideramos que todas las resistencias se encuentran en serie,
definimos ZY = ZG + ZL + Z
En un sistema equilibrado, IN = Ia + Ib + Ic = 0 , por lo que el punto N y N´ se encuentran al
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mismo potencial.
Sistema trifásico
en secuencia
directa
Las intensidades de línea o de fase serán :
1
2
3
Ia =
;; Ib =
;; Ic =
ZY
ZY
ZY
Por lo tanto se puede considerar el sistema trifásico como tres circuitos monofásicos de
intensidades especificadas anteriormente, siendo el cortocircuito de los tres la línea N-N´
Por lo tanto las intensidades de las líneas serán :
Ia =
1
=
ZY

ZY
;; Ib =
−120
= Ia -120º ;; Ic =
ZY
3
=
ZY
120
= Ia +120º
ZY
b. Conexión triángulo- triángulo ( Δ - Δ )
En este caso la fuente de generadores se encuentra conectada en triángulo en secuencia
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directa . En este caso el circuito será:
Este sistema trifásico posee ZΔ = ZG + 3 ZL + Z
La reducción a tres circuitos monofásicos se realiza teniendo en cuenta que las intensidades
de línea serán :
Iab =
0
Z
;; Ibc =
−120
;; Ica =
Z
120
Z
Los tres circuitos monofásicos resultantes son los siguientes:
Los sistemas de conexión Y – Δ y Δ – Y , se pueden reducir fácilmente a Δ – Δ y a Y – Y,
utilizando el teorema de Kennelly.
Problema 12.- Calcular las intensidades de fase en el receptor y las intensidades de línea
en el circuito trifásico equilibrado que se expresan en el circuito adjunto, sabiendo que el sistema
de generadores se encuentran en secuencia directa.
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Resolución.- ZΔ = ZG + Z + 3 ZL = 2 + 5 j + 4 – 5 j + 3 ( 2 + 4j ) = 12 + 12 j
Las intensidades correspondientes a las fases serán :
Iab =
0
=
Z
Ibc =
−120
=
Z
Ica =
120
=
Z
3390
= 20-45 A
16,97 45
339−120
= 20-165 A
16,97 45
339120
= 2075 A
16,97 45
Las intensidades de línea será :
Ia = Iab .
Ib = Ibc
Ic = Ica
3
3
3
= 34,6-15 A
= 34,6 -134 A
= 34,6105 A
30º
30º
30º
6. Potencia en los sistemas trifasicos equilibrados.
La potencia se calcula exactamente igual que el sistema fuese monofásico en el caso que el
sistema fuese trifásico equilibrado.
Si el sistema no está equilibrado, la potencia total se calcula determinando por separado la
potencia activa, reactiva y aparente correspondiente a cada fase:
Potencia activa
Potencia reactiva
Potencia aparente
Primera fase
P1 = UF1 IF1 cos φ1
Q1 = UF1 IF1 sen φ1
S1= UF1 IF1
Segunda fase
P2 = UF2 IF2 cos φ2
Q2 = UF2 IF2 sen φ2
S2= UF2 IF2
Tercera fase
P3 = UF3 IF3 cos φ3
Q3 = UF3 IF3 sen φ3
S3= UF3 IF3
Sistema trifásico
P = P1 + P2 + P3
Q = Q1 + Q2 + Q3
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S=
 P 2Q 2
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Si el sistema se encuentra equilibrado,
P = 3 UF IF cos φ
Q = 3 UF IF sen φ
S = 3 U F IF
Conviene poner las potencias activa, reactiva y aparente, en función de las variables de
línea.
En conexión en estrella U L =
 3 UF
IL = I F
En conexión en triángulo UL = UF ;;; IL =
P=
 3 IF
 3 UL IL cos φ ;;; Q =  3 UL IL sen φ ;; S =
 3 UL IL
El ángulo de desfase es la que corresponde entre las magnitudes de fase UF e IF
En los sistemas trifásicos se toman como tensión e intensidad las de línea UL = U e IL = I
En estos sistemas se puede aplicar el principio de Boucherot.
Problema 13.- Hallar la potencia activa que absorbe la carga equilibrada del circuito de la figura
conectada en triángulo a una red de 380 V y 50 Hz. ¿ Cuál sería el valor de dicha potencia si la
carga se conecta la estrella a la misma red?
Resolución.- XL = L ω = 20 10-3 2 π 50 = 6,28 Ω
Z = 5 + 6,28 j ;; φ = arctg
IF =
P=
6,28
= 51,48 º
5
380
= 47,3 A ;; IL =
8,02
 3 47,3 = 82 A
 3 U . I cos φ =  3 . 380 82 cos 51,48 = 33612 W
En el caso de que las impedancias se conectasen en estrella el resultado será :
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En este caso UL =
P=
 3 UF ;; IL =
UF
=
Z
UL
= 27,32 A
 3.8 ,03
 3 U . I cos φ = 11198 W
La potencia activa absorbida por una carga conectada en triángulo es tres veces superior que
si estuviera conectado en estrella a la misma tensión de red.
Al igual que en los circuitos monofásicos se representa los diferentes tipos de potencia en el
triángulo de potencias ya explicado.
Problema 14.- La potencia activa consumida por una carga conectada a una línea de 220
V es de 2000 W y su ángulo de desfase φ = 53º . Hallar las potencias reactiva y aparente, así
como la intensidad de línea.
Resolución.Q = P tg φ = 2000 tg 53 = 2654 VAr
S=
 P 2Q 2
S=
= 3320 VA
 3 U . I ;; I = 8,71 A
Problema 15.- En una red de 380 V de tensión
en línea se conectan en paralelo dos cargas
equilibradas cuyas potencias activas y sus desfases son :
P1 = 3000 W ;; φ1 = 45º ;;;; P2 = 4000 W ;; φ2 = 60º
Hallar la intensidad de la línea y el ángulo de desfase de la carga equivalente.
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Resolución.- Q1 = P1 tg φ1 = 3000 tg 45 = 3000 VAr
Q2 = P2 tg φ2 = 4000 tg 60 = 6928 VAr
P = P1 + P2 = 7000 W ::
S=
S=
Q = Q1 + Q2 = 9928 VAr
 P 2Q 2
= 12147 VA ;; φ = arc tg
Q
= 54,81º
P
 3 U . I ;; I = 18,45 A
Problema 16.- Una carga equilibrada conectada en estrella está formada en cada una de
sus ramas por una resistencia en serie con una bobina . La frecuencia es de 50 Hz y las
reactancias de la bobina y la resistencia tienen el mismo valor. Cuando se aplica una tensión
trifásica de 220 V y 50 Hz , las intensidades de línea son de 10 A. Determinar el coeficiente de
autoinducción de la bobina y las potencias aparente, activa y recativa.
Resolución.R = XL ;; Z = R + XL j ;; UF =
UL
= 127 V
3
UF = I . Z ;; Z = 12,7 Ω ;; R = 10,6 Ω = XL = 2 . π f . L
L = 33,9 m H
P=
Q=
 3 U . I cos φ = 2694 W
 3 U . I sen φ = 2694 VAr
S =  3 U . I = 3810 VA.
Problema 17.- Tres cargas trifásicas equilibradas, todas ellas de carácter inductivo, cuyas
potencias activas y factores de potencia son respectivamente:
P1 = 2000 W ;; cos φ1 = 0,707 ;;; P2 = 3000 W ;; cos φ2 = 0,866 ;;; P3= 5000 W
;; cos φ3 = 0,500
Se conectan en paralelo a una red de 220 V . Hallar la intensidad de la línea y el factor de
potencia total instalado.
Resolución.- Q1 = P1 . tg φ1 = 2000 VAr ;; Q2 = P2 . tg φ2 = 1732,2 VAr ;;
Q3 =P3 . tg φ3 = 8660,2 VAr
P = P1 + P2 + P3 = 10000 W ;; Q = Q1 + Q2 + Q3 = 12392 VAr
S=
 P 2Q 2
= 15923 VA ;; φ = arctg
22
Q
= 51,09º ;; cos φ = 0,628
P
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S=
 3 U . I ;; I =
S
= 41,78 A
 3. U
Problema 18.- Un motor trifásico, se conecta en estrella de 100 CV. Se encuentra
enchufado a una fuente de 3000 V de tensión en línea . El rendimiento es del 92 % y el factor de
potencia es de 0,9 . Calcular la intensidad de la línea.
Resolución.
P = 100 . 735 = 73500 W ;; Pe =
73500
= 79891 W
0,92
cos φ = 0,9 ;; φ = 25,8º
Q = P . tg φ = 79891 . tg 25,8 = 38692 VAr
S=
 P 2Q 2
= 88767 =
 3 U . I ;; I =
Anexos .- Cuadros resumen.-
23
S
= 17,08 A
 3. U