ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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Sesión No. 8
Nombre: Pruebas de hipótesis referentes al valor de la media de
la población
Contextualización
Las pruebas de hipótesis son uno de los métodos generales que se emplean
para llevar a cabo inferencias respecto a los parámetros poblacionales. Este tipo
de pruebas consiste en realizar suposiciones iniciales (hipótesis) sobre el valor
de un determinado parámetro poblacional de interés. Las hipótesis son
analizadas siguiendo una serie de pasos metódicos, con lo que se obtiene un
resultado que permite confirmar o rechazar la hipótesis inicial, es decir, se toma
una decisión sobre el valor del parámetro poblacional objeto de estudio.
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Introducción al Tema
Dentro de las investigaciones de estadística y de otra naturaleza, se determinan
elementos definitorios del área de estudio, lo que se conoce como hipótesis, esto
s trata de supuestas soluciones o determinadas situaciones que pueden tratarse
dentro de la investigación lo que la llevará por una guía ya establecida y se
demostrara si lo que se plantea dentro de las hipótesis es cierto o falso
ampliando la posibilidad de determinar un nuevo conocimiento que se establece
mediante el conocimiento de medias estadísticas y ampliando los campos de
estudio gracias a las mismas.
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Explicación
Pasos básicos de la prueba de hipótesis con el método de valor
crítico. Objetivo de la prueba de hipótesis
Ante la imposibilidad de estudiar a una población en su totalidad, al someter a
estudio una característica de interés de dicha población, el investigador procede
a extraer una muestra representativa de la cual calculará determinados valores
descriptivos de ésta, a los que se conoce como estadígrafos o estadísticas. Si la
muestra está bien diseñada, estos estadígrafos pueden considerarse una buena
aproximación a los verdaderos valores que describen a una población, los cuales
se denominan parámetros poblacionales. Las técnicas de inferencia estadística
pueden clasificarse en dos categorías:
• Intervalos de confianza
• Pruebas de hipótesis
Elementos que intervienen en una prueba de hipótesis
Supongamos que un cereal sale al mercado. Según las normas de la Secretaría
de Salud, este producto no debe exceder de cuatro unidades de conservador por
miligramo de cereal, pues ello podría implicar riesgos para la salud de los
consumidores. Este valor límite permitirá determinar el denominado valor crítico,
que marca la frontera entre valores permitidos y no permitidos. Al sospechar que
la compañía fabricante del cereal está excediendo la norma permitida, se
designa a un especialista para inspeccionar los productos y determinar si se está
incurriendo en una falta a la norma.
Sea μ el nivel promedio de conservador por miligramo de cereal. En este caso, μ
es el parámetro poblacional objeto de estudio, aquel sobre el cual se
establecerán hipótesis iniciales de las que, a su vez, se obtendrán conclusiones
mediante el análisis de una muestra.
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Puesto que se sospecha que el fabricante rebasa el nivel de unidades permitido
de conservador por miligramo, el investigador procede de manera similar al
método de demostración por contradicción, estableciendo la denominada
hipótesis alternativa, la cual sostiene que μ>4 es mayor a lo que la norma
permite. Posteriormente, el investigador establece la llamada hipótesis nula, la
cual afirma que μ=4 es igual o menor a 4, por lo que no se consideraría una
violación a la norma. La hipótesis alternativa se representa con el símbolo Ha,
mientras que la hipótesis nula se denota con el símbolo H0. En este entendido, el
investigador buscará evidencias para demostrar la hipótesis alternativa μ>4
mediante el análisis de muestras en las que se compruebe que la hipótesis nula
μ= 4 es incorrecta. Es decir, se desea probar Ha vs. H 0, en donde:
• H0 : µ = 4
• Ha : µ > 4
Como es evidente, sólo una de las hipótesis es verdadera y, en consecuencia,
la otra es falsa. Es decir, la aceptación de una hipótesis implica el rechazo de la
otra. El criterio para rechazar o aceptar la hipótesis nula descansa en una
estadística de prueba, la cual se comparará con el valor crítico. La estadística de
prueba se obtiene a partir de datos de una muestra representativa de la
población investigada.
Para el caso que se ejemplifica, supongamos que cada día se inspeccionan en
laboratorio 35 cajas de cereal seleccionadas al azar. Si el nivel promedio
de
unidades de conservador por miligramo de cereal obtenido n el análisis es mayor
que 4, por ejemplo
=4.6, el investigador tiene suficientes elementos para
rechazar la hipotesis nula y concluir que 4, por lo que estaría violando la
norma. Por el contrario, si
<4, por ejemplo, =3.7, el investigador no dispone de
evidencias para rechazar la hipótesis nula y, por lo tanto, no puede afirmar que
este rebasando la norma permitida. En este ejemplo, la media muestral
se
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emplea como estadística de prueba. En general, los elementos que intervienen en
una prueba de hipótesis son los siguientes:
1.
Hipótesis nula, respecto a uno o más parámetros poblacionales. Se denota por
H0.
2. Hipótesis alternativa, la cual se acepta si se decide rechazar la hipótesis nula. Se
denota por Ha .
3.
Supuesto inicial. Suele denotarse como μ 0:
H 0 : µ = µ0
H a : µ ≠ µ0
4. Estadística de prueba, que se obtiene a partir de datos de una muestra
representativa y que se comparará con el valor crítico para decidir si se acepta o
rechaza la hipótesis nula.
5. Región de rechazo, que señala al conjunto de valores que implican el rechazo de la
hipótesis nula.
Ejemplo: Una compañía pone a la venta un enjuague bucal que contiene cierta
cantidad por mililitro de un elemento químico que puede dañar la capa de esmalte.
La norma establece que el nivel permitido de tal componente químico no debe
sobrepasar las dos unidades por mililitro. Se sospecha que la compañía que fabrica
este producto no está atendiendo a la norma, por lo que las autoridades sanitarias
inician una investigación analizando una muestra representativa y calculando el nivel
medio de sustancia por mililitro. Suponga que el nivel medio
de la sustancia
química por mililitro es igual a 1.95.
Solución
• H 0 : µ = 2 (Hipótesis nula)
• µ0 = 2 (Supuesto inicial)
• H a : µ > 2 (Hipótesis alternativa)
1.95 (Estadística de prueba)
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dado que
µ0, se acepta la hipótesis nula, es decir, no hay elementos
suficientes para afirmar que el fabricante del enjuague bucal en cual viola la
norma.
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Conclusión
Si no se cuentan con hipótesis dentro de una investigación es muy probable que
ésta tome un rumbo diferente a que se tenia establecido en el principio, pues no
se tratara de comprobar ningún punto.
Es por eso que dentro de los trabajo de estudio de campo o documentales in
importar cal sea se establecen supuestos(hipótesis), los que pueden ser
alternativos, positivos, negativos, correlaciones, etc. Con las investigaciones en
estadística y probabilidad viene el uso de formulas que ayudaran a saber si lo
que se establece en una hipótesis puede ser verídica o no, por ejemplo el
porcentaje poblacional que se tiene en un país son mas mujeres que hombres,
cuántas personas dentro de un universo están enfermas, cuánta gente toma que
medicina, cuántos autos se venden a un porcentaje determinado de una
población especifica, etc.
Las hipótesis son importantes para que los puntos establecidos se utilicen en
medio importantes como INEGI, para el conteo poblacional o instituciones de
gobierno especializadas.
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Errores tipo I y tipo II en pruebas de hipótesis
Al realizar pruebas de hipótesis se pueden obtener dos posibles resultados:
• Se acepta la hipótesis nula.
• Se rechaza la hipótesis nula.
Esto significa que pueden cometerse dos posibles errores:
• Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.
• Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.
Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera se denomina error
tipo I y su probabilidad de ocurrencia se denota con literal griega α (alfa). Este
valor permitirá establecer el valor crítico y, consecuentemente,
la región de
rechazo de la prueba de hipótesis. El valor crítico define el criterio de decisión
para aceptar o rechazar la hipótesis nula. Por otra parte, aceptar la hipótesis
nula cuando en realidad es incorrecta se conoce como error tipo II y su
probabilidad de ocurrencia se denota con la literal griega β (beta).
La gravedad de ambos errores dependerá del contexto del problema. En el
ejemplo sobre la cantidad de conservador por miligramo de cereal, cometer un
error del tipo I significaría acusar injustificadamente al fabricante del cereal, lo
que podría traer como consecuencia una demanda legal por parte de éste. Sin
embargo, cometer un error del tipo II significaría permitir que se vendiera un
producto comestible que puede poner en riesgo la salud de los consumidores.
Es importante mencionar que α y β presentan una relación inversamente
proporcional. Al aumentar el valor de α, el valor de β disminuye. En este sentido,
se establece una medida estadística denominada potencia de la prueba de
hipótesis que corresponde a la probabilidad de rechazar la hipótesis nula H 0
cuando efectivamente H0 es falsa. La potencia de una prueba de hipótesis se
calcula mediante la expresión: (1 – β). En la práctica, se desea el mayor valor
posible para (1 – β). Es importante reflexionar que la posibilidad de cometer
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errores, sean del tipo I o II, obedece a que se recurre al análisis de una muestra
probabilística de una población, la cual, aunque se diseña para una determinada
confiabilidad, no está exenta de errores aleatorios.
Ejemplo: Para el caso del fabricante de enjuague bucal, en donde:
• H0 : µ = 2 (Hipótesis nula) • Ha : µ > 2 (Hipótesis alternativa)
• µ0 = 2 (Supuesto inicial)
Se obtiene de la muestra un valor medio
de sustancia química por mililitro de
enjuague de 2.1 unidades. Suponiendo que el verdadero valor del nivel medio μ
de sustancia química por mililitro de enjuague es de 1.95, esto significaría que,
con base en el resultado del valor obtenido para la estadística de prueba, se
rechazaría la hipótesis nula H0 : µ = 2 , por lo que se estaría cometiendo un error
del tipo I.
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes
elementos con forme se explican las teorías de las hipótesis.
1. Las técnicas de inferencia estadística pueden clasificarse en:
2. En una prueba de hipótesis se hace una determinada suposición sobre el
valor de:
3. La técnica de pruebas de hipótesis se basa en el método de demostración:
4. La hipótesis nula se denota por:
5. La hipótesis alternativa se denota por:
6. El valor crítico se emplea como:
7. El estadístico de prueba se denota por:
8. El estadístico de prueba se contrasta contra:
9. Un error del tipo I significa:
10. Un error del tipo II significa:
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Bibliografía
García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de
Cultura Económica.
Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística.
México: Sociedad Matemática Mexicana.
Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley
Iberoamericana.
Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México:
UNAM.
—— (2007). Estadística básica con Excel. México: UNAM. Lipschutz, S. (1988).
Probabilidad. México: McGraw-Hill.
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Panel de Verificación
Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes
elementos.
1. Las técnicas de inferencia estadística pueden clasificarse en: Pruebas de
hipótesis e intervalos de confianza.
2. En una prueba de hipótesis se hace una determinada suposición sobre el
valor de: El parámetro poblacional objeto de estudio.
3. La técnica de pruebas de hipótesis se basa en el método de demostración:
Por contradicción.
4. La hipótesis nula se denota por: H0
5. La hipótesis alternativa se denota por: Ha
6. El valor crítico se emplea como: Criterio de decisión.
7. El estadístico de prueba se denota por: μ0
8. El estadístico de prueba se contrasta contra: El valor crítico.
9. Un error del tipo I significa: Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad
es verdadera.
10. Un error del tipo II significa: Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad
es falsa.
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